5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A korábbiakban külön, egymástól függetlenül vizsgáltuk a nyugvó töltések elektromos terét és az időben állandó áram elektromos és mágneses terét. Az elektromágneses tér pontosabb modelljét kapjuk, ha az időbeli változásokat is figyelembe vesszük. A továbbiakban az elektromos és mágneses tér térjellemzői nemcsak a hely, hanem az idő szerint is változnak. 5.1. Időben változó mágneses tér 5.1.1. Nyugalmi indukció A kísérleti eredmények azt mutatják, hogy időben változó mágneses tér elektromos teret hoz létre. A kísérleti eredmények általánosítását az indukció törvény fejezi ki. Tekintsünk egy majdnem zárt vezető hurkot, amely időben változó mágneses teret fog körül, akkor a tapasztalat szerint a vezető két vége között feszültség mérhető (5.1. ábra), amely arányos a vezető hurok fluxusának időegység alatti megváltozásával. Az indukált feszültség iránya a fluxus megváltozás irányához jobbcsavar szabály szerint kapcsolódik,

ui = −

dΨ (t ) . dt

(5.1)

A negatív előjel azt jelenti, hogy a fluxus időbeli megváltozása és az indukált feszültség iránya a jobbcsavar szerinti iránnyal ellentétes.

5.1. ábra. Az indukált feszültség fogalma

5.2. ábra. A háromszög szerint periodikusan változó fluxus és az indukált feszültség kapcsolata

Figyelembe véve a vezető hurok keresztmetszetén átmenő indukció vonalakat, az indukált feszültség a következő összefüggéssel állítható elő r r r dΨ (t ) d r r dB(r , t ) r = − ∫ B(r , t ) ⋅ da = − ∫ ⋅ da . ui (t ) = − dt dt a a dt

124

A. Iványi, Fizika-I

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tekintsük az 5.2. ábrán látható háromszög szerint periodikusan változó fluxust. Az első negyed periódusban, amikor a fluxus lineárisan nő, az indukált feszültség negatív állandó értéket vesz fel. A második negyed periódusban, amikor a fluxus lineárisan csökken, az indukált feszültség ugrásszerűen előjelet vált és mindaddig pozitív állandó lesz az értéke, amíg a fluxus nem kezd el újra növekedni. Hasonló helyzet alakul ki, ha a fluxus szinuszosan változik

Ψ (t ) =Ψ 0 sin ω t , ekkor az indukált feszültség nem ugrásszerűen, hanem folytonosan változik, (5.3. ábra) ui = −Ψ 0ω cos ω t = −U 0 cos ω t ,

ahol U 0 = ωΨ 0 . Mint az ábrán látható az indukált feszültség időfüggvénye késik a fluxus időfüggvényéhez képest.

5.3. ábra. Szinuszosan változó fluxus és az indukált feszültség kapcsolata

5.4. ábra. A Lenz törvény értelmezése

5.1.2. Lenz törvény Ha a majdnem zárt vezető hurkot bezárjuk, az indukált feszöltség hatására áram indul meg a vezetőben. Az áram iránya azonban az indukált feszültség irányával ellentétes lesz (5.4. ábra). Ez azzal magyarázható, hogy az indukált feszültség hatására töltés-szétválasztás jön létre, és az áram a pozitív töltéstől a negatív töltés felé folyik. Az ábrán berajzoltuk az áram irányát, amely az R ellenállású vezetőben folyik

u (t ) i (t ) = i . R r Ez az áram azonban olyan B′ mágneses teret hoz létre, amely csökkenti az eredeti mágneses tér értékét, azaz azzal ellenkező irányú teret gerjeszt. Ezt a törvényszerűséget, amely az indukált feszültség törvényből következik, Lenz törvénynek nevezzük, és azt mondja ki, hogy az indukált feszültség hatására a vezető hurokban folyó áram olyan mágneses teret hoz létre, amely az őt létrehozó hatást csökkenteni akarja. 5.1.3. Faraday indukció törvény Vegyük figyelembe a zárt, R ellenállású vezetőben folyó i (t ) áramot, amelyet az indukált feszültség hatására jön létre, r r r ui (t ) = i (t )R = ∫ E (r , t ) ⋅ dl . l

5. Fejezet, Időben változó elektromágneses tér

125

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Helyettesítsük az indukció törvény bal oldalát kapott eredménnyel, r r r r r dΨ (t ) dB(r , t ) r = −∫ ⋅ da ∫ E (r , t ) ⋅ dl = − dt l a dt

(5.2)

az indukció törvény általánosított alakját, a Farady indukció törvényt kapjuk, amely azt mondja ki, hogy az időben változó mágneses tér elektromos teret gerjeszt. 5.2. A mozgási indukció Ha egy időben állandó mágneses térben, arra merőlegesen, egy vezető darabot mozgatunk, akkor a vezető két végpontja között feszültség mérhető (5.5. ábra). A jelenség a Lorentz erőtörvény alapján magyarázható r r r r F =Q E+v×B , r ui. a v sebességgel mozgó vezetőben lévő szabad elektronokra az időben állandó mágneses térben erő hat, amely a töltéseket szétválasztja, r r r r r r r Ei = v × B, F = Q v × B = QEi .

