1 Synthetische RM
1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen dat de twee diagonaalvlakken van een kubus orthogonale vlakken zijn. 2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. Als een rechte a evenwijdig is met vlak β en a staat loodrecht op een vlak α dan is α loodrecht op β. 3. Gegeven een viervlak (ABCD) waarvoor geldt dat de ribben AD en BC loodrecht ~ · CD ~ = AC ~ · BD. ~ op elkaar staan. Bewijs dat AB
E F G H 4. Gegeven zijn de kubus met zijde 2 in een orthonormale basis met A B C D O = D, x = OA, y = OB en z = OH en het midden M van het zijvlak (ADHF ) (zie figuur). (a) Bewijs dat de zijvlaksdiagonaal DG loodrecht staat op de ruimtediagonaal EC i. door gebruik te maken van stellingen geldig in de ruimte; ii. door berekening in de geco¨ordinatiseerde ruimte. (b) Duid de hoek α tussen de rechte BM en het vlak (ABC) aan op de figuur (c) Bereken α door gebruik te maken van i. de goniometrie in driehoeken; ii. de formule die we hebben opgesteld om de hoek tussen een rechte en een vlak te bepalen (met vectoren en hun co¨ordinaten). (d) Duid de afstand d tussen de rechte DF en de rechte AB aan op de figuur en bereken d; (e) Duid de gemeenschappelijke loodlijn l van DF en AB aan op de figuur en bewijs dat l wel degelijk de gemeenschappelijke loodlijn is.
2
5. Gegeven is een kubus
E F G H A B C D
(a) Bepaal de afstand van H tot de rechte AF ; (b) Bepaal de afstand van het midden M van het vierkant ABCD en de rechte EC; (c) Bepaal de hoek tussen DE en BH. E F G H 6. Gegeven is een kubus en de bol S gaande door de punten B en A B C D F en rakend aan DC in het punt D. (a) Construeer het middelpunt van S; (b) Bereken de straal van S; (c) bereken de inhoud van de bol S. Analytische RM 1. Gegeven zijn de vlakken α : 2x − y − 4 = 0 en β : y + z = 0. Bepaal de vergelijking van een vlak dat loodrecht op de vlakken α en β staat en op een afstand 4 van het punt (1, 1, 1) gelegen is.
3 2. Bepaal de afstand tussen de evenwijdige rechten a:
y−3 z x−1 y+2 z+2 x−2 = = − en b : = =− . 2 3 2 2 3 2
3. Bepaal de vergelijking van de sfeer gaande door de punten (1, 3, 2), (3, 2, −5), (0, 1, 0) en (0, 0, 0). 4. Een piramide (T A B C D) heeft het vierkant (A B C D) met zijde 4 als grondvlak. Het zijvlak T AD is een gelijkzijdige driehoek en T D ⊥ DC. (a) Consrueer de gemeenschappelijke loodlijn van de kruisende rechten AB en T C. (b) Bepaal de afstand tussen de kruisende rechten AB en T C A B C D 5. In een kubus met ribbe z staat een piramide (T A B C D) E F G H waarbij T het snijpunt is van de zijvlaksdiagonalen EG en F H van de kubus. M is het midden van [AE] en N het midden van [CG]. De piramide wordt door het vlak (M N H) verdeelt in twee lichamen. Bereken de verhouding van de inhouden van die twee lichamen.
6. Gegeven is de sfeer S(m; r) : x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y + 6z − 12 = 0. Bepaal de hoek tussen tussen de raakvlakken α en β in de snijpunten van de sfeer S(m; r) : x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y + 6z − 12 = 0 met de y-as.
4 E F G H 7. 4.Gegeven is een kubus , K is het midden van [EH], L is het A B C D midden van [F B], A(2, 0, 0), C(0, 2, 0) en H(0, 0, 2).
(a) Zeg wat je moet doen om door een punt een rechte te bepalen die loodrecht is met een gegeven rechte en een andere gegeven rechte snijdt. (b) Construeer nu door G een rechte die orthogonaal is met BD en die KL snijdt. (c) Bereken de afstand tussen de rechten BD en KL. (d) Bewijs dat
x+z =3 y−z =3
het stelsel vergelijkingen is van de gemeenschappelijke loodlijn van BD en KL. (e) Teken de gemeenschappelijke loodlijn aan de hand van het stelsel. (f) Bepaal de co¨ordinaten van de steunpunten M en N (af te leiden uit de tekening of berekenen) en duid ze aan op de tekening. (g) Bereken de afstand tussen de punten M en N . (h) Bepaal de vergelijking van de sfeer die gaat door de punten A, B, C en D en raakt aan het bovenvlak EF GH. (2000-2005) 8. 6.Gegeven is het punt P (3, −1, 5) en de rechte a : x =
1−y 3
=
2z+22 3
(a) Bepaal de co¨ordinaat van de projectie van P op a (b) Bereken de hoek tussen de rechten OP en a. (2002-2005) 9. Gegeven zijn de S : x2 + y 2 + z 2 − 4x + 2y − 12z + 32 = 0 en S 0 : x2 + y 2 + z 2 − 4x − 6y − 18z + 90 = 0. (a) Onderzoek de onderlinge ligging van S en S 0 . (b) Bepaal in geval ze elkaar snijden de vergelijking van het vlak van de snijcirkel, de straal van de snijcirkel en de co¨ordinaat van het middelpunt van de snijcirkel. (c) Bepaal de vergelijking van het raakvlak in het punt A(1, 1, 4) aan S.(2005) 10. Gegeven zijn de punten A(2, 0, 0), B(0, 1, 0), C(2, 3, 1) en D(2, 3, 4). Bepaal (a) de vergelijkingen van de loodlijn l uit D op het vlak (A, B, C). (b) de co¨ordinaat van de projectie D0 van D op vlak (A, B, C). (c) de afstand van D tot het vlak (A, B, C). (d) de afstand van A tot BC. (e) de hoek tussen AD en BD. (f) de hoek tussen vlak (ABC) en vlak (DBC). (g) de hoek tussen vlak (ABC) en DB.
5 (h) de inhoud van het viervlak (ABCD). (i) de vergelijking van de sfeer door de punten A, B, C en D. A B C 11. Het dak van een huis ziet eruit als een driezijdig prisma . De zijD E F vlaksdiagonaal [C, D] maakt met het grondvlak (A, B, C, D) een hoek van 30o en maakt met de ribbe [AD] een hoek van 45o . (a) Bereken de elementen van van driehoek (A, B, C) als je weet dat |AC| = |BC| en |CD| = 12. (b) Bereken de hoek van CD met het vlak (CBEF ); (c) Bereken de hoek tussen DF en AD; 12. Bepaal de rechte l die in het vlak α : 4x − 2y + z − 3 = 0 ligt en de rechte a : x = 2y − 3 = 2z−1 loodrecht snijdt. 5 13. Stel de vergelijking op van de sfeer met middelpunt (6, 3, −4) en rakend aan de x-as. ((x2 + y 2 + z 2 − 12x − 6y + 8z + 36 = 0) 14. Bepaal een stelsel vergelijkingen van de rechte d die door het punt A(1, 2, 0) gaat, evenwijdig is met het vlak α : y + 3z + 2 = 0 en loodrecht staat op de rechte x − 4y + 1 = 0 y−z+2=0 15. Bepaal een stelselvergelijkingen van de rechte m die in het vlak α : 3x+2y+z+4 = 0 x+y =3 ligt, de rechte l : snijdt en evenwijdig is met het vlak β : x + y + z = 0. z=3
