5
ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI
5.1
Základní úvahy Základní úlohou teorie spolehlivosti stavebních konstrukcí je rozbor zdánlivě
jednoduché podmínky mezi účinkem zatížení E a odolností konstrukce R ve tvaru nerovnosti E
(5.1)
Podmínka (5.1) popisuje vyhovující (bezpečný) stav sledované konstrukce. Porucha konstrukce nastane v případě, že nerovnost (5.1) není splněna. Předpokládá se tedy, že existuje ostré (jednoznačné) rozhraní mezi vyhovujícím (bezpečným) a nevyhovujícím stavem (poruchou) konstrukce, popsané rovností R-E=0
(5.2)
kterému se říká mez porušení (mezní stav). Příklad 5.1. Ocelová tyč podle obrázku 5.1 má odolnost v axiálním tahu R (= π d2fy /4, kde d značí průměr tyče a fy mez kluzu) a přenáší břemeno o tíze E (= Vρ, kde V značí objem a ρ objemovou tíhu břemene). Podmínka (5.1) má tedy tvar
R
Vρ < πd2fy/4 Mez porušení je dána rovnicí π d2fy/4 - Vρ = 0 Mezní stav je zde definován jako dosažení meze kluzu fy. To je
E
sice často přijímané zjednodušení, nemusí však být pro některé Obrázek 5.1. Táhlo.
druhy ocele výstižné.
Obě veličiny E a R jsou náhodné veličiny a platnost nerovnosti (5.1) nelze zaručit absolutně, tj. s pravděpodobností 1. Je tedy nutno připustit, že s určitou malou pravděpodobností dojde k překročení meze porušení (mezního stavu) popsaného rovnicí (5.2) a nastane porucha. Základním cílem teorie spolehlivosti je stanovit pravděpodobnost poruchy pf. Pro jednoduchou podmínku vyhovujícího (bezpečného) stavu ve tvaru nerovnosti
59
(5.1) lze pravděpodobnost poruchy zapsat ve tvaru pf = P(E > R)
(5.3)
Náhodné chování účinku zatížení E a odolnosti R je obvykle popsáno vhodným typem rozdělení pravděpodobností, tj. distribuční funkcí ΦE(x), ΦR(x) a odpovídající hustotou pravděpodobnosti ϕE(x), ϕR(x), kde x označuje obecný bod sledované veličiny X (např. napětí, síla, ohybový moment), prostřednictvím které jsou obě veličiny E a R vyjádřeny. Rozdělení veličin E a R jsou dále závislá na příslušných parametrech, např. na momentových parametrech µE, σE, αE, µR, σR a αR. Předpokládáme dále, že E a R jsou vzájemně nezávislé (což je možné zajistit případnou transformací). Obrázek 5.2 ukazuje příklad rozdělení pravděpodobností obou veličin a jejich vzájemnou polohu. Typy rozdělení a údaje o jejich parametrech (vyjádřené v bezrozměrných jednotkách, např. v procentech) uvedené na obrázku 5.2 jsou ukázkou možných teoretických modelů pro veličiny E a R.
Hustota pravděpodobnosti ϕ(x) 0.06
Účinek zatížení E gama rozdělení, µE = 70, σE = 7
Odolnost R lognomální rozdělení, µR = 100, σR = 10
0.04
0.02
0.00
40
60
80
100
120
140
Náhodná veličina X Obrázek 5.2. Účinek zatížení E a odolnost R jako náhodné veličiny. Všimněme si, že hustoty pravděpodobnosti ϕE(x) a ϕR(x) se na obrázku 5.2 překrývají a je tedy zřejmé, že může dojít k současnému výskytu takových (nepříznivých) realizací e a r veličin E a R, že platí e > r a nastane tedy porucha. Aby k takovému stavu došlo pouze s přijatelně malou pravděpodobností pf, musí být v závislosti na typech rozdělení splněny určité podmínky o vzájemné poloze a rozptylu veličin E a R. Jednou z takových podmínek
60
bude patrně nerovnost µE < µR, která je na obrázku 5.2 splněna. Zřejmě však tato "podmínka polohy" obou rozdělení nebude postačující.
