5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 cm, BC = 4,2 cm, AC = 5,6 cm Řešení: a) rozbor: Pro strany trojúhelníku musí platit trojúhelníková nerovnost:

a + b = 9,8 cm

a+b>c

c = 7,6 cm

a + c = 11,8 cm

a+c>b

b = 5,6 cm

b + c = 13,2 cm

b+c>a

a = 4,2 cm

Trojúhelník lze narýsovat.

b) konstrukce: postup: 1. AB ; AB  7, 6 cm

l

k

2. k ; k ( A, 5,6 cm) 3. l ; l ( B, 4, 2 cm) 4. C ; C  k  l 5. trojúhelník ABC

C

A

B

c) Ověření a diskuse: Trojúhelník vyhovuje zadání a v polorovině je právě 1 řešení.

-1-

2. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: c = AB = 3,2 cm, a = BC = 4,6 cm, b = AC = 3,9 m Řešení: a) rozbor: Pro strany trojúhelníku trojúhelníková nerovnost:

a + b = 8,5 cm

a+b>c

a + c = 7,8 cm

a+c>b

b + c = 7,1 cm

b+c>a



l k

C

A c) Ověření a diskuse:

musí

2. k ; k ( A, 3,9 cm) 3. l ; l ( B, 4,6 cm) 4. C ; C  k  l 5. trojúhelník ABC

B

Trojúhelník vyhovuje zadání a v polorovině je právě 1 řešení.

-2-

platit

3. Narýsuj trojúhelník KLM, je-li dáno: m =

KL = 7,5 cm, k =

LM = 6,1 cm,

l = KM = 2,5 cm Řešení: a) rozbor: Pro strany trojúhelníku trojúhelníková nerovnost:

musí

k + l = 8,6 cm

k+ l> m

k + m = 13,6 cm

k+ m> l

l + m =10,0

l+ m> k


b) konstrukce: postup: 1. KL; KL  7,5 cm

l

2. k ; k ( K , 2,5 cm) 3. l ; l ( L, 6,1 cm) 4. M ; M  k  l 5. trojúhelník KLM

k M

L

K


-3-

platit


KL = 5,5 cm, k =

LM = 6,1 cm,


k + l = 9,6 cm k + m = 11,6 cm l + m = 9,0

musí

platit

k+

l> m

k+ m> l l+ m> k


b) konstrukce: postup: 1. KL; KL  5,5 cm

l

2. k ; k ( K , 3,5 cm) 3. l ; l ( L, 6,1 cm) 4. M ; M  k  l 5. trojúhelník KLM

k M

K

L


-4-


KL = 2,1 cm, k =

LM = 3,0 cm,


k+ l> m

k + m = 5,1 cm

k+ m> l

l + m = 6,9

l+ m> k

b) konstrukce: postup: 1. KL; KL  2,1 cm 2. k ; k ( K , 4,8 cm) 3. l ; l ( L, 3 cm) 4. M ; M  k  l 5. trojúhelník KLM

M

l K

L


-5-

platit

k + l = 7,8 cm


k

musí

6. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 9,9 cm, BC = 4,2 cm, AC = 5,6 cm Řešení: a) rozbor: Pro strany trojúhelníku trojúhelníková nerovnost:

a + b = 9,8 cm

musí

platit

a+ b> c NEPLATÍ

a + c = 14,1 cm

a+ c> b

b + c =15,5 cm

b+ c> a

Trojúhelník NELZE narýsovat.

-6-

7. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 cm, BC = 4,2 cm,   35 Řešení: a) rozbor: Vrchol C leží na polopřímce BX a na kružnici k (B, 4,2 cm).


k

2. k ; k ( B, 4, 2 cm) 3.;

C

ABX ;

ABX  35

4. C; C  k   BX 5. trojúhelník ABC

X

B

A

c) Ověření a diskuse: Polopřímka BX má s kružnicí k právě 1 společný bod, proto má úloha v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zadání úlohy. (Je to podle věty sus.)

-7-

8. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 4,5 cm, AC = 4,2 cm,   84 Řešení: a) rozbor: Vrchol C leží na polopřímce AX a na kružnici k (A, 4,2 cm).

b) konstrukce:

C

postup: 1. AB ; AB  4,5 cm

k

2. k ; k ( A, 4, 2 cm) 3.; BAX ; BAX  84 4. C; C  k   AX 5. trojúhelník ABC

X

A

B

c) Ověření a diskuse: Polopřímka AX má s kružnicí k právě 1 společný bod, proto má úloha v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zadání úlohy. (Je to podle věty sus.)

-8-

9. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AC = 5,3 cm, BC = 4,1 cm,   111 Řešení: a) rozbor: Vrchol B leží na polopřímce CX a na kružnici k (C, 4,1 cm).

b) konstrukce: postup: 1. AC; AC  5,3 cm

C

2. k ; k (C, 4,1 cm) 3.;

X B

ACX ;

ACX  111

4. B; B  k   CX 5. trojúhelník ABC

A k

c) Ověření a diskuse: Polopřímka CX má s kružnicí k právě 1 společný bod, proto má úloha v polorovině právě 1 řešení, které vyhovuje zadání úlohy. (Je to podle věty sus.)

-9-

10. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 cm,   37 ,   58 a) rozbor: Vrchol B leží na polopřímce CX a na kružnici k (C, 4,1 cm). Pro velikosti úhlů musí platit, že velikost součtu dvou úhlů je menší než 180°.     95     180 Trojúhelník lze narýsovat.

b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  7,6 cm C

X

2.

BAX ;

BAX  58

3.

ABY ;

ABY  37

4. C; C  AX   BY 5. trojúhelník ABC

Y

A

B

c) Ověření a diskuse: Polopřímky se protínají právě v jednom bodě. Proto má úloha právě jedno řešení, které vyhovuje zadání úlohy. (Je to podle věty usu).

- 10 -

11. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 8,4 cm,   112 ,   15 Řešení: a) rozbor: Pro velikosti úhlů musí platit, že velikost součtu dvou úhlů je menší než 180°.     127     180 Trojúhelník lze narýsovat.

b) konstrukce: Y C

postup: 1. AB; AB  8, 4 cm 2.

BAX ;

BAX  15

3.

ABY ;

ABY  112

4. C; C  AX   BY 5. trojúhelník ABC X A

B

c) Ověření a diskuse: Polopřímky se protínají právě v jednom bodě. Proto má úloha právě jedno řešení, které vyhovuje zadání úlohy. (Je to podle věty usu).

- 11 -

12. Sestroj trojúhelník ABC , je-li AB  5 cm, AC  4,6 cm,   580 . Řešení: a) rozbor: Vrchol C leží: na  BX a na k ( A, 4,6 cm)

b) konstrukce: postup: 1. AB ; AB  5 cm

k C

2.

ABX ;

ABX  580

3. k ; k ( A, 4,6 cm) 4. C ; C  k   BX 5. trojúhelník ABC

X

C´ A

B

c) Ověření a diskuse: Polopřímka BX má s kružnicí k právě 2 společné body, proto má úloha v polorovině právě 2 řešení: ABC, ABC ' . Oba trojúhelníky vyhovují zadání úlohy. (Je to podle věty ssu.)

- 12 -

Konstrukce s využitím dalších prvků: Příklady jsou dány obecně. 1. trojúhelník ABC (c,  , vc ) : Řešení: a) rozbor: C leží na: p || c ve vzdálenosti v c

 AX ,

XAB  

b) konstrukce (obecně pouze postup, konkrétní příklady viz níže): postup: 1. AB ; AB  c 2.

XAB;

XAB  

3. p; p c  p, c  vC 4. C ; C  p  AX 5. trojúhelník ABC c) Diskuse a ověření: Polopřímka AX protíná přímku p právě v jednom bodě, úloha má v polorovině právě 1 řešení.

- 13 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 3,8 cm, vc = 3 cm, α = 100o. a) rozbor: C leží na:

 AX ,

p c ve vzdálenosti v c

XAB  

b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c  3,8 cm

X

2. C

p

XAB;

XAB  100

3. p; p c  p, c  3 cm 4. C; C  AX  p 5. ABC

A

B

c) Diskuse a ověření: Polopřímka AX protíná přímku p právě v jednom bodě, úloha má v polorovině právě 1 řešení.

- 14 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: α = 87°, c = 3 cm, vc = 2,7 cm. Řešení: a) rozbor: C leží na:

 AX ,

p c ve vzdálenosti v c

XAB  

b) konstrukce postup: 1. AB; AB  c  3 cm

X C

2.

p

XAB;

XAB  87

3. p; p c  p, c  2,7 cm 4. C; C  AX  p 5. ABC

A

B

c) Diskuse a ověření: Polopřímka AX protíná přímku p právě v jednom bodě, úloha má v polorovině právě 1 řešení.

- 15 -

2. trojúhelník ABC (c,  , t c ) : Řešení: a) rozbor: C leží na:  AX , XAB   a

k ; k (C0 , t c ), C0 je střed strany AB

b) konstrukce (obecně pouze postup, konkrétní příklady viz níže): postup: 1. AB ; AB  c 2.

XAB;

XAB  

3. C 0 ; C0  AB, C0 A  C0 B 4. k ; k (C0 , t c ) 5. C ; C  AX  k 6. trojúhelník ABC c) Diskuse a ověření: Obecně kružnice a přímka mají 0, 1 nebo 2 společné body. Pokud k neprotíná  AX , není žádné řešení, dotýká-li se  AX , je právě 1 řešení a protíná-li k  AX , jsou právě 2 řešení v polorovině.

- 16 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 3,8 cm, tc = 2,7 cm, α = 52°. Řešení: a) rozbor: C leží na:  AX ,

XAB  



C

2. k

X

A

C0

3. 4. 5. 6.

B

XAB;

XAB  52

C0 ; C0  AB  AC0  BC0 k ; k (C0 , 2,7 cm) C; C  AX  k ABC

c) Diskuse a ověření: Kružnice k a polopřímka  AX má právě 1 společný bod. Správným řešením je právě jeden trojúhelník.

- 17 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, tc = 3,4 cm, α = 110°. Řešení: a) rozbor: C leží na:  AX ,

XAB  


b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c  5 cm 2.

C

k

X A

C0

B

3. 4. 5. 6.

XAB;

XAB  110

C0 ; C0  AB  AC0  BC0 k ; k (C0 , 3, 4 cm) C; C  AX  k ABC


- 18 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4,2 cm, α = 75°, tc = 4,3 cm. Řešení: a) rozbor: C leží na:  AX ,

XAB  


b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c  4, 2 cm

C

2.

k

3. 4. 5. 6.

XAB;

XAB  75

C0 ; C0  AB  AC0  BC0 k ; k (C0 , 4,3 cm) C; C  AX  k ABC

X A

C0

B


- 19 -

4.Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4,2 cm, α = 75°, tb = 4,3 cm. Řešení: a) rozbor: C leží na:  AX ,  AX  AB0

AB0  CB0 K sestrojení je nutné využít středovou souměrnost se středem v bodě B0, která bod A zobrazí jako bod C.

b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c  4, 2 cm C

2.

k

XAB  75

3. k ; k ( B, 4,3 cm) 4. B0 ; B0  AX  k 5. C; SB0 : A  C

X B0

A

XAB;

6. ABC

B


- 20 -

3. trojúhelník ABC (c, vc , tc ) : Řešení: a) rozbor: C leží na: p // c , p, c  vc k ; k (C0 , t c ), C0 je střed strany c

b) konstrukce (obecně pouze postup, konkrétní příklady viz níže): postup: 1. AB ; AB  c 2. p ; p, c  vc 3. C 0 ; C0  AB, C0 A  C0 B 4. k ; k (C0 , t c ) 5. C ; C  p  k 6. trojúhelník ABC c) Diskuse a ověření: Obecně kružnice a přímka mají 0, 1 nebo 2 společné body. Pokud t c < v c , není žádní řešení (kružnice a přímka se neprotnou), když t c = v c , je v polorovině právě 1 řešení (kružnice se přímky dotýká) a pokud t c > v c , jsou v polorovině právě 2 řešení (kružnice a přímka se protínají ve dvou bodech.)

