1?
treometn Paoa
Vektor t \., Bidang, 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6
K u r v a B i d a n g ' :P e n y a j i a nS e c a r aP a r a m e t r i V e k t o r p a d a B i d a n g : P e n d e k a t a nS e c a r aG e o m e t r i V e k t o r p a d a B i d a n g : P e n d e k a t a nS e c a r aA l j a b a r Kurva F u n g s iB e r n i l a iV e k t o r d a n G e r a kS e p a n j a n g Kelengkungan dan Percepatan S o a l - s o aUl l a n g a nB a b
Seorong wonitu yong cakop dalom berbagoi hol terkensl sebogoimatenwtilqwsn, ohli bohaw, ahli filwfat, dan suka berjolon dalom kesdaan tidur. Howard Eves
Hanya dua wanita muncul dalam daftar nama k e h o rm a ta nk a l k u l u sk i ta . Kurangnyaperw aki l a f d a ri w a n i ta me n c e rm i n kansuatuprasangka y a n g .te l a h l a ma a d a d i Eropa B arat dan beri a n j u t h i n g g ak e a b a d i n i . J arangsekal iw ani tl d i d o ro n gu n tu k me n g e j akr e unggul an' akademi .s d a n m e re k ay a n g me l a k u k a nbi asanyamerasa' k a n b a h w a k a r i r a k a d e m i sd i h a l a n g iu n t u k me re k a .U n tu n g l a hb e b e ra paorangtbtap bertahanmeski punadahal angan-hal angantersebut. S a l a h s e o ra n gy a n g d e mi ki an adal ahMari aGaetanaA gnesi .Y ang tertua di a n ta ra2 1 o ra n ga n a k ,i a d i l ahi rkandal am kel uargal tal i a kaya dan terpel ai ardan S eoranganakyangl uar bi asakepandai me mp u n y a a i y l n ,u o i .n g matemati kaw an. a n n y a ,i a m e n g u a s abi a h a s aLati n, Y unani ,Y ahudi ,dan beberapabahasamod.ern p a d a u s i a 9 ta l ru n . P a d au si a 20 tahun, i a memul aikaryanyayang terpenti ng, me' sungguh-sungguh s e b u a hb u k u a j a r k a l k u l u s .Untuk masanya,kej el asannya di ni karya pertama sej ak yang l uas d a n me ru p a k a nb uku aj ar kal kul us ngagumkan pengakuan termasuk kehormatan, banyak m e mberi nya B u k u i tu d i ri l ' H o p i ta l , a a n P a u sB e n e d i cX t lV. r a r i aT h e r e s d o l e hK a i s aM matematikamelalui suatutempat dalam kepustakaan Nama Agnesimenguasai p€mbahasannya tentang" kurvayang kemudi an s a tu s u m b a n g a nk e c i l M a rl a dikenal sebagaiversiera,yang berasaldari bahasaLatin vertere,membalik. Sekarang kurva itu dikenal sebagaisihir dari Agnesi,karenaversieradalam bahasa Ita l i ab e ra rti i b l i sb e ti n a .K u r vai ni di bahasdal amS oal35 P asal13.1. P a d a p e ri n g a ta ns e ra tu stahun meni nggal nya,Mi l an menghormatiA gnesi d e n g a nm e m b e rin a mas e b uahj al anatasnamanya.S ebuahbatu pertamadi bagi an mu k a g e d u n g L u o g o Pi o b ertul i skanprasasti" terpei aj ardal am Matemati ka, k e a g u n g a nl t a l i a d a n a b a d n y a . . "
n arKulus
L22
uan
\Jc()rllctrr
Alralrtls
Jlll(f
/,
Parametri 13.1KurvaBidang:Penyajian secara Kita telah memberikan definisi umum tentang kurva bidang dalam Pasal6 .4 yang ada kaitannya denganpenjabaranrumus panjangbusur sebuahkurva. Suatu kurva bidang ditentupersamaanparameter kan oleh sepasang
x - ./"(r),
), : g(I),
't in I
f dan g adalahkontinu pada selangl, yang pada umumnya sebuahselangtertutup la,b7. Bayangkan/, yang disebut parameter, sebagaiukuran waktu. Apabila nilai f naik dari a hingga D titik (x,y) bergeraksepanjangkurva pada bidangxy. Titik-titik p = (x(a),y(a)) dan Q = (x(b), y(b)) adalahtitik ujung awal dan akhir kurva tersebut.Apabila kedua titik itu berimpit kurva itu disebut tertutup. Apabila nilai berlainandari / memberi titik ber' lainan pada bidang (kecuali mungkin untuk t = a dan / = b), dikatakan kurva sederhana (Gambarl). MENGHILANGKAN PARAMETER Untuk mengenalikembali sebuahkurva yang ditentukao.oleh persamaanparameter,kita sebaiknyamenghilangkan(mengeliminasi)pararneter ini. Hal-hal ini kadang-kadangdapat dicapai dengan mencari / dan salahsatu persamaan parameter dan kemudian mensubstitusikannyake dalam persarpaanlain (Contoh l). Kadang-kadangkita juga dapat menggunakanhubungan yang kita kenal, seperti dalam C o n to h2 . CONTOH I Hilangkanlahparameterf dari persamaan - \ : 1 2+ 2 t .
