3
Veranderende krachten
B
Modelleren Een computermodel van bewegingen in SCYDynamics
Wat gaan we doen? Bij het beschrijven van bewegingen staan de begrippen kracht, versnelling, snelheid, verplaatsing en plaats centraal. Omdat die begrippen in élke beweging dezelfde rol spelen, ligt het voor de hand om een algemeen computermodel voor bewegingen te maken dat makkelijk is aan te passen voor NLT-module elke soort beweging. Het lesmateriaal bij deze De centrale vraag voor deze paragraaf is: paragraaf vormt een onderdeel van de NLT-module Dynamische Hoe bouw je een computermodel voor bewegingen, en hoe kun je met Modellen VWO. dat model bewegingen onderzoeken? SCYDynamics In deze paragraaf wordt gebruik gemaakt van het programma SCYDynamics om computermodellen te bouwen. Maar dat kan ook met programma’s als Coach en Excel (zie Wisselwerking en Beweging 1, paragraaf 3.2). Bij het onderwerp kracht en beweging zijn veel situaties te vinden waarbij een model gebruikt wordt om voorspellingen te doen of om verbeteringen aan te brengen. Enkele voorbeelden van dit soort situaties zijn de lancering van raketten, veiligheidmaatregelen bij attractieparken, een flight-simulator voor het trainen van piloten, de invloed van luchtwrijving en gewichtbesparing bij wielrennen en de baan van een komeet rond de Zon. In deze paragraaf wordt gekeken naar enkele eenvoudige praktijksituaties waarbij een model gebruikt wordt om de beweging te onderzoeken. De praktijksituatie van de ‘vallende kogels’ zal gebruikt worden om naar een algemeen computermodel voor bewegingen toe te werken. 1 Figuur 1 – Voor het trainen van piloten wordt een vluchtsimulator gebruikt.
Oriëntatie: Vallende kogels In de rubriek ‘Knagende Vragen’ op internet is de volgende vraag te vinden:
Vreugdeschoten Bij vreugdevolle gebeurtenissen schieten mensen soms met een pistool in de lucht ten overstaan van een grote menigte. Waarom raakt er nooit iemand gewond als de kogel naar beneden valt? Bron: www.intermediair.nl
Bespreek deze ‘knagende vraag’. Noteer daarbij zoveel mogelijk verklaringen, oorzaken of vragen. Om tot een antwoord te komen, kijken we eerst naar de beweging van de kogel. Daarbij komen vragen naar voren als: hoe hard komt een kogel uit een pistool, met welke snelheid komt de kogel op de grond, hoe hoog komt de kogel en hoe lang is de kogel in de lucht? Je gaat deze vragen beantwoorden met behulp van een computermodel.
9
Plan van aanpak We kijken naar de situatie dat de kogel recht omhoog geschoten wordt. Daarbij werken twee krachten: de zwaartekracht en de luchtwrijvingskracht. De beweging bestaat uit twee delen: omhoog en omlaag. Het plan van aanpak bestaat uit: Een model bouwen voor een situatie zonder luchtwrijving. De zwaartekracht zorgt dan voor het afnemen en toenemen van de snelheid. Het model uitbreiden met de hoogte van de kogel. Het model uitbreiden met de luchtwrijving. Met het model onderzoeken hoe hoog de kogel komt en met welke snelheid de kogel op de grond komt. Uitvoering Een computermodel rekent met de modelregels in tijdstappen de beweging door (zie Wisselwerking en Beweging 1, paragraaf 3.2): in elke tijdstap berekent het model achtereenvolgens de (resulterende) kracht, versnelling, snelheidsverandering, snelheid, verplaatsing en plaats. In dit geval – een beweging in verticale richting – is de plaats de hoogte. 2
a
b
Figuur 2 – Voorraadgrootheden en stroompijlen
c d
e
3
a b
Figuur 3 – Een model voor snelheid en versnelling.
