PRAKTIKUM STOKASTIK MODUL TEORI ANTRIAN
1.1.
Tujuan Praktikum Dari kegiatan praktikum ini, praktikan diharapkan : 1. Dapat memahami fungsi dan manfaat dari teori antrian. 2. Dapat memahami konsep dasar dari teori antrian pada layanan fasilitas tunggal. 3. Dapat mengaplikasikan teori antrian yang sudah dipelajari untuk menyelesaikan permasalahan dalam sistem antrian..
1.2.
Landasan Teori
1.2.1 Pengertian Teori Antrian Teori antrian diciptakan pada tahun 1909 oleh ahli matematika dan insinyur berkebangsaan Denmark yang bernama A.K Erlang. Menurut P. Siagian (1987), suatu antrian adalah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayanan (fasilitas layanan). Studi matematikal dari kejadian atau gejala garis tunggu ini disebut teori antrian. Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga nasabah yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan pelayanan. Dalam banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi, biaya karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya langganan atau nasabah. Antrian yaitu yang terjadi pada orang-orang, barang-barang, komponenkomponen atau kertas kerja yang harus menunggu untuk mendapatkann jasa
I–1
I-2
pelayanan atau dikerjakan (Subagyo, 2000). Teori antrian memiliki definisi teori yang menyangkut
studi
sistematis dari
antrian-antrian
atau
baris-baris
penungguan. Teori antrian berkenaan dengan seluruh aspek dari situasi dimana pelanggan (baik orang maupun barang) harus antri untuk mendapatkan suatu pelayanan.
1.2.2
Konsep-konsep Dasar Teori Antrian Menurut Pangestu, dkk (1989), tujuan dasar model-model antrian adalah
untuk meminimumkan total dua biaya, yaitu biaya langsung penyediaan fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung yang timbul karena para individu harus menunggu untuk dilayani. Sistem antrian sederhana ini mempunyai 2 bagian dasar, yaitu suatu antrian tunggal dan sebuah fasilitas pelayanan tunggal, yang juga disebut sebagai single channel. Berikut ini merupakan antrian dengan model singgle channel : Sumber Masukan
Sistem Antrian
Keluar
Populasi Individu individu
Antri
Fasilitas Pelayanan
Individu yang telah dilayani
Gambar 1. Antrian Model Singgle Channel
Sistem antrian yang memiliki banyak model, secara umum memiliki 6 elemen elemen pokok, yaitu (Pangestu, dkk., 1989) : a. Elemen Pokok dalam Sistem Antrian Elemen pokok dalam sistem antrian meliputi suatu antrian meliputi sistem yang memiliki 2 bagian dasar yaitu suatu antrian tunggal dengan fasilitas pelayanan juga yang juga tunggal (Binus, 2002).
Gambar 2. Elemen Sistem Antrian
I-3
b. Sumber masukan (Input) Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terdiri atas suatu populasi orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem untuk dilayani. c. Pola Pertibaan Cara individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut pola kedatangan (arrival pattern). Individu-individu mungkin datang dengan tingkat kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random (yaitu beberapa banyak kedatangan individu-individu per periode waktu). Distribusi probabilitas Poisson adalah salah satu dari pola-pola kedatangan yang paling sering (umum) bila kedatangan-kedatangan didistribusikan secara random. Hal ini terjadi karena distribusi Poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu bila sejumlah besar variabel-variabel random mempengaruhi tingkat kedatangan. Bila pola kedatangan individu-individu mengikuti suatu distribusi Poisson, maka waktu antar kedatangan atau interarrival time random
dan
(yaitu waktu antara kedatangan setiap individu) adalah
mengikuti
suatu
distribusi
eksponensial
(exponential
distribution). d. Disiplin Antrian Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian utnuk dilayani terlebih dahulu (prioritas). Disiplin antrian yang paling umum adalah pedoman first come first served (FCFS), yang pertama kali datang pertama kali dilayani. Tetapi bagaimanapun juga ada beberapa tipe disiplin antrian lainnya yang dapat termasuk dalam model-model matematis antrian. Menurut Siagian (1987), ada 4 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan dalam praktek, yaitu: 1. First come first served (FCFS) atau first in first out (FIFO), artinya lebih dahulu datang (sampai) lebih dahulu dilayani. Misalnya antri membeli tiket bioskop.
