MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2014. október 14. EMELT SZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 2 sin x 2 sin2 x cos2 x b) 25lg x 5 4 5lg x
(5 pont) (7 pont)
Megoldás: a)
Az egyenlet jobb oldalát azonosság alkalmazásával alakítva: 2sin x 2sin2 x 1 sin2 x . sin2 x 2sin x 1 0 , Innen sin x 1 , x 2k , ahol k . 2 Ellenőrzés b) A logaritmus függvény értelmezése miatt x 0 . Mivel 25lg x 5lg x , ezért az egyenlet 2
5
lg x 2
4 5lg x 5 0 alakban is írható.
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)
Az 5lg x -re nézve másodfokú egyenlet megoldásai: 5lg x 1 és 5lg x 5 . Mivel 5lg x 0 , ezért 5lg x 1 nem lehetséges. Ha 5lg x 5 , akkor x 10 . Ellenőrzés
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont 2) Egy 2 cm sugarú, 20 cm széles festőhengerrel dolgozva egy fordulattal körülbelül 3 ml festéket viszünk fel a falra. (A festőhenger csúszás nélkül gördül a falon.) a) Elegendő-e 4 liter falfestéket vásárolnunk, ha a szobánkban 40 m2 nyi falfelületet egy rétegben, egyszer akarunk lefesteni? (6 pont) b) Milyen magasan állna 4 liter falfesték a 16 cm átmérőjű, forgáshenger alakú festékes vödörben? Válaszát cm-ben, egészre kerekítve adja meg! (5 pont) Megoldás: a)
Az egy fordulattal lefestett falfelület nagysága a (festő)henger palástjának területével egyenlő. (1 pont) 3 Tpalást 2 2 20 80 251,3 cm (1 pont) 40 m2 400000 cm2 ,
(1 pont)
tehát a teljes falfelület befestéséhez 400000 1592 fordulatra van szükség a festőhengerrel. kb. 251,3 Ennyi fordulattal kb. 1592 3 4776 ml festéket viszünk fel a falra. 4 liter festék megvásárlása tehát nem elegendő. b) 4 liter 4 dm3 4000 cm3
r 8 cm 4000 cm3 82 m 4000 19,9 cm . Ebből m 64 A festék tehát kb. 20 cm magasan állna a vödörben.
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)
(1 pont) Összesen: 11 pont 3) Egy kereskedőcég bevételei két forrásból származnak: bolti árusításból és internetes eladásból. Ebben az évben az internetes árbevétel 70%-a volt a bolti árbevételnek. A cég vezetői arra számítanak, hogy a következő években az internetes eladásokból származó árbevétel évente az előző évi internetes árbevétel 4%-ával nő, a bolti eladásokból származó árbevétel viszont évente az előző évi bolti árbevétel 2%-ával csökken. a) Számítsa ki, hány év múlva lesz a két forrásból származó árbevétel egyenlő! (8 pont) A cég ügyfélszolgálatának hosszú időszakra vonatkozó adataiból az derült ki, hogy átlagosan minden nyolcvanadik vásárló tér vissza később valamilyen minőségi kifogással. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy 100 vásárló közül legfeljebb kettőnek lesz később minőségi kifogása! (6 pont) Megoldás: a)
Ha a bolti eladásokból származó idei árbevétel b (Ft), akkor az internetes eladásokból származó árbevétel jelenleg 0,7b (Ft). b 0 (1 pont)
Ha a bevételek egyenlősége x év múlva következik de, akkor x x (1 pont) 1,04 0,7 0,98 b , x x amiből (a pozitív b -vel való osztás után) 1,04 0,7 0,98 . (1 pont) Mindkét oldal tízes alapú logaritmusát véve és a logaritmus azonosságait felhasználva: x lg1,04 lg 0,7 x lg 0,98 (2 pont) lg 0,7 Ebből x (1 pont) 6 lg 0,98 lg1,04 A két forrásból származó árbevétel 6 év múlva lesz (1 pont) (körülbelül) egyenlő. Ellenőrzés (1 pont) 1 b) Annak a valószínűsége, hogy egy vevő reklamál: , 80
1 79 P legfeljebb 2 reklamál P senki nem reklamál
annak a valószínűsége, hogy nem reklamál:
(1 pont) (1 pont)
P 1 reklamál P 2 reklamál 100
99
2
100 1 79 100 1 79 79 2 80 80 80 1 80 80 0, 2843 0, 3598 0, 2255 0, 87
98
(3 pont) (1 pont)
Összesen: 14 pont koordináta-rendszerben az y 3x 2 x 3
4) Adott síkbeli derékszögű egyenletű görbe. a) Igazolja, hogy ha x 0; 3 , akkor y 0 .
