T¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´ enyek differenci´ alhat´ os´ aga f (x) − f (x0) x→x0 x − x0 f¨ uggv´ enyhat´ ar´ ert´ ekkel defini´ altuk, s szeml´ eletes jelent´ ese abban mutatkozott meg, hogy a f¨ uggv´ enyt legjobban k¨ ozel´ıt˝ o egyenes ir´ anytangense ´ eppen a differenci´ alh´ anyados ´ ert´ eke. A legjobb k¨ ozel´ıt´ es itt most azt jelentette, hogy a line´ aris f¨ uggv´ enynek (az egyenesnek) az elt´ er´ ese a f¨ uggv´ enyt˝ ol (a f¨ uggv´ eny g¨ orb´ ej´ et˝ ol) oly annyira kicsi, hogy m´ eg x − x0-al osztva is null´ ahoz tart. A t¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´ enyek eset´ eben is ilyen, legjobban k¨ ozel´ıt˝ o, line´ aris f¨ uggv´ enyyel akarjuk k¨ ozel´ıteni a f¨ uggv´ enyt. A line´ aris f¨ uggv´ enyek Rn-en (a, x) alakban adhat´ ok meg.
Az egyv´ altoz´ os f¨ uggv´ enyek differenci´ alhat´ os´ ag´ at a lim
Defin´ıci´ o. Legyen f : D ⊂ Rn → R ´ es x0 ∈ D. Az f f¨ uggv´ enyt x0-ban differenci´ alhat´ onak mondjuk, ha van olyan a ∈ Rn, hogy f (x) − f (x0) − (a, x − x0) = 0. x→x0 kx − x0k Iyenkor a-t f x0-beli differenci´ alh´ anyados´ anak vagy deriv´ altj´ anak modjuk ´ es Df (x0)-al jel¨ olj¨ uk. lim
Megjegyz´ es. A differenci´ alhat´ os´ ag szeml´ eletesen azt jelenti pl. k´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny eset´ eben, hogy a z = f (x, y) fel¨ ulethez ´ erint˝ os´ık illeszthet˝ o az (x0, y0, f (x0, y0)) pontj´ aban. Ez a s´ık a z = a1x + a2y + f (x0, y0) egyenlet˝ u s´ık, ahol (a1, a2) = Df (x0, y0) a deriv´ altvektor koordin´ at´ ai. Defin´ıci´ o. Az f : D ⊂ Rn → R f¨ uggv´ eny i-dik parci´ alis differenci´ alh´ anyadossal rendelkezik x0 ∈ Rn-ban, ha a f (x0 + tei) − f (x0) t→0 t lim
hat´ ar´ ert´ ek l´ etezik, ahol e1, . . . , en Rn term´ eszetes b´ azisa. Ezt a hat´ ar´ ert´ eket ∂if (x0)-al jel¨ olj¨ uk, ´ es x0-beli i-dik parci´ alis differenci´ alh´ anyadosnak, vagy parci´ alis deriv´ altnak nevezz¨ uk.
Ha minden i = 1, . . . , n eset´ en l´ etezik a f¨ uggv´ eny x0-beli parci´ alis differenci´ alh´ anyadosa, akkor f -et x0-ban parci´ alisan ∂f differenci´ alhat´ onak mondjuk. M´ as szok´ asos jel¨ ol´ esek: (x0), Dif (x0). ∂xi • A defin´ıci´ o alapj´ an l´ athat´ o, hogy a parci´ alis differenci´ alh´ anyados ´ ertelmez´ es´ eben az f f¨ uggv´ enynek csak az x0 + tei egyenes ment´ en felvett ´ ert´ ekei sz´ am´ıtanak. Ilyenkor az fi(t) = f (x0 + tei) egyv´ altoz´ os f¨ uggv´ enyt k´ epezz¨ uk, s ennek t = 0-beli deriv´ altja adja f x0-beli parci´ alis differenci´ alh´ anyados´ at.
