A Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as II. el˝ oad´ assorozat hetedik el˝ oad´ asa. 2002. okt´ ober 29. Hat´ areloszl´ ast´ etelek f¨ uggetlen vektor ´ ert´ ek˝ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ okra. Hangs´ ulyoztuk, hogy a Lindeberg f´ele centr´alis hat´areloszl´ast´etel nemcsak azt a´ll´ıtotta, hogy f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´oknak a Lindeberg felt´etelt teljes´ıt˝o sorozat´anak normaliz´altjai eloszl´asban a norm´alis eloszl´ashoz konverg´alnak, hanem azt is, hogy a norm´alis hat´areloszl´ast´etel a ,,helyes sz´or´assal” rendelkezik. Tanuls´agos lehet l´atni olyan p´eld´at, melyben a Lindeberg felt´etelt nem teljes´ıt˝o, de egyenletesen kicsi f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok normaliz´alt r´eszlet¨osszegei a norm´alis eloszl´ashoz konverg´alnak, de a hat´areloszl´as sz´or´asn´egyzete kisebb, mint a szab´alyos esetekben. A p´elda helyess´eg´enek bizony´ıt´asa ´erdek´eben el˝osz¨or bel´atunk egy o¨nmag´aban is ´erdekes ´es hasznos lemm´at, melyet az irodalomban Slutsky lemm´anak is szok´as h´ıvni. Slutsky lemma. Legyen adva val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok k´et Sn ´es Tn , n = 1, 2, . . . , sorozata, melyekre az Sn , n = 1, 2, . . . , sorozat eloszl´ asban konverg´ al valamilyen F eloszl´ ashoz, ´es a Tn , n = 1, 2, . . . , sorozat sztochasztikusan konverg´ al null´ ahoz, azaz P (|Tn | > ε) → 0 minden ε > 0 sz´ amra, ha n → ∞. Ekkor az Sn + Tn , n = 1, 2, . . . , sorozat szint´en konverg´ al eloszl´ asban az F eloszl´ ashoz. A Slutsky lemma szeml´eletes tartalma vil´agos. Azt mondja ki, hogy ha egy eloszl´asban konvergens sorozat elemeit nagyon kicsit v´altozatatjuk meg, akkor a konvergencia tov´abbra is ´erv´enyben marad. A Slutsky lemma bizony´ıt´ asa: Tekints¨ uk az F (·) hat´areloszl´asf¨ uggv´eny egy x folytonoss´agi pontj´at. Azt kell bel´atnuk, hogy a lim P (Sn + Tn < x) = F (x) rel´aci´o is n→∞
teljes¨ ul. Ennek ´erdek´eben vegy¨ unk tetsz˝oles ε > 0 sz´amhoz olyan δ = δ(ε, x) > 0 ε sz´amot, melyre F (x) − 2 < F (x − δ) < F (x) < F (x + δ) < F (x + δ) + 2ε . Mivel az F (·) monoton f¨ uggv´enynek csak megsz´aml´alhat´oan sok szakad´asi pontja van, az a´ltal´anoss´ag megszor´ıt´asa n´elk¨ ul azt is feltehetj¨ uk, hogy az x±δ pontok folytonoss´agi pontjai az F (·) f¨ uggv´enynek. A felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en l´etezik olyan n 0 = n0 (x, δ, ε) index, melyre P (Sn < x + δ) < F (x + δ) + 4ε , P (Sn > x − δ) < 1 − F (x − δ) + 4ε , ´es P (|Tn | ≥ δ) < 4ε , ha n ≥ n0 . Ekkor P (Sn + Tn < x) ≤ P (Sn < x + δ) + P (|Tn | ≥ δ) < F (x + δ) +
ε < F (x) + ε, 2
ha n ≥ n0 (ε, δ), mert {ω : Sn (ω) + Tn (ω) < x} ⊂ {ω : Sn (ω) < x + δ} ∪ {ω : |Tn (ω)| ≥ δ}. Hasonl´oan kapjuk, hogy P (Sn + Tn ≥ x) < P (Sn ≥ x − δ) + P (|Tn | ≥ δ) < 1 − F (x) + ε, ha n ≥ n0 (ε, δ), mert {ω : Sn (ω) ≥ x} ⊂ {ω : Sn (ω) + Tn (ω) ≥ x − δ} ∪ {ω : |Tn (ω)| ≥ δ}. Az els˝o egyenl˝otles´egb˝ol k¨ovetkezik, hogy lim sup P (Sn + Tn < x) < F (x) + ε, a n→∞
m´asodik egyenl˝otlens´egb˝ol pedig az, hogy lim inf P (Sn + Tn < x) > F (x) − ε. Mivel n→∞
1
ezek az egyenl˝otlens´egek tetsz˝oleges ε > 0 sz´amra igazak, innen k¨ovetkezik a Slutsky lemma. Most r´at´er¨ unk a k´ıv´ant tulajdons´ag´ u p´elda ismertet´es´ere. 1. P´ elda: Legyen ξn , n = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okb´ ol a ´ll´ o soroza1 , tot, melyek elemeinek eloszl´ asa a k¨ ovetkez˝ o: P (ξn = n) = P (ξn = −n) = 4n2 1 1 1 P (ξn = 1) = P (ξn = −1) = , ´es P (ξn = 0) = , n = 1, 2, . . . . Ekkor − 4 2 2n2 n P ξk , n = 1, 2, . . . , r´eszlet¨ osszegek Eξn = 0, Eξn2 = 1. Azt a ´ll´ıtjuk, hogy az Sn = k=1
√1 Sn , n
n = 1, 2, . . . , normaliz´ altjai eloszl´ asban konverg´ alnak egy nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u, sz´ or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz.