(4 pont)
b) Írja fel a görbe 3 abszcisszájú pontjában húzható érintőjének egyenletét! (abszcissza: első koordináta) (5 pont) c) Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet a görbe első síknegyedbe eső íve és az x tengely fog közre! (5 pont) Megoldás: a)
3x 2 x 3 x 2 3 x
(1 pont)
2
Az x tényező pozitív, mert x 0 . A 3 x tényező is pozitív, mert x 3 , Így a két tényező szorzata is pozitív, ha x 0; 3 . b) (A megadott görbe az f x 3x 2 x 3, x
c)
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
függvény grafikonja.)
Ekkor f x 6x 3x 2 ,
(1 pont)
f 3 9 ,
(1 pont)
f 3 0 .
(1 pont)
Az érintő meredeksége tehát 9 (és átmegy a 3;0 ponton).
(1 pont)
Az érintő egyenlete: y 9x 27 .
(1 pont)
Az y 3x x egyenletű görbének az x 0 helyen van közös pontja az x tengellyel. (1 pont) (Tudjuk, hogy ha x 0;3 , akkor y 0 , ezért) a kérdezett terület 2
3
3
T
f x dx .
(1 pont)
0
3
3
3 x4 3 x x dx x 4 0 0 81 27 0 0 6, 75 . 4 2
3
(2 pont) (1 pont)
II.
Összesen: 14 pont
5) A tavaszi idény utolsó bajnoki mérkőzésén a Magas Fiúk Kosárlabda Klubjának (MAFKK) teljes csapatából heten léptek pályára. A mérkőzés után az edző elkészítette a hét játékos egyéni statisztikáját. Az alábbi táblázat mutatja a játékosok dobási kísérleteinek számát és az egyes játékosok dobószázalékát egészre kerekítve. (A dobószázalék megmutatja, hogy a dobási kísérleteknek hány százaléka volt sikeres.) Dobási Játékos kísérletek Dobószázalék mezszáma száma 4 2 50 5
3
0
6
10
60
7
8
25
10
7
43
13
6
33
15 14 57 a) Számítsa ki, hogy mennyi volt a csapat dobószázaléka ezen a mérkőzésen! (5 pont) Az őszi idény kezdete előtt egy hónappal a MAFKK csapatához csatlakozott egy 195 cm magas játékos, így a csapattagok magasságának átlaga a korábbi átlagnál 0,5 cm-rel nagyobb lett. Pár nap múlva egy 202 cm magas játékos is a csapat tagja lett, emiatt a csapattagok magasságának átlaga újabb 1 cm-rel nőtt. b) Hány tagja volt a MAFKK-nak, és mekkora volt a játékosok magasságának átlaga a két új játékos csatlakozása előtt? (11 pont) Megoldás: a)
Az egyes játékosok sikeres dobásainak száma rendre: 1, 0, 6, 2, 3, 2 és 8. (2 pont) A csapat dobási kísérleteinek a száma a mérkőzésen 50, (1 pont) a sikeres dobások száma 22 volt. (1 pont) A csapat dobószázaléka 44. (1 pont) b) A két új játékos csatlakozása előtt a csapat tagjainak száma x a tagok magasságának átlaga pedig y cm volt x , y 0 . (1 pont) (Az első játékos belépése előtt a csapattagok magasságának összege xy volt, xy 195 y 0,5 . az új játékos után xy 195 lett, tehát) (2 pont) x 1 Az előzőhöz hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy a második új játékos xy 195 202 y 1,5 . belépését követően (2 pont) x 2 Az egyenletek rendezése után a
0,5x y 194,5 (2 pont) egyenletrendszerhez jutunk. 1,5x 2y 394 (2 pont) x 10 és y 189,5 . A csapat tagjainak száma 10, az átlagos magasságuk pedig 189,5 cm volt. (1 pont) Ellenőrzés. (1 pont) Összesen: 16 pont 6) Megadtunk három egyenest, és mindegyiken megadtunk öt-öt pontot az ábra szerint. a) Hány olyan szakasz van, amelynek mindkét végpontja az ábrán megadott 15 pont valamelyike, de a szakasz nem tartalmaz további pontot a megadott 15 pont körül? (6 pont) Az egyenlő oldalú ABC háromszög 18 egység hosszúságú oldalait hat-hat egyenlő részre osztottuk, és az ábra szerinti osztópontok összekötésével megrajzoltuk a PQR háromszöget. b) Számítsa ki a PQR háromszög területének pontos értékét! (10 pont) Megoldás:
