1.Mintafeladat: Ferde gerincű nyeregtető vizsgálata Adott: ~ a nyeregtető trapéz alakú felülnézeti eresz - körvonalrajzának a, b, c adatai, valamint a nagyobbik oromfal m1 magassága; ~ a tetősíkok egyező hajlásszögűek ( α ); ~ az ereszek ugyanazon vízszintes síkban találhatók.
Keresett: a d, m2, h; α, β, γ, δ ; Atető mennyiségek. Megoldás: A megoldás módja: a geometriai szerkesztésre alapozott számítás − grafoanalitikus módszer. Ezt itt különösen indokolttá teszi az a tény, hogy elvileg különböző mennyiségek gyakorlatilag szinte egybeesnek. A számítást úgy rendeztük be, hogy egyszerre csak egy ismeretlent kelljen meghatározni. A megoldás lépései az alábbiak. 1.) d meghatározása: Pitagorasz tételével:
d 2 a c b 2 6m 4m 10m 104m2 ; 2
2
d 104m 2 10,1980m 10, 20m; d =10,20 m . 2.) δ meghatározása: tangens szögfüggvénnyel, az ábrával is: m1 3m 1,0000 45. a 6m 2 2 o δ = 45,0 . tg
3.) m2 meghatározása: az ábra alapján:
2
2
3
m2 ,innen c 2 c 4m m 2 tg 1,0000 2m; 2 2 m 2 = 2,00 m. tg
4.) h’ meghatározása: Pitagorasz tételével:
a c 6m 4m 2 2 h ' b 2 10m 101m ; 2 2 2 2 2
2
2
h ' 101m 2 10, 0499m 10,05m; h' =10,05 m. 5.) h meghatározása: Pitagorasz tételével:
h 2 h '2 m1 m 2 101m 2 3m 2m 102m 2 ; 2
2
h 102m 2 10,0995m 10,10m; h =10,10 m. 6.) γ meghatározása: tangens szögfüggvénnyel:
tg
m1 m 2 3m 2m 0,0995 5, 68 5, 7 ; h' 10, 0499m
5, 7. 7.) β meghatározása: az ábra alapján:
cos
b 10m 0,9806 11,31 11,3 ; d 10,1980m
11,3.
4
8.) α meghatározása: az ábra szerint:
tg
m1 ;de e
a e cos ; ezekkel : 2 m1 3m tg 1,0198 45,56 45,6 ; a 6m cos 0,9806 2 2 45, 6. 9.) Atető meghatározása: Bár a szerkesztéssel – a képsíkba forgatással – előállt a két tetősíkidom „valódi” méreteket tartalmazó képe, a tető felszínét mégsem e síkidomok területének – az ábráról lemérhető adatok alapján történő – kiszámításával, majd ezek összegzésével határozzuk meg, hanem a lényegesen gyorsabban eredményre vezető, alább közölt képlettel. Ez utóbbi arról nevezetes, hogy nem szerepel az általunk is használt, szakmai számításokkal foglalkozó tankönyvekben. Talán ez az oka, hogy a vizsga - és versenyfeladatok készítői sem alkalmazzák. Ez pedig problémák forrása lehet.
A tető
Talaprajz
; cos a c 6m 4m Talaprajz b 10m 50m 2 ; 2 2 cos cos 45,56 0, 7002;ezekkel : 50m2 A tető 71, 41m 2 71, 4m 2 ; 0, 7002 A tető 71, 4m 2 . Ezzel a feladatot megoldottuk.
5
Megjegyzések: M1. A feladat geometriai adottságai olyanok, hogy a gyakorlatban szokásos hossz - és szögmérési pontosság alkalmazásával egyes eredmények szinte egybeesnek. Például: h’≈ h, vagy α ≈ δ, a számszerű értékek alapján. Fontos látni, hogy itt elvileg lényegesen eltérő mennyiségekről van szó, melyek meghatározása a fenti módon a bemenő adatok tetszőleges – de értelmes – értékei mellett is ugyanígy történhet. M2. A feladat további tanulsága, hogy ismét rámutat: a szerkesztéses megoldásról levett eredmények pontossága, ill. relatív hibája jelentősen függ a rajz méretarányától. Ennél a feladatnál ugyanis az eredmény szakaszhosszak cm - pontosságú leolvasása szinte reménytelen, az alkalmazott M 1:100 méretarány mellett. Gondoljuk meg: 1 cm valódi hossznak 0,01 cm = 0,1 mm rajzi hossz felel meg! Így az egymáshoz közel fekvő eredmények közti különbségeket akár a szerkesztési és leolvasási hibák számlájára is írhatnánk. A számításos megoldás alkalmazása tehát segít a durva hibák elkövetésének elkerülésében is. M3. Érdemes megemlíteni, hogy a tető felszínébe nem számít bele az oromfalak területe. M4. E mintafeladat alapjául szolgálhat egy összetettebb feladatnak; pl.: ezután következhet a fizikai megvalósítás részleteinek tisztázása, a tervezett háztető esetében. M5. A szerkesztés magyarázatát itt nem részleteztük; az legyen a Szakrajz, ill. az Ábrázoló geometria tantárgyak óráinak feladata. Célunk: a számításos megoldás népszerűsítése. M6. A számítás fontossága – többek között – abban rejlik, hogy ellenőrzési lehetőséget biztosít; mindenki beláthatja, hogy a feladatok megoldása során aranyat ér, ha az egyik úton kapott eredményünket megerősíti egy másik úton nyert eredmény. M7. Az is figyelemre méltó tény, hogy a számítások során főként a derékszögű háromszögben értelmezett alapösszefüggéseket – a szögfüggvényeket és a Pitagorasz - tételt – használtuk fel. Minthogy ezek az ismeretek a szakmunkástanulók részére is előírt tudnivalók, látható, hogy mondanivalónk nekik is szól. Az már egy másik kérdés, hogy vajon rájön - e a tanuló, hogy hol van és hogyan állítható elő az a derékszögű háromszög, melynek megoldásával a probléma is megoldódik. A trükk: minél több feladat megoldásával a térszemlélet fejlesztése, a technikai részletek begyakorlása. Ehhez kíván sok sikert a szerző: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. 02. 07.
