2012 MK. Analisis Reliabilitas Darmanto, S.Si

RELIABILITAS & FUNGSI HAZARD

05/09/2012

MK. Analisis Reliabilitas | Darmanto, S.Si.

1

RELIABILITAS • Peluang bahwa suatu produk atau jasa akan beroperasi dengan baik dalam jangka waktu tertentu (durabilitas) pada kondisi pengoperasian sesuai dengan desain (suhu, tekanan, dll.) tanpa ada kerusakan. • Reliabilitas digunakan sebagai ukuran keberhasilan suatu sistem bekerja sebagaimana mestinya dengan baik. 05/09/2012


2

• Anggap n0 adl banyak komponen yg diuji. Selama interval waktu (t - ∆t, t) didapatkan nf(t) yakni banyak komponen yg rusak (failed components) dan ns(t) yakni banyak komponen yg tetap baik (surviving component), [nf(t) + ns(t) = n0]. • Reliabilitas didefinisikan sebagai fungsi peluang kumulatif dari sukses pd saat t, maka reliabilitas R(t) ditulis,

ns (t ) ns (t ) R(t )   ns (t )  n f (t ) n0 (t ) 05/09/2012


3

• Dg kata lain, jika t adl var random yg menunjukkan waktu untuk rusak/gagal (time to failure/TTF), maka fungsi reliabilitas pada saat t adl

R(t )  P(t  t ) • Distribusi kumulatif untuk fungsi kerusakan F(t) adl komplemen R(t),

R(t )  F (t )  1 05/09/2012


4

• Jika TTF t mempunyai fungsi kepekatan peluang (probability density function/p.d.f) f(t), maka t

R(t )  1  F (t )  1   f ( ) d . 0

• Jika diturunkan terhadap t, didapatkan dR(t )   f (t ) dt 05/09/2012


5

• Misal: jika distribusi TTF adl eksponensial dg parameter λ, maka

f (t )  e

 t

• Dan fungsi reliabilitasnya adl t

R(t )  1  F (t )  1   e  d  e t . 0

05/09/2012


6

• Shg, peluang kerusakan dari satu komponen pd interval waktu [t1, t2] dlm bentuk fungsi reliabilitasnya dinyatakan sebagai, t2

 f (t ) dt  R(t )  R(t ) 1

1

t1

• Laju kerusakan (failure rate) pada interval waktu [t1, t2] didefinisikan sbg peluang bahwa kerusakan per unit waktu terjadi pada interval tsb dan tidak ada kerusakan yg terjadi sebelum t1. Laju kerusakan dinyatakan sbg,

05/09/2012

R(t1 )  R(t1 ) (t2  t1 ) R(t1 )


7

• Jika kita mengganti t1 dg t dan t2 dg t + ∆t, maka (9) dapat ditulis,

R(t )  R(t  t ) t R(t )

• Fungsi hazard didefinisikan sbg limit dari laju kerusakan di mana ∆t mendekati 0. Dg kata lain, fungsi hazard adl laju kerusakan sesaat (instantaneous failure rate) yg dinyatakan dg

05/09/2012

R(t )  R(t  t ) 1  d  h(t )  lim   R(t )   t 0 t R(t ) R(t )  dt  f (t )  R(t ) MK. Analisis Reliabilitas | Darmanto, S.Si.

8

– Contoh: Sebuah perusahaan bola lampu ingin mengestimasi rata-rata hidup (the mean life) dari produknya. 200 bola lampu diamati untuk menguji reliabilitasnya dan dicatat banyak bola lampu yg mati (failure) tiap interval waktu 1000 jam. Berikut datanya,

05/09/2012

Interval Waktu (Jam)

Banyak Kerusakan

0 – 1000

100

1001 – 2000

40

2001 – 3000

20

3001 – 4000

15

4001 – 5000

10

5001 – 6000

8

6001 – 7000

7

Total

200


9

• Misalkan: Estimasi fungsi massa kerusakan fe(t), estimasi fungsi hazard he(t), estimasi fungsi kumulatif peluang Fe(t), dan estimasi fungsi reliabilitas Re(t), dimana subskrip e = estimasi, adalah

f e (t ) 

he (t )  05/09/2012

n f (t )

f e (t ) Re (t )  he (t)

n0 t

n f (t ) ns (t) t

Re (t )  1  Fe (t )