1 2
Az 1. P´elda igazol´ asa: Vezess¨ uk be az Xn = ξn I(|ξn | ≤ 2), ´es Yn = ξn I(|ξn | > 2) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okat, ahol I(A) jel¨oli az A halmaz indik´atorf¨ uggv´eny´et, ´es vezess¨ uk n n P P be az S¯n = Xk ´es Tn = Yk , n = 1, 2, . . . , r´eszlet¨osszegeket. Ekkor √1 S¯n sorozat k=1
n
k=1
u norm´alis eloszl´ashoz, eloszl´asban konverg´al a nulla v´arhat´o ´ert´ek˝ u ´es 21 sz´or´asn´egyzet˝ n P mert EXn = 0, EXn2 = 21 , s2n = EXk2 = n2 , ´es az Xn , n = 1, 2, . . . , val´osz´ın˝ us´egi k=1
v´altoz´ok teljes´ıtik a Lindeberg felt´etelt, hiszen
n P
k=1
√1 Tn n
EXk2 I(|Xk | ≥ εsn ) = 0, ha n ≥
kifejez´esek sztochasztikusan konverg´alnak null´ahoz, ha n → ∞ P ∞. Ez l´athat´o, ha ´eszrevessz¨ uk, hogy P (Yk 6= 0) < ∞, ez´ert a Borel–Cantelli
n0 (ε). M´asr´eszt a
k=1
lemma alapj´an egy val´osz´ın˝ us´eggel csak v´eges sok Y k (ω) nem egyenl˝o null´aval, ´es ez´ert ∞ P |Yk (ω)| ≤ K(ω). Innen k¨ovetkezik, hogy majdnem minden ω ∈ Ω pontban |T n (ω)| ≤
k=1
K(ω) minden n = 1, 2, . . . sz´amra, ahol a jobboldalon szerepl˝o becsl´es f¨ ugghet az ω 1 elemi esem´enyt˝ol, de nem f¨ ugg az n indext˝ol. A Slutsky lemm´ab´ol, az √n Sn = √1n S¯n + √1 Tn azonoss´ agb´ol ´es a k¨ovetkezik, hogy az √1n Sn ´es a √1n Tn sorozat sztochasztikus n konvergeni´aj´ab´ol null´ahoz k¨ovetkezik, hogy a √1n Sn ´es √1n S¯n sorozatoknak ugyanaz a hat´areloszl´asuk, ez´ert igaz a p´eld´aban megfogalmazott a´ll´ıt´as. Jegyezz¨ uk meg azt is, hogy a p´eld´aban szerepl˝o ξk val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok teljes´ıtik az egyenletes kicsis´eg felt´etel´et, de nem teljes´ıtik a Lindeberg felt´etelt. Val´oban, Eξ k2 = n P Eξ 2 1, s2n = Eξk2 = n, ez´ert lim sup s2k = 0, azaz az egyenletes kicsis´eg felt´etele n→∞ 1≤k≤n
k=1
teljes¨ ul. M´asr´eszt lim
n P
n→∞ k=1
n
n P 1 EYk2 n→∞ n k=1
Eξk2 I(|ξk | > εsn ) = lim
felt´etel ebben a p´eld´aban nem teljes¨ ul.
= 21 , teh´at a Lindeberg
Az egyforma eloszl´as´ u f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok norm´aliz´alt o¨sszegeir˝ol sz´ol´o centr´alis hat´areloszl´ast´etelben feltett¨ uk, hogy az o¨sszeadand´oknak van v´eges m´asodik 2
momentumuk. Ez term´eszetes felt´etel, m´egis ´erdekes lehet megmutatni, hogy lehets´eges olyan eset is, amikor v´egtelen sz´or´asn´egyzet˝ u f¨ uggetlen, egyforma eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´atltoz´ok alkalmasan normaliz´alt r´eszlet¨osszegei is konverg´alnak eloszl´asban a norm´alis eloszl´ashoz. Ennek lehet˝os´eg´et mutatjuk meg a k¨ovetkez˝o p´eld´aban, amelyik m¨og¨ott hasonl´o gondolat van, mint az els˝o p´eld´aban. 2. P´ elda: Legyen ξ1 , ξ2 , . . . f¨ uggetlen egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok soroza1 ta, mely sorozat tagjainak l´etezik s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye, ´es azt az f (x) = |x|3 , ha |x| ≥ 1, R f (x) = 0, ha −1 < x < 1 k´eplet adja meg. Ekkor Eξ1 = 0, Eξ12 = x : |x|≥1 x2 |x|1 3 dx = n P altjai ∞. Tov´ abb´ a az Sn = ξk , n = 1, 2, . . . , r´eszlet¨ osszegek √ 1 Sn normaliz´ n log n
k=1
eloszl´ asban konverg´ alnak a standard norm´ alis eloszl´ ashoz.
Az 2. P´elda igazol´ asa: Defini´aljuk minden n = 1, 2, . . . sz´amra az η k,n = ξk I(|ξk | ≤ √ √ n log log n) ´es az ζk,n = ξk I(|ξk | > n log log n), 1 ≤ k ≤ n val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okat, n n P P ζk,n o¨sszegeit. Ekkor ηk,n ´es Tn = valmint ezek S¯n = k=1
k=1
√
1 1 1 S¯n + √ Sn = √ Tn n log n n log n n log n
ez´ert a Slutsky lemma alapj´an elegend˝o bel´atni, hogy a √
1 S¯n n log n
val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok
eloszl´asban konverg´alnak a standard norm´alis eloszl´ashoz, ´es a √
1 Tn n log n
val´osz´ın˝ us´e-
gi v´alt´oz´ok sztochasztikusan konverg´alnak null´ahoz. Az els˝o a´ll´ıt´as igazol´as´ahoz azt ξ kell megmutatni, hogy a ξ¯k,n = √ k,n , 1 ≤ k ≤ n, sz´eriasorozatra alkalmazhatjuk a n log n
centr´alis hat´areloszl´ast´etelt. Ehhez vegy¨ uk ´eszre, hogy E ξ¯k,n = 0, 2 E ξ¯k,n =
ahonnan
Z
x : 1≤|x|≤
n P
k=1
√
2 E ξ¯k,n =
n log log n
p 2 log (n log log n) x2 1 log(n log log n) dx = = , 3 n log n |x| n log n n log n
log n+log log log n log n
→ 1, ha n → ∞. Ez´ert el´eg ellen˝orizni, hogy a
ξ¯k,n val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok teljes´ıtik a Lindeberg felt´etelt, azaz minden ε > 0 sz´amra n X
k=1
2 E ξ¯k,n I(|ξ¯k,n | > ε) = n
Z
x: ε
√
n log n<|x|<
√
n log log n
x2 dx → 0 ha x → ∞. n log n|x|3
√ √ Ez az a´ll´ıt´as viszont igaz, mivel el´eg nagy n-re az {x : ε n log n < |x| < n log log n} integr´al´asi tartom´any az u ¨res halmaz, ez´ert a tekintett integr´al nulla. Be kell m´eg l´atnunk, hogy a √ 1 Tn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok sorozata sztochaszn log n ¯ µ¯ ¶ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ tikusan null´ahoz tart, azaz lim P ¯ √ Tn ¯ > ε = 0 minden ε > 0 sz´amra. n→∞
n log n
3
Bel´atjuk, hogy az er˝osebb lim P (Tn 6= 0) = 0 rel´aci´o is teljes¨ ul. Val´oban, n→∞
P (Tn 6= 0) ≤
n X
k=0
P (ζk,n 6= 0) = n
Z
x : |x|>
√
n log log n
dx 1 = →0 3 |x| log log n
ha n → ∞.