(

)

(

)

A fenti térerősséget a vezető darabjára integrálva kapjuk a mozgási indukcióból származó feszültséget r r r r r uim (t ) = ∫ Ei ⋅ dl = ∫ v × B ⋅ dl . (5.3) l

l

(

)

r A jelenség úgy is magyarázható, hogy a v sebességgel mozgó vezető l hosszúságú darabja dt idő alatt da = l v dt felület − dΨ = Blvdt

fluxus vonalait metszi, ahonnan az indukált feszültség −

dΨ = Blv = ui . dt

5.5. ábra. A mozgási indukció

5.6. ábra. Az önindukció jelensége és a tekercs feszültsége

Habár a nyugalmi és a mozgási indukció fizikai alapja más, a két jelenség egységesen kezelhető abban az értelemben, hogy a vezető hurok fluxusának megváltozása, egyrészt a mágneses indukció időszerinti megváltozása miatt, másrészt a vezető keresztmetszetének megváltozása miatt jön létre, azaz

126


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r r r r dar (t ) r dΨ (t ) d r r dB(r , t ) r ui (t ) = − da (t ) − ∫ B(r , t ) , = − ∫ B(r , t ) ⋅ da (t ) = − ∫ dt dt a dt a dt a ahol az egyenlet jobb oldalán az utolsó elötti tag a nyugalmi indukcióból, az második tag mozgási indukcióból származó indukált feszültséget jelenti. 5.3. Időben változó áram mágneses tere 5.3.1. Önindukció jelensége

Tekintsük az 5.6. ábrán látható tekercset. Ha a tekercsben külső forrás hatására időben változó áram folyik, az időben változó mágneses teret gerjeszt, amely indukált feszültséget hoz létre a tekercs két végpontja között. Figyelembe véve, a tekercs L önindukció együtthatóját, a tekercs fluxusa Ψ (t ) = L i(t ) , és így az indukció törvény értelmében az indukált feszültség

ui (t ) = −

dΨ d di(t ) = − Li(t ) = − L . dt dt dt

A tekercs kapcsain azonban az dΨ (t ) di (t ) u L (t ) = =L (5.4) dt dt tekercsfeszültséget szoktuk alkalmazni, amely éppen az indukált feszültséggel ellenkező irányú, így u L (t ) = −ui (t ) .

(5.5)

A tekercsfeszültség ismeretében a tekercs fluxus meghatározható t

t0

t

t

−∞

−∞

t0

t0

Ψ (t ) = ∫ u L (τ )dτ = ∫ u L (τ )dτ + ∫ u L (τ )dτ = Ψ (t0 ) + ∫ u L (τ )dτ , ahol Ψ (t 0 ) a tekercsen a t0 pillanat előtti fluxus változásból származó fluxus, a t 0 időpillanattól kezdődő vizsgálatok kezdeti feltétele. 5.3.2. Kölcsönös indukció jelensége

Korábban láttuk, hogy egy tekercs fluxusát nemcsak a saját árama, hanem a szomszéd tekercsben folyó áram, a kölcsönös indukció együtthatón keresztül (5.7. ábra) megváltoztatja. Két tekercsből álló rendszer esetén a tekercsek fluxusa (5.8. ábra)

Ψ1 = L1 i1 + M i2 , Ψ 2 = M i1 + L2 i2 ,

(5.6)

ahol L1 , L2 a tekercsek önindukció együtthatója, míg M a kölcsönös indukció együttható. Mint ismeretes a kölcsönös indukció együttható a tekercsek helyzetétől és az áramok referencia irányától függően lehet pozitív vagy negatív, amelyet az 5.8. ábrán a pontokkal jelöltünk. Azaz, ha a két tekercsben az áramok a pontoktól folynak a nem pontos végek felé, akkor a kölcsönös indukció együttható előjele pozitív, ellenkező esetben negatív. A referencia irányok 5.8. ábrán való rögzítése mellett a tekercsek feszültségei a következők


127

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

u1 =

di di di di d d Ψ1 = L1 1 + L12 2 , u 2 = Ψ 2 = L21 1 + L2 2 . dt dt dt dt dt dt

5.7. ábra. A szomszéd tekercs fluxusa

(5.7)

5.8. ábra. Két tekercsből álló rendszer és modellje

5.3.3. Tekercsek soros és párhuzamos kapcsolása

(i) Vizsgáljuk meg két sorba kapcsolt tekercset, amelyek árama közös i1 = i2 = i (5.9. ábra).

5.9. ábra. Sorba kapcsolt csatolt tekercsek és eredőjük

Az eredő feszültség a két feszültség összege, azaz

di ⎞ ⎛ di di ⎞ di di ⎛ di u = u1 + u 2 = ⎜ L1 1 ± M 2 ⎟ + ⎜ ± M 1 + L2 2 ⎟ = (L1 + L2 ± 2 M ) = Ls , dt ⎠ ⎝ dt dt ⎠ dt dt ⎝ dt ahonnan a két csatolt tekercs eredő soros induktivitása Ls = L1 + L2 ± 2M . A pozitív előjel a referencia pontoknak felel meg, a negatív előjel akkor lép életbe, ha az egyik pont a tekercs másik végére kerül. (ii) Vizsgáljuk meg az 5.10. ábrán látható párhuzamosan kapcsolt csatolt tekercseket, amelyek feszültsége közös, u1 = u 2 = u . Az egyes tekercsek feszültsége az áramokkal kifejezve

u1 = L1

di1 di di di ± M 2 , u 2 = ± M 1 + L2 2 . dt dt dt dt

Fejezzük ki az áramok deriváltjait

128


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

di1 L2 m M = u, dt L1 L2 − M 2

di2 L1 m M = u, dt L1 L2 − M 2

ahonnan az eredő áram a két áram összege, i = i1 + i2 , 1 di di1 di2 L1 + L2 m 2M u= u. = + = 2 Lp dt dt dt L1 L2 − M

5.10. ábra. Párhuzamosan kapcsolt csatolt tekercsek és eredőjük

A párhuzamosan kapcsolt tekercsek eredő induktivitása Lp =

L1 L2 − M 2 . L1 + L2 m 2M

5.4. A mágneses tér energiája 5.4.1. Tekercs energiája

Határozzuk meg egy L indukció együtthatójú tekercs energiáját, ha árama t 0 idő alatt nulláról I értékre nő. Minthogy az áram változásával változik a tekercsben a fluxus, és az tekercs pólusain mérhető feszültség is u L = dΨ dt , és így a tekercs dt idő alatt felvett energiája dW = u L i dt =

dΨ i dt = i dΨ . dt

Ha a tekercs árama a t = 0 pillanatban nulla, akkor a t 0 idő alatt felvett energiája Ψ0