10

• Hasil penghitungan:

05/09/2012


11

– Plot fe(t) terhadap waktu Histogram fe(t) 6 5

fe(t)

4 3 2 1 0 1 05/09/2012

2

3

4


5

6

7 12

– Plot he(t) terhadap waktu Histogram he(t) 12,00 10,00

he(t)

8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 1 05/09/2012

2

3

4


5

6

7 13

– Plot Re(t) terhadap waktu Histogram Re(t) 1,2

1

Re(t)

0,8

0,6

0,4

0,2

0

05/09/2012

1

2

3

4


5

6

7

14

• Plot Fe(t) terhadap waktu Histogram Fe(t) 1,2

1

Fe(t)

0,8

0,6

0,4

0,2

0 1

05/09/2012

2

3

4


5

6

7

15

FUNGSI HAZARD • Fungsi hazard / laju hazard (hazard rate) adl peluang bersyarat dr kerusakan dlm interval waktu t hingga (t + ∆t), yakni bahwa tidak ada kerusakan pd saat t,

f (t ) h(t )  R(t ) • Fungsi kumulatif hazard adl peluang bersyarat dr kerusakan dlm interval 0 hingga t, t

H (t )   h( ) d ( ) 0 05/09/2012


16

• Kegunaan fungsi hazard: 1. Mengestimasi waku terjadinya kerusakan (atau waktu antar kerusakan) 2. Mengestimasi jumlah kru yang akan berperan dlm perbaikan sistem 3. Mengestimasi ketersediaan sistem 4. Mengestimasi biaya garansi 5. Mengkaji kerusakan terhadap waktu

05/09/2012


17

• Fungsi hazard adl fungsi terhadap waktu.

05/09/2012


18

BEBERAPA MACAM FUNGSI HAZARD 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

05/09/2012

Hazard Konstan Hazard Linier Positif Model Weibull Model Normal Model Lognormal Model Gamma Model Beta


19

1. HAZARD KONSTAN • Banyak komponen elektronik seperti transistor, resistor, sirkuit, dan kapasitor, diketahui bhw komponen tsb mpy laju kerusakan yang konstan. Laju kerusakannya tjd di akhir periode kerusakan awal.

• Fungsi hazard konstan, h(t), ditulis sebagai h(t )   05/09/2012


20

• Maka

 t  f (t )  h(t ) exp    h( ) d    0   t f (t )   e t

F (t )    e    1  e  t 0

R(t )  1  F (t )  1  (1  e 05/09/2012

 t


)e

 t

21

Contoh: • Sebuah perusahaan melakukan Uji Hidup Operasional (Operational Life Test/OLT) pada kapasitor keramik dan menemukan bahwa kapasitor tsb mpy laju kerusakan konstan (dinyatakan dlm fungsi hazard) dg nilai 3.10-8 kerusakan/jam. Berapakah reliabilitas sebuah kapasitor setelah digunakan selama setahun (104 jam)? Untuk menerima kiriman kapasitor tsb, konsumen memutuskan untuk melakukan tes selama 5000 jam dari 2000 sampel kapasitor. Berapakah kapasitor yg diduga rusak selama test? 05/09/2012


22

• Solusi: h(t )  3 108 kerusakan/jam t

R(t )  e 0 

3108 dt

R(10 )  e 4

3104

e

3108 t

 0,99970

ns (5000 jam)  R(5000) n0  e

3108 5000

 2000

 1999 kapasitor  n f  2000  1999  1 kapasitor. 05/09/2012


23

2. HAZARD LINIER POSITIF • Komponen menunjukkan laju kerusakan linier positif ketika komponen tsb aus. • Komponen mesin seperti: tangkai poros putar, katup, dan roda sisir, diketahui secara umum mpy laju kerusakan linier positif. • Laju kerusakan linier positif dinyatakan, • Di mana λ konstan. 05/09/2012

h(t )  t


24

• P.d.f, f(t), adalah distribusi Rayleigh, dengan:

f (t )  te



F (t )  1  e R(t )  e



t 2 2 

t 2 2

t 2 2

 2   Rata-rata  ; Varians  1   . 2  4 05/09/2012


25

05/09/2012


26

05/09/2012


27

Contoh: • Rolling resistance adl suatu ukuran dr banyaknya energi yg hilang dlm ban ketika menahan dikarenakan arah yg berlawanan (gaya gesek). Sebuah perusahaan ban memperkenalkan material baru yg secara signifikan tidak hanya mampu mengembangkan rolling resistance tetapi juga menambah laju penggunaan dari ban. Analisa uji laboratorium dari 150 ban menunjukkan bahwa laju kerusakan dari ban baru adalah linier positif thdp waktu dg

h(t )  0,5 108 t. 05/09/2012


28

• Tentukan reliabilitas dari ban setelah penggunaan satu tahun. Berapakah rata-rata waktu untuk mengganti ban krn aus? Solusi: • Reliabilitas setelah satu tahun penggunaan: R(t )  e 05/09/2012



t 2 2

e

(0,5108 )(104 )2  2


 0, 7788 29

• Rata-rata waktu untuk mengganti ban adl   Rata-rata ( t )    17724 jam 8 2 2  0,5 10

05/09/2012


30

3. MODEL WEIBULL • Bentuk non-linier dari fungsi hazard digunakan ketika secara jelas tidak dapat direpresantikan secara linier terhadap waktu dengan fungsi hazard yang dikenal dengan Model Weibull:   1 h(t )  t .  untuk  dan  bernilai positif.

05/09/2012


31

• f(t) diberikan, t

  1  f (t )  t e , 

t  0.

• Dimana: θ = parameter skala  (sifat umur produk/char. life) γ = parameter bentuk  bentuk distribusi

• Jika γ = 1 maka f(t) adl density eksponensial, • Jika γ = 2 maka f(t) adl distribusi Rayleigh, • Jika γ = 3,43938 maka akan mendekati distribusi Normal. 05/09/2012


32

Plot pdf Weibull 0.12

Dengan θ = 20

data1 data2 data3

0.1

γ = 5,5

0.08

γ=3

0.06

0.04

γ=1 f(t) 0.02

0 0 05/09/2012

5

10

15 waktu

20


25

30

35 33

• Fungsi kerusakan kumulatif dan Reliabilitas:  F (t )     0 t

  1 

e

t

d  1  e  , dg t  0.

t

R(t )  e  , dg t  0.

05/09/2012


34

• Ketika γ > 1, laju hazard adl fungsi monoton naik tanpa batas atas yg menggambarkan wilayah aus dr kurva bathub. Ketika γ = 1 laju kerusakan menjadi konstan dan ketika γ < 1, fungsi hazard adl fungsi menurun. • Rata-rata dan varians dari distribusi Weibull adl

 1 E[T ]    1     1



  2    1   2  Var[T ]     1     1               MK. Analisis Reliabilitas | Darmanto, S.Si. 2

05/09/2012

35

• Dimana Γ(n) adl fungsi Gamma, 

 n   x e

n 1  x

dx

0

dan 

n 1  x n x e dx   n    .  0

05/09/2012


36

Contoh: • Metode Prot digunakan untuk menentukan batas lelah (fatigue limit) dari baja batangan. Uji tsb menggunakan level tekanan berjenjang yg diterapkan proses daur ulang hingga dinyatakan gagal. Jumlah gagal daur ulang yg diamati mengikuti distribusi Weibull dg θ = 250 (pengukuran pd 105 daur ulang) dan γ = 2. a) Berapa reliabilitas batangan pd 106 daur ulang? Berapa fungsi hazard yg bersesuaian? b) Berapa waktu hidup duga (expected life dlm daur ulang) untuk batangan baja jenis ini? 05/09/2012


37

Solusi: a). Reliabilitas dr Model Weibull, R(106 /105 )  e

10  250

2

 e0,4  0, 6703.

dan 2 h(10 /10 )  10  0, 08 kerusakan. 250 6

05/09/2012

5


38

b). Nilai hidup duga dr batangan baja jenis ini, 1   1  1  2 E[T ]    1    (250)  1    2    (15,8114)(0,8862) 1

 14, 013.

