A Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as II. el˝ oad´ assorozat m´ asodik t´ em´ aja. ´ ´ ´ ´ A CENTRALIS HATARELOSZL AST ETEL A val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as legfontosabb eredm´enye a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel. Ez azt mondja ki, hogy f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´alt r´eszlet¨ osszegeinek az eloszl´asa nagyon ´ altal´ anos felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en k¨ ozel´ıt˝ oleg a standard norm´ alis eloszl´ as. Megfogalmazom, majd k´es˝obb bebizony´ıtom a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel leg´altal´ anosabb alakj´ at. Ezut´an ismertetek n´eh´ any fontos eredm´enyt, amelyeket ez a t´etel speci´ alis esetk´ent tartalmaz. Mutatok n´eh´ any p´eld´at, amelyek magyar´ azatot adnak a t´etelben megfogalmazott felt´etelek szerep´ere. Megfogalmazom, ´es a kieg´esz´ıt´esben bebizony´ıtom a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel megford´ıt´ as´at is. Ez az eredm´eny azt a´ll´ıtja, hogy a t´etelben megfogalmazott felt´etelek nemcsak el´egs´eges, hanem egyben sz¨ uks´eges felt´etelei is a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek. R¨ oviden t´argyalom az u ´gynevezett lok´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt is. Ez, n´emileg inform´ alisan megfogalmazva azt ´ all´ıtja, hogy alkalmas felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´alt ¨ osszegeinek nemcsak az eloszl´ asf¨ uggv´eny¨ uk van k¨ ozel a standard norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyhez, hanem a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny¨ uk is k¨ ozel van a standard norm´ alis s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyhez. Ennek az eredm´enynek a bizony´ıt´ as´aban hasonl´o gondolatok jelennek meg, mint amilyenekkel a Stirling formula kor´ abban ismertetett bizony´ıt´ as´aban tal´ alkoztunk. Az eredm´enyek ismertet´ese el˝ ott bevezetek n´eh´ any fogalmat. A centr´ alis hat´areloszl´ ast´etel ´ altal´ anos alakja sz´eriasorozatok r´eszlet¨ osszegeinek eloszl´ as´ar´ ol sz´ol. Ez´ert ismertetem a sz´eriasorozatok definici´ oj´at. Sz´ eriasorozatok definici´ oja. A ξ1,1 , . . . , ξ1,n1 .. .. . . ξk,1 , . . . , ξk,nk .. .. . . val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok rendszere, k → ∞, sz´eriasorozat, ha az egy sorban lev˝ o ξk,1 , . . . , ξk,nk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek. (A k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sorokban lev˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok kapcsolat´ ar´ ol nem t´etelez¨ unk fel semmit.) A centr´ alis hat´areloszl´ast´etel sz´eriasorozatokra azt a ´ll´ıtja, hogy egy ξk,j , k = 1, nk P 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , sz´eriasorozat Sk = ξk,j , k = 1, 2, . . . , sor¨ osszegei alkalmas j=1
felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en eloszl´ asban konverg´alnak a standard norm´ alis eloszl´ ashoz. Term´eszetes megk¨ ovetelni, hogy nagy k indexre a ξk,j , 1 ≤ j ≤ nk , sornak ne legyen olyan eleme, amely ugyanolyan nagys´agrend˝ u, mint a t¨obbi tag o¨sszege egy¨ uttv´eve. Ilyen k¨ ovetelm´enyt fogalmaz meg az egyenletes kicsis´eg al´ abb bevezetett felt´etele. 1
Egyenletes kicsis´ eg felt´ etele sz´ eriasorozatokra. Legyen ξk,j , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ 2 nk , olyan sz´eriasorozat, amelyre Eξk,j = 0, Eξk,j < ∞, k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , ´es n k P 2 lim Eξk,j = 1. Egy ilyen sz´eriasorozat teljes´ıti az egyenletes kicsis´eg felt´etel´et, ha k→∞ j=1
lim
k→∞
sup 1≤j≤nk
2 Eξk,j
= 0.
A centr´ alis hat´areloszl´ast´etel a´ltal´ anos (sz´eriasorozatok sor¨ osszegeir˝ ol sz´ol´ o) alakj´ aban fontos szerepet j´ atszik az al´ abbi Lindeberg felt´etel. Lindeberg felt´ etel definici´ oja sz´ eriasorozatokra: Legyen ξk,j , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ 2 j ≤ nk , olyan sz´eriasorozat, amelyre Eξk,j = 0, Eξk,j < ∞, k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , ´es n k P 2 Eξk,j = 1. Ez a sz´eriasorozat akkor ´es csak akkor teljes´ıti a Lindeberg felt´etelt, lim k→∞ j=1
ha tetsz˝ oleges ε > 0 sz´ amra
lim
k→∞
nk X j=1
2 Eξk,j I ({|ξk,j | > ε}) = 0,
ahol I(A) egy A halmaz indik´ ator f¨ uggv´enye. Megfogalmazom a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel ´ altal´ anos alakj´ at sz´eriasorozatok sorosszegeire. ¨ A centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel sz´ eriasorozatok sor¨ osszegeire. Legyen ξk,j , k = 2 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , olyan sz´eriasorozat, amelynek tagjaira Eξk,j = 0, Eξk,j < ∞, n k P 2 k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , lim Eξk,j = 1, ´es teljes´ıtse ez a sz´eriasorozat a Lindeberg k→∞ j=1
felt´etelt. Ekkor
a.) A sz´eriasorozat teljes´ıti a lim
k→∞
b.) Az Sk =
nk P
j=1
sup 1≤j≤nk
2 Eξk,j
= 0 egyenletes kicsis´eg felt´etel´et.
ξk,j , 1 ≤ k < ∞, v´eletlen o ¨sszegek eloszl´ asban konverg´ alnak a standard,
azaz nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es 1 sz´ or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ ashoz, ha k → ∞. Igaz a sz´eriasorozatok sor¨ osszegeir˝ ol sz´ol´ o centr´ alis hat´areloszl´ast´etel k¨ ovetkez˝ o megford´ıt´ asa is. A sz´ eriasorozatok sor¨ osszegeir˝ ol sz´ ol´ o centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel megford´ıt´ asa. Legyen ξk,j , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , olyan sz´eriasorozat, amelyre Eξk,j = 0, nk P 2 2 Eξk,j = 1, ´es teljes´ıti a sz´eriasorozatokra Eξk,j < ∞, k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , lim k→∞ j=1
2
megfogalmazott egyenletes kicsis´egi felt´etelt is. Ha ez a sz´eriasorozat teljes´ıti a centr´ alis nk P ξk,j , 1 ≤ k < ∞, v´eletlen o ¨sszegek eloszl´ asban hat´ areloszl´ ast´etelt, azaz az Sk = j=1
konverg´ alnak az egy sz´ or´ asn´egyzet˝ u ´es nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u norm´ alis eloszl´ ashoz k → ∞ eset´en, akkor a ξk,j , 1 ≤ k < ∞, 1 ≤ j ≤ nk , sz´eriasorozat teljes´ıti a Lindeberg felt´etelt. Megjegyz´es: A fenti eredm´enyben a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel teljes¨ ul´es´enek a felt´etele nemcsak azt jelenti, hogy az Sk sor¨ osszegek eloszl´ asban konverg´ alnak egy norm´ alis eloszl´ ashoz, hanem azt is, hogy ennek a norm´ alis hat´areloszl´asnak a ‘helyes’ 1 sz´or´asn´egyzete van. Fogunk p´eld´at l´atni olyan az egyenletes kicsis´eg felt´etel´et teljes´ıt˝ o sz´eriasorozatokra, amelyek sor¨ osszegei eloszl´ asban egy ‘rossz’ (t´ ul kicsi sz´or´ asn´egyzet˝ u) norm´ alis eloszl´ ashoz konverg´alnak ´es nem teljes´ıtik a Lindeberg felt´etelt. A centr´ alis hat´areloszl´as megford´ıt´ as´ar´ ol sz´ol´ o eredm´eny fel´etelei n´emileg gyeng´ıthet˝ oek. Azt a felt´etelt, hogy a hat´areloszl´as legyen nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o csak k´enyelmi okokb´ ol tettem fel. A t´etel bizony´ıt´ as´ab´ ol l´athat´ o, hogy ez a felt´etel elhagyhat´o. Ha a sz´eriasorozat teljes´ıti az egyenletes kicsis´eg felt´etel´et ´es a sor¨ osszegek egy egy sz´or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz konverg´ alnak, akkor ez csak u ´gy lehets´eges, hogy a hat´areloszl´as a (nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u) standard norm´ alis eloszl´ as. A fenti t´etelek kiel´eg´ıt˝ o magyar´ azatot adnak arra a k´erd´esre, hogy sz´eriasorozatok sor¨ osszegei mikor teljes´ıtik a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt. Minket azonban tov´ abbi a centr´ alis hat´areloszl´as probl´emak¨ or´ehez tartoz´o k´erd´esek is ´erdekelnek. P´eld´aul szeretn´enk azt is tudni, hogy f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´alt r´eszlet¨ osszegei mikor teljes´ıtik a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt. R´eszletesebben megfogalmazva ez a k´erd´es a k¨ ovetkez˝ o: Tekints¨ uk f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy ξn , n = 1, 2, . . . , sorozat´at, amelyre n P Eξn = 0, ´es σn2 = Eξn2 < ∞, n = 1, 2, . . . . Jel¨olje Sn = ξk e sorozat els˝ o n tagj´ anak az ¨ osszeg´et, ´es legyen s2n = Var Sn =
n P
k=1
k=1
σk2 ezen v´eletlen ¨ osszeg sz´or´ asn´egyzete. Tegy¨ uk
aci´ot. Azt szeretn´enk tudni, hogy fel, hogy az sn sz´amsorozat teljes´ıti a lim s2n = ∞ rel´ n→∞
az Ssnn normaliz´alt r´eszlet¨ osszegek mikor konverg´alnak eloszl´ asban a standard norm´ alis eloszl´ ashoz.
Nem neh´ez l´atni, hogy ez a probl´ema speci´alis esete annak a k´erd´esnek, hogy sz´eriasorozatok sor¨ osszegei mikor teljes´ıtik a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt. Val´ oban, tekints¨ uk f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy ξn , n = 1, 2, . . . , sorozat´at, amelyre Eξn = n P 0, ´es σn2 = Eξn2 < ∞, n = 1, 2, . . . . Jel¨olje Sn = ξk a sorozat els˝ o n tagj´ anak az
o¨sszeg´et, ´es legyen
s2n
= Var Sn =
n P
k=1
k=1
σk2
ezen v´eletlen ¨ osszeg sz´or´ asn´egyzete. Defini´ aljuk
ezen ξ1 , ξ2 , . . . f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, illetve a seg´ıts´eg¨ ukkel bevezetett sn , n = 1, . . . mennyis´egek felhaszn´al´ as´aval a k¨ ovetkez˝ o ξk,j , k = 1, 2, . . . , j = 1, . . . , nk , sz´eriasorozatot: 3
nk = k ´es ξk,j =
ξj sk ,
ha 1 ≤ j ≤ k minden k = 1, 2, . . . sz´amra.
Ezzel a v´ alaszt´ assal a az
Sn sn
normaliz´alt r´eszlet¨ osszegek akkor ´es csak akkor konξ
verg´alnak eloszl´ asban a standard norm´ alis eloszl´ ashoz, ha a ξk,j = skj , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ k, sz´eriasorozat sor¨ osszegei teljes´ıtik a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt. Ezenk´ıv¨ ul ezt a nk P 2 sz´eriasorozatot u ´gy defini´altuk, hogy az teljes´ıti a Eξk,j = 1, k = 1, 2, . . . , rel´ aci´ot. j=1
Ez´ert a sz´eriasorozatok sor¨ osszegeir˝ ol sz´ol´ o centr´ alis hat´areloszl´ast´etel term´eszetes k¨ ovetkezm´enyek´ent f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´alt r´eszlet¨ osszegeire ´erv´enyes centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt kaphatunk. Ennek megfogalmaz´asa ´erdek´eben vezess¨ uk be a Lindeberg felt´etel ´es az egyenletes kicsis´eg felt´etel´enek term´eszetes a´tfogalmaz´ as´at f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok r´eszlet¨ osszegeire.
