4. PENGGUNAAN BILANGAN

22

4. PENGGUNAAN BILANGAN LEOPOLD KRONECKER lahir dari orang tua Yahudi (Jewish) 7 Desember 1823 di Liegnitz, Prussia. Pendidikan awalnya dilakukan melalui guru privat yang diawasi oleh ayahnya, seorang berpendidikan tinggi yang menyukai filosofi. Menurut E.T. Bell, Kronecker adalah artis yang memanfaatkan matematika sebagai mediumnya. Kronecker memiliki banyak bakat dan sangat cerdas. Dia menguasai bahasa Yunani (Greek), Latin, Ibrani (Hebrew), sekaligus menyukai filsafat dan matematika. Pada awalnya dia tak tahu harus berfokus pada bidang apa, namun akhirnya menemukan bahwa bakatnya paling besar adalah matematika. Selain studi formal, dia juga kursus musik, menjadi pianist dan vokalis ulung. Walau badannya pendek, namun dia pesenam dan perenang yang handal.

Tahun 1841 Kronecker masuk University of Berlin dan mengambil jurusan matematika. Disertasi Ph.D. nya lolos pada 1845 ketika umurnya masih 22 tahun. Disertasi doktornya itu mengupas tentang teori bilangan termasuk aljabar, dalam usaha membentuk poligon dengan sisi sebanyak n. Pada tahun yang sama dengan kelulusan doktornya, pamannya wafat dan mewariskan perusahaan besar dan dia harus menjalankan bisnis perbankan dengan saudara sepupunya (yang kemudian dia nikahi pada 1848). Kronecker adalah pebisnis yang sangat sukses, jenius dalam membangun hubungan baik. Walau disibukkan oleh bisnis, namun Kronecker tidak melupakan matematika. Bukunya tentang teori persamaan terbit tahun 1853. Dia berusaha menulis rumus-rumus sehingga menjadi sederhana. Tulisannya yang kuat daloam aritmatika, usahanya menjelaskan tentang bilangan utuh dan batasan-batasan bilangan sangat berpengaruh terhadap matematika modern. Sampai menjelang akhir hidupnya, Kronecker adalah orang bebas, tak bekerja pada siapapun, tetapi dia aktiv dalam komunitas matematika dan (tanpa melamar) diminta mengajar matematika di University of Berlin. Tahun 1883 dia mendapat anugrah gelar professor, dan pada 1891, dia wafat di usia 68 tahun. Sifat distributive: 12 x 54 = (10 + 2) x 54 = (10 x 54) + (2 x 54) Standard form: 3 5 4 8 ke Expanded form: 3 x 103 +5 x 102 +4 x 101 +8 x 100 Each group of three digits is caled a period: Ones Tens Hundreds 100

1 10

Thousands 1000 Ten thousands 10,000 Hundred thousands 100,000 Millions Ten millions Hundred millions

1000,000 10,000,000 100,000,000

Billions Ten billions Hundred billions

1000,000,000 10,000,000,000 100,000,000,000

Trillions Ten trillions Hundred trillions

Matematika – Bambang Triatma

1000,000,000,000 10,000,000,000,000 100,000,000,000,000

23

Gambar di atas adalah lembar cheque yang nilainya memecahkan rekor dunia (The Guinnes Book of Record, 1982). Cheque tersebut dari Pemerintah USA ke Pemerintah India. Ordinal numbers = bilangan yang fungsinya hanya untuk memberi tanda atau sekedar mengurutkan, tapi bukan untuk menghitung. Misal: Ayu mendapat Nomor Induk 54014090007 angka ini sekedar tanda saja, tak akan bermakna jika dikalikan atau dibagi. Misalnya pada saat antri di dokter gigi, si Anto mendapat kartu antri No. 3, sedang si Tantri No. 6, sementara si Bayu No.2. Bayu mendapat No.2 bukan karena Nomer Tantri dibagi Nomer Anto. Cardinal numbers = bilangan yang fungsinya untuk menghitung (for counting). Misal Anto telah berobat ke dokter gigi 3 kali, sementara Tantri baru 1 kali. Frekuensi berobat Anto memang 3 kali lebih sering dibanding Tantri. Natural numbers = N = {1, 2, 3, . . .} = counting numbers. Sifat commutative untuk + dan x : a + b = b + a, a x b = b x a. Sifat commutative tidak berlaku untuk pengurangan dan pembagian. Sifat assosiative untuk + dan x : a + (b + c) = (a + b) + c a x (b x c) = (a x b) x c Sifat assosiative tidak berlaku untuk pengurangan dan pembagian. Sifat distributive untuk x terhadap +: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) tidak berlaku sebaliknya Sifat distributive untuk x terhadap -: a x (b - c) = (a x b) - (a x c) tidak berlaku sebaliknya Sifat distributive untuk “pangkat” terhadap “kali”: (a x b)c = ac x bc

