1/12
PLANIMETRIE Základní pojmy: • Shodnost, podobnost trojúhelníků • Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení – shodná zobrazení • Středový a obvodový úhel • Obsahy a obvody rovinných obrazců
1. Shodnost prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X´, Y´ v tomto zobrazení platí: X´Y´ = XY Přímá shodnost
Nepřímá shodnost
- shodnost trojúhelníků Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
Typy shodných zobrazení a. Středová souměrnost Střed S … střed souměrnosti Shodné zobrazení, které zobrazuje střed S na sebe sama a bod A různý od S na bod A´ tak, že platí AS= A´S
samodružné body samodružné přímky -
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Planimetrie
2/12
Příklad: • S(S): AB → A'B'. Najdi střed S.
•
Jsou dány body A[-1, 4], B[3, 0], C[-4, 1]. Zobrazte S(S[4, 0]): ∆ ABC → ∆ A’B’C’.
b. Osová souměrnost Osa o … osa souměrnosti Shodné zobrazení, které zobrazuje každý bod osy o na sebe sama a bod A mimo osu o na bod A´ tak, že platí AA´⊥ o a střed úsečky AA´ leží na ose o samodružné body -
samodružné přímky -
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Planimetrie
3/12
Příklad: • O(p): AB → A'B'. Najdi přímku p.
•
Jsou dány body A[-1, 4], B[3, 0], C[-4, 1]. Zobrazte O(p): ∆ ABC → ∆ A’B’C’. Přímka p: x = 4.
c. Posunutí ( = Translace) Orientovaná úsečka (P – počáteční bod, K – koncový bod) – udává velikost a směr Shodné zobrazení, které zobrazí každý bod A na bod A´ tak, že platí: AA´ PK, AA´ = PK samodružné body -
samodružné přímky -
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Planimetrie
4/12
Příklad: • T(PK): AB → A'B'. Najdi úsečku PK.
•
Jsou dány body A[-1, 4], B[3, 0], C[-4, 1]. Zobrazte T(BC): ∆ ABC → ∆ A’B’C’.
d. Otočení ( = Rotace) Orientovaný úhel – polopřímka SP – počáteční rameno polopřímka SK – koncové rameno
Shodné zobrazení, které je dáno středem otočení a orientovaným úhlem φ. Otočení o φ = 0° (násobky 360°) - identita
Otočení o φ = 180° - středová souměrnost.
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Planimetrie
5/12
Příklad: • R(S, α): AB → A'B'. Najdi střed otáčení a úhel.
•
Jsou dány body A[-1, 4], B[3, 0], C[-4, 1]. Zobrazte R(O[0, 0], α = 60°): ∆ ABC →∆ A’B’C’.
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Planimetrie
6/12
1. Uveďte základní vlastnosti středové souměrnosti: a) Co platí, je-li bod X vzorem a X‘ jeho obrazem ve středové souměrnosti se středem S? b) Který bod je v tomto zobrazení samodružný? c) Jaká je vzájemná poloha přímky p a jejího obrazu p‘? d) popište vzájemnou polohu polopřímek ohraničujících daný úhel AVB a jeho obraz A’V’B‘ ve středové souměrnosti. 2. Uveďte základní vlastnosti osové souměrnosti a) co platí, je-li bod X vzorem a bod X‘ jeho obrazem v osové souměrnosti s osou o? b) které body jsou samodružné? c) jakou vzájemnou polohu mají přímka p a její obraz p‘? d) jakou vlastnost mají dva úhly AVB a A’V’B‘ souměrně sdružené podle osy? 3. Uveďte vlastnosti posunutí, které je určeno dvojicí bodů M (vzor) a N (obraz) tj. orientovanou úsečkou MN: a) Jaký význam má délka a směr posunutí pro libovolnou dvojici bodů vzor X a jeho obraz X‘? b) Existují v posunutí samodružné body? c) Jaká je vzájemná poloha přímky p a jejího obrazu p‘? d) popište vzájemnou polohu a vztah polopřímek ohraničujících daný úhel AVB a jeho obraz A’V’B‘? 4. Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF. Určete jeho obraz v osové souměrnosti s osou o. Volte: a) o prochází bodem A a úsečku BC protíná v jejím vnitřním bodě,
b) o je přímka AB,
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Planimetrie
7/12
5. V bodě S sestrojte kružnici k o poloměru 3 cm. Sestrojte obraz kružnice k v osové souměrnosti s osou p, tento obraz k´ dále zobrazte ve středové souměrnosti se středem v bodě O a tento obraz k´´ zobrazte v posunutí učeném orientovanou úsečkou PQ .
2. Podobnost Trojúhelník KLM je podobný trojúhelníku ABC, právě když existuje kladné číslo k takové, že pro jejich strany platí: KL = k.AB , KM = k.AC , LM = k.BC KLM ∼ ABC (na pořadí vrcholů záleží) – KLM je podobný ABC k = koeficient podobnosti trojúhelníků KLM a ABC k >1 – zvětšení k <1 – zmenšení k =1 - trojúhelníky jsou shodné 1. Které z následujících trojúhelníků jsou podobné s ABC, kde a =12 , b =15 a c =18 a) trojúhelník KLM: k =12 , l =10 , m = 8
b)
trojúhelník XYZ o stranách 28;24;36
c)
trojúhelník EFG: EF = 6 , EG = 4, FG = 5
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Planimetrie
8/12
2. Pro poměr stran v trojúhelníku ABC platí a : b : c = 6 : 5: 4 . Které z uvedených trojúhelníků jsou s ním podobné? a) 30; 25; 15
b)
8; 10; 12
c)
18; 20; 24
3.