W = ∫ i dΨ , 0

ahol Ψ 0 a tekercs fluxusa a t 0 pillanatban. A fluxust az árammal kifejezve Ψ = L i és az előző összefüggést kiértékelve Ψ0

I

0

0

W = ∫ i dΨ = ∫ i Ldi =

1 2 LI , 2

azaz a tekercs energiája

(5.8)


129

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

W=

1 2 1 1 Ψ2 LI = ΨI = L . 2 2 2 L

(5.9)

5.4.2. Csatolt tekercsek energiája

A csatolt tekercsek energiája az egyes tekercsek energiájának összege. Minthogy

W=

1 (Ψ1I1 +Ψ 2 I 2 ) , 2

és a tekercsek fluxusai Ψ1 = L11I1 + MI 2 , Ψ 2 = MI1 + L22 I 2 , a csatolt tekercs energiája W=

1 1 L11I12 + MI1I 2 + L22 I 22 . 2 2

(5.10)

5.4.3. A mágneses tér energia sűrűsége

Tekintsük az 5.11. ábrán látható elemi térfogatot, amelyet mágneses erővonalak és az azokra merőleges felületek határolnak. Az elemi térfogat energiája 1 dW = ΨI . 2 Az I áram a gerjesztési törvényből bármely mágneses erővonalra, és a fluxus az erővonalakra merőleges felületre vonatkozó egyenletek alapján r r r r I = ∫ H ⋅ dl , Ψ = ∫ B ⋅ da , l

a

r r ahonnan az elemi térfogat energiája, figyelembe véve, hogy dv = da ⋅ dl 1 rr 1 1 s r r r 1 rr r r dW = IΨ = ∫ H ⋅ dl ∫ B ⋅ da = ∫ ∫ HB da dl = ∫ HB dv . 2 2l 2la a v2

5.11. ábra. Az elemi térfogat energiája

5.12. ábra. hengeres vezető belső önindukció együtthatója

Az elemi térfogat energiája az egységnyi térfogatra vonatkoztatott w energiasűrűségnek a térfogatra vett integrálja, 1 rr dW = ∫ HB dv = ∫ w dv v2 v

130


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ahonnan az elemi térfogat energiasűrűsége dW 1 r r W w= = HB 3 . m dv 2

[ ]

(5.11)

5.4.4. Belső indukció együttható

A mágneses energia és az induktivitás kapcsolatának ismeretében meghatározható a belső indukció együttható, 1 1 r2 W = Lb I 2 = ∫ w dv = ∫ H µ dv , (5.12) 2 v v2 ahol r2 B r r r 2 1 1 1 w = HB = H µ = . 2 2 2 µ

(5.13)

Alkalmazzuk a fenti összefüggést egy l hosszúságú hengeres vezető belső indukció együtthatójának meghatározására (5.12. ábra). A gerjesztési törvényt alkalmazva a hengeres vezető belsejében egy erővonalra r r I 2 ∫ H ⋅ dl = ∑ I , H 2rπ = 2 r π , r0 π l a mágnese térerősség a vezető belsejében

H (r ) =

I 2πr02

r , 0 < r < r0 .

A dv = 2rπ l dr elemi térfogat és a mágneses energiasűrűség ismeretében a hengeres vezető mágneses energiája 2

4 1 r0 ⎛⎜ I ⎞⎟ 1 I 2l r0 1 π π = µ = Lb I 2 , r 2 W= r l dr ∫ ⎜ 2 ⎟ 4 2 r = 0 2πr 2 2πr 4 2 0 ⎝ 0 ⎠

ahonnan a belső indukció együttható független a hengeres vezető sugarától, csak az anyag mágneses permeabiltásától és a vezető hosszától függ.

Lb =

µl . 8π

(5.14)

5.4.5. A mágneses erőhatás és a virtuális munka elve

Az elektrosztatikus térhez hasonlóan a mágneses térben fellépő erőhatások is számíthatók a virtuális munka elve alapján. Habár az energiaegyensúlyi egyenlet nem változik, r r dW gen = dWbelső + F ⋅ ds ,


131

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ahol a generátor által dt idő alatt a rendszerbe betáplált energia a rendszer fluxusát változtatja meg,

dW gen = ∑ I k dΨ k , k

míg a rendszer belső energiáját az indukálás során fellépő áram megváltozása eredményezi, azaz

dWbelső = ∑Ψ k dI k . k

Ha a rendszerbe betáplált energia nem változik, azaz a rendszer fluxusa állandó, a virtuális munka elve alapján az ds elmozdulás irányában fellépő erőhatás Fs = −

dWbelső , Ψ k = állandó, k = 1,2,L, n . ds

(5.15)

Ha a virtuális elmozdulás során a hurok árama állandó, és a permeabilitás független az indukciótól, akkor

Fs =

dW gen ds

, I k = állandó, k = 1,2,L, n .

(5.16)

5.5. Időben változó elektromos tér 5.5.1. A folytonossági egyenlet

A töltésmegmaradás elve alapján stacionárius áramlás esetén azt tapasztaltuk, hogy egy térfogatba beáramló töltések onnan el is távoznak. Időben változó elektromágneses tér esetén azonban a v térfogatba dt idő alatt beáramló dQbe , és az onnan kiáramló dQki töltések különbsége a v térfogatban ugyanazon idő alatt felhalmozódó dQ töltésmennyiséggel egyenlő (5.13. ábra) dQbe dQki dQ − = . dt dt dt

5.13. ábra. A folytonossági egyenlet értelmezése

5.14. ábra. Gerjesztési törvény stacionárius térben

Vegyük figyelembe hogy a dQbe dt = I be a térfogatba befolyó, dQki dt = I ki pedig a kifolyó áram, ezzel a töltésmegmaradásra vonatkozó összefüggés a folytonossági egyenlet a következő

