1
A kvadratrixról A kvadratrix – más néven triszektrix – nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg: http://hu.wikipedia.org/wiki/Kvadratrix#mediaviewer/File:Quadratrix_animation.gif Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő – 1. ábra.
1. ábra A kvadratrix görbe egy pontját az önmagával párhuzamosan, séggel haladó AB egyenes, valamint a C középpont körül
nagyságú sebes nagyságú szög -
sebességgel forgó AC egyenes metszéspontjaként állítjuk elő, ahol . Feltétel: az A’ pont ugyanakkor ér C - be, mint amikor az A” pont D - be ér. A mozgástani egyenletek a – P indexet elhagyva – a t idővel az alábbiak: (1) (2) A mozgás T ideig tart; eközben az A’ pont nagyságú utat tesz meg, míg az A” pont nagyságú szögelfordulást végez. Megformulázva:
2
(3) (4) A mozgás időtartama ( 3 ) és ( 4 ) - ből: (5) Most ( 2 ) és ( 1 ) hányadosát képezve: (6) Majd ( 5 ) - ből: (7) Ezután ( 6 ) és ( 7 ) - tel: (8) A P metszéspont ordinátája az 1. ábra szerint: (9) Most ( 8 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) Majd ( 10 ) - et végigosztva R - rel: ( 11 ) bevezetve a dimenziótlan ( 12 ) mennyiségeket, ( 11 ) és ( 12 ) - vel kapjuk, hogy ( 13 ) A ( 13 ) függvény grafikonja az 1. ábra piros vonala, amely - gel készült. Vegyük észre, hogy alakú, így értékét a L’Hospital szabállyal határozhatjuk meg. Részletezve – ld. [ 3 ]! – :
3
tehát: ( 14 )
Ugyanez az 1. ábrát is készítő Graph szolgáltatásával: ymax = 0,63662.
☺
A kvadratrix / triszektrix a szögharmadolás kapcsán is szóba kerül – [ 1 ]. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra Itt feltüntettük egy tetszőleges P kvadratrixponthoz tartozó φP és ΦP szögeket is, ahol ( 15 )
4
A P ponton át húzott vízszintes szelővel kaptuk a T pontot. A PT szakasz harmadolásával kapott Q ponton átmenő függőleges szelő a kvadratrixot az S pontban metszi. A CT egyeneshez képest a P pont ΦP , az S pont ΦS szög alatt látszik. Azt állítjuk, hogy (*) Az igazolás az alábbi. - rel, ( 8 ) szerint: ( 16 ) ( 17 ) A QT szakasz hossza a harmadolási feltétel szerint: innen: ( 18 ) Most ( 15 ) - ből: ( 19 ) hasonlóképpen: ( 20 ) Majd ( 16 ) és ( 19 ) - cel: ( 21 ) Ezután ( 17 ), ( 18 ), ( 20 ) és ( 21 ) - gyel:
tehát: ( 22 ) a ( * ) állítással megegyezően.
5
Megjegyzések: M1. A triszektrix elnevezés is a szögharmadolásra utal. Ezt az elméletileg fontos problé mát, illetve megoldását az i. e. V. századi HIPPIÁSZ - nak tulajdonítják – v. ö.: [ 1 ], [ 2 ]! Ez a megoldás azért lényeges elméletileg, mert a szögharmadolás körzővel és vonalzóval általában nem megoldható szerkesztési feladat. M2. Gyakorlatilag érdektelenek a fentiek, hiszen megmérjük az adott szöget egy szögmérővel, elosztjuk hárommal, majd ezt az értéket felhordjuk az eredeti szög egyik és / vagy másik szárára, és ezzel készen is vagyunk a szögharmadolással. M3. A szögharmadolás a 2. ábráról is lemérhetően ténylegesen megvalósult. M4. Az eddigiekre visszatekintve megállapíthatjuk, hogy a szögharmadolás kulcsa: egy olyan függvény által leírt görbe, melyre egy ( 8 ) típusú összefüggés a jellemző, vagyis amelynél valamely szög nagysága arányos valamely szakasz hosszával. Ezt mozgástani alapon nem volt annyira nehéz felderíteni. ( Persze, ez már csak utólagos okoskodás, az eredmény ismeretében, a XXI. században.) Ja, hogy ezt a görbét elő is kell állítani? Hát, ahhoz meg szerkeszteni kell, a mozgástani származtatás szerint. Csakhogy van itt egy kis probléma – 3. ábra.