Az egyenletes kicsis´ eg felt´ etele f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok sorozataira: Legyen ξn , n = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, amelyre Eξn = 0, n P σn2 = Eξn2 < ∞, n = 1, 2, . . . . Vezess¨ uk be az s2n = σk2 , n = 1, 2, . . . , mennyis´egeket. k=1
Azt mondjuk, hogy a ξn , n = 1, 2, . . . , sorozat teljes´ıti az egyenletes kicsis´eg felt´etel´et, σ2 ha lim s2n = ∞, ´es lim sup s2k = 0. n→∞
n→∞ 1≤k≤n
n
Lindeberg felt´ etel f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok sorozataira: Legyen ξn , n = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, amelyre Eξn = 0, σn2 = Eξn2 < ∞, n P 2 n = 1, 2, . . . , ´es az s2n = σk , n = 1, 2, . . . , sorozat teljes´ıti a lim s2n = ∞ felt´etelt. n→∞
k=1
Azt mondjuk, hogy a ξn , n = 1, 2, . . . , sorozat teljes´ıti a Lindeberg felt´etelt, ha minden ε > 0 sz´ amra n 1 X 2 Eξk I({|ξk | > εsn }) = 0. lim n→∞ s2 n k=1
A k¨ ovetkez˝ o centr´ alis hat´areloszl´ast´etel, illetve annak megford´ıt´ asa egyszer˝ u k¨ ovetkezm´enye a sz´eriasorozatok r´eszlet¨ osszegeir˝ ol kimondott centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek ´es annak megford´ıt´ as´anak. A centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok normaliz´ alt r´ eszlet¨ osszegeire. Legyen ξn , n = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, n P amelyre Eξn = 0, σn2 = Eξn2 < ∞, n = 1, 2, . . . , lim s2n = ∞, ahol s2n = σk2 . n→∞
k=1
Teljes´ıtse ez a ξn , n = 1, 2, . . . , sorozat a f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok o ¨sszegeire megfogalmazott Lindeberg felt´etelt. Ekkor ez a sorozat teljes´ıti a f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi n P ξk
Sn sn
k=1
= sn norv´ altoz´ ok sorozataira megfogalmazott egyenletes kicsis´egi felt´etelt, ´es az maliz´ alt r´eszlet¨ osszegek eloszl´ asban konverg´ alnak a standard norm´ alis eloszl´ ashoz, ha n → ∞. 4
F¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok normaliz´ alt r´ eszlet¨ osszegeir˝ ol sz´ ol´ o centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel megford´ıt´ asa. Legyen ξn , n = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, amelyre Eξn = 0, σn2 = Eξn2 < ∞, n = 1, 2, . . . , lim s2n = ∞, ahol n→∞ n P s2n = σk2 . Teljes´ıtse ez a ξn , n = 1, 2, . . . , sorozat a f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok k=1
Sn sn
n P
ξk
k=1
= sn normaliz´ alt o ¨sszegeire megfogalmazott egyenletes kicsis´eg felt´etel´et. Ha az r´eszlet¨ osszegek eloszl´ asban konverg´ alnak a standard norm´ alis eloszl´ ashoz n → ∞ eset´en, akkor a ξn , n = 1, 2, . . . sorozat teljes´ıti a f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozataira megfogalmazott Lindeberg felt´etelt. Szeretn´enk l´atni, hogy a fent megfogalmazott ´ altal´ anos, centr´ alis hat´ areloszl´ast´etel alkalmazhat´o a minket ´erdekl˝ o esetekben. A f˝ o probl´ema az, hogy mikor teljes¨ ul a centr´ alis hat´areloszl´as felt´etelek´ent megfogalmazott Lindeberg felt´etel. Tekints¨ uk el˝ osz¨ or azt a fontos, speci´alis esetet, amikor f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´alt r´eszlet¨ osszegeit vizsg´aljuk. Centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok normaliz´ alt r´ eszlet¨ osszegeire. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, amelyre Eξ12 < ∞. Vezess¨ uk be a σ 2 = Var ξ1 = n P Eξ12
Sn√ −nEξ1 nσ
2
k=1
ξk −nEξ1
√ − (Eξ1 ) mennyis´eget. Ekkor az = normaliz´ alt o ¨sszegek nσ eloszl´ asban konverg´ alnak a standard norm´ alis eloszl´ ashoz n → ∞ eset´en.
Bizony´ıt´ as. Azt fogom megmutatni, hogy ez az eredm´eny megkaphat´o a f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´alt r´eszlet¨ osszegeire vonatkoz´o centr´ alis hat´areloszl´ast´etel speci´ alis esetek´ent. Feltehetj¨ uk, hogy Eξ1 = 0, Eξ12 = 1. Val´ oban, bevezetve a ξk′ = ξk −Eξk , k = 1, 2, . . . , mennyis´egeket, egy f¨ uggetlen egyforma, eloszl´ as´ u, nulla v´ arhat´ o σ1 ´ert´ek˝ u ´es 1 sz´or´ asn´egyzet˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okb´ ol ´ all´ o ξ1′ , ξ2′ . . . sorozatot defini´altunk, n P ′ S′ √n n
ξk
k=1
= √n = amelyre az u ´j esetre bel´ atni.
Sn√ −nEξ1 . nσ
Ez´ert elegend˝ o a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt csak erre
Ha ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, amelyekre Eξ1 = 0, Eξ12 = 1, akkor a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´ as´ahoz el´eg bel´ atni, n P hogy ez a sorozat teljes´ıti a Lindeberg felt´etelt. Mivel ebben ez esetben s2n = Eξk2 =
n, ez azt jelenti, hogy azt kell megmutatni, hogy
k=1
n n q √ 1X 2 1 X 2 2 = E(ξ 2 I(|ξ | > ε n) → 0 Eξ I(|ξ | > εs ) = Eξ I |ξ | > ε nEξ k n j 1 k j 1 j 2 sn n j=1 k=1
√ 2 minden ε > 0 sz´amra, ha n → ∞. Viszont E(ξ√ 1 I(|ξ1 | > ε n) → 0, ha n → ∞. Ez osz´ın˝ us´eggel, ha n → ∞. k¨ ovetkezik a Lebesgue t´etelb˝ ol, mert ξ12 I(|ξ1 | > ε n) → 0 1 val´ 5
√ Ezenk´ıv¨ ul ξ12 (ω)I(|ξ1 (ω)| > ε n) ≤ ξ12 (ω) minden ω ∈ Ω pontban ´es n = 1, 2, . . . indexre, ´es Eξ12 < ∞. Megfogalmazok egy tov´ abbi eredm´enyt, amely azt mondja ki, hogy a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel ´erv´enyes alkalmas felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en. Ez az eredm´eny arr´ ol sz´ol, hogy a Lindeberg felt´etel teljes¨ ul, ha bizonyos k¨ onnyebben ellen˝ orizhet˝o felt´etelek teljes¨ ulnek. A centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel f¨ ugggetlen val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok normaliz´ alt r´ eszlet¨ osszegeire. Legyen ξn , n = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, n P amelyre Eξn = 0, σn2 = Eξn2 < ∞, n = 1, 2, . . . , lim s2n = ∞, ahol s2n = σk2 . Ez n→∞
n P
k=1
ξk
k=1
alt o ¨sszegek, n = 1, 2, . . . , a sorozat teljes´ıti a Lindeberg felt´etelt, ´ıgy a sn normaliz´ eloszl´ asban konverg´ alnak a standard norm´ alis eloszl´ ashoz, ha a k¨ ovetkez˝ o felt´etel teljes¨ ul. a) E|ξk |2+α < ∞, minden k = 1, 2, . . . sz´ amra valamilyen α > 0 konstanssal, ´es n P 2+α lim
n→∞
k=1
E|ξk | s2+α n
= 0.
b) Az a) felt´etel ´es ez´ert a centr´ alis hat´ areloszl´ ast´etel teljes¨ ul abban az esetben, ha Eξk2 ≥ K valamilyen K > 0 sz´ ammal minden k = 1, 2, . . . indexre, ´es ezenk´ıv¨ ul ´erv´enyes −α/2 2+α a lim k E|ξk | = 0 rel´ aci´ o. k→∞
Bizony´ıt´ as. Alkalmazzuk a H¨older egyenl˝otlens´eget mindegyik Eξk2 I(|ξk | > εsn ), 1 ≤ k ≤ n, tagra p = 2+α ´es q = 2+α v´ alaszt´ assal, majd a becsl´esk´ent kapott o¨sszegre 2 α alkalmazzuk megint a H¨older egyenl˝otlens´eget ugyanezzel a (p, q) p´arral. ´Ily m´ odon a k¨ ovetkez˝ o becsl´est kapjuk. n X
k=1
Eξk2 I(|ξk |
n 2/(2+α) X (2+α) > εsn ) ≤ P (|ξk | > εsn )α/(2+α) E|ξk | k=1
≤
n X
k=1
E|ξk |(2+α)
!2/(2+α)
n X
k=1
P (|ξk | > εsn )
!α/(2+α)
.
n n 2 P P Eξk 1 ert M´asr´eszt, a Csebisev egyenl˝otlens´eg alapj´ an P (|ξk | > εsn ) ≤ 2 ε s2n = ε2 . Ez´ k=1 k=1 n α/(2+α) P ≤ ε−2α/(2+α) , ´es ha teljes¨ ul a t´etel a) felt´etele, akkor P (|ξk | > εsn ) k=1
2/(2+α) P n (2+α) E|ξ | n k k=1 1 X 2 lim sup 2 =0 Eξk I(|ξk | > εsn ) ≤ ε−2α/(2+α) lim n→∞ s2+α n→∞ sn n k=1
6
minden ε > 0 sz´amra, azaz teljes¨ ul a Lindeberg felt´etel. Az b) r´eszben megfogalmazott felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en s2n ≥ const. n, ´es ezenk´ın P v¨ ul E|ξk |2+α = o n(α+2)/2) = o(s2+α ), ha n → ∞. Ez´ert ekkor teljes¨ ulnek az a) n k=1
r´esz felt´etelei is. Ekkor teljes¨ ul a Lindeberg felt´etel, ´es ´ıgy a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel is.