- 21 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, tc = 3,4 cm, vc = 3 cm. Řešení: a) rozbor: C leží na: p // c , p, c  vc k ; k (C0 , t c ), C0 je střed strany c

b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c  5 cm

k C´

C

p

A

2. p; p c  p, c  3 cm 3. 4. 5. 6.

C0 ; C0  AB  AC0  BC0 k ; k (C0 , 3, 4 cm) C; C  p  k ABC

B

C0

c) Diskuse a ověření: Kružnice a přímka mají 2 společné body. V polorovině jsou právě 2 řešení.

- 22 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4,5 cm, vc = 2,5 cm, tc = 3 cm. Řešení: a) rozbor: C leží na: p // c , p, c  vc k ; k (C0 , t c ), C0 je střed strany c

b) konstrukce: k

postup: 1. AB; AB  c  4,5 cm

C´

C

p

A

C0

2. p; p c  p, c  2,5 cm 3. 4. 5. 6.

B

C0 ; C0  AB  AC0  BC0 k ; k (C0 , 3 cm) C; C  p  k ABC

c) Diskuse a ověření: Kružnice a přímka mají 2 společné body. V polorovině jsou právě 2 řešení.

- 23 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 3,6 cm, va = 3,3 cm, tc = 6 cm. Řešení: a) rozbor: C leží na:  BA1 , kde A1 je pata kolmice, A1  BC , (tzn. va  AA1 ) k ; k (C0 , t c ), C0 je střed strany c Bod A1 leží na Thaletově kružnici nad stranou AB.

b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c  4,5 cm C

k

2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0 3. t; t (C0 , r  C0 A ) 4. l; l ( A, 3,3 cm) 5. A1; A1  t  l 6. k ; k (C0 , 6 cm)

l

7. C; C  BA1  k 8. ABC

A1 t

A

C0

B

c) Diskuse a ověření: Kružnice l a kružnice t mají právě 1 společný bod A1. Polopřímka BA1 a kružnice k mají právě 1 společný bod. V polorovině je právě 1 trojúhelník, který splňuje zadání úlohy.

- 24 -

4. trojúhelník ABC (c, vc , va ) : Řešení: a) rozbor: C leží na:  BA1 , A1 je pata v a p // c ve vzdálenosti v c

b) konstrukce (obecně pouze postup, konkrétní příklady viz níže): postup: 1. AB; AB  c 2. p; p c  p, c  vc 3. C0 ; C0  AB  C0 A  C0 B c 4. t ; t (C0 , ) 2 5. k ; k ( A, va ) 6. A1; A1  t  k 7. C; C  p  BA1 8. ABC c) Diskuse a ověření: Dvě kružnice k a h mohou mít dva ( v a < c ), jeden ( v a = c a A1  B , trojúhelník je pravoúhlý), nebo žádný společný bod A1 ( v a > c ).

- 25 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b = 4,5 cm, va = 3,4 cm, vb = 4 cm. Řešení: a) rozbor: B leží na:  CA1 , A1 je pata v a p // c ve vzdálenosti vb

b) konstrukce: postup: 1. AC; AC  b  4,5 cm

C

2. p; p b  p, b  4 cm

k

t

3. B0 ; B0  AC  B0 A  B0C 4. t; t ( B0 , r  B0 A )

B0

p

A1

A

5. 6. 7. 8.

k ; k ( A, 3, 4 cm) A1; A1  t  k B; B  CA1  p ABC

B

c) Diskuse a ověření: Dvě kružnice k a t mají v polorovině 1 společný bod A1. Polopřímka CA1 a přímka p mají 1 společný bod B. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině.

- 26 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5,2 cm, vc = 4,1 cm, va = 3,8 cm. Řešení: a) rozbor: C leží na:  BA1 , A1 je pata v a p // c ve vzdálenosti v c


C

2. p; p c  p, c  4,1 cm

p

k

3. C0 ; C0  AB  C0 A  C0 B

A1

4. t; t (C0 , C0 A ) t

A

C0

5. 6. 7. 8.

k ; k ( A, 3,8 cm) A1; A1  t  k C; C  p  BA1 ABC

B

c) Diskuse a ověření: Dvě kružnice k a t mají v polorovině 1 společný bod A1. Polopřímka BA1 a přímka p mají 1 společný bod C. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině.

- 27 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 6,3 cm, vc = 4,6 cm, va = 5,4 cm. Řešení: a) rozbor: C leží na:  BA1 , A1 je pata v a p // c ve vzdálenosti v c

b) konstrukce: k

postup: 1. AB; AB  c  6,3 cm

C

2. p; p c  p, c  4,6 cm

p

3. C0 ; C0  AB  C0 A  C0 B A1

4. t; t (C0 , C0 A ) 5. 6. 7. 8.

t

A

C0

k ; k ( A, 5, 4 cm) A1; A1  t  k C; C  p  BA1 ABC

B

c) Diskuse a ověření: Dvě kružnice k a t mají v polorovině 1 společný bod A1. Polopřímka BA1 a přímka p mají 1 společný bod C. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině.

- 28 -

5. trojúhelník ABC (c, t a , vc ) Řešení: a) rozbor: Doplníme na rovnoběžník ABDC : D leží na: p // c a k ( A,2.t a ) Nebo využijeme vlastnosti, že střední příčka spojuje středy stran (a půlí příslušnou výšku na 2 shodné části): C leží na:  BA1 , A1 je pata v a ,

l ( A, t a )

b) konstrukce (obecně pouze postup, konkrétní příklady viz níže): postup: jsou 2 různé 1. AB; AB  c

1. AB ; AB  c

2. p; p c  p, c  vc

2. n ; n, c 

3. 4. 5. 6. 7.

k ; k ( A, 2  ta ) D; D  k  p A1; A1  AD  A1 A  A1D C; C  BA1  p ABC

va 2

3. l ; l ( A, t a ) 4. A1 ; A1  k  n,  BA1 5. C ; S ( A1 ) : B  C 6. ABC

c) Diskuse a ověření: Kružnice a přímka mají dva, jeden nebo žádný společný bod. Jestliže je 2.t a > v c , kružnice k protíná přímku p ve dvou bodech a jsou v polorovině právě 2 řešení, když 2.t a = v c , kružnice k se dotýká přímky p a je právě 1 řešení a když 2.t a < v c , kružnice k neprotíná přímku p a není žádné řešení.

- 29 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, vc = 4 cm, ta = 3,5 cm Řešení: a) rozbor: Doplníme na rovnoběžník ABDC : D leží na: p // c k ( A,2.t a )

b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c  5 cm 2. p; p c  p, c  4 cm

C p

D k

l

A

3. 4. 5. 6. 8.

k ; k ( A, 7 cm) D; D  k  p l; l ( D, 5 cm) C; C  l  p ABC

B

c) Diskuse a ověření: Kružnice k a přímka p mají dva společné body. Dostáváme 2 řešení v polorovině.

- 30 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4,2 cm, vc = 4,3 cm, ta = 4,7 cm Řešení: a) rozbor: Doplníme na rovnoběžník ABDC : D leží na: p // c k ( A,2.t a )

b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c  4, 2 cm k

C p

D

l

A

2. p; p c  p, c  4,3 cm 3. 4. 5. 6. 8.

k ; k ( A, 9, 4 cm) D; D  k  p l; l ( D, 4, 2 cm) C; C  l  p ABC

B

c) Diskuse a ověření: Kružnice k a přímka p mají dva společné body. Dostáváme 2 řešení v polorovině.

- 31 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 3,8 cm, vc = 3,8 cm, ta = 1,7 cm Řešení: a) rozbor: Doplníme na rovnoběžník ABDC : D leží na: p || c k ( A,2.t a )


p

2. p; p c  p, c  3,8 cm 3. 4. 5. 6. 8.

k A

B

c) Diskuse a ověření: Kružnice k a přímka p nemají společný bod. Tato úloha nemá řešení.

- 32 -

k ; k ( A, 3, 4 cm) D; D  k  p l; l ( D, 3,8 cm) C; C  l  p ABC

6. trojúhelník ABC (c, va , vb ) Řešení: a) rozbor: Bod C leží na:  AB1  BA1

b) konstrukce (obecně pouze postup, konkrétní příklady viz níže): postup: 1. AB; AB  c 2. C0 ; C0  AB  C0 A  C0 B 3. t; t (C0 , r  C0 B ) 4. 5. 6. 7. 8. 9.

k ; k ( A, va )

A1; A1  k  t l; l ( B, vb ) B1; B1  l  t C; C  BA1   AB1 ABC

c) Diskuse a ověření: Jestliže délky výšek budou větší než délka strany c , nebude mít úloha žádné řešení. Kružnice se neprotnou. Jestliže délky obou výšek budou rovny délce strany c , obě paty by byly ve vrcholech A a B a nebude žádné řešení. Jestliže délka jedné výšky bude rovna c a délka druhé bude menší než c , bude v polorovině právě jedno řešení. Jestliže délky obou výšek bude menší než délka c , budou v polorovině právě 2 řešení.

- 33 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 3,6 cm, va = 3,3 cm, vb = 2,8 cm Řešení: a) rozbor: Bod C leží na:  AB1  BA1


C

2. C0 ; C0  AB  C0 A  C0 B

k

l

3. t; t (C0 , r  C0 B )

B1

4. 5. 6. 7. 8. 8.

t A1 A

C0

B

k ; k ( A, 3,6 cm) A1; A1  k  t l; l ( B, 2,8 cm) B1; B1  l  t C; C  BA1   AB1 ABC

c) Diskuse a ověření: Jestliže délka jedné výšky bude rovna c a délka druhé bude menší než c , bude v polorovině právě jedno řešení.

- 34 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 7,2 cm, va = 6,3 cm, vb = 5,8 cm. Řešení: a) rozbor: Bod C leží na:  AB1  BA1

b) konstrukce: C

k

l

postup: 1. AB; AB  c  7, 2 cm 2. C0 ; C0  AB  C0 A  C0 B 3. t; t (C0 , r  C0 B )

B1

4. 5. 6. 7. 8. 8.

A1

t

A

C0


B

c) Diskuse a ověření: Jestliže délky obou výšek bude menší než délka c , budou v polorovině právě 2 řešení.

- 35 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, va = 4,5 cm, vb = 3,8 cm Řešení: a) rozbor: Bod C leží na:  AB1  BA1


C k

2. C0 ; C0  AB  C0 A  C0 B

l

3. t; t (C0 , r  C0 B )

B1

A1

4. 5. 6. 7. 8. 8.

t

A

C0

B


c) Diskuse a ověření: Jestliže délky obou výšek bude menší než délka c , budou v polorovině právě 2 řešení.

- 36 -

7. trojúhelník ABC (c, va , tc ) a) rozbor: Vrchol C leží na:  BA1

l (C0 , t c ) b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c 2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0 3. t; t (C0 , r  AC0 ) 4. k ; k ( A, va ) 5. A1; A1  t  k 6. l; l (C0 , tc ) 7. C; C  l   BA1 8.

ABC

c) Diskuse a ověření: Jestliže v a > c , úloha nemá řešení. Jestliže v a = c , bude trojúhelník pravoúhlý a v rovině bude právě 1 řešení. Jestliže v a < c , budou mít kružnice h a k 2 společné body a v rovině budou právě 2 řešení.

