2016 Azwar Anas, M. Kom - STIE-GK Muara Bulian 1 TEORI ANTRIAN

11/1/2016

Azwar Anas, M. Kom - STIE-GK Muara Bulian

TEORI ANTRIAN

1

11/1/2016


2

Pendahuluan Perhatikan beberapa situasi berikut ini: • Kendaraan berhenti berderet-deret menunggu di traffic light • Pesawat menunggu lepas landas di bandara • Mesin rusak antri untuk diperbaiki di sebuah bengkel • Surat antri untuk diketik oleh sekretaris • Program menunggu diproses oleh komputer digital

11/1/2016


3

• Pelopor penyusunan teori antrian adalah A.K Erlang,

seorang insinyur Denmark pada tahun 1909. ia bekerja di sebuah perusahaan telepon dan melakukan percobaan yang melibatkan fluktuasi permintaan sambungan telepon serta pengaruhnya pada peralatan telepon switching. Sebelum Perang Dunia II studi awal sudah berkembang di lingkungan antrian yang lebih umum.

11/1/2016


4

Tujuan Model Antrian dan Tingkah Laku Biaya • Hubungan antara elemen yang terlibat dalam persoalan

Biaya waktu tunggu

antrian dapat digambarkan secara grafis sebagai berikut.

Peningkatan pelayanan

11/1/2016


5

• Pada gambar, tampak bahwa bila tingkat pelayanan naik,

biaya waktu menunggu akan berkurang. • Misalkan kita mengetahui biaya tunggu (waiting cost) yang melekat pada seorang individu menganggur dalam sistem pelayanan sebesar Cw dan rata-rata individu yang menunggu dalam suatu sistem sebesar nt , maka total biaya tunggu yang diharapkan per periode waktu adalah: • E(cw ) = nt x cw

11/1/2016


6

Contoh • Diketahui biaya menunggu (mencakup biaya

menganggurnya para karyawan, kehilangan penjualan, kehilangan kepercayaan dalam manajemen) adalah $2 per jam. Bila jumlah rata-rata individu dalam sistem adalah 5 orang, maka total biaya tunggu yang diharapkan sebesar: • E(cw ) = nt x cw = 5(2) = $10 per jam

11/1/2016


7

• Walaupun biaya menunggu bisa dikurangi dengan

menambahkan fasilitas pelayanan, tetapi di sisi lain biaya penyediaan pelayanan akan naik juga. Dengan asumsi biaya penambahan fasilitas pelayanan adalah linier (cs ) dan jumlah fasilitas pelayanan adalah “s” maka dapat dihitung total biaya pelayanan yang diharapkan per periode adalah : • E(cs ) = s x cs

11/1/2016


8

Contoh 2 • Bila biaya per periode waktu per fasilitas pelayanan adalah $12

•

• •

•

per jam dan jumlah fasilitas pelayanan adalah 3 unit, maka total biaya pelayanan yang diharapkan sebesar: E(cs ) = s x cs = 3(12) = $36 per jam. Jika kedua biaya di atas digabungkan maka akan diperoleh total biaya yang diharapkan per periode waktu yaitu: E(ct ) = E(cw ) + E(cs ) Sehingga untuk kasus di atas total biaya yang diharapkan adalah sebesar $36 per jam. Parameter nt hanya valid untuk sistem dengan 3 fasilitas saja, bila ada penambahan atau pengurangan maka perlu dihitung kembali nt yang baru.

11/1/2016


9

Elemen Dasar Model Antrian • Sifat pemanggilan populasi

• Bagian dari sistem antrian ini mempunyai tiga sifat yang

akan kita uraikan. 1. Besar kecilnya pemanggilan populasi 2. Sifat kedatangan dari pemanggilan populasi 3. Tingkah laku pemanggilan populasi

11/1/2016


10

Besar kecilnya pemanggilan populasi • Pemanggilan populasi bisa terbatas bisa pula tidak

terbatas. Bila populasi relatif besar sering dianggap bahwa hal itu merupakan besaran yang tak terbatas. Contoh sehari-hari antara lain adalah mobil yang tiba di gerbang tol, pasien yang datang ke UGD, 20.000 mahasiswa yang berderet pada hari pendaftaran. • Sebaliknya pemanggilan populasi yang terbatas contohnya adalah tiga mesin tenun dalam pabrik pemintalan yang memerlukan pelayanan operator secara terus-menerus atau empat mobil dari sebuah perusahaan kecil secara berkala mengunjungi fasilitas reparasi.

