1
Coulombův zákon I • Mějme dva bodové náboje Q1 a Q2 ve vzdálenosti r od sebe. Potom je velikost síly, kterou na sebe navzájem působí rovna : F = k Q 1 Q 2 / r2 – jednotkou náboje v soustavě SI je 1 Coulomb [C] – k = 1/40 = 9.109 Nm2/C2
– 0 = 8.85 10-12 C2/ Nm2 je permitivita vakua
10. 12. 2011
2
*Coulombův zákon II • Protože síly jsou vektory, je důležitá i informace o jejich směru. • Úplnou informaci dostaneme, umístíme-li bodový náboj Q1 do počátku a poloha druhého Q2 bude určena polohovým vektorem . Pro sílu, působící r na Q2 platí : kQ1Q2 r kQ1Q2 0 F21 (r ) r 2 2 – síly působí ve směru spojnice r r r – síly působící na oba náboje jsou akce a reakce – positivní síla je odpudivá
10. 12. 2011
3
Příklady elektrostatických jevů I • Hřeben, kterým jsme si právě prohrábli vlasy přitahuje malé kousky papíru. Způsobuje to dalekodosahová síla, která může být i odpudivá. • Pozorované síly přiřazujeme vlastnosti částic, kterou nazýváme elektrický náboj. • Většinou se tělesa projevují elektricky neutrálně. • Aby na sebe tělesa silově působila docílíme: – nabitím – přidáním nebo odebráním náboje – přerozdělením náboje.
10. 12. 2011
4
Příklady elektrostatických jevů II • Přerozdělení náboje lze docílit působením na dálku, nazývaným indukce. To se někdy mylně považuje také za nabití. • Nabití je možné jen vedením náboje neboli kondukcí a vyžaduje vodivý kontakt. Jím se na těleso přivede dodatečný náboj nebo se z něj naopak odvede. • Pomocí materiálů, zvaných vodiče, lze náboje přenášet snadno. Pomocí jiných, zvaných izolátory, je to obtížné nebo nemožné. 10. 12. 2011
5
Koncepce elektrického pole • Je-li náboj umístěn v určitém bodě prostoru, “vysílá” kolem sebe informaci o své pozici, polaritě a velikosti. Tato informace se šíří rychlostí světla. Může být “zachycena” jiným nábojem. Výsledkem interakce náboje a elektrostatického pole je silové působení.
10. 12. 2011
6
Hlavní vlastnosti náboje • Protože existují přitažlivé i odpudivé elektrické síly, musí být náboje dvojího druhu, pozitivní a negativní. Shodné náboje se odpuzují a rozdílné přitahují. • Náboje jsou kvantovány – existují jen v násobcích elementárního náboje e = 1.602 10-19 C. • Ve všech známých procesech náboje vznikají nebo zanikají pouze v párech (+q a -q), takže se celkový náboj zachovává. • Náboj je invariantní vůči Lorentzově transformaci.
10. 12. 2011
7
Gravitační síla a pole • Věnujme se první dalekodosahové síle, síle gravitační. Jejím prostřednictvím na sebe hmotné body působí, aniž by byly v přímém vzájemném kontaktu. • Na základě gravitačního působení funguje nebeská mechanika a gravitační zákon vznikl zobecněním dlouhodobých astronomických pozorování. • Tyto představy se mění až v rámci obecné teorie relativity, která chápe gravitaci jako důsledek existence neinerciální vztažné soustavy.
10. 12. 2011
8
Gravitační pole I • Gravitační pole si představujeme jako informaci, kterou o sobě šíří hmotné body do svého okolí – nese údaje o jejich hmotnosti a poloze – šíří se rychlostí světla – na tuto informaci reagují jiné zdroje stejného typu pole = hmotnosti tím, že na ně působí síla
10. 12. 2011
9
Newtonův gravitační zákon I • Keplerovy zákony byly později geniálně shrnuty do všeobecného gravitačního zákona Issacem Newtonem : Každé dva hmotné body na sebe působí přitažlivou silou, která působí ve směru jejich spojnice. Je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.
10. 12. 2011
10
Newtonův gravitační zákon II • Pro jednoduchost umístíme m1 do počátku a poloha m2 bude určena polohovým vektorem r . Potom síla působící na bod m2 v důsledku existence bodu m1 , resp. její velikost jsou : m1m2 0 F12 (r ) r 2 r m1m2 F12 2 r 10. 12. 2011
11
Srovnání elektrostatického a gravitačního působení • Formálně je Coulombův zákon podobný Newtonovu gravitačnímu zákonu. – ale elektrostatická síla je ~ 1042 (!) krát silnější – tak slabá síla přesto dominuje ve vesmíru, protože hmota je obvykle neutrální – nabít nějaké těleso znamená nepatrně porušit obrovskou rovnováhu
10. 12. 2011
12
2
Elektrická intenzita I • Elektrické pole by bylo možné popsat pomocí vektoru síly F (r ), která by působila na jistý testovací náboj Q v každém bodě, který by nás zajímal. • Tento popis by ale závisel na velikosti a polaritě testovacího náboje, který by se musel uvádět jako doplňující informace. Jinak by byl popis nejednoznačný. 10. 12. 2011
14
Elektrická intenzita II • Vydělením testovacím nábojem je definována elektrická intenzita, která již je jednoznačnou funkcí popisovaného pole : F (r ) E (r ) Q
• Číselně je rovna síle, která by v daném bodě působila na jednotkový kladný náboj. Intenzita ale nemá rozměr pouhé síly. 10. 12. 2011
15
Elektrické siločáry • Elektrické pole je trojrozměrné vektorové pole, které se v obecném případě obtížně znázorňuje. • V jednoduchých symetrických příkladech, lze užít siločáry. Jsou to křivky, které jsou v každém bodě tečné k vektorům elektrické intenzity, čili se nemohou protnout! • Velikost intensity se znázorňuje délkou nebo hustotou těchto siločar. • Kladný náboj nepatrné hmotnosti by se pohyboval po určité siločáře, náboj záporný také, ale v opačném smyslu.
10. 12. 2011
16
Tok elektrické intenzity • Tok elektrické intenzity je definován jako : d e E ds. • Popisuje množství elektrické intenzity E , která proteče kolmo ploškou , která je tak malá, aby se intenzita na ní dala považovat za konstantní a je popsána svým vnějším normálovým vektorem ds . • Zopakujme si skalární součin.
10. 12. 2011
17
Gaussova věta I • Celkový tok elektrické intenzity skrz libovolnou uzavřenou plochu je roven celkovému náboji, který plocha obepíná dělený permitivitou vakua
Q d e E ds
0
• Věta je ekvivalentní tvrzení, že siločáry elektrického pole začínají v kladných a končí v záporných nábojích.
10. 12. 2011
18
Gaussova věta II • V nekonečnu mohou siločáry začínat i končit. • Gaussova věta platí protože intenzita klesá s r2, což je v toku intenzity kompenzováno růstem plochy jako r2. • Skalárním součinem je ošetřena vzájemná orientace siločar a plošek.
10. 12. 2011
19
Gaussova věta III • Neuzavírá-li plocha žádný náboj, musí siločáry, které do objemu vstoupí zase někde vystoupit. • Je-li celkový uzavřený náboj kladný více siločar vystoupí než vstoupí. • Je-li naopak celkový uzavřený náboj záporný více siločar vstoupí než vystoupí. • Pozitivní náboje jsou zdroji a negativní propadly. • Nekonečno může být i zdrojem i propadlem.
10. 12. 2011
20
Gaussova věta VI • Gaussova věta může být považována za základ elektrostatiky podobně jako Coulombův zákon a dokonce je obecnější! • Gaussova věta je užitečná : – pro teoretické úvahy nebo v případech speciální symetrie například při výpočtu pole: • bodového náboje • nekonečného drátu nabitého s konstantní hustotou • nekonečné roviny nabité s konstantní hustotou
10. 12. 2011
21
Konzervativní pole • Gravitační pole pro hmotné částice, podobně jako elektrostatické pole pro částice nabité, jsou příkladem konzervativních polí. Jsou definovány tak, že je nich celková vykonaná práce při přesunu částice po libovolné uzavřené křivce rovna nule.
10. 12. 2011
22
Nabitý plný vodič I • Vodiče obsahují volné nosiče náboje jedné nebo obou polarit. Nabít je znamená, přinést do nich nějaké přebytečné náboje jedné z polarit. • Speciálním případem jsou kovy : – každý atom, který je součástí kovu, si ponechává vnitřní elektrony ve své blízkosti. Ale elektrony valenční, slaběji vázané, jsou sdíleny celým kovem. Ty jsou volnými nosiči náboje. Působí-li na ně elektrická (nebo i jiná) síla mohou se v kovu volně pohybovat. – Je relativně snadné kovu volné elektrony přidat nebo ubrat.
10. 12. 2011
23
Nabitý plný vodič II – Přidání elektronů znamená nabití kovu záporně – Odebrání elektronů je ekvivalentní nabití tělesa kladně. – Pro naše účely můžeme mezery po chybějících elektronech považovat za volné kladné náboje +1e. V oblasti polovodičů se nazývají díry. – Nabitý vodič efektivně obsahuje přebytečné kladné nebo záporné náboje, které jsou navíc volné.
10. 12. 2011
24
3
Existence potenciálu • Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli (nebo hmotné částice v poli gravitačním) z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech. • Tato vlastnost se nazývá elektrický potenciál e nebo gravitační potenciál g. 10. 12. 2011
26
Práce vykonaná na částici I • Přesune-li například nějaký vnější činitel částici s nábojem q v elektrostatickém poli nebo hmotností m v gravitačním poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :
W(A->B) q[e(B)-e(A)] nebo W(A->B) m[g(B)-g(A)] 10. 12. 2011
27
Práce vykonaná na částici II • Pro potenciální energii částice obecně platí : Ep(B)=Ep(A)+W(A->B) • Tuto definici srovnáme s předchozími vztahy :
W(A->B)=q[e(B)-e(A)] =Ep(B)-Ep(A) W(A->B)=m[g(B)-g(A)] =Ep(B)-Ep(A)
• Vykoná-li vnější činitel na částici kladnou práci, zvýší tím její potenciální energii Ep definovanou :
E p (r ) qe (r ) E p (r ) m g (r ) 10. 12. 2011
28
Práce vykonaná na částici III • Ve většině praktických případů nás zajímá rozdíl potenciálů dvou míst. U elektrického pole o něm hovoříme jako o napětí U :
UBA (B)-(A) • Pomocí napětí je vykonaná práce :
W(A->B)=q UBA
10. 12. 2011
29
Práce vykonaná na částici IV • Pro práci vykonanou vnějším činitelem na nabité částici tedy platí :
W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUBA • Je důležité si uvědomit principiální rozdíly : – Mezi potenciálem, což je vlastnost pole, potenciální energií částice v poli a napětím. – Mezi prací vykonanou vnějším činitelem nebo polem
10. 12. 2011
30
Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli I • Volné nabité částice se snaží pohybovat podél siločar ve směru poklesu své potenciální energie. • Z druhého Newtonova zákona : dp qE dt
• V nerelativistickém případě : ma qE a
10. 12. 2011
q m
E 31
Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli II •
Poměr q/m, nazývaný specifický náboj je důležitou vlastností částice. 1. 2. 3. 4.
• •
elektron, positron |q/m| = 1.76 1011 C/kg proton, antiproton |q/m| = 9.58 107 C/kg -částice (He jádro) |q/m| = 4.79 107 C/kg Další ionty …
(1836 x) (2 x)
Akcelerace elementárních částic může být obrovská! Snadno lze dosáhnout relativistických rychlostí
10. 12. 2011
32
Obecný vztah E ( ) • Obecný vztah je analogický u elektrického i gravitačního pole: E (r ) grad ( r )
• Gradient skalární funkce f v určitém bodě je vektor : – Který směřuje do směru nejrychlejšího růstu funkce f. – Jeho velikost je rovna změně hodnoty funkce f, kdybychom se v tomto směru přesunuli o jednotkovou vzdálenost. 10. 12. 2011
33
4
Kapacita • Napětí U mezi dvěma vodiči nabitými na náboj +Q a –Q je obecně úměrné tomuto náboji : Q=CU • Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá kapacita. Fyzikálně je to schopnost příslušného uspořádání vodičů jímat náboj. • Jednotkou kapacity je Farad 1 F = 1 C/V
10. 12. 2011
35
Různé typy kondenzátorů • Je mnoho důvodů vyrábět elektronickou součástku, která má schopnost jímat náboj – kondenzátor. • Kapacita kondenzátoru by neměla záviset na okolí. • Hlavní užití je pro jímání náboje a potenciální energie a některé doprovodné jevy související s nabíjením a vybíjením. • Nejčastěji se užívá deskových, válcových, kulových a svitkových kondenzátorů.
10. 12. 2011
36
Dvě paralelní nabité roviny • Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou druhá s hustotou -. • Intenzita mezi deskami bude Ei a intenzita vně Eo. Co platí? – A) – B) – C)
10. 12. 2011
Ei= 0, Eo=/0 Ei= /0, Eo=0 Ei= /0, Eo=/20
37
Určení kapacity kondenzátoru I • Obecně: najdeme závislost náboje Q na napětí U a vyjádříme kapacitu jako koeficient úměrnosti. • Například deskový kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q: • Z Gaussovy věty : E = /0 = Q/0S • Také : E = U/d Q = 0SU/d C = 0S/d • Obdobně by se postupovalo u kondenzátooru kulového.
10. 12. 2011
38
Nabíjení kondenzátoru • Kondenzátor nabíjíme – budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru s kladným a druhou se záporným pólem zdroje stejnosměrného napětí. Po dosažení rovnováhy bude každá elektroda kondenzátoru mít stejný potenciál jako elektroda zdroje s ní spojená a napětí na kondenzátoru bude rovné napětí zdroje. – nebo uzemníme jednu elektrodu a na druhou přivedeme náboj. Po dosažení rovnováhy zůstane na uzemněné elektrodě jen náboj opačné polarity. – Podrobné chování veličin v čase si ukážeme později.
10. 12. 2011
39
Sériové zapojení kondenzátorů I • Mějme kondenzátory C1 a C2 zapojené do série – za sebou. Můžeme je nahradit jedinou kapacitou: C1C2 Cs
C1 C2 – Nabijeme-li jednu elektrodu, ostatní se nabijí indukcí a náboj na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být stejný : Q = Q1 = Q 2 10. 12. 2011
40
Sériové zapojení kondenzátorů II – K sobě připojené elektrody jsou na stejném potenciálu. Celkové napětí na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být tedy součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech U = U1 + U2 1 U U1 U 2 1 1 Cs Q Q Q C1 C2
10. 12. 2011
41
Paralelní zapojení kondenzátorů I • Mějme dva kondenzátory C1 a C2 zapojené paralelně – vedle sebe. Můžeme je nahradit jediným kondenzátorem s kapacitou Cp : Cp = C 1 + C 2 – Celkový náboj se rozdělí na jednotlivé kondenzátory Q = Q1 + Q2 – Napětí na všech kondenzátorech je stejné U = U1 = U2 Cp = Q/U = Q1/U+ Q2/U = C1 + C2
10. 12. 2011
42
Mezní náboj • Kapacita deskového kondenzátoru (ve vakuu) může být zvětšena buď zvětšením ploch desek nebo jejich přiblížením. Pouze první způsob však povede ke snížení intenzity elektrického pole a tedy i ke zvýšení mezního náboje, který kondenzátor může pojmout! • Z tohoto hlediska by bylo lepší uzemnit vnitřní a nabít vnější kouli v našem Leydenském příkladu.
10. 12. 2011
43
Jímání elektrické energie I • K nabití kondenzátoru musíme vykonat práci. • Tato práce je uschována jako potenciální energie a veškerá (neuvažujeme-li ztráty) může být využita později. Například při rychlém vybití optimalizujeme výkon (fotoblesk, defibrilátor). • Při změnách parametrů nabitého kondenzátoru může konat práci vnější činitel nebo pole. Musí se odlišit situace, kdy ke kondenzátoru zůstává připojen vnější zdroj.
10. 12. 2011
44
Jímání elektrické energie II • Nabít kondenzátor znamená brát postupně malé kladné náboje ze záporné elektrody a přenášet je na elektrodu kladnou nebo přenášet obráceně náboje záporné. V obou případech se zvyšuje potenciální energie přeneseného náboje na úkor vnější práce. • Práce nezávisí na cestě. Můžeme představit, že náboj přenášíme přímo přes prostor mezi elektrodami, i když takto ve skutečnosti náboj proudit nesmí!
