4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

Matematika 0 1. előadás Végezzük el a műveleteket! 1. 2. 3. 4.

 x  6  x  5  2  x  4  x  2  x  2  3  x  4

Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. x 2  8 x  16 6. x 2  4 x  4 7. x 2  25 8. x 2  2 x  1  y 2 Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! 9.

3x  7 11x  2 x  5   20 15 4

10.

x  5 x  7 x 1 x  2    1 6 12 3 4

11. 1  2 5  3x  1  5 1  2 x    3  7  3x   x 12. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 12. Ha felcseréljük a számjegyeket, 18-cal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? Oldjuk meg a következő egyenleteket! 13.

7 1 5   3x  9 2 x  6 6

14.

2x 1 4x  5 6  x 3 3 x

15.

63 2 x 1 3x  1 1   x 9 x  3 3 x

16.

2 x x4  2  2 0 x  4 x  2 x x  2x

2

2

17. x 2  4 x  0

2

18.  x  3  2 x  6 19. 3x 2  27  0 2

20.  x  2   121 21. x 2  25  0 22. x 2  4 x  5  0 23. 2 x 2  8 x  8  0 24. 3 x 2  3 x  1  0 Alakítsuk a szorzattá az alábbi polinomokat! 25. x 2  6 x  8 26. 2 x 2  4 x  2 27. 3x 2  4 x  1 Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! 28. x 3  16 x  0 29. x 4  x 3  12 x 2  0 30. x 6  2 x3  8  0 31. x8  3x 4  4  0 32.

6x  8 x  2 x  2   x2  4 x  2 x  2

33.

3 2  1 4 x 1 2x  1 2x 1

34.

x4 x4 64   2 x  4 x  4 x  16

6

2



Matematika 0 2. előadás

 x y 2 1.  3x  2 y  9 3   x  4 y  9 2.  x  2y  1  2 3 3

 2  x  y   4  x  y   3 3.  3  x  y   6  x  y   4.5

12 x  16 y  1  0 4.  15 x  20 y  10 5. Ha egy téglalap egyik oldalát 1 m-rel, a másikat pedig 2 m-rel növeljük, akkor a területe 10.5 m 2 -rel nő. Ha az eredeti téglalap oldalait (ugyanilyen sorrendben) 0.5 mrel csökkentjük ill. 1.5 m-rel növeljük, akkor területe 1.25 m 2 -rel nő. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai? 6. Ha egy téglalap egyik oldalát 1 m-rel, a másikat pedig 2 m-rel növeljük, akkor a területe 10.5 m 2 -rel nő. Ha az eredeti téglalap oldalait (ugyanilyen sorrendben) 0.5 mrel ill. 1 m-rel csökkentjük, akkor területe 3.75 m 2 -rel csökken. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai? 7. Ha egy téglalap egyik oldalát 1 m-rel, a másikat pedig 2 m-rel növeljük, akkor a területe 10.5 m 2 -rel nő. Ha az eredeti téglalap oldalait (ugyanilyen sorrendben) 0.5 mrel ill. 1 m-rel csökkentjük, akkor területe 3.25 m 2 -rel csökken. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai?

1 1 5 x  y  6  8.  1  1  1  x y 6 5  x   15  y  9.  2 x  25  23  y

3  2  x  4  y 1  5  10.   5  10  7.5  x  4 y 1

x  y  5 11.   xy  6  x2  y 2  5 12.   x  y 1 x2  y  3 13.   x y  4

 xy  15 14.  2 2  x  y  34  x 2  xy  35 15.  2  y  xy  14

 xy  x  y  29 16.   xy  2 x  2 y  2  x  1 y  2   0 17.  2  x  2 xy  5 2 2  x  y  2  x  y  18.  2 2  x  y  5  x  y 

 xy  x  y  29 19.   xy  2 x  2 y  2  x 2 y  xy 2  6 20.   xy  4 x  4 y  14 1 1 1    21.  xy x  y 2  x 2 y  xy 2  2 

 x 2  5 x  4 22.  2  y  3y  4  x 2  3 x  10 23.  2  y  4  4y  x 2  y 2  136 24.  2 2  x  y  64

