Přednáška 4
5. Modifikovaný exponenciální trend Tvar trendu
Trt = γ + α ⋅ β t ,
t = 1,..., n ( β > 0)
Parametry: α , β , γ Hodí se k modelování trendu s konstantním podílem sousedních diferencí Asymptoticky omezen (viz obr.1, α < 0,0 < β < 1, γ > 0 ) Obr.1: graf modifikovaného exp.trendu s parametry
α < 0,0 < β < 1, γ > 0
Odhad parametrů: • Rozdělení souboru pozorování na tři stejně velké třetiny o délce m (pokud není n=3m nějaká pozorování na začátku řady vynecháme) • Sečteme pozorování v jednotlivých třetinách a obdržíme
∑ 1 yt ≈ ∑ 1Trt = m ⋅ γ +
(
)
αβ β m − 1 β −1
(
)
(
)
∑ 2 yt ≈ ∑ 2 Trt = m ⋅ γ +
αβ m +1 β m − 1 β −1
∑ 3 yt ≈ ∑ 3 Trt = m ⋅ γ +
αβ 2 m +1 β m − 1 β −1
Řešením soustavy obdržíme odhady a,b,c ve tvaru 1
∑ y − ∑ 2 yt m b = 3 t ∑ 2 yt − ∑ 1 yt b −1 a= (∑ 2 yt − ∑ 1 yt ) b(b m − 1) 2 c=
∑ 1 yt −
ab(b m − 1) (b − 1) m
⇒
Přednáška 4
Příklad (T. Cipra: Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii, SNTL, Praha 1986) Odhadněte modifikovaný exponenciální trend pro časovou řadu průměrné spotřeby masa (V kg) v ČSSR v letech 1960 až 1980, která je dána ve třetím sloupci následující tabulky. Přitom časový index t pro rok 1960 položte rovný jedné. Odhadněte spotřebu masa pro rok 1981. Rok
t
1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
yt 56,8 58,6 58,6 58,3 59,1 61,7 62 62,9 69 68,9 71,9 73,7 75,8 76,7 78,4 81,1 81 81,4 83,2 84,3 85,6
Řešení Grafický záznam dat 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0
5
10
15
20
25
Přednáška 4
7
m = 21/3 = 7 ⇒ S1 = ∑ yt = 415,1 ; t =1
1/ m
14
21
t =8
t =15
S 2 = ∑ yt = 498,9 ; S3 = ∑ yt = 575 1/ 7
S − S2 575 − 498,9 = b = 3 = 0,986325 , 498,9 − 415,1 S 2 − S1 0,986325 − 1 a= ⋅ (498,9 − 415,1) = −137,611 2 0,986325 ⋅ 0,9863257 − 1
(
)
415,1 − (−137,611) ⋅ 0,986325 ⋅ c=
7
(0,986325 − 1) (0,986325 − 1) = 189,586 . 7
Odhadnutý modifikovaný exponenciální trend a současně vyrovnaná časová řada se tedy počítají podle vzorce
yˆt = 189,586 − 137,611 ⋅ 0,986325t . Předpověď pro rok 1981 je: yˆ 22 = 189,586 − 137,611 ⋅ 0,98632522 = 87,939 . Skutečná hodnota pro rok 1981 byla 86,6 kg.