3. ábra – forrása: [ 2 ] Ez pedig az, hogy az ábra szerinti T pont gyakorlatilag két – itt – vízszintes egyenes „metszéspontjaként” állna elő, ami elvileg és gyakorlatilag is gondot okozhat. Ezt úgy oldhatjuk meg, hogy
6
~ elvileg: határérték - számítást alkalmazunk, ami a ( 14 ) eredményre vezet; ~ gyakorlatilag: az elég sűrűn szerkesztett görbepontokból a görbe vége is eléggé pontosan megrajzolható, tekintettel az ismert elméleti végeredményre , illetve a rajzoló program „tudására” is. A 3. ábra a görbe körzővel és vonalzóval végzett szerkesztésének mikéntjét is megmu tatja: ez az AD távolság és adódó törtrészei sorozatos felezésével, valamint a DAB derék szög és adódó törtrészei sorozatos felezésével történik. M5. A 3. ábrán bemutatott szerkesztés azt is szemlélteti, hogy hogyan lehet egy szöget n egyenlő részre osztani, azaz Így írnak erről [ 2 ] - ben, a 3., vagyis az ottani 40. ábrára hivatkozva – ld. 4. ábra! – :
4. ábra M6. Az érdeklődő Olvasó az interneten még számos információt találhat témánkról. M7. Az alábbi három függelékben további finomságok várják az érdeklődő Olvasót.
Irodalom: [ 1 ] – Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete 3. kiadás, Gondolat Kiadó, Budapest, 1986. [ 2 ] – Sain Márton: Nincs királyi út! Matematikatörténet Gondolat, Budapest, 1986. [ 3 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.
7
1. FÜGGELÉK A kvadratrix érintőjének szerkesztése Írta: Hajdu Endre A kvadratrix bármely pontjában tetszőleges pontossággal megszerkeszthető az érintő. Mivel a görbe két mozgó egyenes – a v sebességgel haladó e egyenes és az ω szögsebességgel forgó f egyenes – közös P pontjának pályája, kézenfekvő ötlet, hogy a közös pont sebességvektorát állítsuk elő, melynek állása azonos az érintőével – F1 ábra.
F1 ábra A sebességvektor meghatározásához a relatív mozgások sebességtétele nyújt lehetőséget, mely szerint va = vs + vr , ahol va a mozgó pont abszolút sebessége, vs a szállítósebesség (a „szállító” alakzat azon pontjának sebessége, mely pillanatnyilag egybeesik a relatív mozgást végző ponttal), vr a relatívsebesség, mely az alakzathoz képest mozgó pont sebessége. Ha a görbe P pontját a v sebességgel haladó e egyeneshez képest relatív mozgást végző pontnak tekintjük, akkor P szállítósebessége vse v , a relatívsebességéről csak annyit tudunk, hogy állása merőleges vs-re. Ha P-t az f egyeneshez képest tekintjük relatív mozgást végző pontnak, akkor szállítósebessége ( r PC jelöléssel) vsf r . Az ω szögsebesség meghatározása
8
végett – egyszerűség kedvéért – legyen AC =1 és a kvadratrix befutásához szükséges időtartam T=1. Ekkor vT = 1, ωT = π/2, v/ω = 2/π ≈ 0,6366.
A fentiekkel vsf r r v 1,571r , r ≈ 0,75. v rf párhuzamos az f egyenessel. 2
A relatív mozgások fenti sebességképletének értelmében a vP vektor végpontja a két relatív sebességvektor egyenesének M metszéspontja. A P-beli érintő a PM egyenes. Az ábrával kapcsolatban még megemlítendő, hogy a sebességvektorok ábrázolásához használt hosszegység fele a távolságegységnek. Az A pontbeli érintő megszerkesztése a fentiek alapján alig igényel magyarázatot; a két szállítósebesség egybeesik az AC, ill. AB egyenessel. Sopron, 2014. 12. 16.