10. 12. 2011
45
Vložení vodiče do kondenzátoru I • Vložme vodivou destičku s plochou S a tloušťkou < d do mezery mezi desky kondenzátoru S,d,0,. • Vodivá destička obsahuje dostatek volných nosičů náboje, aby na svých plochách vytvořila nábojovou hustotu p stejnou, jako je hustota budící. V důsledku platnosti principu superpozice je pole uvnitř destičky přesně kompenzováno a tedy je nulové. • Efektivně se mezera zmenšila na d - . 10. 12. 2011
46
*Test • Může být nabitý kondenzátor využit jako elektrický zdroj k dosažení stacionárního proudu? – A) Ano – B) Ne
10. 12. 2011
47
*Odpověď • Odpověď je NE! • Nabitý kondenzátor může být využit jako zdroj například k pokrytí krátkodobých výpadků jiných zdrojů. • Vybíjecí proud kondenzátoru však je nestacionární. Proud totiž vybíjí kondenzátor, čili způsobuje pokles jeho napětí a proto i sám klesá.
10. 12. 2011
48
5
Vložení dielektrika do kondenzátoru I • Nabijme kondenzátor, odpojme od zdroje a měřme na něm napětí. Zaplňme nyní celou mezeru nevodivým, tzv. dielektrickým materiálem (destičkou). • Pozorujeme : – napětí pokleslo v poměru r = U0/U – destička byla polem vtažena
• r nazýváme dielektrickou konstantou nebo (lépe) relativní permitivitou dielektrika. • r obecně závisí na řadě veličin (T, f)! 10. 12. 2011
50
Vložení dielektrika do kondenzátoru II • Co se stalo : Protože vložená destička je dielektrická nemá volné nosiče náboje, které by vytvořily nábojovou hustotu dostatečnou k úplné kompenzaci vnitřního pole. • Pole ale zorientuje nebo předtím i vytvoří elektrické dipóly uvnitř dielektrika. Výsledkem je opět objevení se plošného náboje na deskách destičky. Nyní je ale plošná hustota indukovaného náboje nižší, takže dojde pouze k zeslabení pole. Nicméně se opět zvýší kapacita. 10. 12. 2011
51
Vložení dielektrika do kondenzátoru III • Náboje zorientovaných dipólů se vykompenzují v celém objemu, kromě hraničních ploch. Na nich zůstává nenulová plošná nábojová hustota p < . • Výsledné pole je opět superpozicí původního pole, vytvořeného původními hustotami a pole indukovaného, vytvořeného indukovanými nábojovými hustotami p. • V případě homogenní polarizace je indukovaná hustota náboje rovna p = P, což je polarizace neboli hustota dipólového momentu. 10. 12. 2011
52
Existence potenciálu • Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli (nebo hmotné částice v poli gravitačním) z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech. • Tato vlastnost se nazývá elektrický potenciál e nebo gravitační potenciál g. 10. 12. 2011
53
roztřídili jsme látky na vo_diče, které mají schopnost převádět elektrický náboj, a nevodiče, dielektrika, která tuto schopnost nemají a mohou sloužit jako izolanty. To však neznamená, že by se dielektrikum a vnější elektrostatické pole vzájemně nijak neovlivňovaly. O charakteru tohoto vlivu se můžeme přesvědčit jednoduchým experimen_tem. Vezměme například deskový kondenzátor, jehož vlastnosti jsme studovali v článku 1.4.5 a zaplňme prostor mezi jeho elektrodami homogenním izotropním dielektrikem. Experimentálně zjistíme, že při zachování náboje na elektrodách napětí mezi elektrodami po vložení dielektrika poklesne z původní hodnoty U0 na jistou hodnotu U a kapacita naopak vzroste z původní hodnoty C0 na hodnotu C. Označíme-li U0/U = er bude podle C = Q/U platit:
• Vložením izolantu do elektrického pole nastává jev, který se nazývá polarizace dielektrika. Při polarizaci se z atomů nebo molekuldielektrika (nepolární dielektrikum) působením přitažlivé a odpudivé elektrické síly stanou elektrické dipóly – dojde knesymetrickému rozložení částic s elektrickým nábojem uvnitř atomů nebo molekul (blíž k jedné straně elektrony, blíž ke druhé straně jádro atomu). Taková polarizace se nazývá atomová polarizace. Některé látky (polární dielektrika, např. voda) obsahují elektrické dipóly i bez působení vnějšího elektrického pole. Jejich směr je ale chaotický a při polarizaci dojde pouze k uspořádání dipólů do jednoho směru. Taková polarizace se nazývá orientační polarizace. • Všechny elektrické dipóly mají při polarizaci stejnou polaritu opačnou k polaritě vnějšího elektrického pole. Tím se velikost vnějšího elektrického pole zmenšuje. Poměr intenzity E0 vnějšího elektrického pole k intenzitě výsledného elektrického pole E udává relativní permitivita dielektrika εr:
*Hustota energie v dielektriku • V případě homogenních (stejnorodých) dielektrik lze definovat celkovou permitivitu = r0 a použít ji ve všech vztazích, v nichž ve vakuu vystupovala permitivita vakua. Tedy například hustotu elektrické energie v dielektriku lze psát jako : E2/2.
10. 12. 2011
56
* Kondenzátor vyplněn dielektrikem částečně • Je-li možné zanedbat okrajové jevy, tedy, jsouli příčné rozměry kondenzátoru i vloženého dielektrika zanedbatelné proti rozměrům ploch, můžeme takový systém považovat za určitou sério-paralelní kombinaci kondenzátorů
10. 12. 2011
57
6
Elektrické proudy I • Zatím jsme se zabývali rovnovážnými stavy. • Avšak než je jich dosaženo, dochází obvykle k pohybu volných nosičů náboje v nenulovém elektrickém poli, čili tam existují proudy. • Často záměrně udržujeme na vodičích rozdíl potenciálů, abychom udrželi tok nosičů náboje, snažících se dosáhnout rovnováhy - elektrický proud. • V určitém okamžiku je proud definován jako :
dq (t ) I (t ) dt 10. 12. 2011
59
Elektrické proudy II • Z fyzikálního hlediska rozlišujeme tři druhy proudu. První dva jsou přímo pohybem nosičů náboje: – kondukční – pohyb volných nosičů náboje v látkách, pevných nebo roztocích – konvekční – pohyb nábojů ve vakuu (např. elektronů v obrazovce) – posuvný – je spojený s časovou změnou elektrického pole (nabíjení kondenzátorů, depolarizace dielektrik)
10. 12. 2011
60
Elektrické proudy III • Elektrické proudy mohou být uskutečněny pohybem nábojů obojí polarity. • Podle konvence směřuje proud ve směru elektrického pole, čili stejně, jako kdyby pohybující se nosiče náboje byly kladné. • Pokud jsou volné nosiče v určité látce záporné, jako například u kovů, pohybují se fyzicky proti směru konvenčního proudu.
10. 12. 2011
61
Elektrické proudy IV • Nejprve se budeme zabývat stacionárními proudy. Jedná se o zvláštní případ rovnováhy, kdy napětí a proudy v obvodech jsou stálá a konstantní. • Stacionární proudy mohou být pouze konvekční nebo kondukční. • Později se také zmíníme o časově proměnných proudech. Ty mohou být i posuvné.
10. 12. 2011
62
Elektrické proudy V • Jednotkou proudu je 1 ampér se zkratkou A 1 A = 1 C/s. • Protože proudy lze relativně snadno měřit je právě ampér přijat jako základní elektrická jednotka v soustavě SI. • Pomocí něj jsou potom definovány i další elektrické jednotky. Například 1 Coulomb : 1C = 1 As.
10. 12. 2011
63
*Elektrické zdroje I • Abychom udrželi konstantní proud, například ve vodivé tyčce, musíme udržet konstantní elektrické pole, které se snaží přivést náboje v tyčce k rovnováze. To je ekvivalentní udržování konstantního rozdílu potenciálu neboli napětí mezi konci tyčky. • K tomu slouží zdroj elektrického napětí.
10. 12. 2011
64
Ohmův zákon • Každé vodivé těleso potřebuje jisté napětí mezi svými konci, aby vzniklo elektrické pole s dostatečnou intenzitou k dosažení proudu určité velikosti. • Toto napětí a proud jsou si přímo úměrné podle Ohmova zákona : U = RI • Konstanta úměrnosti se nazývá rezistance (odpor). • Je to napětí potřebné k dosažení proudu 1 A, čili se jedná o schopnost vzdorovat průtoku proudu. • Jednotkou odporu je 1 ohm : 1 = 1 V/A
10. 12. 2011
65
Rezistance a rezistory I • Každé situaci, kdy jistým vodičem protéká při určitém napětí určitý proud, můžeme přiřadit určitou rezistanci. • U ideálního rezistoru (odporu) je rezistance konstantní bez ohledu na napětí a proud. • V elektronice se používají speciální součástky – rezistory, které jsou vyvíjeny tak, aby jejich vlastnosti byly blízké ideálním rezistorům. • Rezistance může obecně záviset na napětí, proudu, a řadě jiných faktorů.
10. 12. 2011
66
Rezistance a rezistory II • Důležitou informací o každém vodivém materiálu je jeho volt-ampérová charakteristika. • Je to naměřená a (vhodně) vynesená závislost proudu na napětí nebo naopak. Může odhalit důležité vlastnosti látek. • V každém bodě takové charakteristiky můžeme definovat diferenciální rezistanci jako : dR = U/I • Pro ideální odpor je tato veličina všude konstantní.
10. 12. 2011
67
Měrný odpor a vodivost I • Mějme ohmický vodič, tedy takový, jaký splňuje Ohmův zákon: U = RI • Rezistance R závisí na geometrii a na vlastnostech materiálu vodiče. Mějme vodič délky l a průřezu S, definujeme měrný odpor (rezistivitu) a její reciprokou hodnotu, měrnou vodivost :
l 1 l R S S 10. 12. 2011
68
Měrný odpor a vodivost II • Měrný odpor je schopnost látek vzdorovat průtoku elektrického proudu. Při stejném tvaru je k dosažení určitého proudu u látek s velkou rezistivitou potřeba větší napětí. • Jednotkou rezistivity v SI je 1 m. • Měrná vodivost je naopak schopnost vést proud. • Jednotkou měrné vodivosti v SI je 1 -1m-1. • Jednotka vodivosti je siemens 1 Si = 1 -1.
10. 12. 2011
69
Volné nosiče nábojů I • Obecně jsou volnými nosiči náboje nabité částice nebo pseudočástice, které se mohou ve vodičích volně pohybovat. • Mohou jimi být elektrony, díry a různé ionty. • Vodivostní vlastnosti látek závisí na tom, jak volně se nosiče mohou pohybovat, což hluboce souvisí se strukturou příslušné látky.
10. 12. 2011
70
Volné nosiče náboje II • V pevných vodičích, sdílí každý atom své nejslaběji vázané (valenční) elektrony s ostatními atomy. Ty se tedy mohou více nebo méně volně pohybovat v celém objemu vodiče. • V nulovém elektrickém poli se elektrony pohybují chaoticky velkými rychlostmi náhodnými směry a často se sráží s atomy. Připomíná to chaotický pohyb molekul plynu, což vede k používání (ne úplně přesného) názvu elektronový plyn. 10. 12. 2011
71
7
Měrný odpor a vodivost I • Mějme ohmický vodič, tedy takový, jaký splňuje Ohmův zákon: U = RI • Rezistance R závisí na geometrii a na vlastnostech materiálu vodiče. Mějme vodič délky l a průřezu S, definujeme měrný odpor (rezistivitu) a její reciprokou hodnotu, měrnou vodivost :
l 1 l R S S 10. 12. 2011
73
Měrný odpor a vodivost II • Měrný odpor je schopnost látek vzdorovat průtoku elektrického proudu. Při stejném tvaru je k dosažení určitého proudu u látek s velkou rezistivitou potřeba větší napětí. • Jednotkou rezistivity v SI je 1 m. • Měrná vodivost je naopak schopnost vést proud. • Jednotkou měrné vodivosti v SI je 1 -1m-1. • Jednotka vodivosti je siemens 1 Si = 1 -1.
10. 12. 2011
74
Teplotní závislost měrného odporu I • Ve většině případů je teplotní chování blízké lineárnímu . • Definujeme změnu měrného odporu vzhledem k jisté referenční teplotě t0 (0 nebo 20° C): = (t) – (t0) • Relativní změna měrného odporu je přímo úměrná změně teploty : (t t0 ) t (t0 )
(t ) (t0 )(1 t ) 10. 12. 2011
75
Teplotní závislost měrného odporu II • [K-1] je lineární teplotní koeficient. – Je určen teplotní závislostí n a vd. – Může být i záporný, např. u polovodičů (ale ty mají chování exponencíální).
• V případě většího roszahu teplot nebo vyšší požadované přesnosti musíme přidat další (kvadratický) člen : /(t0) = t + (t)2 + … (t) = (t0)(1 + t + (t)2 + …)
10. 12. 2011
76
Seriové zapojení rezistorů • Rezistory, zapojenými seriově, prochází stejný společný proud. • Současně napětí na všech dohromady musí být součet napětí na rezistorech jednotlivých. • Seriové zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí : R = R1 + R 2 + …
10. 12. 2011
77
Paralelní zapojení rezistorů • Jsou-li rezistory zapojeny paralelně, je na každém stejné společné napětí. • Současně se celkový proud dělí mezi ně a je tedy součtem proudů jednotlivými rezistory. • Paralelní zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí 1/R = 1/R1 + 1/R2 + … 10. 12. 2011
78
Termočlánek I • Termočlánek je příkladem čidla, které převádí nějakou fyzikální veličinu (zde teplotu) na veličinu elektrickou, obvykle snáze dále zpracovatelnou. • Na rozdíl od jiných běžných teplotních čidel, odporového teploměru (např. Pt100) nebo termistoru, u nichž se měří závislost vodivosti na teplotě, termočlánek je zdrojem napětí. 10. 12. 2011
79
Termočlánek II • Činnost termočlánku je založena na Seebeckovu neboli termoelektrickém jevu (Thomas 1821), který spočívá v tom, že na vodiči, jehož dva konce mají rozdílnou teplotu, se objevuje napětí. • Toto napětí je úměrné velikosti teplotního rozdílu a materiálovému parametru, tzv. Seebeckově koeficientu.
10. 12. 2011
80
Peltierův jev • Popsaný jev funguje i obráceně. Teče-li elektrický proud spojem dvou různých vodičů, může se z tohoto bodu odebírat nebo do něj přinášet teplo. • Tento jev se nazývá jevem Peltierovým (Jean 1834). • Komerčně jsou dostupné peltierovy články, s jejichž pomocí lze elegantně temperovat určitou oblast v rozpětí teplot cca – 50 až 200 °C. Lze jich ve speciálních případech použít i jako zdrojů napětí, např. u kosmických sond. 10. 12. 2011
81
Supravodivost I • H. K. Onnes v roce 1911 zjistil, že u rtuti pod tzv. kritickou teplotou Tc = 4.2 K se měrný odpor snižuje řádově na 4 10-25 m, což je efektivně nula, protože to je 1016 méně než je hodnota při pokojové teplotě. • Smyčkový proud v supravodivém materiálu teče bez znatelných ztrát a proto může existovat několik let bez dodávání energie! 10. 12. 2011
82
Supravodivost II • V současnosti jsou vyvinuty materiály na bázi Y, Ba, Cu, které mají kritickou teplotu Tc 160 K, například: YBa2Cu3O7 • Tyto keramické látky jsou za normální teploty nevodivé, zatímco u dobrých vodičů nelze dosáhnout supravodivosti při žádné teplotě. • Supravodivost je kvantový jev, který spočívá v tom, že elektrony se látkou pohybují v párech, čímž se snižuje možnost jejich současně interakce s atomy mřížky a tudíž ztrát energie. 10. 12. 2011
83
Termoelektrický jev • Peltier-Seebeckův neboli termoelektrický jev je vznik teplotní diference způsobené elektrickým proudem nebo vznik elektrického proudu, způsobený teplotním rozdílem. Oba jevy jsou reverzibilní. Na videu je pravá nádobka (z pohledu pozorovatele) naplněna vodou s ledem, do levé je nalita teplá voda.
8
Kirchhoffovy zákony • Fyzikálním základem pro řešení obvodů jsou Kirchhoffovy zákony. Vyjadřují obecné vlastnosti, vyplývající ze zachování náboje a konzervativnosti stacionárního elektrického pole. • V nejjednodušší formě platí jen pro stacionární pole a proudy. Mohou ale být snadno zobecněny pro určité typy polí časově proměnných, např. pro střídavé proudy harmonického průběhu.
10. 12. 2011
86
I. Kirchhoffův zákon • První Kirchhoffův zákon, zákon pro uzly, říká, že součet proudů přitékajících do jistého uzlu se musí rovnat součtu proudů z tohoto uzlu vytékajících. • Je to speciální případ zákona zachování náboje. Obecně je vyjádřen rovnicí kontinuity náboje. Ta popisuje navíc směrové záležitosti a připouští nabíjení nebo vybíjení bodu.