11/1/2016


11

Sifat kedatangan dari pemanggilan populasi • Subjek pemanggilan populasi bisa tiba pada fasilitas pelayanan

dalam beberapa pola tertentu, bisa juga secara acak. Bila kedatangan secara acak, kita harus tahu probabilitas melalui waktu antar kedatangan. Analisis riset operasi telah mendapati bahwa kedatangan acak paling cocok diuraikan menurut distribusi Poisson. • Syarat-syarat distribusi Poisson: 1. Pastikan bahwa proses kedatangan bersifat acak, jika hal ini terpenuhi maka kemungkinan besar pola kedatangan mengikuti distribusi Poisson. 2. Rata-rata jumlah kedatangan per interval waktu sudah diketahui dari pengamatan sebelumnya. 3. Bila kita bagi interval waktu ke dalam interval yang lebih kecil, maka pernyataan-pernyataan ini harus terpenuhi:

11/1/2016


12

a) Probabilitas tepat satu kedatangan adalah sangat kecil

dan konstan b) Probabilitas dua kedatangan atau lebih selama interval waktu tersebut angkanya sangat kecil sekali, sehingga bisa dikatakan sama dengan nol c) Jumlah kedatangan pada interval waktu tersebut tidak tergantung pada kedatangan di interval waktu sebelum dan sesudahnya.

11/1/2016


13

Tingkah laku pemanggilan populasi • Ada tiga istilah yang biasa digunakan dalam antrian untuk

menggambarkan tingkah laku pemanggilan populasi: 1. Tidak mengikuti (renege), yakni bila seseorang bergabung dalam antrian dan kemudian meninggalkannya 2. Menolak (balking), berarti serta-merta tidak mau bergabung 3. Merebut (bulk), menunjukkan kondisi di mana kedatangan terjadi secara bersama-sama ketika memasuki sistem sehingga seseorang berebut menyerobot ke depan.

11/1/2016


MODEL-MODEL SISTEM ANTRIAN

14

11/1/2016


15

Notasi Model Antrian • Karakteristik dan asumsi antrian dirangkum dalam bentuk

• • • •

• • •

notasi. Notasi standar yang digunakan adalah sebagai berikut: (a/ b/ c/ d/ e) Dimana simbol a, b, c, d dan e merupakan elemen dasar dari model antrian: a = distribusi kedatangan b = distribusi waktu pelayanan c = jumlah fasilitas pelayanan (s = 1, 2, 3, …, ∞) d = jumlah konsumen maksimum dalam sistem e = ukuran pemanggilan populasi atau sumber.

11/1/2016


16

• Notasi standar untuk simbol a dan b sebagai distribusi

• •

• • •

•

kedatangan dan waktu pelayanan mempunyai kode sebagai berikut: M = Poisson untuk distribusi kedatangan atau waktu pelayanan D = interarrival atau service time konstan (deterministik) Ek = interarrival atau service time berdistribusi Erlang atau Gamma Sebagai ilustrasi, perhatikan notasi berikut (M/D/5/N/ ∞) Notasi tersebut berarti kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan konstan, dan terdapat 5 buah fasilitas pelayanan. Jumlah konsumen dibatasi sebanyak N dan sumber populasi tak terbatas.

11/1/2016


17

Model 1: (M/ M/ 1/ 1/ ∞/ ∞) • Model antrian yang kita sajikan akan berguna bila kondisi-

kondisi berikut dipenuhi: 1. Jumlah kedatangan tiap satuan waktu mengikuti distribusi Poisson 2. Waktu pelayanan berdistribusi eksponensial 3. Disiplin antrian yang pertama datang pertama dilayani (FCFS) 4. Ada jalur tunggal 5. Sumber populasi tak terbatas 6. Panjang antrian tidak terbatas.

