ˇ ezovka Retˇ Abstrakt: Uk´aˇzeme si, ˇze ˇretˇez povˇeˇsen´ y mezi dvˇema body v homogenn´ım gravitaˇcn´ım poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolick´ y kosinus. Odvozen´ı provedeme dvoj´ım zp˚ usobem: pomoc´ı rovnov´ahy sil a pomoc´ı minima potenci´aln´ı energie.
1
Pˇ r´ıpravy
Funkce hyperbolick´ y kosinus a hyperbolick´ y sinus jsou definov´any v´ yrazy ex + e−x 2 ex − e−x sinh x = . 2
cosh x =
Snadno lze ovˇeˇrit cosh2 x − sinh2 x = 1 (cosh x)0 = sinh x (sinh x)0 = cosh x a pouˇzit´ım substituce u = ex a ˇreˇsen´ım kvadratick´e rovnice dostaneme inverzn´ı funkce √ arccosh x = ln(x + x2 − 1) √ arcsinh x = ln(x + x2 + 1) a jejich derivace (arccosh x)0 = √ (arcsinh x)0
2
1
x2 − 1 1 = √ x2 + 1
Odvozen´ı pomoc´ı rovnov´ ahy sil
Uvaˇzujme mal´ y kousek zavˇeˇsen´eho ˇretˇezu, viz. obr´azek. 1
Fv + dG 6 d ddd
dd ddd d d d Fh ddddd 9? ? Fv dG
dd
dd
-
Fh
S´ılu, kter´a p˚ usob´ı na lev´ y konec tohoto kousku ˇretˇezu rozloˇz´ıme na horizont´aln´ı sloˇzku Fh a vertik´aln´ı sloˇzku Fv . Na prav´ y konec tohoto kousku ˇretˇezu pak p˚ usob´ı horizont´aln´ı s´ıla stejnˇe velk´a, ale opaˇcnˇe orientovan´a, a vertik´aln´ı sloˇzka Fv + dG, kde dG je t´ıha kousku ˇretˇezu. Uvaˇzujeme homogenn´ı gravitaˇcn´ı pole s t´ıhov´ ym zrychlen´ım g. Pak je t´ıha kousku ˇretˇezu dG = g dm, kde dm je hmotnost kousku ˇretˇezu. Oznaˇcme d´elkovou hustotu ˇretˇezu %, potom dm = % dl, kde dl je d´ep lka kousku ˇretˇezu. Lze-li tvar ˇretˇezu popsat grafem funkce y = y(x), je dl = 1 + y 02 dx. S´ıly na konc´ıch kousku ˇretˇezu p˚ usob´ı v teˇcn´em smˇeru. Oznaˇcme vodorovnou souˇradnici lev´eho konce x a prav´eho konce x + dx. Pak v lev´em bodˇe plat´ı FFhv = y 0 (x) a v prav´em bodˇe FvF+dG = y 0 (x + dx). Zmˇena prvn´ı derivace h p 0 0 (x) g% = FdG = 1 + y 02 . Oznaˇcme urˇcuje druhou derivaci y 00 (x) = y (x+dx)−y dx dx F h h g% α = Fh , pak p y 00 (x) = α 1 + y 02 . To je diferenci´aln´ı rovnice pro nezn´amou funkci y = y(x). Tu vyˇreˇs´ıme metodou separace promˇenn´ ych: dy 0 p Z
1 + y 02 dy 0
= α dx Z
= α dx 1 + y 02 arcsinh y 0 = αx + c1 y 0 = sinh(αx + c1 ) 1 y = c2 + cosh(αx + c1 ). α p
2
3
Odvozen´ı pomoc´ı minima potenci´ aln´ı energie
ˇ ez upevnˇen´ Retˇ y ve dvou bodech zaujme tvar, kdy celkov´a potenci´aln´ı energie bude minim´aln´ı. Pˇritom jeho d´elka z˚ ustane konstantn´ı. Jestliˇzp e tvar ˇretˇezu 1 + y 02 dx a lze popsat grafem funkce y = y(x), je element d´elky dl = celkov´a d´elka je Zx2 p L= 1 + y 02 dx, x1
kde x1 a x2 jsou souˇradnice bod˚ u uchycen´ı ˇretˇezu. Potenci´aln´ı energie kousku ˇretˇezu je dW = g y dm, kde g je t´ıhov´e zrychlen´ı, y je v´ yˇska elementu ˇretˇezu a dm je jeho hmotnost. Pouˇzit´ım d´elkov´e hustoty % lze ps´at dm = % dl, takˇze celkov´a potenci´aln´ı energie ˇretˇezu je Zx2 W =
g%y
p 1 + y 02 dx.