Jadi, harapan hidup dari baja batangan mencapai ≈ 14x105 kali daur ulang. 05/09/2012


39

4. MODEL NORMAL • P.d.f normal: 2  1 1t   f (t )  exp      ,    t  .  2  2    

• Kumulatif dan reliabilitas normal komponen 2  1 1    F (t )  P(t  t )   exp      d ,  2       2 R(t )  1  F (t ). t

05/09/2012


40

• P.d.f. untuk normal baku:  z2 1  ( z)  exp    ,    z  , 2  2    dengan z  .



• Fungsi distribusi kumulatif, ( )  





05/09/2012

2  1 z  exp    dz. 2  2 


41

– Jika waktu kerusakan suatu komponen t~N(μ, σ), maka suatu komponen akan rusak pada saat t dinyatakan, t   t  P (t  t )  P  t     .      

– Fungsi hazard,

t     f (t )    h(t )   . R(t ) R(t ) 05/09/2012


42

• P.d.f. Normal Distribusi Normal 0.4 0.35

μ=1 σ=1

0.3

f(t)

0.25 0.2

σ = 2,5

0.15

σ = 4,5

0.1 0.05 0 10 05/09/2012

12

14

16

18

20 22 24 waktu,| Darmanto, t MK. Analisis Reliabilitas S.Si.

26

28

30 43

Kumulatif Normal 1 0.9 0.8 0.7

F(t)

0.6 0.5 0.4 0.3 =1 =2 =3

0.2 0.1 0 10

05/09/2012

12

14

16

18

20 22 Waktu, t.

24


26

28

30

44

Reliabilitas Normal 1 =1 =2 =3

0.9 0.8 0.7

R(t)

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 10

05/09/2012

12

14

16

18

20 22 Waktu, t.

24


26

28

30

45

05/09/2012


46

• Contoh: Sebuah komponen mpy waktu kerusakan yg berdistribusi normal dg μ = 40000 putaran, dan σ = 2000 putaran. Tentukan fungsi reliabilitas dan fungsi hazard pada 38000 putaran!

R(t )  1  F (t )  1  P(t  t ) R(38000)  1  P(t  38000) 38000  40000   1 P  z    1  P  z  1, 0  2000    1  0,1587  0,8413. 05/09/2012


47

• Fungsi Hazard: 38000  40000   z  2000  f (38000) 2000   h(38000)   R(38000) 0,8413  (1, 0) 0, 242   0,8413  2000 0,8413  2000  0, 0001438 kerusakan per putaran.

05/09/2012


48

5. MODEL LOG-NORMAL • P.d.f lognormal,

 1  ln t   2  1 f (t )  exp     ,  t 2  2         ,   0, t  0. • Jika variabel acak X = ln T, di mana T adl lognormal, maka X adl berdistribusi normal dg rata-rata μ dan standar deviasi σ:

E[ X ]  E[ln(t )]   Var[ X ]  Var[ln(t )]   . 2

05/09/2012


49

• Karena T = eX, maka rata-rata lognormal dapat ditemukan dg menggunakan distribusi normal, 2  1 1t   x E (T )  E (e )   exp  x   dx     2  2      2   1  1 2 2 E (T )  exp      exp   2  x  (    )   dx 2    2  2   

 2  E (T )  exp     , 2   dan Var (T )  [e

05/09/2012

2   2

=1 2

][e  1].


50

• Fungsi distribusi kumulatif, Reliabilitas dan fungsi hazard untuk Model Lognormal: 2  1 1  ln      F (t )   exp      d 0  2  2      ln t    atau F (t )  P(T  t )  P  z     t

 ln t    R(t )  1  F (t )  P(T  t )  P  z  , dan      ln t      f (t )  . h(t )    R(t ) tAnalisis R(tReliabilitas ) 05/09/2012 MK. | Darmanto, S.Si.

51

» Contoh: Waktu kerusakan suatu komponen berdistribusi lognormal dg μ = 6 dan σ = 2. Cari reliabilitas komponen tsb dan laju kerusakannya untuk hidup 200 satuan waktu ln 200  6   R(200)  P  z   P[ z  0,35]  0, 6386.  2    ln 200  6     (0,35) 2   h(200)   200  2  0, 6386 200  2  0, 6386 0,3752  200  2  0, 6386  0, 001472 kerusakan persatuan waktu. 05/09/2012


52

6. MODEL GAMMA • Digunakan untuk menggambarkan waktu kerusakan dari suatu komponen yg mempunyai kerusakan i tahap, 1 < i ≤ n. Atau kerusakan suatu sistem yg terjadi ketika n subkerusakan yg independen terjadi.

