A ferde tartó megoszló terheléseiről Úgy vettem észre az idők során, hogy nem nagyon magyarázták agyon azt a kérdést, amivel itt fogunk foglalkozni. Biztos azt mondják majd megint, hogy „De hisz’ ezt mindenki úgyis tudja!” Egy csudát! Sem a technikus - , sem a mérnök - képzés tan - és szakkönyveiben nem volt teljesen rendbe téve ez a téma – mondhatni általában – [ 1 ], [ 2 ]. Érdekes, hogy az újabb idők internetes tananyagaiban táblázatos összefoglalókat is találtunk, melyek segíthetik a megértést. Lehet, hogy mert nehéz? Akkor meg hogyan tudhatná mindenki? A ferde – sík vagy görbült – felületre ható terhelések egyáltalán nem ritkák a műszaki gyakorlatban; például tetők, tartályok, hajók, gátak, támfalak, stb. Itt most főként a magasépítési gyakorlat eseteire koncentrálunk. Az tény, hogy az építési szabványokat eredményesen használni a ferde helyzetű tartók erőtani számításaiban csak akkor lehet, ha az alkalmazott fogalmakat jól értjük. Szóval, vegyük sorra a fontosabb tudnivalókat!
Kéttámaszú gerenda egyenletesen megoszló terhelései Tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra Először: a bal oldali ábrarészen egy G súlyú, l hosszúságú, egyenletes tömegeloszlású tartót láthatunk, melynek megoszló terhelése így:
q0
G . l
(1)
A jobb oldali ábrarészen azt szemlélhetjük, hogy az előző tartót a bal oldali támasza körül α szöggel elforgattuk. Függőleges megoszló terhelésének intenzitása így
q1
G q0 . l
(2)
2 Látható, hogy sem a reakciók, sem az igénybevételek meghatározása szempontjából nem kényelmes ez a teher - megadás, ezért képezzük a 1. ábra jobb oldali részén elvégzett erőfelbontásnak megfelelő rész - intenzitásokat, ( 2 ) - vel is:
q1
G G cos q1 cos , l l
tehát:
q1 q1 cos .
(3)
Hasonlóképpen:
q1
G l
G sin q1 sin , l
tehát:
q1 q1 sin .
(4)
Jelképes ábrázolásuk a 2. ábra szerinti.
2. ábra
3 Egy második gyakori és fontos tehermegadás az, amikor a megoszló terhet a ferde tartó vetületi hosszára vonatkoztatjuk. Ekkor ( 2 ) - vel is – 3. ábra – :
3. ábra
q2
G G q 1 , l v l cos cos
tehát:
q2
q1 . cos
(5)
Most nézzük meg ezen teher felbontását, az előzőeknek megfelelően, rúdtengelyre merőleges és rúdtengellyel párhuzamos összetevőkre! Gondolatban ezt az alábbiak szerint oldjuk meg. ~ Eltoljuk q2 - t a saját hatásvonalán, míg rá nem fekszik a tartó tengelyére; ekkor q1 lesz belőle: ( 5 ) - ből:
q1 q 2 cos .
(6)
~ Felbontjuk q1 - et merőleges és párhuzamos összetevőkre: most ( 3 ) és ( 6 ) - tal:
q q1 cos q 2 cos 2 ;
(7)
majd ( 4 ) és ( 6 ) - tal:
q q1 sin q 2 cos sin ; a végeredmény:
(8)
4
q 2 q 2 sin cos .
q 2 q 2 cos 2 ,
(9)
Egy harmadik, igen fontos eset, amikor az egyenletesen megoszló, q3 intenzitású terhelés merőleges a ferde tartó tengelyére – 4. ábra.
4. ábra Ezzel kapcsolatban meg szokás említeni, hogy a vetületi megoszló terhelésekre fennáll, hogy
q 3f
Q3f Q cos Q3 3 q3 , lv l cos l
q 3v
Q3v Q3 sin Q3 q3 , lv l sin l
azaz
q 3f q 3v q 3 .
( 10 )
Szavakkal: az eredeti és a vetületi megoszló terhelések intenzitása egyenlő. Most foglalkozzunk egy kicsit a jellegzetes magasépítési teherfajtákkal – lásd 5. ábra! Forrása: [ 3 ].
5
Terhelés
Vázlat
Példa
g = q1
Önsúly
s = q2
Hó
w = q3
Szél
5. ábra Az egyes esetek egymásba való átszámításának képleteit fent levezettük; a 6. ábra megkönnyíti ezek áttekintését. Forrása: [ 3 ] .