10. 12. 2011
87
II. Kirchhoffův zákon • Druhý Kirchhoffův zákon, zákon pro smyčky, říká, že součet napětí (rozdílů potenciálů) na každém prvku v každé uzavřené smyčce se musí rovnat nule. • Zákon je založen na existenci potenciálu v obvodech stacionárního elektrického proudu, které je obecně konzervativní a zachování potenciální energie ve smyčce . 10. 12. 2011
88
Použití Kirchhoffových zákonů I • Musíme sestavit soustavu nezávislých rovnic, jejichž počet bude roven počtu větví : – Nejprve si označíme všechny proudy a každému přiřadíme určitý směr. Nevadí, pokud se zmýlíme. Pouze nám vyjde na závěr záporný proud. – Napíšeme rovnice, vyplývající z I. KZ pro všechny uzly až na poslední, v němž bychom již dostali lineárně závislou rovnici. – Napíšeme rovnici z II. KZ pro všechny nezávislé smyčky.
10. 12. 2011
89
Princip superpozice I • Princip superpozice spočívá ve faktu, že každý zdroj pracuje nezávisle na ostatních. • Postupně vypínáme (a zkratujeme) všechny zdroje až na j-tý a najdeme proud Iij v každé i-té větvi. • Opakujeme to postupně pro všechny zdroje a nakonec pro proud jistou j-tou větví : Ii = Ii1 + Ii2 + Ii3 + … 10. 12. 2011
90
Princip superpozice II • Jednoduchá ilustrace: Máme zdroj 12 V, jeho kladná elektroda je spojena s kladnou elektrodou druhého zdroje 6 V. Záporné elektrody obou zdrojů jsou spojeny přes odpor 3 . • První zdroj generuje proud I1 = +4 A • Druhý zdroj generuje proud I2 = –2 A • Oba zdroje působí současně , tedy celkový proud je: I = I1 + I2 = +2 A
10. 12. 2011
91
Elektrické proudy I • Zatím jsme se zabývali rovnovážnými stavy. • Avšak než je jich dosaženo, dochází obvykle k pohybu volných nosičů náboje v nenulovém elektrickém poli, čili tam existují proudy. • Často záměrně udržujeme na vodičích rozdíl potenciálů, abychom udrželi tok nosičů náboje, snažících se dosáhnout rovnováhy - elektrický proud. • V určitém okamžiku je proud definován jako :
dq (t ) I (t ) dt 10. 12. 2011
92
Elektrické proudy II • Z fyzikálního hlediska rozlišujeme tři druhy proudu. První dva jsou přímo pohybem nosičů náboje: – kondukční – pohyb volných nosičů náboje v látkách, pevných nebo roztocích – konvekční – pohyb nábojů ve vakuu (např. elektronů v obrazovce) – posuvný – je spojený s časovou změnou elektrického pole (nabíjení kondenzátorů, depolarizace dielektrik)
10. 12. 2011
93
Elektrické proudy III • Elektrické proudy mohou být uskutečněny pohybem nábojů obojí polarity. • Podle konvence směřuje proud ve směru elektrického pole, čili stejně, jako kdyby pohybující se nosiče náboje byly kladné. • Pokud jsou volné nosiče v určité látce záporné, jako například u kovů, pohybují se fyzicky proti směru konvenčního proudu.
10. 12. 2011
94
Elektrické proudy IV • Nejprve se budeme zabývat stacionárními proudy. Jedná se o zvláštní případ rovnováhy, kdy napětí a proudy v obvodech jsou stálá a konstantní. • Stacionární proudy mohou být pouze konvekční nebo kondukční. • Později se také zmíníme o časově proměnných proudech. Ty mohou být i posuvné.
10. 12. 2011
95
Přenos náboje, energie a výkonu I • Ke zdroji o určitém napětí U připojme vodiči se zanedbatelným odporem jistý rezistor R. Získáváme jednoduchý elektrický obvod. • Na odporu je stejné napětí jako na zdroji. • Věnujme pozornost orientaci elektrického pole.
10. 12. 2011
96
Přenos náboje, energie a výkonu II • Pole má snahu vyvolat proudy, které zdroj vybíjí v jeho vnitřku i vnějším obvodem. Proudy mají samozřejmě směr snižování potenciální energie. • Ve zdroji ale jsou síly neelektrické povahy, které pohybují náboji proti směru pole, takže v celém obvodu se proud pohybuje stejným směrem. • Ve zdroji vykonávají vnější síly práci, kterou pole vrací v rezistoru opět do vnějšího prostředí.
10. 12. 2011
97
Přenos náboje, energie a výkonu III • Vezmeme náboj dq a obejdeme s ním obvod. Ve zdroji musíme, jako vnější činitel, vykonat práci proti poli Udq a pole vykoná práci –Udq. • V rezistoru koná pole práci Udq, čili vnější činitel koná práci –Udq. • Celková práce vykonaná jak vnějším činitelem tak i polem je rovna nule, což je samozřejmě ekvivalentní konzervativnosti elektrického pole. • Derivujeme-li časem, dostáváme výkon : P = UI. • A po dosazení za rezistanci : P = U2/R = RI2. 10. 12. 2011
98
Řešení obvodů • Úplné řešení obvodu znamená nalezení proudu v každé jeho větvi. Někdy nás ale zajímají jenom některé z nich. • Při řešení obvodů je nutné najít nezávislé smyčky. Na to existují geometrické metody a možností je obvykle několik. • Smyslem je nalézt dostatečný počet lineárně nezávislých rovnic pro proudy.
10. 12. 2011
99
Théveniova poučka I • Mějme jistou větev spojující dva uzly A a B libovolně složité sítě v jsou ale obsaženy pouze pasivní prvky: zdroje a rezistory. • Potom lze ukázat, že celá síť se vůči naší větvi chová jako jeden ideální zdroj elektromotorického napětí s jedním odporem zapojeným do série nebo ideální zdroj proudu s paralelní vnitřní vodivostí. 10. 12. 2011
100
Théveniova poučka II • Toto elektromotorické napětí je principiálně možné zjistit odpojením větve a změřením napětí mezi body A a B ideálním voltmetrem naprázdno. • Vnitřním odpor se určí vydělením elektromotorického napětí zkratovým proudem, který by větví tekl, kdyby obsahovala pouze ideální ampérmetr - rezistor s nulovou rezistancí. • Obě veličiny a zvláště zkratový proud se ale obvykle nedají měřit přímo. Získávají se ale extrapolací tzv. zatěžovací charakteristiky.
10. 12. 2011
101
Théveniova poučka III • Příkladem na využití Théveniovy poučky je výpočet vlastností zatíženého odporového děliče. • Mějme dva rezistory R1 a R2 zapojené do série s ideálním zdrojem napětí. • Napětí mezi jednou elektrodou zdroje a bodem mezi odpory je k celkovému napětí v určitém poměru.
10. 12. 2011
102
Reálné zdroje I • Elektrické zdroje obsahují síly neelektrické povahy, které kompenzují vybíjení, když je dodáván proud tak, aby napětí bylo konstantní. • Reálné zdroje nejsou schopny kompenzovat vybíjení úplně a jejich svorkové napětí se stává klesající funkcí proudu, který dodávají. • Obvykle mají zdroje lineární chování , což je v souladu s Théveniovou poučkou. Jejich vlastnosti tedy můžeme popsat dvěma parametry.
10. 12. 2011
103
Reálné zdroje II • Obvyklým modelem reálného zdroje je sériová kombinace ideálního zdroje s jistým konstantním napětím a ideálního rezistoru. Svorkové napětí takové kombinace v závislosti na proudu je : U(I) = - RiI • Porovnáme-li chování tohoto modelu s chováním reálného zdroje, vidíme, že je svorkové napětí při nulovém odebíraném proudu, tzv. elektromotorické napětí a vnitřní odpor Ri je záporně vzatý sklon celé závislosti.
10. 12. 2011
104
Reálné zdroje III • Napětí může být nalezeno pouze extrapolací k nulovému proudu. • Vidíme také, že vnitřní odpor Ri lze chápat jako míru, kterou se reálný zdroj blíží zdroji ideálnímu. Čím je jeho hodnota nižší, tím více se závislost U(I) blíží konstantní a zdroj zdroji ideálnímu. • Model lze použít, i když je zdroj např. nabíjen. 10. 12. 2011
105
9
Biot-Savartův zákon I • Existuje mnoho analogií mezi elektrostatickým a magnetickým polem a nabízí se otázka, zda existuje vztah analogický Coulombovu zákonu, který by popisoval, jak na sebe působí dva krátké rovné kousky vodičů, protékaných proudem. Takový vztah existuje, ale právě jeho složitost je důvodem pro rozdělení problémů magnetismu na generování polí a jejich působení.
10. 12. 2011
107
Biot-Savartův zákon II • Vše, co je potřebné pro nalezení sil, kterými na sebe působí dva makroskopické vodiče libovolné velikosti a tvaru je aplikovat princip superpozice a integrovat. • V obecném případě se takovým způsobem musí postupovat, ale v případě speciální symetrie existuje analogická pomůcka, jako je Gaussova věta elektrostatiky. 10. 12. 2011
108
Ampèrův zákon • Podobně jako v případě elektrostatického pole existuje v magnetismu zákon, který může výrazně usnadnit výpočty v případech speciální symetrie a může být také použit pro vysvětlení fyzikálních myšlenek v mnoha důležitých situacích. • Je to Ampérův zákon, který dává do souvislosti integrál B přes uzavřenou křivku s proudy, které tato křivka obemyká.
10. 12. 2011
109
Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem I • Podobně jako při použití Gaussovy věty, je Ampérův zákon jednoduše použitelný, podaří-li se najít vhodnou integrační křivku, která je všude tečná k B, čili siločáru, na níž je navíc B všude konstantní. Potom lze B vytknout před integrál, který je jednoduše délkou integrační cesty – uzavřené křivky.
10. 12. 2011
110
Magnetické pole I • Podobně jako v případě elektrických polí, přijímáme představu, že je magnetické interakce jsou zprostředkovány magnetickém polem. • Od každého zdroje magnetického pole (např. magnetu) se rychlostí světla šíří informace o jeho pozici, orientaci a síle. Tato informace může být „přijata“ jiným zdrojem. Výsledkem je silové působení mezi těmito zdroji.
10. 12. 2011
111
Magnetické pole II • Pomocí zmagnetované jehly lze ukázat, že magnetické pole může mít v každém bodě obecně různý směr. Proto musí být popsáno vektorovou veličinou a je tedy polem vektorovým. • Magnetické pole se obvykle popisuje vektorem magnetické indukce B .
10. 12. 2011
112
Magnetické pole III • Magnetické siločáry jsou křivky: – v každém bodě tečné k vektoru magnetické indukce – uzavřené a procházející zdroji polí i prostorem v jejich okolí – mající směr stejný, jakým by ukazoval v daném bodě severní pól magnetky – se dají snadno studovat kompasem
10. 12. 2011
113
Magnetické pole IV • Protože neexistují magnetické monopóly, jsou magnetické siločáry uzavřené křivky a vně magnetů připomínají pole elektrického dipólu. • Přestože by bylo principiálně možné studovat přímo vzájemné působení zdrojů magnetismu, rozdělují se problémy z praktických důvodů na úlohy – vytváření polí zdroji magnetismu a – působení polí na zdroje magnetismu.
10. 12. 2011
114
Elektrické proudy jsou zdrojem magnetického pole I • Prvním důležitým krokem k nalezení relace mezi elektrickým a magnetickým polem byl objev Dána Hans Christian Oersteda v roce 1820: Zjistil, že elektrické proudy jsou zdroji magnetického pole. • Dlouhý přímý vodič protékaný proudem je zdrojem magnetického pole, jehož siločáry jsou kružnice se středem ve vodiči, ležící v rovinách na něj kolmých.
10. 12. 2011
115
Elektrické proudy jsou zdrojem magnetického pole II • Tyto uzavřené kružnice vypadají, jako by byly způsobeny neviditelnými magnety. • Magnetické pole kruhové smyčky protékané proudem je toroidální. • Směr siločar lze určit pravidlem pravé ruky: jeli palec ve směru proudu, ukazují prsty směr siločar • Později si ukážeme, čím je odůvodněno toto pravidlo a jak vypadají tato pole kvantitativně.
10. 12. 2011
116
Magnetické pole solenoidu I • Solenoid je dlouhá cívka s mnoha závity. • V případě konečného solenoidu je nutné magnetické pole počítat jako superpozici magnetické indukce vyvolané jednotlivými závity. • Ukážeme výpočet pro solenoid téměř nekonečný, kdy lze zanedbat okrajové jevy a elegantně použít ampérova zákona.
10. 12. 2011
117
Magnetické pole solenoidu II • Jako uzavřenou křivku zvolíme obdélník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné s osou solenoidu. • Ze symetrie lze předpokládat, že siločáry budou paralelní s osou solenoidu. • Protože se uzavřené siločáry vrací „celým vesmírem“ jsou vně solenoidu nekonečně zředěny.
10. 12. 2011
118
Magnetické pole toroidu I • Toroid si lze představit jako solenoid uzavřený do sebe. Protože siločáry nemohou uniknout, nemusíme dělat žádné předpoklady o jeho velikosti. • Má-li toroid střední poloměr R a N závitů, protékaných proudem I, můžeme jednoduše ukázat, že pole jen v toroidu a vypočítat jaká bude jeho velikost pro určitou siločáru.
10. 12. 2011
119
Magnetické pole toroidu II • Budeme integrovat podél siločáry o poloměru r : B 2r = 0NI B(r) = 0NI/2r • Toto platí pro každé r uvnitř toroidu. • Je patrné, že magnetické pole toroidu je: – uvnitř nehomogenní, protože závisí na r. – vně nulové
10. 12. 2011
120
Mag. Intenzita • Základním obecným vztahem pro intenzitu stacionárního magnetického pole buzeného (ustáleným) volným elektrickým proudem Ivol je Ampérův zákon: kde integrace probíhá podle délky l libovolně zvolené uzavřené křivky c obemykající volný elektrický proud
10
Síla působící na elektrický náboj v pohybu I • Protože proudy jsou pohybující se elektrické náboje, platí pro proudy vše, co platí pro náboje v pohybu. • Síla , kterou působí magnetické pole o indukciF na náboj q, pohybující se rychlostí B je popsána Lorentzovým vztahem: v
10. 12. 2011
F q (v B ) 123
Síla působící na elektrický náboj v pohybu II • Obecněji se Lorentzovou silou nazývá síla, která zahrnuje společné působení elektrických a magnetických sil: F q[ E (v B)]
• Tento vztah může být považován za definici elektrických a magnetických sil a může být i počátečním bodem pro jejich studium. 10. 12. 2011
124
Síla působící na elektrický náboj v pohybu III • Lorentzova síla je centrem celého elektromagnetismu. Vrátíme se k ní probráním několika příkladů a zjistíme, že pomocí ní lze jednoduše vysvětlit téměř všechny elektromagnetické jevy. • Nyní si ukážeme, jak je magnetické pole generováno kvantitativně.
10. 12. 2011
125
Pohybující se náboj v magnetickém poli I • Vstřelme nabitou částici q, m rychlostí v kolmo do homogenního magnetického pole o indukci B. • Velikost síly působící na částici je F = qvB a její směr můžeme najít z vlastností vektorového součinu FvB musí tvořit pravotočivý systém. • Protože F je kolmá k v, bude neustále měnit směr pohybu, ale nikoli velikost rychlosti a výsledný pohyb částice bude kruhový.
10. 12. 2011
126
Pohybující se náboj v magnetickém poli II • Výsledný pohyb je analogický pohybu planetárnímu. Lorentzova síla musí být silou dostředivou kruhového pohybu : mv2/r = qvB • Obvykle se měří r , aby se identifikovaly částice nebo našly jejich parametry :
v 1 r q m B • r je úměrné velikosti rychlosti a nepřímo úměrné specifickému náboji a magnetické indukci. 10. 12. 2011
127
Pohybující se náboj v magnetickém poli III • Tento vztah je základem pro identifikaci částic například v mlžné komoře, používané v částicové fyzice. – Můžeme okamžitě určit polaritu částice. – Jsou-li dvě částice stejné, má ta s větším r větší rychlost a energii. – Jsou-li stejné rychlosti, má částice s větším specifickým nábojem menší r.
10. 12. 2011
128
Mlžná komora • Wilsonova mlžná komora je fyzikální přístroj umožňující pozorovat dráhy elektricky nabitých částic. Částice prolétávající vzduchem obsahujícím podchlazené páry v něm zanechávají stopu v podobě vysrážených kapiček vody. Tyto stopy lze následně vyfotografovat
Hmotová spektroskopie I • Výše popsané principy jsou také základem významné analytické metody – hmotnostní spektroskopie, která funguje následovně : – Analyzovaný vzorek je separován, např. GC a ionizován. – Ionty se urychlí a nechají prolétnout rychlostním filtrem – Nakonec vletí kolmo do magnetického pole a měří se množství částic v závislosti na poloměru dráhy.