- 37 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, va = 3,5 cm, tc = 3 cm Řešení: a) rozbor: Vrchol C leží na:  BA1 l (C0 , t c )

b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c  5 cm 2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0

k

3. t; t (C0 , r  AC0 ) 4. 5. 6. 7. 8.

C A1

k ; k ( A,3,5 cm) A1; A1  t  k

t

l; l (C0 ,3 cm) C; C  l   BA1 ABC

A

C0

l

B

c) Diskuse a ověření: Kružnice t a k mají v polorovině právě 1 společný bod. Vznikne právě jedna polopřímka BA1 a ta se protne s kružnicí l právě v 1 bodě. Řešením je právě 1 trojúhelník ABC.

- 38 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 7,4 cm, va = 2,8 cm, tc = 3,4 cm Řešení: a) rozbor: Vrchol C leží na:  BA1 l (C0 , t c )

b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c  7, 4 cm 2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0 3. t; t (C0 , r  AC0 ) 4. k ; k ( A, 2,8 cm) 5. A1; A1  t  k 6. l; l (C0 ,3, 4 cm) 7. C; C  l   BA1 8. ABC

k

A1

t

l

C

A

C0

B

c) Diskuse a ověření: Kružnice t a k mají v polorovině právě 1 společný bod. Vznikne právě jedna polopřímka BA1 a ta se protne s kružnicí l právě v 1 bodě. Řešením je právě 1 trojúhelník ABC.

- 39 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4,2 cm, va = 4,3 cm, tc = 4,2 cm Řešení: a) rozbor: Vrchol C leží na:  BA1 l (C0 , t c )


k

2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0 3. t; t (C0 , r  AC0 ) 4. 5. 6. 7. 8.

l

k ; k ( A, 4,3 cm) A1; A1  t  k l; l (C0 , 4, 2 cm) C; C  l   BA1 ABC

t

A

C0

B

c) Diskuse a ověření: Kružnice t a k nemají v polorovině společný bod. Zadaná úloha nemá řešení.

- 40 -

8. Sestrojte trojúhelník ABC (c, t a , t b ) a) rozbor: Těžiště T získáme podle věty sss Platí: 2  TB0  TB Vrchol C leží na:  BA0 S ( A0 ) : B  C b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c

2 2. k ; k ( A, r  ta ) 3 2 3. l; l ( B, r  tb ) 3 4. T ; T  k  l 5. A0 ; A0  AT  AA0  ta 6. C; S ( A0 ) : B  C 7. ABC c) Diskuse a ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení.

- 41 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, ta = 4,5 cm, tb = 3,6 cm a) rozbor: Těžiště T získáme podle věty sss Platí: 2  TB0  TB Vrchol C leží na:  BA0 S ( A0 ) : B  C


2 2. k ; k ( A, r  ta  3 cm) 3 2 3. l; l ( B, r  tb  2, 4 cm) 3 4. T ; T  k  l

C

k

l

5. A0 ; A0  AT  AA0  ta  4,5 cm

B0

6. B0 ; B0  BT  BB0  tb  3,6 cm

T

7. C; C  AB0   BA0 8. ABC

A

A0

B

c) Diskuse a ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení.

- 42 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 6,2 cm, ta = 4,2 cm, tb = 4,8 cm Řešení: a) rozbor: Těžiště T získáme podle věty sss Platí: 2  TB0  TB Vrchol C leží na:  BA0 S ( A0 ) : B  C


k

2 2. k ; k ( A, r  ta  2,8 cm) 3 2 3. l; l ( B, r  tb  3, 2 cm) 3 4. T ; T  k  l 5. A0 ; A0  AT  AA0  ta  4, 2 cm

l

A

6. B0 ; B0  BT  BB0  tb  4,8 cm 7. C; C  AB0   BA0 8. ABC

B

c) Diskuse a ověření: Trojúhelník ABT NELZE sestrojit podle trojúhelníkové nerovnosti: 2,8 + 3,2 = 6,0 6,0 < 6,2 (součet dvou stran trojúhelníku musí být větší než strana třetí). Trojúhelník ABC nemá řešení.

- 43 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 7 cm, ta = 6,9 cm, tb = 8,1 cm Řešení: a) rozbor: Těžiště T získáme podle věty sss Platí: 2  TB0  TB Vrchol C leží na:  BA0 S ( A0 ) : B  C


2 2. k ; k ( A, r  ta  4, 6 cm) 3 2 3. l; l ( B, r  tb  5, 4 cm) 3 4. T ; T  k  l 5. A0 ; A0  AT  AA0  ta  6,9 cm 6. B0 ; B0  BT  BB0  tb  8,1 cm

C

B0 A0

k

7. C; C  AB0   BA0 8. ABC

l

T

A

B


- 44 -

9. Sestrojte trojúhelník ABC (c, t a , t c ) a) rozbor: Těžiště T získáme podle věty sss . Vrchol C leží na:  C0T

l (C0 , t c ) b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  c 2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0

2 3. k ; k ( A, r  ta ) 3 1 4. l; l (C0 , r  tc ) 3 5. T ; T  k  l 6. C; C  C0T  CC0  tc 7. ABC c) Diskuse a ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení.

- 45 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, ta = 4,5 cm, tc = 3,6 cm a) rozbor: Těžiště T získáme podle věty sss . Vrchol C leží na:  C0T l (C0 , t c )


C

2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0

2 3. k ; k ( A, r  ta  3 cm) 3 1 4. l; l (C0 , r  tc  1, 2 cm) 3 5. T ; T  k  l

T

A

6. C; C  C0T  CC0  tc  3,6 cm

C

0

B

7. ABC c) Diskuse a ověření: Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení.

3,01 cm

- 46 -

1,21 cm

3,61 cm

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 7,2 cm, ta = 6,9 cm, tc = 6,3 cm Řešení: a) rozbor: Těžiště T získáme podle věty sss . Vrchol C leží na:  C0T

l (C0 , t c )


C

2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0

2 3. k ; k ( A, r  ta  4, 6 cm) 3 1 4. l; l (C0 , r  tc  2,1 cm) 3 5. T ; T  k  l T

6. C; C  C0T  CC0  tc  6,3 cm 7.

ABC

A

C

0

B


- 47 4,63 cm

2,11 cm

6,31 cm

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 6,3 cm, ta = 5,1 cm, tc = 5,7 cm Řešení: a) rozbor: Těžiště T získáme podle věty sss . Vrchol C leží na:  C0T

l (C0 , t c )


C

2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0

2 3. k ; k ( A, r  ta  3, 4 cm) 3 1 4. l; l (C0 , r  tc  1,9 cm) 3 5. T ; T  k  l

k T l

6. C; C  C0T  CC0  tc  5,7 cm 7.

ABC A

C

0

B


3,40 cm- 48 -

1,91 cm

5,71 cm

10. Sestrojte trojúhelník ABC ( t a , t b , t c ) a) rozbor: Budeme řešit pomocí pomocného trojúhelníku ADT (podle věty sss):

2 2 2 AT  ta , AD  tb , TD  tc 3 3 3 b) konstrukce: postup:

2 1. AT ; AT  ta 3 2 2. k ; k ( A, r  tb ) 3 2 3. l; l (T , r  tc ) 3 4. D; D  k  l 5. C; S (T ) : D  C 6. C0 ; C0  DT  DC0  TC0 7. B; S (C0 ) : A  B 8. ABC c) Diskuse a ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení.

- 49 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ta = 3 cm, tb = 4,5 cm, tc = 6 cm a) rozbor: Budeme řešit pomocí pomocného trojúhelníku ADT (podle věty sss): 2 2 2 AT  ta , AD  tb , TD  tc 3 3 3

b) konstrukce: postup: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

C

2 AT ; AT  ta  2 cm 3 2 k ; k ( A, r  tb  3 cm) 3 2 l; l (T , r  tc  4 cm) 3 D; D  k  l C; S (T ) : D  C C0 ; C0  DT  DC0  TC0

T

7. B; S (C0 ) : A  B 8. ABC

A C0 B D

c) Diskuse a ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení. 3,02 cm

1,99 cm

- 50 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ta = 6,3 cm, tb = 5,1 cm, tc = 5,7 cm Řešení: a) rozbor: Budeme řešit pomocí pomocného trojúhelníku ADT (podle věty sss): 2 2 2 AT  ta , AD  tb , TD  tc 3 3 3

b) konstrukce: postup:

2 1. AT ; AT  ta  4, 2 cm 3 2 2. k ; k ( A, r  tb  3, 4 cm) 3 2 3. l; l (T , r  tc  3,8 cm) 3 4. D; D  k  l 5. C; S (T ) : D  C

T

6. C0 ; C0  DT  DC0  TC0 7. B; S (C0 ) : A  B 8. ABC

A

B

l

k

c) Diskuse a ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení.

3,40 cm

4,17 cm

- 51 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ta = 6,9 cm, tb = 8,1 cm, tc = 3,3 cm Řešení: a) rozbor: Budeme řešit pomocí pomocného trojúhelníku ADT (podle věty sss): 2 2 2 AT  ta , AD  tb , TD  tc 3 3 3

b) konstrukce: postup:

2 1. AT ; AT  ta  4, 6 cm 3 2 2. k ; k ( A, r  tb  5, 4 cm) 3 2 3. l; l (T , r  tc  2, 2 cm) 3 4. D; D  k  l 5. C; S (T ) : D  C 6. C0 ; C0  DT  DC0  TC0

T k

B l A

7. B; S (C0 ) : A  B 8. ABC c) Diskuse a ověření: Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1 řešení.

5,42 cm

4,58 cm

- 52 -

2,23 cm

11. Sestrojte trojúhelník ABC (c  6 cm, vb  4,5 cm,   60) Řešení: a) rozbor: Tuto úlohu můžeme řešit pomocí posunutí nebo pomocí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrcholů úhlu o velikosti 60 0 , pod kterou vidíme danou úsečku AB. Vrchol C leží na:  AB1 na příslušném oblouku k ( S , SA ) Jinou možností je využití množiny bodů dané vlastnosti. Konstrukci trojúhelníku začínáme sestrojením úhlu γ. b) konstrukce: Postup 1: 1. XAY ;

XAY  60

C

2. p; p CX ; Xp  4,5 cm 3. B; B  p   CY

p

4. k ; k  b; c  6 cm 

Y

5. A; A  k   CX 6. ABC X

B

k

A

c) Diskuse a ověření: Průnikem polopřímky a přímky p je právě jeden bod B. Kružnice k a polopřímka CX má právě jeden společný bod A. Řešením úlohy je právě jeden trojúhelník ABC.

- 53 -

Postup 2 (úsekový úhel): 1. AB; AB  6 cm

k

2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0

C

3. oAB ; C0  oAB  oAB  AB

BAX ; BAX  60 (úsekový 4. úhel) 5. XAY ; XAY  90

B1 t

6. S ; S  oAB   AY

S Y

7. k ; k ( S , SA ) 8. t; t (C0 , C0 A  3 cm)

l

oAB

A

9. l; l ( B, 4,5 cm) 10. B1; B1  t  l 11. C; C  AB1  k 12. ABC c) Diskuse a ověření:

C0

B

X

V polorovině ABY existuje právě jeden střed S . Polopřímka AB1 protíná oblouk kružnice k v jediném bodě C. V polorovině je právě 1 řešení.