De basis van het model voor bewegingen Een computermodel in SCYDynamics maakt gebruik van voorraadgrootheden. Het bijzondere daarvan is dat het model de grootheid automatisch uitrekent als het de verandering (toename of afname) van die grootheid heeft berekend. In het model van de verticale beweging is de hoogte een voorraadgrootheid. Leg uit hoe je kunt zien dat de hoogte een voorraadgrootheid is. De toe- of afname van de hoogte wordt in het model weergegeven met een stroompijl. Welke grootheid is in dit model de instroom van de hoogte? Leg uit waarom. De hoogte is niet de enige voorraadgrootheid in het model van deze beweging. Welke grootheid is nog meer een voorraadgrootheid? Leg uit hoe je dat kunt zien. Leg in je eigen woorden uit dat de instroompijl van de snelheid gelijk is aan de versnelling. De andere grootheden in het model (de zwaartekracht, de luchtwrijving, de massa en de versnelling) zijn geen voorraadgrootheden maar worden rechtstreeks met een formule berekend of zijn constant. Welke van deze grootheden worden met een formule berekend? Noteer die formules. Een eenvoudig model Voor een eerste, eenvoudig computermodel beginnen we met twee aannames: er is geen luchtwrijving de kogel wordt verticaal omhoog geschoten. Met deze twee aannames wordt de beweging van de kogel een rechtlijnige beweging onder invloed van slechts één kracht: de zwaartekracht. Wat voor soort beweging is de beweging omhoog van de kogel? Wat voor soort beweging is de beweging omlaag van de kogel? In figuur 3 is het eenvoudige model voor een versnelde beweging weergegeven. Een constante kracht F werkt op een massa m die daardoor een versnelling a krijgt. De versnelling zorgt ervoor dat de snelheid v verandert. 10
c Instroompijl De waarde van de instroompijl versnelling geeft aan hoeveel de variabele snelheid per tijdseenheid toeneemt. Als de waarde van de instroompijl negatief is, dan neemt de snelheid af.
d
In het model van figuur 3 is de versnelling de instroom bij de snelheid. Lees in het kader wat de betekenis van een instroompijl is, en leg uit waarom de versnelling de instroom van de snelheid is. Is het model in figuur 3 geschikt voor de beweging omhoog, de beweging omlaag, of voor beide bewegingen? Leg uit.
Model-onderdelen De kern van een model bestaat uit rechthoeken en stroompijlen. De rechthoeken zijn de voorraadgrootheden: zij beschrijven de bestaande situatie. De stroompijlen geven in combinatie met een rekenvariabele aan hoeveel er per tijdstap verandert. Daarnaast bevat een model constante factoren (een ruit), rekenvariabelen (een cirkel) en relatiepijlen. Een rekenvariabele bevat een formule waarmee een grootheid berekend kan worden (bijvoorbeeld de versnelling in het model van figuur 3). De relatiepijlen geven aan welke variabelen in die formule voorkomen (bijvoorbeeld de kracht en de massa in het model van figuur 3). Positief of negatief Een vertraagde beweging is een beweging met negatieve versnelling. In het model is dan de instroom van de snelheid negatief. Dat klopt met de werkelijkheid: de snelheid neemt af. Na het hoogste punt wordt de snelheid negatief. Als de instroom (de versnelling) dan ook negatief is, wordt de snelheid steeds meer negatief. Het voorwerp heeft een steeds grotere snelheid omlaag. Om het model goed te laten werken moet bij elke kracht, snelheid, versnelling of positie nagegaan worden of de waarde positief of negatief is. Meestal wordt bij verticale bewegingen omhoog als positief gezien, en omlaag als negatief. 4
a Figuur 4 – Een Walther P5 pistool. kaliber kogel frontaal oppervlak massa afschietsnelheid cw-waarde luchtdichtheid
9 mm 6,4·10-5 m2 9g 350 m/s 0,2 à 0,3 1,3 kg/m3
b c 5
a
b c
Omhoog en omlaag Om het model in twee richtingen te laten werken, is het nodig om een positieve en een negatieve richting te kiezen. In dit soort situaties wordt omhoog als positief gezien, omlaag als negatief. Welke van de vier vakjes in het model van figuur 3 heeft, in het geval van de kogel die omhoog geschoten wordt, aan het begin een negatieve waarde? In figuur 4 staan enkele gegevens over het pistool dat door de Nederlandse politie gebruikt wordt. Welke van de vier modelvariabelen uit figuur 3 zijn met deze gegevens te bepalen? Noteer de gegevens. Met welke formule bereken je de zwaartekracht? Het model Versnelde Beweging Open het model Versnelde-Beweging-1.xml. Dit model is het begin van een model voor een versnelde beweging. Het model gaat alleen over snelheid en versnelling. De versnelling a hangt af van de kracht F en de massa m volgens de formule F = m·a. Welke formule moet je nu in het model invullen om de versnelling a te berekenen? De enige kracht in dit model is de zwaartekracht. In plaats van steeds de waarde uitrekenen, kun je deze ook laten berekenen met een formule. Trek een relatiepijl van massa naar kracht. Welke formule moet je nu in het model invullen om de zwaartekracht Fz te berekenen? Denk aan de negatieve waarde voor de zwaartekracht! Kies de massa en de beginsnelheid van de kogel van een Walther P5 (zie figuur 4). Laat het model lopen. 11
6
a b c d e f
7
a b Figuur 5 – Een model voor snelheid en afstand.
