Sifat-Sifat Perkalian Skalar Misalkan a dan b skalar, D dan H matriks sebarang dengan ordo sama, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut 1. aD + aH = a(D + H) 2. aD + bD = (a + b)D 3. a(bD) = (ab)D
4. Perkalian Matriks Dua buah matriks atau lebih selain dapat dijumlahkan atau dikurangkan, juga dapat dikalikan. Untuk memudahkan Anda dalam memahami perkalian matriks, pelajari uraian berikut dengan baik. Riki dan Fera membeli alat tulis di koperasi sekolah. Riki membeli 3 buah bolpoin dan 2 buku, sedangkan Fera membeli 2 buah bolpoin dan 5 buku. Jika harga sebuah bolpoin Rp1.000,00 dan harga sebuah buku Rp2.500,00, berapakah harga belanjaan yang harus dibayar oleh masingmasing siswa tersebut? Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut. Bolpoin
Buku
Harga
Riki
3
2
Bolpoin
1.000
Fera
2
5
Buku
2.500
Penyelesaian dari permasalahan tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan aljabar biasa atau menggunakan matriks. Dalam hal ini, permasalahan tersebut akan diselesaikan menggunakan matriks, sebagai pengantar untuk memahami perkalian matriks yang akan Anda pelajari. Langkah pertama adalah menuliskan model dari masalah tersebut menjadi bentuk matriks, sehingga diperoleh: • Data banyaknya bolpoin dan buku yang dibeli oleh Riki dan Fera (dinyatakan oleh matriks P), yaitu È3 2˘ P=Í ˙ Î2 5˚ • Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu È1.000 ˘ Q=Í ˙ Î 2.500 ˚ Elemen baris pertama dan kolom pertama matriks P menyatakan banyaknya bolpoin yang dibeli Riki, sedangkan elemen baris pertama dan kolom pertama matriks Q menyatakan harga bolpoin. Dengan demikian, untuk mengetahui harga beli semua bolpoin yang dibeli Riki adalah dengan cara mengalikan elemen baris pertama kolom pertama matriks P dengan elemen baris pertama kolom pertama matriks Q. Dalam hal ini, (3)(1.000). Begitu pula untuk harga beli buku yang dibeli Riki, yaitu dengan cara mengalikan elemen baris pertama kolom kedua matriks P dengan elemen baris kedua kolom pertama matriks Q, dalam hal ini (2)(2.500). Harga belanjaan yang dibayar Riki adalah penjumlahan dari hasil kali tadi, yaitu (3)(1.000) + (2)(2.500) = 3.000 + 5.000 = 8.000. Jadi, harga belanjaan Riki Rp8.000,00. Tentukan harga belanjaan yang harus dibayar oleh Fera?
Matriks
45
Catatan Jika matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, belum tentu matriks B dapat dikalikan dengan matriks A
Dari uraian tersebut, dapat Anda ketahui bahwa untuk mendapatkan besarnya harga belanjaan kedua siswa tersebut adalah dengan cara mengalikan matriks P dan Q, sebagai berikut ..000 000) (2 2. ) ˘ È 8.000 ˘ È ˘ È1.000 ˘ È ( PQ = Í ˙= Í ˙ ˙Í ˙ = Í( .000) (5 2. )˚ Î16.500 ˚ Î 2 5 ˚ Î 2.500 ˚ Î Perkalian tersebut dinamakan perkalian matriks. Ketentuan yang harus Anda ingat, yaitu perkalian dua matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom pengali (matriks pertama yaitu P) sama dengan banyaknya baris matriks yang dikalikan (matriks kedua yaitu Q). Dari uraian diketahui bahwa ordo P2 × 2 dan Q 2 × 1 dan hasil kalinya berordo 2 × 1. P × Q = R ordo hasil
(2 × 2) (2 × 1) = (2 × 1) sama
Secara umum, jika matriks P berordo m × p dan matriks Q berordo p × n maka matriks hasil kali PQ berordo m × n.
Definisi Definisi Perkalian Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan (ditulis AB) jika banyak kolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B. Elemen-elemen pada matriks AB diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen baris pada matriks A dengan elemen kolom pada matriks B.
Contoh Soal 2.11 Diketahui matriks-matriks berikut. È -1 0 ˘ È -3 2 ˘ P= Í Q= Í ˙ ˙ Î 2 1˚ Î 5 7˚ Tentukan: a. PQ Jawab: a.
b.
46
QR
c.