132


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

I be − I ki =

dQ . dt

(5.17)

Az egyenlet baloldala felírható a v térfogatot határoló zárt felületen ki és belépő áramsűrűségekkel, valamint az egyenlet jobb oldalán a v térfogatban elhelyezkedő töltések összegével, azaz r r r r I be − I ki = − ∫ J (r , t ) ⋅ da , Q = ∫ ρ (r , t ) dv . a

v

A fenti összefüggést alkalmazva és figyelembe véve, hogy a térfogat időben nem változik a folytonossági egyenlet a következő alakra hozható r r r r d r dρ (r , t ) − ∫ J (r , t ) ⋅ da = ∫ ρ (r , t ) dv = ∫ dv . dt v a v dt Némi rendezés után a folytonossági egyenlet szokásos alakjához jutunk r r r r dρ (r , t ) ( ) J r , t ⋅ d a + dv = 0 . ∫ ∫ dt a v

(5.18)

A folytonossági egyenlet a töltésmegmaradás elvét fejezi ki, és ezen keresztül, −minthogy a töltés anyagi részecskék tulajdonsága− a fizika általános elvét, az anyagmegmaradás elvét reprezentálja az elektromágneses terek esetében. 5.5.2. Az eltolási áram

Időben változó elektromágneses tér esetén a stacionárius állapotra vonatkozó gerjesztési törvény és a folytonossági egyenlet ellentmondásra vezet, r r r r r r r r dρ (r , t ) ( ) ⋅ = ⋅ H d l J d a , J r , t ⋅ d a + dv = 0 . ∫ ∫ ∫ ∫ dt l a a v r A folytonossági egyenletet a v térfogatot határoló a felületre írjuk fel. Jelöljünk ki ezen a r felületen egy tetszőleges zárt l görbét, amely a felületet két részre osztja (5.14. ábra). Írjuk r r r fel a gerjesztési törvényt úgy, hogy a H mágneses térerősséget integráljuk az l görbére, a J r r áramsűrűséget pedig egyszer az a1 , majd az a 2 felületre, a felületi normálisok figyelembe vételével r r r r r r r r ∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ da1 , ∫ H ⋅ dl = − ∫ J ⋅ da2 . l

a1

l

a2

Minthogy a baloldalon álló kifejezés mindkét esetben ugyanaz, a jobboldalak egyenlőségéből r következik, hogy a J áramsűrűségnek egy zárt felületre vett összege, integrálja zérus r r r ∫ J (r , t ) ⋅ da = 0 , a

a folytonossági egyenlet szerint viszont nem. Továbbá, vegyük figyelembe az elektrosztatika Gauss tételét, amely szerint a térfogatban elhelyezkedő töltések az eltolási vektornak a r r térfogatot határoló felületre vett integráljával egyenlő, ∫ ρ dv = ∫ D ⋅ da v

a


133

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r r r r r r r d d r r dD(r , t ) r ⋅ da , ∫ J (r , t ) ⋅ da = − ∫ ρ (r , t ) dv = − ∫ D(r , t ) ⋅ da = − ∫ dt v dt a dt a a

ahonnan azt kapjuk, hogy az áramsűrűség és az eltolási vektor idő szerinti deriváltjának összege zárt felületre vett integrálja ad nulla értéket r r ⎛r r dD(r , t ) ⎞ r ⎟ ⋅ da = 0 , (5.19) ∫ ⎜⎜ J (r , t ) + dt ⎟⎠ a⎝ és így az ellentmondás kiküszöbölése érdekében a gerjesztési törvény általános alakja a következő lesz r r r r ⎛r r dD(r , t ) ⎞ r ⎟ ⋅ da , (5.20) ∫ H ⋅ dl = ∫ ⎜⎜ J (r , t ) + dt ⎟⎠ l a⎝ r r r ahol J v = J (r , t ) reprezentálja a vezetőben folyó vezetési áramot, r r r J e = dD(r , t ) dt (5.21) pedig az elektromos tér időbeli megváltozásából származó un. eltolási áramot képviseli. r r Nézzük meg, hogy a gerjesztési törvény új alakja mit jelent. Ha dD(r , t ) dt = 0 , a r r r J v = J (r , t ) vezetési áram mágneses teret gerjeszt (5.15. ábra), ha azonban az eltolási áram r r nem nulla, dD(r , t ) dt ≠ 0 az is létrehoz egy mágneses teret és a két mágneses tér összegeződik, szuperponálódik.

5.15. ábra. A vezetési és az eltolási áram mágneses tere

5.16. ábra. A kondenzátor árama

5.5.3. A kondenzátor árama

Kapcsoljunk időben változó u (t ) feszültséget egy C kapacitású kondenzátorra. A kondenzátor elektródáin időben változó ± q (t ) töltés halmozódik fel q (t ) = C u (t ) .

Ez úgy lehetséges, hogy az egyik elektródára i (t ) áram folyik be, a másikról ugyanakkora i (t ) áram folyik el. Alkalmazzuk a kondenzátorra a folytonossági egyenletet. Vegyük körül a kondenzátort egy r zárt a1 felülettel (5. 15. ábra), a felületen i (t ) áram folyik ki és i (t ) áram folyik be

134


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ibe (t ) − iki (t ) = 0 =

dq(t ) , dt

azaz a kondenzátor elektródáin a töltések összege nem változik, ui. dt idő alatt az egyik elektródán + dq , a másik elektródán − dq töltés halmozódik fel, ezek eredője azonban nulla. Alkalmazzuk a folytonossági egyenletet most egy olyan térfogatra, amely csak az egyik r elektródát tartalmazza. Az a 2 felületen most i (t ) áram folyik be, amely arányos a kondenzátor feszültségének idő szerinti deriváltjával i (t ) =

du (t ) dq(t ) =C . dt dt

(5.22)