Matematika 0 3. előadás Ábrázolja lineáris transzformációk segítségével az alábbi függvényeket! Adja meg a függvények értelmezési tartományát és értékkészletét is! 2

1. f  x   2  x  3  4 x2  x  3.5 2 2x  3 3. f  x   x 1 4. f  x   4x  8  3

2. f  x  

5. f  x   3  2 x 1  4 x  6. f  x   2  ln   1 3  7. f  x   3sin  2x     2 x  8. f  x   2 arccos   1   3 

Matematika 0 4. előadás Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket! 1. 3x  8  5 2.

7  2x  4 3

3. x 2  4  x  2 4. 10  3 x  x 2  0

Mi a valós számok legbővebb részhalmaza, melyen az alábbi függvények értelmezhetők? 5. f  x  

4x 2 3x  4

6. f  x   2x  5 7. f  x   log 2  7  3x  8. f  x  

3x  11 2x  5

9. f  x   8  3x  log 5  7x  4  10. f  x  

5x 2  3x  1 x 2  5x  6

11. f  x   4  x 2





12. f  x   ln x 2  4x  21

13. f  x  



ln x 2  3x  4



2

x  x  20



14. f  x   2x  11  log2 x 2  5x  14 15. f  x  

ln  2 x  9  x 1

1

16. f  x   ln  ctg  2x  

17. f  x   log 1 16  2x  x 2  2



Matematika 0 5. előadás Alkosson kétféle módon összetett függvényt az alábbi függvény párokból! 9. f  x   tg x, g  x   3 x 10. f  x   5x  2, g  x   lg x 11. f  x   3x g  x   cos x Határozza meg, hogy az alábbi összetett függvények esetén mi a külső és mi belső függvény! 12. f  x   sin  3x    13. f  x   ln 3 x 14. f  x   e

x

15. f  x   arcsin x 2 Határozza meg az alábbi függvényekhez, vagy megfelelő leszűkítésükhöz tartozó inverz függvény hozzárendelési utasítását! Adja meg az eredeti és az inverz függvény értelmezési tartományát és értékkészletét is! 16. f  x    x  3

2

17. f  x   x3  1 18. f  x   e 4 x 19. f  x   lg  2 x  5  20. f  x   sin 3x 21. f  x   4arctg x Ábrázolja az alábbi függvényeket! A grafikonok alapján határozza meg, hogy melyik függvény páros, melyik páratlan, melyik periodikus, melyik egyik sem! Döntse el, korlátosake a függvények, és ha igen, adjon meg alsó és felső korlátot! Határozza meg, hogy a függvények hol növekvők és hol csökkenők, valamint hol és milyen szélsőértékük van! 22. f  x   x 3 23. f  x   x 3 1 x2 25. f  x   e x  1

24. f  x  

26. f  x   e x  1 27. f  x   ex  1 28. f  x   sin x 29. f  x   sin x

Matematika 0 6. előadás Oldja meg az alábbi egyenleteket és egyenlőtlenségeket! A 20. 21. és 22. feladatok kivételével oldja meg a feladatot grafikusan is! 1. x  2  3 2.

x 8 1

3.

2x  5  0

4.

3 x  8  1

5.

3x  4   x  4

6.

3  x  2x  3

7.

x  4  3 x

8.

x  x2  2

9.

2 x  3  2 x  3  14

10. x  1  x  2  1 11. x  3  x  1  3 3x  2 2 x 1 2x  3 13. 2 x 1

12.

14. x  1  4  x 15. x  2  1 16. x  7  5 17. 3  x  1 18. 2 x  3  2 19. 6  3x  3 3  10 2 x 1 10 21.  0.2 , ha x pozitív 3x  1 2 22.  0.01 , ha x pozitív egész 1  5x

20.