5 -1˘ ˙ 3 0˚
RP
È -1 0 ˘ È -3 2 ˘ PQ = Í ˙Í ˙ Î 2 1˚ Î 5 7 ˚ È( (( 3)) + ( ) ( )+( )˘ È 3 2˘ =Í ˙=Í ˙ ( 3)) + ( ) (2 ¥ 2) + (1 ¥ 7 ) ˚ Î -1 11 ˚ Î ( (È -3 2 ˘ È 2 5 -1˘ QR = Í ˙Í ˙ Î 5 7 ˚ Î 4 -3 0 ˚ È( ) + ( 4) ( ) + ( (( 3)) ( ( 1) (0)˘ (=Í ˙ Î (5 ¥ 2) (7 ¥ 4) (5 ¥ 5) (7 ¥ ( 3)) (5 ¥ ( 1)) 7(0) ˚ È2 =Í Î38
c.
b.
È2 R= Í Î4
21 4
3˘ ˙ 5˚
RP = Hasil kali matriks R dan matriks P tidak dapat dicari karena matriks R tidak dapat dikalikan dengan matriks P (banyak kolom matriks R tidak sama dengan banyak baris matriks P).
Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
Contoh Soal 2.12 Diketahui matriks-matriks berikut. È2 5˘ È -3 2 ˘ È 4 1˘ A= Í ˙,B= Í ˙,C= Í ˙ Î1 0 ˚ Î 1 1˚ Î7 2 ˚ Tentukan: a. AB c. A(BC) b. BA d. (AB)C Jawab: È 2 5 ˘ È -3 2 ˘ a. AB = Í ˙Í ˙ Î1 0 ˚ Î 1 1˚ È( ( )) ) (-5 1) ((2 2 ¥ 2) + ( - 5 ¥ 1)˘ È -11 -1˘ = Í ˙ = Í ˙ ) (1 ¥ 2) + (0 ¥ 1) ˚ Î -3 2 ˚ Î ( ( 3)) + ( b.
c.
È -3 2 ˘ È 2 BA = Í ˙Í Î 1 1˚ Î1 È( )+( = Í )+( Î (
5˘ ˙ 0˚ ) ( )
( )) ) (2 ¥ 0)˘ È -4 15 ˘ ˙ = Í ˙ ( ¥ ( - 5)) (1 0) ˚ Î 3 -5 ˚ (1
Pembahasan Soal Diketahui matriks A dan matriks B berordo 2 × 2. Harga (A + B)2 adalah .... a. A2 + 2A·B + B2 b. A2 + A·B + A·B + B2 c. A·A + 2A·B + B·B d. A(A + B) + B(A + B) e. A2 + 2B·A + B2 Jawab: (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B) = A·A + B·B + B·A + B·B = A2 + A·B + B·A + B2 Oleh karena pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif AB ≠ BA maka harga (A + B)2 = A(A + B) + B(A + B) Jawaban: d Sumber: Sipenmaru, 1984
A(BC) È -3 2 ˘ È 4 BC = Í ˙Í Î 1 1˚ Î7 È( 4) + ( = Í Î ( 4) + (
1˘ ˙ 2˚
(( 3 ¥ ( - 1)) + (2 ¥ 2)˘ È 2 7 ˘ ˙ = Í ˙ (1 ¥ (-1)) (1 2) ˚ Î11 1 ˚ È2 5˘ È 2 7 ˘ A(BC) = Í ˙Í ˙ Î 1 0 ˚ Î11 1 ˚ È( )+( ) ( ) ( )˘ È -51 9 ˘ = Í ˙ = Í ˙ )+( ) ( )+( ) ˚ Î 2 7˚ Î( d.
È -11 -1˘ È 4 1˘ (AB)C = Í ˙ Í ˙ Î -3 2 ˚ Î 7 2 ˚ È( 4) + ( 1 ) ( ( 1) (-1 ¥ 2)˘ (= Í ˙ 4) + ( ) (-3 ¥ (-1)) + (2 ¥ 2) ˚ Î ( È -51 9 ˘ = Í ˙ Î 2 7˚
Dari Contoh Soal 2.12, diketahui beberapa sifat dari perkalian matriks selain sifat-sifat lainnya. Sifat-Sifat Perkalian Matriks 1. AB π BA Tidak komutatif 2. A(BC) = (AB)C Asosiatif 3. A(B + C) = AB + AC Distributif 4. (A + B)C = AC + BC Distributif 5. k(AB) = kA(B) = A(kB) Asosiatif 6. IA = AI = A Perkalian dengan Identitas 7. (AB)t = BtAt 8. (BA)t = AtBt
Matriks
47
5. Perpangkatan Matriks Persegi Cobalah Jika diketahui Ê 4 x - 2ˆ Ê -6 8 ˆ A=Á + 2 ˜¯ ÁË -11 -6˜¯ Ë3 Ê 3 1 ˆ Ê 0 3ˆ = 2Á + Ë -2 4 ˜¯ ÁË -1 1˜¯ tentukanlah nilai x.