A térfogat töltése az elektrosztatika Gauss tétele szerint kifejezhető az eltolási vektornak a felületre vett integráljával. Némi átalakítás után azt kapjuk, hogy a kondenzátor lemezei r között az eltolási vektor időszerinti deriváltjának az a 2 felületre vett integrálja, azaz az eltolási áramsűrűségnek az integrálja, az eltolási áram folyik r r r r r dD(r , t ) r dq(t ) d r r = ⋅ da2 = ∫ J e (t ) ⋅ da2 = ie (t ) , i (t ) = ∫ D(r , t ) ⋅ da2 = ∫ dt dt dt a a a 2

2

ahol az eltolási áramsűrűség r r r dD(r , t ) J e (t ) = , dt és az eltolási áram r r dD(r , t ) r ie (t ) = ∫ ⋅ da2 . dt a

2

(5.23)

(5.24)

2

Tehát a kondenzátor elektródáihoz a töltéseket a vezetőben folyó i (t ) vezetési áram viszi, a kondenzátor lemezei között az időben változó elektromos tér hatására az ie (t ) eltolási áramban folytatódik. A kondenzátorban fellépő eltolási áram ugyanúgy mágneses teret hoz létre, mint a vezetési áram. 5.6. Az elektromágneses tér alapaxiómái 5.6.1. Az elektromágneses tér energiaviszonyai

Valamely v térfogatban felhalmozott W (t ) elektromágneses energia két okból váozhat az időben. Az egyik, a térfogatban fellépő P(t ) teljesítményű folyamatok, amelyek P(t ) > 0 esetén a térfogat elektromágneses energiáját csökkentik, P(t ) < 0 esetén a térfogat r elektromágneses energiáját növelik, másrészt a térfogatot határoló zárt a felületen átáramló, vagy átsugárzott Ps (t ) teljesítmény csökkenti a tér energiáját. Az elektromágneses tér energiamérlege ezek szerint dW (t ) + P(t ) + Ps (t ) = 0 . dt

(5.25)


135

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Az egyes mennyiségek kifejezhetők az elemi térfogatra, ill. felületre vonatkozó sűrűség r jellegű mennyiségekkel, így a térfogat W (t ) energiája a w(r , t ) energiasűrűséggel r r ∆W J , [w] = 1 W (t ) = ∫ w(r , t )dv, w(r , t ) = lim , m3 ∆v → 0 ∆v v r a P(t ) teljesítmény a p (r , t ) teljesítmény sűrűséggel r P(t ) = ∫ p(r , t )dv, v

r ∆P , p (r , t ) = lim ∆v → 0 ∆v

[ p] = 1 W3 , m

(5.26)

(5.27)

míg a felületen kisugárzott Ps (t ) teljesítmény az egységnyi felületen kisugárzott teljesítmény sűrűséggel, a Poynting vektorral jellemezhető r r ∆Ps r r W , [S ] = 1 Ps (t ) = ∫ S (r , t ) ⋅ da , S (r , t ) = lim . (5.28) m2 ∆a → 0 ∆a a Az energia egyensúlyi egyenlet a sűrűségekkel a következő alakban írható fel r r r r r dw(r , t ) dv + ∫ p (r , t )dv + ∫ S (r , t ) ⋅ da = 0 . ∫ v dt v a

(5.29)

A statikus elektromos tér, a stacionárius elektromos és mágneses tér energia és teljesítmény sűrűségeinek ismeretében az elektromágneses tér térváltozóival is felírható az energiageynsúlyi egyenlet. Az elektromágneses térben az elektromos és a mágneses energia megváltozása r r r r dB(r , t ) dD(r , t ) r r dw(r , t ) r r = E (r , t ) ⋅ + H (r , t ) ⋅ . dt dt dt Homogén, lineáris anyag esetén, amikor a szigetelőanyag ε permittivitása, és a mágneses anyag µ permeabilitása nem változik sem a geometriai tér pontjaiban és nem függ az r r r r elektromos és mágneses tér nagyságától, D = ε E , B = µ H , az inverz művelet után az elektromágneses tér energiasűrűsége 1 r r 1 r r w = D⋅E + B⋅H . (5.30) 2 2 A térfogatban végbemenő energiaátalakukások következtében a térfogati teljesítmény sűrűség r r r p(r , t ) = J ⋅ E , r r r amely a J = σ E + Ei differenciális Ohm törvény figyelembe vételével r r ⎛J r ⎞ r p (r , t ) = J ⋅ ⎜⎜ − Ei ⎟⎟ (5.31) ⎝σ ⎠

(

)

alakban adható meg. Végül, bizonyítás nékül megadjuk a Poynting vektornak a térváltozóktól való függését, r r r r S (r , t ) = E × H . (5.32) Ezzel az energia egyensúlyi egyenlet a következő alakra hozható,

136


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r r r r r r r r ⎛ r dD r dB ⎞ J2 ⎟dv + ∫ +H⋅ dv − ∫ J ⋅ Ei dv + ∫ E × H da = 0 , ∫ ⎜⎜ E ⋅ ⎟ dt dt ⎠ v⎝ v σ v a

(

)

