Streamlining the Mathematics Studies at the Faculty of Science of Palacky University in Olomouc Registry number: CZ.1.07/2.2.00/28.0141
Co je to kvalitativní teorie obyčejných diferenciálních rovnic Alexander Lomtatidze Matematický ústav AV ČR, v.v.i.
I. Newton, 1686, „Philosophiae Naturalis Principa Matematicaÿ ~r: r
a
x2
y2
k~r
|~r|3
$ 2 &x
rx3 % y2 y r3
(1)
I. Newton, 1686, „Philosophiae Naturalis Principa Matematicaÿ ~r: r
a
x2
y2
k~r
|~r|3
$ 2 &x
rx3 % y2 y r3
(1)
J. Bernouli, 1710 Laplace, 1798, Jacobi, 1842, 1 2
(2), (3)
(2), (3), (4)
ùñ
px1 q2 py1 q2 1r h integrál energie xy 1 yx1 c integrál plochy $ 1 $ 1 y x 2 ' & cy & cy r ùñ ' 2 x 1 ùñ % 1 r y % cx cx r r
A2 B 2 c2 Ax
1
By
2hc2 r, tj. c2
Ax
By
a
x2
(2) (3) A (4) B
y 2 . . . kuželosečka
Liouville, 1839 K . . . diferenciální těleso d: K Ñ K 1. dpa
bq dpaq
2. dpabq dpaqb
d p bq
adpbq
y : dpy q 0 . . . konstanty Věta. y 2
py 1
gy
0, p, g P K kvadratury
ðñ Dypxq exp
f je řešením algebraické rovnice s koeficienty z K
» x x0
f ptqdt
Liouville, 1839 K . . . diferenciální těleso d: K Ñ K 1. dpa
bq dpaq
2. dpabq dpaqb
d p bq
adpbq
y : dpy q 0 . . . konstanty Věta. y 2
py 1
gy
0, p, g P K kvadratury
ðñ Dypxq exp
f je řešením algebraické rovnice s koeficienty z K Morduhai-Boltovski, 1910 Ritt, Kolchin,
1950
» x x0
f ptqdt
Lagrangeovy body L1 , L2 , L3 . . . kolineární L4 , L5 . . . triangulární nebo Trojané
1750, L1 L3 Lagrange, 1770, L1 L5 Euler,
Lagrangeovy body L1 , L2 , L3 . . . kolineární L4 , L5 . . . triangulární nebo Trojané
1750, L1 L3 Lagrange, 1770, L1 L5 Euler,
Max Wolf, Achileus 1906 – Jupiter (X)
dX $ d
C
D
L4 . . . Řekové (Achileus, Ajax, Agamemnon, Diomedes, Nestor, Odiseus, Hektor . . . ) L5 . . . Trojané (Anchis, Troil, Aeneas, Primas, Patrokles, . . . ) L4 , L5 . . . Kordilewski mlhovina ...
Tethys (satelit Y) - L4 . . . Telesto, L5 . . . Calipso
Dione (satelit Y) - L4 . . . Helene, L5 . . . Polideukes
Lagrangeovy body L1 , L2 , L3 . . . kolineární L4 , L5 . . . triangulární nebo Trojané
1750, L1 L3 Lagrange, 1770, L1 L5 Euler,
Max Wolf, Achileus 1906 – Jupiter (X)
dX $ d
C
D
L4 . . . Řekové (Achileus, Ajax, Agamemnon, Diomedes, Nestor, Odiseus, Hektor . . . ) L5 . . . Trojané (Anchis, Troil, Aeneas, Primas, Patrokles, . . . ) L4 , L5 . . . Kordilewski mlhovina ...
Tethys (satelit Y) - L4 . . . Telesto, L5 . . . Calipso
Dione (satelit Y) - L4 . . . Helene, L5 . . . Polideukes
L1 – SOHO (Solar Heliospheric Observatory)
L2 – WHAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) J. Webb teleskop (2015) Lilith ?! L3 – antizemě ?!