• Szeml´ etesen ad´ odik a parci´ alis differenci´ alh´ anyados jelent´ ese: k´ etv´ altoz´ os f (x, y) f¨ uggv´ eny eset´ eben az (x0, y0)on ´ atmen˝ o x tengellyel (e1-el) p´ arhuzamos ´ es f¨ ugg˝ oleges (z tengellyel p´ arhuzamos) s´ıkkal metszve a z = f (x, y) fel¨ uletet, egy g¨ orb´ et kapunk, mely ´ erint˝ oj´ enek ir´ anytangense (az x tengellyel bez´ art sz¨ og´ enek tangense) adja az x szerinti (azaz els˝ o) parci´ alis differenci´ alh´ anyadost.
A f¨ uggv´ eny differenci´ alhat´ os´ ag´ at, szembe´ all´ıtva a parci´ alis differenci´ alhat´ os´ aggal, szokt´ ak tot´ alis differenci´ alhat´ os´ agnak is nevezni. Ugyanis, e k´ et fogalom szoros kapcsolatban ´ all, de nem azonos. A tot´ alis differenci´ alhat´ os´ agb´ ol k¨ ovetkezik a parci´ alis, de ford´ıtva csak akkor, ha a parci´ alis deriv´ altf¨ uggv´ enyek folytonosak is.
´ ll´ıt´ A as. Ha az f : D ⊂ Rn → R f¨ uggv´ eny x0-ban differenci´ alhat´ o, akkor l´ etezik minden i = 1, . . . , n eset´ en a ∂if (x0) x0-beli parci´ alis differenci´ alh´ anyados is, ´ es Df (x0) = (∂1f (x0), . . . , ∂nf (x0)).
Bizony´ıt´ as. f (x0 + tei ) − f (x0 ) f (x0 + tei ) − f (x0 ) − (Df (x0 ), tei ) = lim +(Df (x0), ei ) = t→0 t→0 t t
lim =
f (x0 + tei ) − f (x0) − (Df (x0 ), tei ) + (Df (x0 ), ei ) = (Df (x0), ei ) x0 +tei →x0 ktei k lim
2
´ ll´ıt´ A as. Ha f : D ⊂ Rn → R f¨ uggv´ eny x0 ∈ D egy k¨ ornyezet´ eben parci´ alisan differenci´ alhat´ o´ es a parci´ alis deriv´ altf¨ uggv´ enyek x0ban folytonosak, akkor f x0-ban tot´ alisan is differenci´ alhat´ o.
Bizony´ıt´ as. zony´ıt´ ast.
K´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny eset´ eben ´ırjuk le a bi-
Legyen (x0, y0) ∈ D ⊂ R2. Megmutatjuk, hogy Df (x0, y0) = (∂1f (x0, y0), ∂2f (x0, y0)). Ugyanis az abszol´ ut´ ert´ ek tulajdons´ agai, s |h| ≤ k(h, k)k, |k| ≤ k(h, k)k alapj´ an a Lagrange t´ etel k´ etszeri alkalmaz´ as´ aval: |f (x0 + h, y0 + k) − f (x0, y0 ) − ∂1 f (x0 , y0 )h − ∂2 f (x0 , y0 )k| ≤ k(h, k)k ≤
|f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 + k) − ∂1 f (x0 , y0 )h| + |h| +
|f (x0 , y0 + k) − f (x0, y0) − ∂2 f (x0 , y0 )k| = |k|
= |∂1f (x0 + h0 , y0 ) − ∂1f (x0, y0 )| + |∂2 f (x0 , y0 + k0 ) − ∂2 f (x0 , y0 )|
A parci´ alis deriv´ altak folytonoss´ ag´ ab´ ol ad´ odik ´ all´ıt´ asunk.