n P
k=1
n P ´ uk meg a fenti t´etel szeml´eletes tartalm´ Erts¨ at. Tudjuk, hogy s2n = Eξk2 =
Eξk2 I(|ξk |
≤ ε) +
n P
k=1
k=1
Eξk2 I(|ξk |
> ε) minden ε > 0 sz´amra. A Lindeberg felt´etel azt
fejezi ki, hogy a fenti azonoss´ag jobboldal´ an szerepl˝o ¨ osszegRm´ asodik tagja sokkal kisebb, mint s2n . Ez szeml´eletesen azt jelenti, hogy az Eξk2 = ξk2 (ω) dP (ω) integr´alokban azon ω-k hozad´eka, ahol |ξk (ω)| t´ ul nagy, (pontosabban az {ω: |ξk (ω)| ≥ εsn } halmaz hozad´eka) elhanyagolhat´ oan kicsi. Ennek k´ıv´antuk valamilyen viszonylag k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝o, ´es sok ´erdekes esetben teljes¨ ul˝ o felt´etel´et megadni. R A gondolat a k¨ ovetkez˝ o volt. Az E|ξk |2+α = |ξk |2+α (ω) dP (ω) integr´alokban az α > 0 esetben azon ω-k hozad´eka, ahol ξk (ω) rendk´ıv¨ ul nagy, nagyobb, mint az 2 Eξk kifejez´est megad´o integr´alokban. Sz´ep esetekben az E|ξk |2+α integr´al nem t´ ul nagy. P´eld´aul, ha mindegyik ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o abszolut ´ert´eke kisebb, mint egy (a k indext˝ ol nem f¨ ugg˝o) korl´ at, akkor E|ξk |2+α ≤ const. Eξk2 minden k indexre, ´es n P E|ξk |2+α ≤ const. s2n . A fenti t´etel a) pontban megfogalmazott felt´etel´eben az k=1 n P
a
k=1
E|ξk |2+α ¨ osszegre egy enn´el gyeng´ebb felt´etelt fogalmaztunk meg. (Jegyezz¨ uk
meg, hogy az ez az a) felt´etel csak akkor teljes¨ ulhet, ha lim s2n = ∞.) Az a) felt´etel n→∞
megengedi, hogy legyenek olyan ω-k, amelyekre ξk (ω) viszonylag nagy, de ezek hat´asa elhanyagolhat´ oan kicsi. ´Igy siker¨ ult olyan felt´etelt tal´ alni, amely biztos´ıtja a Lindeberg felt´etel teljes¨ ul´es´et. Annak ´erdek´eben, hogy a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel tartalm´ at, illetve a Lindeberg felt´etel szerep´et ebben az eredm´enyben jobban meg´erts¨ uk l´assunk olyan p´eld´akat is, amelyekben a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel nem ´erv´enyes, mert nem teljes¨ ul a Lindeberg felt´etel. K´et k¨ ul¨ onb¨oz˝ o p´eld´at fogok mutatni, amelyekben a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelben el˝ o´ırt f¨ uggetlens´egi ´es egyenletes kicsis´egi felt´etelek teljes¨ ulnek, m´egsem ´erv´enyes a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel, mert nem teljes¨ ul a Lindeberg felt´etel. P´ elda olyan modellre, amelyben nem teljes¨ ul a centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel. Legyenek ξn , n = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a k¨ ovetkez˝ o eloszl´ assal: P (ξn = n) = P (ξn = −n) = 4n1 2 , P (ξn = 1) = P (ξn = −1) = 41 , ´es P (ξn = 0) = n P 1 1 1 2 √ − , n = 1, 2, . . . . Ekkor Eξ = 0, Eξ = 1. Az S = ξn normaliz´ alt r´eszn n n 2 2n2 n k=1
let¨ osszegek sorozata egyr´eszt teljes´ıti az ESn = 0, ´es Var Sn = 1 rel´ aci´ okat, m´ asr´eszt, or´ asn´egyzet˝ u mint l´ atni fogjuk, eloszl´ asban konverg´ al egy nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es 21 sz´ norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, ha n → ∞. 7
Ebben a p´eld´aban f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok olyan normaliz´alt r´eszlet¨ osszegeit tekintett¨ uk, amelyre nem teljes¨ ul a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel. Ugyanis a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel szerint az Sn normaliz´alt r´eszlet¨ osszegeknek a nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es egy sz´ or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ ashoz kellene konverg´alni. Az egyenletes kicsis´eg Eξ 2 ahoz konverg´ al, felt´etele teljes¨ ul ebben a p´eld´aban, mert s2n = n, ´es sup s2k = n1 null´ 1≤k≤n
n
ha n → ∞. Viszont nem teljes¨ ul a Lindeberg felt´etel, mert p´eld´aul ε = n n n P P P 1 n 1 1 2 2 ) = k P (|ξ | > E(ξ I(|ξ | > εs ) = k 2 2k12 = 14 . 2 k k n k s n 2 n n
v´ alaszt´ assal
k= n 2 +1
k=1
k=1
1 2
A p´elda indokl´ asa. Az ESn = 0 ´es ESn2 = 1 rel´ aci´o nyilv´anval´ o. A hat´areloszl´asr´ ol sz´ol´ o all´ıt´ ´ as bizony´ıt´ asa ´erdek´eben vezess¨ uk be az Xn = ξn I(|ξn | ≤ 1), Yn = ξn I(|ξn | > 1), n n P P Un = Xk ´es Vn = Yk mennyis´egeket. Ekkor Sn = √1n Un + √1n Vn . A f¨ uggetlen, k=n
k=1
egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok r´eszlet¨ osszegeire vonatkoz´ o centr´ alis hat´ar1 eloszl´ ast´etel alapj´ an az √n Un , n = 1, 2, . . . , sorozat eloszl´ asban konverg´ al a nulla 1 asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ ashoz n → ∞ eset´en, mert az Xk , v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es 2 sz´or´ 1 2 osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok k = 1, 2, . . . , f¨ uggetlenek ´es egyforma EXk = 0, EXk = 2 , val´ 1 √ eloszl´ as´ uak. Az n Vn kifejez´esek sztochasztikusan konverg´alnak null´ ahoz, ha n → ∞. ∞ P Ugyanis P (Yk 6= 0) < ∞, ez´ert a Borell–Cantelli lemma alapj´ an egy val´ osz´ın˝ us´eggel k=1
csak v´eges sok Yk (ω) nem egyenl˝o null´ aval, ´es
∞ P
k=1
|Yk (ω)| ≤ K(ω) 1 val´ osz´ın˝ us´eggel.
A p´elda ´ all´ıt´ asa k¨ ovetkezik a fenti ´ all´ıt´ asokb´ol ´es a kieg´esz´ıt´esben bizony´ıtott (egy´ebk´ent egyszer˝ u) Slutzky lemm´ab´ ol. Ez a lemma azt mondja ki, hogy amennyiben val´osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok valamely Pn sorozata eloszl´ asban konverg´ al egy F eloszl´ ashoz, ´es val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy m´ asik Qn sorozata sztochasztikusan konverg´ al null´ ahoz, akkor a Pn + Qn sorozat is konverg´al eloszl´ asban az F eloszl´ ashoz. Mivel Sn = √1 Un + √1 Vn , a p´ e lda a ´ ll´ ıt´ a sa k¨ o vetkezik a fenti rel´ a ci´ o kb´ o l ´ e s a Slutzky lemm´ ab´ ol n n alaszt´ assal. Pn = √1n Un ´es Qn = √1n Vn v´ Egy m´ asik p´ elda olyan modellre, amelyben nem teljes¨ ul a centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel. Tekints¨ unk egy ξ¯k,j , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , sz´eriasorozatot, amelyre nk → ∞, ha k → ∞, a ξ¯k,j , 1 ≤ j ≤ nk , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ¯ ¯ P (ξk,j = 1) = 1 − P (ξk,j = 0) = λk,j , 1 ≤ j ≤ nk , ´es a λk,j konstansok teljes´ıtik nk P λk,j = 1 felt´eteleket. Legyen ξk,j = ξ¯k,j − E ξ¯k,j . A a lim sup λk,j = 0 ´es a lim k→∞ 1≤j≤nk
k→∞ j=1
ξk,j , 1 ≤ j ≤ nk , sz´eriasorozat a Lindeberg felt´etel kiv´etel´evel teljes´ıti a sz´eriasorozatokra nk P ξk,j sor¨ osszegek eloszl´ asban vonatkoz´ o eloszl´ ast´etel felt´eteleit. M´ asr´eszt az Sk = j=1
konverg´ alnak egy η − Eη val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, ahol η Poisson eloszl´ as´ u λ = 1 param´eterrel. A p´elda indokl´ asa. A ξ¯k,j , 1 ≤ j ≤ nk , sz´eriasorozat teljes´ıti a sz´eriasorozatokra 8
vonatkoz´ o Poisson hat´areloszl´ast´etel felt´eteleit λ = 1 param´eterrel. Ez´ert,mint k´es˝obb nk P ξ¯k,j ¨ osszegek egy λ = 1 param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u η l´atni fogjuk, az S¯k = j=1
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, az Sk = S¯k − E S¯k val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok pedig az η − Eη val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz konverg´alnak eloszl´ asban. K¨ onnyen l´athat´ o, hogy a ξk,j , 1 ≤ j ≤ nk sz´eriasorozat a Lindeberg felt´etelt kiv´eve a sz´eriasorozatokra vonatkoz´ o centr´ alis hat´areloszl´ast´etel ¨ osszes felt´etel´et teljes´ıti. A Lindeberg felt´etelt viszont nem teljes´ıti. Ugyanis l´etezik olyan k = k0 index, hogy 2 I(|ξk,j | > ε) = E ξ¯k,j = λk,j < 21 minden k ≥ k0 ´es 1 ≤ j ≤ nk indexre. Ez´ert ξk,j 1 2 2 2 ξk,j I(ξ¯k,j = 1), ha k ≥ k0 ´es ε = 2 . Innen Eξk,j I(|ξk,j | > ε) = Eξk,j I(ξ¯k,j = 1) = nk nk P P 2 λk,j (1 − λk,j )2 , ´es Eξk,j I(|ξk,j | > ε) = λk,j (1 − λk,j )2 , ha k ≥ kj , ´es ε = 12 . j=1
j=1
Viszont nem neh´ez bel´ atni, hogy a λk,j sz´amokra tett felt´etelek mellett lim
k→∞
nk X j=1
λk,j (1 − λk,j )2 = 1.
R´ at´erek a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´ as´ara. Az eloszl´ asok konvergenci´ aj´ ar´ ol sz´ ol´ o Alapt´etel egyszer˝ us´ıtett v´ altozata alapj´ an el´eg azt bebizony´ıtani, hogy ha teljes¨ ulnek a megfelel˝ o centr´ alis hat´areloszl´ast´etel felt´etelei, akkor a sor¨ osszegek (sz´eriasorozat eset´en) vagy a normaliz´alt r´eszlet¨ osszegek (f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata eset´en) karakterisztikus f¨ uggv´enyei konverg´alnak a standard norm´ alis eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggv´eny´ehez. Ez´ert ´erdemes el˝ osz¨ or a standard norm´ alis eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggv´eny´et kisz´ amolni. Ez t¨ort´enik a k¨ ovetkez˝ o lemm´ aban. A lemma bizony´ıt´ as´aban kihaszn´alom a komplex f¨ uggv´enytan n´eh´ any fontos eredm´eny´et. Lemma a standard norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´ eny karakterisztikus f¨ uggv´ eny´ er˝ ol. 2 1 −x /2 A ϕ(x) = √2π e , −∞ < x < ∞, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel rendelkez˝ o standard norm´ alis 2
eloszl´ asf¨ uggv´eny karakterisztikus f¨ uggv´enye a g(t) = e−t /2 f¨ uggv´eny, azaz Z ∞ 2 2 1 eitx √ e−x /2 dx = e−t /2 . 2π −∞
Bizony´ıt´ as. Z ∞ 2 2 1 1 −x2 /2 √ e−(x−it) /2 e−t /2 dx g(t) = dx = e √ e 2π 2π −∞ −∞ Z ∞−it 2 2 1 √ e−x /2 dx. = e−t /2 2π −∞−it Z
∞
itx
A fenti sz´amol´ asban a szok´ asos technik´at alkalmaztuk, az exponensben szerepl˝o kvadratikus alakot teljes n´egyzett´e alak´ıtotuk ´ at. Azt ´ all´ıtom, hogy Z ∞−it 2 1 √ e−x /2 dx = 1. 2π −∞−it 9
Ez az integr´al abban k¨ ul¨ onb¨ozik a standard norm´ alis s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny integr´alj´at´ ol, hogy a norm´ alis s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny integr´alj´at nem a val´ os tengelyen, hanem egy vele p´arhuzamos egyenesen tekintj¨ uk. Ez az integr´al ugyanannyi, mintha a val´ os tenge2 uggv´enyt. Ez egyszer˝ uen k¨ ovetkezik a komplex lyen integr´altuk volna az √12π e−x /2 f¨ f¨ uggv´enytan tal´ an legfontosabb eredm´eny´eb˝ ol, amely szerint egy analitikus f¨ uggv´eny −z 2 /2 k¨ orintegr´alja egy z´art g¨orb´en nulla. Azt kell kihaszn´alni, hogy a h(z) = e f¨ uggv´eny analitikus az eg´esz sz´ams´ıkon, ´es ezenk´ıv¨ ul a h(z) f¨ uggv´eny olyan, hogy amennyiben a z argumentum imagin´ arius r´esz´enek az abszolut ´ert´eke kisebb mint valamely fix K sz´am, re´ alis r´esz´enek az abszolut ´ert´eke pedig nagyon nagy, akkor a h(z) f¨ uggv´eny nagyon kicsi. Mivel ez a bizony´ıt´ as a komplex f¨ uggv´enytani ismeretek felhaszn´al´ asa seg´ıts´eg´evel egyszer˝ uen v´egrehajthat´o, viszont ez a komplex f¨ uggv´enytani r´esz, amelyet nem tanult mindenki elengedhetetlen ebben a bizony´ıt´ asban, ez´ert a r´eszletek kidolgoz´ as´at elhagyom. K¨ ovetkezm´ eny. K´et f¨ uggetlen norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oo ¨sszege norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Bizony´ıt´ as. A k¨ ovetkezm´eny ´ all´ıt´ as´at be lehet bizony´ıtani k´et norm´ alis s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny konvoluci´ oj´anak a kisz´ am´ıt´ as´aval, ´es a gyakorlaton ezt meg fogjuk tenni. De egyszer˝ ubben c´elhoz ´er¨ unk k´et f¨ uggetlen norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o o¨sszeg´enek a karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek a kisz´ amol´ as´aval ´es annak felhaszn´al´ as´aval, hogy egy eloszl´ ast meghat´ aroz a karakterisztikus f¨ uggv´enye. Legyen ξ egy m1 v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es σ12 sz´or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Akkor ξ fel´ırhat´ o ξ = σ1 ξ1 + m1 alakban, ahol ξ1 standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Ez´ert ξ karakterisztikus f¨ uggv´enye 2 2
ϕ1 (t) = Eeit(σ1 ξ1 +m1 ) = eitm1 Eei(tσ1 )ξ1 = e−σ1 t
/2+itm1
.