5.2
Zvláštní případ jedné náhodné veličiny Sledujme nejdříve zvláštní případ, kdy jedna z veličin E a R, řekněme účinek zatížení
E, má velmi malou (zanedbatelnou) variabilitu v porovnání s variabilitou odolnosti R. Pak lze E považovat za veličinu nenáhodnou (deterministickou), tj. za takovou veličinu, která při každé relizaci nabývá určité pevné hodnoty e0 (E = e0). Takové případy mohou jistě v praxi nastat. Ukázkou je táhlo s břemenem z příkladu 5.1, kdy tíhu F zavěšeného břemena je možno stanovit dostatečně přesně (bez významných nejistot). Popsaný zvláštní případ je zachycen na obrázku 5.3, kde účinek zatížení je vyznačen jedinou hodnotou e0 = 80 (µ = 80, σ = 0). Hustota pravděpodobnosti ϕ(x) 0,06
0,04
Deterministický účinek zatížení E: e0 = 80 (µE = 80, σE = 0)
Náhodná odolnost R: lognomální rozdělení, µR = 100, σR = 10
0,02
0,00
-u0×σR
40
60
80
100
120
140
Náhodná veličina X Obrázek 5.3. Deterministický účinek zatížení E a náhodná odolnost R. Pravděpodobnost poruchy pf pro zvláštní případ deterministického účinku zatížení zachyceného na obrázku 5.3 je možno stanovit přímo z distribuční funkce ΦR(x) pf = P(R < e0) = ΦR(e0)
(5.4)
Hodnota distribuční funkce ΦR(e0) se obvykle stanoví z tabulek pro normovanou náhodnou veličinu U, pro kterou se vypočte hodnota u0 odpovídající e0. Z transformačního vzorce (3.14) vyplývá, že
61
u0 = (e0 - µR) /σR
(5.5)
Pravděpodobnost poruchy pf je pak dána pf = P(R < e0) = ΦR(e0) = ΦU(u0)
(5.6)
kde ΦU(u0) je hodnota distribuční funkce normované náhodné veličiny příslušného rozdělení (např. normálního nebo lognormálního). Všimněme si, že hodnota -u0 je vzdálenost pevné hodnoty e0 účinku zatížení E od průměru µR odolnosti R vyjádřená v jednotkách směrodatné odchylky σR. Jestliže rozdělení odolnosti R je normální, pak se takto definovaná vzdálenost nazývá index spolehlivosti β β = (µR − e0) /σR
(5.7)
a pravděpodobnost poruchy lze vyjádřit vztahem pf = P(R < e0) = ΦU(−β)
(5.8)
Pokud však odolnost R má jiné rozdělení než normální, definuje se index spolehlivosti β formálně jako záporná hodnota normované náhodné veličiny odpovídající pravděpodobnosti poruchy pf. Obecně tedy platí definice β = − Φ U−1 ( p f )
(5.9)
kde Φ U−1 ( p f ) označuje funkci, která je inverzní k distribuční funkci normovaného normálního rozdělení. Takto formálně definovaný index spolehlivosti je dnes všeobecně používanou mírou spolehlivosti konstrukcí. Příklad 5.2. Uvažujme, že odolnost R má průměr µR = 100 (vyjádřeno v bezrozměrných jednotkách), směrodatnou odchylku σR = 10 (variační koeficient je tedy w = 0,10). Pro deterministický účinek zatížení platí, že e0 = 80 (viz obrázek 5.3). Jestliže R má normální rozdělení, pak z rovnice (5.7) plyne přímo index spolehlivosti β = (100 − 80) /10 = 2 a pravděpodobnost poruchy plyne ze vztahu (5.8) pf = P(R < 80) = ΦU(−2) = 0,023 kde ΦU(−2) je hodnota distribuční funkce normovaného normálního rozdělení pro u = −2. Jestliže však R nemá normální rozdělení, nýbrž lognormální rozdělení s dolní mezí v nule
62
(podle rovnice (3.20) pro šikmost platí α = 3 w + w3 = 0,301), pak z rovnice (5.5) plyne u0 = (80 − 100) /10 = −2 Pravděpodobnost poruchy pf je pak dána pf = P(R < 80) = ΦU(−2) = 0,014 kde ΦU(−2) je distribuční funkce normované náhodné veličiny U s lognormálním rozdělením, která má šikmost α = 0,301. Výsledné pravděpodobnosti se navzájem příliš neliší, jejich hodnoty jsou však poněkud vysoké. Pokud se pevná hodnota účinku zatížení sníží na e0 = 70, vychází pro normální rozdělení odolnosti R index spolehlivosti β = 3 a pravděpodobnost poruchy pf = P(R < 70) = ΦU (−3) = 0,00135 pro lognormální rozdělení s dolní mezí v nule pf = P(R < 70) = ΦU (−3) = 0,00021 Výsledné pravděpodobnosti poruchy jsou významně nižší než pro e0 = 80. Jejich vzájemné rozdíly však také ukazují, že předpoklad o typu rozdělení tu hraje významnou roli a může být rozhodující. Formálně definovaný index spolehlivosti podle rovnice (5.9) v posledním případě vychází β = − Φ U−1 (0,00021) = 3,53, tedy větší než hodnota 3, která platí pro předpoklad normálního rozdělení odolnosti R.