(5.33)

ahol az egynelet baloldalán álló eső tag az elektromos és a mágneses tér energiájának megváltozása, a második tag a vezető közegekben a Joule törvény szerint hővé váló teljesítmény, a hatmadik tag a nem–villamos energia betáplálásnak a figyelembe vétele, míg az utolsó tag a felületen kisugárzott teljesítmény. 5.6.2. A Maxwell egyenletek r Amint azt a korábbiakban láttuk, az elektromágneses teret gerjesztő mennyiségek a ρ (r , t ) r r elektromos töltés és a J (r , t ) villamos áram. Ezek azonban nem függetlenek egymástól. A köztük lévő kapcsolatot az anyag, ill. töltés-megmaradási tétel, a folytonossági egyenlet fejezi ki r r r d r (5.34) ∫ J (r , t ) ⋅ da + ∫ ρ (r , t )dv = 0 . dt v a r r Az elektromágneses tér térjellemzői egyrészt a tér intenzitását kifejező E (r , t ) elektromos r r térerősség vektor és B(r , t ) mágneses indukció vektor, másrészt a tér gerjesztettségét r r r r meghatározó D(r , t ) eltolási vektor és H (r , t ) mágneses térerősség vektor. Az elektromágneses tér térváltozóira a tapasztalati törvények általánosításával kapott összefüggéseket Maxwell egyenletek néven foglaljuk össze. Az I. Maxwell egyenlet az általánosított gerjesztési törvény, r r r r r ⎛r r dD(r , t ) ⎞ r ⎟ ⋅ da , (5.35) ∫ H (r , t ) ⋅ dl = ∫ ⎜⎜ J (r , t ) + ⎟ dt ⎠ l a⎝

amely azt mondja, hogy a mágneses térerősségnek egy zárt görbére vett integrálja (összege) a görbe által kifeszített felületen áthaladó áramokat adja. Meg kell jegyezni, hogy a jobb oldalon a totális áram, azaz a vezetési és az eltolási áram összege szerepel. A gerjesztési törvényt úgy értelmezhetjük, hogy mind a vezetési áram, mind az eltolási áram mágneses teret hoz létre. A II. maxwell egyenlet a Faraday indukció törvény, r r r r r dB(r , t ) r ⋅ da , (5.36) ∫ E (r , t ) ⋅ dl = − ∫ l a dt r r amely azt mondja, hogy az E (r , t ) elektromos térerősségnek egy zárt görbére vett integrálja r r (az indukált feszültség) a görbe által körülfogott felületen átmenő dB(r , t ) dt indukcióvonalak idő szerinti megváltozásával egyenlő. Az I. és a II. Maxwell egyenletek nem függetlenek egymástól, ui. a gerjesztési törvény r r r r jobb oldalán álló J (r , t ) vezetési áram létrehoz egy időben változó H (r , t ) mágneses teret, r r amely mágneses tér időbeli változása az indukció törvénynek megfelelően E (r ,t ) elektromos teret gerjeszt, amely azonban az eltolási áramon keresztül modósitja az mágneses teret. A III. Maxwell egyenlet a mágneses indukció forrásmentességét fogalmazza meg,


137

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r r r B ∫ (r , t ) ⋅ da = 0 .

(5.37)

a

Azt mondja, hogy zárt felületen ugyanannyi mágneses erővonal lép be, mint ki, azaz nincsennek mágneses töltések, a mágneses indukció vonalak sehol nem kezdődnek és sehol nem végződnek, egyszerű esetben zárt gözbét alkotnak. A IV. Maxwell egyenlet az elektrosztatika Gauss tétele, r r (5.38) ∫ D ⋅ da = ∫ ρ dv , a

v

r r amely szerint az D(r , t ) elektromos tér forrása a töltés. Az eltolási vektornak egy zárt felületre r vett integrálja a felület által határolt térfogatban elhelyezkedő ρ (r , t ) töltésekkel egyenlő. Az V. Maxwell egyenlet a térváltozók és az anyagjellemzők kapcsolatát fogalmazza meg. Homogén, lineáris anyag esetén a szigetelőanyagokat az ε permittivitással, a mágneses anyagokat a µ permeabilitássak, vezető anyagokat a σ vezetőképességgel jellemezhetünk, r r r r r r r r r r r D = ε E = ε 0 E + P , B = µ H = µ 0 H + M , J = σ E + Ei , (5.39) r v ahol P a szigetelőanyag polarizáció vektora, M a ferromágneses anyagok mágnesezettségi r vektora és Ei a beiktatott térerősség, amellyel a nem villamos eredető energiákat (töltés szétválasztó erőt) modellezünk. Végül a VI. Maxwell egyenlet az elektromágneses tér energiviszonyaira ad összefüggést, amely szerint az elektromágneses tér egységnyi térfogatának teljesítménysűrűsége r r r r r r dw(r , t ) r r dD (r , t ) r r dB(r , t ) , p (r , t ) = = E (r , t ) ⋅ + H (r , t ) dt dt dt

(

)

(

)

(

)

amelyből homogén, lineáris közeg esetén az elektromágneses tér energiasűrűsége 1 r r 1 r r w = D⋅E + B⋅H . 2 2

(5.40)

5.7. Ellenőrző kérdések [1] [2] [3] [4] [5]

Ismertesse a Faraday indukció törvényt, Foglalja össze a mozgási indukció jelenségét, Ismertesse az általánosított gerjesztési törvény, Ismertesse a folytonossági egyenletet, Foglalja össze az elektromágneses tér alapaxiómáit.

5.8. Gyakorló feladatok 5.8.1. Feladat

Egy R ellenállású gyűrű alakú vezető időben változó, térben egyenletes eloszlású Ψ fluxust vesz körül (5.17 ábra). Határozza meg mekkora feszültséget mérünk a vezető P − Q pontja között, ha a voltmérőt a baloldali ábra szerint és ha a jobboldali ábra szerint kötjük be.

