28

Turingovy stroje

Turingovy stroje 1 – p.1/28

Churchova teze ❖ Churchova (Church-Turingova) teze: Turingovy stroje (a jim ekvivalentní systémy) definují svou výpoˇcetní silou to, co intuitivneˇ považujeme za efektivneˇ vyˇcíslitelné. ˇ odpovídá našim ❖ Churchova teze není teorém, nemužeme ˚ formálneˇ dokazovat, že neco intuitivním pˇredstavám, nicméneˇ je podpoˇrena ˇradou argumentu: ˚

• Turingovy stroje jsou velmi robustní – uvidíme, že jejich ruzné ˇ jejich ˚ úpravy nemení výpoˇcetní sílu (determinismus x nedeterminismus, poˇcet pásek, ...).

• Byla navržena ˇrada zcela odlišných výpoˇcetních modelu˚ (λ-kalkulus, parciálneˇ rekurzívní funkce, Minského stroje, ...), jejichž síla odpovídá Turingovým strojum. ˚

• Není znám žádný výpoˇcetní proces, který bychom oznaˇcili za efektivneˇ vyˇcíslitelný a který by nebylo možné realizovat na Turingoveˇ stroji. a

a Existuj´ı formalizovan´ e v´ ypoˇ cetn´ı procesy, realizovateln´ e napˇr. na TS s or´ akulem (n´ apovˇ edou) rozhoduj´ıc´ım atomicky nˇ ejak´ y Turingovsky nerozhodnuteln´ y probl´ em (napˇr. probl´ em zastaven´ı), kter´ e ale nepovaˇ zujeme za efektivn´ı v´ ypoˇ cetn´ı procesy.


Turinguv ˚ stroj páska: x y z ∆ čtecí/zápisová hlava stavové řízení . . . . . . q1 . q0 Definice 7.1 Turinguv ˚ stroj (TS) je šestice tvaru M = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , qF ), kde:

• • • •

Q je koneˇcná množina vnitˇrních (ˇrídicích) stavu, ˚ Σ je koneˇcná množina symbolu˚ nazývaná vstupní abeceda, ∆ 6∈ Σ, Γ je koneˇcná množina symbolu, ˚ Σ ⊂ Γ, ∆ ∈ Γ, nazývaná pásková abeceda, parciální funkce δ : (Q \ {qF }) × Γ → Q × (Γ ∪ {L, R}), kde L, R 6∈ Γ, je pˇrechodová funkce,

• q0 je poˇcáteˇcní stav, q0 ∈ Q a • qF je koncový stav, qF ∈ Q. Turingovy stroje 1 – p.3/28

Konfigurace Turingova stroje ❖ Symbol ∆ znaˇcí tzv. blank (prázdný symbol), který se vyskytuje na místech pásky, ˇ která nebyla ješteˇ použita (muže ˚ ale být na pásku zapsán i pozdeji). ˇ ❖ Konfigurace pásky je dvojice sestávající z nekoneˇcného ˇretezce reprezentujícího ˇ ˇ jde o prvek množiny obsah pásky a pozice hlavy na tomto ˇretezci – pˇresneji {γ∆ω | γ ∈ Γ∗ } × N. a ❖ Konfiguraci pásky zapisujeme jako ∆xyzz∆x∆∆... (podtržení znaˇcí pozici hlavy). ❖ Konfigurace stroje je pak dána stavem ˇrízení a konfigurací pásky – formálneˇ se jedná o prvek množiny Q × {γ∆ω | γ ∈ Γ∗ } × N. a Pro libovolnou abecedu Σ je Σω mnoˇ zina vˇsech nekoneˇ cn´ ych ˇretˇ ezc˚ u nad Σ, tj. nekoneˇ cn´ ych posloupnost´ı symbol˚ u ze Σ. Pro pˇripomenut´ı: Σ∗ je mnoˇ zina vˇsech koneˇ cn´ ych ˇretˇ ezc˚ u nad Σ.