2
Magasabb rend˝ u parci´ alis deriv´ altak Amennyiben x0 ∈ Rn egy k¨ ornyezet´ eben minden¨ utt ´ ertelmezett valamely parci´ alis deriv´ alt, akkor mint e k¨ ornyezeten ´ ertelmezett n-v´ altoz´ os f¨ uggv´ enyt parci´ alisan ´ ujra differenci´ alhatjuk. Ekkor kapjuk a m´ asodrend˝ u parci´ alis differenci´ alh´ anyadosokat. Jel¨ ol´ ese: ∂11f jelenti a ∂1f f¨ uggv´ enynek az els˝ o, x1 szerinti parci´ alis deriv´ altj´ at, ∂12f jelent´ ese: a ∂1f f¨ uggv´ enynek a m´ asodik, x2 szerinti parci´ alis deriv´ altja. Tov´ abbhaladva, m´ eg magasabb rend˝ u (t¨ obbsz¨ or¨ os) parci´ alis deriv´ altak is ´ ertelmezhet˝ ok. Pl. ∂213f harmadrend˝ u parci´ alis deriv´ alt, sorrendben a m´ asodik, majd els˝ o, majd harmadik v´ altoz´ o szerint. A magasabb rend˝ u deriv´ altak k´ epz´ es´ eben a v´ altoz´ ok sorrendje nem sz´ am´ıt: ´ ll´ıt´ A as. Ha az f : D ⊂ Rn → R f¨ uggv´ eny x0 ∈ D egy k¨ ornyezet´ eben k´ etszer parci´ alisan differenci´ alhat´ o ´ es a
m´ asodrend˝ u parci´ alis deriv´ altf¨ uggv´ enyek x0-ban folytonosak, akkor a m´ asodrend˝ u vegyes parci´ alis deriv´ altak x0-ban megegyeznek. Pl. ∂12f (x0) = ∂21f (x0). A bizony´ıt´ ast mell˝ ozz¨ uk. K´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ enyek sz´ els˝ o´ ert´ eke Defin´ıci´ o. Az f : D ⊂ R2 → R k´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ enynek helyi sz´ els˝ o´ ert´ eke van (x0, y0)-ban, ha van (x0, y0)-nak olyan G((x0, y0), ε) ny´ılt k¨ ornyezete, hogy b´ armely (x, y) ∈ D ∩ G((x0, y0), ε)-ra f (x, y) ≤ f (x0, y0) (helyi maximum) vagy b´ armely (x, y) ∈ D ∩ G((x0, y0), ε)-ra f (x, y) ≥ f (x0, y0) (helyi minimum) .
´ ll´ıt´ A as. Ha f -nek helyi sz´ els˝ o´ ert´ eke van (x0, y0)-ban ´ es parci´ alisan deriv´ alhat´ o (x0, y0)-ban, akkor a parci´ alis deriv´ altak ott elt˝ unnek: ∂1f (x0, y0) = 0 ´ es ∂2f (x0, y0) = 0.
Ez nyilv´ anval´ oan k¨ ovetkezik abb´ ol, hogy az f1(t) = f ((x0, y0)+ te1) illetve az f2(t) = f ((x0, y0)+te2) f¨ uggv´ enynek sz´ els˝ o´ ert´ eke van t = 0-ban. A most mondott felt´ etel — hasonl´ oan az egyv´ altoz´ os f¨ uggv´ enyek eset´ ehez — sz¨ uks´ eges, de nem elegend˝ o felt´ etel. Ugyanis, pl. az f (x, y) = xy f¨ uggv´ enynek (0, 0)-ban nincs sz´ els˝ o´ ert´ eke, noha ∂1f (0, 0) = 0, ∂2f (0, 0) = 0.