2. FÜGGELÉK A kvadratrix érintőjének számítása A görbe egy tetszőleges P pontjában az érintő egyenlete, középiskolai tanulmányaink alapján: ( 23 ) ahol az érintő x tengellyel bezárt szöge a P pontban. A közvetlen feladat tehát meghatározása. Ehhez tekintsük a F2 / 1. ábrát is! Itt azt látjuk, hogy a görbe egy P pont jában az érintő mentén elhelyezkedő va sebességvektort felbontottuk egy vízszintes vx és egy függőleges vy összetevőre. Eszerint írhatjuk – a „P” indexet már nem kiírva – , hogy ( 24 ) Könnyebbség kedvéért ideírjuk a korábbi eredményeket is: (1) (2) (9) ( 25 )
9
F2 / 1. ábra Most ( 24 ) - hez ( 1 ) - ből: ( 26 ) Majd ( 24 ) - hez ( 9 ) - ből, ( 2 ) és ( 26 ) - tal is:
( 27 ) ezután ( 24 ), ( 25 ), ( 26 ) és ( 27 ) szerint:
tehát: ( 29 )
10
innen: ( 30 )
Most határozzuk meg az érintő hajlásszögét a görbe két szélső pontjában! a.) ( 29 ) szerint: ( 31 / 1 ) ez egyezik a Graph rajzoló szoftver által kiadott f ’(x = 0) =1.570796 értékkel.
( 31 / 2 )
☺
Majd ( 30 ) alapján: ( 31 / 3 ) b.) ( 29 ) alapján: ( 32 / 1 ) tehát határozatlan alakú kifejezés. Ennek feloldására alkalmazzuk a L’Hospital - szabályt!
tehát:
( 32 / 2 ) A Graph szoftver szerint numerikusan: f ’( x = 0.99955 ) = 0.000471.
☺
( 32 / 3 )
11
Számpélda Adatok: (A) Eredmények: (E1) (E2) (E3)
(E4) (E5) (E6) (E7) A Graph szoftver szolgáltatásaival: x = 0.4 , y = 0.435926 , f ’(x ) = 0.713435 .
(E8)
Az ( E 8 ) eredmény egyezik a megfelelő ( E 1 ), ( E 3 ), ( E 6 ) eredményekkel.
☺
A P pontbeli érintő egyenlete:
tehát: (E9) A Graph szerinti eredmény: y = 0.713435 x + 0.150551 . Az ( E 9 ) eredmény egyezik a megfelelő ( E 10 ) - zel. ☺
( E 10 )
12
3. FÜGGELÉK Egy rokon feladatról Hajdu Endre vetette fel az ötletet, hogy mi van akkor, ha a haladó mozgást végző egyenes a transzlációs gyorsulása is, meg a forgó mozgást végző egyenes β rotációs gyorsulása is állandó. Most ezt a kérdést válaszoljuk meg. A két összetevő mozgás időfüggvényei, hasonló kezdeti feltételekkel: ( 33 ) ( 34 ) Képezve e két egyenlet hányadosát: ( 35 ) Ilyet már korábban is láttunk. De nézelődjünk tovább! A mozgás időtartamára ( 33 ) és ( 34 ) - ből: ( 36 ) ( 37 ) most ( 36 ) és ( 37 ) egyenlőségéből: ( 38 ) A P metszéspont pályagörbéjének egyenlete – mint korábban is – : ( 39 ) majd ( 35 ) és ( 39 ) - cel: ( 40 ) továbbá ( 38 ) és ( 40 ) - nel: ( 41 ) A ( 41 ) egyenlet megegyezik a ( 10 ) egyenlettel, vagyis mondhatjuk, hogy e mozgás pályagörbéje is kvadratrix. Ennek az a magyarázata, hogy mindkét mozgásgeometriai feladatra igaz, hogy a két összetevő mozgás törvénye ugyanolyan: az előbbinél lineáris, az utóbbinál másodfokú parabola jellegű.
13
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2014. 12. 18.