5.3
Zvláštní případ dvou náhodných veličin Jestliže účinek zatížení E i odolnost R jsou náhodné veličiny, je stanovení
pravděpodobnosti pf definované rovnicí (5.3) složitější. Nejjednodušší je v tomto případě předpoklad normálního rozdělení obou veličin E a R. Za tohoto předpokladu má také rozdíl G=R−E
(5.10)
který se nazývá rezerva spolehlivosti, normální rozdělení. Parametry rezervy spolehlivosti pro vzájemně nezávislé veličiny R a E (bez ohledu na typ jejich rozdělení) jsou µG = µR − µE
(5.11)
σ G2 = σ R2 + σ E2
(5.12)
Pro pravděpodobnost poruchy pf lze nyní modifikovat rovnicí (5.3) na tvar pf = P(E > R) = P(G < 0) = ΦG(0)
63
(5.13)
a celý problém se redukuje na stanovení hodnoty distribuční funkce ΦG(g) pro (g = 0), která udává pravděpodobnosti výskytu záporných hodnot rezervy G. Víme, že se hodnota distribuční funkce ΦG(g) stanoví z tabulek pro normovanou náhodnou veličinu U, pro kterou se nejdříve zjistí hodnota u0 odpovídající hodnotě g = 0 podle transformačního vzorce (3.14) u0 = (0 − µG) /σG = − µG /σG
(5.14)
Pravděpodobnost poruchy pf je pak dána pf = P(R < E) = ΦG(0) = ΦU(u0)
(5.15)
Hustota pravděpodobnosti ϕG(g) rezervy spolehlivosti G je zachycena na obrázku 5.4, šedá plocha pod křivkou ϕG(g) odpovídá pravděpodobnosti pf. Hustota pravděpodobnosti ϕG(g) 0,04
0,03 1 − pf
0,02 − u0 σG 0,01
pf
0,00 −10
0
20
10
30
40
50
Rezerva spolehlivosti G
Obrázek 5:4. Rozdělení rezervy spolehlivosti G. Jak již bylo řečeno, za předpokladu, že G má normální rozdělení, se hodnota −u0 nazývá index spolehlivosti a označuje se symbolem β. Z rovnice (5.14) vyplývá pro index spolehlivosti vztah β = µG /σG =
µR − µE σ R2 + σ E2
(5.16)
Víme již také, že takto definovaný index spolehlivosti β lze popsat geometricky jako vzdálenost průměru µG rezervy spolehlivosti G od počátku, stanovenou v jednotkách směrodatné odchylky σG. 64
Příklad 5.3. Uvažujme, že stejně jako v příkladu 5.2 má odolnost R průměr µR = 100 (vyjádřeno v bezrozměrných jednotkách), směrodatnou odchylku σR = 10 (variační koeficient je tedy pouze w = 0,10). Pro účinek zatížení E nechť platí µE = 80 a σE = 8. Z rovnic (5.11) a (5.12) vyplývá µG = 100 − 80 = 20 σ G2 = 10 2 + 8 2 = 12,812 Jestliže R i E má normální rozdělení, pak z rovnice (5.7) plyne přímo index spolehlivosti β = 20 /12,81= 1,56 a pravděpodobnost poruchy plyne ze vztahu (5.8) pf = P(G <0) = ΦU(−1,56) = 0,059
Jestliže veličiny E a R nejsou normální, pak rozdělení rezervy spolehlivosti G také není normální a uvedený postup je třeba upravit. V obecném případě se obvykle obě základní veličiny transformují na veličiny s normálním rozdělením, a pak je možno postupovat podle předcházející vztahů. Tyto transformace se uplatňují zejména u softwarových produktů, neboť jde o náročné operace. Pro první (řádovou) představu však zpravidla postačí následující jednoduchá aproximace, při které se rozdělení rezervy spolehlivosti G pokládá za tříparametrické lognormální rozdělení. Předpokládáme, že rozdělení veličin E a R jsou závislá na momentových parametrech µE, σE, αE, µR, σR a αR. Průměr a směrodatná odchylka rezervy spolehlivosti G lze stanovit z předchozích rovnic (5.11) a (5.12), šikmost αG rezervy spolehlivosti G ze vztahu αG =
σ R3 α R − σ E3 α E
(σ
2 R
+ σ E2
)
3/2
(5.17)
Předpokládá se, že rezervu spolehlivosti G lze dostatečně výstižně popsat lognormálním rozdělením s takto stanovenými parametry µG, σG a αG. Ukazuje se, že tato aproximace poskytuje vyhovující výsledky, pokud pravděpodobnost poruchy není velmi malá. Příklad 5.4. Uvažujme táhlo s odolností R se zavěšeným břemenem o tíze E. Nechť odolnost R má logormální rozdělení s počátkem v nule s parametry (vyjádřenými opět v relativních bezrozměrných jednotkách) µR = 100 a σR = 10 (a tedy αR = 0,301), tíha E nechť má Gumbelovo rozdělení s momentovými parametry µE = 50 a σE = 10 (z oddílu 3.4 plyne, že αE
65
= 1,14). Parametry rezervy spolehlivosti se stanoví z rovnic (5.11), (5.12) a (5.17) µG = µR − µE =100 − 50 = 50 σ G2 = σ R2 + σ E2 =102+102 = 14,142 αG =
σ R3 α R − σ E3 α E
(σ
2 R
+ σ E2
)
3/2
=
10 3 × 0,301 − 10 3 × 1,14
(10
2
+ 10 2
)
3/2
= − 0,30
Pro normovanou náhodnou veličinu z rovnice (5.14) plyne u0 = − µG /σG = − 50/14,14 = − 3,54 Pro lognormální rozdělení se šikmostí αG = - 0,30 platí pf = P(R < E) = ΦU(−3,54) = 0,00100 což odpovídá indexu spolehlivosti β = 3,09. Přesnější výsledek získaný aplikací softwaru VaP [32] je pf = 0,00181. Jestliže by se však při odhadu pravděpodobnosti nepřihlíželo k šikmosti, pak z normálního rozdělení plyne pf = P(R < E) = ΦU(−3,54) = 0,00020 což je řádově odlišný výsledek proti předpokladu lognormálního rozdělení.