10. 12. 2011
130
Hmotová spektroskopie II • Výsledkem je množství částic v závislosti na specifickém náboji, z něhož lze, alespoň principiálně rekonstruovat chemické složení analyzované látky. • Moderní hmotnostní spektroskopy obvykle pracují s proměnným polem, aby poloměr r byl konstantní a svazek částic dopadal po stejné dráze do velice citlivého detektoru. • Základní princip ale zůstává stejný. 10. 12. 2011
131
11
Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem I • Podobně jako při použití Gaussovy věty, je Ampérův zákon jednoduše použitelný, podaří-li se najít vhodnou integrační křivku, která je všude tečná k B, čili siločáru, na níž je navíc B všude konstantní. Potom lze B vytknout před integrál, který je jednoduše délkou integrační cesty – uzavřené křivky.
10. 12. 2011
133
Proudova smyčka • Magnetické pole solenoidu. dostatečně dlouhého , aby bylo možné zanedbat okrajové efekty, najdeme pomocí ampérova zákona. Jednotlivé závity můžeme chápat jako spolupracující proudové smyčky. Ze symetrie lze předpokládat, že siločáry jsou paralelní s osou solenoidu.
Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem II • Mějme přímý dlouhý vodič protékaný proudem I. • Předpokládáme, že B(r) je osově symetrická a vodič je přirozeně osou symetrie. • Siločáry jsou kružnice a tedy naše integrační cesta bude kružnice s poloměrem r, která prochází bodem, kde chceme zjistit velikost magnetického pole. Potom: 2rB (r ) 0 I
0 I B(r ) 2r 10. 12. 2011
135
Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem III • Vektory magnetické indukce jsou tečné ke kružnicím, jejichž centrem je vodič, které jsou tudíž siločaramy, a klesá s první mocninou vzdálenosti. – To je situace podobná jako u elektrostatického pole dlouhého nabitého vodiče. Ovšem siločáry elektrického pole jsou radiální, zatímco siločáry pole magnetického jsou kružnice, tedy jsou navzájem v každém bodě kolmé.
10. 12. 2011
136
Ampérův zákon pro sílu v magnetickém poli • Zákon formulovaný v diferenciálním vektorovém tvaru stanoví sílu , kterou působí magnetické pole o magnetické indukci na element lineárního elektrického vodiče o délce a směru protékaného elektrickým proudem . Tento vztah lze zapsat rovnicí • (element vodiče je orientován ve směru protékajícího proudu).Pro homogenní magnetické pole a přímkový vodič lze vztah zjednodušit na tvar pro celkovou sílu • kde je tzv. aktivní délka vodiče, tj. ta část, která zasahuje do magnetického pole, a úhel, který svírá směr vodiče se směrem magnetických indukčních čar (tedy směrem vektoru magnetické indukce). Orientace síly je dána Flemingovým pravidlem levé ruky
12
Úvod do magnetismu • Magnetické a elektrické jevy jsou známy mnoho tisíc let, ale až v 19. století byla nalezena jejich blízká vzájemná příbuznost. Hlubšího porozumění bylo dosaženo, až když byla formulována speciální teorie relativity, na začátku 20. století. • Studium magnetických vlastností látek je doposud oblastí aktivního výzkumu. 10. 12. 2011
139
Permanentní magnety I • Matematický popis magnetických polí je podstatně složitější než je tomu u polí elektrických. • Vhodné je začít kvalitativním popisem jednoduchých magnetických jevů. • Již dlouhou dobu je známo že jisté materiály na sebe mohou působit silami dalekého dosahu.
10. 12. 2011
140
Úvod do magnetických vlastností látek I • Magnetické vlastnosti látek jsou složitější než vlastnosti elektrické i v mikroskopickém měřítku. Tam existovaly vodiče, ve kterých bylo pole nulové a dielektrika, v nichž se vždy zeslabilo. Jemnější efekty musely být studovány s využitím dalších efektů, např. závislosti na teplotě nebo frekvenci.
10. 12. 2011
141
Úvod do magnetických vlastností látek II • Je-li látka vložena do vnějšího magnetického pole, jistým způsobem se zmagnetizuje a objeví se v ní vnitřní magnetické pole , které lze chápat jako hustotu magnetických dipólových momentů : Bm
m
Bm V • Objem V je malý makroskopicky, ale velký mikroskopicky.
10. 12. 2011
142
Úvod do magnetických vlastností látek III • Celkové magnetické pole v látce lze potom napsat jako superpozici pole vnitřního a pole původního :
B Blineární • Můžeme-li předpokládat 0 Bm chování, platí : Bm mje • Materiálový parametr magnetická mB 0 susceptibilita, která může tentokrát být větší i menší než nula.
10. 12. 2011
143
Úvod do magnetických vlastností látek IV • Dosadíme do první rovnice : B (1 m ) B0 r B0
a definujeme relativní permeabilitu r. • Celková (absolutní) permeabilita je definována jako : = 0 r • Pole dlouhého solenoidu s jádrem lze například napsat jako : . B nI 10. 12. 2011
144
Úvod do magnetických vlastností látek V • Existují tři možné typy magnetického chování. Vnější magnetické pole může být : – zeslabeno (m< 0 nebo r < 1), tato vlastnost se nazývá diamagnetismus. – mírně zesíleno (m> 0 nebo r >1), tato vlastnost se nazývá paramagnetismus – výrazně zesíleno, (m>> 0 nebo r >> 1) , tato vlastnost se nazývá ferromagnetismus.
10. 12. 2011
145
Úvod do magnetických vlastností látek VI • Může-li být materiál ferromagnetický, bude tato vlastnost dominantní a překryje jiné magnetické chování, které je mnohem slabší. • Dominantní chování se ale může změnit při určité vyšší teplotě. Například ferromagnetické chování se nad Courieovou teplotou mění na paramagnetické.
10. 12. 2011
146
Magnetismus v mikroskopickém měřítku I • Magnetické vlastnosti látek jsou otevřenou a obtížnou oblastí výzkumu. • Základní typy magnetického chování ale lze ilustrovat pomocí jednoduchých modelů. • Musí se začít od mikroskopických představ. • Víme, že libovolný odštěpek permanentního magnetu je opět permanentním magnetem s oběma póly.
10. 12. 2011
147
Magnetismus v mikroskopickém měřítku II • Budeme-li dělit permanentní magnet, dostaneme se jednou na atomární úroveň a je otázkou, které elementární částice jsou zodpovědné za magnetické chování látek? • Ukážeme, že magnetický dipólový moment částice závisí na jejím specifickém náboji, takže dominantní magnetické chování je určeno elektrony. • Existují ale experimenty citlivé na magnetické momenty atomových jader. (NMR, Neutron. D.)
10. 12. 2011
148
13
Faradayův pokus I • Michael Faraday (1791-1867) používal dvě cívky na jednom toroidálním jádru. Pomocí zdroje vytvářel proud v první cívce a na druhou měl připojen galvanometr. Pravděpodobně nebyl první, kdo zjistil, že galvanometrem netekl proud, ať bylo magnetické pole jakkoli silné.
10. 12. 2011
150
Faradayův pokus II • Byl ale první kdo si všiml, že galvanometr ukazoval silnou výchylku při připojení zdroje a výchylku na druhou stranu, při jeho odpojení . • Správně došel k závěru, že galvanometr nereaguje pouze na přítomnost magnetického pole, ale na jeho časové změny. 10. 12. 2011
151
Faradayův zákon I • Elektromagnetickou indukci obecně popisuje Faradayův zákon, který říká, že velikost indukovaného elektromotorického napětí v určitém obvodu je rovna velikosti časové změny magnetického toku tímto obvodem:
d m d (B s ) U dt dt napětí, což • Znaménko minus popisuje orientaci popisuje zvláštní zákon (pravidlo).
10. 12. 2011
152
Faradayův zákon II • Magnetický tok je skalární součin vektoru magnetické indukce B a vektoru normály plošky s. Principiálně se mohou v čase měnit nezávisle tři veličiny: – B … například v transformátorech – s … například v příkladu s tyčkou – vzájemná poloha s a B… generátory
10. 12. 2011
153
Lenzův zákon • Lenzův zákon se zabývá orientací indukovaného elektromotorického napětí: • Indukované elektromotorické napětí vyvolá proud takového směru, že magnetické pole, jím vyvolané, působí proti změně magnetického toku, která ho vyvolala. • Není-li obvod uzavřen, můžeme si jeho uzavření, abychom určili směr proudu, představit.
10. 12. 2011
154
Přenos energie • Elektromagnetická indukce je základem výroby a přenosu elektrické energie. • Výhoda je, že elektrická energie je vyráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno. • Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce.
10. 12. 2011
155
Překonávání momentu síly I • Lze očekávat, že podobně jako je nutné překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat moment síly. • Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační : P = Fv = T
10. 12. 2011
156
Překonávání momentu síly II • Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L, která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni moment síly. • Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat.
10. 12. 2011
157
Překonávání momentu síly III • Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce rezistorem R, poteče proud I = U/R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí musíme dodat výkon : P = T = BIL2/2 = UI, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo.
10. 12. 2011
158
Princip elektromotoru I • Z výše uvedeného vidíme, že rotační i translační pohyby vedou k obdobným závěrům. Proto se zatím bez újmy na obecnosti vrátíme k vodivé tyčce, která se může pohybovat přímočaře a bez tření po kolejnicích. • Nechť je tyčka v klidu a ke kolejnicím připojíme vnější zdroj. Poteče rozběhový proud I0, daný napětím zdroje U a rezistancí obvodu R : I0 = U/R.
10. 12. 2011
159
Princip elektromotoru II • Jemu odpovídá jistá rozběhová síla : F0 = BlI0 = BlU/R • Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu, stejně jako kdyby tyčkou pohyboval vnější činitel, elektromotorické napětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho proto elektromotorické proti-napětí (counter EMF).
10. 12. 2011
160
Princip elektromotoru III • Za pohybu bude celkový proud superpozicí původního proudu a proudu způsobeného elektromotorickým proti-napětím a zjevně závisí na rychlosti tyčky: I(v) = [U - U(v)]/R = (U – vBl)/R • Síla působící na tyčku potom závisí právě na tomto celkovém proudu : F(v) = BlI(v)
10. 12. 2011
161
Princip elektromotoru IV • Není-li tyčka mechanicky zatížena bude se zprvu pohybovat zrychleně. S rostoucí rychlostí se ale zvětšuje indukované elektromotorické napětí, tím i protiproud a tedy se snižuje celkový proud a tudíž i síla, působící na tyčku. • Děj vede k rovnováze, při které napětí indukované je rovno napětí zdroje. Zde mizí proud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně tzv. volnoběžnou rychlostí ve = U/Bl.
10. 12. 2011
162
Princip elektromotoru IV • Volnoběžná rychlost volné tyčky ve tedy závisí na napětí zdroje U. • Předpokládejme dále, že tyčka je zatížena jistou silou v intervalu od nuly po sílu rozběhovou F (0, F0) • S rostoucí zátěží proud lineárně poroste a rychlost bude lineárně klesat : I = F/Bl v = (I0-I).R/Bl
10. 12. 2011
163
Princip elektromotoru V • Úpravou původního vztahu pro proud získáme zajímavou informaci o výkonech : I = I0 – Bvl/R Bvl/R = I0 – I rozšíříme proudem I a zavedeme sílu F = BIl Pm = Fv = RI0I – RI2 = UI – RI2 = P – Pz
10. 12. 2011
164
Princip elektromotoru VI • Mechanický výkon Pm = Fv nabývá maxima při síle F = F0/2. Zde jsou také proud a rychlost rovny polovině svých rovnoběžných hodnot. • Ohmický ztrátový výkon Pz = RI2 roste kvadraticky s růstem zátěže i proudu. • Výkon zdroje P, který je jejich součtem, roste lineárně. • Efektivita výkonu Pm/P lineárně klesá. • K obdobným závěrům lze dojít i u elektromotorů otáčivých.
10. 12. 2011
165
Princip elektromotoru VII • Elektromotory bývají obvykle optimalizovány na maximální mechanický výkon: Jejich pracovní otáčky jsou polovinou otáček volnoběžných a pracovní proud je polovinou proudu rozběhového. Na tyto parametry je navrženo chlazení, aby je motor mohl dlouhodobě vydržet. • Chlazení obvykle souvisí s otáčkami a je-li motor přetížen a velmi se zpomalí nebo dokonce zastaví, spálí se, přestože proud je necelým dvojnásobkem proudu pracovního.
10. 12. 2011
166
14
Vlastní indukčnost I • Viděli jsme, že po připojení volné vodivé tyčky, ponořené do magnetického pole, objevuje se elektromotorické protinapětí, které má opačnou polaritu než napět budící. • Dokonce i jednoduchý obvod realizovaný smyčkou vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativně stejně.
10. 12. 2011
168
Vlastní indukčnost II • Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý proud. Je vlastně ponořen do magnetického pole generovaného tímto jeho vlastním proudem. • Chceme-li v tomto okamžiku změnit proud, měníme magnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, vyvolávající proud jehož účinky působí proti změně, o níž se snažíme. • Chceme-li proud zvýšit, musíme konat práci, dokonce příslušnou rychlostí.
10. 12. 2011
169
Vlastní indukčnost III • Uděláme-li v obvodu N závitů, tento efekt se N krát znásobí. • Lze očekávat, že elektromotorické napětí indukované v tomto případě závisí na: – geometrii vodiče a vlastnostech okolního prostoru – rychlosti změny proudu
• Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní) indukčnost (cívky) L.
10. 12. 2011
170
Vzájemná indukčnost I • Dvě cívky blízko sebe, se mohou ovlivňovat prostřednictvím magnetického pole. Toto ovlivňování popisujeme vzájemnou indukčností. • Jedná se o celkový tok v jedné cívce jako funkce proudu v cívce druhé. • Mějme dvě cívky Ni, Ii na společném jadře nebo blízko sebe. • Budiž 21 tok v každém závitu cívky 2, způsobený proudem v cívce 1.
10. 12. 2011
171
Vzájemná indukčnost II • Potom definujeme vzájemnou indukčnost M21 jako celkový tok ve všech závitech cívky 2 na jednotkový proud (1 ampér) v cívce 1: M21 = N221/I1 I1M21 = N221 • Indukované napětí ve 2. cívce přímo z Faradayova zákona a s použitím vzájemné indukčnosti je : U2 = - N2d21/dt = - M21 dI1/dt • Použití M21 má smysl, když se vzájemné působení cívek nemění v čase. Obecně závisí na geometrii obou cívek a vlastnostech prostředí mezi nimi.
10. 12. 2011
172
Vzájemná indukčnost III • Lze dokázat, že vzájemná indukčnost obou cívek je stejná M21 = M12 . • Skutečnost, že proud v jedné cívce indukuje napětí v cívce druhé, má řadu praktických aplikací. – Používá se například k napájení kardiostimulátorů, aniž by se vedly vodiče tkání. – Nejdůležitějším využitím jsou transformátory.
10. 12. 2011
173
Transformátor I • Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí jedna, dvě nebo více cívek stejný (časově proměnný) magetický tok. Cívka, ke které je připojeno vstupní napětí a která tento tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární. (Existují i autotransformátory s jednou cívkou a odbočkami) • Transformátory se užívají hlavně k převodu napětí a proudu nebo přizpůsobení vnitřního odporu (impedančnímu přizpůsobení).
10. 12. 2011
174
Transformátor II • Ilustrujme princip funkce transformátoru na jednoduchém typu se dvěma cívkami, které mají N1 a N2 závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelný proud. • Vstupní napětí musí být časově proměnné. • Každým jedním závitem každé cívky prochází stejný tok a indukuje se v něm elektromotorické napětí U1 : U1 = - d/dt
10. 12. 2011
175
Transformátor III • Připojíme-li k primární cívce napětí U1, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu: U1 = N1U1 • Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů: U2 = N2U1
10. 12. 2011
176
Úvod do střídavých proudů I • Střídavé proudy jsou obecně proudy, které se mění v čase a občas mění svůj směr. V průběhu času tedy náboj teče oběma směry (EKG). • Střídavými proudy (AC alternating currents) se často myslí důležitá podskupina: proudy periodické a harmonické. Ovšem i proudy jiných průběhů např. obdélníkový nebo trojúhelníkový (pilový) mají velký praktický význam.
10. 12. 2011
177
Úvod do střídavých proudů II • Nejprve budeme definovat určité střední hodnoty, které umožní jednoduše popsat důležité vlastnosti střídavých proudů. • Později se soustředíme na periodické proudy harmonického průběhu, protože: – se hojně vyrábějí a užívají. – každou funkci lze vyjádřit jako řadu nebo integrál harmonických funkcí a proto dědí jejich některé vlastnosti.
10. 12. 2011
178
Střední hodnota I • Střední hodnota
časově závislé funkce f(t) je konstantní hodnota, která má za určitý čas stejný integrál jako funkce f(t). • Například střední proud je konstantní proud, který by za určitou dobu přenesl stejný náboj jako střídavý proud, o jehož střední hodnotu se jedná.