- 54 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, vb = 4,5 cm, γ = 50° Řešení: a) rozbor: Tuto úlohu můžeme řešit pomocí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrcholů úhlu o velikosti 60 0 , pod kterou vidíme danou úsečku AB. Vrchol C leží na:  AB1 na příslušném oblouku k ( S , SA )

b) konstrukce: postup 1: 1. XCY ;

XCY  50

2. p, p  CX  p, C  vb  4,5 cm 3. B; B  CY  p 4. k ; k ( B,5 cm) 5. A; A  k   CX 6. ABC

- 55 -

1. AB; AB  5 cm 2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0

k

C


l

4. BAX ; BAX  50 (úsekový úhel) 5. XAY ; XAY  90

o

AB

6. S ; S  oAB   AY

S

7. k ; k ( S , SA )

t

Y

8. t; t (C0 , C0 A  2,5 cm) 9. l; l ( B, 4,5 cm) 10. B1; B1  t  l 11. C; C  AB1  k 12. ABC

A

C0

X

c) Diskuse a ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S . Polopřímka AB1 protíná oblouk kružnice k v jediném bodě C. V polorovině je právě 1 řešení.

- 56 -

B

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4 cm, vb = 3,5 cm, γ = 30° Řešení: a) rozbor: Tuto úlohu můžeme řešit pomocí posunutí nebo pomocí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrcholů úhlu o velikosti 500 , pod kterou vidíme danou úsečku AB. Vrchol C leží na: p; p c  p, c  vc na příslušném oblouku k ( S , SA )

b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  4 cm 2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0

C k o


BAX ; BAX  30 4. úhel) 5. XAY ; XAY  90

AB

(úsekový

Y l

S

6. S ; S  oAB   AY 7. k ; k ( S , SA ) 8. t; t (C0 , C0 A ) 9. l; l ( B,3,5 cm) 10. B1; B1  t  l 11. C; C  AB1  k 12. ABC

t A

C

0

B

X

c) Diskuse a ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S . Polopřímka AB1 protíná oblouk kružnice k v jediném bodě C. V polorovině je právě 1 řešení.

- 57 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4 cm, vb = 4,3 cm, γ = 40° Řešení: a) rozbor: Tuto úlohu můžeme řešit pomocí posunutí nebo pomocí úsekového úhlu. Hledáme množinu vrcholů úhlu o velikosti 500 , pod kterou vidíme danou úsečku AB. Vrchol C leží na: p; p c  p, c  vc na příslušném oblouku k ( S , SA )

b) konstrukce: postup: 1. AB; AB  4 cm

o

AB

k

2. C0 ; C0  AB  AC0  BC0

l Y

3. oAB ; C0  oAB  oAB  AB 4.

BAX ;

BAX  40 (úsekový úhel)

5.

XAY ;

XAY  90 S

6. S ; S  oAB   AY 7. k ; k ( S , SA )

t

8. t; t (C0 , C0 A ) 9. l; l ( B, 4,3 cm) 10. B1; B1  t  l 11. C; C  AB1  k 12. ABC

A

C

0

B

X

c) Diskuse a ověření: V polorovině ABY existuje právě jeden střed S . Polopřímka AB1 neprotíná oblouk kružnice k . V polorovině není řešení.

- 58 -

12. trojúhelník ABC (t a , t c , vc ) a) rozbor: Využijeme vlastnosti výšky v c a potom buď zvolíme C 0 pomocí t c sestrojíme C nebo 2 naopak. Najdeme T a pomocí t a najdeme A a podle S (C0 ) : A  B . 3 b) konstrukce:

1. CC0 ; CC0  tc 2. X ; X  CC0  XC  XC0 3. t ; t ( X ; XC ) 4. k ; k (C ; vc ) 5. C1 ; C1  k  t 2 6. T ; T  CC0  TC  tc 3 2 7. l ; l (T , ta 3 8. A; A  l   C0C1 9. B; S (C0 ) : A  B 10. ABC c) diskuse:

- 59 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ta  3 cm, tc  4,5 cm, vc  4 cm Řešení: a) rozbor Využijeme vlastnosti výšky v c a potom buď zvolíme C 0 pomocí t c sestrojíme C nebo naopak. Najdeme a pomocí T 2 a podle A t a najdeme 3 S (C0 ) : A  B .

b) konstrukce: Postup: 1. CC0 ; CC0  tc  4,5 cm

k C

2. X ; X  CC0  XC  XC0

t

3. t ; t ( X ; XC ) 4. k ; k (C ; vc  4 cm) 5. C1 ; C1  k  t

X

2 6. T ; T  CC0  TC  tc  3 cm 3 2 7. l ; l (T , ta  2 cm) 3 8. A; A  l   C0C1

C A

9. B; S (C0 ) : A  B

1 B'

A'

B

10. ABC c) diskuse: Kružnice k a t mají 2 společné body. Řešením jsou 2 body C1. Kružnice k a přímka CC1 mají 2 společné body A, A‘. V polorovině jsou 2 různá řešení, v rovině celkem 4 různá řešení.

- 60 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ta  7,5 cm, tc  6 cm, vc  3 cm Řešení: a) rozbor: Využijeme vlastnosti výšky v c a potom buď zvolíme C 0 pomocí naopak. t c sestrojíme C nebo 2 Najdeme T a pomocí t a najdeme 3 A a podle S (C0 ) : A  B .

b) konstrukce: Postup: 1. CC0 ; CC0  tc  6 cm

2. X ; X  CC0  XC  XC0 3. t ; t ( X ; XC )

C

k

A t C

4. k ; k (C ; vc  3 cm)

1 X

5. C1 ; C1  k  t

B'

2 6. T ; T  CC0  TC  tc  4 cm 3 2 7. l ; l (T , ta  5 cm) 3 8. A; A  l   C0C1

A'

9. B; S (C0 ) : A  B 10. ABC

B

c) diskuse:

Kružnice k a t mají 2 společné body. Řešením jsou 2 body C1. Kružnice k a přímka CC1 mají 2 společné body A, A‘. V polorovině jsou 2 různá řešení, v rovině celkem 4 různá řešení.

- 61 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ta  7,5 cm, tc  6 cm, vc  6,5 cm Řešení: a) rozbor: Využijeme vlastnosti výšky v c a potom buď zvolíme C 0 pomocí t c sestrojíme C nebo naopak. Najdeme a T 2 pomocí t a najdeme A a podle 3 S (C0 ) : A  B .

b) konstrukce: Postup: 1. CC0 ; CC0  tc  6 cm

2. X ; X  CC0  XC  XC0

C

k

3. t ; t ( X ; XC ) t

4. k ; k (C ; vc  6,5 cm) 5. C1 ; C1  k  t

X

2 6. T ; T  CC0  TC  tc  4 cm 3 2 7. l ; l (T , ta  5 cm) 3 8. A; A  l   C0C1 9. B; S (C0 ) : A  B 10. ABC c) diskuse: Kružnice k a t nemají společné body. Úloha nemá řešení.

- 62 -

13. trojúhelník ABC (c, vc , r ) a) rozbor: Buď začneme rýsovat od strany c (řešení v polorovině), nebo od kružnice (řešení v rovině). Musíme řešit vztah mezi r a c (a samozřejmě i s v c ).

b) konstrukce Postup:

1. AB; AB  c 2. k ; k ( B, r ) 3. k '; k ' ( A; r ) 4. S ; S  k  k ' 5. o; o ( S ; r ) 6. p; p  AB; Ap  vc 7. C ; C  p  o 8. ABC c) diskuse: Kružnice k, k‘ mohou mít společné 0, 1 nebo 2 body .Kružnice o a přímka p mohou mít společné 0, 1 nebo 2 body. Potom můžeme dostat 0, 2 nebo 4 řešení v rovině.

- 63 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC: c = 5 cm, vc = 2,5 cm, r = 3 cm Řešení: a) rozbor: Buď začneme rýsovat od strany c (řešení v polorovině), nebo od kružnice (řešení v rovině). Musíme řešit vztah mezi r a c (a samozřejmě i s v c ).

b) konstrukce Postup: 1. AB; AB  c  5 cm

2. k ; k ( B, 3 cm) 3. k '; k ' ( A; 3 cm) 4. S ; S  k  k ' 5. o; o ( S ; 3 cm)

k'

k

6. p; p  AB; Ap  2,5 cm 7. C ; C  p  o 8. ABC

A

B o

c) diskuse Kružnice k a k‘ mají 2 společné body, vzniknou 2 středy kružnic opsaných v rovině. Kružnice o a přímka p mají 2 společné body C a C‘. Úloha má 2 řešení v polorovině, 4 řešení (osově souměrné) v rovině.

- 64 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC: c = 5 cm, vc = 6 cm, r = 3,5 cm Řešení: a) rozbor Buď začneme rýsovat od strany c (řešení v polorovině), nebo od kružnice (řešení v rovině). Musíme řešit vztah mezi r a c (a samozřejmě i s v c ).


C

2. k ; k ( B, 3,5 cm) 3. k '; k ' ( A; 3,5 cm) 4. S ; S  k  k ' 5. o; o ( S ; 3,5 cm)

k'

k

6. p; p  AB; Ap  6 cm 7. C ; C  p  o 8. ABC

S

A

B

o

c) diskuse Kružnice k a k‘ mají 2 společné body, vzniknou 2 středy kružnic opsaných v rovině. Kružnice o a přímka p mají 2 společné body C a C‘. Úloha má 2 řešení v polorovině, 4 řešení (osově souměrné s osou AB) v rovině.

- 65 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC: c = 5 cm, vc = 3,8 cm, r = 2,6 cm Řešení: a) rozbor Buď začneme rýsovat od strany c (řešení v polorovině), nebo od kružnice (řešení v rovině). Musíme řešit vztah mezi r a c (a samozřejmě i s v c ).


2. k ; k ( B, 2,6 cm) 3. k '; k ' ( A; 2, 6 cm) 4. S ; S  k  k ' 5. o; o ( S ; 2, 6 cm)

k'

k

6. p; p  AB; Ap  3,8 cm 7. C ; C  p  o 8. ABC

S A

B

o c) diskuse Kružnice k a k‘ mají 2 společné body, vzniknou 2 středy kružnic opsaných v rovině. Kružnice o a přímka p mají 0 společných bodů. Úloha nemá řešení.

- 66 -

14. trojúhelník ABC (c, t c , r ) a) rozbor Vrchol C leží na průniku kružnice k (ze středu úsečky AB s poloměrem tc) a kružnice trojúhelníku opsané. b) konstrukce Postup: 1. AB; AB  c

2. k ; k ( B; r ) 3. k '; k '( A; r ) 4. S ; S  k  k ' 5. o; o( S ; r ) 6. C0 ; C0  AB  AC0  BC0 7. l ; l (C0 ; r  tc ) 8. C ; C  l  o 9. ABC c) diskuse Jestliže existuje bod S, potom hledáme počet průsečíků kružnic l a o. Podle počtu průsečíků máme počet řešení v polorovině.

- 67 -

1. Sestroj trojúhelník ABC: c = 5 cm, tc = 4 cm, r = 3 cm Řešení: a) rozbor Vrchol C leží na průniku kružnice k (ze středu úsečky AB s poloměrem tc) a kružnice trojúhelníku opsané.


o

2. k ; k ( B; r  3 cm) 3. k '; k '( A; r  3 cm) 4. S ; S  k  k ' 5. o; o( S ; r  3 cm)

C

C'

k'

k

6. C0 ; C0  AB  AC0  BC0 7. l ; l (C0 ; r  tc  4 cm) 8. C ; C  l  o 9. ABC

A

C0

B

c) diskuse Kružnice l a kružnice trojúhelníku opsaná o mají 2 společné body. Řešením úlohy jsou 2 trojúhelníky ABC a ABC‘.