Variační počet a okrajové úlohy
F pxq
def
»b
F : C 1 pra, bsq Ñ R dF
0 ùñ
fx1
11
d f dt x
0 ÝÑ
a
f pt, xptq, x1 ptqqdt
fx1 |ta 0, fx1 1 |tb 0
rovnice
ÝÑ
okrajová podmínka
Variační počet a okrajové úlohy
F pxq
def
»b
F : C 1 pra, bsq Ñ R dF
0 ùñ
fx1
11
d f dt x
0 ÝÑ
a
f pt, xptq, x1 ptqqdt
fx1 |ta 0, fx1 1 |tb 0
rovnice
ÝÑ
okrajová podmínka
Obecně upaq sin α
u2
hpt, u, u1 q, u1 paq cos α c1 , upbq sin β
Speciálně u2
pp t q u g p t q u1 , upaq c1 , upbq c2
u1 pbq cos β
c2
Geodetické M . . . Riemmanova varieta , dim M gjk . . . metrický tenzor
n
gkj (symetričnost) 2. gjk v j v k ¡ 0 (pozitivní definitnost) Z pP1 P2 q . . . hladká křivka v M popsaná rovnicí xj P C pra, bsq 1. gjk
L
»ba
gki x9 k x9 i dω,
min L
?. . . Φpx , x2 , . . . , xn , x1 , x2 , . . . , xn q r x :
kde
Γrki
Γrki x9 k x9 i
0,
r
a 1
9
1, . . . , n
9
9
okrajová podmínka
. . . Christoffelův symbol
Věta (Waithad 1932). @P0
P M DV : @P1 , P2 P V
existují jediné geodetické
V
Geodetické M . . . Riemmanova varieta , dim M gjk . . . metrický tenzor
n
gkj (symetričnost) 2. gjk v j v k ¡ 0 (pozitivní definitnost) Z pP1 P2 q . . . hladká křivka v M popsaná rovnicí xj P C pra, bsq 1. gjk
L
»ba
gki x9 k x9 i dω,
min L
?. . . Φpx , x2 , . . . , xn , x1 , x2 , . . . , xn q r x :
kde
Γrki
Γrki x9 k x9 i
0,
r
a 1
1, . . . , n
9
9
9
okrajová podmínka
. . . Christoffelův symbol
Věta (Waithad 1932). @P0
P M DV : @P1 , P2 P V existují jediné geodetické V dpP, Qq minpP Qq, pM, dq . . . metrický prostor ùñ topologický prostor stará a nová topologie ðñ Pseudoriemmanova varieta Afinní varieta
Okrajové úlohy u2
f pt, u, u1 q, f P Kloc psa, br R2 ; Rq upaq c1 , upbq c2 pDirichletq 1 1 upaq upbq, u paq u pbq pperiodickáq H. Cartan, E. Cartan, 1939, elektrotechnika Lu2
pr ϕpuqqu1
1 u0 c
u proud, ϕ odpor, sudá, ϕp0q ¡ r, ϕ ×, ϕ Ñ 0 B. Van der Pol, 1926, 1934
A. Liénard, 1928, 1930
u2
εpu2 1qu1
u2
εf puqu1
u0
ω2 u 0
C. Diffiny, 1918, kyvadlo u2
α2 sin u β sin t,
uptq uptq,
existence, jednoznačnost, multiplicita, rezonance . . .
2π-periodické řešení
Asymptotická teorie u2
f pt, uq,
f : r0,
8r R Ñ R 8
chování řešení v okolí Harmonický oscilátor ∆v v2
8π 2 m rE U sv h2
8π 2 m rE U pxqsv h2
0,
0 lim v pxq 0
|x|Ñ 8
Úloha: určit E (U pxq kx2 ) pohyb elektronu kolem jádra y2
41
A x
`p`x2 1q
y
0,
Úloha: najít A: y p0q 0, supt|y pxq| : x ¥ 0u
` 0, 1, 2, . . .