10. 12. 2011
179
Střední hodnota II • Je možné snadno ukázat, že střední hodnota harmonického napětí nebo proudu je nulová, zatímco u usměrněného napětí není. • Znamená to, že náboj se nepřenáší , ale pouze osciluje a energie, která přenášena je, je skryta právě v oscilacích.
10. 12. 2011
180
Efektivní hodnota I • Při práci se střídavými veličinami je užitečný jestě další druh střední hodnoty – hodnota efektivní. • Teče-li střídavý proud rezistorem, jsou tepelné ztráty v něm úměrné druhé mocnině proudu. Ztráty tedy nezávisí na směru, kterým je přenášen náboj.
10. 12. 2011
181
Efektivní hodnota II • Efektivní hodnota fef časově závislé funkce f(t) je konstantní hodnota, která má za nějaký čas stejné teplotní účinky jako časově závislá funkce. • Budeme například napájet žárovku časově proměnným proudem I(t). Kdybychom ji nápajeli konstantním stejnosměrným proudem o velikosti Ief, svítila by se stejným jasem. • Efektivní hodnota se často nazývá hodnota střední kvadratická a značí frms z angl. root mean square. 10. 12. 2011
182
Výkon střídavého proudu • Výkon v každém okamžiku je součin proudu a napětí: P(t) = U(t) I(t) = U0sin(t)I0sin(t + ) • Střední hodnota výkonu závisí na fázovém posunu mezi napětím a proudem: = UefIefcos • Výraz cos se nazývá účiník. 10. 12. 2011
183
15
Voltmetry a ampérmetry I • Měření napětí a proudů je důležité nejen ve fyzice a elektrotechnice, ale v mnoha jiných oblastech vědy a technologie, protože většina veličin se převádí na veličiny elektrické (například teplota, tlak ...). • Je to proto, že elektrické veličiny se snadno přenáší i měří.
10. 12. 2011
185
Konstrukce V- a A- metrů I • Základem ručkových přístrojů je galvanometr. Je to velice citlivý voltmetr i ampérmetr. Je obvykle charakterizován, proudem při plné výchylce a vnitřním odporem. • Obdobné parametry, maximální proud nebo napětí a vnitřní odpor má i centrální jednotka přístrojů digitálních. • Měřený obvod vnímá měřící přístroj právě jako odpor. • Měřící přístroj můžeme tedy chápat jako inteligentní odpor, který ukazuje, jaký jím teče proud nebo jaké je na něm napětí.
10. 12. 2011
186
Konstrukce V- a A- metrů II • Mějme galvanometr s proudem při plné výchylce If = 50 A a vnitřním odporem Rg= 30 . • Z ohmova zákona je napětí při plné výchylce Uf = If Rg = 1.5 mV • Chceme-li měřit větší proudy, musíme galvanometr přemostit tzv. bočníkem, který odvede přebytečný proud mimo.
10. 12. 2011
187
Konstrukce V- a A- metrů III • Například chceme měřit proud I0 = 10 mA. Jedná o paralelní zapojení, je Uf = 1.5 mV a bočníkem musí procházet proud I = 9.950 mA, takže jeho odpor je Rp = 0.1508 a celkový vnitřní odpor přístroje je R = 0.15. • Je tedy blíže ideálnímu ampérmetru, než vlastní galvanometr. • Bočníky mají zpravidla malý odpor, ale musí být přesný a vydržet velké proudy.
10. 12. 2011
188
Použití V- a A- metrů I • Voltmetry a ampérmetry mají konečný vnitřní odpor a proto zatěžují měření systematickou chybou. • Jak by se chovaly ideální přístroje? • Voltmetry se zapojují paralelně. Aby přitom neovlivnily měřený obvod, měly by mít nekonečný vnitřní odpor. • Ampérmetry se zapojují sériově. Aby neovlivnily obvod, musí na nich být nulový spád napětí a tedy musí mít vnitřní odpor nulový.
10. 12. 2011
189
Použití V- a A- metrů II • Měřme odpor metodou přímou. Můžeme použít dvou zapojení. • V prvním je napětí měřené správně, ale vnitřní odpor voltmetru způsobuje, že ampérmetr měří větší proud než teče měřeným odporem. Hodnota rezistoru vyjde menší. • Toto zapojení může být použito pro měření malých odporů, kdy je chyba zanedbatelná
10. 12. 2011
190
Použití V- a A- metrů III • Ve druhém zapojení se měří správně proud, ale vnitřní odpor ampérmetru způsobuje, že měřené napětí je vyšší než napětí na měřeném rezistoru. Jeho hodnota pak vychází vyšší. • Toto zapojení lze použít pro měření velkých odporů. • Vnitřní odpory přístrojů lze určit kalibrací.
10. 12. 2011
191
Wheatstonův můstek I • Jedna z nejpřesnějších a nejsprávnějších metod měření rezistance používá Wheatstonův můstek. • Jsou to v principu rezistory zapojené do čtverce. Jeden z nich je neznámý. Ostatní tři jsou známé a navíc alespoň jeden z nich musí být (definovaně) proměnný. V jedné diagonále je napájecí zdroj a ve druhé galvanometr. Ten měří proud v diagonále a tedy vlastně i napětí mezi body, kde je připojen.
10. 12. 2011
192
Wheatstonův můstek II • V průběhu měření se mění hodnota proměnného odporu s cílem můstek vyrovnat, což znamená, že galvanometrem neteče měřitelný proud. To je možné pouze, když jsou potenciály v bodech a a b stejné: • I1R1 = I3R3 a I1R2 = I3R4 po vydělení • R2/R1 = R4/R3 e.g. R4 = R2R3/R1
10. 12. 2011
193
16
Obecné střídavé obvody I • Je-li v obvodu více elementů R, C, L , je možné vždy principiálně sestavit odpovídající integrální a diferenciální rovnice. Problémem je komplikovanost příslušných rovnic i ve velmi jednoduchých případech. • Naštěstí existuje několik způsobů, jak problém elegantně zjednodušit. 10. 12. 2011
195
Obecné střídavé obvody II • Řešení střídavých obvodů, napájených jedním zdrojem nebo více zdroji se stejnou frekvencí, je dvojrozměrný problém. • Napájíme-li obvod napětím U0sint, budou napětí a proudy záviset na čase také jako t. • Je tedy nutné a postačující popsat každou veličinu v každé větvi dvěma parametry, velikostí a fází.
10. 12. 2011
196
RC v sérii • Ilustrujme použití aparátu na sériové kombinaci RC : • Proud I, společný pro oba R a C, budeme považovat za reálný. Z = ZR + ZC = R – j/C |Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 1/2 C2)1/2 tg = –1/RC < 0 … kapacitní zátěž
10. 12. 2011
197
RL v sérii • Nyní mějme R a L , zapojené do serie: • Proud I, společný pro oba R a L, bude opět reálný. Z = ZR + ZL = R + jL |Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 2L2)1/2 tg = L/R > 0 … induktívní zátěž
10. 12. 2011
198
RC paralelně • Nyní mějme R a L zapojené paralelně: • Napětí U, společné pro oba R i C, bude nyní reálné. Y = YR + YC = 1/R + jC |Y| = (YY*)1/2 = (1/R2 + 2C2)1/2 tg = –[C/R] < 0 … opět kapacitní zátěž
10. 12. 2011
199
RLC v sérii I • Nyní mějme R, L a C zapojené do série: • Opět proud I je společný pro všechny R , L, i C a bude reálný. Z = ZR + ZC + ZL = R + j(L - 1/C) |Z| = (R2 + (L - 1/C)2)1/2 • Nyní může být celková zátěž buď induktivní pro: L > 1/C … > 0 • nebo kapacitní pro: L < 1/C … < 0
10. 12. 2011
200
RLC v sérii II • Objevuje se nový jev rezonance, když : L = 1/C 2 = 1/LC – imaginární složky se vykompenzují a celý obvod se chová jako čistá rezistance. – Z a U mají minimum, zatímco I má maximum – lze ji dosáhnout nezávisle změnou L, C nebo f !
10. 12. 2011
201
RLC paralelně I • Mějme R, L a C zapojené paralelně: • Nyní je napětí U společné všem R , L, C a bude tedy reálné. Y = YR + YC + YL = 1/R + j(C - 1/L) |Y| = (1/R2 + (C - 1/L)2)1/2 • Celková zátěž bude buď induktivní pro: L > 1/C … > 0 • nebo kapacitní : L < 1/C … < 0
10. 12. 2011
202
RLC paralelně II • Opět se objevuje rezonance, je-li splněno: L = 1/C 2 = 1/LC • Opět se imaginární složky vyruší a celý obvod se chová jako čistá rezistance (nebo čistá vodivost) : – Y, I mají minimum, Z,U mají maximum – lze ji dosáhnout nezávisle změnou L, C nebo f !
10. 12. 2011
203
Impedanční přizpůsobení. • Ze stejnosměrných obvodů již víme, že potřebujeme-li přenést maximální výkon mezi dvěma obvody, musí se výstupní odpor prvního rovnat vstupnímu odporu následujícího. • Ve střídavých obvodech se musí obdobně rovnat komplexní impedance. – Nevyrovnaná fáze vede k odrazu! 10. 12. 2011
204
Vícefázové proudy • Při rozvodu elektrické energie se používá vícefázových soustav. • Zcela běžný je rozvod třífázový v některých zařízeních se používá soustavy pětifázové. • Výhodou jsou hlavně – úspora materiálu vodičů na přenesení jednotky středního výkonu – přenos otáčivé informace – točivého pole
10. 12. 2011
205
Obvody střídavého proudu s L I • Protéká-li proud I(t) = I0sint, dodávaný jistým střídavým zdrojem, indukčností L, platí v každém okamžiku druhý Kirchhoffův zákon: U(t) – LdI(t)/dt =0 • Napětí na indukčnosti tedy je: U(t) = LI0cost = U0sin(t+/2) U0 = LI0 10. 12. 2011
206
Obvody střídavého proudu s L II • Mezi proudem a napětím na indukčnosti je tedy fázový posun. Napětí předchází proud nebo proud je opožděn za napětím o úhel = /2 . • Střední výkon bude nyní nulový:
= UefIef cos = 0 • Definujeme impedanci indukčnosti induktanci: XL = L U0 = I0 XL 10. 12. 2011
207
Obvody střídavého proudu s C I • Protéká-li proud I(t) = I0sint, dodávaný jistým střídavým zdrojem, kapacitou C, platí v každém okamžiku opět druhý Kirchhoffův zákon: U(t) – Q(t)/C =0 • To odpovídá integrální rovnici pro napětí: U(t) = –I0/C cost = U0sin(t – /2) U0 = I0/C 10. 12. 2011
208
Obvody střídavého proudu s C II • Mezi proudem a napětím na kondenzátoru je opět fázový posun. Tentokrát se proud předbíhá o úhel = /2 před napětím. • Střední výkon bude opět nulový:
= VefIef cos = 0 • Definujme impedanci kondenzátoru kapacitanci: XC = 1/C U0 = I0 XC 10. 12. 2011
209
17
Maxwellovy rovnice I • Základní elektromagnetické principy lze shrnout do čtyřech Maxwellových rovnic, které existují v několika verzích, a vztahu pro Lorentzovu sílu. – V případě časově neproměnných polí se rozpadají na dvě nezávislé dvojice popisující elektrické a magnetické pole. – Časově proměnná pole jsou spolu vázána a tvoří jedno elektromagnetické pole.
19. 12. 2011
211
Maxwellovy rovnice II Q E ds
0
d m E dl dt B ds 0 d e B dl 0 I 0 0 dt 19. 12. 2011
212
Maxwellovy rovnice III • První rovnice je Gaussova věta, kterou známe z elektrostatiky, říká, že : – Existují zdroje elektrického pole – náboje. – Jsou-li náboje přítomny, začínají elektrické siločáry v kladných nábojích (nebo nekonečnu) a končí v nábojích záporných (nebo nekonečnu). – Pole bodového náboje klesá jako 1/r2.
19. 12. 2011
213
Maxwellovy rovnice IV • Druhá rovnice je Faradayův zákon elektromagnetické indukce, který říká, že : – Elektrické pole může vznikat také časovou změnou pole magnetického. V tomto případě není konzervativní a jeho siločáry jsou uzavřené křivky. – Není-li přítomno časově proměnné magnetické pole, je elektrické pole konzervativní a existuje v něm skalární potenciál.
19. 12. 2011
214
Maxwellovy rovnice V • Třetí rovnice je Gaussova věta magnetismu, která říká, že : – Neexistují oddělené zdroje magnetického pole – magnetické monopóly. – Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky. – Pole proudového elementu klesá jako 1/r2.
19. 12. 2011
215
Maxwellovy rovnice VI • Čtvrtá rovnice je zobecněný Ampérův zákon, který říká, že: – Magnetické pole je vytvářeno buď proudy nebo časovými změnami elektrického pole. – Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky.
19. 12. 2011
216
Maxwellovy rovnice VII • Shrnutí: • V M. rovnicích a rovnici pro Lorentzovu sílu je veškerá informace o elektromagnetismu. • Z těchto rovnic vyplývá mnoho zajímavých důsledků, z nichž některé byly předpověděny: – Existuje jedno elektro-magnetické pole. Pouze ve speciálním statickém případě není první dvojice rovnic propojena s druhou a elektrostatické a magnetostatické pole mohou být uvažována zvlášť. – Existují elektromagnetické vlny.
19. 12. 2011
217
18
Dualismus vln a částic • Elektromagnetické vlny projevují řadu vlnových vlastností, ale s rostoucí frekvencí a tedy zkracující se vlnovou délkou se u nich výrazněji projevují vlastnosti částicové korpuskulární. • Ukazuje se, že energie je kvantovaná a jeden foton nese energii danou Planckovým zákonem: hc E hf
19. 12. 2011
219
Rovinné elektromagnetické vlny • Důležitým typem řešení MR jsou rovinné lineárně polarizované. Pohybují-li se ve směru +x, rychlostí c, mohou být pole popsána : E = Ey =E0sin(kx - t) B = Ez =B0sin(kx - t) – – – – – –
19. 12. 2011
E a B jsou ve fázi vektory , , tvoří pravotočivý systém Mohou existovat s různou polarizací c : Ek = B vlnové číslo 2/ úhlová frekvence : = 2/T = 2f rychlost vlny : c = f = /k
220
Typicky vlnové vlastnosti • Na EMA vlny lze aplikovat Huygensův princip (Christian 1629-1695): – Každý bod, kam vlny dospějí, se stává novým zdrojem kulových vln. – Nová vlna je superpozicí těchto kulových vln. – Rovinná vlna, v případě přímočarého šíření je obálkou kulových vln. – V případě překážek dochází k interferenci a difrakci.
19. 12. 2011
221
Vytváření EMA vln • Protože měnící se elektrické pole vytváří pole magnetické a naopak, jsou-li jednou taková pole vytvořena, existují dál nezávisle a šíří se od svého zdroje rychlostí světla do prostoru. • Může to být ilustrováno na jednoduché dipólové anténě a střídavém generátoru. • Rovinné vlny existují jen daleko (ve srovnání s vlnovou délkou) od antény, kde vymizí rychle klesající dipólové pole. 19. 12. 2011
222
Spektrum EMA vln I • Ukazuje se, že zdánlivě nesrovnatelné jevy, jako jsou radiové vlny, tepelné záření, viditelné světlo, ultrafialové záření, rentgenové záření, paprsky gama a záření kosmické jsou elektromagnetické vlny s různou vlnovou délkou a energií.
19. 12. 2011
223
Spektrum EMA vln II • Velmi rozdílné jevy jsou způsobeny stejnými EMA vlnami, majícími ‘pouze’ jinou frekvenci: – – – – – – –
19. 12. 2011
Radiové vlny > 0.1 m Mikrovlny 10-1 > > 10-3 m Infračervené záření 10-3 > > 7 10-7 m Viditelné záření 7 10-7 > > 4 10-7 m Ultrafialové záření 4 10-7 > > 6 10-10 m Rentgenové záření 10-8 > > 10-12 m Gama a kosmické záření 10-10 > > 10-14 m
224
EMA záření v látkách I • Řešení MAX může být obecně dosti složité. • V nevodivých látkách jsou řešením též elektromagnetické vlny, které se ale šíří menší 1 c rychlostí než ve vakuu
v
r r
• Poměr c/v se nazývá index lomu. Téměř u všech dielektrik (vyjma feromagnetik) je r 1 a platí Maxwellův zákon
c n r r r v
19. 12. 2011
225
Rozhlas a TV • Ve vysílači je vlna určité nosné frekvence napřed modulována přenášeným signálem. Obvykle to bývá amplitudově AM nebo frekvenčně FM. Potom je zesílena a přes anténu vyslána do prostoru. • Přijímač musí mít anténu citlivou buď na elektrickou nebo magnetickou složku vlny. • Jeho důležitou částí je ladící obvod, v němž se vybírá správná frekvence přijímaných vln.
