15. Nulové body a póly Věta. Je-li funkce f holomorfní v oblasti G ⊂ C, a f (z0 ) 6= 0 pro bod z0 ∈ G, pak existuje okolí U (z0 ) bodu z0 takové, že f (z) 6= 0 pro z ∈ U (z0 ). Definice: Je-li funkce f holomorfní v oblasti G ⊂ C, pak říkáme, že má v bodě z0 ∈ G nulový bod (kořen), jestliže je f (z0 ) = 0. Definice: Je-li funkce f holomorfní v oblasti G ⊂ C a má v bodě z0 ∈ G nulový bod, t.j. f (z0 ) = 0, pak nastanou dvě možnosti: (1) f (z) = 0 pro z ∈ G; (2) existuje okolí U (z0 ) bodu z0 takové, že f (z) 6= 0 pro z ∈ U (z0 ), z 6= z0 . Pak existuje jednoznačně určené číslo n ∈ N takové, že f (z) = (z − z0 )n g(z), g(z) 6= 0, z ∈ U (z0 ). Definice: Číslo n z předchozí věty se nazývá řád nulového bodu (kořene) funkce f. Věta. Funkce f : G → C, která je holomorfní v oblasti G má v bodě z0 ∈ G nulový bod řádu n pravě když platí: Existuje okolí U (z0 ) bodu z0 takové, že pro z ∈ U (z0 ) jsou splněny tyto ekvivalentní podmínky: ∞ P (a) f (z) = ak (z − z0 )k , an 6= 0; k=n
(b) f (z) = (z − z0 )n g(z), kde funkce g je holomorfní a různá od nuly; (c) f (z0 ) = f 0 (z0 ) = . . . = f (n−1) (z0 ) = 0 a f (n) (z0 ) 6= 0. Věta. Je-li funkce f : G → holomorfní v oblasti G a f (z0 ) 6= 0 pro z0 ∈ G, pak 1 holomorfní a nenulová v okolí U (z0 ). existuje okolí U (z0 ) bodu z0 takové, že je funkce f (z) Věta. Je-li funkce f : G → holomorfní v oblasti G a má v bodě z0 ∈ G nulový bod řádu n, pak existuje okolí U (z0 ) bodu z0 takové, že pro z ∈ U (z0 ), z 6= z0 platí: 1 h(z) = , h(z) 6= 0. f (z) (z − z0 )n Je pak lim
z→z0
1 = ∞. f (z)
Věta. Nechť je funkce f : G → C holomorfní v oblasti G − {z0 } a z→z lim f (z) = ∞, 0
pak existuje okolí U (z0 ) bodu z0 a číslo n ∈ N takové,že pro z ∈ U (z0 ), z 6= z0 je f (z) =
g(z) , (z − z0 )n
kde funkce g(z) je holomorfní v U (z0 ). Definice: Bod z0 , z předchozí věty se nazývá pólem řádu n funkce f. Definice: Izolované singularity Jestliže je funkce f : G → C holomorfní v oblasti G − {z0 }, pak bod z0 je izolovaným singulárním bodem funkce f v oblasti G. Klasifikace izolovaných singulárních bodů. Je-li bod z0 ∈ G izolovaným singulárním bodem funkce f : G → C, která je holomorfní v oblasti G − {z0 }, pak nastane právě jedna z možností: I. Odstranitelná singularita a) lim f (z) = w0 ∈ C; z→z0
52
b) f (z) =
∞ P
ak (z − z0 )k , 0 < |z − z0 | < r a a0 = w0 ;
k=0 ∗
c) funkce f (z) = f (z), z 6= z0 , f ∗ (z0 ) = w0 je holomorfní v bodě z0 . II. Pól n-tého řádu a) z→z lim f (z) = ∞; 0
b) existuje funkce g(z) holomorfní v bodě z0 taková, že f (z) = c) z→z lim f (z)(z − z0 )n = w0 ∈ C, w0 6= 0;
g(z) (z−z0 )n
a g(z0 ) 6= 0;
0
d) funkce
1 f (z)
má v bodě z0 nulový bod (kořen) řádu n.