5.4
Přesné řešení pro dvě náhodné veličiny Přesné řešení pravděpodobnosti poruchy pf, která je pro případ dvou náhodných
veličin E a R definována rovnicí (5.3), lze získat integrací. Vysvětlíme ji s použitím obrázku 5.5. Označme jev A výskyt účinku zatížení E v diferenciálním úseku <x, x+dx>. Pravděpodobnost jevu A je dána vztahem P(A) = P(x< E<x+dx) = ϕE(x) dx
(5.18)
Označme jev B výskyt odolnosti R v intervalu < -∞, x >. Pravděpodobnost jevu B je podle oddílu 3.1 dána vztahem P(B) = P(R < x) = ΦR(x)
(5.19)
Diferenciál (přírůstek) pravděpodobnosti poruchy dpf odpovídající výskytu veličiny E v intervalu <x, x+dx> je dán pravděpodobností současného výskytu jevů A a B, tj.
66
pravděpodobností jejich průniku A∩B. Podle věty o součinu pravděpodobností (2.22) platí dpf = P(A∩B) = P(A) P(B) = P(x< E<x+dx) P(R<x) = ΦR(x) ϕE(x) dx
(5.20)
Zde se však uplatňuje výše uvedený předpoklad vzájemné nezávislosti veličin E a R, a tedy také nezávislosti jevů A a B. Hustota pravděpodobnosti ϕ(x) 0,06
Účinek zatížení E gama rozdělení, µE = 70, σE = 7
Odolnost R lognomální rozdělení, µR = 100, σR = 10
0,04 dx 0,02
0,00
40
60
x x+dx
100
120
140
Náhodná veličina X Obrázek 5.5. Rozdělení veličin E a R. Integrace diferenciálního vztahu (5.20) v intervalu současného výskytu obou veličin E a R (obecně v intervalu < - ∞, ∞ >) vede ke vztahu pf =
∞
∫ Φ R ( x )ϕE ( x )dx
(5.21)
−∞
Integraci vztahu (5.21) je zpravidla nutno provést numericky, popř. simulační metodou Monte Carlo. Pro numerickou integraci vztahu (5.21) za předpokladu, že obě veličiny E a R lze popsat (alespoň aproximativně) obecným (tříparametrickým) rozdělením, autor sestavil jednoduchý program "PFLN" v jazyce FORTRAN, který je uveden v dodatku 1. Příklad 5.5. Účinek zatížení E i odolnost R jsou popsány lognormálním rozdělením se stejnými parametry jako v příkladu 5.4 (Gumbelovo rozdělení pro E je nahrazeno lognormálním rozdělením se stejnými parametry). Aproximativní řešení v příkladu 5.4 vedlo k pravděpodobnosti poruchy pf = P(R < E) = ΦU(−3,54) = 0,00100. Numerická integrace podle 67
vztahu (5.21) s využitím programu PFLN vede k výsledku pf = P(R < E) = 0,00243, program VaP poskytuje výsledek pf = P(R < E) = 0,00184, což lze pokládat za velmi dobrou shodu. Pravděpodobnost poruchy pf stanovená pro dané parametry veličin E a R (µR = 100, σR = 10, µE = 50 a σE = 10) programem PFLN je v závislosti na šikmostech αE a αR zachycena na obrázku 5.6.
Šikmost αE 0 1,00E-02 1,00E-03
0,5 -2
1
2
-1
0
Šikmost αR
1 1,00E-04
1,5
2
1,00E-05 pf 1,00E-06
Obrázek 5.6. Pravděpodobnost poruchy pf v závislosti na šikmostech αE a αR pro µR = 100, σR = 10, µE = 50 a σE = 10. Z obrázku 5.6 je zřejmé, že pravděpodobnost poruchy pf je významně závislá na šikmostech αE a αR a může se v praktických podmínkách při stejných průměrech a směrodatných odchylkách veličin E a R pohybovat v rozmezí několika řádů. Ukazuje se tedy, že přesné stanovení pravděpodobnosti poruchy v případě jednoduché podmínky ve tvaru nerovnosti (5.1), ve které se uplatňují pouze dvě náhodné veličiny E a R, je snadné jen za předpokladu, že obě veličiny mají normální rozdělení. Jestliže mají jiná rozdělení, je přesné řešení obtížnější a výsledné hodnoty jsou významně závislé na typech rozdělení. Přibližné řešení s využitím lognormálního rozdělení je užitečné pro první odhad, výsledné pravděpodobnosti je však třeba ověřit přesnějšími postupy.