19. 12. 2011
226
19
Úvod do optiky I • Již od nepaměti si lidstvo klade otázku: Co je světlo? • První důležité objevy byly uskutečněny ve staré Číně a v Antice, cca před třemi tisíci lety. Nyní se naše znalosti dvojnásobí téměř každý rok. Ale nejhlubší poznání se mění pomalu a původní otázka zůstává nezodpovězená.
19. 12. 2011
228
Úvod do optiky II • Dlouhou dobu se věřilo tomu, že světlo je proud jakýchsi mikroskopických částic. Tzv. korpuskulární teorie, založená na této představě, byla podporována například Isaacem Newtonem (1642-1727). Tento genius ‘dovršil’ lidské poznání v několika oblastech (mechanika, gravitace…). • Přes obrovskou autoritu, kterou měl i po své smrti, se objevily experimenty, které jasně ilustrovaly vlnové vlastnosti světla. • Zhruba před sto lety se zjistilo, že světlo je přecejenom proud částic, ovšem velmi zvláštních, protože se nemohou zastavit a chovají se podle vlnového jízdního řádu.
19. 12. 2011
229
Úvod do optiky III • Existují dvě skupiny experimentů. Jedna podporuje teorii korpuskulární, druhá částicovou. Každá z nich podporuje jednu z těchto představ. • Problém, zda světlo jsou vlny nebo částice se ukázal hlubší, než se původně zdálo a zůstal nevyřešen. Protože světlo nejsou ani klasické vlny ani klasické částice. • Vlnové vlastnosti byly geniálně shrnuty Jamesem Clerkem Maxwellem (1831-1879). • Nyní v řadě aplikací postačuje považovat světlo za elektromagnetické vlny s vlnovou délkou 400 – 700 nm.
19. 12. 2011
230
Úvod do optiky IV • Přenos energie, podobně jako absorpce a emise se uskutečňují po jistých minimálních kvantech – fotonech. Jsou to částice s celočíselným spinem, tzv. bosony, u nichž není omezení na počet částic ve stejném stavu – laser. • Nicméně pohyb světla přes optické elementy jako čočky, otvory a štěrbiny je řízen vlnovými vlastnostmi světla.
19. 12. 2011
231
Odraz světla I • K nalezení zákona odrazu na rovné ploše použijme Fermatův princip: • Bod S bude zdroj radiálně se šířících paprsků a bod P bodem pozorování. Protože oba body jsou ve stejném prostředí (homogenním a izotropním), musí být odražený paprsek nejkratší ze všech možných. Najdeme jej, pomocí triku, kdy si promítneme jeden z bodů za zrcadlo a využijeme shodnosti vzniklých trojúhelníků.
19. 12. 2011
232
Odraz světla II • Z jednoduché geometrie plyne, že úhel odrazu se rovná úhlu dopadu. V optice se podle konvence (obvykle) měří úhly od příslušných normál. – Zákon platí pro každý element plochy. – Je-li zrcadlící plocha konečné velikosti hladká, je reflexe spekulární a z bodu P vidíme ostrý obraz bodu S. Není-li plocha hladká je reflexe difúzní (papír, Měsíc). Tu nelze použít k zobrazování, zato však nese jistou informaci o struktuře povrchu.
19. 12. 2011
233
Refrakce I • Další důležitý základní optický jev je lom záření neboli refrakce. K lomu dochází, prochází-li paprsky rozhraním z jedné fáze do druhé a tyto fáze se liší optickou hustotou. Refrakce je vždy doprovázena reflexí. • Čím je materiál opticky hustší, tím je v něm menší rychlost šíření světla. • Optickou hustotu charakterizujeme absolutním indexem lomu: n = c/v, kde c je rychlost světla ve vakuu a v rychlost světla v příslušné látce (fázi). • Vzpomeňte si na Maxwellův zákon :
c n r r r v
19. 12. 2011
234
Refrakce II • Pro odvození zákona lomu můžeme opět použít Fermatova principu. • Nalezení paprsku, který doputuje nejrychleji z bodu S do P, je podobný problém, jako hledání časově nejkratší cesty při zachraňování tonoucího člověka, vezmeme-li v úvahu, že běžíme rychleji než plaveme.
19. 12. 2011
235
Refrakce III • Použijeme obecnější formulace Fermatova principu, která říká, že správný paprsek je stacionární. Jinými slovy to znamená, že doba letu sousedního velice blízkého paprsku bude přibližně stejná. • Ať je bod S v prostředí, kde se paprsek šíří rychlostí v1 = c/n1 a bod P v prostředí, kde se šíří rychlostí v2 = c/n2.
19. 12. 2011
236
Refrakce IV S E
φ1
n1
X
C
n2
F EC/v1 = XF/v2 XCsinφ1/v1 = XCsinφ2 /v2 n1 sinφ1 = n2 sinφ2
φ2
P
Refrakční optika I • Refrakce se využívá ke konstrukci optických prvků a systémů. • Máme-li bod S v prostředí n1 a bod P v prostředí n2 > n1 můžeme použít Fermatův princip, k nalezení tvaru rozhraní, aby se všechny paprsky, vycházející z bodu S lámaly do bodu P, čili oba body byly konjugované nebo optický systém by byl vůči nim stigmatický.
19. 12. 2011
238
Refrakční optika II • Porovnáme-li některý paprsek, který se láme s paprskem na optické ose, která oba body přímo spojuje, najdeme vztah : l1n1 + l2n2 = s1n1 + s2n2 • Je také ihned vidět, že čočka z opticky hustšího materiálu musí být konvexní. • Vztahu přesně odpovídá plocha čtvrtého řádu, zvaná karteziánský ovoid. • Tuto plochu lze v paraxiální oblasti aproximovat plochou sférickou.
19. 12. 2011
239
Tenká čočka I • Důležitou aproximací jsou takzvané tenké čočky. • Mohou být charakterizovány jediným parametrem, ohniskovou vzdáleností f. Je to vzdálenost optického středu od ohniska F, což je bod ve kterém se sbíhají paprsky přicházející rovnoběžně s optickou osou. • Vlastnosti tenké čočky jsou z obou stran stejné.
19. 12. 2011
240
Tenká čočka II • K porozumění funkce optických přístrojů je dobré vědět, že rovnoběžné paprsky se za čočkou sbíhají v jednom bodě, i když nepřichází rovnoběžně s optickou osou. Každému směru přísluší určitý bod v ohniskové rovině a ohnisko je speciálním případem. • Oftalmologové a optici charakterizují čočky pomocí “síly nebo optické mohutnosti” P = 1/f , vyjadřované v dioptriích 1D = 1m-1.
19. 12. 2011
241
Tenká čočka III • Pro tenké čočky lze odvodit vztah (lensmaker’s equation), který dává do souvislosti poloměry křivosti ploch, index lomu a ohniskovou vzdálenost čočky : 1/f = (n-1)(1/R1 + 1/R2) • Musí se dodržet znaménková konvence. • Je patrné, že v této aproximaci, je ohnisková vzdálenost na obou stranách čočky stejná, i při různých poloměrech křivosti.
19. 12. 2011
242
Lidské oko I • Na lomu se nejvíce podílí (rohovka cornea n = 1.376), čočka obstarává jen jemné doostření. • Kvalita zaostření a hloubka ostrosti závisí na zorničce, obě jsou lepší při menší apertůře (při větším osvětlení), protože propustí jen paraxiální paprsky. Podobného efektu lze částečně docílit zacloněním předmětu nějakou hranou. • Blízký bod normálního oka je 25 cm, daleký bod je nekonečno.
19. 12. 2011
243
Lidské oko II • Důvodem krátkozrakosti (myopie) je obvykle dlouhé oko. Daleký bod není v nekonečnu a pacienti vidí špatně na dálku, ale dobře na blízko. Při čtení si kladou předmět blíže než do konvenční vzdálenosti. Krátkozrakost lze korigovat rozptylkou. • Důvodem dalekozrakosti (hypermetropie, hyperopie, presbyopie) je krátké oko nebo ztráta pružnosti čočky, která se vyvíjí také s věkem. Pacienti nedokáží zaostřit oko na blízké předměty a při čtení si kladou předmět dále než do konvenční vzdálenosti. Dalekozrakost lze korigovat čočkou spojnou.
19. 12. 2011
244
Lidské oko III • Relaxované oko je zaostřeno na nekonečno. Proto okuláry některých přístrojů vytvářejí paralelní paprsky. • Jiné optické přístroje vytvářejí virtuální obraz v konvenční optické vzdálenosti 25 cm. Příkladem jsou především brýle a mikroskopy. Do nich nebo jejich okuláru je nutné se dívat z přesné vzdálenosti. Existují na to opěrky očí. Bez opěrek je správné použití stereo-mikroskopu velice obtížné.
19. 12. 2011
245
Lupa • Lupa se užívá : – buď je předmět v ohniskové rovině a pozorujeme jej relaxovaným okem. – nebo je oko těsně u čočky (alias Sherlock Holmes) a virtuální obraz se vytváří přibližně v konvenční optické vzdálenosti.
• Zvětšení souvisí se zvětšením zorného úhlu. Objekty nám totiž připadají tak velké, pod jakým úhlem se nám jeví na sítnici.
19. 12. 2011
246
Dalekohled I • Jednoduchý Keplerův hvězdářský dalekohled má dvě čočky, které mají společnou ohniskovou rovinu. Tedy obrazová ohnisková rovina objektivu (téměř) splývá s předmětovou rovinou okuláru, který má kratší ohniskovou vzdálenost. • Úhlové zvětšení je dáno poměrem ohniskových vzdáleností fobj/foku. • Existují dalekohledy s přímým obrazem Galileův, který má společnou zadní ohniskovou rovinu. nebo s více čočkami.
19. 12. 2011
247
Mikroskop • Princip mikroskopu může být opět ukázán na jednoduchém typu se dvěma čočkami : • Objektiv, který má nyní velmi krátkou ohniskovou vzdálenost, vytváří skutečný obraz. Ten je pozorován okulárem, tak že výsledný obraz se jeví jako zdánlivý v konvenční optické vzdálenosti. • Dobré mikroskopy, podobně jako jiné kvalitní optické přístroje, bývají značně komplikované, protože je nutné kompenzovat optické vady čoček.
19. 12. 2011
248
Fresnelova čočka • Na konci 18. století vznikla potřeba vyrábět velké spojné čočky pro námořní majáky. Augustin Jean Fresnel (1788-1827) přišel s myšlenkou, že důležité je zakřivení povrchu čočky a vyvinul plochou čočku se zónami příslušné křivosti. • Fresnelovy čočky nejsou vhodné pro kvalitní zobrazování. Zato však znamenají značnou úsporu materiálu, mají nižší absorpci a snadněji se mechanicky upevňují – světlomety, semafory…
19. 12. 2011
249
20
Základy geometrické optiky I • Prvním důležitým předpokladem je, že se světlo šíří ve formě paprsků. To jsou obecně křivky, podél nichž se šíří zářivá energie. V izotropních a homogenních materiálech jsou paprsky přímkami, které jsou kolmé k vlnoplochám. • V dané aproximaci mohou být tyto křivky studovány čistě geometricky. • Předměty principiálně emitují záření, které pozorujeme. Příčiny emise mohou být různé. V GO obvykle uvažujeme, že předměty ‘odrážejí’ dopadající záření.
19. 12. 2011
251
Základy geometrické optiky II • Je relativně snadné „stopovat paprsky“ (ray tracing), tedy sledovat jejich průchod optickým systémem a vlnoplochy a ostatní parametry zobrazení mohou být rekonstruovány dodatečně. • Paprsky se řídí zákonem reciprocity: prochází-li paprsek (jednoduchým) optickým systémem jedním směrem, může procházet přesně po stejné dráze i směrem opačným. To je jeden z důsledků Fermatova principu.
19. 12. 2011
252
Fermatův princip I • Fermatův princip je vhodný základ pro vysvětlení jednoduchých, ale i těch nejsložitějších optických jevů. Říká:
Světlo z bodu S do bodu P musí procházet po optické dráze, která je stacionární vůči variacím dráhy.
19. 12. 2011
253
Fermatův princip II • Vyplývá to z vlnových vlastností záření, kde lze ukázat, že vlny pohybující se po dráhách blízkých skutečnému chodu paprsku, s ním musí být téměř ve fázi. • Často platí zjednodušená formulace, že skutečná dráha je ta, po níž putuje paprsek nejkratší dobu. • V homogenním a izotropním prostředí se jedná o nejkratší dráhu, což odpovídá přímočarému šíření světla.
19. 12. 2011
254
Hranice geometrické optiky I • Přestože je optika široká a složitá disciplína, pro mnoho praktických aplikací lze uvažovat první přiblížení – geometrickou optiku. V ní lze jevy popisovat čistě geometricky pomocí paprsků, které dědí určité vlastnosti vln: – přímočaré šíření – nezávislost – reciprocita
• Geometrická optika přestává být dobrou teorií v okamžiku, kdy začnou hrát významnou roli částicové nebo vlnové vlastnosti světla.
19. 12. 2011
255
Hranice geometrické optiky II • Typicky vlnové vlastnosti začínají hrát roli, když je velikost optických elementů srovnatelná s vlnovou délkou světla. Tato situace nastává vždy u radiových vln a mikrovln. V optice viditelného světla je limitním faktorem pro rozlišení optických přístrojů. • Částicové vlastnosti elektromagnetických vln se projevují hlavně u vyšších energií. Viditelné světlo je bohužel právě na hranici.
19. 12. 2011
256
Hranice geometrické optiky III • Popis geometrickou optikou může být použit tam, kde lze vlnovou délku záření považovat za nulovou, rychlost za nekonečnou a energii za malou vzhledem k použitým materiálům (lze například zanedbat fotoelektrický jev) . • Tyto podmínky obvykle splňuje viditelné světlo nízkých intenzit.
19. 12. 2011
257
Typicky vlnové vlastnosti • Na EMA vlny lze aplikovat Huygensův princip (Christian 1629-1695): – Každý bod, kam vlny dospějí, se stává novým zdrojem kulových vln. – Nová vlna je superpozicí těchto kulových vln. – Rovinná vlna, v případě přímočarého šíření je obálkou kulových vln. – V případě překážek dochází k interferenci a difrakci.
19. 12. 2011
258
Ideální optický systém I • Optickým systémem se snažíme zaostřit všechny paprsky vycházející z určitého bodu S v předmětovém prostoru do jediného bodu P v prostoru obrazovém. • Je-li toho dosaženo, říkáme že zobrazení je pro body v těchto prostorech ostré neboli stigmatické. • Ideální optický systém by ostře zobrazoval určitou třírozměrnou podmnožinu předmětového prostoru do jisté třírozměrné oblasti prostoru obrazového. Vzhledem k reciprocitě jsou oba prostory záměnné.
19. 12. 2011
259
Ideální optický systém II • Vlastnosti reálného optického systému by se měly ideálnímu co nejvíce přibližovat. • Navíc by mělo být snadné určit chod paprsků a díky jednoduché parametrizaci by měla existovat jednoduchá rovnice popisující vztah předmětu a obrazu. • Optické systémy jsou založeny na odrazu (reflexi), lomu (refrakci) nebo difrakci záření.
19. 12. 2011
260
Disperze I • Průhledné látky mají zajímavou vlastnost: Rychlost světla v nich a tedy i jejich index lomu závisí na vlnové délce procházejícího záření. • Znamená to, že světlo (záření) každé vlnové délky se láme pod trochu jiným úhlem. • Geometrická optika tedy neplatí přesně u refrakce ani v prvním přiblížení. Problém ale obvykle řeší korekcemi v rámci g.o.
19. 12. 2011
261
Disperze II • Jev disperze komplikuje vývoj optických systémů. • Na druhé straně dává možnost rozkládat viditelné světlo a blízké IČ a UV záření do různých vlnových délek, což má velký význam například u spektroskopických metod. Ty lze provádět i u nesmírně vzdálených objektů a např. z Dopplerova jevu zjišťovat navíc jejich relativní pohyb. • I romantická duha je způsobena mimo jiné disperzí.
19. 12. 2011
262
21
Zákony záření černého tělesa Definice absolutně černého tělesa:
Je to těleso, absorbující veškeré dopadající záření bez ohledu na jeho vlnovou délku. V tepelné rovnováze s okolím je dopadající energie za jednotku času na jednotku plochy rovna energii vyzářené. Spektrální zářivost: R(λ,T) je energie, vyzářená jednotkou plochy za jednotku času, vztažená na jednotkový interval vlnových délek při teplotě T. Zářivost: (9)
19. 12. 2011
264
Záření černého tělesa I • Ze zkušenosti víme, že jsme schopni cítit sálání blízkého teplého tělesa. Kromě kondukce a konvekce se totiž tepelná energie přenáší i EMA zářením - radiací. • Při teplotách do cca 700° C je záření hlavně v infračervené oblasti. Při teplotách vyšších se objevuje výrazněji i jeho viditelná složka. • Musíme si uvědomit význam přenosu energie radiací: Existence života na Zemi je téměř zcela založená na získávání radiační energie od Slunce.