Di Kelas X Anda telah mengenal perpangkatan suatu bilangan ataupun perpangkatan suatu variabel. Perpangkatan adalah perkalian berulang dari bilangan atau variabel tersebut sebanyak bilangan pangkatnya. Misalkan, 22 = 2 × 2 atau a2 = a × a 3 2 a3 = a × a2 2 =2×2 dan seterusnya. dan seterusnya. Pada matriks pun berlaku aturan seperti itu.
Sumber: UMPTN, 1998
Misalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n × n maka bentuk pangkat dari matriks A didefinisikan sebagai berikut. A2 = A × A A3 = A × A2 = A × A × A An = A × An – 1 = A × A × A ... × A Sebanyak n buah
Pembahasan Soal È1 0 ˘ Jika A = Í ˙ dan I Î2 3 ˚ matriks satuan ordo dua maka A2 – 2A + 1 = .... È4 0 ˘ È0 0 ˘ d. Í a. Í ˙ ˙ Î0 4 ˚ Î4 4 ˚ È0 0 ˘ È2 0 ˘ e. Í b. Í ˙ ˙ Î3 4 ˚ Î4 4 ˚ È1 0 ˘ Í ˙ Î3 4 ˚ Jawab: A2 = A · A È1 0 ˘ È1 0 ˘ = Í ˙Í ˙ Î2 3 ˚ Î2 3 ˚ È1 0 ˘ = Í ˙ Î8 9 ˚ I matriks satuan ordo dua. È1 0 ˘ Berarti I = Í ˙ Î0 1 ˚ 2 A – 2A + I c.
È1 = Í Î8 È1 = Í Î8
0 ˘ È1 0 ˘ È1 ˙ –2 Í ˙+Í 9 ˚ Î2 3 ˚ Î 0 0 ˘ È 2 0 ˘ È1 ˙–Í ˙+Í 9 ˚ Î 4 6 ˚ Î0
È0 0 ˘ = Í ˙ Î4 4 ˚
Diketahui matriks È1 2 ˘ A= Í ˙ Î0 1˚ a. Tentukan A2 dan A3 b. Tentukan 2A3 – 3A2 Jawab: È1 2 ˘ È1 2 ˘ È1 0 ˘ a. A2 = A × A = Í ˙Í ˙ =Í ˙ Î0 1˚ Î0 1˚ Î0 1 ˚ È1 2 ˘ È1 0 ˘ È1 2 ˘ A3 = A × A2 = Í ˙Í ˙ =Í ˙ 0 1 0 1 Î ˚Î ˚ Î0 1˚ b.
0˘ ˙ 1˚
0˘ ˙ 1˚
Jawaban: d Sumber: UMPTN, 1993
48
Contoh Soal 2.13
È1 2A3 – 3A2 = 2 Í Î0
2˘ È1 0 ˘ ˙ –3Í ˙ 1˚ Î0 1 ˚ 4 ˘ È3 0 ˘ ˙ –Í ˙ 2 ˚ Î0 3 ˚
È2 =Í Î0 È -1 4 ˘ =Í ˙ Î 0 -5 ˚
Contoh Soal 2.14 Diketahui matriks-matris È 2 1˘ È 2x y ˘ B= Í ˙ dan D = Í ˙ Î4 3 ˚ Î- z w ˚ Tentukan nilai-nilai w, x, y dan z yang memenuhi persamaan 2B2 = 3D. Jawab: 2B2 = 3D 2 B × B = 3D
Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
È2 2Í Î4 È0 2Í Î 20 È0 Í Î 40
È 2x y ˘ 1˘ È 2 1˘ ˙Í ˙ =3Í ˙ 3 ˚ Î4 3 ˚ Î- z w ˚ 5˘ È 6 x 3 y ˘ ˙=Í ˙ 5 ˚ Î -3 3w ˚ 10 ˘ È 6 x 3 y ˘ ˙ =Í ˙ 10 ˚ Î -3 3w ˚ Dengan memperhatikan elemen-elemen matriks yang seletak, diperoleh 6x = 0 ¤ x = 0 3y = –10 ¤ y = – 10 3 –3z = 40 ¤ z = – 40 3 10 3w = 10 ¤ w = 3 Nilai w, x, y dan z yang memenuhi persamaan 2B2 = 3D adalah 10 10 40 w= , x = 0, y = – dan z = – . 3 3 3
Tes Pemahaman 2.3 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. 1.