5.5
Návrhový bod Pro praktické využití důležitých poznatků teorie spolehlivosti se v Eurokódech
přijímají různá zjednodušení, aby bylo možno obecné postupy efektivně přenášet do
68
operativních dokumentů. Základem těchto zjednodušení je grafické vyjádření základních vztahů veličin E a R tak, jak je zachycuje obrázek 5.7. Předpokládá se, že veličiny E a R jsou nezávislé a že obě mají normální rozdělení.
E
σE
mez porušení E/σE= R/σR návrhový bod (ed /σE, rd /σR) β
αEβ µE /σE αR β
µR /σR R σR
Obrázek 5.7. Návrhový bod. Na obrázku jsou náhodné veličiny E a R zachyceny v dvojrozměrném grafu, kde na vodorovné ose je vyznačen poměr R /σR, na svislé ose poměr E /σE. Je zřejmé, že bezpečná oblast, kde je splněna podmínka 5.1, je na obrázku 5.7 pod diagonálou os (pod mezí porušení), nebezpečná oblast je nad diagonálou. Návrhovým bodem (ed, rd) může být kterýkoli bod na mezi porušení (diagonále), ukázalo se však [21,22,23,24], že nejlepší volbou, která zaručuje řadu důležitých vlastností (konsistenci a invariantnost řešení při různých formulacích téže podmínky, volnost výběru základních veličin) je nejbližší bod od průměru (µE, µR). Pak lze souřadnice návrhového bodu zapsat ed = µE − αE β σE
(5.22)
rd = µR − αR β σR
(5.23)
kde αE a αR značí tak zvané váhové součinitele veličin E a R (znaménko "minus" je v rovnicích zachováno v souladu s Eurokódem 1 [1]), ne tedy šikmost jako v předcházejících oddílech (tato nepříjemná dvojznačnost je přijata s ohledem na zachování stejných značek jako v dokumentech CEN a ISO [1,2]). Pro váhové součinitele (směrové kosiny přímky meze porušení) však z obrázku 5.7 vzhledem ke konvenci v rovnicích (5.22) a (5.23) vyplývá αE = −σE / σ E2 + σ R2
(5.24)
αR = σR / σ E2 + σ R2
(5.25)
69
V Eurokódech se dále přijímá aproximace těchto váhových součinitelů pevnými hodnotami
přičemž
se
vymezuje
αE = −σE / σ E2 + σ R2 = − 0,7
(5.26)
αR = σR / σ E2 + σ R2 = 0,8
(5.27)
platnost
aproximace
prostřednictvím
podmínky
pro
poměr
směrodatných odchylek ve tvaru nerovnosti 0,16 < σE /σR < 7,6
(5.28)
Mimo tento obor se doporučuje pro tu veličinu, která má větší směrodatnou odchylku, dosadit váhový součinitel α = ±1,0. Poznamenejme, že toto zjednodušení je na straně bezpečnosti, neboť součet čtverců směrových kosinů by se měl rovnat jedné. Návrhové hodnoty ed a rd veličin E a R jsou tedy definovány jako kvantily normálního rozdělení P(E > ed) = ΦU(+αEβ) = ΦU(−0,7β)
(5.29)
P(R < rd) = ΦU(−αRβ) = ΦU(−0,8β)
(5.30)
kde ΦU(u) značí distribuční funkci normovaného normálního rozdělení. Jestliže β = 3,8, pak návrhové hodnoty ed a rd jsou kvantily odpovídající přibližně pravděpodobnostem 0,999 a 0,001. Všimněme si, že v rovnici (5.29) se využívá symetrie normálního rozdělení, tj. vztahu 1 − ΦU(+αEβ) = ΦU(+αEβ). Jestliže model pro zatížení nebo pro odolnost obsahuje více základních veličin (více druhů zatížení, více materiálů, geometrické údaje), platí rovnice (5.29) a (5.30) pouze pro dominantní veličiny (nejvýznamnější z hlediska sledované podmínky spolehlivosti). Pro ostatní (nedominantní) veličiny se požadavky na návrhové hodnoty redukují a platí rovnice P(E > ed) = ΦU(+0,4αEβ) = ΦU(−0,28β)
(5.31)
P(R < rd) = ΦU(−0,4 αRβ) = ΦU(−0,32β)
(5.32)
Jestliže β = 3,8, pak návrhové hodnoty nedominantních veličin jsou kvantily odpovídající přibližně pravděpodobnostem 0,9 a 0,1. Návrhové hodnoty jsou tedy horní (u zatížení) nebo dolní (u odolnosti) kvantily s odpovídajícími pravděpodobnostmi jejich překročení (u zatížení) nebo jejich podkročení (u odolnosti). U dominantních veličin jde o pravděpodobnosti dané distribuční funkcí normovaného normálního rozdělení pro hodnoty u =+αEβ a −αRβ, u nedominantních veličin pro redukované hodnoty u = +0,4αEβ a −0,4αRβ. Tyto pravděpodobnosti (pro dolní kvantil