a

1

c

=

c

a1

juga a b c =

a b xa c = a (b + c ) juga

c

1 a b Misal 4 2 =

ab = a (b− c ) c a

2

41 = 2

juga 8 2 3 =

3

82

(ab)c = abc

Sifat distributive tidak berlaku untuk “bagi” terhadap “tambah” maupun “kurang”. Cartesian product (diagram Cartesius): Jika kita mengikuti 3 klas: klas a, klas b, dan klas c. Masing-masing klas mengadakan 2 ujian: ujian 1 dan ujian 2, maka daftar seluruh ujian sbb: (a, 1) ujian pertama di klas a. (a, 2) ujian kedua di klas a. (b, 1) ujian pertama di klas b. (b, 2) ujian kedua di klas b. (c, 1) ujian pertama di klas c. (c, 2) ujian kedua di klas c. seluruh ujian dapat dinyatakan sebagai: { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2) } A = {a, b, c}, B = {1, 2} maka A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2) } dan disebut Cartesian product dari A dan B. n(A) = 3, n(B) = 2, maka n(A x B) = 3 x 2 = 6 A x B = { (x,y)| x ∈ A, y ∈ B }

Matematika – Bambang Triatma

24

TEORI DASAR ARITMATIKA: Prime numbers: a natural number is prime if it has exactly two divisors, itself and 1. Tunjukkan bahwa 1440 merupakan produk dari bilangan prima. 1440 = 2.2.2.2.2.3.3.5 = 25. 32. 5 Bilangan pembagi terbesar (the Greatest Common Factor) Dua kelompok pramuka terdiri dari kelompok A, 66 orang dan kelompok B, 48 orang. Keduanya akan ditandingkan tapi dalam bentuk regu-regu kecil. Agar terbentuk regu-regu kecil yang sama dan tak ada satupun peserta yang tidak masuk ke dalam regu, berapa banyaknya anggota maksimal dalam tiap regu? 66 = 6 x 11 48 = 6 x 8 Pembagi terbesar keduanya adalah 6. Lebih dari 6 akan ada peserta yang tak masuk ke dalam regu. GCF dari 66 dan 48 adalah 6 karena tak ada bilangan di atas 6 yang bisa membagi keduanya menjadi bilangan bulat. GCF di Excell ditulis GCD (Greatest Common Divisor), formulanya =GCD(66,48) atau =GCD(66;48) Bilangan kelipatan terkecil atau the Least Common Multiple (LCM): LCM dari 4 dan 6 adalah 12. Sebenarnya 24 juga kelipatan dari 4 dan 6 namun bukan yang terkecil. Formula LCM dalam excell untuk 4 dan 6 = LCM(2,3) atau = LCM(2;3). Scientific notation: m x 10n dengan m BUKAN NOL.

Misal 68,000 = 6.8 x 104.

0.072 = 7.2 x 10-2.