2.
Carilah hasil operasi matriks berikut. a.
È -5 3 ˘ È 4 0 ˘ Í ˙ + Í ˙ Î 4 -2 ˚ Î -7 11˚
b.
È5 Í Î2
c.
È3˘ È -2 ˘ 2 Í ˙ +3 Í ˙ Î -5 ˚ Î4˚
d.
È2 Í Î3
3 -5 ˘ È 3 ˙ –Í 7 9 ˚ Î2
4 1˘ ˙ 5 0˚
1˘ È 1 ˘ ˙ Í ˙ 0 ˚ Î2˚
Carilah matriks X, yang memenuhi È -2 5 ˘ È -4 5 ˘ 4Í ˙ +2X=7 Í ˙ Î 3 4˚ Î 2 -1˚
3.
Carilah nilai w, x, y, dan z pada persamaan berikut. È x 2 ˘ È -1 w ˘ È8 -7 ˘ 3 Í ˙ + Í ˙ = Í ˙ Î 5 4 ˚ Î y 2 ˚ Î1 z ˚
4.
Diketahui matriks-matriks È -1 3 ˘ È 2 1˘ È3 1˘ A= Í ˙,B= Í ˙ , dan C = Í ˙ Î 2 0˚ Î -1 2 ˚ Î -2 2 ˚ Tentukan nilai : a. A · B d. BtAt b. (B + C)A e. A(BC) c. (3A)(2B) Diketahui matriks-matriks È 1 1˘ È1 2 ˘ È -1 0 ˘ P= Í ˙, Q = Í ˙ dan R = Í ˙ Î2 0 ˚ Î 2 -1˚ Î 1 1˚ Tentukan nilai: c. P2 – Q2 a. 2P + Q2 – 3R b. (P – Q)(P + Q) d. (P – Q)(P + Q) = P2 + Q2
5.
D. Determinan dan Invers Matriks Pengalaman mempelajari subbab sebelumnya akan dipergunakan dalam mempelajari determinan dan invers matriks pada subbab ini.
1. Determinan Matriks Persegi Pada bagian sebelumnya, Anda telah mengenal matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Pembahasan materi determinan matriks persegi yang dibahas di buku ini dibatasi hanya sampai matriks 3 × 3.
Matriks
49
a. Determinan Matriks 2 × 2 Matriks berordo 2 × 2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 × 2. Misalkan A Èa b ˘ adalah matriks persegi ordo 2 × 2 dengan bentuk A = Í ˙. Îc d ˚
Cobalah 2 x + 1 x - 1 Jika A =Í 3 x maka jumlah semua nilai x, sehingga A = 27 adalah .... Sumber: SPMB, 1976
Definisi Determinan matriks A di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemenelemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.
Berdasarkan definisi determinan suatu matriks, Anda bisa mencari nilai determinan dari matriks A, yaitu: diagonal sekunder Èa b ˘ det A = |A| = Í ˙ = a × d – b × c = ad – bc Î c d ˚ diagonal utama
Contoh Soal 2.15 Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut È3 È -2 2˘ 3z ˘ È 2 3˘ Q= Í R= Í P= Í ˙ ˙ ˙ 1˚ Îa Î -10 y - y ˚ Î 1 0˚ Jawab: det P =
-2 3 1
0
det Q =
3 a
det R =
-2 -10 y
= (–2 × 0) – (1 × 3) = 0 – 3 = –3
2 = (3a × 1) – (a × (–2)) = 3a + 2a = 5a 1 3z = (–2z × (–y)) – (–10y × 3z) = 2yz + 30yz = 32yz -y
Contoh Soal 2.16 È 2a 10 4 ˘ Diketahui matriks A = Í ˙. a˚ Î -3 Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0. Jawab: det A = 0 2a 10 4 = ((2a – 10) × a) – (–3 × 4) = 2a2 – 10a + 12 det A = -3 a Oleh karena det A = 0 maka 2a2 – 10a + 12 = 0 1 a2 – 5a + 6 = 0 kedua ruas dikali 2 (a – 2)(a – 3) = 0 a – 2 = 0 atau a – 3 = 0 a = 2 atau a = 3 Jadi, nilai a yang memenuhi det A = 0 adalah 2 dan 3.