L´attuk, hogy a hat´areloszl´as sz´or´asn´egyzete lehet kisebb, mint az eloszl´asok sz´or´asn´egyzet´enek a limesze. Felmer¨ ul a k´erd´es, hogy lehet-e nagyobb. A v´alasz erre a k´erd´esre nemleges, ´es ezt mondja ki az al´abbi lemma. Lemma. Konverg´ uggv´enyek egy sorozata egy F eloszl´ asf¨ uggv´enyhez. R 2 aljon Fn eloszl´ R 2 asf¨ ´ anosabban, ha g(x) tetsz˝ oleges folytonos, Ekkor lim inf x Fn ( dx) ≥ x F ( dx). Altal´ n→∞
nem negat´ıv (de nem felt´etlen¨ ul korl´ atos f¨ uggv´eny), akkor Z Z lim inf g(x)Fn ( dx) ≥ g(x)F ( dx). n→∞
R A lemma bizony´ıt´ asa. El˝osz¨or tekints¨ uk azt az esetet, amikor g(x)F ( dx) < ∞. Ekkor tetsz˝oleges ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan K = K(ε)R > 0 sz´am, melyre R a g K (x) = min(K, g(x)) korl´atos ´es folytonos f¨ uggv´eny teljes´ıti az gK (x)F ( dx) ≥ g(x)F ( dx)−ε rel´aci´ot. Ez´ert az Fn eloszl´asf¨ uggv´enyek gyenge konvergenci´aj´ab´ol az F eloszl´asf¨ uggv´enyhez k¨ovetkezik, hogy Z Z Z Z lim inf g(x)Fn ( dx) ≥ lim gK (x)Fn ( dx) = gK (x)F ( dx) ≥ g(x)F ( dx) − ε, n→∞
n→∞
´es mivel ez az egyenl˝otlens´eg minden ε > 0 sz´amra ´erv´enyes, innen k¨ovetkezik a Lemma a´ll´ıt´asa ebben az esetben. R Ha g(x)F ( dx) = ∞ akkor tetsz˝oleges L > 0 sz´amhoz l´etezik olyan K = K(L) > 0R sz´am, melyre a gK (x) = min(K, g(x)) korl´atos ´es folytonos f¨ uggv´eny teljes´ıti az gK (x)F ( dx) ≥ L rel´aci´ot. Ez´ert az Fn eloszl´asf¨ uggv´enyek gyenge konvergenci´aj´ab´ol az F eloszl´asf¨ ugggv´enyhez k¨ovetkezik, hogy Z Z Z lim inf g(x)Fn ( dx) ≥ lim gK (x)Fn ( dx) = gK (x)F ( dx) ≥ L, n→∞
n→∞
´es mivel ez az a´ll´ıt´as minden L > 0 sz´amra ´erv´enyes, a Lemma a´ll´ıt´asa ebben az esetben is ´erv´enyes. Megjegyz´es: Az el˝oz˝o Lemma mutat n´emi hasonl´os´agot a m´ert´ekelm´eletben tanult Fatou lemm´aval, melyet ismertettem az o¨t¨odik el˝oad´as kieg´esz´ıt´es´eben. A k´et a´ll´ıt´as bizony´ıt´asa is nagyon hasonl´o. A fenti p´eld´ak mutatj´ak, hogy a centr´alis hat´areloszl´ast´etel megfogalmaz´as´aban szerepl˝o felt´etelek fontosak. Ezek nem teljes¨ ul´ese eset´en m´asfajta jelens´egek is fell´ephetnek. Term´eszetes m´odon felmer¨ ult az az ig´eny az elm´eletben, hogy adjunk teljes k´epet 4
arr´ol, hogy mikor lehets´eges az, hogy f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok normaliz´alt r´eszlet¨osszegei eloszl´asban norm´alis eloszl´ashoz konverg´alnak, de a norm´al´as lehet szokatlan is. Err˝ol a probl´em´ar´ol sok ´erdekes ´es tartalmas eredm´enyt bizony´ıtottak, de ezzel mi nem fogunk foglalkozni. Gyakorlati szempontb´ol ugyanis csak a kor´abban t´argyalt eredm´enyek fontosak, az itt t´argyalt eredm´enyek csak nagyon speci´alis esetekben jelennek meg. ´ Erdemes megeml´ıteni, hogy az eml´ıtett p´eld´akban a v´aratlan jelens´egek oka az volt, hogy egy kis halmazon a val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok nagyon nagy ´ert´eket vettek fel, ami alig befoly´asolta o¨sszegeik eloszl´as´at. Ezt a t´enyt a Slutsky lemma seg´ıts´eg´evel tudtuk megmutatni. Viszont egy kis halmazon felvett nagy ´ert´ekek nagyon megv´altoztatt´ak a momentumokat. Minden szokatlan norm´al´assal ´erv´enyes hat´areloszl´ast´etel h´atter´eben ilyen jelens´eg van. S˝ot, mint l´atni fogjuk a val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as egy´eb probl´em´aiban, mint p´eld´aul a k´es˝obb t´argyaland´o nagy sz´amok t¨orv´eny´enek probl´em´aj´aban is hasonl´o probl´em´ak jelennek meg. ´ reloszla ´ ste ´telek vizsga ´ lata vektore ´rte ´ ku ˝ fu ¨ ggetlen valo ´ sz´ınu ˝ se ´gi Hata ´ ltozo ´ k normaliza ´ lt o ¨ sszegeire. va Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o k´et probl´em´at a.) Egy p´enzdarabr´ol el akarjuk d¨onteni, hogy szab´alyos-e. Ennek ´erdek´eben a p´enzdarabot sokszor egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul feldobjuk, ´es feljegyezz¨ uk a kis´erletek eredm´eny´et. Milyen eredm´enysorozat eset´en tekinthetj¨ uk a p´enzdarabot szab´alyosnak? b.) Egy dob´okock´ar´ol el akarjuk d¨onteni, hogy szab´alyos-e. Ennek ´erdek´eben a dob´okock´at sokszor egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul feldobjuk, ´es feljegyezz¨ uk a kis´erletek eredm´eny´et. Milyen eredm´enysorozat eset´en tekinthetj¨ uk a dob´okock´at szab´alyosnak? Term´eszetes u ´gy d¨onteni, hogy a p´enzdarabot akkor tekintj¨ uk szab´alyosnak, ha a dob´asok k¨or¨ ulbel¨ ul fele feje k¨or¨ ulbel¨ ul fele pedig ´ır´asdob´as. Hasonl´oan, a dob´okock´at akkor tekintj¨ uk szab´alyosnak, ha mindegyik dob´aseredm´eny az o¨sszes dob´as k¨or¨ ulbel¨ ul egyhatod´aban k¨ovetkezik be. De mit jelent a ,,k¨or¨ ulbel¨ ul” sz´o ezekben az a´ll´ıt´asokban? Az a) probl´ema eset´eben a centr´alis hat´areloszl´ast´etel seg´ıts´eg´evel adhatunk pontosabb v´alaszt erre a k´erd´esre. V´egezz¨ unk o¨sszesen n kis´erletet, ´es legyen S n a fedob´asok Sn − n2 √ sz´am´at, akkor a centr´alis hat´areloszl´ast´etel k¨ovetkezt´eben k¨ozel norm´alis van 2