5.MATEMATIKA KONSUMEN: SIMPLE INTEREST (BUNGA SEDERHANA / FLAT) How much would you get if you received 12% interest on one million dollars for 10 years? The answer depends on how this interest is calculated! In any event, the answer will involve three things: 1. The principal, P: the amount of money loaned or deposited in the transaction (one million dollars in this illustration). 2. The rate, r: the term during which the principal is used. This term is usually started in years (10 years in our illustration), but may be otherwise specified). I = P x r x t = 1,000,000 x 0.12 x 10 dollars = 1,200,000 dollars EXAMPLE 1. 198. A loan company charges 32% simple interest for a 2-year, $600 loan. a. What is the total interest on this loan? b. What is the interest for 3 months? c. What is the total amount A that mus be paid to the loan company at the end of 2 years? SOLUTION a. The interest is given by I = Prt, where P = 600, r = 32% = 0.32, and t = 2. Thus, I = 600 x 0.32 x 2 = 384. di Excell rumusnya =600*32%*2 enter. The interest for the 2 years is $384.00. b.

Here P = 600, r = 32% = 0.32, and t =

I = 600 × 0.32 × c.

3 1 3 of a year. = , because 3 months is 12 4 12

Thus,

1 = 600 × 0.08 = 48.00 4

At the end of 2 years, the loan company must be paid the original $600 plus the interest of $384; that is, A = 600 + 384 = 984. The company must be paid $984.

COMPOUND INTEREST (BUNGA BERBUNGA) Jika kita menabung dengan tabungan awal $1000, kita mendapat bunga 6% per tahun, sistem bunga berbunga, maka Principal = P = $1000; rate = r = 6% per tahun atau 0.06. Bunga yang kita terima (Interest = I) sbb: I tahun pertama = $1000 x 0.06 x 1 = $60, sehingga akumulasi P + I tahun pertama = $1000 + $60 = $1060. I tahun kedua = $1060 x 0.06 x 1= $ 63.60 sehingga akumulasi P + I tahun kedua = $1060 + $63.60 = $1123.60 I tahun ketiga = $1123.60 x 0.06 x 1 = $67.42 dst. sehingga rumus I compound sbb: Tahun ke-0: Modal = P Modal tahun ke-0 + bunga tahun ke-1 menjadi modal tahun ke-1. Tahun ke-1: Modal = P + Pr Modal tahun ke-1 + bunga tahun ke-2 menjadi modal tahun ke-2. Tahun ke-2: Modal = (P + Pr) + (P + Pr)r = P + Pr + Pr + Pr2 = P(1 + r + r + r2) = P(1 + 2r + r2) = P (1+r)2. Generalisasi: Jika banyak tahun t = 1, 2, 3, ..., n, maka akumulasi modal di tahun ke- =