Matematika 0 7. előadás A hatványozás és a gyökvonás fontosabb azonosságai: c ab a b  a bc , a b  a c  a bc ,  a b c , c a

 

c

c

ac  a    , bc  b  n a na  , n b b

c

c

a  b  a  b , n

a  n b  n a b ,

a n 

k n

a  kn a ,

p

1 , an

q

a q  ap

1. Írjuk fel tört helyett negatív kitevővel az alábbi kifejezéseket! 1 1 1 1 1 2   1  2 2 2 2 a 3 1 1 x4 a b x a b  5, , , , , 2 4 2 3 x y x 1 3a  b x4 1  1  a  1 a b 2. Írjuk fel negatív kitevő helyett törtekkel az alábbi kifejezéseket! 2

3

x  x  3 ,

1

a bc ,

1

 a 3  b 3   1 1  a b 

 y   2  , x 

2

a  a  2 , 3

1

3. Végezzük el a kijelölt műveleteket kétféle módon, egyszer negatív kitevős hatványokkal, egyszer törtekkel számolva! 2  2 1  1   1 1   1 1  1  1 1  1  a  x  xy , x  x  y , x   y ,   y  x        y2  y b      4. Írjuk fel négyzetgyökjel nélkül az alábbi kifejezéseket! 2

a ,

4

a ,

6

x ,

8

2

a b ,

25  a  b 

 x  y

2

4

5. A változó mely értékeire áll fenn az egyenlőség? x 2  4x  4  x  2 ,

x 2  6x  9   x  3 ,

4x 4  4x 2  1  2x 2  1

6. Hozzuk ki a négyzetgyökjel elé, amit lehet! x3 ,

8x5 ,

a7 , 27

2x 2  12xy  18y2

12x 3  8x 2 ,

7. Vigyünk mindent a négyzetgyökjel alá! 2 x,

x x,

5x 2 x ,

x3 

1 , x3

x x

1 x

8. Végezzük el a műveleteket!

7  2 10  7  2 10 ,

2





x y 2 x y ,

x 2  y2 : x  y , x 2  y2 :

xy , xy



1 x  x



1 x  x



1 1 yx  2 : 2 x y yx

9. Gyöktelenítsük a nevezőt! 1 , 3 1

3 , 5 2

7 3 , 7 3

12 , 5  17

15 5 3 3 5

10. Vigyünk mindent a gyökjel alá! a 5 a ,

23 a ,

3a 4 2x ,  x 9a 3

3a 4 a ,

x  y  3

2

 x  y

2

11. Végezzük el a műveleteket! 4

4

3

2a  8a ,

24a 2 3 3 : , b ab

3

4

10  19  4 10  19

4

a 5 a ,

12. Írjuk fel egyetlen gyökjellel! 3 3

a5 ,

4

a3 a ,

a3 a a ,

4

x x

13. Írjuk fel törtkitevő helyett gyökjellel! 2

2 3



a 0.8 ,

5 ,

5 4

 x  1

x ,

14. Írjuk fel törtkitevővel! 1 5 2 3 , b , x x , 3 a

4



1 3

1 , x2

,

 14  5  x  1  

3 5

x x

15. Végezzük el a műveleteket! 2 3

a a



1 4

,

a



a

1 3

1 4

2

,

 53  x  ,  

1  13 1  3 1  a  b a    b  ,   

1  13  3 a  b    

2

Matematika 0 8. előadás A logaritmus azonosságai: log a a b  b a loga b  b , log a  b  c   log a b  log a c ,

b  log a b  log a c c

1 log a c b   log a b c 1 log a b  log b a

log a bc  c  log a b ,

log a b 

log a

log c b , log c a

Oldja meg a következő egyenleteket! 1. 3x  81 2. 2x  32 1 3. 3x  9 x

4. 5. 6. 7. 8.

1   8 2 5x  1 4 x  1 3x 1  41 x 1 x2  2  4x 8 x 2 12

9. 10. 11. 12.