Legyen η a ξ-t˝ ol f¨ uggetlen m2 v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es σ22 sz´or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u −σ22 t2 /2+itm2 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Akkor η karakterisztikus f¨ uggv´enye ϕ2 (t) = e , ξ+η −(σ12 +σ22 )t2 /2+it(m1 +m2 ) karakterisztikus f¨ uggv´enye pedig ϕ1 (t)ϕ2 (t) = e . Innen k¨ ovetke2 2 zik, hogy ξ + η m1 + m2 v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es σ1 + σ2 sz´or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. A sz´eriasorozatok sor¨ osszegeire ´erv´enyes centr´ alis hat´ areloszl´ ast´etelt fogom bebizony´ıtani. A bizony´ıt´ as el˝ ott ismertetek egy heurisztikus indokl´ ast, majd megmutatom, hogy e heurisztikus indokl´ as r´eszleteit kidolgozva hogyan kaphatunk pontos bizony´ıt´ ast. Tekints¨ unk egy ξk,j , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , sz´eriasorozatot, amelynek tagjaira nk P 2 2 Eξk,j = 1. Jel¨olje ϕk,j (t) = Eξk,j = 0, Eξk,j < ∞, k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , ´es lim k→∞ j=1
itξk,j
, −∞ < t < ∞, a ξk,j val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´eny´et, ´es nk P vezess¨ uk be az Sk = ξk,j jel¨ol´est. Ee
j=1
10
2
Ekkor azt kell megmutatnunk, hogy lim EeitSk = e−t
/2
k→∞
minden −∞ < t < ∞
sz´amra. Viszont tudjuk a f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok szorzat´anak v´ arhat´ o ´ert´ek´er˝ ol sz´ol´ o eredm´eny alapj´ an, hogy nk nk nk X Y Y itSk itξk,j Ee = E exp itξk,j = Ee = ϕk,j (t) (1) j=1
j=1
j=1
A fenti azonoss´agban logaritmust v´eve a bizony´ıtand´ o´ all´ıt´ ast ´ıgy fogalmazhatjuk a´t: lim
k→∞
nk X j=1
log ϕk,j (t) = −t2 /2,
−∞ < t < ∞.
(2)
Viszont a ϕk,j (t) karakterisztikus f¨ uggv´enyeket Taylor sorba fejtve a t = 0 pont k¨ or¨ ul, ´es felhaszn´alva a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok momentumainak kifejez´es´er˝ ol a karakterisztikus f¨ uggv´eny¨ uk seg´ıts´eg´evel megadott kifejez´es´er˝ ol sz´ol´ o eredm´enyt az el˝ oz˝ o el˝ oad´asb´ ol a ϕk,j (t) karakterisztikus f¨ uggv´enyekre a k¨ ovetkez˝ o k¨ ozel´ıt´est tudjuk adni. (Itt felhaszn´aljuk, hogy mint azt k´es˝obb l´atni fogjuk, a tekintett val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok kicsis´ege miatt az al´ abbi Taylor sorfejt´eseket a nulla egy kis k¨ ornyezet´eben v´egezz¨ uk.) ϕk,j (t) ∼ ϕk,j (0) + tϕ′k,j (0) +
t2 2 t2 2 t2 ′′ ϕk,j (0) = 1 + itEξk,j − Eξk,j = 1 − Eξk,j . 2 2 2 2
2 Tov´ abb´a, mivel log(1−u) ∼ u kis u sz´amokra, azt v´ arjuk, hogy a log ϕk,j (t) ∼ − t2 Eξk,j j´ o k¨ ozel´ıt´est ad. E k¨ ozel´ıt˝ o rel´ aci´okat ¨ osszegezve, ´es felhaszn´alva a t´etel felt´eteleit azt nk nk P 2 2 P 2 kapjuk, hogy atjuk, Eξk,j ∼ − t2 , ´es ezt kellett megmutatni. Bel´ log ϕk,j (t) ∼ − t2 j=1
j=1
hogy a fenti k¨ ozel´ıt˝ o azonoss´agok pontosabb kifejt´ese seg´ıts´eg´evel be tudjuk bizony´ıtani a k´ıv´ant centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt. E program v´egrehajt´as´anek ´erdek´eben azonban fel kell tenni, hogy teljes¨ ul a Lindeberg felt´etel. A r´eszletek kidolgoz´ asa el˝ ott bel´ atok egy a bizony´ıt´ asban hasznos lemm´at, amely arr´ ol sz´ol, hogy az eiu trigonometrikus f¨ uggv´enyt milyen j´ ol k¨ ozel´ıtik Taylor sor´ anak szeletei. Lemma trigonometrikus f¨ uggv´ enyek Taylor sor k¨ ozel´ıt´ es´ er˝ ol. Tetsz˝ oleges nem negat´ıv eg´esz k ´es val´ os u sz´ amra k iu iu |u|k+1 (iu) e − 1 + + ··· + ≤ (k + 1)! . 1! k!
Bizony´ıt´ as: Vezess¨ uk be az F (u) = eiu − 1 +
iu 1!
+ ··· +
(iu)k k!
(3)
f¨ uggv´enyt, ´es tekints¨ uk
ennek F (j) (u) deriv´altjait. F (j) (0) = 0, ha 0 ≤ j ≤ k, ´es |F (k+1)R(u)| = |eiku | = 1 u minden u val´ os sz´amra. Teljes indukci´ oval kapjuk, hogy |F (j) (u)| ≤ 0 |F (j+1) (s)| ds ≤ 11
Ru
k+1−j
|s|k−j ds (k−j)!
|u| = (k+1−j)! minden j = k + 1, k, . . . , 0 sz´amra. Teh´ at |F (u)| ≤ a Lemma a´ll´ıt´ asa. 0
|u|k+1 (k+1)! ,
´es ez
A centr´ alis hat´ areloszl´ ast´etel bizony´ıt´ asa sz´eriasorozatok sor¨ osszegeire. L´ assuk el˝ osz¨ or be, hogy a Lindeberg felt´etel teljes¨ ul´es´eb˝ ol k¨ ovetkezik az egyenletes kicsis´eg tulajdons´aga. R¨ ogz´ıts¨ unk egy ε > 0 sz´amot. Ekkor 2 Eξk,j
=
2 Eξk,j I({(|ξk,j |
< ε}) +
2 Eξk,j I({|ξk,j |
2
≥ ε}) ≤ ε +
nk X j=1
2 Eξk,j I({|ξk,j | ≥ ε}),
2 ≤ ε2 . Mivel ez az a´ll´ıt´ as minden ez´ert a Lindeberg felt´etel alapj´ an lim sup sup Eξk,j k→∞ 1≤j≤nk
ε > 0 sz´amra ´erv´enyes, innen k¨ ovetkezik az egyenletes kicsis´eg felt´etele. A centr´ alis hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´ asa ´erdek´eben el˝ osz¨ or azt mutatom meg, hogy az Eξk,j = 0 rel´ aci´o ´es a Lindeberg felt´etel teljes¨ ul´ese miatt lim
k→∞
Mivel lim
nk P
k→∞ j=1
nk X j=1
(ϕk,j (t) − 1) = lim
k→∞
nk X
k=1
t2 E eitξk,j − 1 − itξk,j = − . 2
(4)
2 Eξk,j = 1, ez ekvivalens azzal, hogy nk X
t2 2 itξk,j E e − 1 − itξk,j + ξk,j = 0. lim k→∞ 2 j=1 Alkalmazva a (3) formul´ at u = tξk,j v´ alaszt´ assal k = 2-re, ha |tξk,j | ≤ ε ´es k = 1-re, ha |tξk,j | ≥ ε azt kapjuk, hogy X X nk 2 nk t 2 |tξk,j |3 itξk,j I({|ξ | ≤ ε}) ξ I({|ξk,j | ≤ ε}) E e − 1 − itξ + E ≤ k,j k,j 2 k,j 6 j=1 j=1 nk X
2 ξk,j ≤ const. ε, ≤ ε|t| E 6 j=1 3
´es a Lindeberg felt´etel alapj´ an nk 2 X t 2 itξk,j lim E e − 1 − itξk,j + ξk,j )I({|ξk,j | > ε}) k→∞ 2 j=1 ≤ lim
k→∞
nk X j=1
2 Et2 ξk,j I({|ξk,j | > ε}) = 0.
12
Mivel ezek a rel´ aci´ok minden ε = 0-ra ´erv´enyesek, innen k¨ ovetkezik a (4) formula. Meg akarom mutatni, hogy igaz a (4) formula azon m´ odos´ıt´ asa, amelyben az 1 − ϕk,j (t) f¨ uggv´enyt a log ϕk,j (t) f¨ uggv´ennyel helyettes´ıtem, azaz igaz a (2) formul´ aban fel´ırt azonoss´ag. Ennek ´erdek´eben bel´ atom a k¨ ovetkez˝ o technikai jelleg˝ u lemm´at. Lemma karakterisztikus f¨ uggv´ eny logaritmus´ anak a becsl´ es´ er˝ ol. Tekints¨ uk egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ϕ(t) karkakterisztikus f¨ uggv´eny´et valamilyen r¨ ogz´ıtett t sz´ amra. t2 2 Ha Eξ = 0, Eξ ≤ ε egy el´eg kis ε = ε(t) > 0 sz´ ammal akkor |1 − ϕ(t)| ≤ 2 Eξ 2 , ´es 4 2 | log ϕ(t) + (1 − ϕ(t))| ≤ t4 Eξ 2 .