I-4
2. Last come first served (LCFS) atau last in first out (LIFO), artinya yang tiba terakhir yang lebih dahulu keluar. Misalnya, sistem antrian dalam elevator (lift) untuk lantai yang sama, atau sistem bongkar muat barang. 3. Service in random order (SIRO), artinya panggilan didasarkan pada peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dahulu tiba. 4. Priority service (PS), artinya prioritas pelayanan diberikan kepada yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan yang mempunyai prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini kemungkinan disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang dengan keadaan penyakit lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat praktek dokter. Mungkin juga, karena kedudukan atau jabatan seseorang menyebabkan dilayani terlebih dahulu atau diberi prioritas lebih tinggi, tidak soal siapa yang terlebih dahulu masuk garis tunggu. e. Panjang Antrian Banyak sistem antrian dapat menampung jumlah individu-individu yang relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas terbatas. Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yang dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai kepanjangan antrian yang terbatas (finite). f. Tingkat pelayanan Tingkat pelayanan sangat erat kaitannya dengan waktu pelayanan. Waktu pelayanan merupakan waktu yang digunakan untuk melayani individuindividu dalam suatu sistem disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini mungkin konstan, tetapi juga sering acak (random). Jika waktu pelayanan konstan, maka waktu yang diperlukan untuk melayani setiap pelanggan sama. Walaupun distribusi Poisson dan distrubusi eksponensial adalah distribusi yang paling sering digunakan untuk menggambarkan tingkat kedatangan dan waktu pelayanan, tidak semua kedatangan dan pelayanan dapat secara tepat digambarkan oleh distribusi tersebut.
I-5
g. Keluar (Output) Sesudah seseorang (individu) telah selesai dilayani, dia keluar dari sitem. Individu yang keluar dari sistem mungkin saja bergabung pada satu diantara kategori populasi baik populasi asal yang mempunyai probabilitas asal yang sama untuk memasuki sistem kembali, atau dapat saja bergabung dengan populasi yang lebih kecil dalam hal kebutuhan pelayanan tersebut kembali.
1.2.3
Model Antrian Dasar Berdasarkan sifat proses pelayanan, dapat diklasifikasikan fasilitas
pelayanan dalam susunan saluran atau channel (single atau multiple) dan phase yang akan membentuk suatu struktur amtrian yang berbeda-beda. Istilah saluran atau channel menunjukkan jumlah jalur atau tempat untuk memasuki sistem pelayanan, yang juga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan. Istilah phase berarti jumlah stasiun-stasiun pelayanan, dimana pelanggan harus melaluinya sebelum dinyatakan pelayanan lengkap. Terdapat 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian, (Pangestu, dkk, 1989): 1. Single channel-single phase Sistem ini adalah yang paling sederhana. Single channel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan. Rumus-rumus yang digunakan yaitu: Ls =
λ µ −λ
λ2 Lq = µ (µ − λ )
Ws =
1 µ −λ
λ Wq = µ (µ − λ )
P=
λ µ
Po = 1 -
λ λ Pn = 1 − µ µ
λ µ
n
Keterangan : λ
= Rata-rata tingkat kedatangan/jam
µ
= Rata-rata tingkat Pelayanan/jam
Lq
= Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (unit)
Ls
= Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (unit)
I-6
Wq = Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Jam) Ws = Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Jam) P
= Tingkat intensitas fasilitas pelayanan
Pn
= Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem
Po
= Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem
Secara umum sistem Single channel-single phase dimodelkan sebagai berikut:
Gambar 3. Struktur Antrian Single Channel-Single Phase
Keterangan : M = Antrian ;
S = Fasilitas Pelayanan (server)
2. Single channel-multiphase Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh : lini produksi massa, pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya. Rumusrumus yang digunakan yaitu: Q −1 2 λ λ 2 1 − Q µ + (Q − 1) µ λ Lq = Q µ λ λ 1 − 1 − µ µ
Q Q +1 1 − (Q + 1) λ + Q λ µ µ λ L = Q +1 µ λ λ 1 − 1 − µ µ
λ n 1 − µ λ P = Q +1 µ 1 − λ µ
I-7
Keterangan : Q
= Jumlah server
Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Single channelmultiphase:
Gambar 4. Struktur Antrian Single Channel Multiphase
3. Multichannel-single phase Sistem Multichannel-single phase terjadi ketika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, seperti yang ditunjukkan oleh gambar 5. Sebagai contoh model ini adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket, pelayanan potong rambut oleh beberapa tukang rambut, dan sebagainya. Rumus-rumus yang digunakan yaitu: P=
λ Sµ
L = Lq +
λ µ
W = Wq +
1
µ
2
λ λµ µ Lq = Po ( S − 1)!( Sµ − λ ) 2
Wq =
λ S λ µ µS ( S!) 1 − Sµ Po
2
λ Pw = µ
s
Po =
Po λ S! 1 − Sµ
1 λ S =1 µ ∑ n! n =0
n
S λ + µ λ S!1 − Sµ
I-8
Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Multichannelsingle phase:
Gambar 5. Struktur Antrian Multichannel-Single Phase
4. Multichannel-multiphase Sistem Multichannel-multiphase ditunjukkan oleh gambar 6. Sebagai contoh, registrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai dengan pembayaran. Pada umunya, jaringan antrian ini terlalu kompleks untuk dianalisa dengan teori antrian, mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk menganalisa sistem ini.
Gambar 6. Struktur Antrian Multichannel-Multiphase
Selain empat model struktur antrian di atas sering terjadi struktur campuran (mixed arrangements) yang merupakan campuran dari dua atau lebih struktur antrian di atas. Misal, ditoko-toko dengan beberapa pelayan (multichannel), namun pembayaran hanya pada seorang kasir (single channel).
1.3
Studi Kasus Single Channel- Single Phase Pada praktikum kali ini akan dibahas mengenai permasalahan pada system
antrian sederhana single channel-single phase.
I-9
PT. Nutrimilk adalah perusahaan yang bergerak dibidang produksi dan penjualan susu kemeasan. Seorang manager perusahaan Nutrimilk ingin melakukan perbaikan terhadap proses produksi susu. Perbaikan yang dilakukan oleh manager tersebut fokus terhadap antrian yang terjadi pada pengisisan material susu kedalam kemasan susu tersebut. Laporan yang berhasil didapatkan oleh manager tersebut, yaitu rata-rata kedatangan produk adalah sebesar 2 unit/menit, sedangkan rata-rata tingkat pelayanan produk tersebut adalah sebesar 3 menit. Dari informasi tersebut tentukan: a.
Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan (P)
b.
Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq)
c.
Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ls)
d.
Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Wq)
e.
Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ws)
f.
Probabilitas tidak terdapat pelayanan produk dalam sistem (Po)
1.3.1 Penyelesaian Diketahui: Rata-rata kedatangan (λ) = 2 unit/menit Rata-rata pelayanan (µ) = 3 menit Jawab: a.
Tingkat intensitas fasilitas pelayanan P=
b.
λ 2 = = 0,667 = 66,7% µ 3
Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian
Lq = c.
Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem Ls =
d.
22 4 λ2 = = = 1,333 ≈ 2 unit µ(µ − λ) 3(3 − 2) 3 λ 2 = = 2unit µ − λ 3− 2
Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian
I - 10
Wq = e.
Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem Ws =
f.
