6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

Funkce více proměnných

6.

1

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné. K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle proměnnou nevystačíme. Například výsledná cena výrobku je dána cenou vstupního materiálu, cenou vykonané práce, zahrnuje daň z přidané hodnoty, marži obchodníka, případně další veličiny. Váha člověka závisí především na jeho výšce, ale také na věku, stravovacích návycích a životním stylu každého jedince, uplatňují se i genetické vlivy. Spotřeba automobilu závisí na typu a kvalitě motoru, na stylu jízdy a na použitém palivu. Jednoduchým příkladem z matematiky je například výpočet objemu kvádru o hranách a, b, c: V = a.b.c.

6.1. Funkce dvou a více proměnných Nechť D je neprázdná množina bodů v rovině o souřadnicích [x, y] a H je neprázdná množina reálných čísel. Funkcí dvou reálných proměnných x a y nazýváme každé zobrazení f množiny D na množinu H [5]. • Zápis funkce: z = f(x, y), případně pouze f(x, y) nebo f: [x, y]→ z nebo [x, y, z]∈f. • Proměnné x, y ∈D se nazývají nezávisle proměnné nebo také argumenty, • proměnná z∈H je závisle proměnná nebo také funkční hodnota. • Množina D se nazývá definiční obor funkce (množina všech bodů [x, y], kterým daná funkce přiřazuje funkční hodnotu z), • množina H je obor funkčních hodnot (množina všech čísel z). • Grafem funkce dvou proměnných rozumíme plochu v prostoru o souřadnicích [x, y, z], přičemž [x, y] nabývají všech hodnot z definičního oboru funkce. Připomeňme, že třírozměrnou soustavu souřadnic tvoří 3 vzájemně kolmé souřadnicové osy x, y, z, které se protínají v počátku O. Dvojice souřadnicových os tvoří souřadnicové roviny xy, yz a xz. Souřadnicové roviny rozdělují celý prostor na 8 oktantů. Zvolíme-li na každé ose měřítko, můžeme libovolné trojici [x, y, z] přiřadit jediný bod o souřadnicích [x, y, z]. Bod P na obr. 45, který má souřadnice [1, 2, 3], leží v prvním oktantu. z 3 P

1 x

2

y

Obr. 45: Souřadnicová soustava v prostoru

Poznámky: 1. Funkci také můžeme definovat jako předpis, který každé uspořádané dvojici [x, y]∈D přiřadí právě jedno číslo z∈H [7]. 2. Způsoby určení funkce: Funkce dvou proměnných je určena analogicky jako funkce jedné proměnné, známe-li pravidlo, které každému [x, y]∈D přiřadí jediné z = f(x, y)∈H. Toto pravidlo můžeme vyjádřit analyticky (nejčastěji rovnicí z = f(x, y) ), tabulkou, grafem nebo slovně.


2

3. Funkci z = f(x, y) dvou nezávisle proměnných můžeme zobecnit na funkci u = f(x, y, z) tří nezávisle proměnných x, y, z, nahradíme-li v definici body roviny [x, y] body v třírozměrném prostoru [x, y, z]. Nahradíme-li body v rovině [x, y] body v n-rozměrném prostoru [x1, x2, …, xn], hovoříme o funkci z = f(x1, x2, …, xn ) n nezávisle proměnných x1, x2, …, xn. 4. Pro určení definičního oboru funkce více proměnných postupujeme analogicky jako u funkce jedné proměnné. Příklad 6.1: Určete hodnotu funkce z = 2 − x 2 − y 2 v bodech A[1, 1], B[0, 1], C[-1, 2] a D[2, -2].

Řešení: Daná funkce je definována v celé rovině E2. Funkční hodnoty v daných bodech získáme dosazením prvních souřadnic bodů za proměnnou x a jejich druhých souřadnic bodů za proměnnou y: z ( A) = f (1, 1) = 2 − 12 − 12 = 0 , z ( B) = f (0, 1) = 2 − 02 − 12 = 1 , z (C ) = f (−1, 2) = 2 − (−1) 2 − 22 = −3 , z ( D) = f (2, − 2) = 2 − 22 − (−2) 2 = −6 . Příklad 6.2: Určete definiční obor funkce: 5 , b) z = 4 − x 2 − y 2 . a) z = (2 x − y )(2 y + 6) Řešení: a) Daná funkce je definována v celé rovině E2 s výjimkou bodů, v nichž je jmenovatel zlomku roven nule: 2 x − y ≠ 0 a 2 y + 6 ≠ 0 . Musí tedy platit y ≠ 2 x a y ≠ −3 . Geometricky jsou rovnice y = 2 x a y = −3 rovnicemi přímek v rovině. Graficky je definiční obor znázorněn na obr. 46a. Protože přímky y = 2 x a y = −3 nepatří do definičního oboru, rýsujeme je čárkovaně. y

y y = 2x x

2

x

y = -3

Obr. 46: Definiční obor funkce: a) z =

5

(2 x − y )(2 y + 6)

