Pengantar Teori Bilangan. Kuliah 4

Pengantar Teori Bilangan Kuliah 4

Materi Kuliah Bilangan Prima dan Distribusinya Teorema Fundamental Aritmatika  Saringan Eratosthenes

22/2/2014

Yanita, FMIPA Matematika Unand

2

Bilangan Prima dan Komposit Definisi Suatu bilangan bulat 𝑝 > 1 disebut bilangan prima, jika 𝑝 hanya mempunyai pembagi positif 1 dan 𝑝. Bilangan bulat yang lebih besar dari 1 yang bukan prima disebut komposit. Contoh Bilangan prima di antara 1 dan 10 adalah 2,3,5,7, dan 4,6,8,9,10 adalah bilangan komposit. 22/2/2014


3

Sifat Teorema 3.1 Jika 𝑝 prima dan 𝑝|𝑎𝑏, maka 𝑝|𝑎 atau 𝑝|𝑏.

Bukti: Diketahui 𝑝 prima dan 𝑝|𝑎𝑏. Akan dibuktikan 𝑝|𝑎 atau 𝑝|𝑏

𝑝 prima berarti pembaginya hanya 1 dan 𝑝. 𝑝|𝑎𝑏 artinya 𝑎𝑏 = 𝑐𝑝 untuk suatu 𝑐 ∈ ℤ. Jika 𝑝|𝑎 maka pembuktian selesai. Jika 𝑝 ∤ 𝑎 maka harus dibuktikan 𝑝|𝑏. Oleh karena 𝑝 prima maka 𝑝𝑝𝑏 𝑎, 𝑝 = 1 dan diperoleh 1 = 𝑎𝑥 + 𝑝𝑦. Kemudian kalikan 1 = 𝑎𝑥 + 𝑝𝑦 dengan 𝑏, diperoleh 𝑏 = 𝑏𝑎𝑥 + 𝑏𝑝𝑦. Diketahui 𝑎𝑏 = 𝑐𝑝 dan substistusi nilai ini pada 𝑏 = 𝑏𝑎𝑥 + 𝑏𝑝𝑦, diperoleh 𝑏 = 𝑐𝑝𝑥 + 𝑏𝑝𝑦 atau 𝑏 = 𝑝(𝑐𝑥 + 𝑏𝑦). Dengan kata lain, terbukti 𝑝|𝑏. Yanita, FMIPA Matematika Unand

22/2/2014

4

Akibat Akibat 1 Jika 𝑝 adalah prima dan 𝑝|𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 maka 𝑝|𝑎𝑘 untuk suatu 𝑘, dimana 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Akibat 2 Jika 𝑝, 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 adalah semuanya prima dan 𝑝|𝑞1 𝑞2 … 𝑞𝑛 maka 𝑝 = 𝑞𝑘 untuk suatu 𝑘, dimana 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛.

22/2/2014


5

Teorema Fundamental Aritmatika Setiap bilangan positif 𝑛 > 1 dapat ditulis dalam bentuk hasilkali sejumlah bilangan prima, dan penulisan ini tunggal. Contoh 1. 4 = 2 × 2 2. 6 = 2 × 3 3. 100 = 2 × 2 × 5 × 5 4. 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 5. dll 22/2/2014


6

Akibat Setiap bilangan bulat 𝑛 > 1 dapat ditulis secara tunggal dalam bentuk kanonik: 𝑛 = 𝑝1 𝑘1 𝑝2 𝑘2 𝑝3 𝑘3 … 𝑝𝑟 𝑘𝑟 Dimana setiap 𝑘𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑟 adalah bilangan bulat positif dan setiap 𝑝𝑖 adalah prima, dengan 𝑝1 < 𝑝2 < 𝑝3 < ⋯ < 𝑝𝑟 . Contoh 1. 100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 22 × 52 2. 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 23 × 32 × 5 3. dll 22/2/2014


7

Teorema Pythagoras Bilangan 2 adalah irrasional. Bukti: Bukti dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan 2 bukan bilangan irrasional, berarti 2 adalah bilangan rasional. Berdasarkan definisi 𝑎 bilangan rasional ℚ = 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0 , jika dimisalkan 2 adalah bilangan rasional, berarti

2=

𝑎 𝑏

𝑏

… 1

untuk suatu 𝑎,𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0 dan 𝑝𝑝𝑏 𝑎, 𝑏 = 1 (? ) 𝑎2 𝑏2

Jika persamaan (1) dikuadratkan, maka diperoleh 2 = atau 𝑎2 = 2𝑏 2 … (2) Dari sini diperoleh bahwa 𝑏|𝑎2 . Jika 𝑏 > 1, maka Teorema Fundamental Aritmatika menjamin bahwa ada bilangan prima 𝑝 sedemikian sehingga 𝑝|𝑏. (berarti 2𝑏 = 𝑠𝑝 untuk suatu 𝑠 ∈ ℤ). Jika disubtitusi nilai ini pada persamaan (2), maka diperoleh 𝑝|𝑎 , dan berdasarkan Teorema 3.1, diperoleh 𝑝|𝑎. Oleh karena itu 𝑝𝑝𝑏(𝑎, 𝑏) ≥ 𝑝. 2 = 2. Hal ini tidak mungkin terjadi, karena tidak ada bilangan bulat 𝑎 yang Jika 𝑏 = 1, maka 𝑎 memenuhi 𝑎2 = 2. Jadi , pengandaian 2 adalah bilangan rasional adalah tidak benar. Jadi benarlah 2 adalah bilangan irrasional.

22/2/2014


8

Saringan Erastosthenes Dalam matematika, saringan Eratosthenes adalah algoritma kuno yang sederhana untuk menemukan semua bilangan prima sampai batas tertentu . Ia melakukannya dengan iteratif menandai sebagai komposit ( yaitu tidak prima ) kelipatan dari setiap prima, dimulai dengan kelipatan 2. Saringan Eratosthenes adalah salah satu cara yang paling efisien untuk menemukan semua bilangan prima yang lebih kecil (di bawah 10 juta atau lebih )

22/2/2014


9

Langkah-langkah mencari bilangan prima dengan saringan Eratosthenes 1. Hapus 1 karena bukan bilangan prima 2. Lingkari 2 karena 2 bilangan prima dan silang semua kelipatan 2. 3. Lingkari 3 karena 3 bilangan prima dan silang semua kelipatan 3 4. Lingkari 5 karena 5 bilangan prima dan silang semua kelipatan 5 5. Lingkari 7 karena 7 bilangan prima dan silang semua kelipatan 7 6. Silang semua kelipatan 9 7. Lingkari 11 karena 11 bilangan prima dan silang semua kelipatan 11 8. Dst. Bilangan prima adalah yang dilingkari dan yang tanpa tanda silang. Yanita, FMIPA Matematika Unand

22/2/2014

10

Sifat-sifat Teorema Euclid Terdapat sejumlah takhingga bilangan prima. Teorema 2𝑛−1

Jika 𝑝𝑛 adalah bilangan prima ke-𝑛, maka 𝑝𝑛 ≤ 2

.

Akibat Untuk 𝑛 ≥ 1, terdapat sekurang-kurangnya 𝑝𝑛+1 , 𝑝 bilangan prima 𝑛 𝑛 2 2 yang kurang dari 2 (𝑝𝑛+1 < 2 ) 22/2/2014

Selesai 23 Februari 2014

11

Pengantar Teori Bilangan. Kuliah 4

Recommend Documents