50
Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
b. Determinan Matriks 3 × 3 Pada bagian ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 × 3. Misalkan A matriks persegi berordo 3 × 3 dengan bentuk È a11 a12 a13 ˘ A = ÍÍ a21 a22 a23 ˙˙ Í a31 a32 a33 ˙ Î ˚ Untuk mencari determinan dari matriks persegi berordo 3 × 3, akan digunakan suatu metode yang dinamakan metode Sarrus. Adapun langkahlangkah yang harus Anda lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut: 1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah kanan tanda determinan. 2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar). Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan Du a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31
a32
a33 a31
Cobalah Èt - 2 -3 ˘ Jika det Í ˙ = 0, Î -4 t - 1 ˚ tentukan nilai t yang memenuhi persamaan tersebut.
a32
Du = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar). Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan Ds. a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22
a23 a21 a22
a31
a33 a31
a32
a32
Ds = a31 a22 a13 + a32 a23 a31 + a33 a21 a12 4. Sesuai dengan definisi determinan matriks maka determinan dari matriks A adalah selisih antara Du dan Ds yaitu Du – Ds. a11 a12 det A = a21 a22 a31 a32
a13 a11 a12 a23 a21 a22 a33 a31
a32
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a31 a22 a13 + a32 a23 a31 + a33 a21 a12)
Contoh Soal 2.17 È -3 4 2 ˘ Diketahui matriks A = ÍÍ 2 1 3 ˙˙ . Tentukan nilai determinan matriks A. ÍÎ 1 0 -1˙˚ Jawab: -3 4 2 -3 4 det A = 2 1 3 2 1 1 0 -1 1 0 = [(–3 × 1 × (–1)) + (4 × 3 × 1) + (2 × 2 × 0)] – [(1 × 1 × 2) + (0 × 3 × (–3)) + (–1 × 2 × 4)] = (3 + 12 + 0) – (2 + 0 – 8) = 21 Jadi, nilai determinan matriks A adalah 21.
Matriks
51
2. Invers Matriks Persegi Pada bagian D.1, Anda telah mempelajari determinan dari suatu matriks persegi. Konsep determinan tersebut akan dipergunakan untuk mencari invers dari suatu matriks. Pembahasan dibatasi hanya untuk matriks persegi ordo 2 × 2. Ketika di SMP, Anda telah mempelajari operasi hitung pada bilangan. Pada saat mempelajari konsep tersebut, Anda dikenalkan dengan istilah invers (kebalikan) bilangan. Suatu bilangan jika dikalikan dengan inversnya akan menghasilkan unsur identitas. Senada dengan hal tersebut, dalam aljabar matriks pun berlaku ketentuan seperti itu. Ketika Anda mengalikan suatu matriks dengan matriks inversnya, akan dihasilkan identitas, yang dalam hal ini adalah matriks identitas. Sebagai ilustrasi bagi Anda, perhatikanlah perkalian matriks-matriks berikut. È -3 -1˘ È -2 -1˘ • Misalkan A = Í ˙ dan B = Í ˙ maka Î5 2˚ Î5 3˚ È -3 -1˘ È -2 -1˘ AB = Í ˙Í ˙ Î 5 2 ˚Î 5 3 ˚ È 6 5 3 3˘ = Í ˙ 5 6˚ Î -10 + 10 -5 È1 0 ˘ = Í ˙ = I2 Î0 1 ˚ Perkalian AB menghasilkan I2 (matriks identitas berordo 2 × 2) È -7 2 ˘ È1 2 ˘ • Misalkan P = Í ˙ dan Q = Í ˙ maka Î 4 1˚ Î4 7 ˚ È -7 2 ˘ È 1 -2 ˘ PQ = Í ˙Í ˙ Î -4 1 ˚ Î 4 -7 ˚
È -7 + 8 14 - 14 ˘ È 1 0 ˘ = Í ˙= Í ˙ = I2 Î -4 + 4 8 - 7 ˚ Î0 1 ˚ Perkalian PQ menghasilkan I2. Berdasarkan perkalian-perkalian tersebut, ada hal yang harus Anda ingat, yaitu perkalian matriks A dan matriks B menghasilkan matriks identitas (AB = I ) Ini menunjukkan matriks B merupakan matriks invers dari matriks A, yaitu B = A–1 atau bisa juga dikatakan bahwa matriks A merupakan invers dari matriks B, yaitu A = B–1. Begitu pula untuk perkalian matriks P dan matriks Q berlaku hal serupa. Dengan demikian, didapatkan definisi dari invers matriks.