Pˇrechodová relace TS ˇ ˇ ❖ Pro libovolný ˇretezec γ ∈ Γω a cˇ íslo n ∈ N oznaˇcme γn n-tý symbol daného ˇretezce a ˇ ˇ který vznikne z γ zámenou γn za b. oznaˇcme sn b (γ) ˇretezec, ❖ Krok výpoˇctu TS M definujeme jako nejmenší binární relaci ⊢ takovou, že M

ω

∀q1 , q2 ∈ Q ∀γ ∈ Γ ∀n ∈ N ∀b ∈ Γ:

• (q1 , γ, n) ⊢ (q2 , γ, n + 1) pro δ(q1 , γn ) = (q2 , R) – operace posuvu doprava pˇri γn M

pod hlavou,

• (q1 , γ, n) ⊢ (q2 , γ, n − 1) pro δ(q1 , γn ) = (q2 , L) a n > 0 – operace posuvu doleva M

pˇri γn pod hlavou a

• (q1 , γ, n) ⊢ (q2 , snb (γ), n) pro δ(q1 , γn ) = (q2 , b) – operace zápisu b pˇri γn pod M

hlavou.


Výpoˇcet TS ❖ Výpoˇcet TS M zaˇcínající z konfigurace K0 je posloupnost konfigurací K0 , K1 , K2 , ...,

• ve které Ki ⊢ Ki+1 pro všechna i ≥ 0 taková, že Ki+1 je v dané posloupnosti, a M

• která je bud’ – nekoneˇcná, a nebo – koneˇcná s koncovou konfigurací (q, γ, n), pˇriˇcemž rozlišujeme následující typy zastavení TS: 1. normální – pˇrechodem do koncového stavu, tj. q = qF , a 2. abnormální, kdy q 6= qF a: (a) pro (q, γn ) není δ definována, nebo ˇ pozici pásky a dojde k posunu doleva, tj. n = 0 a (b) hlava je na nejlevejší ˇ δ(q, γn ) = (q ′ , L) pro nejaké q ′ ∈ Q.


Poznámka – alternativní definice TS ˇ ❖ Používají se i nekteré alternativní definice TS, u kterých se dá snadno ukázat vzájemná pˇrevoditelnost:

• namísto jediného qF je povolena množina koncových stavu, ˚ • namísto qF je zavedena dvojice qaccept a qreject , • na prvním políˇcku pásky je napevno“ zapsán symbol konce pásky, z nehož ˇ není možný posun doleva,

”

• pˇri zavedení obou pˇredchozích bodu˚ je δ obvykle definovaná jako totální funkce, • pˇrepis a posuv hlavy jsou spojeny do jedné operace • apod.


Grafická reprezentace TS ❖ Grafická reprezentace pˇrechodu (x – co se cˇ te, s – zápis/L/R):

❖ Grafická reprezentace poˇcáteˇcního a koncového stavu:

p

p

x/s

q

qF

Pˇríklad 7.1 TS, který posouvá hlavu doprava na první ∆ poˇcínaje aktuální pozicí (napˇr. ∆aab∆... −→ ∆aab∆...): a/R

p

∆/∆

q

b/R


Modulární konstrukce TS ˇ celky. ❖ Modulární konstrukce TS: spojování (kombinace) jednodušších TS ve složitejší x/R

Pˇríklad 7.2 Uvažme tˇri následující komponenty: M1: (R)

• M1 pˇresune hlavu o jeden symbol doprava:

y/R

s

t

∆/R

∆/R x/R

• M2 nalezne první výskyt symbolu x vpravo (od aktuální pozice hlavy):