9 x

 25  3      9  5 x2 x 2 2  2  34 3x  2  9 x 1  810 125 5x  x  30 5

Határozza meg az alábbi kifejezések értékét? 13. lg1000 14. lg 0.01 15. log 2 8 1 16. log3 9 17. log a a 1 18. log a 2 a 4 19. ln e 1 20. ln 3 e log 4 5 21. 2

22. 10lg 6  lg5 23. 51log 5 7 24. e 2 3ln 2 Oldja meg a következő egyenleteket! 25. log3 x  4 26. log 2 x  2 27. lg x  5 1 28. ln x   2 29. log x 16  4 30. log x 9  2 1 31. log x 2  4 32. lg x  lg 42  lg 3 33. log 5 x  2 log 5 12  log 5 18 1 34. ln x  ln 25  3ln 2 2 35. lg  x  4   lg  x  3  lg  5 x  4  36.

lg 2 x 2 lg  4 x  15 

37. 2 log x 25  3log 25 x  1 Oldja meg grafikus úton a következő egyenleteket! 7 38. 2 x  x  1 3 x

1 39.    x  5  4 1 40. log 2 x   x  1 3 1 41. log 1 x    x  3 6 3 Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket! Készítsen ábrát is! 1 42. 3x  9 x

1 43.    4 2 44. lg x  2 45. log 1 x  27 3

Matematika 0 9. előadás 1. Egy színház nézőterén 30 sor van. Minden sorban kettővel többen férnek el, mint az előzőben. Hány ember fér el a nézőtéren, ha a 15. sorban 50 férőhely van? 2. Egy számtani sorozat első tagja 3, a differencia pedig 5. E sorozat első k tagjának az összege háromjegyű, de az első k+1 tag összege már négyjegyű szám. Határozza meg k értékét! 3. Adja meg azon mértani sorozat első tagját és hányadosát, amelynek harmadik eleme 324, s 13. eleme pedig 4/3. 4. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 112, a következő három tag összege pedig 14. Melyik ez a sorozat? 5. Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 24. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 2-t, a harmadikhoz 35-öt adunk, egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Határozza meg a számtani sorozat első elemét és különbségét! 6. Egy mértani sorozat első három tagjának a szorzata 216. Ha a harmadik számot 3-mal csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagját kapjuk. Határozza meg a mértani sorozat első elemét és hányadosát! 7. Egy számtani sorozat második tagja 7; e sorozat első , harmadik és nyolcadik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozza meg e mértani sorozat hányadosát! 8. Öt szám közül ez első három egy mértani sorozat három egymás utáni tagja, a négy utolsó pedig egy számtani sorozat négy egymást követő tagja. A négy utolsó szám összege 20, a második és az ötödik szám szorzata 16. Melyik ez az öt szám? 9. Egy öltöny árát 5 %-kal felemelték, majd az emelt árat újabb 10 %-kal megemelték. Az eredeti árhoz képest hány százalékkal emelkedett az öltöny ára? 10. Mivel egy nagyobb vásárlást szerettünk volna lebonyolítani, ezért kölcsönt vettünk fel egy évre évi 25 %-os kamatlábra. Mire azonban a hitelt elintéztük, elfogyott az a termék, amit meg akartunk venni. A pénzt ezért bankba tettük, hogy csökkentsük a veszteségünket. A bankbetét kamatlába 18 %. Hány százaléknyi veszteségünk van a hitelen, a bankban történő elhelyezéshez viszonyítva? 11. Egy országban, ahol a személyi jövedelemadózás sávosan történik, a következő adósávok vannak érvényben. (Az ország pénznemét jelöljük Pe-vel.) 0 − 50 000 Pe adómentes 50 001 − 600 000 Pe 20 % adó 600 001 − 1 400 000 Pe 30 % adó 1 400 000 Pe fölött 40 % adó Mennyi adót fizet egy olyan állampolgár, akinek a bruttó jövedelme 1 850 000 Pe? 12. Az előző feladatban szereplő ország egyik állampolgára 290 000 Pe adót fizetett be az államnak. Mennyi volt a bruttó jövedelme? 13. Beteszünk a bankba 400 000 Ft-ot évi 15 %-os kamatlábra. Mekkora összeg lesz a számlánkon 5 év múlva, ha a) a bank lineáris kamatozással számol? b) a bank kamatos kamattal számol? 14. a) Mennyi ideig tartsuk pénzünket a bankban, ha minimum a dupláját akarjuk visszakapni? Az éves kamatláb 10 %, s a bank csak a teljes évekre fizet kamatot. b) Mekkora az éves kamatláb, ha pénzünk 5 év alatt duplázódik meg? 15. Egy ingatlan eladásából nagyobb összeghez jutottunk. A pénz egy részét vállalkozásunk fejlesztésére fordítjuk, másik részéből egyetlen gyermekünk, aki most 12 éves, jövőjét kívánjuk megalapozni. A jelenleg elérhető legmagasabb fix éves