Definisi Definisi Invers Matriks Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi persamaan AB = BA = I2 maka matriks A adalah matriks invers dari matriks B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.
52
Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
Contoh Soal 2.18 Diketahui matriks-matriks berikut. È -1 2 ˘ È 1 0˘ È -1 -2 ˘ È1 2˘ B= Í C= Í D= Í A =Í ˙ ˙ ˙ ˙ 1 1˚ Î 0 1˚ Î -2 1 ˚ Î1 1˚ Î -1 Tentukan: a. Apakah matriks B merupakan invers dari matriks A? b. Apakah matriks C merupakan invers dari matriks D? Jawab: a. Matriks B merupakan invers dari matriks A jika memenuhi persamaan AB = I È -1 -2 ˘ È 1 2 ˘ È -1 + 2 -2 + 2 ˘ È 1 0 ˘ AB = Í ˙Í ˙ = Í ˙ =I ˙ = Í 2 - 1 ˚ Î0 1 ˚ Î 1 1 ˚ Î -1 -1˚ Î 1 - 1 Oleh karena AB = I maka matriks B merupakan invers dari matriks A. b. Matriks C merupakan invers dari matriks D jika memenuhi persamaan CD = I È -1 2 ˘ È 1 0 ˘ È -1 - 4 0 + 2 ˘ È -5 2 ˘ CD = Í ˙Í ˙= Í ˙ = Í ˙ π I Î 0 1 ˚ Î -2 1 ˚ Î 0 - 2 0 + 1 ˚ Î -2 1 ˚ Oleh karena CD π I maka matriks C bukan invers dari matriks D.
Setelah Anda memahami definisi invers matriks, selanjutnya akan diperlihatkan kepada Anda penurunan rumus invers matriks ordo 2 × 2 sebagai berikut. Èa b ˘ Èp q˘ Misalkan A = Í ˙ dan B = Í ˙ . Jika B = A–1, bagaimana hubungan c d r s Î ˚ Î ˚ antara elemen-elemen pada matriks A dan elemen-elemen pada matriks B? Untuk menjawabnya, Anda mulai dari B = A–1, dengan demikian AB = I. Èa b ˘ È p q ˘ È1 0 ˘ Í ˙Í ˙ = Í ˙ Î c d ˚ Î r s ˚ Î0 1 ˚ È1 0 ˘ È ap + br aq + bs ˘ Í ˙ = Í0 1 ˙ Î ˚ Î cp + dr aq + ds ˚ Berdasarkan konsep kesamaan dua matriks, Anda peroleh ap + br = 1 ... (1) aq + bs = 0 ... (3) cp + dr = 0 ... (2) cq + ds = 1 ... (4) Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear (1) dengan (2) dan (3) dengan (4), diperoleh d -b q= p= ad - bc ad - bc -c a s= r= ad - bc ad - bc Dengan demikian, È d Í ad - bc È ˘ p q B = A–1 = Í = ˙ Í Î r s ˚ Í -c ÍÎ ad - bc
-b ˘ 1 ad - bc ˙˙ = a ˙ ( d b ad - bc ˙˚
Èd Í ) Î -c
b˘ ˙ a ˚
Matriks
53
b˘ ˙ , dengan ad – bc π 0 ( d a ˚ b˘ 1 Èd Oleh karena ad – bc = det A, maka A–1 = Í ˙ det A Î -c a ˚ 1
Jadi, B = A–1 =
Catatan
Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2
A–1 terdefinisi jika det A π 0, artinya suatu matriks A mempunyai invers jika determinan matriks A tersebut tidak sama dengan nol
Cobalah –2
Jika M adalah invers 1 È -11 4 ˘ matriks Í ˙, 5Î2 3 ˚ Èx˘ tentukan M Í ˙ Î y˚
Èd Í b ) Î -c
È ˘ –1 Misalkan A = Í ˙ , invers dari A adalah A , yaitu Îc d ˚ b˘ 1 Èd A–1 = Í ˙ , dengan det A π 0 det A Î -c a ˚
Contoh Soal 2.19 Tentukan invers dari matriks-matriks berikut. È1 ˘ È ˘ 5˙ Í b. W = a. D = Í ˙ Í2 ˙ Î -7 11 ˚ ÍÎ 4 22 ˙˚ Jawab: a.