-2 < r < 3
grafi knya. K e m u d i a nte n tu k a nb e n tu k kurvadan gambarl ah
GAMBAR 1
Ueometrl pacla tJldang,.VeKtor
L23
Penyelevion Dari persamaankedua kita peroleh t = y + 3. Jika / ini disubstitusikanke dalam persamaanpertama,kita peroleh
. x : ( . 1 ' +3 ) t + 2 ( - r ' +3 ) : J ' 2+ 8 - t ' * 1 5 atau r * I : (r'+ 4)r Persamaanini kita kenal sebagaiparabol denganpuncak di (-l , -4) dan terbuka ke kanan. Untuk menggambarkangrafiknya, kita hanya memperlihatkan bagian parabol yang sesuaidengan nilai parameter yang memenuhi -2 < t -< 3. Daftar nilai-nilai dan grafik dapat dilihat pada Gambar 2. Anak panah menunjukkan arah naiknya nilai /. t
v
X
-5
.1
'1
1
n
n
- A
a
-t
1
-1
a
15
0
ffi
GAMBAR 2
CONTOH 2 Buktikan bahwa -\:t/cosr,
l':b'sitrt,
0
<2n
adalahpersanuanelipsditunjukkan dalam Gambar 3. Penyelewion Kita cari cos / dan sin /, kemudian mengkuadratkannyadan akhirnya kita jumlahkan.
(;/. (;J /''\l
/''\r
:coS2 l*sin2t:l
Elips
rt _ -]-
i'2 - 1
u2
1,z
GAMBAR 3
LZ4
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2
Dengan mengambil beberapanilai /, kita lihat bahwa kita telah memperolehseluruh elips.Khususnyd,t = 0 dan t = 2n memberikantitik yang sama,yaitu (o, 0). ty2 =a'. Apabilad=b,kitaperolehlingkararx2 ffi Pasanganpersamaanparameter yang berlaku mungkin mempunyai grafik sama, sepertiyang kita gambarkanberikut ini. CONTOH 3 Buktikan bahwa tiap pasangpersamaanparameterdi bawah ini menggambarkan kurva yang sama,yaitu setengahlingkaransepertiyang dapat dilihat pada Gambar 4 di bawah ini.
( r r ). \ : \ 1 = ^
J': /. -l
( l - ' ). r : c o s I . J ' :
(c) r:.
r -t I
.7Tft SINI.
.l
_;..I' t+r-
:.
2r r+r'
s eetteennggaahhlt i n g k a r a n S
< r < 1
- )
)r. _l
< I
GAMBAR 4
Penyelewion'Dalamtiap kasus,kita akan memperoleh
t2r',,2-l I t - l
Tinggal mengambil beberapanilai /, untuk memastikan bahwa dalam selang/ yang diketahui akan menghasilkanbagianlingkaran yang saru. CONTOH 4 Buktikan bahwa tiap pasangpersamaanparameterdi bawah ini menggambar' kan sebuatrcabanghiperbol.
T t f i
( a ) x : d s e cr, ), : h ta n l , - ; < f ( ;
I L
!L
( b ) r : rr c o s l l f. J ' : b s i n tr I . - { Andaikana>.Odanb)0.