l´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Val´oban vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o ξ k , 1 ≤ k ≤ n, val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okat: ξk = 1, ha a k-ik dob´as eredm´enye fej, ξk = 0, ha a k-ik dob´as eredm´enye n P ξk , Eξk = 21 , Var ξk = 14 , tov´abb´a a ξk val´osz´ın˝ ´ır´as. Ekkor Sn = us´egi v´altoz´ok k=1
f¨ uggetlenek. Ez´ert a centr´alis hat´areloszl´ast´etelb˝ol k¨ovetkezik a megfogalmazott eredm´eny. Ennek seg´ıts´eg´evel kidolgozhatunk egy term´eszetes strat´egi´at. Term´eszetesen nem adhatunk olyan elj´ar´ast, amelyik biztosan helyes d¨ont´est ad. Pr´ob´aljunk olyan d¨ont´est hozni, amelyik egy szab´alyos p´enzdarabot 0.9 val´osz´ın˝ us´eggel szab´alyosnak min˝os´ıt. Term´eszetes elj´ar´as a k¨ovetkez˝o: Keress¨ uk ki egy nom´alis eloszl´ast´abl´azat 5
seg´ıts´eg´evel azt az x sz´amot, melyre Φ(x) − Φ(−x) = 0.9, ahol Φ(x) jel¨oli a√ standard norm´a√ lis eloszl´ast. Ezut´an tekints¨ uk a p´enzdarabot szab´alyosnak, ha − 12 nx ≤ Sn − n2 ≤ 21 nx, ellenkez˝o esetben pedig tekints¨ uk a p´enzdarabot szab´alytalannak. Lehet-e hasonl´o m´odszet megadni a b) feladat megold´as´ara? A v´alasz erre a k´erd´esre igenl˝o, de ennek kidolgoz´as´ahoz be kell bizony´ıtani a centr´alis hat´areloszl´ast´etel (1) (2) (3) (4) (5) (6) t¨obb-dimenzi´os v´altozat´at. Legyen ugyanis Sn = (Sn , Sn , Sn , Sn , Sn , Sn ) az 1es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-¨os ´es 6-os eredm´eny˝ u dob´asok sz´ama, akkor ha n dob´ast hajtunk v´egre. A k´es˝obb t´argyaland´o t¨obb-dimenzi´os centr´alis hat´areloszl´ast´etelben ezen v´eletlen vektor alkalmas normaliz´altj´anak az aszimptotikus eloszl´as´ara kiv´anunk ered(k) (k) (k) (k) (k) (k) m´enyt kapni. Vezess¨ uk be ξ (k) = (ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 , ξ5 , ξ6 ) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ot, amelyiknek a j-ik koordin´at´aja 1, ha a k-ik dob´as eredm´enye j, ´es ebben az esetben az o¨sszes t¨obbi koordin´ata nulla. A ξ (k) vektor azt m´eri, hogy a k-ik dob´asnak mennyi n P ξ (k) . Ez azt jelenti, a hozad´eka k¨ ul¨onb¨oz˝o dob´aseredm´enyek sz´am´ahoz, ez´ert S n = k=1
hogy a vizsg´aland´o Sn v´eletlen vektor el˝oa´ll´ıthat´o, mint f¨ uggetlen v´eletlen vektorok o¨sszege. Ez´ert term´eszetes azt vizsg´alni, hogy a klasszikus centr´alis hat´areloszl´ast´etelt hogyan lehet a´ltal´anos´ıtani v´eletlen vektorokra. Mint a b) p´elda mutatja, egy ilyen eredm´eny hasznos lehet term´eszetes gyakorlati probl´em´ak megold´as´aban is. Megjegyezz¨ uk, hogy a b) probl´em´ahoz hasonl´oan t´argyalhat´o az al´abbi c) probl´ema: c) Legyen adva k urna, ´es ezekbe egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul bedobunk n goly´ot egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul, amelyek ugyanolyan val´osz´ın˝ us´eggel esnek az egyes urn´akba. Pr´ob´aljuk meg ellen˝or´ızni azt, hogy igaz-e, hogy a goly´ok az egyes urn´akba p 1 , . . . , pk val´osz´ın˝ us´eggel esnek. (Feltessz¨ uk, hogy az elv´egzett kis´erletek n sz´ama nagyon nagy.) Annak ´erdek´eben, hogy a t¨obb-dimenzi´os centr´alis hat´areloszl´ast´etelt bebizony´ıtsuk bizonyos eredm´enyeknek ´es fogalmaknak ki kell dolgozni a t¨obb-dimenzi´os megfelel˝oj´et, ´ıgy defini´alnunk kell t¨obb-dimenzi´os eloszl´asok konvergenci´aj´at es a karakterisztikus f¨ uggv´enyek t¨obb-dimenzi´os megfelel˝oj´et. Ezut´an be lehet bizony´ıtani azt, hogy a t¨obbdimenzi´os eloszl´asokat is meghat´arozza azok karakterisztikus f¨ uggv´enye, ´es igaz az eloszl´asok konvergenci´ajank elapt´etelek´ent elnevezett eredm´eny t¨obb-dimenzi´os v´altozata. Ezeket az eredm´enyeket meg fogjuk fogalmazni, de a bizony´ıt´asok r´eszleteit, melyek l´enyeg´eben az egy-dimenzi´os esetben t´argyalt bizony´ıt´asok term´eszetes m´odos´ıt´as´ab´ol a´llnak, elhagyjuk. Ezek az