, b)

z = 4 − x2 − y2

b) Daná funkce je definována pro ty body roviny, v nichž platí 4 − x2 − y2 ≥ 0 , tedy − x 2 − y 2 ≥ −4 a odtud x2 + y2 ≤ 4 . Definiční obor tvoří množina všech bodů kruhu se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem r = 2 (obr. 46b).


3

Příklad 6.3: Načrtněte graf funkce: a) z = 6 − x − 2 y , b) z = 4 − x 2 − y 2 . Řešení: a) Daná funkce je definována v celé rovině E2 . Vzhledem k tomu, že všechny proměnné x, y, z jsou lineární, je grafem funkce rovina. Nejjednodušší způsob, jak ji nakreslit, spočívá v převedení rovnice roviny na úsekový tvar: x + 2 y + z = 6 . 16 ⇒

x y z + + =1 6 3 6

Z poslední rovnice je vidět, že hledaná rovina vytíná na souřadnicových osách postupně úseky o velikosti 6, 3, 6 (obr. 47a). z

z

6 2

3 x

y

6

Obr. 47: Graf funkce: a) z =

2

2

y

x

6 − x − 2 y , b) z = 4 − x 2 − y 2 .

b) Uvedená funkce je rovnicí horní poloviny kulové plochy se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem r = 2 (obr. 47b).

6.2. Parciální derivace Funkce z = f(x, y) je funkcí dvou nezávisle proměnných. Chceme-li vědět, jak se tato funkce změní v závislosti na změně jedné z proměnných x nebo y, rozhodneme o tom pomocí parciálních derivací funkce. • Parciální derivaci funkce z = f(x,y) podle proměnné x určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné x a druhou proměnnou y považujeme za konstantu. Značíme ji symboly: ∂z ( x, y ) ∂z ∂f = = = f x′ . ∂x ∂x ∂x • Parciální derivaci funkce z = f(x,y) podle proměnné y určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné y a druhou proměnnou x považujeme za konstantu. Značíme ji symboly: ∂z ( x, y ) ∂z ∂f = = = f y′ . ∂y ∂y ∂y • Význam parciálních derivací objasní následující jednoduchý příklad. Příklad 6.4: Náklady na určitý výrobek jsou dány funkcí dvou nezávisle proměnných TC(x, y) = 6 + 3x + 2 y , kde proměnná x je cena 1 kg materiálu a proměnná y je cena práce za jednotku času. Určete, jak se změní cena výrobku, změní-li se cena a) materiálu, b) práce.


4

Řešení: a) Abychom určili, jak se změní náklady v závislosti na změně ceny materiálu x, budeme považovat cenu práce y za konstantní a vypočítáme derivaci ∂TC = 0 + 3 + 0 = 3. ∂x ∂TC = 3 nám říká, že změní-li se cena materiálu o hodnotu Δx při ∂x konstantní ceně práce y, změní se celkové náklady o trojnásobek této hodnoty, tedy o 3Δx. Výsledek derivace

b) Abychom určili, jak se změní náklady v závislosti na změně ceny práce y, budeme považovat cenu materiálu x za konstantní a vypočítáme derivaci ∂TC = 0 + 0 + 2 = 2. ∂y ∂TC = 2 interpretujeme takto: změní-li se cena práce o hodnotu Δy při ∂y konstantní ceně materiálu x, změní se celkové náklady o dvojnásobek této hodnoty, tedy o 2Δy. Výsledek derivace

Příklad 6.5: Určete parciální derivace funkce z ( x, y ) = 2 − 3x 2 + ln y + 5 xy 2 v bodech A[1, 1] a B[0, 1]. Řešení: Daná funkce je definována pro y > 0 , tedy v celé horní polorovině. ∂z = 0 − 6 x + 0 + 5.1. y 2 = −6 x + 5 y 2 , ∂x po dosazení souřadnic