x1
Oznaˇc´ıme-li w(f, f 0 ) = g%f tenci´aln´ı energie ˇretˇezu
p p 1 + f 02 a l(f, f 0 ) = 1 + f 02 je d´elka a poZx2
W (f ) =
w(f, f 0 ) dx,
x1
Zx2 L(f ) =
l(f, f 0 ) dx.
x1
Jestliˇze potenci´aln´ı energie W nab´ yv´a minima pro funkci f , pak mus´ı funkce ˜ (ε) = W (f + εh) nab´ W yvat minima a tedy m´ıt nulovou derivaci pro ˇc´ıslo ε = 0 pro libovolnou funkci h(x) splˇ nuj´ıc´ı okrajov´e podm´ınky h(x1 ) = 0 a h(x2 ) = 0. Oznaˇc´ıme-li wf a wf 0 parci´aln´ı derivace funkce w podle prvn´ıho a podle druh´eho argumentu, dostaneme (integrac´ı per partes a vyuˇzit´ım okrajov´ ych podm´ınek) Zx2 Zx2 Zx2 0 0 ˜ (0) = (wf h + wf 0 h ) dx = (wf h − wf 0 h) dx = (wf − wf0 0 )h dx. 0=W 0
x1
x1
3
x1
Kdyby nebylo podm´ınky, ˇze d´elka ˇretˇezu je konstantn´ı, potom bude tento integr´al nulov´ y pro libovolnou funkci h pouze tehdy, kdyˇz bude nulov´a z´avorka (wf − wf0 0 ) = 0. Tato z´avorka odpov´ıd´a gradientu funkce, jej´ıˇz minimum hled´ame. Funkce h popisuje zmˇenu tvaru ˇretˇezu. Uvaˇzujeme pouze takov´e zmˇeny tvaru, kter´e nemˇen´ı d´elku ˇretˇezu. To pˇredstavuje podm´ınku neboli vazbu na moˇzn´e zmˇeny tvaru ˇretˇezu. Tato podm´ınka je d´ana rovnic´ı L = konst. ˜ Oznaˇc´ıme-li L(ε) = L(f + εh), pak gradient t´eto vazbov´e funkce je (lf − lf0 0 ). Hled´ame-li extr´em funkce na mnoˇzinˇe L = konst, mus´ı b´ yt gradient minimalizovan´e funkce rovnobˇeˇzn´ y s gradientem vazbov´e funkce, tedy mus´ı b´ yt roven n´asobku, zde λ n´asobku wf − wf0 0 = λ(lf − lf0 0 ). Pro w(f, f 0 ) = g%f
p 1 + f 02
m´ame p wf = g% 1 + f 02 a
f0 p w = g%f 1 + f 02 f0
podobnˇe pro l(f, f 0 ) =
p 1 + f 02
m´ame lf = 0 a
f0 lf 0 = p . 1 + f 02
Rovnici wf − wf0 0 = λ(lf − lf0 0 ) uprav´ıme a vyˇreˇs´ıme takto: p g% 1 + f 02 −
0
f g%f p 1 + f 02
!0
0
f p 1 + f 02 !0 f0 λ p f− . g% 1 + f 02
= −λ
p 1 + f 02 = 4
!0
Zavedeme z(x) = f (x) −
λ g%
a dostaneme 0 zz 0 √ 1+ = 1 + z 02 A teprve nyn´ı provedeme derivaci na prav´e stranˇe a dostaneme √ 0 z 00 (z 02 + zz 00 ) 1 + z 02 − zz 0 √z1+z √ 02 02 1+z = 1 + z 02 a po u ´pravˇe 1 + z 02 = zz 00 . √
z 02
Tuto rovnici vyˇreˇs´ıme z0 1 2z 0 z 00 = z 2 1 + z 02 1 (ln z)0 = ( ln(1 + z 02 )0 2√ ln z + ln k = ln 1 + z 02 √ kz = 1 + z 02 p z0 = (kz)2 − 1 k dz p = k dx (kz)2 − 1 arccosh kz = kx + c3 1 cosh(kx + c3 ) z = k λ 1 y = + cosh(kx + c3 ) g% k
4
Z´ avˇ er
Uk´azali jsme dvoj´ım zp˚ usobem, ˇze ˇretˇez povˇeˇsen´ y v homogenn´ım gravitaˇcn´ım poli se prohne do tvaru grafu funkce hyperbolick´ y kosinus. Pokud V´as tento text zaujal, v dobr´em ˇci ˇspatn´em, budu r´ad, kdyˇz mi to d´ate vˇedˇet. Pavel Pokorn´ y
[email protected] V Praze, 10.kvˇetna 2014 5