A lemma bizony´ıt´ asa. Alkalmazva a (3) formul´ at k = 1-re kapjuk, hogy |eitξ − 1 − itξ| ≤ t2 ξ 2 ert v´eve a baloldalon az abszol´ ut´ert´ek jelek k¨ oz¨ otti kifejez´es v´ arhat´ o ´ert´ek´et 2 . Ez´ t2 2 2 kapjuk, hogy |ϕ(t) − 1| ≤ 2 Eξ . Ha Eξ < ε el´eg kis ε = ε(t) > 0 sz´ammal, akkor uk ´eszre, hogy v´eve a log(1 − z) f¨ uggv´eny Taylor sor´ at a |z| ≤ 41 |1 − ϕ(t)| ≤ 41 . Vegy¨ 2 halmazon, azt kapjuk, hogy | log(1 − z) − z| ≤ |z |. Innen | log ϕ(t) + (1 − ϕ(t))| = 2 4 | log (1 − (1 − ϕ(t))) − (1 − ϕ(t))| ≤ |1 − ϕ(t)|2 ≤ t4 Eξ 2 , ha Eξ 2 ≤ ε(t).
Megjegyz´es. A fenti bizony´ıt´ asban is felhaszn´altam a komplex f¨ uggv´enytan n´eh´ any fontos eredm´eny´et. Ugyanis ϕ(t) komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny, ´ıgy a sz´amol´ asban a logaritmus f¨ uggv´eny analitikus kiterjeszt´es´evel kellett dolgoznunk. Azt az eredm´enyt haszn´ altam ki, hogy az e1+z f¨ uggv´enynek kis z, pontosabban |z| < 41 , sz´amokra l´etezik olyan egy´ertelm˝ u log(1 + z) inverze, amely a z = 0 pontban null´ aval egyenl˝o, ´es ezt a ∞ k+1 k P (−1) z f¨ uggv´enyt ki lehet fejezni a log(1 + z) = hatv´anysor seg´ıts´eg´evel. k k=1
A bizony´ıtand´ o t´etel felt´eteleinek teljes¨ ul´ese eset´en, a ξk,j , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , sz´eriasorozat teljes´ıti az egyenletes kicsis´eg tulajdons´ag´ at, ez´ert alkalmazhatjuk a fenti lemm´at mindegyik ξk,j , 1 ≤ j ≤ nk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ora el´eg nagy (a t param´etert˝ ol f¨ ugg˝o) k indexre. Innen kapjuk, hogy X nk nk X nk 2 t4 t4 X 2 Eξk,j ≤ε . lim sup (1 − ϕk,j (t)) ≤ lim sup log ϕk,j (t) + 4 k→∞ j=1 k→∞ 4 j=1 j=1
Az utols´ o egyenl˝otlens´eg az´ert igaz, mert
2 ≤ ε, ha k ≥ k0 (ε) valamely k0 sup Eξk,j
1≤j≤nk
k¨ usz¨ obindex-szel, ´es lim
nk P
k→∞ j=1
sz´amra ´erv´enyes, ez´ert
2 Eξk,j = 1. Mivel a fenti egyenl˝otlens´eg minden ε > 0
X nk nk X (ϕk,j (t) − 1) = 0. log ϕk,j (t) − lim k→∞ j=1 j=1
Ebb˝ ol a rel´ aci´ob´ ol, ´es a (4) formul´ ab´ ol k¨ ovetkezik a (2) formula. Ezut´ an v´eve mind a k´et oldal exponenci´alis hatv´any´ at a (2) formul´ aban, ´es felhaszn´alva az (1) formula 13
2
azonoss´ag´ at azt kapjuk, hogy lim EeitSk = e−t zony´ıtani.
k→∞
/2
. Ezt az azonoss´agot akartuk bebi-
R¨ oviden t´argyalni fogom az u ´gynevezett lok´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt f¨ uggetlen, egyforma ´es r´acsos eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszeg´ere. Megfogalmazom a f˝ o eredm´enyt, ´es teszek n´eh´ any megjegyz´est, amelyek seg´ıtenek meg´erteni az eredm´eny tartalm´ at, illetve azt, hogy mi´ert term´eszetes v´ arni egy ilyen eredm´enyt. A t´etel r´eszletes bizony´ıt´ as´at a kieg´esz´ıt´esben ´ırom le. Az eredm´eny megfogalmaz´asa el˝ ott bevezetem a r´acsos eloszl´ as fogalm´ at, illetve defini´alom azt, hogy mikor nevezhetj¨ uk az eg´esz sz´amok halmaz´ at egy eloszl´ ast tartalmaz´ o legritk´ abb r´acsnak. R´ acsos eloszl´ as fogalma. Egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o r´ acsos eloszl´ as´ u az eg´esz sz´ amok r´ acs´ an, ha ´ert´ekei az eg´esz sz´ amok r´ acs´ ara vannak koncentr´ alva, azaz egy val´ osz´ın˝ us´eggel ∞ P csak eg´esz ´ert´ekeket vesz fel, m´ ask´epp fogalmazva P (ξ = k) = 1. Azt mondjuk, k=−∞
hogy az eg´esz sz´ amok r´ acsa a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´ at tartalmaz´ o legritk´ abb ∞ P r´ acs, ha tetsz˝ oleges A > 1 ´es B eg´esz sz´ amokra P (ξ = Ak + B) < 1. k=−∞
´ anosabban, egy ξ val´ Altal´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot r´ acsos eloszl´ as´ unak nevez¨ unk, ha azok ´ert´ekei egy val´ osz´ın˝ us´eggel egy {b + kh: k = 0, ±1, ±2, . . . } alak´ u halmazra vannak ∞ P koncentr´ alva valamilyen h > 0 ´es b val´ os sz´ amokkal, azaz P (ξ = kh + b) = 1. k=−∞
Azt mondjuk, hogy a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ´ert´ekei egy h, h > 0, sz´eless´eg˝ u r´ acsra (mint legritk´ abb r´ acsra) vannak koncentr´ alva, ha l´etezik olyan b val´ os sz´ am, amelyre ∞ ∞ P P P (ξ = kh + b) = 1, ´es P (ξ = Akh + B) < 1 tetsz˝ oleges A > 1 eg´esz ´es B k=−∞
k=−∞
val´ os sz´ amokra.
Megfogalmazom a k¨ ovetkez˝ o, az eg´esz sz´amok halmaz´ ara, mint legritk´ abb r´acsra koncentr´ alt eloszl´ as´ u f¨ uggetlen ´es egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok o¨sszeg´ere vonatkoz´ o lok´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek nevezett eredm´enyt. Lok´ alis centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel f¨ uggetlen, egyforma, r´ acsos eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ¨ osszeg´ ere. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . , f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, mely val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok r´ acsos eloszl´ as´ uak az eg´esz sz´ amok r´ acs´ an, ´es az eg´esz sz´ amok r´ acsa a legritk´ abb a ξj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok (k¨ oz¨ os) 2 at feltessz¨ uk, hogy eloszl´ as´ at tartalmaz´ o r´ acs. Legyen Eξ1 = m, Eξ1 = m2 < ∞, (teh´ a ξ1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o m´ asodik momentuma v´eges), ´es legyen σ 2 = m2 − m21 a ξ1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o sz´ or´ asn´egyzete. Tekints¨ uk az Sn = ξ1 + · · · + ξn , n = 1, 2, . . . , r´eszlet¨ osszegeket. Ekkor 1 (k − nm)2 1 P (Sn = k) = √ +o √ exp − , k = 0, ±1, ±2, . . . , 2nσ 2 n 2πnσ ahol o(·) egyenletes a k v´ altoz´ oban. 14
Megjegyz´es. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, amelyek r´acsos eloszl´ as´ uak, ´es eloszl´ asuk egy kh+b k = 0, ±1, ±2, . . . , h sz´eless´eg˝ u n P r´acsra, mint legritk´ abb r´acsra, legyen koncentr´ alva. Vezess¨ uk be az Sn = ξj , n = j=1
1, 2, . . . , r´eszlet¨ osszegeket. A fenti t´etel seg´ıts´eg´evel j´ o aszimptotikus becsl´est tudunk adni a P (Sn = kh + nb) alak´ u val´ osz´ın˝ us´egekre is. Ennek ´erdek´eben vezess¨ uk be a ξ −b j ara (mint legritk´ abb r´acsra) koncentr´ alt ξ¯j = h , j = 1, 2, . . . , az eg´esz sz´amok r´acs´ n P val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat, ´es ezek S¯n = ξ¯j r´eszlet¨ osszegeit. Ekkor a P (Sn = kh + b) = j=1
P (S¯n = k) azonoss´ag seg´ıts´eg´evel az el˝ oz˝ o t´etel j´ o aszimptotik´ at ad a minket ´erdekl˝ o val´ osz´ın˝ us´egre.
´ uk meg a fenti lok´ Erts¨ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etel tartalm´ at, ´es azt is, hogy mi´ert nevezik ezt az eredm´enyt lok´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek. A centr´ alis hat´areloszl´ast´etel szerint P Sn√−nm < x ∼ Φ(x), ahol Φ(·) a standard nσ norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´eny. Ezenk´ıv¨ ul azt is tudjuk, hogy a most vizsg´alt esetben az Sn√−nm k−nm val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o a √nσ , k = 0, ±1, ±2, . . . , √1nσ s˝ ur˝ us´eg˝ u r´acson veszi fel nσ az ´ert´ekeit. Azt v´ arjuk, hogy annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy az k−nm− 1 [ √nσ 2
Sn√−nm nσ
val´ osz´ın˝ us´egi v´ al-
k−nm+ 12 √ nσ
, ] intervallumban veszi fel az ´ert´ek´et, azaz Sn = k, k¨ or¨ ulbel¨ ul toz´o a annyi, mint annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o is ebben a kis intervallumban veszi fel az ´ e rt´ e k´ e t. Ennek val´ o sz´ ın˝ u s´ e ge pedig n o k−nm− 12 k−nm+ 12 (k−nm)2 1 √ √ √ −Φ ∼ 2πnσ exp − 2nσ2 Φ . A lok´ alis centr´ alis hat´arelosznσ nσ l´ast´etel ezt az ´ all´ıt´ ast mondja ki pontosabb form´aban. A lok´ alis jelz˝ o a t´etelben arra utal, hogy a P (Sn = k) val´ osz´ın˝ us´eg viselked´ese az Sn eloszl´ as lok´ alis viselked´es´et ´ırja le. A lok´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´ as´anak az az alapgondolata, hogy a P (Sn = k) val´ osz´ın˝ us´egeket pontosan ki tudjuk sz´amolni a ξ1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ∞ P ϕ(t) = Eeitξ1 = P (ξ1 = k)eitk karakterisztikus f¨ uggv´enye seg´ıts´eg´evel. Val´ oban, k=−∞
itSn
Ee hogy
n
= ϕ (t), ´es a Fourier sorok egy¨ utthat´oit kifejez˝ o formula seg´ıts´eg´evel azt kapjuk, 1 P (Sn = k) = 2π
Z
π
e−ikt ϕn (t) dt.