70
přibližně 0,001 u dominantních a 0,1 u nedominantních veličin) se pak uplatňují při stanovení návrhových hodnot i těch veličin, která nemají normální rozdělení. Poznamenáme, že ve smyslu obecných zásad kapitoly 4 je třeba u horních kvantilů (zatížení) pracovat s doplňkovými pravděpodobnostmi (blízkými hodnotě 1). Příklad 5.6. Pro návrhové hodnoty veličin E a R z příkladu 5.4 stanovíme návrhové hodnoty ed a rd za předpokladu, že index spolehlivosti β = 3,8, αE = −0,7 a αR = 0,8. Pro E z rovnice (5.29) tedy platí P(E > ed) = ΦU(αEβ) = ΦU(−2,66) = 0,0039 Doplňková pravděpodobnost je tedy 0,9961 a z rovnice (4.5) obdržíme
ed = µ − (0,45 + 0,78 ln( − ln( p ))) σ =50−(0,45+0,78×ln(−ln(0,9961)))×10 = 88,75 Poznamenáme, že za předpokladu normálního rozdělení z rovnice (4.2) obdržíme ep= µ + up σ = 50 + 2,66 ×10 = 76,6 Pro R z rovnice (5.30) platí P(R < rd) = ΦU(−αRβ) = ΦU(-3,04) = 0,0012 Pro lognormální rozdělení s průměrem 100 a variačním koeficientem 10 z rovnice (4.4) plyne r p ≅ µ exp(unorm,p × w ) =100×exp(− 3,04×0,10) = 73,79 Pro normální rozdělení vychází rp= µ + up σ = 50 − 3,04 ×10 = 69,6 Zřejmě ed > rd a táhlo tedy nevyhoví (z příkladu 5.4 víme, že β je pouze 3,09). Aby táhlo vyhovělo indexu spolehlivost 3,8, bylo by nutné parametry veličin E a R upravit.
5.6
Obecný případ více náhodných veličin Stavební konstrukce a systémy jsou zpravidla popsány řadou základních veličin X1,
X2,… Xn, které pro jednoduchost zápisu označíme jako vektor X [X1, X2,… Xn], realizace x1, x2, …, xn jako vektor x [x1, x2, …, xn]. V tomto případě se vztah (5.10) pro rezervu spolehlivosti G zapíše v symbolickém tvaru G = g(X) a bezpečná oblast je popsána podmínkou spolehlivosti ve tvaru
71
(5.33)
G = g(X) > 0
(5.34)
která je zobecněním podmínky (5.1). Mez porušení (funkce mezního stavu) je dána vztahem G= g(X) = 0
(5.35)
Pravděpodobnost poruchy pf (5.3) je pak zapsána ve tvaru pf = P(g(X) < 0)
(5.36)
Označme ϕX(x) n-rozměrnou hustotu pravděpodobnosti rozdělení vektoru X. Pak pravděpodobnost poruchy pf se obecně stanoví integrálem pf =
∫
ϕX g( X )<0
(5.37)
( x )dx
kde obor integrace je dán podmínkou G = g(X) < 0
(5.38)
která vymezuje nebezpečnou oblast vektoru X. Příklad 5.7. Vraťme se k příkladu 5.1 tažené ocelové tyče, jejíž odolnost je vyjádřena vztahem R = π d2fy /4, kde d značí průměr tyče, fy mez kluzu, přenáší břemeno o tíze E = F (viz obrázek 5.8). Rezerva spolehlivosti (5.33) má tedy tvar G(X) = g(d, fy, F) = π d2fy /4 − F > 0
2
R=π d fy/4
Mez porušení je popsána rovnicí G(X) = g(d, fy, F) = π d2fy /4 − F = 0 Kromě konstant vystupují v příkladu tři základní veličiny d, fy a F. Připomeneme opět, že mezní stav je zde definován jako dosažení
meze
kluzu
fy,
což
je
všeobecně
E=F
uvažované
zjednodušení, nemusí však pro některé druhy ocele odpovídat
Obrázek 5.8. Táhlo.
skutečnosti. Mez porušení je v případě více než dvou základních veličin poněkud obtížnější zachytit graficky. Pro dané tíhy F = 100 a 50 kN je mez porušení G(X) = 0 zakreslena na obrázku 5.9, kde je také vyznačena bezpečná oblast G(X) > 0 a nebezpečná oblast G(X) < 0. Jde o nelineární, ale spojitou a hladkou křivku. Na obrázku 5.9 jsou rovněž vyznačeny 72
průměry veličin d a fy (30 mm a 290 MPa) i návrhové body, které jsou odvozeny za předpokladu, že směrodatné odchylky jsou 3 mm a 25 MPa. Pravděpodobnost pf se stanoví ze vzorce (5.37), přičemž obor integrace podle vztahu (5.38) je na obrázku 5.9 označen jako nebezpečná oblast pod křivkou meze porušení.