∂z ( A) ∂z ( B) = −6.1 + 5.12 = −1 , = −6.0 + 5.12 = 5 , ∂x ∂x

∂z 1 1 = 0 + 0 + + 5 x.2 y = + 10 xy , ∂y y y po dosazení souřadnic

∂z ( A) 1 = + 10.1.1 = 11 , ∂y 1

∂z ( B) 1 = + 10.0.1 = 1 . ∂y 1

Poznámka: Pojem parciálních derivací můžeme analogicky zobecnit na funkce 3, 4 i více proměnných. Příklad 6.6: Určete parciální derivace funkce u ( x, y, z ) = 3x 2 y 3 z + sin x + e 2 z − 4 y + 5 v bodě A[1, 2, 3]. Řešení: Daná funkce je definována pro všechna x, y, z, tedy v celém prostoru E3. Parciální derivaci funkce u(x, y, z) podle proměnné x vypočítáme tak, že proměnné y a z budeme považovat za konstanty a derivovat budeme podle proměnné x: ∂u = 6 xy 3 z + cos x + 0 − 0 + 0 = 6 xy 3 z + cos x , ∂x


po dosazení souřadnic

5

∂u ( A) = 6.1.23.3 + cos1 = 144 + cos1 . ∂x

Parciální derivaci funkce u(x, y, z) podle proměnné y vypočítáme tak, že proměnné x a z budeme považovat za konstanty a derivovat budeme podle proměnné y: ∂u = 3x 2 .3 y 2 z + 0 + 0 − 4 + 0 = 9 x 2 y 2 z − 4 , ∂y po dosazení souřadnic

∂u ( A) = 9.12.2 2.3 − 4 = 104 . ∂y

Parciální derivaci funkce u(x, y, z) podle proměnné z vypočítáme tak, že proměnné x a y budeme považovat za konstanty a derivovat budeme podle proměnné z: ∂u = 3x 2 y 3 .1 + 0 + 2e 2 z − 0 + 0 = 3x 2 y 3 + 2e 2 z , ∂z po dosazení souřadnic

∂u ( A) = 3.12.23 + 2e 2.3 = 24 + 2e6 . ∂z

6.3. Parciální derivace vyšších řádů V předchozí kapitole jsme zadanou funkci z = f(x, y) derivovali vždy pouze jednou. Vypočítali jsme proto parciální derivace prvního řádu. Vypočítané parciální derivace však mohou být opět funkcemi proměnných x, y. Můžeme je tedy stejně jako v případě funkce jedné proměnné znovu derivovat a získáme celkem čtyři parciální derivace druhého řádu: ∂z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z znovu derivujeme ⎜ ⎟ = 2 = f xx′′ znamená, že první parciální derivaci ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x podle proměnné x a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné x.

• Zápis

∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ∂z ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 = f yy′′ znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂y ∂y podle proměnné y a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné y.

• Zápis

∂z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z = f xy′′ znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme ⎜ ⎟= ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂x∂y ∂x podle proměnné y a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných x a y.

• Zápis

∂z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ⎜⎜ ⎟⎟ = = f yx′′ znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂y∂x ∂y podle proměnné x a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných y a x.

• Zápis

∂2z ∂2 z a 2 se nazývají druhé čisté parciální derivace funkce z(x, y), protože ∂x 2 ∂y při jejich výpočtu se nemění proměnná, podle které derivujeme.

• Derivace

∂2 z ∂2z • Derivace a se nazývají druhé smíšené parciální derivace funkce z(x, y), ∂x∂y ∂y∂x protože při jejich výpočtu derivujeme jednou podle proměnné x a podruhé podle proměnné y.


