Teori Antrian. Prihantoosa Pendahuluan. Teori Antrian : Intro p : 1

Pendahuluan

Teori Antrian

Prihantoosa [email protected] [email protected]

Last update : 14 November 2009 | version 1.0

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p:1

Tujuan ●

●

Tujuan : Meneliti kegiatan dan fasilitas pelayanan dalam rangkaian kondisi acak dari suatu sistem antrian yang terjadi Tinjauan pengukuran logis : – –

●

●

Berapa lama pelanggan harus menunggu sebelum akhirnya mendapatkan pelayanan Berapa persenkah dari waktu yang disediakan untuk memberikan pelayanan suatu fasilitas pelayanan dalam kondisi menganggur/iddle

Elemen dasar : Pelanggan dan Pelayan Waktu pelayanan harus dapat dihitung, kemudian waktu pelanggan datang dan waktu pelayanan dapat dinyatakan dalam distribusi probabilitas



p:2

Struktur Sistem Antrian

1 2 Pelanggan masuk ke dalam sistem antrian

Garis tunggu atau antrian

3 n

Fasilitas pelayanan

Pelanggan keluar dari sistem

Sistem antrian http://openstat.wordpress.com


p:3

Kejadian Antrian ●

Kendaraan yang menunggu jalan di trafic light

●

Pembeli yang antri di kasir supermarket

●

Pasien yang sedang menunggu di periksa di klinik

●

Program komputer yang menunggu di proses oleh processor

●

Tumpukan surat yang harus diketik oleh seorang sekretaris

●

dll



p:4

Faktor Sistem Antrian ●

Distribusi Kedatangan

●

Distribusi Waktu Pelayanan

●

Fasilitas Pelayanan

●

Disiplin Pelayanan

●

Ukuran dalam antrian

●

Sumber pemanggilan



p:5

Faktor Sistem Antrian (2) ●

Distribusi Kedatangan – –

●

Distribusi waktu pelayanan – –

●

Kedatangan secara individu (single arrivals) Kedatangan secara berkelompok (bulk arrivals) Pelayanan secara individual (single services) Pelayanan secara kelompok (bulk services)

Fasilitas Pelayanan – – –

Bentuk series dalam satu garis lurus atau garis melingkar Bentuk paralel dalam beberapa garis lurus yang sejajar Bentuk jaringan/network station yang dapat di desain secara series dengan pelayanan lebih dari satu pada setiap stasiun atau secara paralel dengan stasiun yang berbeda-beda



p:6

Proses Antrian ●

Masukan (Input) : – –

●

Pola kedatangan yang dapat dinyatakan dalam distribusi peluang seperti poisson dan eksponensial Pola kedatangan yang tidak dapat dinyatakan dalam distribusi peluang

Keluaran (Output) : – –

Setelah mendapatkan pelayanan dengan baik, pelanggan akan segera meninggalkan fasilitas pelayanan Proses pelayanan pada umumnya menggunakan distribusi peluang eksponensial negatif dan poisson



p:7



p:8

Notasi Dalam Sistem Antrian ● ● ●

●

● ● ●

●

●

●

● ● ●

n = jumlah pelanggan dalam sistem Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktu μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam sistem W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian 1/ μ = waktu rata-rata pelayanan 1/ λ = waktu rata-rata antar kedatangan S = jumlah fasilitas pelayanan



p:9

Single Channel Model (M/M/1) ●

●

●

M pertama: rata-rata kedatangan yang mengikuti distribusi probabilitas Poisson M kedua: tingkat pelayanan yang mengikuti distribusi probabilitas Poisson 1: jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem atau satu saluran



p : 10

Asumsi M/M/1 ● ●

Populasi input tidak terbatas Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti distribusi Poisson

●

Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS

●

Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal

●

Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson (λ < μ)

●

Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas

●

Tidak ada penolakan maupun pengingkaran



p : 11

Contoh Soal UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah: 1) 2) 3) 4) 5)

Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian



p : 12

Jawaban Soal

Diketahui: λ = 20, μ = 25 p = λ / μ = 20/25 = 0.80 Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dari waktunya (1-p) untuk istirahat L = λ / (μ – λ) = 20 / (25-20) = 4, atau L = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4 Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam sistem



p : 13

Lq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2 Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan W = 1 / (μ – λ) = 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menit Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit Wq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau 9.6 menit Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit http://openstat.wordpress.com


p : 14

Pelayanan Tunggal (Single Server) (M / M / 1) ; ( GD / ∞ /∞ ) Unlimited Queue Distribusi Poisson For Arrival Distribusi Poisson/Expo For Service

●

●

First Come First Serve

Single Server

Asumsi : Tidak ada hubungan/ketergantungan antara proses kedatangan dengan proses layanan Notasi : λ rasio kedatangan (banyak antrian / waktu); µ rasio layanan (banyak yang sedang antri / waktu ); ρ utilisasi sistem : λ / µ = Pr < 1 http://openstat.wordpress.com


p : 15

Notasi Pr : Prob. Sistem dalam keadaan sibuk (ρ) Po : Prob. Sistem dalam keadaan idle (Po = 1-Pr) Pn : Prob ada n pelanggan dalam sistem Ls : Jumlah yang diharapkan berada di dalam sistem (queue & serve) = /− Lq : Jumlah yang diharapkan dalam antrian = 2 / − Ws : Expected time dalam sistem = 1/− Wq : Expected time dalam queue = /− Wn : Expected time dalam queue untuk non empty queue = 1/−

Ln : Expected number dalam queue = /−



p : 16

Latihan Soal ●

Sebuah Airport dapat menerima 2 pesawat dalam kurun waktu 3 menit dengan variasi mengikuti distribusi poisson. Rata-rata waktu tunggu mempunyai distribusi exponential sebesar 5 menit – – –