138


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Megoldás A vezetőben az ui = −

u dΨ indukált feszültség hatására i = i áram folyik. A baloldali ábra dt R

szerint a voltmérő a gyűrű P − Q pontjai közötti l1 szakaszának R1 = fellépő u a = R1i =

α ui feszültséget méri. 2π

α R ellenállásán 2π

Ha azonban a jobboldali elrendezést vizsgáljuk, akkor a voltmérő az l2 szakasz ellenállásán keletkezett feszültséget méri

α ⎞ ⎛ α ⎞ ⎛ ub = ⎜ R − R ⎟ui . ⎟i = ⎜1 − 2π ⎠ ⎝ 2π ⎠ ⎝

5.17. ábra. A mért feszültség szomszéd tekercs fluxusa

5.8.2. Feladat

Egy r0 sugarú, d vastagságú, σ vezetőképességű fémtárcsa homogén mágneses térben a tér irányára merőlegesen van elhelyezve (5.18. ábra). A mágneses indukció az időben B(t ) = B0 cos (ω t ) függvény szerint változik. A vezető tárcsát ideális szigetelő veszi körül. Határozzuk meg az indukció következtében fellépő áram hőteljesítményét. Megoldás A tárcsa r sugarú részén Φ (t ) = r 2πB(t ) mágneses fluxus halad át. Ennek időbeli változása az r sugarú kör kerülete mentén érintő irányú E (r , t ) elektromos teret kelt, amely a hengerszimmetria miatt az r sugár mentén állandó. Az indukció törvényt alkalmazva


139

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r r dΦ = + r 2πB0ω sin (ω t ) , ∫ E ⋅ dl = 2rπE (r , t ) = − dt l

ahonnan az elektromos térerősség meghatározható Bω E (r , t ) = 0 r sin (ω t ) . 2 A differenciális Ohm törvény értelmében az áramsűrűség Bω J = σE = 0 σ r sin (ω t ) . 2 A hőteljesítmény a Joule törvény alapján számítható, ahol az elemi térfogatnak egy dr szélességű gyűrüt tekintünk, dv = d 2rπ dr P(t ) = ∫

v

J2

σ

r0

B02ω 2

0

4

dv = ∫

σ r 2 sin 2 (ω t )d 2πr dr =

B02ω 2 8

σ π r04 d sin 2 (ω t ) .

Az időben változó teljesítménynek egy periodusra vett átlaga sin 2 (ω t ) =

1 − cos(2ω t ) 2

összefüggés felhasználásával, és figyelembe véve, hogy cos(2ω t ) egy periodusra vett időbeli átlaga nulla, P=

1 2 2 B ω σ π r04 d , 16 0

vagyis az indukció és a körfrekvencia nágyzetével, és a sugár 4-dik hatványával arányos. Ennek a hővé váló teljesítménynek a csökkentése érdekében a transzformátor vasmagját a mágneses indukcióval párhuzamos irányban lemezelni szokás. Az indukció hatására keletkező, a vezetőben záródó áramot örvényáramnak nevezzük.

5.18. ábra. A tárcsában keletkezett örvényáram

5.19. ábra. A mágneses térben forgó keret

Az áramsűrűség ismeretében meghatározható a tárcsában körbe folyó áramerősség r0 r0 r r Bω 1 I = ∫ J ⋅ da = d ∫ J dr = d 0 σ sin (ω t ) ∫ r dr = B0ω σ d r02 sin (ω t ) . 2 4 0 0 a

5.8.3. Feladat

140


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r Az 5.19. ábrán látható keret homogén és időben állandó B indukciójú mágneses térben ω szögsebességgel forog. Határozzuk meg a keretben indukálódó feszültséget, ha a keret hossza d , szélessége h .Megoldás (i) A keret fluxusa, miközben α = ω t szöget fordul el

Φ = Bhd cos α = Bhd cos ωt , így az indukált feszültség dΦ d = − Bhd cos ω t = Bhdω sin ω t .(ii) A mozgási indukcióalapján a d hosszúságú dt dt oldal sebessége v = ω h 2 , az indukált feszültség ui = −

(

)

d r r r h ui = 2 ∫ v × B dl = 2d ωB sin α = dhωB sin ω t ,az előző eredménnyel összhangban. 2 0

5.8.4. Feladat

Az l hosszúságú rúd homogén mágneses térre merőlegesen az egyik vége körül ω szögsebességgel forog (5.20. ábra). Határozza meg mekkora feszültség indukálódik a rúd két végpontja között. Megoldás Minthogy a rud a mágneses indukcióra merőleges irányban mozog, benne feszültség indukálódik. Az r sugáron mozgó dr hosszúságú szakaszban r r r dui = v × B ⋅ dl = v B dr = rω B dr ,

(

)

az egész rudon pedig l

ui = ωB ∫ r dr = ω B 0

l2 2

feszültség lép fel.

5.20. ábra. A homogén mágneses térben forgó rud

5.21. ábra. Homogén térben forgó tárcsa

5.8.5. Feladat

Homogén mágneses térre merőlegesen helyezünk el egy r0 sugarú fémtárcsát, amely tengelye körül ω szögsebeséggel forog (5.21. ábra). Határozzuk meg mekkora feszültség indukálódik a tárcsa tengelye és pereme között, ha B = 1 T , r0 = 0,5 m , n = 3000 fordulat perc .


141

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Megoldás Képzeljük el, hogy a tárcsa végtelen sok küllőből áll. Egy küllőben az előző feladat szerint ui = ω B

r02 2

feszültség indukálódik. Az egyes küllők párhuzamosan kapcsolódnak, ezért a feszültségük ugyanekkora. A numerikus adatokat figyelembe véve r2 0,25 ui = ωB 0 = 100π = 37,7 V 2 2

feszültség állítható elő. 5.8.6. Feladat

Mekkora feszültség indukálódik az 5.22. ábrán látható vezetőkböl álló elrendezésben, ha a vezetők síkjára merőleges mágneses indukció B(t ) = B0 sin (ω t ) szerint változik és az l hosszúságú vezetékdarab a két vezetővel párhúzamosan v ebességgel mozog.