19. 12. 2011
265
Záření černého tělesa II • Při studiu tepelného záření je nutné jej oddělit od záření odraženého. Používáme idealizaci a mluvíme o dokonale černém tělese, jehož veškeré vyzařování je tepelné. • Kromě schopnosti vyzařovat má každé těleso schopnost též záření absorbovat. • Gustav Robert Kirchhoff ukázal, že tyto schopnosti jsou úměrné a když těleso dobře absorbuje, musí též dobře emitovat.
19. 12. 2011
266
Záření černého tělesa III • V roce 1879 objevil Josef Stefan zákon, který by později (1884) teoreticky odůvodněn Ludwigem Boltzmanem : Z plochy S z materiálu s emitivitou o teplotě T odchází radiací tepelný výkon
Q 4 P -8 ST konstanta = 5.67033 10Wm t -2K-4
• Je tedy zřejmé, že odvod tepla můžeme ovlivnit emitivitou povrchu. Pro studium vlastností zářiče je ale vhodné, aby záření bylo blízké záření černého tělesa. • Koncem 19. století byl objeven systém zářící, jako d.č.ť.
19. 12. 2011
267
Záření černého tělesa IV
Záření dopadající z vnějšku je dokonale pohlceno. (Podobně jako u oka)
Spektrum vycházejícího záření závisí pouze na teplotě tělesa.
Záření černého tělesa V • Nepřekonatelnou obtíž však s sebou přinášely pokusy o popis spektrálního chování teplotní závislosti intenzity záření černého tělesa. • Dílčího úspěchu dosáhl v roce 1896 W. Wien, který formuloval empirický zákon, podle něhož se chovají maxima spektrálního rozdělení :
mT 2.9010 3 mK m je vlnová délka odpovídající maximu rozdělení
19. 12. 2011
269
Záření černého tělesa VI • Na přelomu 19. a 20. století ještě vznikla teorie RayleighJeansova, která popisovala dobře dlouhovlnnou oblast spektra. Neexistovala ale teorie, která by dokázala popsat celé chování. • Průlomem byl až (zpočátku empirický) vztah Maxe Plancka (1885-1947) (nyní Planckův zákon): kT
2hc 2
1
( ) k = 1.38 10I-23 J/K, T je Boltzmanova hc a 5 konstanta 10-5 eV sjekTPlanckova konstanta h = 6.626 10-34 J s = 4.1356692 e 1
19. 12. 2011
270
Záření černého tělesa VII • Planckův zákon byl průlomem nejen proto, že vysvětloval záření černého tělesa, ale předpokládal systém skládající se z malých oscilátorků, jejichž energie nemohou dosáhnout libovolné hodnoty, ale jsou diskrétní :
E nhf
kT
n 1, 2, 3
• M. Planck považoval diskrétnost energií za pomůcku, díky níž bylo možné interpretovat data. Revolučnost myšlenky, že energie v mikrosvětě je kvantovaná veličina, rozeznal až Albert Einstein v roce 1905.
19. 12. 2011
271
Záření černého tělesa VIII • Záření černého tělesa a jeho rozuzlení Planckův zákon jedním z jevů, které si vyžádaly vznik nového popisu mikrosvěta – kvantové teorie. • Kromě toho lze použít k velmi praktickým účelům, jako je bezkontaktní měření teploty od vysokých teplot v tavných pecích po teploty hvězd nebo reliktní záření v kosmu… kT
19. 12. 2011
272
Záření černého tělesa IX Pyrometr s mizejícím vláknem – měření teploty
oko
Fotoelektrický jev I • Jak název napovídá, spočívá fotoelektrický jev ve vyrážení elektronů z pevných látek následkem ozáření elektromagnetickým zářením (VIS, UV). • Umístíme-li do blízkosti ozářené elektrody elektrodu další, vytvoří se mezi nimi (téměř okamžitě) rovnovážné napětí U, které odpovídá maximální kinetické energii, jakou mají elektrony vyražené za příslušných podmínek :
Ekin eU Ekin max eU 19. 12. 2011
274
Fotoelektrický jev II • Ukazuje se, že Ekmax nezávisí na intenzitě ale je lineární funkcí jeho frekvence. Jev ale existuje až za jistou prahovou frekvencí. Ta odpovídá minimální výstupní práci Wo, která je potřebná pro uvonění elektronů z látky a je materiálovým parametrem : Ek max hf Wo • To opět podporuje představu kvant záření.
19. 12. 2011
275
Fotoelektrický jev III • Vlnové představě odporuje i kvantitativní rozbor rychlosti děje: Kdyby byl výkon záření rozdělen rovnoměrně v průřezu paprsku, trvalo by naakumulování energie, potřebné pro uvolnění elektronu v blízkosti průměrného atomu o mnoho řádů déle než je tomu u skutečného experimentu. • S energií fotonů souvisí řada jevů od používání červené žárovky při vyvolávání fotomateriálů v temné komoře po důvod, proč jsou listy fotosyntézujících rostlin zelené. • Měření rozdělení energií fotoelektronů = fotoemisní spektroskopie je důležitým principem metod měření povrchových vlastností látek, např. nanoESCA.
19. 12. 2011
276
Comptonův jev I • V roce 1923 zjistil A. Compton, že vlnová délka rozptýleného rtg. záření je větší než vlnová délka záření dopadajícího a navíc silně závisí na úhlu rozptylu. • Z rozboru plyne, že jev je způsoben nepružnými srážkami elektronů a fotonů, kterým je nutné kromě energie přisoudit i hybnost. • Příklad:
19. 12. 2011
277
22
Rentgenovo záření I • V roce 1895 byl W. Röntgenem objeven i jev opačný k jevu fotoelektrickému : • Při dopadu urychlených elektronů je z látek emitováno elektromagnetické záření s vlnovou délkou řádově 10-10 m. Toto záření má složku spojitou (bílou), způsobenou zabržděním elektronů a složku charakteristickou, která odpovídá emisnímu spektru látky v rtg. oblasti.
19. 12. 2011
279
Rentgenovo záření II • Rtg. záření má vlnovou délku srovnatelnou s meziatomovými vzdálenostmi v molekulách a pevných látkách a proto má obrovský význam při studiu struktury látek metodami rtg. difraktometrie. • Důležité jsou i metody rtg. spektroskopie, které zkoumají emisní a absorpční spektra látek a řada speciálních metod (EXAFS…).
19. 12. 2011
280
Laser I • Obrovský průlom do mnoha oblastí vědy byl objev laserového záření. • Lasery jsou zdroje (IR, VIS, UV… ) záření, které je nebo může být : – – – – –
19. 12. 2011
kolimované má malou rozbíhavost monochromatické intensivní koherentní
281
• 3. Vznik rentgenového záření • V roce 1895 byl W. Röntgenem objeven jev opačný k vnějšímu fotoelektrickému jevu. Ukázalo se, že při dopadu dostatečně urychlených elektronů na látku je z ní emitováno elektromagnetické záření s vlnovou délkou řádově 10-10 m. Toto záření má spojitou (bílou) složku, způsobenou prudkým zabrzděním elektronů a složku charakteristickou, která odpovídá emisnímu spektru látky v rentgenové oblasti. • Vyzařování začíná vždy od určité minimální vlnové délky, která závisí na energii dopadajících elektronů a u rentgenové lampy tedy urychlovacím napětím. V pozadí toho jevu je zákon zachování energie.
Vlastnosti • Rentgenové záření je elektromagnetické vlnění s vlnovou délkou v rozmezí 10-12 až 10-8 m (1 pm až 10 nm). Velmi krátká vlnová délka je příčinou toho, že rentgenové záření má některé vlastnosti podstatně odlišné např. od viditelného světla. • Ionizuje vzduch a jiné plyny. Na této vlastnosti je založena např. funkce některých typů indikátorů rentgenového záření. • Pohlcování rentgenového záření různými materiály závisí na jejich protonovém čísle. Čím větší je protonové číslo atomů materiálu, tím víc tento materiál záření pohlcuje. Využití rentgenového záření v medicíně vychází mj. z faktu, že kosti (vápník) pohlcují záření víc než měkké tkáně (voda). • Pohlcování rentgenového záření závisí na tloušťce pohlcující vrstvy. Průmyslové využití (defektoskopie) je založeno na tom, že vnitřní vady znamenají změnu tloušťky pohcující vrstvy a tím i změnu intenzity procházejícího rentgenového záření.
Vlastnosti 2 •
Způsobuje zčernání fotografické desky nebo filmu. Již W.C.Röntgen využíval při svých výzkumech toho, že ozářená fotografická deska po vyvolání zčernala. Zčernání je tím větší, čím větší intenzitu má dopadající záření. Až do vynálezu polovodičových detektorů patřila fotografická emulze k hlavním indikátorům rentgenového záření.
•
Vyvolává luminiscenci (světélkování) některých látek. Světélkování krystalků kyanidu platnatobarnatého přivedlo W.C.Röntgena k objevu nového záření a dlouhou dobu bylo luminiscenční stínítko základním prvkem rentgenového přístroje. Dnes je nahrazují polovodičové detektory, televizní systémy a digitální zpracování obrazu.
•
Pronikavost záření závisí na velikosti napětí mezi anodou a katodou rentgenky. Základním regulačním prvkem je nastavení urychlujícího napětí, podle jeho velkosti dělíme rentgenové záření na tvrdé (velmi pronikavé) a měkké (méně pronikavé).
•
Vyvolává v živých organismech biologické, chemické a genetické změny. Této vlastnosti se využívá například při ozařování zhoubných nádorů. Obsluhující personál i pacienti (zejména těhotné ženy) však musí být před nežádoucími účinky chráněni.
23
• Bohrův model atomu je model atomu vodíku založený na třech postulátech, který roku 1913 vytvořil Niels Bohr. • Elektrony se pohybují po kružnicových trajektorii; • Při přechodu z jedné kružnice (neboli hladiny) na druhou elektron vyzáří (pohltí) právě 1 foton; • Jsou dovoleny ty trajektorie, jejichž moment hybnosti L je nħ, kde n = 1,2,3 ...; a ħ redukovaná Planckova konstanta
Bohrův model atomu I • Jiným problémem bylo vysvětlit existenci diskrétních čar v atomových spektrech. Vlnočet u první známé (Balmerovy) serie spektrálních čar vodíku vyhovoval vztahu : 1 1 1 R( 2 2 ) 2 n n = 3, 4 ... a R = 1.0974.107 m-1 je tzv. Rydbergova konstanta.
19. 12. 2011
287
Bohrův model atomu II • Později byly objeveny další serie čar a všechny se daly popsat jednou rovnicí : 1 1 1 R( 2 2 ) k n n = k+1, k+2, k+3 ... – V UV oblasti k = 1 Lymanova – V VIS oblasti k = 2 Balmerova – V IR oblasti k = 3 Pashenova
19. 12. 2011
288
Bohrův model atomu III • V této době již byly známy elektrony a atomové jádro a existoval i planetární model. Jeho vadou byla ale skutečnost, že pohyb po uzavřené dráze je nutně pohybem zrychleným a elektrony by rychle vyzářily svou energii a za několik pikosekund spadly na jádro. Bohr skloubil planetární model s Planckovou kvantovou hypotézou.
19. 12. 2011
289
Bohrův model atomu IV • Postuloval, že elektrony mohou být trvale jen v určitých stacionárních energetických, stavech a vyzařují nebo přijímají energii pouze při přechodech mezi stavy podle :
hf Ek El
• Energetické hladiny, ke kterým takto dospěl souhlasily se spektry i u některých dalších atomů (Z): 2
Z En E1 2 n
• Energie -E1 = -13.6 eV je energie základního stavu H
19. 12. 2011
290
Bohrův model atomu I • Bohr připustil planetární model, ale jen v určitých stacionátních stavech, které lze charakterizovat kvantováním momentu hybnosti :
L n mevrn
n 1, 2, ...
• Ze skutečnosti, že elektrická přitažlivá síla je rovna síle dostředivé plyne s dosazením za v2 ve jmenovateli z předchozího : 2
2
2
2
2 2 e n 2 2
me v kZe kZe kZe m r 2 rn 2 rn rn me v me n
Bohrův model atomu II • Po úpravě zjistíme, že poloměr jakékoli dráhy, jakéhokoli atomu lze vyjádřit pomocí Bohrova poloměru, což je nemenší poloměr u vodíku.
2n2 n2 rn 2 r1 ke me Z Z • Podobně lze vyjádřit každou energii pomocí energie elektronu vodíku na dráze nejbližší jádru. 2
2 4
2
2
k e me Z kZe Z En me v E1 2 2 2 rn 2 n n 1 2
2
24
• Kvantová fyzika je soubor oborů postavených na teoriích, jejichž ústředním pojmem je kvantum. Na rozdíl od klasické fyziky se v nich nepopisuje stav systému pouze přiřazením určitých přesně daných hodnot fyzikálních veličin, ale předpokládají i existenci stavů, u kterých je výsledek měření předpověditelný pouze v rámci pravděpodobnosti. • Obvykle v rámci kvantové teorie rozlišujeme kvantovou mechaniku a kvantovou teorii pole, které, ač postaveny na stejných postulátech, užívají rozdílné metody při praktických výpočtech.
• Kvantová teorie pole je obecný teoretický rámec pro popis fyzikálních systémů s mnoha interagujícími částicemi. Umožňuje vytvořit kvantověmechanický model zvolenéhofyzikálního pole, který je konzistentní s kvantovou teorií a zároveň speciální teorií relativity. Používá se v částicové fyzice a fyzice pevných látek. Je potřeba zejména v situacích, kdy se počet částic v systému může měnit - částice vznikají a zanikají. Také standardní model je formulován jako relativistická kvantová teorie pole.
• Kvantová teorie vychází z elektromagnetického pole, které popisují Maxwellovy rovnice. Maxwell je odvodil matematicky a dlouho je nikdo nedovedl experimentálně potvrdit. • Z Maxwellových rovnic vyplývá, že elektromagnetické pole je popsáno dvěma významnými vektory – intenzitou el. pole E a mag. indukcí B, které se časově mění podle funkce sinus,leží v rovinách navzájem kolmých. Vlnová délka světla souvisí s intenzitou el. pole E. • Maxwellovy rovnice potvrdil až o deset let později německý fyzik Hertz. • Elektromagnetické pole se šíří prostorem prostřednictvím elektromagnetických vln. Vlny o krátkých vlnových délkách se šíří přímočaře, v podobě paprsků, proto o nich mluvíme jako ozáření. • Elektromagnetické záření vydávají všechna tělesa. Chladná vyzařují infračervené záření okem neviditelné, tělesa zahřátá nad 500 °C září viditelně. Zvláštním případem záření je záření rovnovážné neboli záření absolutně černého tělesa. Absolutně černé těleso si můžeme představit jako pec, do které se díváme velmi úzkým otvorem. V absolutně černém tělese je v rovnováze vyzařování a pohlcování záření. Pozorujeme-li rozžhavené absolutně černé těleso, jeví se nejprve jako černé, červené, se vzrůstající teplotou jako oranžové, žluté a bílé. • Spektrum rovnovážného záření nezávisí na chemickém složení tělesa, ale jen na jeho teplotě a je spojité, rovnovážné těleso vyzařuje na všech vlnových délkách.
25
Jaderná fyzika I • Zabývá se strukturou atomového jádra a procesy, které v něm probíhají. Prakticky celá se vyvinula ve 20. století. To by mělo právo být „stoletím jaderné fyziky“, kdyby na jeho konci nedošlo k obrovskému rozvoji počítačové technologie a biologie. • Přestože jaderná fyzika možná ztratila místo nejmodernější vědy, upíná se k ní lidstvo na jedné straně s nadějemi, že díky ní vyřeší problém energie a na straně druhé s obavami, že přispěje ke zničení našeho světa. • Sledování jejího nedávného vývoje je brilantní ukázka lidské píle, důvtipu, spolupráce i tendence zneužívat vědu.
10. 12. 2011
298
Objev atomového jádra I • Objev radioaktivity Becquerelem a jeho rozpracování předcházely objevu atomového jádra a vlastně jej umožnily. • Ernest Rutheford navrhl experiment, který provedli Hans Geiger a Ernest Marsden. • Výsledky ostřelování zlaté folie částicemi ukázaly, že kladný náboj musí být v atomu koncentrován v oblasti, která je 104 - 105 krát menší než celý atom. • Návrat částice pod ostrým úhlem do původního směru je stejně pravděpodobný jako návrat kulky z pušky, vystřelené proti kousku hedvábného papírku.