- 68 -

2. Sestroj trojúhelník ABC: c = 6 cm, tc = 5,3 cm, r = 3,5 cm Řešení: a) rozbor Vrchol C leží na průniku kružnice k (ze středu úsečky AB s poloměrem tc) a kružnice trojúhelníku opsané.


C

2. k ; k ( B; r  3,5 cm) 3. k '; k '( A; r  3,5 cm) 4. S ; S  k  k ' 5. o; o( S ; r  3,5 cm)

C' o

k' k

6. C0 ; C0  AB  AC0  BC0 7. l ; l (C0 ; r  tc  5,3 cm) 8. C ; C  l  o 9. ABC

A

C

0

B

c) diskuse Kružnice l a kružnice trojúhelníku opsaná o mají 2 společné body. Řešením úlohy jsou 2 trojúhelníky ABC a ABC‘.

- 69 -

3. Sestroj trojúhelník ABC: c = 5,5 cm, tc = 5 cm, r = 3 cm Řešení: a) rozbor Vrchol C leží na průniku kružnice k (ze středu úsečky AB s poloměrem tc) a kružnice trojúhelníku opsané.

b) konstrukce Postup: 1. AB; AB  c  5,5 cm

o

2. k ; k ( B; r  3 cm) 3. k '; k '( A; r  3 cm) 4. S ; S  k  k ' 5. o; o( S ; r  3 cm)

k' k

6. C0 ; C0  AB  AC0  BC0 7. l ; l (C0 ; r  tc  5 cm)

A

8. C ; C  l  o 9. ABC

C

0

B

c) diskuse Kružnice l a kružnice trojúhelníku opsaná o nemají společné body. Úloha nemá řešení.

- 70 -

15. trojúhelník ABC (c,  ,  ) a) rozbor: Střed kružnice vepsané leží: na ose úhlu 

a na n // c , n, c  

b) konstrukce Postup:

1. AB; AB  c 2.

XAB;

XAB  

3. o; o je osa úhlu  4. n; n, c   5. S ; S  o  n 6. k ; k ( S ;  ) 7. O; O  SB, OS  OB 8. t ; t (O, OB ) 9. T1 ; T1  k  t 10. C ; C  AX   BT1 11. ABC c) Diskuse a ověření: Kružnice k a h mají 2 společné body, ale to jsou body dotyku, takže v polorovině je právě 1 řešení.

- 71 -

1. Sestroj trojúhelník ABC: c = 5 cm, α = 80°, ρ = 1,5 cm Řešení: a) rozbor Střed kružnice vepsané leží: na ose úhlu  a na n // c , n, c  


2.

XAB;

XAB    80

3. o; o je osa úhlu 

X

4. n; n, c  

k

5. S ; S  o  n 6. k ; k ( S ;   1,5 cm) 7. O; O  SB, OS  OB

t n

8. t ; t (O, OB ) 9. T1 ; T1  k  t 10. C ; C  AX   BT1

O A

B

11. ABC c) Diskuse a ověření: Kružnice k a t mají 2 společné body, ale to jsou body dotyku, takže v polorovině je právě 1 řešení.

- 72 -

2. Sestroj trojúhelník ABC: c = 7 cm, α = 40°, ρ = 2 cm Řešení: a) rozbor Střed kružnice vepsané leží: na ose úhlu  a na n // c , n, c  


2.

XAB;

XAB    40

3. o; o je osa úhlu  4. n; n, c   5. S ; S  o  n 6. k ; k ( S ;   2 cm) 7. O; O  SB, OS  OB

k

X

8. t ; t (O, OB ) 9. T1 ; T1  k  t

O

10. C ; C  AX   BT1 11. ABC

t

n

A

B

c) Diskuse a ověření: Kružnice k a t mají 2 společné body, ale to jsou body dotyku, takže v polorovině je právě 1 řešení.

- 73 -

3. Sestroj trojúhelník ABC: c = 6 cm, α = 40°, ρ = 2,3 cm Řešení: a) rozbor Střed kružnice vepsané leží: na ose úhlu  a na n // c , n, c  


2.

XAB;

k

XAB    40

3. o; o je osa úhlu  4. n; n, c   5. S ; S  o  n 6. k ; k ( S ;   2,3 cm) 7. O; O  SB, OS  OB

X

n O

8. t ; t (O, OB ) 9. T1 ; T1  k  t

B

A

10. C ; C  AX   BT1 11. ABC c) Diskuse a ověření: Kružnice k a t nemají společné body. Úloha nemá řešení.

- 74 -

t

16. Sestroj trojúhelník ABC: α = 35°, β = 80°, ρ = 2 cm Řešení: a) rozbor Nejprve sestrojíme trojúhelník AB’C‘, pro který platí α = 35°, β = 80°. Potom dle podobnosti trojúhelníků nalezneme střed kružnice vepsané (využijeme poloměru ρ a v této vzdálenosti sestrojíme rovnoběžku s přímkou AB‘) a bod B.

b) konstrukce Postup: C'

1.

XAB ';

XAB '  35

2.

AB ' Y ;

AB ' Y  80

C o

b

3. C '; C '  AX   B ' Y 4. o ; o je osa úhlu XAB ' 6. S '; S '  o  o

oa

S'

X

5. o ; o je osa úhlu AB ' Y

p

S

Y

7. p; p AB ', p, A  2 cm 8. S ; S  p  o 9. B; B  AB ', SB S ' B ' 10. C ; C  AX , BC B ' C ' 11. ABC

A

B

B'

c) diskuse Pokud je součet úhlů menší než 180°, lze najít řešení. Průnik různoběžných polopřímek je vždy právě jeden. Právě jedno je řešení úlohy.

- 75 -

17. Sestroj trojúhelník ABC:   2,1 cm, vc  5 cm, SB  6,6 cm (S je střed kružnice opsané) Řešení: a) rozbor Nejprve sestrojíme pravoúhlý trojúhelník BSX. Dále musíme využít body dotyku (tečna ke kružnici je vždy kolmá na poloměr kružnice) a nalézt chybějící vrcholy. 5,00 cm

2,11 cm 6,60 cm

b) konstrukce Postup: 1. p, c; p c, p, c  2,1 cm

q

2. S ; S  p 3. k ; k ( S ;6, 6 cm) 4. B; B  k  c

t Y Y'

5. Z ; Z  BS , BZ  SZ

p

S

6. t ; t ( Z ; ZB ) 7. X ; X  t  k 8. Y ; O( BS ) : X  Y

Z B'

A

c

X

A'

9. q; q c, q, c  5 cm 10. C ; C  q   BY 11. Y '; O(CS ) : Y  Y ' 12. A; A  c  CY ' 13. ABC c) diskuse

k

Kružnice k a přímka c mají právě 2 společné body. Řešením jsou 2 trojúhelníky.

- 76 -

B

18. trojúhelník ABC : c  a  8 cm,   450 , b  4 cm Řešení: a) rozbor Trojúhelník CBD je rovnoramenný, proto osa úsečky CD vytne na AD bod B.

b) konstrukce Postup: 1. AD; AD  8 cm

2.

XAD;

C

XAD  45

o X

3. C ; C  AX , AC  4 cm 4. o; o je osa úsečky CD 5. B; B  o  AD 6. ABC

B

A

c) Diskuse a ověření: Jelikož přímky se protínají v jediném bodě, je v polorovině právě 1 řešení.

- 77 -

D

Souhrnná cvičení 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  6 cm, b  5 cm, va  3 cm . a) rozbor: Umístíme úsečku BC (dané délky a), vrchol A leží jednak na kružnici k C; b  , jednak na rovnoběžce s přímkou BC ve vzdálenosti v a .

b) postup a konstrukce:

1. BC ; BC  a  6 cm 2. k ; k  C , b  ; b  5 cm 3.  p,  q; p q BC ; p, BC  q, BC  3,5 cm 4. A; A  k   p  q  5.ABC

c) ověření a diskuze: Sestrojený trojúhelník ABC má stranu BC délky 6 cm. Protože A  k , platí AC  b  5 cm . Protože A  p  q , má bod A od přímky BC vzdálenost va  3,5 cm . Trojúhelník ABC splňuje zadání úlohy.Úloha má 2 řešení. - 78 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  5 cm,   60 , vb  3 cm . a) rozbor: Umístíme stranu AC (dané délky b), hledaný vrchol B leží jednak na polopřímce AX , jednak na rovnoběžce s přímkou AC ve vzdálenosti vb .


1. AC ; AC  b  5 cm 2. CAX ;

CAX  60

3.  p,  q; p q AC ; p, AC  q, AC  3 cm 4.B; B  AX   p  q  5.ABC

c) ověření a diskuze: Sestrojený trojúhelník ABC má stranu AC délky 5 cm. Vrchol B leží na přímce p, trojúhelník ABC má požadovanou výšku a současně leží na polopřímce AX. Trojúhelník vyhovuje zadání úlohy. Úloha má 1 řešení.

- 79 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  7 cm,   30 , tc  5,5 cm . a) rozbor: Umístíme stranu AB. Hledaný vrchol C leží jednak na kružnici k a na polopřímce AX ;  CAX  30  .


1. AB; AB  7 cm 2. BAX ;

BAX  30

3.S ; S  AB; AS  BS 4.k ; k  S ; tc  , tc  5,5 cm 5.C ; C  k   AX 6.ABC

c) ověření a diskuze: Trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 1 řešení. - 80 -

4. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  6,5 cm, ta  4 cm, va  3 cm . a) rozbor: Sestrojíme úsečku BC. Hledaný vrchol leží jednak na kružnici k S ; t a  ,jednak na rovnoběžce s BC ve vzdálenosti v a .


1.BC ; BC  6,5 cm 2.S ; S  BC ; BS  CS 3.k ; k  S ; ta  , ta  4 cm 4.  p,  q; p q BC ; p, BC  q, BC  3 cm 5. A; A  k   p  q  6.ABC

c) ověření a diskuze: Protože bod A   p  q  , má trojúhelník ABC požadovanou výšku v a . Protože bod A  k , platí i t a  4cm , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 2 řešení.

- 81 -

5. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  4 cm, c  5, 2 cm, vb  4,5 cm . a) rozbor: Umístíme stranu AC. Hledaný vrchol B leží jednak na kružnici k, jednak na přímce p rovnoběžné s AC ve vzdálenosti vb .


1. AC ; AC  b  4 cm 2. k ; k  A, c  ; c  5, 2 cm 3.  p,  q; p q AC ; p, AC  q, AC  4,5 cm 4. A; A  k   p  q  5.ABC

c) ověření a diskuze: Protože bod B   p  q  , má trojúhelník ABC požadovanou výšku vb . A protože bod B  k , pak sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 2 řešení. - 82 -

6. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  6 cm,   80 , vc  4,5 cm . a) rozbor: Umístíme stranu AB. Hledaný vrchol C leží jednak na polopřímce BX ABX  80  , jednak na přímce





p rovnoběžné s AB ve vzdálenosti v c .


1. AB; AB  c  6 cm 2. ABX ;

ABX  80

3.  p,  q; p / / q / / AB; p, AB  q, AB  4,5 cm 4.C ; C  BX   p  q  5.ABC

c) ověření a diskuze: Protože bod C   p  q  , má trojúhelník ABC požadovanou výšku v c ; C leží na polopřímce BX, tedy sestrojený trojúhelník ABC vyhovuje zadání. Úloha má 1 řešení.

- 83 -

7. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  4 cm,   100 , ta  5,5 cm . a) rozbor: Umístíme stranu BC . Hledaný vrchol A leží jak na polopřímce CX , tak na kružnici k S ; t a  .


1.BC ; BC  4 cm 2. BCX ;

BCX  100

3.S ; S  BC ; BS  CS 4.k ; k  S ; ta  , ta  5,5 cm 5. A; A  k   CX 6.ABC

c) ověření a diskuze: Sestrojený trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 1 řešení.