6

Příklad 6.7: Určete parciální derivace druhého a třetího řádu funkce z = 2 − 3x 2 + ln y + 5 xy 2 . Řešení: Derivace prvního řádu jsme vypočítali v příkladě 6.5: ∂z ∂z 1 = −6 x + 5 y 2 , = + 10 xy . ∂x ∂y y Pro druhé derivace platí: čisté smíšené

∂2z = −6 , ∂x 2

1 ∂2z = − 2 + 10 x , 2 ∂y y

∂2 z = 10 y , ∂x∂y

∂2z = 10 y . ∂y∂x

Poznámky: 1. Z posledního řádku předchozího příkladu je vidět, že obě druhé smíšené parciální derivace si jsou rovny. Tato rovnost platí obecně, ale pouze v případě, kdy smíšené parciální derivace jsou spojité funkce. Říkáme, že smíšené parciální derivace v případě spojitosti funkcí nezávisí na pořadí derivování. 2. Je zřejmé, že i druhé parciální derivace mohou být funkcemi proměnných x a y, můžeme je tedy dále derivovat, čímž získáme parciální derivace třetího řádu. Derivací třetích parciálních derivací dostaneme parciální derivace čtvrtého řádu, atd.

Příklad 6.8: Určete parciální derivace

∂3 z ∂4z a funkce z = 3x − 3x 2 y 2 + x 4 ln y + 2 xy 4 ∂x 3 ∂x 3∂y

v bodech A[1, 1] a B[0, 1]. Řešení: Je zbytečné počítat všechny parciální derivace prvního a druhého řádu. Stačí určít pouze

∂z = 3 − 6 xy 2 + 4 x 3 ln y + 2 y 4 (derivujeme podle x, kdežto y považujeme za konstantu), ∂x ∂2z = −6 y 2 + 12 x 2 ln y (první derivaci znovu derivujeme podle x, přičemž y opět ∂x 2 považujeme za konstantu), ∂3 z = 24 x ln y (druhou derivaci ještě jednou derivujeme podle x, přičemž y znovu ∂x3 považujeme za konstantu), 1 ∂4 z x = 24 x. = 24 (třetí derivaci nyní derivujeme podle y, přičemž x považujeme 3 ∂x ∂y y y za konstantu). Teprve do vypočítaných derivací dosadíme souřadnice bodů A[1, 1] a B[0, 1]:

∂ 3 z ( A) = 24.1. ln1 = 24.0 = 0 , ∂x3

1 ∂ 4 z ( A) = 24 = 24 , 3 1 ∂x ∂y

∂ 3 z ( B) = 24.0. ln1 = 0 , ∂x3

0 ∂ 4 z ( B) = 24 = 0 . 3 1 ∂x ∂y


7

6.4. Extrémy funkce více proměnných Extrémy funkce více proměnných jsou definovány analogicky jako extrémy funkce jedné proměnné. Stejně jako u funkce jedné proměnné je rozdělujeme na lokální nebo také relativní (v okolí daného bodu) a globální nebo také absolutní (v celém definičním oboru). Podle nutné podmínky existence extrému funkce y = f(x) (kap. 4.5.2) nastane lokální extrém v takovém bodě, v němž je tečna rovnoběžná s osou x, v němž tedy musí platit df = 0 . Analogicky pro funkci dvou proměnných z = f(x, y) musí být tečná rovina k ploše z dx = f(x, y) v bodě, v němž nastane lokální extrém rovnoběžná s rovinou určenou osou x a osou y. To ale znamená, že všechny tečny v tomto bodě musí ležet v rovině rovnoběžné s osou x a osou y, protože leží v tečné rovině k ploše. Pro tečnu rovnoběžnou s osou x musí proto platit pro tečnu rovnoběžnou s osou y pak

∂z ( x, y ) ∂z ∂f = = =0 a ∂x ∂x ∂x ∂z ( x, y ) ∂z ∂f = = = 0. ∂y ∂y ∂y

Nutnou podmínkou existence lokálního extrému funkce z = f(x, y) v bodě S, v jehož okolí má tato funkce spojité parciální derivace, je platnost soustavy rovnic ∂z ( x, y ) ∂z ∂f ∂z ( x, y ) ∂z ∂f = = = 0, = = = 0. (55) ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y

Tento bod S se nazývá stacionární bod funkce z = f(x, y).

Poznámka: Pro funkci tří a více proměnných analogicky musí ve stacionárním bodě platit: parciální derivace podle všech nezávisle proměnných musí být ve stacionárním bodě rovny 0. Příklad 6.9: Určete lokální extrémy funkce z = f ( x, y ) = 3x 2 + 2 y 2 . Řešení: Funkce je definována na celé rovině E2. K určení stacionárního bodu vypočítáme parciální derivace ∂z = 6 x (derivujeme podle x, přičemž y považujeme za konstantu) a ∂x ∂z = 4 y (derivujeme podle y, přičemž x považujeme za konstantu). ∂y ∂z ∂z =0 a = 0 , tedy 6 x = 0 a 4 y = 0 . Tato ∂y ∂x soustava má jediné řešení: stacionární bod S[0, 0].