Egy el´ egs´ eges felt´ etel megfogalmaz´ as´ ahoz haszn´ aljuk a m´ asodrend˝ u parci´ alis deriv´ altakkal k´ epzett k´ etv´ altoz´ os R2-¨ on ´ ertelmezett Q(h, k) = ∂11f (x0, y0)h2 + 2∂12f (x0, y0)hk + ∂22f (x0, y0)k2 kvadratikus form´ at. ´ ll´ıt´ A as. Ha azf : D ⊂ R2 → R k´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny ´ ertelmez´ esi tartom´ any´ anak egy bels˝ o (x0, y0) ∈ D pontj´ aban a m´ asodrend˝ u parci´ alis deriv´ altak folytonosak, az els˝ orend˝ u parci´ alis deriv´ altak ´ ert´ eke nulla: ∂1f (x0, y0) = 0 ´ es ∂2f (x0, y0) = 0, ´ es a Q(h, k) kvadratikus forma pozit´ıv definit, akkor az f f¨ uggv´ enynek (x0, y0)-ban helyi minimuma van. Bizony´ıt´ as. Legyen ϕ(t) = f (x0 + th, y0 + tk), 0 ≤ t ≤ 1. Alkalmazzuk ϕ-re 0-ban a Taylor polinommal val´ o k¨ ozel´ıt´ est. Ekkor a marad´ ektag el˝ o´ all´ıt´ asa alapj´ an: 1 ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ0(0) + ϕ00(t) 2
valamely 0 ≤ t ≤ 1-re. Figyelj¨ uk meg el˝ osz¨ or, hogy ϕ0(t) = ∂1f (x0 + th, y0 + tk)h + ∂2f (x0 + th, y0 + tk)k (Ezt az el˝ oz˝ o bizony´ıt´ ashoz hasonl´ oan lehetne igazolni.) Ebb˝ ol ad´ od´ oan ϕ00 (t) = ∂11 f (x0 +th, y0 +tk)h2 +2∂12 f (x0 +th, y0 +tk)hk+∂22f (x0 +th, y0 +tk)k2 A felt´ etel miatt most ϕ0(0) = 0, s ´ıgy f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) = =
1 (∂11 f (x0 +th, y0 +tk)h2 +2∂12 f (x0 +th, y0 +tk)hk+∂22 f (x0 +th, y0 +tk)k2 ) 2
Mivel Q(h, k) > 0 (h, k) 6= 0 eset´ en, a m´ asodrend˝ u parci´ alis deriv´ altak folytonoss´ aga miatt f (x0 + h, y0 + k) − f (x0, y0) > 0. (x0, y0)-nak egy (elegend˝ oen kis) k¨ ornyezet´ eben.
2
• Ha a t´ etelben a Q kvadratikus forma negat´ıv definit, akkor a tov´ abbi felt´ etelek teljes¨ ul´ ese eset´ en f -nek (x0, y0)-ban helyi maximuma van. • Egy k´ etv´ altoz´ os Q(h, k) = a11h2+2a12hk+a22k2 kvadratikus forma pozit´ıv (negat´ıv) definits´ eÃge — k¨ onnyen igazol! a11 a12 hat´ oan — eld¨ onthet˝ o a11 ´ es det = a11a22 − a21 a22 a2 ojele alapj´ an: Q pontosan akkor pozit´ıv (negat´ıv) 12 el˝ definit, ha a11 > 0 (a11 < 0) ´ es a11a22 − a2 12 > 0. athat´ o az is, hogy ha Q indefinit, azaz mind poz´ıt´ıv, • Bel´ mind negat´ıv ´ ert´ ekeket felvesz, akkor f -nek nincs helyi sz´ els˝ o´ ert´ eke (x0, y0)-ban.
• Ha Q-ra nem teljes¨ ulnek a fenti felt´ etelek egyike sem, att´ ol m´ eg f -nek lehet ott helyi sz´ els˝ o´ ert´ eke. Ilyenkor tov´ abbi vizsg´ alat sz¨ uks´ eges. P´ elda. Az f (x, y) = x2 + xy + y 2 f¨ uggv´ eny eset´ eben ∂1f (0, 0) = 0 ´ es ∂2f (0, 0) = 0 teljes¨ ul, tov´ abb´ a ∂11f (0, 0) = 2, ∂12f (0, 0) = 1, ∂22f (0, 0) = 2, ez´ ert ∂11f (0, 0)∂22f (0, 0) − (∂12f (0, 0))2 > 0 ´ es ∂11f (0, 0) > 0 miatt f -nek (0, 0)-ban helyi minimuma van. Felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ ek-sz´ am´ıt´ as Amennyiben egy k´ et-, vagy t¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny sz´ els˝ o´ ert´ ekeit keress¨ uk azzal a megszor´ıt´ assal, hogy a v´ altoz´ ok k¨ oz¨ ott egy, vagy t¨ obb ¨ osszef¨ ugg´ est felt´ etelez¨ unk, akkor felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ ek-sz´ am´ıt´ asr´ ol besz´ el¨ unk.