- 84 -

8. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  8 cm, tb  3 cm,   60 . a) rozbor: Umístíme stranu AC. Hledaný vrchol B leží jednak na polopřímce CX , jednak na kružnici k S ; t b  .


1. AC ; AC  8 cm 2.S ; S  AC ; AS  CS 3.k ; k  S ; tb  , tb  3 cm 4. ACX ;

ACX  60

5.B; B  k   CX 6.ABC

c) ověření a diskuze: Vzhledem k zadaným podmínkám trojúhelník ABC nelze sestrojit, neboť polopřímka CX a kružnice k nemají žádný společný bod. Úloha nemá řešení.

- 85 -

9. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  6,8 cm, b  7, 2 cm, ta  5 cm . a) rozbor: Umístíme stranu BC. Hledaný vrchol A leží jednak na kružnici k S ; t a  , jednak na kružnici l C; b  .


1.BC ; BC  6,8 cm 2.S ; S  BC ; BS  CS 3.k ; k  S ; ta  , ta  5 cm 4.l ; l  C ; b  , b  7, 2 cm 5. A; A  k  l 6.ABC

c) ověření a diskuze: Hledaný trojúhelník má strany AC, BC daných délek b, a . Vrchol A je bodem kružnice k, pak i ta  5 cm . Sestrojený trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 1 řešení.

- 86 -

10. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  3 cm, tc  4,3 cm,   75 . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník BCS podle věty Ssu. Vrchol A je obrazem bodu B ve středové souměrnosti se středem S.


1.BC ; BC  a  8 cm 2.k ; k  C ; tc  , tc  4,3 cm CBX  75

3. CBX ; 4.S ; S  k  5. A; A 

BX

BX ; BS  AS

6.ABC

c) ověření a diskuze: Sestrojený trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 1 řešení. - 87 -

11. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  6 cm, va  4 cm, tc  4 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník ABPa podle věty Ssu, bod C leží jednak na přímce Pa B , jednak na kružnici k S ; tc  , bod S je střed úsečky AB.


1.ABPa ; AB  c  6 cm, APa  va  4 cm,

APa B  90  Ssu 

2.  p; p  Pa B 3.S ; S  AB; AS  BS 4.k ; k  S ; tc  , tc  4 cm 5.C ; C  k  p 6.ABC c) ověření a diskuze: Protože bod C  p , má trojúhelník ABC požadovanou výšku v a . Protože bod C  k , platí i t c  4cm , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 2 řešení.

- 88 -

12. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  6 cm, vc  3 cm, tc  5 cm . a) rozbor: Umístíme stranu AB dané délky, bod C leží na přímce p rovnoběžné s přímkou AB ve vzdálenosti vc a současně na kružnici k S ; tc  , S je střed úsečky AB.

b) postup a konstrukce: 1. AB  c  6 cm

2.  p; p  AB, p, AB  vc  3 cm 3.S ; S  AB; AS  BS 4.k ; k  S ; tc  , tc  5 cm 5.C ; C  k  p 6.ABC

c) ověření a diskuze: Protože bod C  p ,má bod C od přímky AB vzdálenost vc. Protože C  k , má těžnice CS c délku tc. Úloha má 2 řešení.

- 89 -

13. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  8 cm, va  5 cm, vb  5,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník BCPb podle věty Ssu, bod A leží jednak na přímce CPb , jednak na přímce p ve vzdálenosti v a od úsečky BC .


1.BCPb ; BC  a  8 cm, BPb  vb  5,5 cm,

CPb B  90  Ssu 

2.  p; p  PbC 3.  m,  n; m n BC ; m, BC  n, BC  va  5 cm 4. A; A  PbC   m  n  5.ABC

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že BC  a  8 cm a že bod B je od přímky CPb vzdálen

vb  5,5 cm . Protože bod A je vzdálen od přímky BC va  5 cm a leží na přímce CPb , sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 1 řešení.

- 90 -

14. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  5 cm, c  7 cm, va  4,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník ACPa podle věty Ssu, bod B leží jednak na přímce CPa , jednak na kružnici k  A; c  .


1.ACPa ; AC  b  5 cm, APa  va  4,5 cm,

CPa A  90  Ssu 

2.  p; p  Pa C

3.k ; k  A; c  ; c  7 cm 4.B; B  Pa C  k 5.ABC

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že AC  b  5 cm a že bod A je od přímky CPa vzdálen

va  4,5 cm . Protože bod B leží na kružnici k  A; c  a na přímce CPa , sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 2 řešení. - 91 -

15. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  9 cm, vb  5,5 cm, va  5 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelníky ABPb , ABPa podle věty Ssu, bod C polopřímce BPa a polopřímce APb .

leží jednak na


1.ABPa ; AB  c  9 cm, APa  va  5 cm, 2.ABPb ; AB  c  9 cm, BPb  vb  5,5 cm, 3.

APb ,

4.C ; C 

APa B  90  Ssu  APb B  90  Ssu 

BPa APb 

BPa

5.ABC

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že AB  c  9 cm a že bod A je od přímky BPa vzdálen

va  5cm . Analogie platí i v případě kroku 2. Protože bod C leží na polopřímce BPa , APb , pak sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 1 řešení.

- 92 -

16. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  6 cm, vc  4 cm,   85 . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník BCPc podle věty Ssu, bod A leží jednak na polopřímce BPc a na polopřímce

CX  BCX  85  .


1.BCPc ; BC  a  6 cm, CPc  vc  4cm, 2. BCX , 3.

BPcC  90  Ssu 

BCX  85

BPc

4. A; A 

BPc 

CX

5.ABC

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že BC  a  6 cm a že bod C je od přímky BPc vzdálen

vc  4 cm . Protože bod A leží na polopřímce BPc , CX , pak sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 1 řešení.

- 93 -

17. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  5 cm, va  4 cm, vc  5,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník ABPa podle věty Ssu, bod C leží jednak na polopřímce BPa a na přímce p ve vzdálenosti v a od přímky AB .


1.ABPa ; AB  c  5 cm, APa  va  4 cm,

APa B  90  Ssu 

2.  p;  p AB; p, AB  vc  5,5 cm 3.

BPa

4.C ; C 

BPa   p

5.ABC

c) ověření a diskuze: Protože AB  c  5 cm , bod C je od přímky AB vzdálen vc  5,5 cm a současně leží na polopřímce BPa , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 1 řešení.

- 94 -

18. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  5,5 cm, b  4 cm, vc  3,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník BCPc podle věty Ssu, bod A leží jednak na polopřímce BPc a na kružnici k C; b  .


1.BCPc ; BC  a  5,5 cm , CPc  vc  3,5 cm ,

CPc B  90  Ssu 

2.k ; k  C ; b  ; b  4 3.

BPc

4. A; A 

BPc  k

5.ABC

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že BC  a  5,5 cm a bod C je od přímky BPc vzdálen

vc  3,5 cm . Bod A leží současně na polopřímce BPc a na kružnici k , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 2 řešení.

- 95 -

19. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  5, 4 cm, vb  5,1 cm, vc  5 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelníky BCPc , BCPb podle věty Ssu, bod A leží jednak na polopřímce BPc a polopřímce CPb .


1.BCPc ; BC  a  5, 4 cm, CPc  vc  5 cm, 2.BCPb ; BC  a  5, 4 cm, BPb  vb  5,1 cm, 3.

CPb ,

4. A; A 

CPc B  90  Ssu  APb B  90  Ssu 

BPc CPb 

BPc

5.ABC

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že

BC  a  5, 4 cm a že bod C je od přímky

BPc vzdálen vc  5 cm . Analogie platí i v případě kroku 2. Protože bod A leží na polopřímce BPc , CPb , pak sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 1 řešení.

- 96 -

20. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  6 cm, ta  5 cm, vb  5,6 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník BCPb podle věty Ssu, bod A leží jednak na přímce CPb , jednak na kružnici k S ; t a  , bod S je střed úsečky BC.


1.BCPb ; BC  a  6 cm, BPb  vb  5, 6 cm,

BPbC  90  Ssu 

2.  p; p  PbC 3.S ; S  BC ; BS  CS 4.k ; k  S ; ta  , ta  5 cm 5. A; A  k   p 6.ABC

c) ověření a diskuze: Protože bod A  p , má trojúhelník ABC požadovanou výšku vb . Protože bod A  k , platí i t a  5cm , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 2 řešení.

- 97 -

21. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  8 cm, tb  4, 2 cm, tc  6 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník CS bT podle věty sss, vrchol B leží na polopřímce S bT ve vzdálenosti t b , vrchol A je obrazem bodu C ve středové souměrnosti se středem S b  CS b  AS b  .


1 2 1.CSbT ; CSb  b  4 cm, CT  tc  4 cm, 2 3 2.B; B  SbT ; Sb B  tb  4, 2 cm

1 TSb  tb  1, 4 cm  sss  3

3. A; S  Sb  : C  A 4.ABC

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že bod T je těžištěm hledaného trojúhelníku a úsečky, t b , t c těžnicemi. Vrchol B leží ve vzdálenosti t b od bodu S b a vrchol A je obrazem bodu C ve středové souměrnosti se středem C; tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 1 řešení.

- 98 -

22. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  6,5 cm, tb  3,7 cm, vb  3,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník BCPb podle věty Ssu, vrchol A leží na polopřímce CPb ;

S  k  CPb ; CS  AS ; k B, t b  .


1.BCPb ; BC  a  6,5 cm, BPb  vb  3,5 cm,

CPb B  90  Ssu 

2.k ; k  B; tb  ; tb  3, 7 cm 3.

CPb

4.S ; S 

CPb  k

5. A; A 

CPb ; CS  SA

6.ABC

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že BC  a  6,5cm a bod B je od přímky CPb vzdálen

vb  3,5cm . Bod A leží současně na polopřímce CPb a platí CS  AS ; S je průsečíkem kružnice k a polopřímky CPb , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 2 řešení. - 99 -

23. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  7 cm, ta  6 cm, tb  4,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník BS a T podle věty sss, vrchol A leží na polopřímce S a T ve vzdálenosti t a od jejího počátku S a , bod C na polopřímce BS a ve vzdálenosti a od počátku B.


1.BSaT ; BSa  2.

S aT

3. A; A  4.

1 1 2 a  3,5 cm, S aT  ta  2 cm, BT  tb  3 cm 2 3 3

S aT , S aT  ta  6 cm

BS a

5.C ; C 

BS a ; BC  a  7 cm

6.ABC

c) ověření a diskuze: Z postupu konstrukce vyplývá, že strana BC má délku a, těžnici z vrcholu A t a . Vrchol T je těžištěm trojúhelníku ABC, neboť leží na jeho těžnici AS a , přičemž

A¨T : TS a  2 : 1 , proto má těžnice BS b délku t b . Úloha má 1 řešení.

- 100 -

24. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  8 cm, ta  4,8 cm, tb  5, 4 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník BS a T podle věty sss, vrchol A leží na polopřímce S a T ve vzdálenosti t a od jejího počátku S a , bod C na polopřímce BS a ve vzdálenosti a od počátku B.


1.BSaT ; BSa  2.

S aT

3. A; A  4.

1 1 2 a  4 cm, S aT  ta  1, 6 cm, BT  tb  3, 6 cm 2 3 3

S aT , S aT  ta  4,8 cm

BS a

5.C ; C 

BS a ; BC  a  8 cm

6.ABC

c) ověření a diskuze: Z postupu konstrukce vyplývá, že strana BC má délku a, těžnici z vrcholu A t a . Vrchol T je těžištěm trojúhelníku ABC, neboť leží na jeho těžnici AS a , přičemž

A¨T : TS a  2 : 1 , proto má těžnice BS b délku t b . Úloha má 1 řešení.