det D =
3
6
-7 11
= 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9
È 11 6˘ - ˙ 1 È11 6 ˘ 1 È11 6 ˘ Í 9 9˙ D = Í ˙ = Í ˙ = Í det D Î 7 3 ˚ -9 Î 7 3 ˚ Í 7 3˙ ÍÎ - 9 - 9 ˙˚ È 11 2˘ - ˙ Í3˙ = Í 9 1˙ Í 7 ÍÎ - 9 - 3 ˙˚ 1 1 5 det W = 2 = (22) - 4(5) = 1 2 4 22 È 22 -5 ˘ È 22 -5 ˘ È 22 -5 ˘ 1 Í ˙ = 1Í ˙ Í ˙ W–1 = 1˙ 1˙ = Í 1˙ detW Í -4 1 Í -4 -4 ÍÎ ÍÎ 2 ˙˚ 2 ˙˚ ÍÎ 2 ˙˚ –1
b.
Contoh Soal 2.20 Tentukan invers dari matriks-matriks berikut, jika ada. È6 3 ˘ È 2˘ a. A = Í b. B = Í ˙ ˙ Î4 2˚ Î 5 1˚ Jawab: a. Periksa nilai determinan dari matriks A. 11 2 det A = = 11(1) – 5(2) = 1 5 1 Oleh karena det A ≠ 0 maka matriks A memiliki invers 2˘ 1 È 1 2˘ 1 È1 A–1 = Í ˙ = Í ˙ det A Î -5 11 ˚ 1 Î -5 11 ˚
54
Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
b.
Catatan
Periksa nilai determinan dari matriks B 6 3 det B = = 6(2) – 4(3) = 0 4 2 Oleh karena det B = 0 maka matriks B tidak memiliki invers
•
•
Sifat-Sifat Invers suatu Matriks Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut. 1. (AB)–1 = B–1 · A–1 2. (BA)–1 = A–1 · B–1
Matriks yang tidak memiliki invers (determinannya nol) disebut matriks singular. Matriks yang memiliki invers (determinannya tidak sama dengan nol) disebut matriks nonsingular
Untuk lebih memahami sifat-sifat invers matriks tersebut, pelajarilah contoh-contoh berikut.
Contoh Soal 2.21 Pembahasan Soal
Diketahui matriks-matriks berikut. È1 0˘ È -1 2 ˘ A= Í ˙ dan B = Í ˙ Î2 1˚ Î -3 5 ˚ Tentukan: a. A–1 b. B–1 c. A–1 · B–1 d. B–1 · A–1 e. AB Jawab: a.
det A =
f. g. h. i.
det B = B–1 =
BA (AB)–1 (BA)–1 Apa kesimpulan yang diperoleh?
È 1 0˘ 1 È 1 0˘ È 1 0˘ Í ˙ = Í ˙ = Í ˙ Î -2 1 ˚ 1 Î -2 1 ˚ Î -2 1 ˚
-1 2 = –1(5) – (–3)(2) = 1 -3 5
1 det B
È5 Í Î3
2 ˘ 1 È5 ˙ = Í 1˚ 1 Î 3
c.
È 1 0 ˘ È5 A–1 · B–1 = Í ˙Í Î -2 1 ˚ Î3
d.
È5 B–1 · A–1 = Í Î3
2 ˘ È5 ˙ = Í 1˚ Î 3
2 ˘ È 1 0 ˘ È5 4 0 2 ˘ ˙Í ˙ = Í ˙ 1˚ Î -2 1 ˚ Î3 2 0 1 ˚ 2˘ ˙ 1˚
A–1 =
1 det A
=
1 Èa Í a2 Î0
È1 = Ía Í ÎÍ 0
2˘ ˙ 1˚
2 ˘ È 5 0 -2 0 ˘ È 5 ˙ = Í ˙ = Í 1˚ Î -10 + 3 4 - 1 ˚ Î -7
È9 = Í Î5 e.
konstanta b adalah .... a. –4 d. –1 b. –2 e. 1 c. –1 Jawab: Èa 1 + a ˘ A=Í ˙ a ˚ Î0