400 F=100 kN
F=50 kN
350
Průměr (30,290)
300 fy [M Pa]
250
Bezpečná oblast
200
Návrhové body
150 100
Nebezpečná oblast
50 0 0
10
20
30 d [m m ]
40
50
60
Obrázek 5.9. Mez porušení a návrhové body pro táhlo. Výpočet pravděpodobnosti pf podle vztahu (5.37) lze provést na základě několika základních postupů: -
přesná analytická metoda
-
numerické metody integrace
-
přibližné analytické metody (FORM, SORM, metoda momentů)
-
simulační metody
-
kombinace předchozích metod.
Přesný výpočet integrálu (5.37) analytickými postupy je možný jen v jednodušších případech. V obecném případě, zejména je-li mez porušení g(X) = 0 komplikovaná (interakce několika funkcí), je nutno aplikovat různé numerické metody, přibližné analytické metody nebo simulačních metody. Základní dvě skupiny přibližných analytických postupů se označují zkratkami FORM (First Order Reliability Method) a SORM (Second Order Reliability Method). Odlišují se řádem Taylorova rozvoje meze porušení g(X) = 0 v okolí návrhového bodu (lineární aproximace meze porušení je naznačena na obrázku 5.9). Autor má velmi dobrou zkušenost se systémem STRUREL (STRUctural RELiability System) [31], který používá metody FORM, SORM a simulační metody. Systém zahrnuje několik samostatných programů (STATREL, COMREL, SYSREL, NASREL), je vhodný pro
73
řešení náročných úloh s časově závislými procesy. Uživatelsky velmi přátelský je program VaP, Variable Processor) [32], který vedle metody FORM využívá metody momentové a simulační. Tento program je vhodný zejména pro řešení jednodušších časově nezávislých úloh. Simulační metodu výpočtu umožňuje také u nás dostupný produkt M-Star [27, 33]. Podrobný popis jednotlivých metod je uveden v odborné literatuře [21,22,23,24,25, 26,27] nebo v manuálu k softwaru STRUREL [31]. Stručně se zmíníme o hlavních krocích metody FORM, která je základem pro odvození pravděpodobnostních ukazatelů metody dílčích součinitelů. Nejdůležitější kroky výpočtu pravděpodobnosti pf jsou: -
transformace základních veličin X na normované náhodné veličiny U a odpovídající transformace meze porušení g(X)=0 na g(U)=0
-
mez porušení g(U)=0 se aproximuje lineární funkcí (tečnou nadrovinou) v návrhovém bodě ud, což je bod na mezi porušení g(U)=0 nejblíže počátku
-
stanoví se vzdálenost β návrhového bodu ud od počátku a stanoví se pravděpodobnost poruchy pf = ΦU(−β)
Metoda SORM se od metody FORM v zásadě odlišuje tím, že se mez porušení g(U)=0 aproximuje v návrhovém bodě xd kvadratickou funkcí. Návrhový bod xd původních veličin X je podle metody FORM dán vztahem ΦXi(xid) = ΦU(−αiβ)
(5.39)
kde ΦXi(xid) je distribuční funkce původní proměnné Xi, ΦU je normovaná distribuční funkce normálního rozdělení. Pro αi >0 (odolnosti) návrhové body odpovídají dolním kvantilům, pro αi <0 (zatížení) návrhové body odpovídají horním kvantilům V Eurokódu [1] se uplatňuje tak zvaná metoda návrhových hodnot (viz přehled na obrázku 5.10), která vychází z podmínky g(xd) = g(x1d, x2d, ..., xnd) > 0
(5.40)
kde návrhové body xid jednotlivých základních veličin Xi jsou závislé na typu rozdělení a parametrech veličiny, na váhových součinitelích αi, které vyplývají z výpočtu metodou FORM a na indexu spolehlivosti β. Hodnoty součinitelů αi, doporučené pro účely tvorby norem, jsou uvedeny v tabulce 5.1 (viz též rovnice (5.26) až (5.30). Tabulka 5.1. Doporučené hodnoty váhových součinitelů αi. Základní veličina Xi
Doporučený váhový součinitel αi
odolnosti, dominantní
0,8 0,4 × 0,8 = 0,32
odolnosti, nedominantní
74
zatížení, dominantní
- 0,7 - 0,4 × 0,7 = - 0,28
zatížení, nedominantní
V souladu se zásadami Eurokódu se dílčí součinitele spolehlivosti γi základních veličin xi se u veličin s nepříznivým vlivem na pf, pro které αi < 0 (zvyšující účinek zatížení), stanoví ze vztahu γi = xid /xik
(5.41)
u veličin s příznivým vlivem na pf, pro které αi > 0 (zvyšující odolnost), ze vztahu γi = xik /xid
(5.42)
Takto definované dílčí součinitele spolehlivosti γi jsou zpravidla větší než 1. Podrobný postup uplatnění dílčích součinitelů spolehlivosti při ověřování spolehlivosti stavebních konstrukcí je uveden přímo v dokumentech [1, 2], skriptech [7], článcích [9,10,11,12] a v monografii [29]. Příklad 5.8. Uveďme pro základní veličiny d, fy a F táhlo z příkladu 5.7 nové údaje. Veliči- Typ
Průměr Směr. od. Součinitel
Návrhové hodnoty Návrhové hodnoty
na X
rozdělení
µX
σX
αX
xd teoretické
xd doporučené
d
normální
30
3
0,878
20,0
20,8
fy
lognorm.