c
8
a b c d 9
a b c d
Het model aanpassen: v,t-diagram De snelheid van de kogel neemt af naarmate de kogel hoger komt. Zodra de kogel weer naar beneden komt, neemt de snelheid weer toe. De snelheid wordt dan negatief. Voeg aan het model een grafiek van de snelheid toe. Laat deze grafiek tekenen en print het resultaat. Klopt de grafiek met je verwachtingen? Op een gegeven moment wordt de snelheid van de kogel nul. Bepaal zo nauwkeurig mogelijk op welk tijdstip de snelheid nul wordt. Wat betekent dat voor de beweging van de kogel? Maak met behulp van de grafiek van de snelheid een schatting van de hoogte die de kogel bereikt. Maak met behulp van de grafiek een schatting van de tijd die de kogel onderweg is van het afvuren tot het neerkomen. Het model uitbreiden: hoogte Het model Versnelde-Beweging-1.xml gaat alleen over snelheid en versnelling. In de eerste uitbreiding van het model wordt de hoogte die de kogel bereikt opgenomen. Tijdens het vallen wordt de snelheid van het voorwerp steeds groter, en de afstand die het voorwerp binnen één seconde aflegt wordt dus ook steeds groter. Voeg een toestandsvariabele hoogte_h aan het model toe (zie figuur 5) en vul de beginwaarde voor de hoogte in. Teken een instroompijl bij de hoogte, en zorg dat de waarde van de instroom gelijk is aan de snelheid. Leg uit waarom de instroom van de hoogte de snelheid moet zijn. Gebruik in je uitleg de begrippen tijdstap en verplaatsing. Het model aanpassen: h,t-diagram Met het uitgebreide model is het mogelijk om een grafiek van de hoogte van de kogel te tekenen. Voeg aan het model een grafiek van de hoogte toe. Laat deze grafiek tekenen en print het resultaat. Hoe hoog komt de kogel? Klopt dat met je schatting uit opdracht 6e? Controleer of de tijdstap van het model klein genoeg is om de maximale hoogte nauwkeurig te bepalen. Sla het model op als Versnelde-Beweging-2.xml. De invloed van de luchtwrijving Het eenvoudige model van het pistoolschot gaat uit van een beweging zonder luchtwrijving. In de praktijk zal de luchtwrijving wel degelijk invloed hebben. Voordat het model uitgebreid wordt, stellen we een voorspelling op. Zal de kogel in werkelijkheid hoger of minder hoog komen dan in het eenvoudige model? Zal de kogel in werkelijkheid korter of langer in de lucht zijn dan in het eenvoudige model? Zal de kogel in werkelijkheid met een hogere of lagere snelheid op de grond komen dan in het eenvoudige model? Schets in de eerder geprinte grafieken van de snelheid en de hoogte een voorspelling van de beweging met luchtwrijving.
10 Het model uitbreiden: luchtwrijving Voor de luchtwrijvingskracht op een kogel geldt: Fw,l = ½·cw·ρ·A·v2.
12
a b c d e
Bereken met de formule de luchtwrijvingskracht op de kogel van de Walther P5 (zie figuur 4) direct na het verlaten van de loop. Breid het model uit met een rekenvariabele F_lucht. Breid het model uit met drie constanten: cw_waarde, oppervlak_A en luchtdichtheid. Trek alle benodigde relatiepijlen. Denk ook aan de snelheid. Hoe moet de formule voor de versnelling in het model aangepast worden?