eredm´eyek lehet˝ov´e teszik, hogy a t¨obb-dimenzi´os centr´alis hat´areloszl´ast´etelt annak egy-dimenzi´os v´altozat´ahoz hasonl´oan bizony´ıtsuk be. S˝ot, val´oj´aban a helyzet m´eg enn´el is egyszer´ ubb. Meg lehet mutatni, hogy a t¨obb-dimenzi´os centr´alis-hat´areloszl´ast´etel k¨ozvetlen m´odon visszavezethet˝o az egy-dimenzi´os esetre. A fenti a´ll´ıt´asok r´eszletesebb megt´argyal´asa lesz a k¨ovetkez˝o programunk. De miel˝ott ehhez hozz´akezden´enk, megt´argyaljuk az egy-dimenzi´os val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok vizsg´alat´aban fontos szerepet j´atsz´o v´arhat´o ´ert´ek ´es sz´or´asn´egyzet fogalm´anak a t¨obbdimenzi´os megfelel˝oit, a t¨obb-dimenzi´os v´arhat´o ´ert´ek ´es a kovarianciam´atrix fogalm´at. Ez ut´obbi vizsg´alat´aban fontos szerepet j´atszanak bizonyos alapvet˝o line´aris algebrai ismeretek, mindenekel˝ott a szimmetrikus m´atrixok tulajdons´agai, ´es azok u ´gynevezett f˝otengely transzform´aci´oja. 6
¨ bb-dimenzio ´ s valo ´ sz´ınu ˝ se ´gi va ´ ltozo ´ k va ´ rhato ´e ´rte ´ke e ´s kovariancia ma ´ tTo ´ gai. rixa valamint azok legfontosabb tulajdonsa El˝osz¨oris ismertetem a t´argyaland´o fogalmak definici´oj´at. T¨ obb-dimenzi´ os val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o v´ arhat´ o´ ert´ ek´ enek ´ es kovariancia m´ atrix´ anak a definici´ oja. Legyen Z = (Z1 , . . . , Zk ) k-dimenzi´ os v´eletlen vektor. E v´eletlen vektor v´ arhat´ o ´ert´eke az EZ = (EZ1 , . . . , EZk ) k-dimenzi´ os vektor, felt´eve, hogy mindegyik EZj , 1 ≤ j ≤ k v´ arhat´ o ´ert´ek l´etezik. Tegy¨ uk fel tov´ abb´ a, hogy a Z = (Z1 , . . . , Zk ) v´eletlen vektor minden koordin´ at´ aja teljes´ıti az EZj2 < ∞, 1 ≤ j ≤ k, felt´etelt. Ekkor defini´ aljuk e v´eletlen vektor kovariancia m´ atrix´ at is, ´es az a D = (dj,l ), 1 ≤ j, l ≤ k, k × k m´eret˝ u m´ atrix, mely m´ atrix j-ik sor´ aban ´es l-ik oszlop´ aban l´ev˝ o elem a dj,l = Cov (Zj , Zl ) = EZj Zl − EZj EZl sz´ am. Megfogalmazom meg a vektor´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok v´arhat´o ´ert´ek´enek ´es kovariancia m´atrix´anak n´eh´any fontos tulajdons´ag´at. ³ ´ (j) (j) 1. T´ etel. Legyenek Z (j) = Z1 , . . . , Zk , 1 ≤ j ≤ n, v´eletlen k-dimenzi´ os vektorok
ugyanazon az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on. Ekkor a Z (1) + · · · + Z (n) o ¨sszeg v´ arhat´ o (j) ´ert´eke megegyezik a Z vektorok v´ arhat´ o ´ert´ekeinek az o ¨sszeg´evel, azaz ³ ´ E Z (1) + · · · + Z (n) = EZ (1) + · · · + EZ (n) . Ha egy Z = (Z1 , . . . , Zk ), v´eletlen vektor v´ arhat´ o ´ert´eke M = (M1 , . . . , Mk ), a tetsz˝ oleges val´ os sz´ am, x = (x1 , . . . , xk ) tetsz˝ oleges k-dimenzi´ os vektor, akkor E(Z + x) = EZ + x, a Z + x akkor aZ = (aZ1 , . . . , aZk ), v´eletlen vektor v´ arhat´ o ´ert´eke aM , ´es E(Z + x) = EZ + x. Ez az a´ll´ıt´as k¨ovetkezm´enye az egy-dimenzi´os val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok v´arhat´o ´ert´ek´er˝ol tanult eredm´enyeknek. 2. T´ etel. Ha az 1. T´etelben szerepl˝ o Z (j) , 1 ≤ j ≤ n, v´eletlen vektorok f¨ uggetlenek, vagy a ´ltal´ anosabban a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o vektorok koordin´ at´ ai korrel´ alatlanok, ami azt jelenti, (i) (i0 ) hogy Cov (Zl Zl ) = 0, ha i 6= i0 , 1 ≤ j, l ≤ k, akkor a kovariancia m´ atrix is addit´ıv. R´eszletesebben megfogalmazva: Ha a Z (j) m´ atrix kovariancia m´ atrixa a Dj m´ atrix, (1) (n) 1 ≤ j ≤ n, akkor a Z + · · · + Z v´eletlen o ¨sszeg kovariancia m´ atrixa a D1 + · · · + Dn m´ atrix. Ha egy Z = (Z1 , . . . , Zk ), v´eletlen vektor kovariancia m´ atrixa a D k × k m´eret˝ u m´ atrix, a tetsz˝ oleges val´ os sz´ am, akkor az aZ = (aZ1 , . . . , aZk ), kovariancia m´ atrixa az a2 D kovariancia m´ atrix. Tov´ abb´ a, ha x = (x1 , . . . , xk ) tetsz˝ oleges k-dimenzi´ os vektor, akkor a Z +x vektor kovariancia m´ atrixa megegyezik a Z vektor kovariancia m´ atrix´ aval. A 2. T´etel is egyszer˝ u k¨ovetkezm´enye az egy-dimenzi´os val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok v´arhat´o ´ert´ek´enek sz´am´ıt´asar´ol sz´ol´o a´ll´ıt´asoknak. L´assuk p´eld´aul azt, hogyan lehet 7
kisz´am´ıtanai az o¨sszeg kovarianciam´atrix´anak egy elem´et (1) Cov (Zj
=
+ ··· +
n X i=1
(n) (1) Z j , Zl
(i)
(i)
Cov (Zj Zl ) +
+ ··· + X
(n) Zl )
=
n n X X
(i) (i0 ) EZj Zl
i=1 i0 =1 (i)
(i0 )
Cov (Zj Zl
−
n n X X
(i)
(i0 )
EZj EZl
i=1 i0 =1
).