kamatláb 18 %. Mekkora összeget helyezzünk el most a bankban, ha azt szeretnénk, hogy gyermekünk 23 éves korában, amikor várhatóan befejezi az egyetemet, megvehessen egy 10 000 000 Ft értékű lakást? 16. Egy telket akarunk eladni. Az érdeklődők közül négyen tesznek érdemleges vételi ajánlatot. A vevő ajánlata: most fizet 2 000 000 Ft-ot B vevő ajánlata: most fizet 1 000 000 Ft-ot, s 1 év múlva 1 200 000 Ft-ot C vevő ajánlata: most fizet 600 000 Ft-ot, majd évenként még háromszor 600 000 Ftot D vevő ajánlata: most fizet 500 000 Ft-ot, majd kétévente kétszer 1 000 000 Ft-ot Melyik a legkedvezőbb ajánlat, ha az éves kamatláb 15 %? 17. Elhelyezünk 100 000 Ft-ot 18 % nominális kamatlábra a bankban. Mennyi pénz lesz a számlánkon egy év elteltével, és mekkora a reális kamatláb, ha a) havonta tőkésít a bank? b) naponta tőkésít a bank? c) folyamatosan tőkésít a bank? 18. Egy dolgozó 120 000 Ft-os nettó jövedelme az év során 15 %-kal emelkedik. Mennyi az emelt fizetés vásárlóértéke, ha az inflációs ráta 10%? Hány százalékkal nőtt a fizetés vásárlóértéke az év során? 19. Legalább hány százalékos jövedelmezőséggel kell befektetni a pénzünket, ha azt akarjuk, hogy vásárlóértéke 10 év alatt, 6 %-os infláció mellett megduplázódjon? 20. 10 éven keresztül befizetünk 50 000 Ft-ot az év elején 18 %-os kamatlábra. Mennyi pénzünk lesz a 10. év végén? 21. Autóra szeretnénk gyűjteni, ezért 4 éven keresztül minden hónap elején be fogunk fizetni egy bizonyos összeget egy számlára. Mekkora legyen ez az összeg, ha a 4. év végére 3 000 000 Ft-ot akarunk összegyűjteni és a nominális kamatláb 15 %? 22. Nyugdíjas éveinkre szeretnénk összespórolni egy kis pénzt, ezért gyűjtésbe akarunk kezdeni. A nyugdíjba vonulásunk előtt legalább mennyi idővel kezdjünk el takarékoskodni, ha havonta 5 000 Ft-ot szánunk erre a célra, a nominális kamatláb 12 %, és legalább 2 000 000 Ft-ot szeretnénk összegyűjteni? 23. Év elején felvettünk 500 000 Ft kölcsönt 20 %-os kamatláb mellet 4 év futamidővel úgy, hogy évente egy-egy alkalommal azonos részletet fizetünk. Az első befizetésre a kölcsön felvétele után egy évvel kerül sor. Mekkora összeget kell fizetnünk egy évben? 24. Kölcsönt szeretnénk felvenni 25 %-os kamatláb mellett úgy, hogy évente egy alkalommal törlesztünk, s az első részletet a felvétel után egy évvel fizetjük. Legfeljebb mekkora összeget tudunk felvenni, ha 100 000 Ft-nál többet nem tudunk egy évben fizetni, s a futamidő a) 5 év? b) 10 év? 25. Öröklés révén 50 éves korunkban 1 000 000 Ft-hoz jutottunk. Idősebb napjainkra gondolva bankba tettük a pénzt 15 %-os kamatlábra. Ha 65 éves korunkban nyugdíjba megyünk akkor minden évben szeretnénk 1 300 000 Ft-ot kivenni, hogy szerény nyugdíjunkat kiegészítsük. Hány éven keresztül tehetjük meg ezt? 26. 10 éven keresztül minden év elején beteszünk a bankba 5 000 Ft-ot. A következő 10 évben minden év elején kiveszünk 7 500 Ft-ot. Mennyi pénz lesz a számlánkon a 20. év végén, ha a kamatláb 17 %? 27. Szabó úr gondos ember, ezért gyermeke 10 éves korában elkezd takarékoskodni, hogy támogathassa majd az egyetemi évek alatt. Minden évben 40 000 Ft-ot fizet be egy