M2:

l

(Rx)

y/R

x/x

m

n

∆/R y/R ∆/R x/R

• M3 nalezne první výskyt symbolu y vpravo: M3: (Ry)

p

y/R

y/y

q

r

∆/R x/R Turingovy stroje 1 – p.9/28

Následující kombinací M1 , M2 a M3 vznikne TS M , který nalezne druhý výskyt (neblankového) symbolu od poˇcáteˇcní pozice. V pravé cˇ ásti obrázku je T zapsán v podobeˇ tzv. kompozitního diagramu: ∆/R

m

l x/R

x/R

M:

s

y/R

x/x

y/R t

∆/R

y/R p

∆/∆ x/x

x

y/y ∆/∆

∆/R

q

n

M1 ∆/∆ x/x

y/y

M2

y

M3

y/y r

x/R


Kompozitní diagram TS ❖ Konvence pro zjednodušený zápis kompozitního diagramu: ˇ pˇredání ˇrízení – sekvence stroju: ˚ 1. Nepodmínené což cˇ asto zkracujeme na

A

B

C,

ABC .

• Odchozí šipky musí navazovat na poslední stroj v sekvenci, pˇrí-

ABC

chozí mohou navazovat na kterýkoliv z nich (sekvence se pak provádí od pˇríslušné pozice). ˇ ˇ ˇ 2. Podmínené pˇredání ˇrízení – podmínená sekvence, vetvení:

x

A

x

B

M1 y

• • •

M2

x

M2

M1 M3

x

M3

ˇ Na šipce podmíneného pˇredání ˇrízení muže ˚ být seznam symbolu˚ (x, y, ...). ˇ Seznamy symbolu˚ podmínených pˇredání ˇrízení z jednoho bloku musí být disjunktní. ˇ ˇ Pokud nekterý symbol není pokryt žádnou šipkou podmíneného pˇredání ˇrízení a vyskytne se pod cˇ tecí hlavou, výsledný stroj automaticky pˇrejde do koncového stavu, tj. pˇrijme (!). Turingovy stroje 1 – p.11/28

3. Parametrová konvence – používá se tehdy, je-li více ruzných ˚ symbolu˚ zpracováváno stejným zpusobem. ˚

• Používá se notace x,y,z

ω

, kde ω nabývá hodnoty toho symbolu

z {x, y, z}, který je pod cˇ tecí hlavou v okamžiku pˇríslušného pˇredání ˇrízení. • Zkrácený zápis vytvoˇrený pomocí parametrové konvence je možné rozvinout podobneˇ jako u maker vytvoˇrením samostatné kopie pˇríslušné cˇ ásti stroje pro každý uvažovaný symbol.

ω Pˇríklad 7.3 Pˇri použití parametrové konvence je TS

M1

ω

x,y

M2

x ekvivalentní (je zkratkou) pro následující konstrukci:

M1

x

M2

y

M2 y


Základní stavební bloky TS ❖ Uvažujme Γ = {x, y, ∆}, mezi základní stavební bloky TS obvykle patˇrí následující stroje (lze je snadno upravit pro libovolnou jinou Γ): 1. Stroje L, R, x: x/R

x/L y/L

L:

x/x

y/R

R:

y/x

x:

∆/R

∆/L

∆/x

doprava

doleva

na aktuální pozici zapiš x

Pˇríklad 7.4 Stroj

R y L neboli RyL transformuje pásku ∆xyxyx∆∆... na ∆xyxyxy∆...

2. Stroje Lx , Rx , L¬x a R¬x : y

Lx:

L ∆

x

y

Rx:

R ∆

L x:

L

x

R x:

R


ˇ 3. Stroje SR a SL pro posuv (shift) obsahu pásky: Stroj SR posune rˇetezec neblankových symbolu˚ nacházejících se vlevo od aktuální pozice hlavy o jeden ˇ symbol doprava. Stroj SL funguje podobne.

SR:

x,y

∆L ∆ R

ω

L ∆

x,y

σ

RσL

R∆R∆ω

ˇ Pˇríklad 7.5 Cinnost stroju˚ SR a SL si mužeme ˚ pˇriblížit na následujících pˇríkladech: SR • ∆xyyxx∆∆... −→ ∆∆xyyx∆∆... SR • ∆yxy∆∆xxy∆... −→ ∆∆yxy∆xxy∆... SR • xy∆yx∆∆... −→ xy∆∆x∆∆... SL • ∆yyxx∆∆... −→ ∆yxx∆∆∆...