1≤i,i0 ≤n, i6=i0 (i)
(i0 )
Viszont a jobboldalon szerepl˝o m´asodik tag nulla a Cov (Z l Zl ) = 0, ha i 6= i0 , 1 ≤ j, l ≤ k, felt´etel miatt, az els˝o tag pedig megegyezik a D1 + · · · + Dn m´atrix jik sor´aban ´es l-ik oszlop´aban szerepl˝o taggal. A T´etel t¨obbi a´ll´ıt´as´anak a bizony´ıt´asa egyszer˝ ubb. Meg akarjuk adni, hogy milyen m´atrixok jelenhetnek meg, mint alkalmas v´eletlen vektor kovariancia m´atrixa. Ennek a k´erd´esnek a vizsg´alat´aban fel kell haszn´alnunk a line´aris algebra n´eh´any alapvet˝o fogalm´at ´es eredm´eny´et. El˝osz¨or id´ezz¨ uk fel a k¨ovetkez˝o line´aris algebrai fogalmat. Szimmetrikus ´ es pozit´ıv (szemi)definit m´ atrixok definici´ oja. Legyen D = (dj,l ) egy k × k m´eret˝ u m´ atrix. Azt mondjuk, hogy a D m´ atrix szimmetrikus, ha minden 1 ≤ j, l ≤ k indexre dj,l = dl,j . (Pontosabban azt k¨ ovetelj¨ uk meg, ha nemcsak val´ os, hanem a ´ltal´ anos komplex ´ert´ek˝ u elemekkel rendelkez˝ o m´ atrixokat is tekint¨ unk, ami ebben az el˝ oad´ asban nem fog el˝ ofordulni), hogy dj,l = d¯l,j , ahol z¯ a z komplex sz´ am konjug´ altja, azaz, ha z = a + ib, akkor z¯ = a − ib.) Egy k × k m´eret˝ u szimmetrikus D = (d j,l ) m´ atrix pozit´ıv szemidefinit, ha minden x = (x1 , . . . , xk ) k-dimenzi´ os vektorra xDx∗ = k k P k k P P P xj dj,l xl > 0 xj dj,l xl ≥ 0 ´es (szigor´ uan) pozit´ıv definit, ha a xDx∗ = j=1 l=1
j=1 l=1
szigor´ u egyenl˝ otlens´eg is teljes¨ ul minden (x1 , . . . , xk ) 6= (0, . . . , 0) vektorra. (Ebben a for∗ mul´ aban x jel¨ oli az x vektor transzpon´ altj´ at, azaz azt az oszlopvektort, melynek f¨ ol¨ ulr˝ ol sz´ am´ıva l-ik eleme megegyezik az x vektor balr´ ol sz´ am´ıtott l-ik elem´evel. Ekkor xDx ∗ a szok´ asos vektor ´es m´ atrix szorz´ ast jel¨ oli.) Sz¨ uks´eges lesz a szimmetrikus m´atrixok egyszer˝ u reprezent´aci´oj´at ´es a pozit´ıv szemidefinit m´atrixok jellemz´es´et. Ez az eredm´eny m´artixok u ´gynevezett f˝otengelytranszform´aci´oinak megad´asa. Ennek az elnevez´esnek az ok´ar´ol a t´etel ut´an egy megjegyz´esben ´ırok. A t´etel kimond´asa el˝ott id´ezz¨ uk fel az unit´er m´atrixok definici´oj´at ´es legfontosabb fogalmait. Egy U k ×k m´eret˝ u n´egyzetes m´atrixot unit´ernek nevez¨ unk, ha teljes¨ ul az U U ∗ = I azonoss´ag, ahol I az identit´as m´atrix. Ez az azonoss´ag akkor ´es csak akkor teljes¨ ul, ha ∗ ´erv´enyes az U U = I azonoss´ag. Az unit´er m´atrixok m´as ekvivelens jellemz´ese az, ´ hogy sorai (´es egyben az oszlopai is) ortonorm´alt vektorok. Erdemes felid´ezni az unit´er m´atrixok geometriai tartalm´at is. Egy U m´atrix akkor ´es csak akkor unit´er, ha az a´ltala meghat´arozott transzform´aci´o t´avols´ag (´es ez´ert egyben sz¨ogtart´o) transzform´aci´o. Szimmetrikus m´ atrixok f˝ otengelytranszform´ aci´ oj´ ar´ ol sz´ ol´ o t´ etel. Egy A szim∗ metrikus m´ atrix fel´ırhat´ o A = U ΛU alakban, ahol U unit´er, Λ pedig diagon´ alis m´ atrix. 8