Pro stacionární bod musí podle (55) platit

3x 2 + 2 y 2 ≥ 0 = f ( S ) Protože platí pro ∀[x, y]∈E2, znamená to, že daná funkce má v bodě S[0, 0] lokální minimum. Příklad 6.10: Určete lokální extrémy funkce z = f ( x, y ) = − 3x 2 + 2 y 2 .


8

Řešení: Funkce je definovaná na celé rovině E2, protože pro výraz pod odmocninou platí: 3x 2 + 2 y 2 ≥ 0 pro ∀[x, y]∈E2. K určení stacionárního bodu vypočítáme parciální derivace: ∂z = ∂x

− 3x

a

3x 2 + 2 y 2

∂z = ∂y

− 2y 3x 2 + 2 y 2

.

Pro stacionární bod musí podle (55) platit tedy

− 3x 3x + 2 y 2

2

=0 a

− 2y 3x 2 + 2 y 2

∂z ∂z = 0, =0 a ∂x ∂y

= 0.

Tato soustava však nemá řešení, protože v počátku O[0, 0], v němž je čitatel roven nule, nejsou parciální derivace definovány (jmenovatel je rovněž roven 0). Daná funkce tedy nemá stacionární bod. Protože vždy platí

− 3x 2 + 2 y 2 ≤ 0 = f (O)

pro ∀[x, y]∈E2,

znamená to, že daná funkce má v počátku O[0, 0] lokální maximum. Příklad 6.11: Určete lokální extrémy funkce z = f ( x, y ) = 3x 2 − 2 y 2 . Řešení: Funkce je definovaná na celé rovině E2. K určení stacionárního bodu vypočítáme parciální derivace ∂z ∂z = −4 y . = 6x a ∂x ∂y Pro stacionární bod musí podle (55) platit

∂z ∂z =0 a = 0 , tedy 6 x = 0 a − 4 y = 0 . ∂x ∂y

Tato soustava dvou rovnic pro dvě neznámé x, y má jediné řešení: bod S[0,0]. Protože však v okolí bodu S[0, 0] funkce nabývá kladných i záporných hodnot (například pro body [x, 0] platí f(x, 0) = 3x 2 − 02 = 3 x 2 > 0 pro ∀x ≠ 0 a pro body [0, y] platí f(0, y) = 3.02 − 2 y 2 = −2 y 2 < 0 pro ∀y ≠ 0), nemá zadaná funkce z = f ( x, y ) = 3x 2 − 2 y 2 v počátku lokální extrém. Předchozí příklady ukazují, že určení lokálního extrému pomocí znaménka funkce v okolí stacionárního bodu je zdlouhavé. Proto zformulujeme postačující podmínku k určení lokálních extrémů. K jejímu přehlednějšímu zápisu zavedeme dva determinanty, které jsou tvořeny druhými parciálními derivacemi: ∂2 f ∂x 2 D2 = 2 ∂ f ∂x∂y

∂2 f ∂x∂y , ∂2 f ∂y 2

∂2 f . D1 = ∂x 2

(56)

Postačující podmínka pro existenci lokálního extrému ve stacionárním bodě S: Nechť bod S je stacionárním bodem funkce z = f(x, y), která má v tomto bodě spojité parciální derivace druhého řádu.


9

• Jestliže platí

D2 ( S ) > 0 a D1 ( S ) > 0, potom v bodě S nastává lokální minimum.


D2 ( S ) > 0 a D1 ( S ) < 0, potom v bodě S nastává lokální maximum.


D2 ( S ) < 0, potom v bodě S nenastává lokální extrém.

• Jestliže platí D2 ( S ) = 0, potom o extrému v bodě S musíme rozhodnout na základě chování funkce v okolí bodu S.

Při určování lokálních extrémů funkce dvou proměnných je vhodné dodržovat následující postup: 1.

Určíme první parciální derivace funkce.

2.

Vypočítáme stacionární body S1, S2, … funkce podle (55) vyřešením soustavy: ∂z ∂z = 0. =0 , ∂y ∂x

3.

Vypočítáme druhé parciální derivace funkce.