Pˇríklady TS Pˇríklad 7.6 Kopírovací stroj – transformuje ∆w∆ na ∆w∆w∆:

R∆R∆L∆L∆

R

ω

x,y

∆R∆R∆ωR∆L∆L∆ω

ˇ u: Pˇríklad 7.7 Generování ˇretezc ˚

• Následující stroj generuje postupneˇ všechny ˇretezce ˇ nad {x, y, z} v uspoˇrádání ε, x, y, z, xx, yx, zx, xy, yy, zy, xz, yz, zz, xxx, yxx, ....

• Pˇredpokládáme, že stroj zaˇcíná s konfigurací pásky ∆w∆..., kde w je ˇretezec ˇ uvedené posloupnosti, od kterého generování zapoˇcne.

∆ R

x y

x y

L∆

z

z x


ˇ Pˇríklad 7.8 Stroj dekrementující kladné cˇ íslo zapsané ve dvojkové soustave:

0 R∆

L

1 0

0L∆R 1

0

SL 1

∆

0L

1


Turingovy stroje jako akceptory jazyku˚


Jazyk pˇrijímaný TS Definice 7.2 ˇ ezec ˇ w ∈ Σ∗ je pˇrijat TS M = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , qF ), jestliže M pˇri aktivaci z 1. Ret poˇcáteˇcní konfigurace pásky ∆w∆... a poˇcáteˇcního stavu q0 zastaví pˇrechodem do ∗

ˇ koncového stavu qF , tj. (q0 , ∆w∆ , 0) ⊢ (qF , γ, n) pro nejaké γ ∈ Γ∗ a n ∈ N. ω

M

2. Množinu L(M ) = {w | w je pˇrijat TS M } ⊆ Σ∗ nazýváme jazyk pˇrijímaný TS M . Pˇríklad 7.9 Pro níže uvedený TS M platí L(M ) = {xn y n z n | n ≥ 0}: L# #

R

x

z y

SL

x

y,z R

y

SL

z

x ∆,z

y

R ∆,z ∆,x

y R ∆,x

SL z

∆

x,y

L #

Stroj pracuje takto: xn y n z n → xn−1 y n z n → xn−1 y n−1 z n → ...ε. Turingovy stroje 1 – p.18/28

Pˇrijímání zvláštní konfigurací pásky ˇ ❖ Alternativneˇ mužeme ˚ pˇrijetí ˇretezce TS definovat tak, že TS zaˇcíná s konfigurací pásky ∆w∆... a zastaví s konfigurací pásky ∆Y ∆..., Y ∈ Γ \ Σ, (Y znaˇcí Yes). ˇ 7.1 Máme-li TS M , který pˇrijímá L(M ) pˇrechodem do qF , mužeme ˚ vždy sestrojit Veta stroj M ′′ , který bude pˇrijímat L(M ) zastavením s konfigurací pásky ∆Y ∆.... Dukaz. ˚ (Idea)

M’’:

R∆SRR*L∆L#R

M’

R*

∆L #

#

∆RYL • M ′ zaˇcíná s páskou #∆w ∗ ∆.... • M ′ sestrojíme doplnením ˇ M o pˇrechody, které ˇreší nájezd na ∗: Pˇri cˇ tení symbolu ˇ ∗ je tˇreba zvetšit pracovní prostor – aktivujeme podstroj ∆R ∗ L. 2 ❖ Snadno lze pˇrejít i opaˇcneˇ od pˇrijímání konfigurací pásky ∆Y ∆... k pˇrijímání pˇres qF .


Poznámka 7.1

• Uvedomme ˇ si, že na TS lze také nahlížet jako na výpoˇcetní mechanismy implementující funkce Σ∗ → Γ∗ tím, že transformují poˇcáteˇcní neblankový prefix své pásky na jiný neblankový prefix pˇri pˇrechodu do koncového stavu.