< f < rC
LZO
Geometri pada Bidang, Vektor
Penyeleviun Dalam kasusPertama,
(;)'
-
(;)
: S ec2r - ran2 t :
I
Dalamkazuskedua,
(:)'
-
(;)':cosh2t*sinl.r2t
:('+)'-(L#)':' Denganmemeriksabeberapaniiai / menunjukkan bahwa,padakeduakasus,kita mem' ffi peroleh satu cabanghiperbo! x2fa2 - y'lb' = I ditunjukkan dalam Gambar5.
' Hiperbol (satu cabang)
GAMBAR 5
StKLolD Sebuah sikloid adalah zuatu kurva yang dilalui oleh sebuahtitik P pada tepi roda, apabila roda ini menggelindingtanpa tergelincir pada sebuahgaris (Gambar 6). Per' samaanCartesiussikloid sangatrumit ilan oleh karenanyajarang sekalidipakai. Kita menggunakanpersamaanparameteryang jauh lebih sederhanadan juga mudah diperoleh,seperti contoh berikut.
: a I
r
ti t I
r
F I I tt t F
D
I t t I
I
GAMBAR 6
rz6
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2
CONTOH 5 Tentukan persamaanparameter sebuahsikloid. Penyelevion Andaikan roda menggelinding pada sumbu x denganP berada di titik asal. Nyatakan C pusat roda dan a radiusnya. Ambillah sebagaiparameterbesarnya/ dengan satuan radian dari zudut antara ruas garis CP dan kedudukan vertikal semula yang diukur denganarah yang sesuaidenganputaranjarum jam (Lihat Gambar6). O l e h k a re n al Ol Vl : o rc P l ,l : at,
x : lOMl:
l o l / l - l M l { l - - a t - a s i nr : a ( t - s i nr )
dan
)' : lMPl:
l l / R 1: l l f C l + l C R l : a - a c o st : a ( l - c o s r )
Jadi persafiaan parameter sikloid adalah
r : a(r - sin r),
) ' : a ( l - c o sr )
ffi
Sikioid banyak diterapkan, khuzusnya dalam mekanika. Sikloid seringdisebut sebagai kurva yang memiliki "laju penurunan yang paling besar." Apabila sebuahpartikel bergerak di sepanjangkurva dari A ke B yang lebih rendah sebagaiakibat gaya berat saj4, sedangkanA dan^Btidak terletak pada satu garis tegak, partikel itu akan sampaidi ^Bdalam waktu paling cepat apabila kurva itu berbentuk sebuahsikloid yang dibalik (Gambar 7). Sudah barang tentu, jarak terpendek adalah ruas garis AB, tetapi waktu yang diperlukan yang paling cepat adalah sepanjangsikloid; sebab percepatan ketika partikel dijatuhkan tergantungpada curamnya kemiringan* kurva, dan sepanjangsikloid kecepatannyamembesarjauh lebih cepat daripadajika partikel bergerakdi sepanjanggarislurus. Sifat lain yang menarik adalah sebagai.berikuf:Andaikan Z titik terendah pada sebuah sikloid yang dibalik, dan partikel P bergerak sepanjangsikloid ke L, maka waktu yang diperlukan P untuk sampai di Z adalah sama,walaupun pemberangkatanP da:i kedudukan Pr , Pz, atau P3 (Gambar 8). Jadi kalau ada partikel di P, , P2, danP3 dan berangkatpada waktu yang -sama,maka partikel itu akan sampaidi L padawaktu yang samapula.
GAMBAR7
G A M B A RB
Ddlam tahun 1673, ahli astronomi Belanda bernama Christian Huygens menerbitkan sebuahtulisan mengenaijam bandul yang ideal. Oleh karenabandulanberayun antaradua "pipi" sikloid, lintasan yang dilaluinya juga zuatu sikloid (Gambar 9). Ini berarti bahwa waktu yang diperlukan untuk satu ayunan tidak tergantung pada amplitudo, sehingga periodeayunantidak berubahwalaupunpegasjam mengendor.
* Di sini kemiringan menerjemahkan pengertian "slope";para "lereng. "
penulis lain menggunakan "tanjakan"
atau
LZt
G e o m e t r i p a d a t s t d a n g ,V e K t o r
------?