4.

Vypočítáme hodnoty determinantů D2 a D1 (56) pro první stacionární bod S1.

5.

Na základě postačující podmínky rozhodneme o existenci a druhu extrému.

6.

Body 4 a 5 opakujeme pro zbývající stacionární body.

Příklad 6.12: Určete lokální extrémy funkce z = f ( x, y ) = 2 y 3 + x 2 y + x 2 + 5 y 2 . Řešení: Funkce je definována na celé rovině E2.

1. K určení stacionárních bodů vypočítáme parciální derivace ∂z ∂z = 2 xy + 2 x a = 6 y 2 + x 2 + 10 y . ∂x ∂y ∂z = 0, ∂x

2. Pro stacionární bod musí platit (55): tedy

2 xy + 2 x = 0 ,

Z první rovnice po úpravě vytknutím vyplývá řešení

∂z = 0, ∂y

6 y 2 + x 2 + 10 y = 0 .

2 x( y + 1) = 0 x = 0 nebo y = −1 .

Dosadíme-li tato řešení do druhé rovnice získáme čtyři stacionární body: 5⎤ ⎡ S1 [0, 0], S 2 ⎢0, − ⎥, S 3 [2, − 1], S 4 [− 2, − 1] . 3⎦ ⎣ 3. Vypočítáme druhé parciální derivace: čisté

∂2 z ∂2 z = 2 y + 2 , 2 = 12 y + 10 , ∂x 2 ∂y

smíšené

∂2 z = 2x . ∂x∂y

4. Vypočítáme hodnoty determinantů D2 a D1 (56) pro první stacionární bod S1[0, 0]: D2 ( S1 ) =

2 0 = 20 a D1 ( S1 ) = 2 = 2 . 0 10


10

5. Protože oba determinanty jsou kladné, nastává podle postačující podmínky v bodě S1[0, 0] lokální minimum. 6. Postup v bodech 4. a 5. opakujeme pro zbývající stacionární body. 5⎤ ⎡ S 2 ⎢0, − ⎥ : 3⎦ ⎣

4 D2 ( S 2 ) = 3 0 −

0 − 10

=

4 4 40 a D1 ( S 2 ) = − = − . 3 3 3

Protože determinant D2 ( S 2 ) je kladný a determinant D1 ( S 2 ) je záporný, nastává podle 5⎤ ⎡ postačující podmínky v bodě S 2 ⎢0, − ⎥ lokální maximum. 3⎦ ⎣ S 3 [2, − 1] :

D2 ( S 3 ) =

0 4 = −16 . 4 −2

Protože determinant D2 ( S 3 ) je záporný, nenastává podle postačující podmínky v bodě S 3 [2, − 1] lokální extrém. S 4 [− 2, − 1] :

D2 ( S 4 ) =

−2 −4 = −12 . −4 −2

Protože determinant D2 ( S 4 ) je záporný, nenastává podle postačující podmínky v bodě S 4 [− 2, − 1] lokální extrém. Příklad 6.13: Určete maximální zisk, jestliže poptávková funkce po výrobku x je p1 ( x) = 50 − x a poptávková funkce po výrobku y je p 2 ( y ) = 60 − 2 y .Celkové náklady na výrobu jsou dány funkcí n = n( x, y ) = 2 xy . Řešení: Funkce určující výsledný zisk je dána vztahem Π = Π ( x, y ) = p1 ( x).x + p 2 ( y ). y − n( x, y ) = (50 − x) x + (60 − 2 y ) y − 2 xy = = 50 x − x 2 + 60 y − 2 y 2 − 2 xy.

Abychom odpověděli na zadaný úkol, musíme určit lokální extrémy funkce Π ( x, y ) : 1. K určení stacionárních bodů vypočítáme parciální derivace ∂Π ∂Π = 50 − 2 x − 2 y a = 60 − 4 y − 2 x . ∂x ∂y

2. Pro stacionární bod musí platit (55): tedy

∂Π ∂Π =0 a = 0, ∂x ∂y

50 − 2 x − 2 y = 0 , 60 − 4 y − 2 x = 0 .