(5)
−π
A feladat ezut´ an az, hogy adjunk j´ o aszimptotikus formul´ at az (5) formula jobboldal´ an szerepl˝o integr´alra. Ennek ´erdek´eben ´erdemes el˝ osz¨ or az integr´alban szerepl˝o ϕn (t) kifejez´esre j´ o becsl´est adni. Tudjuk, hogy ϕ(0) = 1, ϕ′ (0) = imt, ϕ′′ (0) = −m2 . Ez´ert azt v´ arjuk, hogy kis t ´ert´ekekre a karakterisztikus f¨ uggv´eny orig´o k¨ or¨ uli Taylor sorfejt´ese alapj´ an el´eg j´ o k¨ ozel´ıt´est kapunk a ϕ(t) f¨ uggv´enyre, illetve annak n-ik hatv´any´ ara. A karakterisztikus f¨ uggv´eny Taylor sorfejt´ese azt sugallja, hogy ϕn (t) ∼ 2
n
2
1 + imt − m22 t ∼ en(imt−m2 t /2) el´eg j´ o k¨ ozel´ıt´es kis t argumentumokra. Val´ oj´aban ´erdemes a fenti ´ervel´es kiss´e finom´ıtott v´ altozat´ at alkalmazni. C´elszer˝ u az alkalmas 15
k¨ ozel´ıt´es kisz´ am´ıt´ as´aban nem a ϕ(t), hanem a log ϕ(t) Taylor sor k¨ ozel´ıt´es´evel dolgozni ´es ut´ ana a ϕn (t) = en log ϕ(t) azonoss´agot haszn´ alni. De ez az elj´ar´ as is csak kis t n param´eterekre ad j´ o k¨ ozel´ıt´est a ϕ(t) mennyis´egre, ´es felmer¨ ul a k´erd´es, hogy hogyan tudjuk j´ ol becs¨ ulni a karakterisztikus f¨ uggv´enyt nem kis t argumentumokra. Ezen a ponton jelenik meg az a felt´etel, hogy a ξ1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´as´at tartalmaz´ o legritk´ abb r´acs az eg´esz sz´amok r´acsa. Arra, hogy a ξ1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o r´acsos eloszl´ as´as´ u az´ert volt sz¨ uks´eg, mert ez biztos´ıtja az (5) formula ´erv´enyess´eg´et. A k¨ ovetkez˝ o lemm´aban bel´ atjuk, hogy a ξ1 eloszl´ as´anak el˝ obb eml´ıtett tulajdons´ag´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy a [−π, π] intervallumban, azaz az (5) formul´ aban szerepl˝o integr´al integr´al´ asi tartom´any´ aban a t = 0 pont az egyetlen olyan pont, ahol |ϕ(t)| = 1. Ennek a t´enynek, illetve a karakterisztikus f¨ uggv´eny folytonoss´ag´ anak a seg´ıts´eg´evel k¨ onnyen bel´ athat´ o, hogy az ε ≤ |t| ≤ π tartom´any hozad´eka exponenci´alisan kicsi az (5) formul´ aban szerepl˝o integr´alban minden ε > 0 sz´amra. Lemma egy r´ acsos eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´ eny´ enek a viselked´ es´ er˝ ol. Legyen egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa az eg´esz sz´ amok r´ acs´ ara, (mint legritk´ abb r´ acsra) koncentr´ alva. Tekints¨ uk a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ∞ P karakterisztikus f¨ uggv´eny´et defini´ al´ o P (t) = eikt P (ξ = k) Fourier sort. A P (t) k=−∞
Fourier sor peri´ odusa 2π, P (0) = 1, |P (t)| ≤ 1 minden val´ os t sz´ amra, ´es |P (t)| < 1, ha |t| ≤ π, ´es t 6= 0.
A lemma bizony´ıt´ asa. Ny´ılv´anval´ o m´ odon |P (t)| ≤ 1 minden t val´ os sz´amra, ´es P (0) = 1. Mutassuk meg, hogy a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´anak egy h > 0 sz´am akkor ´es csak akkor peri´ odusa, azaz akkor ´es csak akkor koncentr´ al´ odik ξ eloszl´ asa valamely kh + b, i2πξ/h k = 0, ±1, ±2, . . . alak´ u halmazra, ha |Ee | = 1. Val´ oban, ha |Eei2πξ/h | = 1, i2πξ/h i2πa i2π(ξ/h−a) akkor Ee = e , azaz Ee = 1 valamilyen, val´ os a sz´amra. Mivel i2πx i2πx Re e ≤ 1 minden x val´ os sz´amra, ´es Re e = 1 csak akkor teljes¨ ul, ha x eg´esz sz´am, ξ i2π(ξ/h−a) osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o az Ee = 1 azonoss´ag csak akkor ´ allhat fenn, ha a h − a val´ eloszl´ asa a k, k = 0, ±1, ±2, . . . , pontokba van koncentr´ alva, azaz a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o a kh + b, k = 0, ±1, ±2, . . . , r´acsra van koncentr´ alva, ahol b = ha. Megford´ıtva, ha a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa egy kh + b, k = 0, ±1, . . . , r´acsra van koncentr´ alva, i2πξ i2πb i2πξ akkor Ee =e |, teh´at |Ee | = 1.
Ha a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa nincsen semmilyen h > 1 sz´eless´eg˝ u r´acsra )| < 1 minden h > 1 sz´ a mra, teh´at a koncentr´ alva, akkor az el˝ obbiek alapj´ an |P ( 2π h lemma felt´eteleinek teljes¨ ul´ese eset´en |P (t)| < 1 minden 0 < t < 2π, speci´ alisan minden 0 < t ≤ π sz´amra. Mivel P (−t) = P (t), ahol a fel¨ ulvon´ as komplex konjug´ altat jel¨ol, ez´ert |P (t)| < 1, ha |t| ≤ π, ´es t 6= 0. A lemm´at bebizony´ıtottuk.
Mivel minden karakterisztikus f¨ uggv´eny folytonos, a fenti lemm´ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy a f¨ uggetlen, egyforma, r´ acsos eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok o ¨sszeg´ere megfogalmazott lok´ alis centr´ alis hat´ areloszl´ ast´etel felt´eteleinek teljes¨ ul´ese eset´en minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan δ = δ(ε) > 0 sz´am, amelyre a ξ1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ϕ(t) karakterisztikus f¨ uggv´enye teljes´ıti a |ϕ(t)| ≤ (1 − δ) egyenl˝otlens´eget minden ε ≤ |t| ≤ π 16
sz´amra. Ez´ert minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan 0 < δ < 1 sz´am, amelyre 1 Z −ikt n e ϕ (t) dt ≤ (1 − δ)n . 2π {t: ε≤|t|≤π}
(6)
Ez azt jelenti, hogy az (5) formula jobboldal´ an szerepl˝o integr´al becsl´es´eben el´eg az integr´alnak egy [−ε, ε] intervallumba es˝o r´esz´ere j´ o becsl´est adni. Ez, mint jeleztem, lehets´eges a karakterisztikus f¨ uggv´eny orig´o k¨ or¨ uli Taylor sorfejt´ese seg´ıts´eg´evel. A r´eszletes bizony´ıt´ ast a kieg´esz´ıt´esben adom meg. Megjegyzem, hogy a Stirling formula bizony´ıt´ as´aban hasonl´o ´ervel´est alkalmaztunk a Poisson eloszl´ asra. Az egyetlen k¨ ul¨ onbs´eg az volt, hogy ott a karakterisztikus f¨ uggv´enyre egyszer˝ u, explicit formul´ at tudtunk adni, ami egyszer˝ us´ıtette a sz´amol´ asokat. A r´acsos eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra bizony´ıtott lok´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt a Fourier sorok Fourier egy¨ utthat´oit kifejez˝ o (5) formula seg´ıts´eg´evel tudjuk bizony´ıtani. Ismertetek egy az (5) formul´ ahoz hasonl´o eredm´enyt, amely lehet˝ ov´e teszi egy f¨ uggv´eny ´ert´ekeinek kisz´ am´ıt´ as´at a f¨ uggv´eny Fourier transzform´ altj´ anak seg´ıts´eg´evel. Inverzi´ os formula egy f¨ uggv´ eny Fourier transzform´ alj´ ara. Legyen f (x) inR∞ tegr´ alhat´ o f¨ uggv´eny a sz´ amegyenesen, azaz tegy¨ uk fel, hogy −∞ |f (x)| dx < ∞. TekintR∞ s¨ uk az f (·) f¨ uggv´eny Fourier transzform´ altj´ at, azaz az f˜(t) = −∞ eitx f (x) dx, −∞ < R∞ x < ∞, f¨ uggv´enyt. Ha az f˜(t) f¨ uggv´eny szint´en integr´ alhat´ o, azaz −∞ |f˜(t)| dt < ∞, akkor f (x) a Lebesgue m´ert´ek szerint majdnem minden x ∈ R1 pontra megegyezik az al´ abbi folytonos ´es korl´ atos f¨ uggv´ennyel: Z ∞ 1 (7) e−itx f˜(t) dt. f (x) = 2π −∞ Ezen inverzi´os formula seg´ıts´eg´evel s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel rendelkez˝ o f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´alt ¨ osszeg´enek a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´ere is lehet lok´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt bizony´ıtani. Ez azt ´ all´ıtja, hogy f¨ uggetlen, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel rendelkez˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´alt ¨ osszeg´enek a (l´etez˝ o) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye alkalmas felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en minden −∞ < x < ∞ pontban konverg´ al az 2 alis s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyhez, ´es ez a konvergencia egyenf (x) = √12π e−x /2 standard norm´ letes. Az eredm´eny pontos megfogalmaz´as´at ´es bizony´ıt´ as´at, amely a r´acsos eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszeg´er˝ ol sz´ol´ o centr´ alis hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´ as´ahoz hasonl´o, ´es a (7) formul´ aban fel´ırt integr´al becsl´es´en alapul, elhagyom. Egy ilyen lok´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´ as´anak v´egrehajt´as´ahoz tudnunk kell, hogy mikor alkalmazhatjuk s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny kisz´ am´ıt´ as´ahoz a (7) formul´ at. Ehhez az kell, hogy mind a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny mind annak Fourier transzform´ altja integr´alhat´ o legyen. Egy s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny mindig integr´alhat´ o, ´es a Fourier anal´ızis eredm´enyei alapj´ an a Fourier transzform´ altja is integr´alhat´ o, ha a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny el´eg sima. 17
Kieg´ esz´ıt´ es. N´ eh´ any a jegyzetben megfogalmazott eredm´ eny bizony´ıt´ asa. El˝osz¨ or a k¨ ovetkez˝ o eredm´eny bizony´ıt´ as´at ismertetem. Sz´eriasorozatok sor¨ osszegeir˝ ol sz´ ol´ o centr´ alis hat´ areloszl´ ast´etel megford´ıt´ as´ anak bizony´ıt´ asa. Jel¨olje ϕk,j (t) a ξk,j val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´eny´et. El˝osz¨ or azt mutatom meg, hogy a t´etel felt´eteleinek teljes¨ ul´ese eset´en lim
k→∞
nk X j=1
Re (ϕk,j (t) − 1) = −
t2 . 2
(8)
Val´ oban a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelb˝ ol, illetve abb´ol a kiss´e gyeng´ebb a´ll´ıt´ asb´ ol, nk P hogy a ξk,j sor¨ osszegek eloszl´ asban konverg´alnak egy 1 sz´or´ asn´egyzet˝ u (ismeretlen j=1
m v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u) norm´ alis val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz k¨ ovetkezik, hogy lim
k→∞
nk Y
2
ϕk,j (t) = e−t
/2+imt
minden val´ os t sz´amra,
j=1
illetve el˝ osz¨ or abszolut ´ert´eket majd logaritmust v´eve lim
k→∞
nk X j=1
Re (log ϕk,j (t)) = −
t2 2
minden val´ os t sz´amra.