15 A megadott 15 pont összesen szakaszt határoz meg. 2 Egy-egy megadott egyenesen a nem megfelelő szakaszok száma 6, tehát összesen 18 nem megfelelő szakasz van. 15 A megfelelő szakaszok száma 18 87 2 b) Az ábra jelöléseit használjuk. A CNM háromszög egy 6 egység oldalú szabályos háromszög. (2 pont) a)
(2 pont) (2 pont) (1 pont) (1 pont)
A CNM szabályos háromszög magassága az ABC szabályos 1 háromszög magasságának a harmada CG CF : (1 pont) 3 1 3 CG 18 3 3 , (1 pont) 2 3 a PQMN trapéz magassága pedig ennek a kétszerese: FG 6 3 (1 pont) A PQR háromszög hasonló az MNR háromszöghöz, mert szögeik páronként egyenlők (csúcsszögek, illetve váltószögek). (1 pont)
A két háromszög hasonlóságának aránya 2 :1 , (1 pont) így a megfelelő oldalaikhoz tartozó magasságainak aránya is ennyi. (1 pont) Ezért FR 4 3 , (1 pont) 12 4 3 24 3 (területegység). és a PQR háromszög területe (1 pont) 2 Összesen: 16 pont 7) Egy üzemben egyforma, nagyméretű fémdobozok gyártását tervezik. A téglatest alakú doboz hálózatát egy 2 méter 1 méteres téglalapból vágják ki az ábrán látható módon. A kivágott idom felhajtott lapjait az élek mentén összeforrasztják. (A forrasztási eljárás nem jár anyagveszteséggel.) a) Hogyan válasszák meg a doboz méreteit, hogy a térfogata maximális legyen? Válaszát centiméterben, egészre kerekítve adja meg!(11 pont) A dobozokat egy öt karakterből álló kóddal jelölik meg. Minden kódban két számjegy és három nagybetű szerepel úgy, hogy a két számjegy nincs egymás mellett. Mindkét számjegy eleme a 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 halmaznak, a betűket pedig a 26 betűs (angol) ábécéből választják ki (például 7WA3A egy lehetséges kód). b) Hány különböző kód lehetséges? (5 pont) Megoldás: a)
(Az ábra jelöléseit használva) a téglatest méretei méterben: x , 1 x , 1 2x ,
(1 pont)
a téglatest térfogata m -ben: x 1 x 1 2x (ahol 0 x 0,5 ).
(1 pont)
3
Keressük a V : 0; 0,5
V x x 1 x 1 2x 2x 3 3x 2 x függvény
maximumát. V x 6x 2 6x 1 .
(1 pont) (1 pont)
(A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy) V x 0 .
(1 pont)
A másodfokú egyenlet (valós) megoldásai:
3 3 0,211 és 6
3 3 (2 pont) 0,789 . 6 Ez utóbbi nem eleme a V értelmezési tartományának, ezért ez nem jöhet szóba. (1 pont) 3 3 A V függvény a 0,211 helyen előjelet vált (pozitívból negatívba 6 megy át), ezért ez a V függvénynek az egyetlen szélsőértékhelye, mégpedig a maximumhelye. (1 pont)
A maximális térfogatú doboz méretei (a kért kerekítéssel): 21, 79 és 58 (cm). (2 pont) 5 b) Az ötkarakteres kódban 4 6 különböző módon lehet két számjegy 2 helyét kijelölni. (2 pont) A két helyre 10 10 100 különböző módon lehet két számjegyet választani úgy, hogy a sorrendjük is számít, a másik három helyre pedig 263 17576
(1 pont) különböző módon három
nagybetűt. A különböző kódok száma tehát 6 100 17 576 10 545 600 .