• Dua parameter distribusi gamma: parameter bentuk (γ) dan paramater skala (θ). – Jika 0 < γ < 1, laju kerusakan turun monoton dari tak hingga ke 1/θ. – Jika γ > 1, laju kerusakan naik monoton dari 1/θ ke tak hingga. – Jika γ = 1, laju kerusakan konstan dan sama dg 1/θ.

05/09/2012


53

• P.d.f distribusi gamma, t

 1

t f (t )   e .  ( )

• Ketika γ > 1, maka pd p.d.f tdapat puncak (tunggal) pada saat t = θ (γ – 1). Distribusi kumulatif, F(t), F (t )  

t

0

05/09/2012



 1

  ( )



e  d .


54

• Fungsi Reliabilitas R(t),   1  R(t )  1  F (t )    e d 0   ( ) t





t

1    1     e d . ( )   

• Jika parameter γ adl integer n, distribusi gamma menjadi distribusi Erlang, shg,

05/09/2012

 t  t   n 1     F (t )  1  e  k 0 k! MK. Analisis Reliabilitas | Darmanto, S.Si.

k

55

• Shg fungsi reliabilitas Distribusi Erlang, k

t t   n 1     R(t )  e  k 0 . k! • Dengan Fungsi hazard Erlang, f (t ) h(t )   R(t ) 05/09/2012

1 t      

n 1

t   n 1    (n  1)! k 0 k!


k

.

56

• Rata-rata dan varians fungsi Gamma, 



 1

t

t E (T )   t f (t ) dt   t  e  dt    ( ) t t  t 1     e  dt   t e dt     ( )  ( )  1     1(  1)  ( )   . 

Didapatkan E (T 2 )   (  1) 2 , Var (T )   (  1) 2   2 2   2 . 05/09/2012


57

Contoh: • Suatu sistem mesin membutuhkan suplai arus stabil yg disupport oleh baterai utama dg waktu hidup T1 yg berdistribusi eksponensial dg rataan 120 jam. Baterai utama, ditopang oleh 2 baterai identik rataan hidup T2, dan T3 secara berurutan. Ketika baterai utama rusak, maka baterai ke-2 menggantikan perannya. Baterai ke3 digunakan jika dan hanya jika baterai ke-2 rusak. Dgn kata lain, baterai tsb independen tp digunakan berurutan. Tentukan reliabilitas dan laju kerusakan untuk sistem mesin pd t = 280 jam. Berapakah rata-rata waktu hidup sistem? 05/09/2012


58

• T = T1 + T2 + T3  T berdistribusi gamma dg γ = n = 3 dan θ = 120 jam. k

 280  280   31  120  R(280)  e 120  k 0  0,5872. k! 31

31

1  280  1  280      f (t ) 120  120  120  120  h(t )    k R(t ) 2!(6, 0556)  280    31  120  (3  1)! k 0 k!  0, 003746 kerusakan per jam. 05/09/2012

E (T )    3(120)  360 jam. MK. Analisis Reliabilitas | Darmanto, S.Si.

59

7. MODEL BETA • Digunakan untuk interval waktu kerusakan terbatas, misal (0,1) atau semua interval ditransformasi ke dalam interval (0,1). • P.d.f. Model Beta:  (   )  1  1 t (1  t ) ,0  t 1  f (t )   ( )(  )  0, lainnya. 

 ,   0. 05/09/2012


60

Karena



1

0

f (t ) dt  1, maka

( )(  ) 0 t (1  t ) dt  (   ) . Rata-rata dan Varians distribusi Beta: 1

 1

E (T ) 

 1

  

,

 Var (T )  . 2         1 05/09/2012


61

MEAN TIME TO FAILURE (MTTF) • Salah satu ukuran reliabilitas suatu sistem adl rata-rata waktu untuk rusak (mean time to failure /MTTF). • MTTF dinyatakan untuk suatu sistem yg tidak dapat diperbaiki lagi. • Sedangkan sistem yg masih dpt diperbaiki lagi disebut MTBF (mean time between failure). 05/09/2012