(9)
Tov´ abb´a az egyenletes kicsis´eg felt´etele miatt minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan 2 k0 = k0 (ε) k¨ usz¨ obindex, amelyre Eξk,j ≤ ε minden 1 ≤ j ≤ nk indexre, ha k ≤ k0 . Ez´ert a karakterisztikus f¨ uggv´eny logaritmus´ anak a becsl´es´er˝ ol sz´ol´ o lemma alapj´ an minden t > 0 ´es el´eg kis ε = ε(t) > 0 sz´amhoz l´etezik olyan k0 = k0 (ε) k¨ usz¨ obindex, 2 t4 2 amelyre |Re (log ϕk,j (t)+Re (1−ϕk,j (t)))| ≤ | log ϕk,j (t)+(1−ϕk,j (t))| ≤ 4 Eξk,j ≤ εt4 2 4 Eξk,j
minden k ≥ k0 ´es 1 ≤ j ≤ nk indexre. Ezen egyenl˝otlens´egeket o¨sszegezve, ´es nk P 2 felhaszn´alva a lim Eξk,j = 1 rel´ aci´ot, azt kapjuk, hogy k→∞ j=1
X nk n k X εt4 lim sup . Re (log ϕk,j (t)) + Re (1 − ϕk,j (t)) ≤ 4 k→∞ j=1 j=1
Mivel ez a rel´ aci´o minden ε > 0 sz´amra igaz, ez´ert a (9) rel´ aci´oval egy¨ utt implik´ alja a (8) formul´ at. Mivel nagy k indexre a sz´eriasorozat sorainak az ¨ osszege k¨ ozel egy sz´or´ asn´egyzet˝ u, ez´ert a (8) formul´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy ! nk 2 X t2 ξk,j E cos(tξk,j ) − 1 + lim = 0 minden t ∈ R1 sz´amra. (10) k→∞ 2 j=1 18
2
Vegy¨ uk ´eszre, hogy cos u − 1 + u2 ≥ 0 minden u ∈ R1 sz´amra. Val´ oban, az F (u) = u2 ′′ uggv´enyre F R(u) = 1 − cos u ≥ 0 minden u val´ os sz´amra, ´es F (0) = cos u − 1 + 2 f¨ u ′′ ′ ′ ′ F (0) = 0. Innen az F (u) = 0 F (s) ds f¨ uggv´enyre F (u) ≥ 0, ha u ≥ 0, ´es F ′ (u) ≤ 0, ha u < 0. Hasonl´ oan, tov´ abbi integr´al´ assal F (u) ≥ 0 minden u sz´amra. Ezenk´ıv¨ ul u2 u2 u2 aban szerepl˝o v´ arhat´ o cos u − 1 + 2 ≥ −2 + 2 ≥ 4 , ha |u| > 3. Ez´ert a (10) formul´ ´ert´ekekre fel´ırhatjuk, hogy ! ! 2 2 t2 ξk,j t2 ξk,j = E cos(tξk,j ) − 1 + I(|tξk,j | ≤ 3) E cos(tξk,j ) − 1 + 2 2 ! 2 t2 ξk,j t2 2 + E cos(tξk,j ) − 1 + I(|tξk,j | > 3). I(|tξk,j | > 3) ≥ Eξk,j 2 4 Ezt felhaszn´alva a (10) formul´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy nk 2 X 3 t 2 = 0, Eξk,j I |ξk,j | ≥ lim k→∞ 4 t j=1 azaz lim
k→∞
minden t sz´amra. Innen t =
3 ε
nk X
2 Eξk,j I
j=1
3 |ξk,j | ≥ =0 t
v´ alaszt´ assal megkapjuk a t´etel ´ all´ıt´ as´at.
A k¨ ovetkez˝ o ismertetend˝ o eredm´eny a Slutzky lemma ´es annak bizony´ıt´ asa. Hat´ areloszl´ ast´ etel v´ eletlen sorozatok kis perturb´ aci´ oj´ ara. (Slutzky lemma.) Legyen adva val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy Tk ´es εk sorozata, k = 1, 2, . . . , u ´gy, hogy a Tk sorozat eloszl´ asban konverg´ al egy F eloszl´ ashoz, ´es az εk sorozat sztochasztikusan konverg´ al null´ ahoz, ha k → ∞. Ekkor az Sk = Tk + εk , k = 1, 2, . . . , sorozat szint´en eloszl´ asban konverg´ al az F eloszl´ ashoz, ha k → ∞. A Slutzky lemma bizony´ıt´ asa. Tekints¨ uk az F (·) hat´areloszl´as f¨ uggv´eny egy x folytonoss´ agi pontj´at. R¨ ogz´ıts¨ unk egy kis δ > 0 sz´amot, ´es v´ alasszunk olyan η > 0 sz´amot, amelyre F (x + η) < F (x) + δ, F (x − η) > F (x) − δ, ´es mind az x + η, mind az x − η pont folytonoss´agi pontja az F (·) f¨ uggv´enynek. Ezzel a v´ alaszt´ assal P (Tk + εk < x) ≤ P (Tk < x + η) + P (εk < −η) ´es 1 − P (Tk + εk < x) = P (Tk + εk ≥ x)
≤ P (Tk ≥ x − η) + P (εk > η) = 1 − P (Tk < x − η) + P (εk > η).
Innen P (Tk < x − η) − P (εk > η) ≤ P (Tk + εk < x) ≤ P (Tk < x + η) + P (εk < −η), 19
´es k → ∞ hat´ar´ atmenetet alkalmazva ´es felhaszn´alva azt, hogy az εk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sztochasztikusan null´ ahoz konverg´alnak azt kapjuk, hogy F (x) − δ ≤ F (x − η) ≤ lim inf P (Tk + εk < x) k→∞
≤ lim sup P (Tk + εk < x) ≤ F (x + η) ≤ F (x) + δ. k→∞
Mivel ez az ´ all´ıt´ as minden δ > 0 sz´amra ´erv´enyes, innen k¨ ovetkezik a Slutzky lemma. Ismertetem m´eg a lok´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´ as´at is r´acsos eloszl´ as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra. A lok´ alis centr´ alis hat´ areloszl´ ast´etel bizony´ıt´ asa f¨ uggetlen, egyforma, r´ acsos eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok o ¨sszeg´ere. Az (5) formula alapj´ an P (Sn = k) =
Z
π
−π
ahol P (t) =
∞ P
1 −ikt n e P (t) dt = 2π
Z
+
1 |t|< ε√ n
Z
+ 1 √ <|t|<ε ε n
Z
= I1 + I2 + I3 ,
ε<|t|<π
eikt P (ξ1 = k), ´es ε > 0 tetsz˝oleges kis pozit´ıv sz´am. A t´etel bi-
k=−∞
zony´ıt´ asa ´erdek´eben j´ o becsl´est adunk az I1 , I2 ´es I3 integr´alokra. Az I3 integr´alt m´ ar megbecs¨ ult¨ uk a (6) formul´ aban. Az I1 ´es I2 integr´alok kisz´ am´ıt´as´ahoz j´ o becsl´est kell adnunk a P n (t) f¨ uggv´enyre, ha |t| < ε. K´enyelmesebb a log P (t) f¨ uggv´ennyel dolgozni. (Ez kis ε > 0 sz´amra lehets´eges, mert ebben az esetben a P (t) f¨ uggv´eny ´ert´eke a [−ε, ε] intervallumban szepar´ alva van null´ at´ ol.) Egyszer˝ u sz´amol´ assal kapjuk, hogy d log P (t) P ′ (t) d log P (t) = im, = , dt P (t) dt t=0 d2 log P (t) P ′′ (t)P (t) − P ′ (t)2 d2 log P (t) = −m2 + m2 = −σ 2 , = , 2 2 2 dt P (t) dt t=0 ez´ert az orig´o k¨ or¨ uli Taylor sorfejt´essel kapjuk, hogy log P (t) = imt −
σ2 2 t + o(t2 ), 2
Innen, mivel |P n (t)| = enRe log P (t) = e−n(σ n(ε), ez´ert 1 |I2 | ≤ 2π
Z
2 2
1 |P (t)| dt ≤ 2π <|t|<ε n
1 √ ε n
≤
ha |t| < ε.
t /2+o(t2 ))
Z
1 √
π n 20
≤ e−nσ e−nσ
2 2
2 2
t /3
t /3
, ha |t| < ε ´es n ≥
dt
1 √ <|t|<ε ε n
Z
∞
− 1ε
e−σ
2 2
t /3
2 2 1 dt ≤ √ e−σ /4ε . n
Tov´ abb´a I1 =
Z
1 √ ε n
1 − ε√ n
1 −ikt+inmt−nσ2 t2 /2+o(nt2 ) e dt 2π
1 ε
√ 2 2 2 1 √ ei(mn−k)t/ n−σ t /2+o(t ) dt − 1 2π n Z ∞ε Z √ √ 2 2 1 1 i(nm−k)t/ n−σ 2 t2 /2 √ e √ ei(nm−k)t/ n−σ t /2 dt = dt − −∞ 2π n |t|> 1ε 2π n 1 . +o √ n
=
Z
M´asr´eszt Z √ 2 2 1 1 i(nm−k)t/ n−σ 2 t2 /2 √ e dt ≤ √ e−σ /4ε |t|> 1 2π n n ε
´es az al´ abbi integr´al exponens´eben szerepl˝o kvadratikus alakot kieg´esz´ıtve teljes n´egyzett´e azt kapjuk, hogy ∞
√ 2 2 1 √ ei(nm−k)t/ n−σ t /2 dt −∞ 2π n ( 2 ) 2 2 2 2 Z ∞ (nm − k) e−(nm−k) /2nσ σ2 e−(nm−k) /2nσ √ √ t−i √ 2 dt = exp − = 2 2π n nσ 2πnσ −∞
Z
a komplex f¨ uggv´enytan integr´al´ asi szab´alyai szerint. Egy´ebk´ent az utols´ o azonoss´ag a norm´ alis eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggv´eny´et kifejez˝ o k´eplet eredm´enye alapj´ an is l´athat´ o. Ezekb˝ol a becsl´esekb˝ol k¨ ovetkezik, hogy (k − nm)2 const. −σ2 /4ε2 I1 − √ 1 , exp − ≤ √n e 2nσ 2 2πnσ
ha n > n(ε). Mivel az I1 , I2 ´es I3 kifejez´esekre adott becsl´esek tetsz˝olegesen kicsi ε > 0-ra ´erv´enyesek, ha n = n(ε) el´eg nagy, innen k¨ ovetkezik a t´etel a´ll´ıt´ asa.