A legegyszer˝ ubb esetben f (x, y) k´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny, s egyetlen felt´ etel van: g(x, y) = 0, melyet a v´ altoz´ oknak teljes´ıteni¨ uk kell. Az f (x, y) f¨ uggv´ enyt tulajdonk´ eppen csak azon (x, y) v´ altoz´ op´ arokra tekintj¨ uk, amelyek megengedettek, azaz teljes´ıtik a g(x, y) = 0 felt´ etelt. ´ ltal´ A anosabban, azaz h´ arom-, vagy m´ eg t¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny eset´ eben lehet ak´ ar egy, ak´ ar t¨ obb – de kevesebb, mint a v´ altoz´ ok sz´ ama – korl´ atoz´ o felt´ etel a v´ altoz´ okra. A Lagrangef´ ele multiplik´ atoros elj´ ar´ as olyan m´ odszert ad, amely seg´ıthet a sz´ els˝ o´ ert´ ekhelyek megkeres´ es´ eben.
A) K´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ eke egy felt´ etel mellett Legyenek adottak az f, g: D ⊂ R2 → R k´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ enyek. Jel¨ olje S a felt´ eteli halmazt: S = {(x, y) ∈ R2 | g(x, y) = 0 }. Az f|S S-re megszor´ıtott f¨ uggv´ eny helyi sz´ els˝ o´ ert´ ekhelyeit nevezz¨ uk az f (x, y) f¨ uggv´ eny g(x, y) = 0 felt´ etel melletti felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ ekhelyeinek. Pontosabban, (x0, y0) ∈ D helyi felt´ eteles minimumhelye f -nek, ha (x0, y0)-nak l´ etezik olyan δ > 0 sugar´ u k¨ ornyezete, hogy minden (x, y) ∈ G(x0, y0)∩ S eset´ en f (x, y) ≥ f (x0, y0). Maximumhely eset´ en az utols´ o egyenl˝ otlens´ eg ford´ıtva szerepel. A Lagrange multiplik´ atoros elj´ ar´ as alapja a k¨ ovetkez˝ o t´ etel, mely — ugyan csak sz¨ uks´ eges felt´ eteleket ad a helyi sz´ els˝ o´ ert´ ek
l´ etez´ es´ ere, — a gyakorlati probl´ em´ akban azonban j´ ol alkalmazhat´ o. ´ ll´ıt´ A as. Ha f, g: D ⊂ R2 → R parci´ alisan differenci´ alhat´ o f¨ uggv´ enyek, ´ es f -nek (x0, y0)-ban felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ eke van a g(x, y) = 0 felt´ etel mellett, tov´ abb´ a Dg(x0, y0) 6= (0, 0), akkor van olyan λ0 ∈ R, hogy az L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y) f¨ uggv´ enynek (x0, y0, λ0) stacion´ arius helye, azaz L mindegyik (x0, y0, λ0)-beli parci´ alis deriv´ altja nulla. A t´ etelben szerepl˝ o L f¨ uggv´ enyt Lagrange f¨ uggv´ enynek, λ-t pedig multiplik´ atornak szokt´ ak nevezni. Bizony´ıt´ as. A bizony´ıt´ asban kihaszn´ aljuk a k´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ enyekb˝ ol k´ epzett ¨ osszetett f¨ uggv´ enyek deriv´ aci´ os, n. l´ ancszab´ aly´ at.