(1 pont) (1 pont)
Összesen: 16 pont 8) a) Határozza meg az alábbi kijelentések logikai értékét (igaz-hamis)! Válaszait indokolja! (8 pont) I. Van olyan hatpontú fagráf, amelynek minden csúcsa páratlan fokszámú II. Ha egy hétpontú egyszerű gráfnak 15 éle van, akkor a gráf összefüggő. III. Van olyan fagráf amelyben a csúcsok számának és az élek számának összege páros. A, B, C , D, E és F . Egy hatfős társaság tagjai Mindenkit megkérdeztünk, hogy hány ismerőse van a többiek között (az ismeretség kölcsönös). A válaszként kapott hat természetes szám szorzata 180. Az is kiderült, hogy A -nak legalább annyi ismerőse van, mint B -nek, B -nek legalább annyi ismerőse van, mint C -nek, és így tovább, E -nek legalább annyi ismerőse van, mint F -nek. b) Szemléltesse egy-egy gráffal a lehetséges ismeretségi rendszereket! (8 pont) Megoldás: a)
Az I. állítás igaz. Megfelelő konstrukció (lásd az alábbi két példát) vagy szöveges indoklás. (2 pont) A II. állításra ellenpélda az a hétpontú gráf, amelynek van egy hatpontú teljes részgráfja és egy izolált pontja. (2 pont) A II. állítás tehát hamis. (1 pont) Az n pontú gráfnak n 1 éle van, (1 pont) ezért a csúcsok és az élek számának összege 2n 1 , ami páratlan. (1 pont) A III. állítás tehát hamis. (1 pont) b) (Ha az ismeretségek száma rendre a, b, c, d, e és f , akkor a b c d e f )
180 22 32 5 . (1 pont) Mivel az ismeretségi gráfban a pontok száma legfeljebb 5 (és a b c d e f ), (1 pont) ezért a csúcsok fokszámai a következők lehetnek (az ismeretségek számát a névsornak megfelelően rendezve): 5, 3, 3, 2, 2, 1 (1 pont)
vagy 5, 4, 3, 3, 1, 1. (1 pont) A második esethez nem tartozik gráf, (1 pont) mert nincs olyan gráf, amelyben a páratlan fokszámú csúcsok száma páratlan. (1 pont) Két lehetséges ismeretségi gráf van (például azért, mert B -nek és C -nek is van ismerőse D és E között, ezért D és E nem ismerheti egymást, így D az A -n kívül vagy C -t vagy B t ismerheti). (2 pont) Összesen: 16 pont 9) Éva egy 7 7 -es táblázat bal felső mezőjétől kezdve, balról jobbra haladva, sorról sorra beírta egy számtani sorozat első 49 tagját úgy, hogy a tagok sorrendjét nem változtatta meg. (A sorozat 1. tagja a bal felső sarokba került, a 8. tag a második sor első mezőjébe, a 49. tag pedig a jobb alsó sarokban áll.) a) Mennyi a táblázatba írt 49 szám összege, ha Éva a harmadik sor harmadik mezőjébe 91-et, az ötödik sor ötödik mezőjébe pedig a 11-et írta? (5 pont) Péter a táblázat minden sorából kiválasztja a számtani sorozat egy-egy tagját úgy, hogy a hét kiválasztott szám közül semelyik kettő ne legyen egy oszlopban. b) Igazolja, hogy akárhogyan is választja ki Péter így a számokat, a hét szám összege minden esetben ugyanannyi lesz! (6 pont) c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a 91 és a 11 is a Péter által kiválasztott számok között lesz! (5 pont) Megoldás: a)
a17 91 és a33 11 Ebből d 5 , majd a1 171 .
2 171 49 1 5 49 S49 2 2499
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)
b) Adjuk össze a sorozat főátlóban álló tagjait! (Ezek összege 357.) (1 pont) Ha a táblázat két kiválasztott sorában felcseréljük, hogy melyik sorban melyik oszlopból választottuk ki a sorozat tagját, (1 pont) akkor (ha az érintett oszlop sorszáma között k a különbség) az egyik oszlopban k d -vel nő, a másik oszlopban k d -vel csökken a kiválasztott tag értéke. (2 pont) Tehát a sorozat hét kiválasztott tagjának összege a két tag cseréje után ugyanannyi marad, mint amennyi a csere előtt volt. (1 pont) Mivel a sorozat főátlóban álló tagjaiból kiindulva, két-két tag cserélgetésével bármelyik kiválasztott számheteshez eljuthatunk, a tagok összege bármely hét tag (leírtak szerinti) kiválasztása esetén ugyanannyi (357). (1 pont) c) Péter összesen 7! 5040 -féleképpen választhat ki a táblázatból számokat a megadott szabály szerint. (1 pont) Ha a 91 és a 11 is a kiválasztott számok közt van, akkor az első sorból 5féleképpen választhat, ezután a másodikból 4-féleképpen, a negyedikből 3féleképpen, a hatodikból 2-féleképpen, a hetedikből pedig1-féleképpen. (1 pont) Ez 5! 120 lehetőség. (1 pont) 120 A kérdéses valószínűség így (1 pont) 5040 (1 pont) 0, 024 Összesen: 16 pont