Egy k × k m´eret˝ u szimmetrikus A m´ atrix A = U ΛU ∗ el˝ oa ´ll´ıt´ as´ at meg lehet adni a k¨ ovetkez˝ o m´ odon: L´etezik az A m´ atrixnak k ortonorm´ alt u1 , . . . , uk saj´ atvektora λ1 , . . . , λk saj´ at´ert´ekekkel, azaz olyan vektorok ´es sz´ amok melyekre teljes¨ ul az u j A = λj uj , 1 ≤ j ≤ k, azonoss´ ag. Ekkor az U m´ atrixot megadhatjuk, mint azt a m´ atrixot, melynek ∗ j-ik oszlopa az uj oszlopvektor, a Λ m´ atrix pedig ebben az esetben az a diagon´ alis m´ atrix, melynek j-ik sor´ aban ´es j-ik oszlop´ aban a λj sz´ am a ´ll. Egy A m´ atrix akkor ´es csak akkor pozit´ıv szemidefinit, ha minden saj´ at´ert´eke nem negat´ıv, ´es akkor (szigor´ uan) pozit´ıv definit, ha o ¨sszes saj´ at´ert´eke pozit´ıv. Megjegyz´es: A f˝otengelytranszform´aci´onak szeml´eletes tartalma a k¨ovetkez˝o. Egy A m´atrixnak (egy r¨ogz´ıtett ortonorm´alt b´azis eset´en) megfelel egy line´aris transzform´aci´o. Ha a m´atrix szimmetrikus, (amelyik tulajdons´ag megfogalmazhat´o a neki megfelel˝o A line´aris transzform´aci´o seg´ıts´eg´evel is, mint az (xA, y) = (yA, x) azonoss´ag), akkor l´etezik olyan ortonorm´alt b´azis, melyben az A m´atrixnak megfelel˝o transzfom´aci´o diagon´alis. Az erre a koordin´atarendszerre val´o a´tt´er´est nevezik f˝otengelytranszform´aci´onak. A t´etelben megfogalmazott eredm´eny tulajdonk´eppen azt ´ırja le, hogy a transzform´aci´onak ez a ,,sz´ep” koordin´atarendszerben megadott diagon´alis alakja hogyan l´atszik az eredeti koordin´atarendszerben. Ezut´an a line´aris algebrai el˝ok´esz´ıts ut´an meg tudjuk fogalmazni ´es be tudjuk bizony´ıtani a kovarianciam´atrixok jellemz´es´et kimond´o t´etelt. T´ etel a kovariancia m´ atrixok jellemz´ es´ er˝ ol. Legyen Z = (Z1 , . . . , Zk ) egy kdimenzi´ os v´eletlen vektor. Ekkor a Z vektor kovariancia m´ atrixa szimmetrikus ´es pozit´ıv szemidefinit m´ atrix. Megford´ıtva, tetsz˝ oleges D szimmetrikus, pozit´ıv szemidefinit m´ atrixhoz l´etezik olyan Z = (Z1 , . . . , Zk ) v´eletlen vektor, melynek ez a D m´ atrix a kovariancia m´ atrixa. S˝ ot igaz a k¨ ovetkez˝ o tartalmasabb a ´ll´ıt´ as is: Legyen Y = (Y 1 , . . . , Yk ) olyan v´eletlen vektor, melynek a kovariancia m´ atrixa az identit´ as m´ atrix, azaz Var Y j = 1, 1 ≤ j ≤ k, Cov (Yj , Yl ) = 0, ha 1 ≤ j, l ≤ k, ´es j 6= l. (Ez a helyzet p´eld´ aul akkor, ha az Yj , 1 ≤ j ≤ k val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es Var Y j = 1.) Ekkor l´etezik olyan A = (a ) k × k m´ e ret˝ u m´ a trix, melyre igaz, hogy a Z = (Z1 , . . . , Zk ) = (Y1 , . . . , Yk )A = j,l à ! k k P P a1,p Yp , . . . , atrixa a D m´ atrix. ak,p Yp v´eletlen vektor kovariancia m´ p=1
p=1
A bizony´ıt´as felhaszn´alja a k¨ovetkez˝o line´aris algebrai eredm´enyt. T´ etel a line´ aris algebr´ ab´ ol. Legyen D pozit´ıv szemidefinit m´ atrix. Ekkor l´etezik olyan A m´ atrix, melyre ´erv´enyes a D = A∗ A azonoss´ ag, ahol A∗ az A m´ atrix transzpon´ altj´ at jel¨ oli. S˝ ot, azt is feltehetj¨ uk, hogy az A m´ atrix o ¨nadjung´ alt ´es pozit´ıv szemidefinit. A t´etel bizony´ıt´ asa a line´ aris algebr´ ar´ ol kimondott t´etel seg´ıts´eg´evel. Tekints¨ unk el˝osz¨or egy Z = (Z1 , . . . , Zk ) egy k-dimenzi´os v´eletlen vektort ´es annak D = (dj,l ), dj,l = Cov (Zj , Zl ), 1 ≤ j, l ≤ k, kovariancia m´atrix´at. Ekkor D szimmetrikus m´atrix, mert dj,l = dl,j , azaz Cov (Zj , Zl ) = Cov (Zl , Zj ). M´asr´eszt tetsz˝oleges x = (x1 , . . . , xk ) 9
k-dimenzi´os vektorra Var
Var
k X j=1
xj Z j = =
Ã
k P
xj Z j
j=1
k X k X j=1 l=1
k k X X
!
≥ 0. Ezenk´ıv¨ ul
E (xj xl (Zj Zl − EZj EZl )) =
k X k X
xj xl Cov (Zj , Zl )
j=1 l=1
xj xl dj,l = xDx∗ .