62

•

Misal diamati waktu rusak n sistem identik yg tidak dapat diperbaiki lagi (nonrepairable). Asumsikan bahwa TTF adl t1, t2, …, tn. Maka estimasi MTTF adl,

1 n ˆ MTTF   i 1 ti . n •

Karena ti adl var. random, maka nilai harapannya adl 

MTTF   t f (t ) dt. 0

05/09/2012


63

• Karena R(t) = 1 – F(t) dan f(t) = dF(t)/dt = dR(t)/dt. Maka, MTTF   



0

 dR(t ) t dt    t dR(t ) 0 dt 

 tR (t )   R (t ) dt ,  0

0

karena R()  0 dan R(0)  1, 

MTTF   R(t ) dt. 0

05/09/2012


64

• MTTF untuk laju hazard konstan,  1  t MTTF   e dt  . 0 

• MTTF untuk laju kerusakan linier positif, 1     t 2   2  2 MTTF   e dt   . 0 2  2 2 05/09/2012


65

• MTTF untuk Model Weibull, 

MTTF   e



t



0

 MTTF  





0

e

dt. Jika x 



1



1





,

1 1 x dx        1

1

x

t



1

1



 1 MTTF     1   .   1



05/09/2012


66

• Contoh: Dijamin MTTF untuk pengontrol robot akan dioperasikan dlm kondisi yg berbeda adl 20000jam (dihitung dlm 103). Fungsi hazard pengontrol tsb mengikuti model Weibull dg θ = 100 dan γ = 1,5. Apakah pengontrol tsb mencapai MTTF tsb? Jika tidak, berapa nilai karakteristik hidup agar mencapai jaminan MTTF? 05/09/2012


67

• MTTF dari sampel, 1 1,5

1   MTTF  100  1   19,383   1,5  Ukuran  103 jam  MTTF  19,383 1000 jam  19383 jam. • Jadi MTTFnya hanya 19383 jam dan tidak mencapai angka yg telah dijaminkan. Agar tercapai 20000 jam maka, 1 1,5

1   20    1   1,5   1 1,5

05/09/2012

20

20     22,1573 1  0,902636   1   1,5     22,15731,5MK.Analisis 104,Reliabilitas 298. | Darmanto, S.Si.

68

MEAN RESIDUAL LIFE (MRL) • Ukuran karakteristik reliabilitas dari produk, komponen, sistem adalah fungsi MRL, L(t). Didefinisikan sebagai: L(t )  E[T  t | T  t ], t  0. • Dengan kata lain, fungsi MRL adl harapan tetap hidup hingga t. • Peluang densitas bersyarat untuk sembarang ζ ≥ t, • . 05/09/2012

f ( ) fT |T t ( )  , R(t ) MK. Analisis Reliabilitas | Darmanto, S.Si.

  t. 69

• Harapan bersyarat fungsi MRL: 



f ( ) E[T | T  t ]    fT |T t ( )d    d . R(t ) t t

• Sehingga fungsi MRL : L(t )  E[T | T  t ] 



f ( ) f ( )     t  d    d  t R(t ) R(t ) t t 

05/09/2012

1  L(t )   f ( )d  t.  R(t ) t


70

• Contoh: Sebuah perusahaan menggunakan kompresor putar untuk penyediaan cairan pendingin. Data eksperimen menunjukkan bahwa waktu kerusakan (antara 0 – 1 tahun) dari kompresor mengikuti distribusi Beta dengan α = 4, β = 2. Berapa MRL dari kompresor bahwa akan bertahan hingga 5 bulan? 05/09/2012


71

(6) 3 3 4 f (t )  t (1  t )  20(t  t ) (4)(2) t

R(t )  1  F (t )  1   20(   ) d  , 3

4

0

5 dengan t  5 bulan   0, 416. 12 R(0, 416)  1  20 

0,416

0

(t  t ) dt  0,9. Dan 3

4

20 1 3 4 L(0, 416)  t (t  t ) dt  0, 416  0, 288.  0,9 0,416 Atau MRL  0, 288 12 bulan  3, 46 bulan. 05/09/2012


72

2012 MK. Analisis Reliabilitas Darmanto, S.Si

Recommend Documents