• Vzhledem k tomu, že TS nemusí každý svuj ˚ vstup pˇrijmout, jsou funkce jimi implementované obecneˇ parciální.

• Blíže se budeme vyˇcíslováním funkcí TS zabývat dále.


Vícepáskové Turingovy stroje


Vícepáskové TS ❖ Uvažujme TS, který má k pásek s páskovými abecedami Γ1 , Γ2 , ..., Γk a k odpovídajících hlav s pˇrechodovou funkcí tvaru [ {i} × (Γi ∪ {L, R}), δ : (Q \ {qF }) × Γ1 × Γ2 × ... × Γk −→ Q × i∈{1,...,k}

kde i znaˇcí pásku, na kterou se zapisuje (na které se posouvá hlava). ˇ 7.2 Pro každý k-páskový TS M existuje jednopáskový TS M ′ takový, že Veta L(M ) = L(M ′ ). Dukaz. ˚ (idea)

x y x x x y y y

y y x x

x ∆ x ∆

y ∆ y ∆

x 1 y ∆

x ∆ y 1

y y x x 1 ∆ ∆ ∆ Nový páskový symbol

Dukaz ˚ pokraˇcuje dále. Turingovy stroje 1 – p.22/28

Pokraˇcování dukazu. ˚ Dukaz ˚ provedeme tak, že ukážeme algoritmus pˇrevodu na ekvivalentní jednopáskový TS:

• Pˇredpokládáme, že pˇrijímaný ˇretezec ˇ je u k-páskového stroje na poˇcátku zapsán na první pásce, všechny ostatní pásky jsou prázdné a všechny hlavy jsou na ˇ pozici. nejlevejší

• Puvodních ˚ k pásek simulujeme rozšíˇrením páskové abecedy o 2k-tice, v nichž )-ní pásky a na pozici i + 1 je ∆ vždy i-tá složka pro liché i reprezentuje obsah ( i+1 2 nebo 1 podle toho, zda se na ní nachází pˇríslušná hlava cˇ i nikoliv.

• Poˇcet naˇcítaných kombinací symbolu˚ v puvodním ˚ automatu je koneˇcný a tudíž si výše uvedené rozšíˇrení mužeme ˚ skuteˇcneˇ dovolit.

• Pˇri simulaci k-páskového TS pak nejprve pˇrevedeme puvodní ˚ obsah první pásky na ekvivalentní obsah zakódovaný v 2k-ticích a pak každý krok simulujeme ˇ nekolika kroky.

• Pˇri simulaci využíváme stavy ve formeˇ (k + 1)-tic, kde první složka je stav puvodního ˚ TS a ostatní složky jsou aktuálneˇ cˇ tené symboly.

• Pˇri rozhodování o dalším kroku pak bereme na zˇretel pˇredevším tento stav, aktuální naˇcítaný symbol není duležitý ˚ a vždy se pˇri cˇ tení pˇremístíme na speciální pozici nalevo od užiteˇcného obsahu pásky. Dukaz ˚ pokraˇcuje dále. Turingovy stroje 1 – p.23/28

Pokraˇcování dukazu. ˚

• Po rozhodnutí o dalším kroku najedeme“ doprava na pozici, na které je simulovaná ” ˇ a vrátíme se hlava pásky, která se má modifikovat, provedeme pˇríslušnou zmenu ˇ doleva. zpet

• Za nový aktuální stav považujeme (k + 1)-tici danou novým stavem simulovaného TS a k-ticí pˇrevzatou z puvodního ˚ stavu nového TS modifikovanou na místeˇ modifikované pásky.

• Navíc je nutné korektneˇ simulovat pˇrepadnutí“ hlavy na kterékoliv pásce a pˇrevod ” dosud nevyužitých míst pásky s ∆ na odpovídající 2k-tici blank symbolu. ˚

• Pˇri ˇrádné formalizaci popsaného algoritmu pak není težké ˇ ukázat, že výsledný TS skuteˇcneˇ simuluje puvodní ˚ TS. 2 ˇ ❖ Záver: ˇ ˇ Zvetšení pamet’ových možností TS nerozšiˇruje jejich schopnosti pˇrijímat jazyky!