- 101 -

25. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  2 cm, b  4,5 cm, r  2,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme kružnici k O; r  a na ní zvolíme bod C. Vrcholy A, B najdeme jako průsečíky kružnice k s kružnicemi mC; b; nC; a  .


1.k ; k  O; r  ; r  2,5 cm 2.C ; C  k  libovolně  3.m; m  C ; b  , b  4,5 cm 4. A; A  k  m 5.n; n  C ; a  ; a  2 cm 6.B; B  k  n 7.ABC

c) ověření a diskuze: Protože A  k , B  k , C  k je r  2,5 cm poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC. Protože A  m, platí AC  b  4 cm , podobně pro vrchol B. Úloha má 2 řešení.

- 102 -

26. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  7 cm,   75 , r  4 cm . a) rozbor: Sestrojíme kružnici k O; r  a na ní zvolíme bod C. Vrchol A leží jednak na kružnici k a na kružnici l C; b  , vrchol B leží jednak na kružnici k a na polopřímce CX , BCX  75 . b) postup a konstrukce:

1.k ; k  O; r  ; r  4 cm 2.C ; C  k  libovolně  3.l ; l  C ; b  , b  7 cm 4. A; A  k  l 5. ACX ; 6.B; B  k  7.ABC

ACX  75 CX

c) ověření a diskuze: Protože A  k , B  k , C  k je r  4 cm poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC. Protože A  l , platí AC  b  4cm ,vrchol B leží jednak na kružnici k a na polopřímce CX, tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 1 řešení.

- 103 -

27. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  7,5 cm, vb  3,5 cm, r  5,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme kružnici k O; r  a na ní zvolíme bod A. Vrchol B leží jednak na kružnici k a na kružnici l  A; c  , pak sestrojíme bod Pb ABPb  ,vrchol C leží jednak na kružnici k a na polopřímce APb .


1.k ; k  O; r  ; r  5,5 cm 2. A; A  k  libovolně  3.l ; l  A; c  , c  7,5 cm 4.B; B  k  l 5. ; ...Thaletova kružnice nad AB 6.m; m  B; vb  ; vb  3,5 cm 7.Pb ; Pb  m   8.

APb

9.C ; C 

APb  k

10.ABC

c) ověření a diskuze: Protože A  k , B  k , C  k je r  5,5 cm poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC. Protože B  l , platí AB  c  7,5 cm ,vrchol C leží jednak na kružnici k a na polopřímce APb , tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 1 řešení.

- 104 -

28. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  5 cm, ta  2,5 cm, vc  3 cm . a) rozbor: Označíme X bod souměrně sdružený s bodem A podle středu Sa. Čtyřúhelník ABXC je rovnoběžník, neboť jeho úhlopříčky AX a BC se navzájem půlí. Proto má bod X od přímky AB vzdálenost vc a od bodu A vzdálenost 2ta. Umístíme-li úsečku AB dané délky c, pak bod X bude ležet jednak na přímce p rovnoběžné s AB a jednak na kružnici k  A;2t a  . b) postup a konstrukce:

1. AB; AB  c  5 cm 2.  p;  p AB; p, AB  vc  3 cm 3.k ; k  A; 2ta  , 2ta  5 cm 4. X ; X  k  p 5.  q;  q BX , A  q 6.C ; C  p  q 7.ABC

c) ověření a diskuze: Sestrojený trojúhelník ABC má stranu AB délky c  5 cm . Protože bod C  p , má trojúhelník ABC výšku z vrcholu C rovnou vc  3 cm . Protože bod X  k , platí

AX  2t a . Sestrojený čtyřúhelník ABXC je rovnoběžník, protože se jeho úhlopříčky protínají v takovém bodě, který je středem každé z nich. Úsečka AS a je tedy těžnicí 1 1 trojúhelníku ABC a pro její délku platí: AS a  AX  2t a   t a . 2 2 Úloha má 2 řešení.

- 105 -

29. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  6 cm, b  5 cm, tc  4 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník ACX (bod X je souměrně sdružený s bodem C podle středu S) podle věty sss. Vrchol B je čtvrtým vrcholem rovnoběžníku AXBC.


1.ACX ; AC  b  5 cm; AX  a  6 cm; CX  2tc  8 cm;  podle sss  2.  p;  p AC ; X  p 3.  q;  q AX ; C  q 4.B; B  p   q 5.ABC

c) ověření a diskuze: Sestrojený trojúhelník ABC má strany AC, BC požadovaných délek b, c. Protože pro bod X platí: CX  2t c ; sestrojený čtyřúhelník AXBC je rovnoběžník, protože se jeho úhlopříčky protínají v takovém bodě, který je středem každé z nich. Úsečka CS je tedy těžnicí trojúhelníku ABC a pro její délku platí: CS  Úloha má 1 řešení.

- 106 -

1 1 CX  2t c   t c . 2 2

30. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  7 cm, vb  4 cm, tc  4,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník BCPb podle věty Ssu, bod X je obrazem vrcholu C ve středové souměrnosti se středem S. Ten leží jednak na přímce p rovnoběžné s přímkou CPb procházející bodem B,jednak na kružnici k C;2t c  .Vrchol A je čtvrtým vrcholem rovnoběžníku BCAX. b) postup a konstrukce:

1.BCPb ; BC  a  7 cm, BPb  vb  4 cm,

CPb B  90  Ssu 

2.k ; k  C ; 2tc  ; 2tc  9 cm 3.  p;  p CPb ; B  p 4. X ; X  k   p 5.  q;  q BC ; X  q 6. A; A  CPb   q 7.ABC

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce platí, že bod B je od přímky CPb vzdálen vb  4 cm , dále bod X leží jak na kružnici k, tak na přímce p vedené vrcholem B. Vrchol A je čtvrtým vrcholem rovnoběžníku BCAX. Úloha má 2 řešení.

- 107 -

31. Sestrojte trojúhelník MNO, jestliže MO  7 cm , výška ke straně MO je 4 cm , těžnice procházející vrcholem N měří 5 cm . a) rozbor: Umístíme stranu MO dané délky, bod N leží na přímce p rovnoběžné s přímkou MO ve vzdálenosti v a současně na kružnici k S ; t  , S je střed úsečky MO.


1. MO  7 cm 2.  p; p  MO, p, MO  v  4 cm 3.S ; S  MO; MS  OS 4.k ; k  S ; t  , t  5 cm 5.N ; N  k  p 6.MNO

c) ověření a diskuze: Protože bod N  p ,má bod N od přímky MO vzdálenost v. Protože N  k , má těžnice NS délku t. Úloha má 2 řešení. - 108 -

32. Sestrojte trojúhelník KLM, jestliže ML  4 cm , těžnice procházející vrcholem L měří 6 cm , těžnice procházející vrcholem M měří 4, 2 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník LMT podle věty sss (T je těžiště trojúhelníku KLM), najdeme středy S l , S m stran KM, KL. Body S l , S m leží na polopřímkách LT, MT ve vzdálenosti t l , t m od bodu T. Vrchol K leží jednak na polopřímce LS m , MS l .


2 2 1.LMT ; LM  k  4 cm, LT  tl  4 cm, MT  tm  2,8 cm 3 3 2.Sl ; Sl  LT ; SlT  tl  6 cm 3.S m ; S m  4.K ; K 

MT , S m M  tm  4, 2 cm LS m 

MSl

5.KLM

c) ověření a diskuze: Jestliže trojúhelník LMT existuje (trojúhelníková nerovnost), pak úloha má v dané polorovině řešení. Úloha má 1 řešení.

- 109 -

33. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  6 cm, c  3,7 cm, r  3,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme kružnici k O; r  a na ní zvolíme bod A. Vrchol C leží jednak na kružnici k a na kružnici l  A; b  , vrchol B leží jednak na kružnici k, jednak na kružnici m A; c  .


1.k ; k  O; r  ; r  3,5 cm 2. A; A  k  libovolně  3.l ; l  A; b  , b  6 cm 4.C ; C  k  l 5.m; m  A; c  , c  3, 7 cm 6.B; B  k  m 7.ABC

c) ověření a diskuze: Protože A  k , B  k , C  k je r  3,5 cm poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC. Protože C  l , platí AC  b  6 cm ,vrchol B leží jednak na kružnici k,jednak na kružnici m, tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 2 řešení.

- 110 -

34. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  3 cm,   70 , r  2,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme kružnici k O; r  a na ní zvolíme bod B. Vrchol C leží jednak na kružnici k,jednak na kružnici l B; a  , vrchol A leží jednak na kružnici k a na polopřímce BX ,

CBX  70 .


1.k ; k  O; r  ; r  2,5 cm 2.B; B  k  libovolně  3.l ; l  B; a  , a  3 cm 4.C ; C  k  l 5. CBX ; 6. A; A  k  7.ABC

CBX  70 BX

c) ověření a diskuze: Protože A  k , B  k , C  k je r  2,5 cm poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC. Protože C  l , platí BC  a  3 cm ,vrchol A leží jednak na kružnici k a na polopřímce BX, tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 2 řešení.

- 111 -

35. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  6 cm, va  4,6 cm, r  3,7 cm . a) rozbor: Sestrojíme kružnici k O; r  a na ní zvolíme bod B. Vrchol C leží jednak na kružnici k a na kružnici l B; a  .Vrchol A leží jednak na kružnici k a na rovnoběžce p s přímkou BC ve vzdálenosti v a .


1.k ; k  O; r  ; r  3, 7 cm 2.B; B  k  libovolně  3.l ; l  B; a  , a  6 cm 4.C ; C  k  l 5.  p;  p / / BC; p, BC  va  4, 6 cm 6. A; A  p  k 7.ABC

c) ověření a diskuze: Protože A  k , B  k , C  k je r  3,7 cm poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC. Protože C  l , platí BC  a  6 cm ,vrchol A leží jednak na kružnici k a na přímce p, tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 2 řešení. - 112 -

36. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  7 cm, tb  4,6 cm, r  4 cm . a) rozbor: Sestrojíme kružnici k O; r  a na ní zvolíme bod A. Vrchol C leží jednak na kružnici k, jednak na kružnici l  A; b  .Vrchol B leží jednak na kružnici k, jednak na kružnici mS t ; t b  .

b) postup a konstrukce: 1.k ; k  O; r  ; r  4 cm 2. A; A  k  libovolně  3.l ; l  A; b  , b  7 cm 4.C ; C  k  l 5.m; m  Sb; ; tb  , tb  4, 6 cm 6.B; B  m  k 7.ABC

c) ověření a diskuze: Protože A  k , B  k , C  k je r  4 cm poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC. Protože C  l , platí AC  b  7 cm ,vrchol B leží jednak na kružnici k, jednak na kružnici m, tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 2 řešení.

- 113 -

37. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  5,3 cm, c  3, 2 cm, tb  3,5 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník BCX (bod X je souměrně sdružený s bodem B podle středu S) podle věty sss. Vrchol A je pak čtvrtým vrcholem rovnoběžníku ABCX. b) postup a konstrukce:

1.BCX ; BC  a  5,3 cm; CX  c  3, 2 cm; BX  2tb  7 cm;  podle sss  2.  p;  p BC ; X  p 3.  q;  q CX ; B  q 4. A; A  p   q 5.ABC

c) ověření a diskuze: Sestrojený trojúhelník ABC má strany AB, BC požadovaných délek c, a.Protože pro bod X platí: BX  2t b ; sestrojený čtyřúhelník ABCX je rovnoběžník, protože se jeho úhlopříčky protínají v takovém bodě, který je středem každé z nich. Úsečka BS je tedy těžnicí trojúhelníku ABC a pro její délku platí: BS  Úloha má 1 řešení.