290
25
0,275
263,5
260,8
F
Gumbel.
70
7
-0,391
81,5
91,7
Index spolehlivosti stanovený metodou FORM s využitím programu VaP [32] je β = 3,85. Návrhové hodnoty Xd se za předpokladu β = 3,85 vypočítají na základě doporučených hodnot váhových součinitelů αX podle tabulky 5.1. Průměr tyče d je zřejmě dominantní veličina odolnosti, takže z rovnice (4.2) plyne dd = µ(1 − αβw) = 30(1−0,8×3,85×0,1)= 20,8 mm Mez kluzu fy je v tomto příkladu nedominantní veličina odolnosti, takže z rovnice (4.4) plyne f y,d ≅ µ exp(− α × β × w ) =290 × exp (−0,32×3,85×0,086) = 260,8 kN Síla F je dominantní veličina zatížení, takže z rovnice (4.5) plyne
Fd ≅ µ − (0,45 + 0,78 ln( − ln( p ))) σ = 70 − (0,45+0,78×ln(−ln (Φ-1(0,7×3,85)))) ×7 = 91,7 kN Je patrná dobrá shoda teoretických a doporučených hodnot. Jestliže se charakteristická hodnota zatížení rovná průměru (což se obvykle předpokládá u vlastní tíhy) Fk=µk=70 kN, pak dílčí součinitel γF pro veličinu zatížení F vyplývá ze vztahu (5.41)
75
γF = Fd /Fk = 91,7/70 = 1,31 Poznamenáme,že kalibrace dílčích součinitelů γ se opírá o velké množství obdobně stanovených hodnot. Závěrem uveďme, že rozbor spolehlivosti se může buď omezit na jeden prvek nebo může zahrnovat konstrukční systém jako celek. Velké množství různých postupů a jejich rozsahů vedlo ke klasifikaci spolehlivostních metod do tří základních úrovní: -
úroveň III zahrnuje postupy přesné integrace a stanovení pravděpodobnosti pro celý konstrukční systém na základě teoretických modelů základních veličin;
-
úroveň II se opírá o stanovení pravděpodobnosti poruchy ve vybraných návrhových bodech na mezi porušení, které jsou vyhledány iteračními postupy;
-
úroveň I se omezuje na ověření spolehlivosti prvků na základě dílčích součinitelů stanovených s ohledem na určené charakteristické hodnoty základních veličin.
Nejnižší metoda úrovně I, která se často nazývá metoda dílčích součinitelů (nepřesně také často metoda mezních stavů), je základem současných zásad a pravidel pro navrhování konstrukcí v zemích EU (podle Eurokódů) i jinde ve světě (v ČR byla postupně zaváděná již po druhé světové válce). Uvedená klasifikace se uvádí také v přehledu spolehlivostních metod v Eurokódu 1 [1], kde je rovněž uveden diagram na obrázku 5.10, který zachycuje návaznosti jednotlivých metod a jejich vztah k metodě dílčích součinitelů.
Pravděpodobnostní metody Předchozí metody Empirické metody
Exaktní metoda (úroveň III)
FORM (úroveň II) Kalibrace
Kalibrace
Metoda návrhových hodnot
Kalibrace
(Ib) (Ia)
Metoda dílčích součinitelů (úroveň I)
(Ic)
Obrázek 5.10. Přehled spolehlivostních metod. Podle obrázku 5.10 mohou být tedy ukazatele spolehlivosti metody dílčích součinitelů (úroveň I) získány trojím způsobem: -
(Ia) kalibrací z historických a empirických metod;
-
(Ib) zjednodušenou metodou FORM prostřednictvím metody návrhových hodnot;
76
-
(Ic) kalibrací z pravděpodobnostních metod.
Současná generace Eurokódů se opírá především o metodu (Ia) s úpravami podle metody (Ic). Metoda návrhových hodnot (Ib) se uplatňuje především při navrhování pomocí zkoušek nebo ověřování spolehlivosti existujících konstrukcí.
77