Nedeterministické Turingovy stroje


Nedeterministické TS Definice 7.3 Nedeterministický TS je šestice M = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , qF ), kde význam jednotlivých složek je shodný s deterministickým TS až na δ, jež má tvar: δ : (Q \ {qF }) × Γ −→ 2Q×(Γ∪{L,R}) ˇ u˚ w ∈ Σ∗ Definice 7.4 Jazyk L(M ) NTS M = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , qF ) je množina rˇetezc takových, že M pˇri aktivaci z q0 pˇri poˇcáteˇcním obsahu pásky ∆w∆... muže ˚ zastavit pˇrechodem do qF . ˇ 7.3 Pro každý NTS M existuje DTS M ′ takový, že L(M ) = L(M ′ ). Veta Dukaz. ˚ (idea) • NTS M budeme simulovat tˇrípáskovým DTS. Význam jednotlivých pásek tohoto stroje je následující: – Páska 1 obsahuje pˇrijímaný vstupní ˇretezec. ˇ – Páska 2 je pracovní páska. Obsahuje kopii pásky 1 ohraniˇcenou vhodnými ˇ speciálními znaˇckami. Po neúspešném pokusu o pˇrijetí je její obsah smazán a obnoven z první pásky. – Páska 3 obsahuje kódovanou volbu posloupností pˇrechodu; ˇ ˚ pˇri neúspechu bude její obsah nahrazen jinou posloupností. Dukaz ˚ pokraˇcuje dále. Turingovy stroje 1 – p.26/28

Pokraˇcování dukazu. ˚

• Zvolená posloupnost pˇrechodu˚ je kódována posloupností cˇ ísel pˇriˇrazených pˇrechodum ˚ simulovaného stoje.

• Jednotlivé posloupnosti pˇrechodu˚ na pásce 3 je možno generovat modifikovaným ˇ u˚ ε, x, y, z, xx, .... TS pro generování posloupnosti ˇretezc

• Vlastní simulace probíhá takto: 1. 2. 3. 4.

Okopíruj obsah pásky 1 na pásku 2. Generuj pˇríští posloupnost pˇrechodu˚ na pásce 3. Simuluj provedení posloupnosti z pásky 3 na obsahu pásky 2. Vede-li zkoumaná posloupnost do qF simulovaného stroje, zastav – vstupní ˇretezec ˇ je pˇrijat. V opaˇcném pˇrípadeˇ smaž pásku 2 a vrat’ se k bodu 1.

• Není obtížné nahlédnout, že jazyk takto vytvoˇreného stroje odpovídá jazyku puvodního ˚ NTS. 2 ˇ ❖ Záver: Zavedením nedeterminismu do TS se nezvyšují jejich schopnosti pˇrijímat jazyky!


Poznámka ke kompozitním diagramum ˚ ❖ Vícepáskové a/nebo nedeterministické TS lze také popisovat kompozitními diagramy. ❖ U vícepáskových TS:

• znaˇcíme pˇri podmíneném ˇ pˇredání ˇrízení horním indexem u symbolu, ze které pásky se pˇríslušný symbol cˇ te (napˇr. x1 , y 2 apod.),

• lze se odkazovat na symboly na více páskách souˇcasneˇ použítím notace x1 y 2 ... oznaˇcující, že na první pásce se cˇ te symbol x, na druhé y atd.,

• základní stavební bloky (R, L, ...) indexujeme rovnež ˇ horním indexem pro oznaˇcení, se kterou páskou pracují (tj. R1 , L1 , ...). ˇ ˇ ˇ ❖ U NTS odpadají omezení na to, aby se ruzné ˚ vetve podmíneného cˇ i nepodmíneného pˇredání ˇrízení vzájemneˇ vyluˇcovaly.


28

Recommend Documents