III. Neodstranitelná (podstatná) singularita a) z→z lim f (z) neexistuje; 0
b) lim f (z)(z − z0 )m neexistuje pro všechna m ∈ Z. z→z0
Obdobně klasifikujeme izolované singularity v bodě ∞ pro funkci f (z), která je holomorfní na nějakém okolí U (∞) bodu ∞ : I. Odstranitelná singularita lim f (z) = w0 ∈ C. z→∞ Nulový bod: Je-li w0 = 0, pak má funkce f (z) v bodě ∞ nulový bod (kořen). Jeho řád je roven řádu nulového bodu funkce g(z) = f z1 v bodě z0 = 0. Tedy funkce f (z) má v bodě ∞ nulový bod řádu n právě když je z→∞ lim z n f (z) = w∗ 6= 0, w∗ ∈ C. II. Pól n-tého řádu Funkce f (z) má v bodě ∞ pól n−tého řádu, jestliže je lim
z→∞
f (z) zn
= w0 , w0 ∈ C, w0 6= 0.
III. Neodstranitelná (podstatná) singularita Pokud nemá funkce f (z) v bodě ∞ odstranitelnou singularitu nebo pól, pak říkáme, že má v bodě ∞ neodstranitelnou singularitu. Potom z→∞ lim f (z) neexistuje. 16. Laurentovy řady Definice: Řada tvaru
∞ X
(♣)
ak (z − z0 )k
k=−∞
se nazývá Laurentova řada se středem v bodě z0 . Mocninná řada ∞ X
(∗)
ak (z − z0 )k
k=0
se nazývá regulární část řady (♣) a řada ()
−1 X
ak (z − z0 )k =
∞ X m=1
k=−∞
a−m (z − z0 )m
se nazývá hlavní část řady (♣). Poznámka: Hlavní část Laurentovy řada je mocninná řada v proměnné oborem konvergence je pak množina
1 1 < r ⇔ |z − z0 | > , 0 ≤ r ≤ ∞. z − z0 r
53
1 . z−z0
Jejím
Definice: Řada tvaru
∞ X
(♣♣)
k=−∞
ak zk
se nazývá Laurentova řada se středem v bodě ∞. Mocninná řada ∞ X ak
(∗)
k=0
zk
se nazývá regulární část řady (♣♣) a řada −1 X
()
k=−∞
∞ X ak = a−m z m z k m=1
se nazývá hlavní část řady (♣♣). Věta. Obor konvergence Pro Laurentovu řadu (♣) nastane jedna z možností: a) regulární část (∗) řady konverguje pro |z − z0 | < r1 , hlavní část () konverguje pro |z − z0 | > r2 a r2 < r1 . Řada (♣) pak konvegruje absolutně v mezikruží r2 < |z − z0 | < r1 . b) regulární část (∗) řady konverguje pro |z − z0 | < r1 , hlavní část () konverguje pro |z − z0 | > r2 a r2 > r1 . Řada (♣) pak nekonverguje nikde. c) regulární část (∗) řady konverguje pro |z − z0 | ≤ r, a hlavní část () konverguje pro |z − z0 | ≥ r. Řada (♣) pak konverguje pouze v bodech kružnice |z − z0 | = r. Značení: Označujeme symbolem P (z0 ; r, R) mezikruží {z; r < |z − z0 | < R}, kde 0 ≤ r ≤ R ≤ ∞. Věta. Cauchyův vzorec pro mezikruží Nechť je funkce f : G → C holomorfní v oblasti G, která obsahuje mezikruží P (z0 ; r, R). Jsou-li (C1 ) a (C2 ) kladně orientované kružnice C1 = {z; |z − z0 | = r1 }, C2 = {z; |z − z0 | = r2 }, kde r < r1 < r2 < R, pak pro všechny body z ∈ P (z0 ; r, R) je f (z) =
1 Z f (w) 1 Z f (w) dw − dw. 2πj (C2 ) w − z 2πj (C1 ) w − z
Věta. Laurentova řada holomorfní funkce Je-li funkce f : G → C holomorfní v oblasti G, která obsahuje mezikruží P (z0 ; r, R), pak f (z) =
∞ X
ak (z − z0 )k , r < |z − z0 | < R,
k=−∞
přičemž ak =
1 Z f (w) dw, 2πj (C ) (w − z0 )k+1
kde (C ) je kladně orientovaná kružnice K = {z; |z − z0 | = r∗ , r < r∗ < R. 17. Klasifikace singulárních bodů, reziduum funkce Věta. Je-li funkce f (z) holomorfní v prstencovém okolí bodu z0 a je-li (♣)
f (z) =
∞ X
ak (z − z0 )k ,
k=−∞
54
z0 ∈ C,
resp.