j=1 l=1
Innen k¨ovetkezik, hogy xDx∗ ≥ 0 tetsz˝oleges x = (x1 , . . . , xk ) k-dimenzi´os vektorra, azaz D szimmetrikus pozit´ıv szemidefinit m´atrix. Megford´ıtva, legyen D pozit´ıv szemidefinit m´atrix, ´es Y = (Y 1 , . . . , Yk ) olyan v´eletlen vektor, melynek a kovariancia m´atrixa az identit´as m´atrix, azaz Var Y j = 1, 1 ≤ j ≤ k, Cov (Yj , Yl ) = 0, ha 1 ≤ j, l ≤ k, ´es j 6= l. A kimondott line´aris algebrai eredm´eny szerint l´etezik olyan A = (aj,l ), 1 ≤ j, l ≤ k k × k m´eret˝ u m´atrix, melyre ∗ D = A A. Azt a´ll´ıtom, hogy a Z = (Z1 , . . . , Zk ) = Y A, azaz a Z = (Z1 , . . . , Zk ), Zj = k P ap,j Yp , 1 ≤ j ≤ k, v´eletlen vektor kovariancia m´atrixa a D m´atrix. Innen k¨ovetkezik p=1
a feladat m´asodik a´ll´ıt´asa is. Ennek az azonoss´agnak a bizony´ıt´asa ´erdek´eben sz´amoljuk ki a à Cov (Zj , Zl ), 1 ≤ j, ! l ≤ k, kovarianci´akat. Azt kapjuk, hogy Cov (Z j , Zl ) = k k k P k P P P ap,j aq,l Cov (Yp , Yq ), ahonnan aq,l Yq , ez´ert Cov (Zj , Zl ) = ap,j Yp , Cov p=1
p=1 q=1
q=1
mivel Cov (Yp , Yq ) = 0, ha p 6= q, ´es Cov (Yp , Yp ) = 1, Cov (Zj , Zl ) =
k P
ap,j ap,l = dj,l ,
p=1
ahol dj,l a D = A∗ A m´atrix j-ik sor´aban ´es l-ik oszlop´aban szerepl˝o konstans. Ezt kelllett bebizony´ıtanunk A felhaszn´ alt line´ aris algebrai t´etel bizony´ıt´ asa. ´Irjuk fel az D m´atrixot D = U ΛU ∗ alakban, ahol U unit´er, Λ pedig diagon´alis m´atrix. Az, hogy az D m´atrix pozit´ıv szemidefinit azt √ jelenti, hogy a Λ diagon´alis m´atrix λj , 1 ≤ j ≤ k, elemei nem negat´ıvak. p Ez´ert l´etezik az Λ diagon´alis m´atrix, melynek j-ik sor´anak j-ik oszlop´aban a λj elem √ a´ll.√Defini´aljuk √ az A = U ΛU ∗ m´atrixot. Ekkor A √ szimmetrikus m´atrix, mert A∗ = √ (U ΛU ∗ )∗ = U ΛU ∗ = A, valamint A∗ A = A2 = U ΛU ∗ U ΛU ∗ = U ΛU ∗ = D. Az A m´atrix pozit´ıv szemidefinit is egyben, ha a λj sz´amok pozit´ıv n´egyzetgy¨okeit vessz¨ uk.) Megjegyz´es a line´ aris algebrai t´etelhez: A nem negat´ıv sz´amoknak a pozit´ıv szemidefinit m´atrixok felelnek meg magasabb dimenzi´oban. A megfogalmazott eredm´eny azt mondja ki, hogy pozit´ıv szemidefinit m´atrixokb´ol, hasonl´oan a nem negat´ıv sz´amokhoz lehet n´egyzetgy¨ok¨ot vonni. Ez a n´egyzetgy¨okvon´as nem egy´ertelm˝ u. P´eld´aul egy megold´as ismeret´eben a k¨ovetkez˝o m´odon lehet u ´j megold´asokat kapnin. Ha D = A ∗ A ´es U unit´er transzform´aci´o, akkor az A¯ = U A m´atrixra is teljes¨ ul, hogy A¯∗ A¯ = A∗ U ∗ U A = A∗ A = D, teh´at A∗ is megold´asa a tekintett egyenletnek. Jegyezz¨ uk meg, hogy val´os sz´amok k¨oz¨ott is csak akkor egy´ertelm˝ u a gy¨okvon´as, ha csak a pozit´ıv gy¨ok¨ot tekintj¨ uk. 10
Ennek az a´ll´ıt´asnak ´erv´enyes a k¨ovetkez˝o t¨obb-dimenzi´os a´ltal´anos´ıt´asa: A D = A ∗ A egyenletnek pontosan egy szimmetrikus pozit´ıv szemidefinit megold´asa van. Ennek bizony´ıt´asa nem neh´ez, de mivel erre nem lesz sz¨ uks´eg¨ unk, ez´ert a bizony´ıt´ast elhagyon. Val´os ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok sz´or´asn´egyzete nem-negat´ıv, teh´at nem z´artuk ki annnak a leht˝os´eg´et sem, hogy nulla. De ez csak abban az elfajult esetben lehets´eges, ha a tekintett val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o konstans, azaz 1 val´osz´ın˝ us´eggel ugyanazt az ´ert´eket veszi fel. Hasonl´oan, a t¨obb-dimenzi´os esetben csak azt k¨ovetelt¨ uk meg, hogy a v´eletlen vektor kovarianciam´atrixa pozit´ıv szemidefefinit legyen, de megendedt¨ uk, hogy ne legyen (szigor´ uan) pozit´ıv definit. De ha a kovarianciam´atrix nem pozit´ıv definit az bizonyos elfajults´agot jelent, ´es akkor a v´eletlen vektozoknak van olyan nem trivi´alis line´aris kombin´aci´oja, amelyik egy val´osz´ın˝ us´eggel konstans. Ezt a t´enyt fogalmazzuk meg az al´abbi Lemm´aban. Lemma. Egy ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor D = (di,j ) kovariancim´ atrixa akkor ´es csak akkor nem (szigor´ uan) pozit´ıv definit, ha l´eteznak olyan aj , 1 ≤ j ≤ k, sz´ amok, k P melyek nem mindegyike nulla, ´es aj ξj = K valamilyen K (determinisztikus) konj=1
stanssal egy val´ osz´ın˝ us´eggel.
Bizony´ıt´ as: Ha l´eteznek olyan a1 , . . . , ak sz´amok, melyek nem mindegyike nulla, ´es k P aj ξj = K egy val´osz´ın˝ us´eggel, akkor j=1
0 = Var
k X j=1
aj ξj =
k X k X
ai aj Cov (ξi , ξj ) =
i=1 j=1
k X k X
ai aj di,j ,
i=1 j=1
ami azt jelenti, hogy a D = (di,j ) m´atrix nem (szigor´ uan) pozit´ıv definit. Megford´ıtva, ha a D = (di,j ) m´atrix nem (szigor´ uan) pozit´ıv definit, akkor l´eteznek k P k P olyan a1 , . . . , ak sz´amok, melyek nem mindegyike nulla ´es ai aj di,j = 0. Ekkor a i=1 j=1
k P
ai ξk val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ora
i=1
Var ahonnan
k P
k X j=1
aj ξj =
k X k X
ai aj Cov (ξi , ξj ) =
i=1 j=1
k X k X
ai aj di,j = 0,
i=1 j=1
ai ξk = K valamilyen K konstansra egy val´osz´ın˝ us´eggel.
i=1
11