11/1/2016


18

• Bila syarat-syarat tersebut dipenuhi kita bisa menganalisis

• • • • • •

• • •

sistem antrian melalui rangkaian persamaan yang telah diderivasikan. Persamaan-persamaan ini menggunakan notasinotasi berikut: λ = tingkat rata-rata kedatangan per satuan waktu (unit/waktu) µ = tingkat rata-rata pelayanan per satuan waktu (unit/waktu) Lq = rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit) Wq = rata-rata waktu dalam antrian (jam) Ws = rata-rata waktu dalam sistem (jam) Pn = probabilitas terdapat n individu dalam sistem (frekuensi relatif) P0 = probabilitas tidak ada individu dalam sistem (frekuensi relatif) Pw = probabilitas menunggu dalam sistem (frekuensi relatif) 𝜌 = tingkat kegunaan fasilitas sistem atau utilitas (rasio)

11/1/2016


19

Persamaan Model (M/ M/ 1/ ∞/ ∞) λ2

• Lq = • Ls = • •

𝜇 𝜇−λ

λ 𝜇−λ

λ

Pn =

𝜇

Ws =

• Wq = •𝜌=

𝑛

λ 𝜇

1−

1

𝜇−λ

λ 𝜇 𝜇−λ

λ 𝜇

11/1/2016


20

Example • Sebuah minimarket mempunyai satu cash register dan

satu orang petugas kasir untuk mengoperasikannya dalam transaksi pembayaran terhadap konsumen. Konsumen harus antri dalam satu jalur di depan kasir untuk membayar belanjaannya. Tingkat rata-rata kedatangan konsumen λ = 24 per jam dan sesuai dengan distribusi Poisson. Waktu pelayanan berdistribusi eksponensial dengan tingkat rata-ratanya adalah µ = 30 konsumen per jam. Manajer minimarket ingin mengevaluasi karakteristik operasional dari sistem antrian tersebut. Tentukan:

11/1/2016


a) Probabilitas tidak ada konsumen dalam sistem!

b) Rata-rata jumlah konsumen dalam antrian! c) Rata-rata jumlah konsumen dalam sistem! d) Rata-rata waktu dalam antrian! e) Rata-rata waktu dalam sistem! f)

Tingkat kegunaan fasilitas cash register !

21

11/1/2016


22

Answer a) Probabilitas tidak ada konsumen berarti n = 0 (kasir

menganggur) sehingga

Pn = P0 =

λ

𝑛

𝜇 24 0 30

1−

λ 𝜇

1−

24 30

= 1. 1 − 0,8 = 0,2

b) Rata-rata jumlah konsumen dalam antrian

242 Lq = = = 3,2 konsumen. 𝜇(𝜇−λ) 30(30−24) c) Rata-rata jumlah konsumen dalam sistem λ2

Ls =

λ 𝜇−λ

=

24 30−24

= 4 konsumen.

11/1/2016


d) Rata-rata waktu dalam antrian

Wq =

λ 𝜇 𝜇−λ

=

24 30 30−24

= 0,133 jam (8 menit)

e) Rata-rata waktu dalam sistem

Ws = f)

1

𝜇−λ

=

1 (30−24)

= 0,167 jam (10 menit).

Tingkat kegunaan fasilitas cash register 𝜌=

λ 𝜇

=

24 30

= 0,8 (80%).

23

11/1/2016


24

• Perhatikan bahwa tingkat kegunaan sama dengan

probabilitas konsumen harus antri terlebih dahulu untuk dilayanai. Ini biasa disebut juga sistem dalam keadaan sibuk. Perlu diperhatikan juga bahwa karakteristikkarakteristik operasional adalah rata-rata yang dihasilkan atas keseluruhan periode waktu dan tidak mutlak. Dengan kata lain konsumen yang datang di minimarket tidak dijumpai 3,2 konsumen dalam antrian, hal ini bisa terjadi tidak ada konsumen, atau 1, 2, 3 dan 4 konsumen. Nilai 3,2 adalah menyatakan rata-rata atas keseluruhan waktu.

11/1/2016


25

Exercise 1. Buat latihan sendiri lengkap dengan soal cerita dan

angka sendiri, buat di kertas lembar, lengkapi dg nama !

2016 Azwar Anas, M. Kom - STIE-GK Muara Bulian 1 TEORI ANTRIAN

Recommend Documents