Pro trojúhelníky platí ABC ∼ KLM. Urči zbývající strany, pokud víme, že platí: a = 5, b = 4, c = 6 , l = 6 .
4.
Dva z vnitřních úhlů trojúhelníka ABC mají velikosti 47° a 56° . Dva z vnitřních úhlů trojúhelníka KLM mají velikosti 77° a 56° . Jsou si trojúhelníky podobné?
5.
Pro trojúhelníky platí ABC ∼ LKM s koeficientem podobnosti q = 3. Urči zbývající strany obou trojúhelníků, pokud víme, že platí: a = 9 , k = 4 , m = 3.
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Planimetrie
9/12
6.
Na obrázku jsou rovnoběžky a, b a jejich příčka c. Vyznačeny jsou délky některých úseček. Délka úsečky MN je: 5 7 8 9 A/ cm B/ cm C/ 3cm D/ cm E/ cm 2 2 3 4
7.
Na obrázku jsou dva čtverce ABCD a BEFG s délkami stran AB = 5cm , BE = 8cm . Bod H je průsečík přímek BG a AF. Obsah trojúhelníku ABH je přibližně: A/ 6,2 cm2 B/ 7,7 cm2 C/ 12,4 cm2 D/ 15,4 cm2 E/ 16,0 cm2
3. Úhly Vrcholové úhly
…
Vedlejší úhly
Souhlasné úhly
Střídavé úhly
…
…
…
1. Na obrázku je rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AC a pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník BCD se základnou BC. Body A, B, D leží na téže přímce. Zjisti velikost úhlu ACD.
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Planimetrie
10/12
2. Zjisti velikost úhlu ω z obrázku, je-li α = 32°, β = 86°.
3. Zjisti velikost zbývajících úhlů. 60°
α
70° γ β 115° δ
α
γ
β
100°
4. Středový a obvodový úhel Oblouk kružnice –
Středový úhel –
Obvodový úhel Thaletova věta - všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé. - obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý.
Platí : ω = 2 γ
Příklady: • a) Vypočtěte vnitřní úhly trojúhelníků: ABG, ACE, BEH
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Planimetrie
11/12
• b) Vypočtěte vnitřní úhly trojúhelníku:
• c) Vypočtěte úhel, který svírají přímky procházející body 7, 2 a 1, 4
• d) Vypočtěte úhly 4-úhelníku vepsaného do kružnice, jehož vrcholy dělí kružnici v poměru 2:3:3:4.
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
Planimetrie
12/12
5. Obsahy a obvody rovinných obrazců Obvod Čtverec
o = 4a
Obsah 1 S = a2 = e 2 2
Proměnné a strana čtverce, e úhlopříčka
a, b strany
Obdélník Kosočtverec
Kosodélník
Lichoběžník
Kruh
o = 2.(a+b)
S=
o = 4a
1 S = a.v = e. f 2
o = 2.(a+b)
o = a+b+c+d o = 2πr
S = a.v S=
(a + c).v 2
a strana čtverce, e,f úhlopříčky
a základna, v příslušná výška
a,b,c,d strany, v výška r poloměr
S=
Příklady: Vypočti obsah RR pravoúhlého trojúhelníku, jehož obvod je 119,5 m. Základna RR trojúhelníku je 40 cm, obsah 960 cm2. Určete obvod. V PT ABC jsou známy tyto prvky: a = 10 cm, v c = 9,23 cm. Vypočítejte o, S. Pozemek ve tvaru obdélníku má obsah 600 m2 a jedna jeho strana je dlouhá 30 m. Kolik sloupků potřebujeme k ohrazení pozemku, má-li být vzdálenost mezi sloupky 2,5 m? 5. Zahrada má tvar obdélníku a má obvod 130 m a obsah 800,25 m2. Urči rozměr zahrady. 6. Vypočti S, a, b obdélníku, je-li velikost úhlopříčky u = 73,8 cm a úhel úhlopříček ω = 36°. 7. Vypočti výšku lichoběžníku, mají-li základny velikosti a = 28 cm, c = 21 cm, S = 1764 cm2. 8. Vypočti S lichoběžníku, je-li a = 65 cm, b = 29 cm, c = 40 cm, d = 36 cm. 9. Vypočti vnitřní úhel dvou stran 8-úhelníku, stranu a, obvod o, poloměr r, obsah S, je-li dán poloměr ρ = 15 cm kružnice vepsané. 10. Vypočti o, S pravidelného 10-úhelníku, je-li: a. r = 12 cm (poloměr kce opsané) b. ρ = 18 cm (poloměr kce vepsané) c. a = 6 cm 11. Obsahy S 1 , S 2 dvou kruhů jsou v poměru 1:4. V jakém poměru jsou jejich průměry d 1 , d 2 ? 1. 2. 3. 4.
PRACOVNÍ LISTY
2. ROČNÍK