Berapa rata-rata waktu antar kedatangan pesawat ? Berapa peluang sistem dalam keadaan sibuk guna melayani pesawat-2 tersebut ? Berapa jumlah rata-rata pesawat yang dapat dilayani dalam sistem ?



p : 17

Kronologis Simulasi Antrian



p : 18

Tab A. 8.1 Waktu Antar Kedatangan (menit) Customer

Antar Kedatangan

Jam Waktu Kedatangan

1

0

0

2

2

2

3

4

6

4

1

7

5

2

9

6

6

15



p : 19

Tabel A. 8.2 Waktu Service (menit)

Customer 1 2 3 4 5 6


Waktu Pelayanan 2 1 3 2 1 4


p : 20

Tabel A.8.3 Hasil Simulasi

Nomor Customer

Awal Pelayanan (Jam) 0

Waktu Pelayanan (durasi) 2

Akhir Pelayanan (Jam)

1

Waktu Kedatangan (Jam) 0

2

2

2

1

3

3

6

6

3

9

4

7

9

2

11

5

9

11

1

12

6

15

15

4

19



2

p : 21

Tabel A.8.4 Kronologis Urutan Kejadian Tipe Kejadian

Nomor Pelanggan

Waktu (Jam)

Kedatangan

1

0

Keberangkatan

1

2

Kedatangan

2

2

Keberangkatan

2

3

Kedatangan

3

6

Kedatangan

4

7

Keberangkatan

3

9

Kedatangan

5

9

Keberangkatan

4

11

Keberangkatan

5

12

Kedatangan

6

15

Keberangkatan

6

19



p : 22

Contoh 1. Antrian • Perusahaan A sedang mencoba menentukan rata-rata customer menunggu dalam sistem , jika customer rata-rata menunggu lebih dari 10 menit maka pihak perusahaan akan menambah kasir dan memberikan bonus. Data yang didapat pada tabel A.8.5 dan tabel A.8.6 Kasir buka jam 9 pagi.



p : 23

Tabel 8.6 Waktu Kedatangan

Waktu Antar Kedatangan 0 1 2 3 4 5


Probability (Frequensi) 0.10 0.35 0.25 0.15 0.10 0.05


p : 24

Tabel 8.5 Waktu Pelayanan

Waktu Pelayanan

Probabilitas Frequensi

0

0.00

1

0.25

2

0.20

3

0.40

4

0.15



p : 25

Tabel A.8.7 Interval Bilangan Acak

Kedatangan

Pelayanan

Antar Kedatangan

Kumulatif Probablitas

Interval Bilangan Acak

Waktu Pelayanan

Kumulatif Probablitas

Interval Bilangan Acak

0

0.10

1 - 10

0

0.00

-

1

0.45

11 - 45

1

0.25

1 - 25

2

0.70

46 - 70

2

0.45

26 - 45

3

0.85

71 - 85

3

0.85

46 - 85

4

0.95

86 - 95

4

1.00

86 - 99

5

1.00

99



p : 26

Bilangan acak untuk service dan kedatangan

No

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Pely

52

37

82

69

98

96

33

50

88

90

50

27

45

81

66

Dtg

50

28

68

36

90

62

27

50

18

36

61

21

46

01

14



p : 27

Pertanyaan ●

Apakah perlu menambah kasir dengan simulasi 15 kali ?

●

Customer ke berapa yang mendapatkan bonus ?



p : 28

Penyelesaian : Tabel A. 8.8 Antar Kedatangan dan Waktu Pelayanan No. Cust

Bil Acak Kedatangan

Antar Kedatangan

Bil Acak Service

Waktu Service

1

50

2

52

3

2

28

1

37

2

3

68

2

82

3

4

36

1

69

3

5

90

4

98

4

6

62

2

96

4

7

27

1

33

2

8

50

2

50

3

9

18

1

88

4

10

36

1

90

4

11

61

2

50

3

12

21

1

27

2

13

46

2

45

2

14

01

0

81

3

15

14

1

66

3



p : 29

Tabel A. 8.9 Perhitungan Antrian No. Cust

Antar Kedatangan

Waktu Kedatangan

Waktu Service

Awal Service

Akhir Service

Waktu Tunggu

Waktu dlm sistem

Waktu Idle

1

2

9.02

3

9.02

9.05

0

3

2

2

1

9.03

2

9.05

9.07

2

4

0

3

2

9.05

3

9.07

9.10

2

5

0

4

1

9.07

3

9.10

9.13

4

7

0

5

4

9.10

4

9.13

9.17

3

7

0

6

2

9.12

4

9.17

9.21

5

9

0

7

1

9.13

2

9.21

9.23

8

10

0

8

2

9.15

3

9.23

9.26

8

11

0

9

1

9.16

4

9.26

9.30

10

14

0

10

1

9.17

4

9.30

9.34

13

17

0

11

2

9.19

3

9.34

9.37

15

18

0

12

1

9.20

2

9.37

9.39

17

19

0

13

2

9.22

2

9.39

9.41

17

19

0

14

0

9.22

3

9.41

9.44

19

21

0

15

1

9.23

3

9.44

9.47

21

124

0

162

188

2

45



p : 30

Perhitungan Rata-rata waktu menunggu : 162 / 15 = 10,7 menit Maka perlu menambah kasir Customer yang dapat bonus : no: 10, 11 , 12 , 13 , 14 dan 15



p : 31

Rangkuman ●

●

Setiap masalah antrian diuraikan dalam 3 karateristik, yaitu : kedatangan , antrian dan pelayanan Mensimulasikan sistem antrian dengan metode Monte Carlo



p : 32

Teori Antrian. Prihantoosa Pendahuluan. Teori Antrian : Intro p : 1

Recommend Documents