GAMBAR9
Sikloid
K A L K U L U S F U N G S I Y A N G D I T E N T U K A N D A L A M B E N T U K PARA,METER DaPatkah kita menghitung kemiringan garis singgungsebuahkurva yang persamaannyaditentukan dalam bentuk parameter,tanpa melenyapkanparameterini? JawabannyaadalahYa, berdasarkanteorema b erikut.
TeoremaA^,-.'. Andaikan/ dan g fungsi-fungsidari t yangturunannyakontinu dan/(r) * 0 pada I pararleter selanga < t { F. Makapersafiiaan ' l l : = l(r), 1'*g(r) fungsidarix dan dndefinisikany sebagai " cl1' ,i1'1:,lt
;: :'i,lfr
I
Bukti Oleh karenaf'(t) + 0 pada q. { t (p, adalahlmonoton murni, sehingga,fmemiliki balikan ft y.r,g dapat didiferensialkan (lihat Teorema Fungsi Balikan (Teorema 7 '28))' DefinisikanFoleh F : g. J'-t, sehingga )':
-t(")): g(t): g(.1'
F(x):
F(/(r))
DenganAturan Rantai kita peroleh,
4ir, : F,(/(r)) /'(t)
d1'' ;ri.r ' tlx
(lt
Berhubungdxldt # 0. maka
,!\ : d,r
tl 1'
: _ r/,x ' l
dt
dt
N
f\aKulus Oan Ueometrl Analltls Jrrl0 /.
LZ|J
CONTOH 6 Tentukan turunan pertamadan kedua,yaitu dyldx dand2yfdx2, untuk fungsi yang ditentukan oleh J':4
x:5cosf,
0
s l nr ,
Hitunglah turunan itu untuk t = rf 6 (lihat Contoh 2). Penyelewion Andakan dy ldx = 7', maka
^_"
\
U:,!=Y:4cos,r dx
dt
d')'
d)'
:
l-.
:
,
d .r'
dt
-5sinr-
d),'
dx
-
r/r
dt
-
tl t
--1cotr 5"""
csc2r - 5 si n r
-$ ---
:
-
4
1
-_ CSC"
l5
Sehinggauntuk t = trf6,kita peroleh
- 4tE
d), clx
d2r'
-4
i?:
^
(8):
-32
E
Nilai pertama adalah kemiringan garis singgungpada elips x2125+ y2ll6 = I di titik dapat diperiksadenganmenggunakanpendiferensialanimplisit. ffi 6\812,2).Halini Kadang-kadangsebuahintegral melibatkan dua peubah, sepertix dan y, dalamintelran dan'diferensial dan ada pula kemunfkinan x dany merupakan fungsi-fungsi dari /. Dalam hal ini, ada baiknya untuk menghitung integral tertentu, denganmenyatakan integran dan diferensialdalam / dan dt dan batas-batas harus pula disesuaikandengan pengintegralan peubah/.
l -
CONTOH 7 Hitunglah ( a ) |
t'i/r
Jt
oan.tb).r1'2r/r, apabilax =2t J,'
- 1 dany = t2 + 2.
P e n y e l e v i o nB e r h u b u n g x= 2 t - l , k i t a p e r o l e hd x = 2 d t ; u n t u k x = 1 , t = 1 ; d a n u n t u k x = 3, kita peroleh t = 2 . Sehinggaberturut-turut kita peroleh ^3
(a)
I v l
p3
(b )
p2
)' rl -r :
le
.-t- )\)
J1
,l t -
frr
lr
2l: +2/l L3 l,
26
3
n ) t -
I xt'2 r/.x:lrJ t
2t -
Jt
-) f I
r1
l ) ( t 2 + 2 ) 2 2d t
2
( 2 t t - r a + 8 1 3-
4 t 2+ 8 1 - 4 ) r / r : g 6 l {
CONTOH 8 Hitunglah luas .4 di bawah satu busur suatu sikloid (Gambar l0). Tentukan pula panjangI busur ini.
\rsulnslrt
paqa Blclang, Vektor
L29
r aartuu b S Duussuurr s il k l o i d
GAMBAR 10
Penyelevion Dari Contoh 5, persamaansebuahbusur sikloid dapat ditulis sebagai x : a(t - sin r),
J': rr(l - cosr).