∞ X
(♣♣) f (z) =
k=−∞
ak , zk
z0 = ∞
je její rozvoj v Laurentovu řadu, pak platí: a) Funkce f (z) má v bodě z0 odstranitelnou singularitu, právě když je hlavní část Laurentovy řady nulová, t.j. ak = 0, k ≤ −1. b) Funkce f (z) má v bodě z0 pól řádu n, právě když má hlavní část Laurentovy řady koeficienty ak = 0 pro k < −n a a−n 6= 0. c) Funkce f (z) má v bodě z0 neodstranitelnou singularitu, právě když má hlavní část Laurentovy řady nekonečně mnoho nenulových koeficientů. Definice: Reziduum funkce Jestliže má funkce f (z), která je holomorfní v prstencovém okolí bodu z0 rozvoj v Laurentovu řadu (♣)
∞ X
f (z) =
ak (z − z0 )k ,
z0 ∈ C,
k=−∞
resp.
∞ X
(♣♣) f (z) =
k=−∞
ak , zk
z0 = ∞,
pak číslo a−1 , resp. −a1 nazýváme reziduem funkce f (z) v bodě z0 a označujeme jej symbolem (♠) resz0 f (z) = a−1 , resp. (♠♠) res∞ f (z) = −a1 . Poznámka: Význam residua Je-li (♣)
∞ X
f (z) =
ak (z − z0 )k ,
0 < |z − z0 | < r,
k=−∞
rozvoj funkce f (z) v Laurentovu řadu v okolí bodu z0 , pak pro každou kladně orientovanou kružnici (Kρ ), Kρ = {z; |z − z0 | = ρ, 0 < ρ < r} je Z (Kρ )
f (z) dz = 2πja−1 = 2πj resz0 f (z).
Obdobně pro z0 = ∞ platí: Je-li (♣♣) f (z) =
∞ X ak k=0
zk
,
|z| > r,
rozvoj funkce f (z) v Laurentovu řadu v okolí bodu ∞, pak pro každou záporně orientovanou kružnici (Kρ ), Kρ = {z; |z − z0 | = ρ, 0 < r < ρ} je Z (Kρ )
f (z) dz = −2πja1 = 2πj res∞ f (z).
Věta. Reziduová věta Nechť je funkce f (z) holomorfní v oblasti G ⊂ C s výjímkou nejvýše konečného počtu bodů z1 , z2 , . . . , zn a nechť (C ) je kladně orientovaná uzavřená cesta, která spolu se svým vnitřkem IntC leží v oblasti G. Jestliže body z1 , z2 , . . . , zn leží ve vnitřku IntC cesty, pak je (♥)
Z
f (z) dz = 2πj
(C )
n X k=1
55
reszk f (z).
Poznámka: Výpočet residuí V bodě z0 6= ∞ : A) pól 1. řádu: Nechť funkce h(z) a g(z) jsou holomorfní v bodě z0 a h(z0 ) 6= 0, g(z0 ) = 0, g 0 (z0 ) 6= 0. Potom má funkce f (z) = h(z) v bodě z0 pól 1. řádu a g(z) ()
resz0 f (z) =
h(z0 ) . g 0 (z0 )
B) pól n-tého řádu: Nechť má funkcef (z) v bodě z0 pól řádu n, pak ()
resz0 f (z) =
1 lim [(z − z0 )n f (z)](n−1) . z→z 0 (n − 1)!
V bodě ∞ : A) odstranitelná singularita: Nechť má funkce f (z) v bodě ∞ odstranitelnou singularitu, pak: (∗) res∞ f (z) = z→∞ lim z(f (∞) − f (z)) = z→∞ lim z 2 f 0 (z); B) pól n-tého řádu: Nechť má funkcef (z) v bodě ∞ pól řádu n, pak (∗∗)
res∞ f (z) =
h i (−1)n n+2 (n+1) lim z f (z) . (n + 1)! z→∞
C) neodstranitelná singularita: Reziduum v tomto případě můžeme získat z Laurentovy řady. Častěji využíváme této skutečnosti. Je-li funkce f (z) holomorfní v C s vyjímkou nejvýše konečného počtu bodů z1 , z2 , . . . , zm , pak (?)
m X
reszk f (z) + res∞ f (z) = 0.
k=1
56