8
oscilatoričnost, neoscilatoričnost, ohraničenost, limtÑ u P L2 pR q, u1 P L2 pR q, . . .
8 uptq 0, monotonnost,
Emden-Fowler Emden, 1907, polytropní plyn, %-hustota, P -tlak, r-poloměr 1 d r2 dr P Substituce: % (5)
ðñ
Φ k n 1
p
Φ2 p r q
Substituce: Φ Φ0 θ, r (5) R-poloměr
ùñ
q
n
k%
. Pak P
2 1 Φ pr q r
ξ
r2 dP % dr n 1 n
,
4πr% 0
k
(5)
¡ 0, n ¡ 0
n%Φ1
α2 Φn prq 0;
Φp0q Φ0 , Φ1 p0q 0, α2
1
n
αΦ0 2
ðñ θ2 pξq
2 1 θ pξ q ξ
ΦpRq 0, %pRq 0
existence rovnovážného stavu
θn
0;
θp0q 1, θ1 p0q 0
(6)
1
ùñ θpξ0 q 0, kde ξ0 αRΦ0 ðñ řešení θ : θpξ0 q 0, θpξq ¡ 0 pro ξ P s0, ξ0 r n
2
Emden-Fowler
Substituce: t 1ξ , uptq θpξ q u2 upt0 q 0, up
8q 1,
t14 un uptq ¡ 0 pro t ¡ 0,
t
lim tu1 ptq 0
Ñ 8
R. H. Fowler, 1914, 1930, 1931 M -masa, M
4π
³R 0
r2 %prqdr
potenciální energie Ω Věta. 0 ¤ n 5
ùñ
M γ R (n 5 je nutná podmínka pro existenci R)
3 5 n
2
řešitelnost (7)
(7)
L. H. Thomas, E. Fermi, 1927, distribuce elektronu u2
?1t u
Úloha: Najít u1 p0q 1.58 . . . E. Fermi 1.589 . . . A. Sommerfeld, 1932 1.588 . . . G. Miranda, 1934
3 2
;
up0q 1, up
8q 1
L. H. Thomas, E. Fermi, 1927, distribuce elektronu u2
?1t u
3 2
;
up0q 1, up
8q 1
Úloha: Najít u1 p0q 1.58 . . . E. Fermi 1.589 . . . A. Sommerfeld, 1932 1.588 . . . G. Miranda, 1934 u2
pptq|u|λ sgn u,
upnq
pptq|u|λ sgn u, u p nq
pt ¥ 0, λ ¡ 0q pt ¥ 0, λ ¡ 0q
f pt, uq
u2 F. V. Atkinson, 1955 Věta. λ ¡ 1, Dµ P r0, 1s : oscilatorické.
³ 0
Š. Belohorec, 1961 Věta. λ P r0, 1s, Dµ ¤ λ : oscilatorické.
³ 0
pptq|u|λ sgn u
8 tµ pptqdt 8. Potom je každé regulární řešení
8 tµ pptqdt 8. Potom je každé regulární řešení
J. Kurzweil, 1960 pλ ¡ 1q; Chiou Kuo-Liang, 1972 pλ P s0, 1rq Věta. p P C pR řešení.
q, pptq 0, t
λ
3 2
|pptq| Õ. Potom existuje regulární oscilatorické
I. Kiguradze, 1962 Věta. λ ¡ 1, p P C pR q, pptq 0 a Dε ¡ 0 : t regulární oscilatorická řešení.
λ
3 2
ε
|pptq| ×. Potom neexistují
α-Laplacian
#
u1
gptq|v|λ
1
u2
sgn v
v 1 hptq|u|λ2 sgn u λ1 λ2
λ1 λ2
λ
1 |u1 |α sgn u1 1 prptq|u|α sgn u
|u1 |α sgn u1 1 f pt, u, u1 q
∆ divpgradq . . . Laplacian ∆α
pptq|u|λ sgn u
divp| grad |α sgnpgradqq . . . α-Laplacian
α
1 λ1