6. Logistický trend Užití1: Ekonomická oblast – užití v modelech poptávky po předmětech dlouhodobé spotřeby nebo při modelování vývoje, výroby a prodeje některých druhů výrobků. Logistický trend patří mezi trendové funkce ve tvaru S – křivky. Každá S-křivka vymezuje na časové ose pět základních vývojově odlišných fází cyklu (cyklus = časové období od prosazení nových sil jako např.technologií a výrobků až do jejich zániku, poté dochází k vystřídání novými silami na kvalitativně vyšší úrovni). Jednotlivé fáze můžeme charakterizovat:
1.fáze – období, kdy se začínají formovat nové progresivní síly. 2.fáze – období, kdy se nové progresivní síly začínají plně prosazovat a rozhodující měrou ovlivňovat další vývoj. 3.fáze – období, kdy nové progresivní síly zcela ovládly další vývoj, ale už se objevují i síly opoziční, tlumící jejich účinek. 4.fáze – období, kdy vzniklé opoziční síly postupně nabývají trvalou převahu nad dosavadními silami, které pozbyly progresivnosti a v důsledku toho se vývojové tendence podstatně zpomalují. 5 fáze – období, kdy opoziční síly nabyly rozhodující převahu a zcela utlumily vývoj dosavadních sil. Vývoj se zastavuje až do doby prosazování dalších progresivních sil. 1
(Hronová, S., Hindels, R., Seger,J.: Statistika pro ekonomy, Professional Publishing, Praha 2002)
Přednáška 4 Tvar trendu Trt =
γ , 1+α ⋅ β t
t = 1, ..., n ( β > 0, γ > 0)
− ln α ln β • Je asymptoticky omezen • Derivace symetrická kolem bodu inflexe dTrt ln β =− ⋅ Trt ⋅ (γ − Trt ) γ dt • První derivace trendové křivky = růstová funkce ⇒ patří mezi tzv. S-křivky symetrické kolem inflexního bodu •
Inflexe v bodě t =
Logistický trend a jeho derivace ( α > 1,0 < β < 1, γ > 0 ) Odhady parametrů α , β , γ a)
b)
Logistický trend lze považovat za inverzi modifikovaného exponenciálního trendu ⇒ lze 1 použít metodu pro modifikovaný exponenciální trend na řadu yt Princip tzv. diferenčních odhadů parametrů: • Místo s původní řadou yt pracujeme s řadou prvních diferencí yt +1 − yt
Přednáška 4
•
dTrt ln β =− ⋅ Trt ⋅ (γ − Trt ) nahradíme trendovou složku Trt skutečnými γ dt pozorováními yt ⇒ V derivaci
dy t ln β =− ⋅ yt ⋅ (γ − yt ) dt γ • Aproximujeme dyt y − yt ≈ t +1 = yt +1 − yt = d t dt (t + 1) − t dt
……. Řada prvních diferencí •
Po úpravách obdržíme dt ln β = − ln β + ⋅ yt yt γ
•
Metoda nejmenších čtverců ⇒ odhady pro − ln β ,
•
Odhad α : α ⋅ β t =
γ yt
ln β
γ
⇒ odhady β , γ
− 1 ⇒ logaritmujeme a sečteme přes t = 1, …,n
(n + 1) ln β n ln((γ / yt ) − 1) +∑ ….Rhodesův vztah n 2 t =1 Příklad (Hronová, S., Hindels, R., Seger,J.: Statistika pro ekonomy, Professional Publishing, Praha 2002) V následující tabulce jsou uvedeny údaje o ročních počtech prodaných osobních počítačů obchodní firmou v letech 1987-2001. Tendenci ve vývoji prodeje popište logistickou trendovou funkcí.
⇒ ln α = −
čas
Rok 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
počet prodaných osobních počítačů yt 20 50 90 180 280 800 1460 2700 4800 7600 11 100 14 200 16 800 17 600 18 400
Přednáška 4 Řešení Grafický záznam dat 20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0
2
4
6
8
10
12
14
Použití modifikovaného exponenciálního trendu na řadu
16
1 ⇒ yt
1 1+α ⋅ β t 1 α t = = + ⋅β . γ γ γ Trt
Po substituci
1 1 α = Trt* , = γ * , = α * , β = β * obdržíme Trt γ γ
t
Trt* = γ * + α * ⋅ β * , což je modifikovaný exponenciální trend. Odhadneme parametry α * , β * , γ * (odhady označíme a* , b* , c* ). Poté z odhadů a* , b* , c* určíme odhady parametrů α , β , γ (označíme a, b, c), a to 1 b = b* , c = * , a = a * ⋅ c . c Odhady parametrů b* 0,483481 b 0,483481 a* 0,098726 a 1839,068 c* 5,37E-05 c 18628,04 Odhadnutý logistický trend: yˆt = Původní a vyrovnaná řada
18628,04 1 + 1839,068 ⋅ 0,48348t
Přednáška 4 20000,00 18000,00 16000,00 14000,00 12000,00 vyrovnaná řada
10000,00
původní řada
8000,00 6000,00 4000,00 2000,00 0,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Původní a vyrovnané hodnoty řady čas Původní Vyrovnané údaje hodnoty 1 20 20,93 2 50 43,23 3 90 89,20 4 180 183,55 5 280 375,69 6 800 760,65 7 1460 1507,52 8 2700 2869,93 9 4800 5097,04 10 7600 8157,72 11 11 100 11494,95 12 14 200 14329,04 13 16 800 16268,27 14 17 600 17407,26 15 18 400 18017,14