számlára 8 éven keresztül. Mekkora összeggel tudja évenként segíteni gyermeke tanulmányait, ha a kamatláb 14 %, s a gyermek 5 év alatt fejezi be tanulmányait? Matematika 0 11. előadás 1. Írjuk fel a P  5, 2  ponton áthaladó n  4,3 normálvektorú egyenes egyenletét. 2. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a P  2,1 ponton és irány





vektora v 3, 3 . Írjuk fel a  9, 6  és a  4,3 koordinátájú pontokon átmenő egyenes egyenletét. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek tengelymetszetei: -3 és 4. Rajta van-e a 2x  y  3 egyenesen a P 1,1 pont? Adjuk meg a 3x  5y  15 egyenletű egyenesnek azt a pontját, amelynek abszcisszája kétszer akkora, mint az ordinátája. 7. Ábrázoljuk a tengelymetszetek segítségével a 8x  5y  40 egyenletű egyenest. 8. Határozzuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy a 3x  4y  5 és a 2x  3py  0 egyenletű egyenesek párhuzamosak legyenek egymással. 2 9. Határozzuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy az y  x  4 és az y  px  2 3 egyenletű egyenesek merőlegesek legyenek egymásra. 10. Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely a  4,1 és az  5, 3 pontokat összekötő szakaszt merőlegesen felezi. 11. Egy háromszög két csúcspontjának koordinátái: A  6, 2  , B  2, 2  , a magasságpontja 3. 4. 5. 6.

M 1, 2  . Határozzuk meg a harmadik csúcs koordinátáit.

12. Számítsuk ki az ABC háromszög B és C csúcsának koordinátáit, ha az A csúcs koordinátái  3, 4  és két magasságvonalának egyenlete 7x  2y  1  0 és 2x  7y  6  0 . 13. Írjuk fel a kör egyenletét, ha középpontja a  5, 3  pont, és sugara

2 egység.

14. Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja az  5, 2  pont, és áthalad a  4,3 ponton. 15. Egy kör átmérőjének végpontjai:  4,1 ,  2,3  . Írjuk fel a kör egyenletét. 16. Írjuk fel a kör egyenletét, ha sugara 5 egység, középpontja az x  3 egyenesre illeszkedik, és érinti az x tengelyt. 17. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely a  5,3 ponton halad át, és mindkét koordinátatengelyt érinti. 18. Mi annak a körnek az egyenlete, amelynek sugara 5 egység, áthalad a  9, 9  ponton, és érinti az y tengelyt? 19. Döntsük el, hogy a 3x 2  3y 2  4x  6y  15  0 és 3x 2  4y 2  12  0 egyenletek közül melyik kör egyenlete. Adjuk meg a kör sugarát és a középpontjának koordinátáit. 20. A sík mely pontjainak koordinátái elégítik ki a x 2  y 2  4x  2y  0 egyenlőtlenséget? 21. Határozzuk meg az x 2  y2  25 körnek a 4x  2y  7 egyenessel párhuzamos érintőit.