Összetett tartó megoszló terhelései A tartószerkezetek gyakran nem csak egy egyenes darabból állnak; például a tört tengelyű tartók több különböző hajlású egyenes darabból épülnek fel. Másfelől a tartó hossza mentén a megoszló terhelés változó irányú és nagyságú is lehet, vagyis a választott koordináta - tengelyek menti részterhelések egy tartószakaszon belül is, de az egyes tartórészek között is változóak lehetnek. Tekintsünk például egy manzárdfedél - részletet – ld. 7. ábra!
6
Adott: g
Adott: s
Adott: w 6. ábra
7. ábra
7 Itt a globális ( O x y ) koordináta - rendszerben adott terhelésekből kell összeállítani az egyes rudak merőleges és párhuzamos megoszló terheléseit, a rudak méretezéséhez. Ehhez fel kell állítani a különféle megoszló terhek intenzitásai közti kapcsolatokat is. A levezetés a 8. ábrán követhető.
8. ábra A t - irányú elemi részerők eredője:
q t ds q x dy cos q y dx sin ;
( 11 )
osztva ds - sel és figyelembe véve, hogy
dx cos , ds dy sin , ds
( 12 )
( 11 ) és ( 12 ) - vel:
q t q x q y sin cos .
( 13 )
Az n - irányú részerők eredője:
q n ds q x dy sin q y dx cos ;
( 14 )
most ( 14 ) és ( 12 ) - vel:
q n q x sin 2 q y cos 2 .
( 15 )
Megjegyezzük, hogy ~ a 8. ábrán minden mennyiség pozitív előjelűre lett felvéve, így a valóságos helyzetnek megfelelően kell az előjeleket megválasztani a teherintenzitások számításakor; ~ a ( 13 ) és ( 15 ) képletekkel már számíthatók a ferde helyzetű rúdelemek megoszló rész - erőrendszereinek q t q , q n q intenzitásai, melyek szükségesek az igénybevételi függvények felírásához.
8 Gyakorlás Ebben a feladatban az összefüggések önálló használatát gyakorolhatjuk. Tekintsük a 9. ábrát!
9. ábra
Adott: sv, sf ; α. Keresett: sn = f1( sv , sf , α ) ; st = f2( sv , sf , α ). Megoldás: 1. A 10. ábra szerint:
10. ábra
Sv s v lf s v1 l, innen: l s v1 s v f s v sin , tehát: l s v1 s v sin .
( 16 )
9 Hasonlóan:
Sf s f l v s f 1 l, innen: l s f 1 s f v s f cos , tehát: l
sf 1 sf cos .
( 17 )
2. A 11. ábra szerint, ( 16 ) és ( 17 ) - tel is:
11. ábra
s n1 s v1 sin s v sin 2 , tehát:
s n1 s v sin 2 ;
( 18 )
majd
s t1 s v1 cos s v sin cos , tehát: s t1 s v sin cos .
( 19 )
Ezután
s n 2 s f 1 cos s f cos 2 , tehát:
s n 2 s f cos 2 ;
( 20 )
végül
s t 2 s f 1 sin s f sin cos , tehát:
s t 2 sf sin cos .
( 21 )
Mivel fennáll, hogy
s n s n1 s n 2 ,
( 22 )
így ( 18 ), ( 20 ), ( 22 ) - vel:
s n s v sin 2 s f cos 2 .
( 23 )
10 Hasonlóképpen
s t s t1 s t 2 ,
( 24 )
így ( 19 ), ( 21 ), ( 24 ) - gyel:
s t s v sin cos s f sin cos s v s f sin cos , tehát:
s t s v sf sin cos .
( 25 )
Most végezzük el az alábbi helyettesítéseket!
s n q n , s t q t ; s v q x , s f q y .
( 26 )
Ekkor ( 23 ), ( 26 ) - tal ( 13 ), ( 25 ) és ( 26 ) - tal ( 15 ) adódik.
1
12. ábra A fentiek ismeretében a 12. ábra tartalma jórészt már magától értetődik – [ 4 ].
11 Itt egy fa tetőszerkezet méretezéséhez szükséges terhek felvételéről van szó, melynek lényeges részét képezik a jelen dolgozatban kifejtettek. Tény, hogy nem árt, ha biztosan kezeljük a különféleképpen megadott teherfajtákat. Ezzel a feladatot megoldottuk.
Irodalom: [ 1 ] – Tobiás Loránd ~ Visy Zoltán: Szilárdságtan I., II. Ipari technikumi tankönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban [ 2 ] – Palotás László: Vasbetonépítéstan, 2. kötet: Magasépítési szerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, 1967. [ 3 ] – Francois Colling: Technische Mechanik I. / Geneigte Traeger / Umrechnung von Streckenlasten ( internetes anyag, a dolgozat írásakor nem volt elérhető ) [ 4 ] – http://www.bau.hswismar.de/boddenberg/holzbau3/holzbau3_vorlesung/Arbeitsblatt%20Lastaufstellung%2 0Dach.pdf
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2010. augusztus 25.