11 Het model aanpassen: positieve en negatieve luchtwrijving De luchtwrijvingskracht heeft ook een richting. Als de kogel omhoog beweegt, is de luchtwrijving negatief. Omgekeerd moet de luchtwrijving positief zijn als de kogel omlaag beweegt. Lees eerst het kader over de “truc om de richting aan te passen”. Truc om de richting aan te passen De luchtwrijvingskracht heeft ook een richting. Als de kogel omhoog beweegt, is de luchtwrijvingskracht omlaag gericht (negatief). Omgekeerd moet de luchtwrijving positief zijn als de kogel omlaag beweegt. In de formule voor de luchtwrijving wordt het kwadraat van de snelheid gebruikt. De uitkomst is dus altijd positief! In het model kan de luchtwrijving op een juiste manier ingevoerd worden met de onderstaande truc voor de luchtwrijving:
a b c d e f g
Leg uit dat met de formule in het kader de luchtwrijvingskracht negatief is als de kogel omhoog gaat, en positief als de kogel weer omlaag gaat. Voer de formule voor F_lucht in het model in. Laat het model lopen. Laat de grafieken voor de snelheid en de hoogte tekenen en print het resultaat. Pas zo nodig de “Stop time” aan. Welke maximale hoogte bereikt de kogel? Hoe lang is de kogel onderweg? Met welke snelheid bereikt de kogel de grond? Sla het model op als Kogel-1.xml.
12 Evaluatie: resultaten van het model Het model voor de kogel lijkt realistisch. Kan de ‘knagende vraag’ over het vreugdevuur hiermee beantwoord worden? Geef antwoord op de onderstaande vragen met behulp van de resultaten van je computermodel én de informatie in de bron ‘Losse flodders of dodelijke schoten’. a Kan een neervallende kogel dodelijk zijn? Licht toe. b Is een kogel lang genoeg in de lucht om met de wind meegenomen te worden? Licht toe. c Maak een afweging naar aanleiding van de vraag of het vreugdevuur nu wel of niet gevaarlijk is.
Losse flodders of dodelijke schoten? Knagende Vraag: Vreugdeschoten Bij vreugdevolle gebeurtenissen schieten mensen soms met een pistool in de lucht ten overstaan van een
13
grote menigte. Waarom raakt er nooit iemand gewond als de kogel naar beneden valt?
Antwoord R. Kollerie, Arnhem: Als deze pistoolschoten of zelfs machinegeweersalvo's afgevuurd worden met echte kogels, vallen soms wel degelijk doden. Tijdens de onrusten in Albanië waren er waarnemers die hun verontrusting uitspraken over het aantal doden en gewonden dat op deze manier werd veroorzaakt. Antwoord Nico Verschuren, Amsterdam: Een verticaal afgevuurde kogel kan een grote hoogte bereiken. Afhankelijk van het type, komt het projectiel tot duizend à 2.500 meter boven de grond. Het duurt daarbij soms meer dan een minuut voordat de kogel weer terugkeert op aarde. Al die tijd is de kogel ten prooi aan zijwind. Zelfs een
kogel die recht omhoog wordt afgevuurd, krijgt daardoor meestal een behoor lijke horizontale snelheid. Daardoor is de kans gering dat de kogel neerkomt binnen een straal van honderd meter van de schutter. Antwoord Peter Kooistra, Amsterdam: Aan het begin van de vorige eeuw werd dit door verschillende kogelexperts gemeten. De 7,6 mm kaliber kogels deden er bijna twintig seconden over om een hoogte te bereiken van ruim 2,5 km. Daarna deden ze er meer dan dertig seconden over om weer neer te komen in het meer, met een snelheid van honderd meter per seconde. Hoe dodelijk is zo'n kogel? Bij zo'n vijftig meter per seconde dringt de kogel door de huid. De inslag van zo'n kogel kan dus soms dodelijk zijn.
Bron: www.intermediair.nl
Algemeen computermodel van bewegingen In figuur 6 is het algemene computermodel voor bewegingen weergegeven.
Figuur 6 – Een algemeen computermodel voor rechtlijnige bewegingen.
In dit model zijn – naast snelheid, versnelling en afstand – drie krachten opgenomen die samen een resulterende kracht leveren. Het model geldt voor bewegingen langs een rechte lijn.
Figuur 7 – De Olympic Oval in Calgary.
13 Het algemene computermodel Het model in figuur 6 lijkt veel op het laatste model van de verticale beweging van de kogel. Er zijn ook verschillen. a Vergelijk het algemene model met het model van de kogel. Welke verschillen zie je? b Het algemene model kun je ook gebruiken voor de rembeweging van een auto. Hoe zorg je ervoor dat de snelheid van de auto afneemt?
14