21
N´ eh´ any tov´ abbi kieg´ esz´ıt˝ o megjegyz´ es. T´ argyalok n´eh´ any olyan probl´em´at ´es eredm´enyt, amelyek term´eszetes m´ odon megjelennek a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel vizsg´alata sor´ an. Ezen eredm´enyek t¨obbs´eg´et nem fogalmazom meg pontosan, ´es megel´egszem azok ´erv´enyess´eg´enek egy heurisztikus indokl´as´aval. L´ attuk, hogy a Fourier sorok Fourier egy¨ utthat´oit kifejez˝ o formula, illetve az inverz Fourier transzform´ aci´ot kifejez˝ o formula seg´ıts´eg´evel u ´gynevezett lok´ alis centr´ alis eloszl´ ast´etelt tudunk bizony´ıtani f¨ uggetlen, r´acsos eloszl´ as´ u vagy s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel rendelkez˝ o egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszeg´ere. Az ilyen jelleg˝ u t´etelek azt mondj´ ak ki, hogy megfelel˝ o felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ok alkalmasan normaliz´alt ¨ osszegeinek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye konverg´ al a standard norm´ alis eloszl´ as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´ehez. A bizony´ıt´ as azon alapul, hogy a keresett s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyt ki tudjuk fejezni egy alkalmas integr´al seg´ıts´eg´evel, amelynek a magf¨ uggv´eny´eben szerepel a karakterisztikus f¨ uggv´eny n-ik hatv´any´ anak alkalmasan a´tsk´ al´ azott alakja. N´emi sz´amol´ assal be lehet l´atni, hogy u ´gynevezett szingul´aris integr´alokat kell vizsg´alni, amelyeknek a l´enyeges hozad´eka a nulla kis k¨ ornyezet´ebe van koncentr´ alva, ´es az integr´al marad´ek r´esze elhanyagolhat´ oan kicsi. A karakterisztikus f¨ uggv´eny, pontosabban a karakterisztikus f¨ uggv´eny logaritmus´ anak kis ´ert´ekeit j´ ol megbecs¨ ulhetj¨ uk e f¨ uggv´eny orig´o k¨ or¨ uli m´ asodik tagig vett Taylor sor fejt´es´enek a seg´ıts´eg´evel, ´es ez a k¨ ozel´ıt´es lehet˝ ov´e teszi a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyt kifejez˝ o integr´al olyan j´ o aszimptotikus becsl´es´et, amelyb˝ol k¨ ovetkezik a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel. Term´eszetes gondolat, hogy a karakterisztikus f¨ uggv´eny logaritmus´ anak t¨obb tagot tartalmaz´ o Taylor sor´ at v´eve pontosabb becsl´est lehet adni e f¨ uggv´enyre, ´es ez´ altal f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´alt ¨ osszeg´enek a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´ere is. Ez a program v´egrehajthat´o, ´es ilyen m´ odon alkalmas felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en meg lehet adni ezen normaliz´alt ¨ osszeg s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´enek az u ´gynevezett Edgeworth sorfejt´es´et. Ez egy olyan v´eges ¨ osszeg, amelynek az els˝ o, azaz f˝ o tagja a standard norm´ alis −1/2 s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny. Ezt k¨ oveti egy korrekci´ os tag, amelyben n -szer a standard norm´ alis s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny van megszorozva egy alkalmas polinommal. Ezt a k¨ ozel´ıt´est −1 esetleg m´eg tov´ abb finom´ıthatjuk egy tov´ abbi korrekci´ os taggal, amelyben n -szer a standard norm´ alis s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny van megszorozva egy alkalmas polinommal. Ezt az elj´ar´ ast tov´ abb is folytathatjuk. A k-ik korrekci´ os tag n−k/2 -szer a standard norm´ alis s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny megszorozva egy alkalmas polinommal. Az els˝ o k korrekci´ os tagot figyelembe vev˝o k¨ ozel´ıt´es n−(k+1)/2 pontoss´ aggal k¨ ozel´ıti a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyt, a benne szerepl˝o polinomok explicit m´ odon kisz´ amolhat´oak, ´es azon v´eletlen o¨sszeg tagjainak az els˝ o k+2 momentum´ at´ ol f¨ uggnek, amelynek a normaliz´alt s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et vizsg´aljuk. Felmer¨ ul a k´erd´es, hogy l´etezik-e hasonl´o Edgeworth sorfejt´es f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszeg´enek az eloszl´ asf¨ uggv´eny´ere is. (Teh´ at nemcsak a s˝ ur˝ us´eg, hanem az eloszl´ asf¨ uggv´enyre is szeretn´enk alkalmas sorfejt´est tal´ alni.) Ilyen eredm´enyt is be lehet bizony´ıtani, b´ar ez a probl´ema nehezebb. A f˝ o neh´ezs´eg abban rejlik, hogy az eloszl´ asf¨ uggv´enyt nem tudjuk a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyhez hasonl´o viszonylag egyszer˝ u formul´ aval kifejezni a karakterisztikus f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel. Ezen a probl´em´an alkalmas sim´ıt´ asi elj´ar´ asok seg´ıts´eg´evel lehet seg´ıteni. Ilyen sim´ıt´ asi elj´ar´ asok seg´ıts´eg´evel az 22
eloszl´ asf¨ uggv´enyek vizsg´alat´at vissza lehet vezetni a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyek vizsg´alat´ara. A fent eml´ıtett k´erd´esek ´es eredm´enyek els˝ osorban elvi szempontb´ol ´erdekesek, gyakorlati probl´em´akban ritk´ an jelennek meg. Fontosabb a k¨ ovetkez˝ o k´erd´es vizsg´alata. n P Tekints¨ uk f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u ξ1 , ξ2 , . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok Sn = ξk , k=1
n = 1, 2,. . . , r´eszlet¨ osszegeit. A centr´ alis hat´areloszl´ast´etel j´ o aszimptotikus formul´ at ad a P S√n −nEξ1 > x val´ osz´ın˝ us´egekre r¨ogz´ıtett x sz´amra, ha n → ∞. Tudunk-e nVar ξ1 S −nEξ 1 > xn val´ osz´ın˝ us´egekre akkor, ha xn → ∞, hasonl´o aszimptotik´ at adni a P √n nVar ξ1
azaz az n param´eterrel √ egy¨ utt az xn sz´am is v´egtelenhez tart? K¨ ul¨ on¨ osen fontos az az eset, amikor x = x n valamely r¨ o gz´ ıtett x > 0 sz´ a mmal. Ez azt jelenti, hogy n √ Sn −nEξ1 osz´ın˝ us´eg ´ert´ek´ere vagyunk kiv´ancsiak. A nagy sz´amok > x Var ξ1 val´ aP n t¨orv´enye azt mondja ki, hogy ez a val´ osz´ın˝ us´eg null´ ahoz tart, ha n → ∞. De szeretn´enk tudni e konvergencia pontos nagys´agrendj´et is. Erre a k´erd´esre kiel´eg´ıt˝ o v´ alasz ismeretes, ´es ezt a v´ alaszt a nagy elt´er´es t´etelnek nevezik. Megfogalmazom ezt a t´etelt.
Nagy elt´ er´ esek t´ etele f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok osszeg´ ¨ ere. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sotξ1 rozata, amelyekre Eξ1 = 0, ´es R(t) = Ee < ∞ valamely t > 0 sz´ ammal. Jel¨ olje n P Sn = ξk , n = 1, 2, . . . , e val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok r´eszlet¨ osszegeit. Ezek teljes´ıtik a k=1
k¨ ovetkez˝ o aszimptotikus rel´ aci´ ot. Sn 1 > x = ρ(x) lim − log P n→∞ n n
minden x > 0 sz´ amra,
ahol ρ(x) = sup (tx−log R(t)), ´es R(t) = Eetξ1 , ha Eetξ1 < ∞, ´es R(t) = ∞ egy´ebk´ent. t: t≥0
x2 2Var ξ1
+ O(x3 ) kis x > 0 sz´ amokra. osz´ın˝ us´eg A fenti t´etel azt mondja ki, hogy r¨ogz´ıtett x > 0 sz´amra a P Snn > x val´ exponenci´alisan kicsi az n v´ altoz´ oban, ´es megadja az exponens nagys´agrendj´et. Ezt a nagys´agrendet a ρ(x) f¨ uggv´eny adja meg, amit az R(t) f¨ uggv´eny Legendre transzform´altj´ anak neveznek az irodalomban. Kis x sz´amokra ez a nagys´agrend k¨ or¨ ulbel¨ ul x2 annyi, mint amennyit a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel sugall. Ezt fejezi ki a ρ(x) = 2Var ξ1 + 3 O(x ) aszimptotikus azonoss´ag. De ez csak k¨ ozel´ıt˝ oleg igaz. Be lehet l´atni, hogy a ρ(x) f¨ uggv´eny ´ert´ekei a nulla egy tetsz˝oleges kis k¨ ornyezet´eben egy´ertelm˝ uen meghat´ arozz´ ak a ξ1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´at. Megjegyzem azt is, hogy a nagy elt´er´es t´etel eredm´enye l´ enyegesen k¨ ul¨ onb¨ozik az Edgeworth sorfejt´esben kapott eredm´enyt˝ol. Ott √ osz´ın˝ us´egre olyan aszimptotik´ at kaptunk, amelynek a hibatagja a P (Sn > nx) val´ −(k+1)/2 O(n valamilyen r¨ogz´ıtett k eg´esz sz´ammal. Ilyen pontoss´ ag´ u becsl´esek semmit sem mondanak olyan esetben, amikor exponenci´alisan kicsi val´ osz´ın˝ us´egeket becsl¨ unk. ρ(x) > 0 minden x > 0 sz´ amra, ´es ρ(x) =
A nagy elt´er´es t´etel felt´etelei k¨ oz¨ ott szerepelt az Eetξ1 < ∞ egyenl˝otlens´eg valamely ´ t > 0 param´eterrel. Erdemes ennek a felt´etelnek a szerep´et is meg´erteni. Eml´ekeztetek 23
arra, hogy a klasszikus centr´ alis hat´areloszl´ast´etel felt´etelei k¨ oz¨ ott szerepelt a Lindeberg felt´etel, ami egy olyan jelleg˝ u megk¨ ot´es volt, hogy a tekintett val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok tξ1 csak kis val´ osz´ın˝ us´eggel lehetnek nagyon nagyok. Az Ee < ∞ felt´etel egy hasonl´o jelleg˝ u, csak er˝ osebb megk¨ ot´est ´ır el˝ o. Val´ oban, a Markov egyenl˝otlens´eg alapj´ an e Eetξ1 −tx tξ1 tx felt´etelb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy P (ξ1 > x) = P (e > e ) ≤ etx = const. e , azaz a ξ1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o csak exponenci´alisan kis val´ osz´ın˝ us´eggel vesz fel nagy x ´ert´ekeket. A k¨ ovetkez˝ o p´elda c´elja annak megvil´ ag´ıt´ asa, hogy mi´ert van sz¨ uks´eg a nagy elt´er´es t´etelben egy ilyen felt´etelre. Tekints¨ uk f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u ξ1 , ξ2 , . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok olyan −|x|α sorozat´at, amelyben a ξ1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak f (x) = const. e alak´ u s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye van valamely 0 < α < 1 param´eterrel. (A const. egy¨ utthat´ot u ´gy v´ alasztjuk, hogy f (x) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny legyen.) Ekkor Eξ1 = 0, (mert az f (x) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny k p´aros), E|ξ amra, azaz ξ1 minden momentuma v´eges, de 1 | < ∞ minden k > R0 sz´ R∞ α ∞ Eetξ1 = −∞ etx f (x) dx ≥ const. 0 etx−x dx = ∞ minden t > 0 sz´amra, azaz a n P nagy elt´er´es t´etel felt´etelei nem teljes¨ ulnek. Legyen Sn = ξk . Azt a´ll´ıtom, hogy k=1 α ugg˝o konstanssal, P Snn > x ≥ e−const. n minden x > 0 sz´amra valamely az x sz´amt´ol f¨ azaz az ebben a p´eld´aban tekintett v´ e letlen o ¨ sszeg nem teljes´ ıti a nagy elt´er´esek t´etel Sn becsl´es´et. A P n > x val´ osz´ın˝ us´eg t´ ul nagy, nem exponenci´alisan kicsi. n P Val´ oban, p´aross´agi meggondol´asok alapj´ an P ξk ≥ 0 = 21 , ´es k=2
P
! n 1X ξk ≥ 0 = P (ξ1 > nx)P ξ1 > nx, n k=2 Z α 1 ∞ 1 = P (ξ1 > nx) = f (x) dx ≥ e−const. n 2 2 nx
Sn >x ≥P n
! n 1X ξk ≥ 0 n k=2
alkalmas konstanssal, amint ´ all´ıtottuk. A lok´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etel, illetve annak finom´ıt´ asaiban a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyre a Fourier anal´ızis seg´ıts´eg´evel fel´ırt integr´alok aszimptotik´ aj´ara adtunk j´ o becsl´est. Az eloszl´ asf¨ uggv´enyek aszimptotik´ aj´at megad´o centr´ alis hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´as´anak a h´atter´eben is ezek a formul´ ak rejt˝ oznek. Megpr´ ob´ alhatn´ank ezen formul´ ak alaposabb vizsg´alat´aval a nagy elt´er´esek t´etel´et is bebizony´ıtani. Egy ilyen m´ odszer azonban nem m˝ uk¨odik j´ ol. A probl´em´at az okozza, hogy olyan integr´alokat kell j´ ol becs¨ ulni, amelyekben a (komplex sz´am ´ert´ek˝ u) integrandus nagyon er˝ osen oszcill´ al. Az ilyen integr´alok becsl´es´ere a komplex f¨ uggv´enytanban kidolgozt´ ak az u ´gynevezett nyeregpont m´ odszert, ´es ennek alkalmaz´as´aval lehet a nagy elt´er´es t´etelt is bebizony´ıtani. Az R(t) = Eetξ1 < ∞ felt´etelre az´ert van sz¨ uks´eg a bizony´ıt´ asban, mert ez teszi lehet˝ ov´e a komplex f¨ uggv´enytani m´ odszerek alkalmaz´as´at. A r´eszletek kidolgoz´ as´at´ ol eltekintek.
24