Eszerint, ha f : R2 → R, ´ es ϕ1, ϕ2: R → R t´ıpus f¨ uggv´ enyek, akkor az F : R → R,
F (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x))
¨ osszetett f¨ uggv´ eny deriv´ altj´ at a k¨ ovetkez˝ ok´ eppen kapjuk: F 0(x) = ∂1f (x, ϕ(x))ϕ01 + ∂2f (x, ϕ(x))ϕ02(x), ahol most ∂1f , illetve ∂2f az f f¨ uggv´ eny parci´ alis deriv´ altjait jel¨ oli. Eset¨ unkben a g(x, y) = 0 implicit egyenletb˝ ol a t´ etel felt´ etelei miatt kifejezhet˝ o az egyik v´ altoz´ o, mondjuk y excplit y = ϕ(x) alakban, legal´ abbis x0 egy k¨ ornyezet´ eben. Ekkor term´ eszetesen g(x, ϕ(x)) = 0, s ´ıgy ezt deriv´ alva x0-ban ∂1g(x0, y0) + ∂2g(x0, y0)ϕ0(x0) = 0
ad´ odik. M´ asr´ eszt, a g(x, y) = 0 g¨ orbe ment´ en tekintve csup´ an f -et, az F (x) = f (x, ϕ(x)) f¨ uggv´ enynek helyi sz´ els˝ o´ ert´ eke van x0-ban. Ez´ ert F 0(x0) = 0, s ´ıgy ∂1f (x0, y0) + ∂2f (x0, y0)ϕ0(x0) = 0. A fenti k´ et egyenletb˝ ol ∂ g(x0, y0) ϕ0(x0) = − 1 ∂2g(x0, y0)
´ es
∂ f (x0, y0) ϕ0(x0) = − 1 ∂2f (x0, y0)
ad´ odik. Ezeket egyenl˝ ov´ e t´ eve, ´ atrendezve kapjuk, hogy ∂1f (x0, y0) ∂2f (x0, y0) = . ∂1g(x0, y0) ∂2g(x0, y0) Ezt a k¨ oz¨ os ´ ert´ eket −λ0-lal jel¨ olve, ∂1f (x0, y0) + λ0∂1g(x0, y0) = 0 ∂2f (x0, y0) + λ0∂2g(x0, y0) = 0
ad´ odik, mely ekvivalens a ∂1L(x0, y0, λ0) = 0 ∂2L(x0, y0, λ0) = 0 felt´ etelrendszerrel. tomatikusan teljes¨ ul
L harmadik parci´ alis deriv´ altj´ ara au-
∂3L(x0, y0, λ0) = 0, ugyanis az tulajdonk´ eppen a felt´ eteli egyenlet: g(x0, y0) = 0. 2 A m´ odszert gy alkalmazzuk, hogy k´ epezz¨ uk az L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y)
Lagrange f¨ uggv´ enyt, ´ es keress¨ uk ennek stacion´ arius helyeit. Ehhez megoldjuk a 3 ismeretlenes 3 egyenletb˝ ol ´ all´ o egyenletrendszert: ∂1f (x, y) + λ∂1g(x, y) = 0 ∂2f (x, y) + λ∂2g(x, y) = 0 g(x0, y0) = 0. A kapott megold´ asok lehetnek csak sz´ els˝ o´ ert´ ekhelyek. Legt¨ obbsz¨ or a feladat saj´ atoss´ ag´ ab´ ol ad´ odik, hogy val´ oban azok ´ es milyen min˝ os´ eg˝ uek (maximum vagy minimum). P´ elda. Legyen a c´ elf¨ uggv´ eny f (x, y) = 2ln x + 3ln y alak, s felt´ eteli egyenlet pedig 4x + 5y = p, ahol p egy val´ os (pozit´ıv) param´ etert jelent.
f teljes ´ ertelmez´ esi tartom´ anya D = {(x, y) | x > 0, y > 0 }. A felt´ eteli egyenlet most egy egyenest jelent, de a D-re vonatkoz´ o korl´ atok miatt annak csak egy (ny´ılt) szakasz´ at. A Lagrange f¨ uggv´ eny alakja: L(x, y, λ) = 2ln x + 3ln y + λ(4x + 5y − p). Kisz´ am´ıtjuk L parci´ alis deriv´ altjait: ∂xL(x, y, λ) = ∂y L(x, y, λ) =
2 x 3 y
+ 4λ + 5λ
∂λL(x, y, λ) = 4x + 5y − p. Teh´ at a megoldand´ o egyenletrendszer: 2 + 4λ = 0 x 3 + 5λ = 0 x 4x + 5y − p = 0.
p 3p A megold´ as: x = 10 , y = 25 , λ = − 5p . A tal´ alt (x, y) sz´ amp´ arban nyilv´ an maximum van, hiszen a c´ elf¨ uggv´ eny alulr´ ol nem korl´ atos.