- 114 -

1 1 BX  2t b   t b . 2 2

38. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  5 cm, va  5,5 cm, tc  4 cm . a) rozbor: Umístíme stranu BC, nalezneme obraz X bodu C ve středové souměrnosti se středem S. Bod X leží jednak na kružnici k, jednak na rovnoběžce p s přímkou BC ve vzdálenosti va. Vrchol A je čtvrtým vrcholem rovnoběžníku BCAX.


1.BC ; BC  a  5 cm 2.k ; k  C ; 2tc  ; tc  4 cm 3.  p;  p / / BC; p, BC  va  5,5 cm 4. X ; X  p  k 5.l ; l  X ; a  ; a  5 cm 6. A; A  l   p 7.ABC

c) ověření a diskuze: Sestrojený trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám, pro bod X platí: CX  2t c ; sestrojený čtyřúhelník BCAX je rovnoběžník, protože se jeho úhlopříčky protínají v takovém bodě, který je středem každé z nich. Úsečka CS je tedy těžnicí trojúhelníku ABC a pro její délku platí: CS 

1 1 CX  2t c   t c . 2 2

Úloha má 2 řešení.

- 115 -

39. Sestrojte trojúhelník XYZ,jestliže XZ  5 cm , výška ke straně XY měří 4,3cm a poloměr kružnice opsané je 3,2cm . a) rozbor: Sestrojíme libovolnou kružnici k na ní zvolíme vrchol X, dále vrchol Z leží jednak na kružnici k a na kružnici l X ; XZ , dále sestrojíme patu Pz výšky ke straně XY. Vrchol Y leží jednak na kružnici k, jednak na polopřímce XPz .


1.k ; k  O; r  ; r  3, 2 cm 2. X ; X  k  libovolně  3.l ; l  X ; r  5 cm  4Z ; Z  k  l 5. ; ...Thaletova kružnice nad XZ 6.m; m  Z ; r  4,3 cm  7.Pz ; Pz   m 8.Y ; Y  k 

XPz

9.XYZ

c) ověření a diskuze: Sestrojený trojúhelník XYZ vyhovuje zadaným podmínkám, body X, Y, Z leží na kružnici k O; r ; r  3,2cm . Vrchol Y leží jednak na kružnici k a na polopřímce XPz . Úloha má 1 řešení.

- 116 -

40. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník EFG s přeponou EF, odvěsnou FG délky 4, 7 cm a s kružnicí opsanou o poloměru 2,8 cm . a) rozbor: Sestrojíme libovolnou kružnici k, zvolíme její libovolný průměr EF. Vrchol G leží jednak na kružnici k, jednak na kružnici mF ; FG  .


1.k ; k  O; r  ; r  2,8 cm 2.E , F ; E , F  k ; EO  OF 3.m; m  F ; r  4, 7 cm  4G; G  k  m 5.EFG

c) ověření a diskuze: Sestrojený pravoúhlý trojúhelník EFG vyhovuje zadaným podmínkám, body E, F, G leží na kružnici k  O; r  ; r  2,8 cm . Vrchol G leží jednak na kružnici k, jednak na kružnici m. Úloha má 1 řešení.

- 117 -

41. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  2 cm, c  7,5 cm, vc  2 cm . a) rozbor: Umístíme úsečku AB (dané délky c), vrchol C leží jednak na kružnici k B; a  , jednak na rovnoběžce s přímkou AB ve vzdálenosti v c .


1. AB; AB  c  7,5 cm 2. k ; k  B, a  ; a  2 cm 3.  p,  q; p q AB; p, AB  q, AB  2 cm 4.C ; C  k   p  q  5.ABC

c) ověření a diskuze: Sestrojený trojúhelník ABC má stranu AB délky 7,5 cm. Protože C  k , platí BC  a  2cm . Protože C  p  q , má bod C od přímky AB vzdálenost vc  2 cm . Trojúhelník ABC splňuje zadání úlohy. Úloha má 1 řešení.

- 118 -

42. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  4,5 cm,   60 , va  7 cm . a) rozbor: Umístíme stranu BC (dané délky a), hledaný vrchol A leží jednak na polopřímce CX , jednak na rovnoběžce s přímkou ABC ve vzdálenosti v a .


1.BC ; BC  a  4,5 cm 2. BCX ;

BCX  60

3.  p,  q; p q BC ; p, BC  q, BC  7 cm 4. A; A  CX   p  q  5.ABC

c) ověření a diskuze: Sestrojený trojúhelník ABC má stranu BC délky 4,5 cm. Vrchol A leží na p  q , tedy trojúhelník ABC má požadovanou výšku a současně leží na polopřímce CX. Trojúhelník vyhovuje zadání úlohy. Úloha má 1 řešení. - 119 -

43. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  7 cm,   35 , tb  3 cm . a) rozbor: Umístíme stranu AC . Hledaný vrchol B leží jak na polopřímce AX , tak na kružnici k S ; t b  .


1. AC ; AC  7 cm 2. CAX ;

CAX  35

3.S ; S  AC ; AS  CS 4.k ; k  S ; tb  , tb  3 cm 5.B; B  k   AX 6.ABC


44. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  7 cm,   35 , va  6 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník CAPa podle věty Ssu, bod B leží jednak na polopřímce CPa a na polopřímce

AX  CAX  35  .


1.CAPa ; AC  b  7 cm, APa  va  6 cm, 2. CAX , 3.

APa C  90  Ssu 

CAX  35

CPa

4.B; B 

CPa 

AX

5.ABC

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že

AC  b  7 cm a že bod A je od přímky

CPa vzdálen va  6cm . Protože bod B leží na polopřímce CPa , AX , pak sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 1 řešení.

- 121 -

45. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  3,5cm,   48 , t a  3cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník ACS podle věty Ssu. Vrchol B je obrazem bodu C ve středové souměrnosti se středem S.


1. AC ; AC  b  3,5 cm 2.k ; k  A; ta  , ta  3 cm ACX  48

3. ACX ; 4.S ; S  k  5.B; B 

CX

CX ; CS  BS

6.ABC


46. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  4 cm, vc  2,5 cm, tc  4,3 cm . a) rozbor: Umístíme stranu AB dané délky, bod C leží na přímce p rovnoběžné s přímkou AB ve vzdálenosti vc a současně na kružnici k S ; tc  , S je střed úsečky AB.


1. AB  c  4 cm 2.  p; p  AB, p, AB  vc  2,5 cm 3.S ; S  AB; AS  BS 4.k ; k  S ; tc  , tc  4,3 cm 5.C ; C  k  p 6.ABC

c) ověření a diskuze: Protože bod C  p ,má bod C od přímky AB vzdálenost vc. Protože C  k , má těžnice CS c délku tc. Úloha má 2 řešení.

- 123 -

47. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  3 cm, r  2, 4 cm, ta  4 cm . a) rozbor: Sestrojíme kružnici k O; r  a na ní zvolíme bod B. Vrchol C leží jednak na kružnici k, jednak na kružnici l B; a  .Vrchol A leží jednak na kružnici k,jednak na kružnici mS t ; t a  .

b) postup a konstrukce: 1.k ; k  O; r  ; r  2, 4 cm 2.B; B  k  libovolně  3.l ; l  B; a  , a  3 cm 4.C ; C  k  l 5.m; m  S a ; ; ta  , ta  4 cm 6. A; A  m  k 7.ABC

c) ověření a diskuze: Protože A  k , B  k , C  k je r  2, 4 cm poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC. Protože C  l , platí BC  a  3cm ,vrchol A leží jednak na kružnici k, jednak na kružnici m, tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 2 řešení.

- 124 -

48. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  7 cm, r  3,7 cm, va  5, 4 cm . a) rozbor: Sestrojíme kružnici k O; r  a na ní zvolíme bod A. Vrchol B leží jednak na kružnici k a na kružnici l  A; c  , dále sestrojíme bod Pa ABPa  ,vrchol C leží jednak na kružnici k a na polopřímce BPa .


1.k ; k  O; r  ; r  3, 7 cm 2. A; A  k  libovolně  3.l ; l  A; c  , c  7 cm 4.B; B  k  l 5. ; ...Thaletova kružnice nad AB 6.m; m  A; va  ; va  5, 4 cm 7.Pa ; Pa  m   8.

BPa

9.C ; C 

BPa  k

10.ABC c) ověření a diskuze: Protože A  k , B  k , C  k je r  3,7 cm poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC. Protože B  l , platí AB  c  7 cm , vrchol C leží jednak na kružnici k a na polopřímce

BPa , tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám. Úloha má 2 řešení.

- 125 -

49. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  7, 2 cm, a  6,6 cm, vb  6,3 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník ABPb podle věty Ssu, bod C leží jednak na polopřímce APb a na kružnici k B; a  .


1.ABPb ; AB  c  7, 2 cm, BPb  vb  6,3 cm,

APb B  90  Ssu 

2.k ; k  B; a  ; a  6, 6 cm 3.

APb

4.C ; C 

APb  k

5.ABC

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že AB  c  7,2cm a bod B je od přímky APb vzdálen

vb  6,3cm . Bod C leží současně na polopřímce APb a na kružnici k , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání. Úloha má 2 řešení. - 126 -

50. Sestrojte trojúhelník XYZ, jehož strana XZ má délku 7,8 cm , výška k této straně je 2,3 cm a výška ke straně ZY je 6, 6 cm . a) rozbor: Sestrojíme trojúhelník ZXPx podle věty Ssu, bod Y leží jednak na přímce ZPx , jednak na přímce p ve vzdálenosti v x od úsečky ZX .


1.ZXPx ; ZX  7,8 cm, XPx  6, 6 cm,

XPx Z  90  Ssu 

2.  p; p  ZPx 3.  m,  n; m n XZ ; m, XZ  n, XZ  2,3 cm 4.Y ; Y  ZPx   m  n  5.XYZ

c) ověření a diskuze: Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že XZ  7,8 cm a že bod X je od přímky ZPx vzdálen 6, 6 cm . Protože bod Y je vzdálen od přímky XZ 2,3 cm a leží na přímce ZPx , sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.

Úloha má 1 řešení. - 127 -

51. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB| = 6,7 cm, |BC| = 4, 3 cm, |AC| = 5,5 cm. Rozbor:

Konstrukce podle věty sss.

Rozbor

a  b  4,3  5,5  9,8 a  b  c a  c  4,3  6, 7  11 a  c  b b  c  5,5  6, 7  12, 2 b  c  a

Postup:

1) AB; AB  6, 7 cm 2)k ; k  A; 5,5 cm  3)l ; l  B; 4,3 cm  4)C ; C  k  l 5)ABC

Konstrukce:

Ověření a diskuse

Trojúhelník vyhovuje zadání a v dané polorovině je právě 1 řešení.

- 128 -

52. Sestrojte trojúhelník KLM, je-li dáno: |KL| = 7,6 cm, |KM| = 5,3 cm, |  LKM| = 65°. Rozbor:

Konstrukce podle věty sus.

Postup:

1) KL; KL  7, 6 cm 2) LKX ;

LKX  65

3)h; h  K ; 5,3 cm  4) M ; M  KL  k 5)KLM Konstrukce:

Ověření a diskuse:

Trojúhelník vyhovuje zadání a v polorovině,.je právě 1 řešení.

- 129 -

5.

Konstrukce trojúhelníků ..................................................................................................... 1 Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): ................................................... 1 Souhrnná cvičení .................................................................................................................. 78

- 130 -

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

Recommend Documents