10. 12. 2011
299
Vlastnosti atomových jader I • I v rámci současných znalostí lze v prvním přiblížení předpokládat, že jádra atomů se skládají ze dvou nukleonů protonu a neutronu. • Prvky jsou charakterizovány atomovým neboli nábojovým nebo protonovým číslem Z. Mohou ale mít různé izotopy, které se liší neutronovým číslem N a tím i číslem hmotnostním A = Z + N. • Objem atomového jádra je úměrný počtu nukleonů. Nukleony tedy v jádře zůstávají individualitami. Poloměr jádra lze vyjádřit pomocí empirického vztahu :
Rc R0 ( A) , kde R0 1.2 1015 m 1.2 fm 1 3
10. 12. 2011
300
Vlastnosti atomových jader II • Atomová hmotnost je součet hmotností všech komponent celého atomu, tedy nukleonů i elektronů. Kromě v kg se vyjadřuje v atomových hmotnostních jednotkách u, které jsou definovány tak, že atom 12 má hmotnost přesně 6C 12 u = 12 .(1.66053886.10-27 )kg nebo v jednotkách energie. Převod je 931.5 MeV / u. !! u = 1/NA !! • objekt kg u MeV elektron 9.1094.10-31 0.00054858 0.51100 proton 1.67262.10-27 1.007276 938.27 atom H 1.67353.10-27 1.007825 938.78 neutron 1.67493.10-27 1.008665 939.57
10. 12. 2011
301
Vazebná energie I • Jádra atomů drží pohromadě pomocí tzv. jaderných sil, které musí překonávat elektrické odpuzování : – jsou krátkodosahové, působí jen mezi sousedními nukleony. – tím se vysvětluje nutnost přítomnosti více neutronů, aby těžké nuklidy byly stabilní – u příliš velkých jader již nestačí překonávat Coulombovské odpuzování a jádra mají tendenci se rozpadat – u nestabilních nuklidů existuje jistá pravděpodobnost tunelování
• Hmotnost stabilního jádra je vždy menší než celková hmotnost jeho konstituentů. Rozdíl je roven vazebné energii.
10. 12. 2011
302
Vazebná energie II • Na existenci hmotnostního schodku je, jak uvidíme později, založena jaderná energetika. • Důležitou charakteristikou nuklidu je jeho vazebná energie vztažená na nukleon. Ta je největší pro střední nuklidy, čili ty jsou nejstabilnější. • Podle současných představ je jaderná síla druhotný efekt tzv. silné interakce, která váže základní jaderné částice kvarky do protonů a neutronů. • Kromě silné interakce je v jádrech přítomná ještě slabá interakce, která se projevuje u určitého typu radioaktivity.
10. 12. 2011
303
Radioaktivita I • Přirozená radioaktivita byla objevena Henri Becquerelem (1852-1908) v roce 1896. Ten zjistil, že uranová ruda byla schopna exponovat zabalený fotografický papír. • Později Marie a Pierre Curieovi objevili nové radioaktivní prvky Po a Ra. • Radioaktivní nuklid může za jistých podmínek samovolně vyzářit jistou částici a přeměnit se na nuklid jiný. • Radioaktivitu nebylo možné ovlivnit žádnými fyzikálními ani chemickými vlivy. Proto se usoudilo, že je niternou vlastností atomu. Později se zjistilo, že vychází z jader atomů a ty se vyzářením radioaktivního záření mění. Tím se splnil sen alchymistů na vzájemnou přeměnu prvků.
10. 12. 2011
304
Radioaktivita II • Ernest Rutheford klasifikoval záření na , a , podle jeho chování v elektrickém nebo magnetickém poli. • Radioaktivita je statistický proces : Nelze předpovědět, jestli se určité jádro přemění v příští sekundě nebo za tisíc let. Je ale možné tvrdit, že v příští sekundě se rozpadne jisté procento přítomných nerozpadlých jader N : dN N dt konstanta rozpadu [s-1] je materiálovým parametrem. • Po integraci získáme počet nerozpadlých částic jako funkci času : N (t ) N 0 e t
10. 12. 2011
305
Radioaktivita III • Často nás zajímá rychlost rozpadu, zvaná též aktivita :
dN R N 0 e t R(t ) R0 e t dt
• Aktivitu lze totiž relativně snadno měřit pomocí dozimetrů. Její jednotkou je 1 becquerel = 1 Bq tedy 1 rozpad za sekundu. Starší jednotkou je 1 curie = 1 Ci = 3.7 1010 Bq. • Počet nerozpadlých částic i aktivita klesají exponenciálně. Teoreticky tedy nikdy nedosáhnou nuly. Pouze k ní konvergují, a to naštěstí velice rychle, takže je možný výpočet jistých parametrů - středních hodnot, jimiž je zvykem rozpad též jednoznačně charakterizovat.
10. 12. 2011
306
Rozpad
I
• Radionulid se rozpadá tak, že emituje -částici například : 238 234 4 , Q = 4.25 MeV U Th He 92 90 2 • -částice jsou jádra atomu helia a obecně lze napsat : • Pro energii
N ZA24N 24He
A Z rozpadu
Q platí:
mN c 2 mN c 2 m c 2 Q –
2 Q [ m ( m m )] c N N Pro Q < 0 by byl porušen samovolný rozpad musí být exotermický.
zákon zachování energie – energie -částic je pro daný proces konstantní a bývá vysoká
10. 12. 2011
307
Rozpad
II
• I když je rozpad energeticky možný, může být jeho poločas od zlomků sekundy po miliardy let. • -částice musí totiž protunelovat potenciálovou bariérou, tvořenou jadernou silou a Coulombovským odpuzováním. • Pravděpodobnost protunelování závisí exponenciálně na tloušťce i na výšce překonávané části bariéry. Například 238U má Q = 4.25 MeV a = 4 109 let, zatímco izotop 228U má Q = 6.81 MeV a = 9.1 minut. • samotná -částice je vnitřně velice silně vázaná, tedy má velký hmotnostní schodek. Proto je její emise možná a pravděpodobná, i když například emise samotného protonu by byla vyloučena zákonem zachování energie.
10. 12. 2011
308
Rozpad
I
• Radionuklid se rozpadá tak, že emituje -částici např. : 32 15
32 P16 S e e
14.3 d
Cu Ni e e
12.7 h
64 29
64 28
• Obecně lze děj v jádře při -rozptylu popsat :
n p e e p n e e • -částice jsou elektrony nebo pozitrony, jsou neutrina
• samovolný -rozpad musí být exotermický. Pro Q < 0 by byl opět porušen zákon zachování energie.
10. 12. 2011
309
Rozpad
II
• Podrobnou teorii -rozpadu vypracoval Enrico Fermi v roce 1934. V ní postuloval existenci slabé interakce. • je elektronové neutrino nebo antineutrino, částice s nepatrnou klidovou hmotností, nulovým nábojem a spinem ½, která odnáší část energie a momentu hybnosti. Jeho existenci navrhl Wolfgang Pauli. • Neutrino je velmi slabě interagující částice. Interaguje s hmotou jenom prostřednictvím slabé interakce. Přitom se ukazuje, že jeho nenulová klidová hmotnost by mohla pomoci vysvětlit temnou hmotu vesmíru. Proto se jej lidé snaží s obrovskými náklady polapit (Katrin).
10. 12. 2011
310
Rozpad • Jak již bylo řečeno, hodnoty energie jádra jsou kvantovány a jsou obsazovány nukleony, které jsou fermiony, v souladu s Pauliho principem. Při přechodu z vyšší do nižší energetické hladiny je vyzářen foton v oblasti -záření. • Jádro se může dostat do excitovaného stavu buď po srážce s částicí s vysokou energií nebo po předchozím radioaktivním rozpadu. • Podobně jako u elektronů existují u jader metastabilní stavy, v nichž mohou jádra setrvat delší dobu. Do základního stavu se mohou dostat také nezářivým procesem – vnitřní konverzí. Při ní je obvykle emitován jeden z elektronů obalu a má vysokou energii.
10. 12. 2011
311
Rozpadové řady • Obvykle se stává, že nuklid, vzniklý po jistém rozpadu, je opět radioaktivní a dále se rozpadá a to se opakuje. • Je známo několik přirozených i umělých rozpadových řad, například uranová, thoriová, aktiniová nebo neptuniová. • Existence přirozených rozpadových řad, začínajících nuklidy s dlouhým poločasem rozpadu, je příčinou, proč se některé nuklidy v přírodě vyskytují a jiné ne. Předpokládá se, že po vzniku vesmíru existovaly všechny nuklidy, ale ty s krátkým poločasem rozpadu, které nejsou součástí některé z řad, již zmizely. • Je důležité si uvědomit, že -rozpad je charakteristický. Podle energie vylétajících -částic jej lze vystopovat i ve vzorku, kde dochází současně k několika druhům rozpadů.
10. 12. 2011
312
Detekce záření • Radioaktivní záření je schopno ionizovat atomy plynu, čímž se mění jeho vodivost. Na tomto principu je založena funkce Geiger-Müllerova a proporcionálního detektoru. • Další možností je převést záření o vysoké energii na energii viditelného světla. Na tomto principu pracují scintilační detektory. • Ve výzkumu částic s vysokou energií jsou též velmi důležité různé typy mlžných komor. Interpretace jejich obrazu je značně obtížná, ale je to ověřená cesta k NC.
10. 12. 2011
313
Jaderné reakce I • Přeměně jednoho prvku v jiný říkáme transmutace. • K ní dochází, vyzáří-li nuklidy částice , nebo nebo srazí-li se s jiným nuklidem nebo menší částicí například neutronem nebo zářením . Tyto procesy se obecněji nazývají jaderné reakce. • První jadernou reakci pozoroval v roce 1919 E. Rutheford. Ostřeloval látky částicemi , jedinými, které byly v jeho době k dispozici a našel reakci : 14 7
10. 12. 2011
N 24He 178O 11H
314
Jaderné reakce II • Velkého rozmachu dosáhly jaderné reakce po objevení neutronu J. Chadwickem v roce 1932 • Bylo to hlavně díky E. Fermimu, který si jako první uvědomil, že neutrony jsou pro bombardování jader vhodné proto, že nemusí překonávat coulombovskou bariéru. • Později se navíc ukázalo, že nejvhodnější neutrony nejsou vysokoenergetické vzniklé přímo z jaderných reakcí, ale pomalé s energií 0.04 eV. Ty mohou vzniknou po dosažení tepelné rovnováhy ve vhodném moderátoru pokojové teploty. Mají totiž větší pravděpodobnost záchytu.
10. 12. 2011
315
Radioizotop • Prvek, respektive izotop prvku, který je nestabilní a samovolně se mění na jiný prvek (či jiný izotop téhož prvku) a při tom vysílá (emituje) záření (v praxi se používají izotopy vyzařující záření alfa, beta nebo gama, výjimečně jiné záření, pro PET vyšetření se užívá izotop vyzařující pozitrony). Radioizotopy se buď vyskytují přírodně (např. radium, které se ovšem již v lékařství neužívá) nebo se připravují uměle.
26
Jaderné reakce I • Přeměně jednoho prvku v jiný říkáme transmutace. • K ní dochází, vyzáří-li nuklidy částice , nebo nebo srazí-li se s jiným nuklidem nebo menší částicí například neutronem nebo zářením . Tyto procesy se obecněji nazývají jaderné reakce. • První jadernou reakci pozoroval v roce 1919 E. Rutheford. Ostřeloval látky částicemi , jedinými, které byly v jeho době k dispozici a našel reakci : 14 7
10. 12. 2011
N 24He 178O 11H
318
Jaderné reakce II • Velkého rozmachu dosáhly jaderné reakce po objevení neutronu J. Chadwickem v roce 1932 • Bylo to hlavně díky E. Fermimu, který si jako první uvědomil, že neutrony jsou pro bombardování jader vhodné proto, že nemusí překonávat coulombovskou bariéru. • Později se navíc ukázalo, že nejvhodnější neutrony nejsou vysokoenergetické vzniklé přímo z jaderných reakcí, ale pomalé s energií 0.04 eV. Ty mohou vzniknou po dosažení tepelné rovnováhy ve vhodném moderátoru pokojové teploty. Mají totiž větší pravděpodobnost záchytu.
10. 12. 2011
319
Jaderné reakce III • Je-li jaderná reakce vyvolaná bombardováním jedné částice druhou je celkové energetické zabarvení reakce dáno nejen příslušným hmotnostním schodkem, ale také kinetickými energiemi částic před srážkou. Je-li tato energie dostatečná, lze vyvolat i reakci s hmotnostním nadbytkem. • Mějme obecnou reakci
a X b Y
• Celková energie před reakcí a po ní je:
(ma mX )c 2 Eka EkX (mb mY )c 2 Ekb EkY 10. 12. 2011
320
Nukleární štěpení I • Proces štěpení atomových jader objevili Otto Hahn, Fritz Strassmann, Lise Meitnerová a Otto Frish ke konci 30. let 20. století. • Bombardovali uranové soli tepelnými neutrony a zjistili, že vyniklo mnoho nových radioaktivních nuklidů včetně prvků ve středu periodické soustavy. • Tento proces byl nazván nukleární štěpení. • V případě uranu jej lze popsat rovnicí : 236 n 235 U 92 92 U N1 N 2 n n...
10. 12. 2011
321
Nukleární štěpení II • Uran 236U existuje jen 10-12 s, takže se jedná o velice rychlý proces. • Proces se vhodně popisuje pomocí kapkového modelu. • Přitom se atom uranu se zpravidla nedělí na polovinu, ale na nestejné časti. Typická reakce například je: 141 92 n 235 U Ba 92 56 36 Kr 3n
• Při štěpných reakcích je uvolněno obrovské množství energie. Rozdíl hmotnostního schodku na nukleon (!) mezi uranem a konečnými fragmenty je přibližně 8.5 – 7.6 = 0.9 MeV. (Je třeba počítat s velkou přesností VPA v Matlabu.)
10. 12. 2011
322
Nukleární štěpení III • Procesu s jedním atomem se účastní 236 nukleonů. Energie uvolněná na jeden atom tedy je ~200 MeV. • Tato energie je sice v makroskopickém měřítku nepatrná, ale při reakci se uvolňují další neutrony, které jsou schopny vyvolat takzvanou řetězovou reakci, tedy mnoho štěpných procesů za kratičkou dobu. • Aby se tato reakce samostatně udržela, se dociluje optimalizací následujících podmínek : – neutrony musí být zpomaleny vhodným moderátorem – uranu musí být minimálně určité kritické množství – uran musí být obohacen, aby obsahoval větší poměr 235U
10. 12. 2011
323
Vyhořelé jaderné palivo I • Při jaderném štěpení vznikají radioaktivní nuklidy. • Problém vyhořelého jaderného paliva je zveličován různými lobistickými skupinami, které pro své cíle zneužívají důvěřivosti laického obyvatelstva, např. Jihočeských matek. Protože energie je pro civilizaci zásadní a návrat k přírodě nereálný, je třeba problémy racionálně řešit. Skutečnosti jsou zhruba následující: • Nabízejí se dvě varianty, buď umístění vyhořelého paliva do konečných úložišť nebo jejich přepracování na dále využitelné látky. Zatím se palivové články dávají na 40-50 let do meziskladů zpravidla v místě elektráren.
10. 12. 2011
324
Vyhořelé jaderné palivo II • Je vysoce pravděpodobné, že se lidstvo vydá cestou přepracování. Zatím je to dražší varianta, ale je téměř jisté, že v tomto směru bude dosaženo dalšího pokroku. • Vyhořelý palivový článek obsahuje 95% 238U, 1% 235U a 1% 239Pu. Tyto suroviny lze např. ozařováním neutrony dále přeměnit a využít. Pouze zbylá 3% zatím využít nedovedeme a u nich se plánuje uložení do konečných úložišť. Těchto látek je asi 22. Z reaktoru 3 GW je jich dohromady cca 300 kg za rok a liší se samozřejmě zastoupením a poločasem rozpadu.
10. 12. 2011
325
Nukleární fúze I • Kromě štěpení se k získání energie nabízí nukleární fúze, tedy využití vazebné energie nebo hmotnostního schodku, který vyniká při sestavení jádra z jeho konstituentů. • Velkým problémem ale je nutnost překonat odpudivou coulombovskou bariéru. Je k tomu potřeba obrovských teplot a ještě musí částice protunelovat. • Lze to uskutečnit v urychlovačích, ale jen s jednotlivými částicemi. Tyto obtíže s makroskopickým množstvím částic jsou důvodem, proč zatím nebyl přes obrovskou snahu proces řízené nukleární fúze zvládnut. • Zvládnutí by bylo velice výhodné, zvláště proto, že lidstvo má téměř neomezenou zásobu vodíku a reakcí nevzniká vyhořelé palivo.
10. 12. 2011
326
Nukleární fúze II • Zatímco o existenci štěpné řetězové reakce v přírodě jsou jen nepřímé, i když celkem přesvědčivé důkazy, k jaderné fúzi dochází v každé zářící hvězdě. • Ve Slunci a hvězdách podobné teploty se pravděpodobně odehrává takzvaný proton-protonový cyklus : 1 1
H 11H 12 H e
0.42 MeV
1 1
H 12H 23He
5.49 MeV
3 2
He 23He 24 He 11H 11H
• Jeho energetická bilance tedy je :
4 H He 2e 2 2 1 1
10. 12. 2011
4 2
12.86 MeV
25.7 MeV 327