Matematika – Bambang Triatma

An = P(1 + r ) n

25 Besar bunga pada tahun ke-n = akumulasi modal di tahun ke-n minus akumulasi modal di tahun ke-(n-1) = P (1 + r ) n -

P (1 + r ) n − 1 CONTOH: Untuk kasus yang sama, P = $1000, r = 6%, maka akumulasi modal pada tahun ke-5 adalah A = 1000(1 + 0.06) 5 = $1338.226 Formula di excell sbb: =1000*(1+0.06)^5 Besar bunga yang telah diakumulasikan ke dalam modal pada tahun ke-5 tsb sbb= akumulasi modal tahun ke-5 minus akumulasi modal tahun ke-4. Akumulasi modal di tahun ke-4 = 1000(1 + 0.06) 4 = $1262.477 Maka Bunga yang telah diakumulasikan di tahun ke-5 = $1338.226 - $1262.477- = $75.749 Tahun keAkumulasi Modal akibat ditambah bunga berbunga Bunga yang telah ditambahkan Tahun ke-n 0 1000.000 0.000 1 1060.000 60.000 Catatan: = 1060.000-1000.000 2 1123.600 63.600 Catatan: = 1123.600-1060.000 3 1191.016 67.416 4 1262.477 71.461 5 1338.226 75.749 6 di C41 1418.519 Catatan =1000*(1+0.06)^C41 80.294 7 di C42 1503.630 Catatan =1000*(1+0.06)^C42 85.111 8 1593.848 90.218 9 1689.479 Catatan: =1000*(1+0.06)^9 95.631 10 1790.848 Catatan: =1000*(1+0.06)^10 101.369 EXAMPLE 1.a. Find the accumulated amount and the interest earned for: $8000 at 8% compounded annually for 5 years. n SOLUTION. An = P(1 + r ) = $ 8000(1 + 0.08) 5 = $ 8000 × 1.08 5 = 8000 × 1.4693 = $11,754.4 EXAMPLE 1.b. Find the accumulated amount and the interest earned for: $8000 at 8% compounded semiannually for 5 years. SOLUTION. Semiannually = Periode “½ tahunan”, jadi pemberian bunga setiap ½ tahun. Oleh sebab itu dalam 5 tahun ada 5 x 2 periode = 10 periode. Suku bunga 8% per tahun menjelma menjadi 4% per “½ tahun”. An = P(1 + r ) n = $8000 × (1 + 0.04)10 = $8000 × (1.04)10 = $8000 × 1.4802 =$11,841.6 Jadi total deposit setelah 5 tahun adalah $11,841.6. EXERCISE 5.2.203 In Problems 1-6, find the simple interest. No. Principal Rate Time Yang ditanyakan 1 $1000 10% 1 year Besar bunga setelah 1 tahun = 2 $1000 10% 5 years Besar bunga setelah 3 tahun = 3 $1000 10% 6 months Besar bunga setelah 6 bulan = 4 $1000 10% 4 months Besar bunga setelah 4 bulan = 5 $1000 10% 3 months Besar bunga setelah 3 bulan = 6 $1000 10% 1 months Besar bunga setelah 1 bulan = Catatan: Principal = modal awal yang didepositkan Rate = suku bunga (% per tahun) Time = jangka waktu tiap-tiap pemberian bunga In Problems 7-10, find the final accumulated amount and the total interest. Note: Give answers to the the same number of digits (four digits under dot) as the table entry. 7. $12,000 at 10% compounded semiannually for 8 years. 8. $12,000 at 10% compounded semiannually for 10 years. 9. $15,000 at 14% compounded quarterly for 3 years. 10. $15,000 at 14% compounded monthly for 3 years. ANSWER TABLE: No. Principal (P) Rate Period Total Time The number of interest Accumulated amount and the total (r) (months) periods (n) interest (An) 7 8 9 10 Catatan: Matematika – Bambang Triatma

26 Principal = modal awal yang didepositkan Rate = suku bunga (% per tahun) Period = jangka waktu tiap-tiap pemberian bunga berbunga Total time = total waktu modal didepositkan Compounded = sistem bunga berbunga.

ANNUAL PERCENTAGE RATE (APR) Biaya finansial yang dibayarkan per tahun per 100 nilai mata uang tertentu yang dipinjamkan disebut Annual Percentage Rate (APR). EXAMPLE

Mary Lewis bought some furniture that cost $1400. She paid $200 down and agreed to pay the balance in 30 monthly installments of $48.80 each. What was the APR for her purchase? Mary Lewis membeli meubel seharga $1400. Ia membayar uang muka $200 dan setuju membayar sisanya secara mencicil 30 kali, besar cicilan per bulan $48.80. Berapa sesungguhnya bunga per tahun bagi tiap $100 yang dipinjamnya? SOLUTION We first find the finance charge per $100 as follows: Payments 30 x $48.80 = $1464 (30 kali cicilan x besarnya cicilan $48.80) Amount financed = $1200 (dari: Harga$1400 – Uang muka $200) Finance charge $ 264 (Yang dibayarkan – nilai pinjaman = $1464 $1200) Finance charge per $100:

$264 × 100 = $22 $1200

We now turn to table above and read across the row labeled 30 (the number of payments) until we find the number closest to $22. This number is $21.99. We then read the column heading to obtain the APR, 16%. Jadi biaya finansial sesungguhnya per tahun per $100 yang dipinjamnya adalah $21.99 (angka terdekat dengan $22) , seperti tertera di baris 30 dan kolom 16%. The Rule of 78 Rumus 78 adalah prinsip jasa finansial akibat membayar secara mencicil. Prinsip rumus 78 sbb: Jasa finansial bagi Pembayaran terakhir (final payment) besarnya = $a [=jasa cicilan ke-n] Jasa finansial bagi pembayaran kedua sebelum terakhir = $2a [=jasa cicilan ke-(n-1)] Jasa finansial bagi pembayaran ketiga sebelum terakhir = $3a [=jasa cicilan ke-(n-2)] ..........................................dan seterusnya.................................. sampai pembayaran pertama [=jasa cicilan ke-1]. Untuk kredit standard cicilan 12 kali, jumlah jasa finansial yang harus kita bayarkan sebagai kreditor = a + 2a + 3a + . . . + 10a + 11a + 12a = 78a dollar. Karena jumlah bilangan berurutan 1, 2, 3, . . . sampai 12 adalah 78, maka rumus ini terkenal sebagai Aturan 78. Jika jasa finansial (financial charge) = $F maka F = 78a sehingga a =

1 F 78

Misal kita meminjam uang $1000, jangka pengembalian 1 tahun, dengan suku bunga (rate) 8% per tahun, maka total bunga (Interest) adalah = $1000 x 8% = $80. Total pengembalian kelak = $1000 + $80 = $1080. Jika pengembalian dicicil secara bulanan (12 kali dalam 1 tahun) maka besarnya cicilan = $1080/12 = $90 per bulan. Misalkan kita sudah mencicil sampai bulan ke-6 dan kita ingin menutup pinjaman tersebut, berapa dollar sisa pinjaman yang harus kita lunasi? Tentu bukan separoh persis dari totalnya, tapi harus memenuhi “Aturan 78”. Matematika – Bambang Triatma

27

Jasa finansial (financial charge) ke-12 (terakhir) =

1 F 78

Jasa finansial (financial charge) ke-11 (ke-2 dari terakhir) = Jasa finansial (financial charge) ke-10 (ke-3 dari terakhir) = Jasa finansial (financial charge) ke-9 (ke-4 dari terakhir) = Jasa finansial (financial charge) ke-8 (ke-5 dari terakhir) = Jasa finansial (financial charge) ke-7 (ke-6 dari terakhir) =

Jumlah semuanya di atas = $1000 x 8% = $80.

21 F. 78

2 F 78 3 F 78 4 F 78 5 F 78 6 F 78

Karena di atas dijelaskan bahwa pokok pinjaman $1000 dan rate 8% per tahun maka F =

Jadi total jasa finansial seluruh enam bulan terakhir (bulan ke-12 sampai ke-7) =

21 $80 = $21.54. 78

Jumlah $21.54 ini seharusnya dibayar oleh kreditor tetapi karena kreditor melunasi sebelum bulan-bulan ini datang, maka biaya itu dibebaskan, sehingga jumlah bersih yang harus dibayar oleh kreditor tinggal menjadi = (6 x $90) dipotong $21.54 = $540 $21.54 = $538.46. Selanjutnya jika sisa cicilan tinggal sebanyak n kali, sedang kreditor ingin menutup pinjamannya, maka jumlah potongan pelunasan =

akumulasi(n) bagian terhadap sisa pinjaman. 78 n(n + 1) 1 × 2 78

Karena akumulasi n = S =

n(n + 1) , maka jumlah potongan pelunasan = 2 4 n+1 3 2 1

Jika n = 3, didapati S = 3(3+1)/2 = 6 Jika n = 12, didapati S = 12(12+1)/2 = 78 Selanjutnya “Aturan 78” hanyalah prinsip dasar pemberian jasa finansial untuk standar 12 bulan. Kita bisa saja mengacu 1 2 3 n pada n >12 misal 15 bulan, 20 bulan dsb. Akumulasi n Ingat pada n = 15, S tidak lagi 78 tapi 15(15+1)/2=120. S = n(n+1)/2 PROBLEM 25.220 Herman Schmidt bought a stereo costing $1000 with $200 down and 10% add-on interest to be paid in 18 equal monthly installment. Find: (a) The finance charge, (b) The monthly payment, (c) The interest refund if he pays the loan after 15 months, (d) The amount needed to pay off the loan.

Matematika – Bambang Triatma