1 0 = 1(1) – 2(0) = 1 2 1
1 A–1 = det A b.
Èa 1 + a ˘ Jika invers A = Í ˙ a ˚ Î0 È1 b ˘ adalah A-1 = Í ˙ maka Î0 1 ˚
2˘ ˙ 3˚
Èa Í Î0
1 a˘ ˙ a ˚ 1 a˘ ˙ a ˚
1- a˘ ˙ a2 ˙ a ˙˚
È1 b ˘ Oleh karena A-1 = Í ˙ maka Î0 1 ˚ 1 =1¤a 1 a Dengan demikian, -1 - a -1 - 1 b= = = -2 a2 12 Jadi, nilai konstanta b adalah –2 Jawaban: b Sumber: SMPB, 2007
È 1 0 ˘ È -1 2 ˘ È -1 + 0 2 + 0 ˘ AB = Í ˙Í ˙ = Í ˙ Î 2 1 ˚ Î -3 5 ˚ Î -2 - 3 4 + 5 ˚ È -1 2 ˘ = Í ˙ Î -5 9 ˚
Matriks
55
Pembahasan Soal Diketahui
È1 2 ˘ =Í ˙ dan Î3 4 ˚
È -6 -5 ˘ B=Í ˙ . Î5 4˚ Nilai dari ( AB)-1 = .... Jawab: È1 2 ˘ È -6 6 5˘ AB = Í ˙Í ˙ 3 4 5 4˚ Î ˚Î È 4 3˘ = Í ˙ Î2 1˚ È1 3˘ 1 (AB)–1 = Í ˙ det ( ) Î -2 4 ˚ 3˘ 1 È1 = Í ˙ 4 6 Î -2 4 ˚ 1 È 1 -3 ˘ = - Í ˙ 2 Î -2 4 ˚ È 1 1˘ 1 ˙ = Í 2 2˙ Í ÍÎ 1 -2 ˙˚ È 1 1˘ 1 ˙ Jadi, (AB)–1 = Í 2 2˙ Í ÍÎ 1 -2 ˙˚
È 1 1˘ 1 ˙ Jawaban: e Í 2 2˙ Í ÍÎ 1 -2 ˙˚ Sumber: UMPTN, 1995
f. g.
h.
È -1 2 ˘ È 1 0 ˘ È -1 + 4 0 + 2 ˘ È 3 2 ˘ BA = Í ˙Í ˙ = Í ˙ = Í ˙ Î -3 5 ˚ Î 2 1 ˚ Î -3 + 10 0 + 5 ˚ Î 7 5 ˚ -1 2 = –1(9) – (–5)(2) = 1 -5 9 È9 2 ˘ 1 È9 2 ˘ È9 1 (AB)–1 = Í ˙ = Í ˙ = Í det AB Î 5 1˚ 1 Î 5 1˚ Î 5 det AB =
det BA =
3 2 7 5
2˘ ˙ 1˚
= 3 (5) – 7 (2) = 1
2˘ È 5 2˘ È5 2˘ 1 È 5 1 Í ˙ = Í -7 3 ˙ = Í -7 3 ˙ det BA Î -7 3 ˚ 1 Î ˚ Î ˚ Berdasarkan hasil dari poin a sampai h, kesimpulan yang didapat adalah 1. (AB)–1 = B–1 · A–1 2. (BA)–1 = A–1 · B–1 3. (AB)–1 ≠ (BA)–1 (BA)–1 =
i.
Contoh Soal 2.22 È2 5˘ Jika A = Í ˙ , tentukan nilai x agar matriks A merupakan matriks Î -2 4 ˚ singular. Jawab: È ˘ Syarat agar A singular adalah det A = 0.det A = Í ˙ = (2x)(4) – (–2) Î -2 4 ˚ (5) = 8x + 10 = 0 8x + 10 = 0 8x = –10 -10 x = 8 5 =– 4 5 Jadi, nilai x yang memenuhi agar matriks A singular adalah – . 4
Tes Pemahaman 2.4 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. 1. Dengan menggunakan kata-kata sendiri, jelaskan apa yang dimaksud dengan: a. determinan suatu matriks, b. dua matriks yang saling invers. 2. Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut. È -5 3 -2 ˘ È -5 7 ˘ Í ˙ a. Í c. Í 4 1 -1˙ ˙ 9 4 Î ˚ ÍÎ 2 0 3 ˙˚ È -11 1 ˘ b. Í ˙ Î 2 4˚
56
Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
3.
Tentukan apakah matriks-matriks berikut memiliki invers. Jika ya, tentukan inversnya. a.
b.
4.
È1 0˘ Í ˙ Î2 3˚ È1 1˘ - ˙ Í 4˙ Í2 ÍÎ 0 2 ˙˚
c.
È -3 -1˘ Í ˙ Î6 2˚
d.
È10 5 ˘ Í ˙ Î 4 2˚
È 5 3˘ Diketahui P = Í ˙ dan Q = Îx - 2 7˚ Jika det P = det Q, tentukan nilai x.
È4 Í Î5
8˘ ˙ 2˚