Jestliže od první rovnice odečteme druhou rovnici, dostaneme − 10 + 2 y = 0 a odtud snadno určíme y = 5 . Dosazením do první rovnice vypočítáme x = 20 . Stacionární bod tedy má souřadnice S [20, 5] . 3. Musíme ověřit, zda ve stacionárním bodě nastane lokální maximum. Vypočítáme druhé parciální derivace:


∂2z = −2 , ∂x 2

čisté

11

∂2z = −4 , ∂y 2

∂2 z = −2 . ∂x∂y

smíšené

4. Vypočítáme hodnoty determinantů D2 a D1 (56) pro stacionární bod S [20, 5] : D2 ( S ) =

−2 −2 = 4 a D1 ( S ) = − 2 = −2 . −2 −4

5. Protože determinant D2 ( S ) je kladný a determinant D1 ( S ) je záporný, nastává podle postačující podmínky v bodě S [20, 5] lokální maximum. Maximální zisk určíme vypočítáním funkční hodnoty funkce z(x, y) v bodě S [20, 5] : Π (20, 5) = 50.20 − 20 2 + 60.5 − 2.5 2 − 2.20.5 = 650 . Poznámka: Uvedené lokální extrémy funkce více proměnných se nazývají volné lokální extrémy. Kromě nich se u funkcí více proměnných vyskytují ještě vázané lokální extrémy, kdy kromě zadané funkce více proměnných je navíc určena podmínka, kterou hledané extrémy musí splňovat.

6.5. Cvičení 1.

Určete a načrtněte definiční obory funkcí: a) z = 2 x − y + b) z =

2y −1 x2 − y2

3 + 6y + 2 x

[ y ≤ 2x ∧ x ≠ 0 ] [ y ≠ ±x ] [ y ≤ 3x ]

c) z = 3 x − y + 4 xy − 7 d) z = 2 x + y 3 − 1 − y − 5 1 e) z = 5 x − 3y

[ y ≤ 1] [x ≥ 0, y > 0]

f) z = 2 xy + 3 xy − 4 x + 5 y − 6

[ ( x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∨ ( x ≤ 0 ∧ y ≤ 0) ]

2. Vypočítejte parciální derivace funkcí: a) z = x 3 − y 2 + 3 xy − 5 b) z = x − sin 2 y + x 2 cos y

[ [

∂z ∂z = 1 + 2 x cos y, = −2 cos 2 y − x 2 sin y ] ∂y ∂x

c) z = xe 3 y +1 − ln x d) z = 2 x + 3 y

∂z ∂z = 3 x 2 + 3 y, = −2 y + 3 x ] ∂y ∂x

[ [

∂z = ∂x

∂z 1 ∂z = e 3 y +1 − , = 3xe 3 y +1 ] x ∂y ∂x

1 2x + 3 y

,

∂z 3 = ] ∂y 2 2 x + 3 y


3.

Vypočtěte parciální derivace funkce z = f ( x , y ) v daném bodě A: a) z = x 2 y 2 −

y + 2 x , A = [1, 2] x

[0, 1]

c) z = e − xy , A = [-1, 0)

[0, 1]

d) z = (5x − y ) n , A = [1, 5]

[0, 0]

y − 2x , A = [2, 2] 2y + x

[ − 185 , 185 ]

Vypočítejte parciální derivace druhého řádu funkcí: a) z = x 3 − 3x 4 y + y 5 b) z = xy +

[ z xx ′′ = 6 x − 36 x 2 y , z ′′yy = 20 y 3 , z xy ′′ = z ′′yx = −12 x 3 ]

x y

c) z = e 2 y sin x d) z = y sin x + x cos y 5.

[11, 3]

b) z = ln ( y + x 2 ) , A = [0, 1]

e) z = 4.

12

[ z ′xx′ = 0, z ′xy′ = 1 −

1 2x ′ = 3] , z ′yy 2 y y

[ z xx ′′ = − e 2 y sin x , z xy ′′ = 2 e 2 y cos x , z ′′yy = 4 e 2 y sin x ] [ z xx ′′ = − y sin x , z ′xy′ = cos x − sin y , z ′′yy = − x cos y ]

Vypočítejte lokální extrémy funkcí: a) z = xy − x 2 + y 2

[nemá extrémy]

b) z = x 2 + y 2 + 4 x − 2 y

[lokální minimum v bodě [-2, 1]]

c) z = 3xy − x 3 − y 3

[lokální maximum v bodě [1, 1]]

d) z = x 3 − 6 xy + 3 y 2

[lokální minimum v bodě [2, 2]]

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

Recommend Documents