Megoldás (i) Az x helyen lévő vezető által körülzárt fluxus Ψ = l xB0 sin (ω t ) . Az időben változó fluxus által indukált feszültség a megadott referencia irány szerint ui′ = −

dΨ = −l xω B0 cos (ω t ) . dt

Az l hosszuságú vezető v sebességgel mozog, így az általa indukált feszültség a referencia iránnyal ellenkező irányú

ui′′ = vBl = lvB0 sin (ω t ) , és így az indukált feszültség

ui = ui′ − ui′′ = − B0l (v sin ωt + xω cos ωt ) . Vegyük még figyelembe, hogy a mozgó rud x = vt távolságot tesz meg, így a keresett indukált feszültség

ui = − B0lv(sin ωt + ωt cos ωt ). (ii) Hasonló eredményt kapunk, ha a vezető keresztmetszete által bezárt fluxust

Ψ = l vt B0 sin ωt = B(t )a(t ) idő szerinti deriváljuk,

ui = −

dΨ d dB(t ) da(t ) = − B(t )a(t ) = −a(t ) − B(t ) = − B0lv(ωt cos ωt + sin ωt ) . dt dt dt dt

142


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

5.22. ábra. A keret és a mozgó rud

5.23. ábra. A két hengeres vezető erőhatásához

5.8.7. Feladat Két párhuzamos, kör keresztmetszetű, végtelen hosszúnak tekinthető vezeték egymástól a távolságra helyezkedik el (5.23. ábra). A vezetékben folyó áramok egyenlő nagyságuak és ellenekző irányúak. Határozzuk meg az egyik vezető l hosszúságú szakaszára ható erőt.

Megoldás r r r (i) Számolhatunk a dF = I dl × B összefőggéssel. Az egyik áram által a másik helyén létrehozott indukció B = µ0 H = µ0

I 2π a

.

Ez az indukció a vezetőre merőleges, így az erő a jobbcsavar szabály alapján taszító jellegű

F = µ0

I 2l . 2π a

(ii) A feladat megoldható a virtuális munka elve alapján is. Minthogy a vezetők árama állandó az elmozdulás során megváltozik a vezető hurok induktivitása, és így az elmozdulás irányában fellépő erő Fs =

dW 1 2 dL = I . ds 2 ds

Minthogy a kettősvezeték önindukció együtthatója

µ l a − r0 L = 0 ln , π r0 a két vezető tengelyét összekötő irányban fellépő erőhatás a tengelyek távolságát növelni akarja Fa =

1 2 dL µ 0lI 2 1 I = . 2 da 2π a − r0

(iii) Az egyes vezetőkre még sugárirányú erő is hat Fr =

dW 1 2 dL µ 0lI 2 ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ = I = − ⎟⎟ . dr0 2 dr0 2π ⎝ a − r0 r0 ⎠


143

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Vegyük figyelembe, hogy a vezetők közti távolság jóval nagyobb, mint a vezetők sugara, d >> r0 , így a sugár irányú erő közelíthető

µ l I2 1 Fr ≈ − 0 . 2π r0 A negatív előjel azt fejezi ki, hogy az erő a sugarat csökkenteni igyekszik. Nagy áramok esetén a erőből számított nyomásnak az anyag szilárdsága áll ellen p=

µ I2 Fr = 0 . 2πr0l (2πr0 )2

5.8.8. Feladat

Határozzuk meg azt az erőhatást, amely az 5.24. ábrán látható végtelen hosszú egyenes vezető és a vele egy síkban fekvő keret között lép fel, ha a vezetők I1 , I 2 árama az elmozdulás során állandó.

5.24. ábra. Az egyenes vezető és a keret helyzete

Megoldás Az elrendezés energiája kifejezhető az induktivitásokkal 1 1 W = L1I12 + L2 I 22 + L12 I1I 2 . 2 2 A keret bármilyen virtuális elmozdulásával csak a kölcsönös induktivitás változik b+a µ L12 = m ln , 2π b és így a virtuális munka elve alapján vonzóerő lép fel 1⎞ µ ⎛ 1 dW Fx = = I1I 2 m⎜ − ⎟. 2π ⎝ b + a b ⎠ db 5.9. További gyakorló feladatok 5.9.1. Feladatok

[1] Mekkora energiát tárol az L1 = 2 mH , L2 = 6 mH , L12 = 15 mH ön-, és kölcsönös indukció együtthatóval rendelkező csatolt tekercs amelyet I1 = 12 A , I 2 = 8 A árammal táplálunk.

144


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

[2] Mekkora árammal tápláltuk azt az L = 8,6 mH önindukció együtthatójú tekercset, amely W = 12 mW mágneses energiát tárol. [3] Mekkora mágneses energiát tárol az a µ r = 12 000 mágneses permeabilitású anyag egységnyi térfogata, ha benne B = 1,8 T mágneses indukció van jelen. [4] Mekkora a mágneses fluxusa annak az L = 5 mH önindukció együtthatójú tekercsnek, amely W = 38 mW mágneses energiát tárol. [5] M Egy elektromágneses teret sugárzó testtől nagy távolságban az elektromos és a mágneses térerősség vektorok egymásra merőleges komponensei E x = 3 cos(ω t ) mV/m , H y = 5 cos(ω t ) µA/m . Határozza meg az egységnyi felületen átáramló teljesítmányt. 5.9.2. Megoldások

[1]

Minthogy a tekercsrendszer energiája W =

1 n n ∑ ∑ Lkl I k I l , a jelen esetben a csatolt 2 k =1 l =1

1 1 L1I12 + L12 I1I 2 + L2 I 22 = 1776 mW = 1,776 W . 2 2 1 2W = 1,6705 A . Minthogy a tekercs energiája W = LI 2 , ahonnan I = L 2 1 B2 = 107,4296 Ws/m3 . Az egységnyi térfogatban az energiasűrűség w = BH = 2 2µ0 µ r

tekercs energiája W = [2] [3] [4]

A tekercs energiája W =

1 2 2W LI , ahonnan a tekercs árama meghatározható I = , 2 L

2W = 2WL = 0,0195 Vs . L r r r [5] Az egységnyi felületen átáramló teljesítmény a Poynting vektor, S = E × H , így minthogy az elektromos tér x − itányú, a mágneses tér y − irányú, a vektori szorzatból a

így a tekercs fluxusa Ψ = LI = L

Poynting vektor z − irányú lesz, S z = E x H y = 15 ⋅10 −9 W m 2 .

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR

Recommend Documents