B) T¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ eke t¨ obb felt´ etel mellett n v´ altoz´ os f (x1, x2, . . . , xn) c´ elf¨ uggv´ eny eset´ en t¨ obb korl´ atoz´ o felt´ etel is lehet. A felt´ etelek sz´ ama azonban nem haladhatja meg f v´ altoz´ oinak sz´ am´ at. A felt´ eteli halmazt (m´ assz´ oval, megengedett tartom´ anyt) k darab (k < n) egyenlet adja meg: S = {x ∈ Rn | g1(x) = 0, . . . , gk (x) = 0 }. A felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ ek keres´ ese most is az f|S S-re megszor´ıtott f¨ uggv´ eny sz´ els˝ o´ ert´ ekeinek keres´ es´ et jelenti. A
k¨ ovetkez˝ o t´ etel a felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ ek l´ etez´ es´ enek egy sz¨ uks´ eges felt´ etel´ et adja meg. ´ ll´ıt´ A as. Ha f, g1, g2, . . . , gk : D ⊂ Rn → R parci´ alisan differenci´ alhat´ o f¨ uggv´ enyek, ´ es f -nek x0-ban felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ eke van a g1(x) = 0, . . . , gk (x) = 0 felt´ etelek mellett (k < n), tov´ abb´ a Dg1(x0), . . . , Dgk (x0) line´ arisan f¨ uggetlenek, akkor van k olyan λ1 0, . . . , λ0 ∈ R, hogy az L(x, λ1, . . . , λk ) = f (x) + λ1g1(x) + . . . + λk gk (x) k ) stacion´ f¨ uggv´ enynek (x0, λ1 , . . . , λ arius helye, azaz ott L 0 0 mindegyik parci´ alis deriv´ altja nulla.
A t´ etelben szerepl˝ o L f¨ uggv´ enyt Lagrange f¨ uggv´ enynek, λ1, . . . , λk -kat pedig multiplik´ atoroknak szokt´ ak nevezni.
A t´ etel bizony´ıt´ as´ at mell˝ ozz¨ uk. A sz´ els˝ o´ ert´ ekhelyek keres´ es´ ehez ilyenkor a Lagrange f¨ uggv´ eny parci´ alis deriv´ altj´ at k´ epezz¨ uk el˝ osz¨ or az n darab x1, x2, . . . , xn v´ altoz´ o szerint, majd a k darab λ1, . . . , λk seg´ edv´ altoz´ o szerint. Az ut´ obbiak most is a g1, . . . , gk f¨ uggv´ enyek lesznek. Teh´ at a megoldand´ o egyenletrendszer alakja: ∂1f (x1, . . . , xn) + λ1∂1g1(x1, . . . , xn) + . . . + λk ∂1gk (x1, . . . , xn) = 0 ... ∂nf (x1, . . . , xn) + λ1∂ng1(x1, . . . , xn) + . . . + λk ∂ngk (x1, . . . , xn) = 0 g1(x1, . . . , xn) = 0 ... gk (x1, . . . , xn) = 0. Alkalmaz´ ask´ eppen bemutatjuk a sz´ amtani ´ es m´ ertani k¨ oz´ ep k¨ oz¨ otti egyenl˝ otlens´ eg egyik bizony´ıt´ asi lehet˝ os´ eg´ et.
A c´ elf¨ uggv´ eny: 0, . . . , xn ≥ 0.
f (x1, x2, . . . , xn) =
√ n x x · · · x , ahol x n 1 2 1 ≥
Egy felt´ etel adott: x1 + x2 + . . . + xn = a, ahol a ∈ R r¨ ogz´ıtett pozit´ıv sz´ am. A Lagrange f¨ uggv´ eny: √ L(x1, x2, . . . , xn, λ) = n x1x2 · · · xn + λ(x1 + x2 + . . . + xn − a). Ennek xi szerinti parci´ alis deriv´ altja: √ n x x ···x n 1 2 +λ=0 nxi minden i = 1, 2, . . . , n-re. k¨ ovetkezik. A felt´ etel miatt helyen csak maximum lehet,
Emiatt x1 = x2 = . . . = xn a . Ezen a x1 = x2 = . . . = xn = n hiszen nemnegat´ıvak a v´ altoz´ ok,
teh´ at a minimum´ ert´ ek nulla. Ebb˝ ol ad´ od´ oan minden m´ as (a felt´ etelt teljes´ıt˝ o x1, x2, . . . , xn eset´ en a a a a f (x1, x2, . . . , xn) ≤ f ( , , . . . , ) = , n n n n azaz x1 + x2 + . . . + xn = a miatt √ n
x + x2 + . . . + xn . x1x2 · · · xn ≤ 1 n