λ 2 = = 0.67 menit ≈ 40,2 detik µ(µ − λ) 3(3 − 2)
1 1 = = 1 menit (µ − λ) (3 − 2)
Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam sistem λ 2 Po = 1 - = 1 − = 0,333 atau 33,3% µ 3 Berikut ini merupakan penyelesaian menggunakan software POM-QM.
Pertama, membuka program Waiting Lines pada menu Module. Kemudian memilih perintah new problem dan melakukan input data seperti pada gambar di bawah ini.
Langkah selanjutnya adalah mengisi data entry seperti pada gambar di bawah ini sesuai dengan studi kasus.
Langkah terakhir adalah melakukan penyelesaian akhir dengan memilih perintah solve and analyse dilanjutkan dengan solve the performance. Sehingga akan diperoleh output sebagai berikut.
I - 11
1.4
Studi Kasus Multi Channel- Single Phase Manager perusahaan Nutrimilk tersebut juga ingin melakukan perbaikan
terhadap proses pengemasan. Perbaikan akan dilakukan
oleh manager pada
proses pengemasan tersebut, karena dari laporan yang didapat dari 3 pekerja yang mengemas produk terdapat antrian. Laporan yang berhasil didapatkan oleh manager tersebut, bahwa rata-rata produk yang datang adalah sebesar 36 kardus/jam, sedangkan rata-rata tingkat pelayanan produk tersebut adalah sebesar 4 menit/kardus. Dari informasi tersebut tentukan: a.
Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (P)
b.
Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem (Po)
c.
Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq)
d.
Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (L)
e.
Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Wq)
f.
Waktu rata-rata unit dalam antrian (W)
g.
Probabilitas menunggu dalam antrian (Pw)
1.4.1 Penyelesaian Diketahui: Fasilitas pelayanan (S)
= 3 orang
Rata-rata kedatangan (λ)
= 36 kardus/jam
Rata-rata pelayanan (µ)
= 4 menit/kardus = 15 kardus/jam
I - 12
Jawab : a.
Tingkat Intensitas λ 36 P= = = 0,8 = 80% Sµ 3.15
b.
Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem 1
Po = S 1 ∑ n=0
λ n µ n!
λ S µ + λ S! 1 Sµ 1
Po = S 1 (36/15 )0 ∑ 0! n=0
+
(36/15 )1 1!
+
(36/15 )2 2!
(36/15 )3
+
36 3x15
3! 1
Po = 0,0562 = 5,62%
c.
Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian
Lq = Lq =
d.
36.15
(S - 1)! (SµS- λ) 2
Po =
36 15
3
(3 - 1)! (3.15 - 36) 2
0.0562
540 ( 13.824 ) 0.0562 = 2.59 ≈3 unit (2)! (81)
Jumlah unit rata-rata yang terdapat dalam sistem L = Lq +
e.
s
λ λµ µ
λ 36 = 2.59 + = 4,99 ≈5 unit µ 15
Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian Po
Wq =
µS(S!) 1
λ Sµ
2
λ µ
S
0.0562
=
15.3(3!) 1
36 3.15
0.0562 ( 13.824) = 0.072jam 270[ 0.2]2 Waktu rata-rata unit dalam antrian Wq =
f.
W = Wq +
1 1 = 0.072 + = 0.14jam ≈8.4 menit µ 15
2
36 15
3
I - 13
g.
Probabilitas menunggu dalam antrian
λ s Pw = µ
= (13.824)
Po S! 1
λ Sµ
=
36 15
3
0.0562 36 3! 1 3.15
0.0562 = 0.6474 ≈64.74% 6[0.2]
Berikut ini merupakan penyelesaian menggunakan software POM-QM. Pertama, membuka program Waiting Lines pada menu Module. Kemudian memilih perintah new problem dan melakukan input data seperti pada gambar di bawah ini.
Langkah selanjutnya adalah mengisi data entry seperti pada gambar di bawah ini sesuai dengan studi kasus.
Langkah terakhir adalah melakukan penyelesaian akhir dengan memilih perintah solve and analyse dilanjutkan dengan solve the performance. Sehingga akan diperoleh output sebagai berikut.
I - 14