0 < r 32n
Sehingga
A - l ' " " r . r 1 x: ' Jg f2n
l ' " u t L- c o sr ) r / [ c r (- r s i nr ) ]
Jo
t t - c o sr ) ( 1 - c o sr ) r / r
i2 |
Jo r2n
72 |
Jo f2n
12 |
Jo
:
tt - 2 cosr -F cos2r) r1r
f t - 2 cosr + + * j cos 2r)dt
a2i+r - z'rin, + f sin 2tf1^ : 3ft(t2
Untuk menghitung L, kita ingat kembali rumus panjang buzur sebuahkurva yang telalr dibahasdalam Pasal6.4, yaitu ca /iryv
,/fV L- I "l(;) +(jl at Ji
\(tt /
\
\aI /
Dalam soal ini, rumus itu memberikan
'"riZ{r - coJ;, 1 ,,t1ri,.,)ar L- f Jo ^ ) n
- 0 t - ' , , / Z t l - c o sr ) r 1 r | J6 c2n
.
f
: . ^ l os i n 2 i,ir J|o V f2,
:
2 tt I
Jo
-
r
si n ; r/r :
I
rlt'
L
2lo
I -4ri ctls _ |
:
8n
tr " Ji;
r\arKulus uall ueornerrl
Irr\,
Analllls
JllJo z
soAL-soAL 13.1 Dalam Soal 1 -12, telah diketahui persamaanparameter sebuahkurva. (a) Gambarlah kurva itu dengan memberikan beberapa nilai pada paramerer r seperti dalam Contoh 1. (b) Sebutlah mana yang berlaku untuk kurva sederhana atau tertutup. (c) Susunlah persamaan Cartesius kurva dengan menghilangkan parameter (lihat Contoh 1-4). l.r-2/,.1,:ir.rdalamR
7.
-1,.1.:)/:0
2. t:4t
,9.
4. ,\ : I,,r': ]: tt < r t
6. ,x: tt -
lt.\':l--'l:
-3 < r < J
tt. .:-1.,-t.r-1.-1
3 . _ x: t - 4 . . 1 :. (l < t < I \ i:
r- :
3 sin l. t":
t: 3 < i < 4 <2n
- 5c t t s l : 0 < t
l o . r : 3 s i n ( ) - l . , l ': 2 c o s { /+ 2 : 0 < 0 < n
-l
\\. /5 . r . \ : r r , . i ' : r r :
l / l
.\-l'
l l . r : 4 s i r t a1 . , 1: ' 4 c o s * 1 : 0 < t < \ , 1 2 . \ : ? c o s ( / , . I ': 2 c o s ] ( ) : ( / d a l a m t R
l, l,: i-r- 1:.-3 < r < 3
D a l a m S o a l 1 3 - 1 8 , t e n t u k a n d y l d x d a n d 2 y f d x 2 tanpa menghilangkan parameter. 1 3 . . r : 3 r r . . I :, 2 I r . | + 0 14,.r:6t2.1,:I-r:I*o f l 1 1
t5. r:
) r
-
-
. r '- - r - r
J r
: t +0
r
tt
.16..r:
I -crtsl.l':2+
+ l)" t l t n l - l , , l ' " - - 5s c cr * 2 . t f \ 2 ' !
\:.'3
18.,r-
-3sirrt.t+nn
l)
. : , . . r , : . . _ , , ". : I + l . ) l+rt| +rr)
Dalam Soal I 9-22, tentukan persamaangaris singgungpaclakurva dan titik yang diketahui, tanpa menghilangkan parameter. Gambarlah. i-:._ i l r/ f . :
I r . . l ' : / , - r t: : 2
.21. ,r:
r s c c / .l , : l t a n t . r :
-T (l
2 ( f . . r : J / . . r- l ( / r . / -
j
22. r __.,,,.r:1,, ,: /:()
Hitunglah integral yang ada pada Soal 23_24. '
pl r
L l ,2* .l/ . ) JI, t ( . x - 4 r ' ) r l r . .d, e n g a n . \ : lrrr
r * l . r , : r - r+ 4 .
f . -l
.24.
| .)l
. t , t r i r ' ,d e n g a n . \ : s c cr , r ' :
tiln t.
25. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = e2t, y = e-t dan sumbu x antara / = 0 sampait = ln 5. Gambarlah grafiknya. 26. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva ,\\-: -I t'
' I.
.
I
-l:f_;
dan garis 3x - l0 = 0 tanpa menghilangkan parameter. Gambarlah grafiknya.
beometrlpadablchng,.veKtor
IJI
27. Modifikasilah pembahasan sikloid yang diberikan dalam pasal ini (dan diagram y a n g m e n y e r t a i n v a )a p a b i l a t i t i k P b e r a d a p a d a b ( a s a t u a n d a r i p u s a t l i n g k a r a n B u t i k a n b a h w a p e r s a m a a np a r a m e t e rs i k l o i d i t u a d a l a h \:(/f-bsint
l:(i-bct-lsI
Gambarlah grafik sikloid ini (disebut sikloid curtate) untuk a = 8, b = 4. 28. Begitu pula untuk kasus b ) a (roda berflens, seperti pada kereta api), dan perlihatkan bahwa persamaan parameter sikloid ini sama dengan kasus b I a- Gambarlah grafiknya untuk a = 6,b = 8 (disebut sikloid prolate). 29. Persamaan parameter lintasan sebuah peluru yang ditembakkan dari tanah datar dengan laju us kaki tiap detik dan dengan arah'yang membuat sudut a dengan tanah, dilukiskan oleh persamaanparameter . \ : ( r : , c, o s e ) t (a) (b) (c) (d)
,l'
- - l6tr + (rusinz)t
Buktikan bahwa lintasan itu sebuah parabol. Tentukan waktu yang ditempuh hingga peluru menyentuh tanah lagi. Buktikan bahwa jauhnya tempat peluru jatuh adalah (uzolZZ)sin 2q dari titik awal. Untuk nilai us yang diketahui, berapakah besarnya CI supaya tempat jatuhnya peluru itu sejauh mungkin? 30. Tiap nilai parameter / dalam persamaansiklod, \ :
r1(l -
sut I).
l :
a(l -
c t t st )
menegfukan sebuah titik tunggal P(x, y) pada sikloid tersebut dan juga menentukan ke. dudukan tunggal dari lingkaran yang menggelinding yang menghasilkan sikloid itu. Andaik a r r P 1 ( x r , y t ) t i t i k p a d i s i k l o i d y a n g m e n g h a s i l k a nn i l a i / 1 d a r i p a r a m e t e rt B u k t i k a n b a h wa garis singgurigsikloid di P1 melalui titik paling tinggi lingkaran yang menggelindingyang kedudukannya sesuai dengan nilai /1 ltu. Titik manakah pada lingkaran itu yang dilalalui garis normal? 31. Andaikan sebuah linekaran dengan jari-jari b menggelinding di dalam lingkaran lain yang tetap yang berjari-jari a, a 2 b. Lintasan yang ditempuholeh sebuahtitik Ppada lingkaran yang menggelinding tersebut disebut hiposikloid. Tentukan persamaan parameter.hiposikloid itu. Petunjuk: Ambil pusat lingkaran O yang tetap dan yang terbesar sebagaipusat sistem koordinat Cartesiusdan andaikan A(a,0) salah satu kedudukan titik P yang bergerak. Sebut .B titik yang bergerak yang berimpit dengan titik singgung kedua lingkaran tadi dan andaikan /, besarnya sudut AOB diukur dengan satuan radian, sebagai p a r a m e t e r( l i h a t G a m b a r I 1 ) .
GAMBAR 11
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2
L32
3 2 . D a l a m S o a l 3 1 , a p a b i l a b = a f 4 , b u k t i k a n l a h b a h w a p e r s a m a a np a r a m e t e r h i p o sikloid itu dapat disederhanakanmenjadi r
:
,l' :
(l cosS r.
tl sittl t
Kurva ini disebut hiposikloid dengan empat titik balik. Gambarlah dan buktikanlah bahwa persamaan Cartesiusnyaadalah x2/3 + y2/3 a2/3. jari-jari b yang 33. Lintasan sebuah titik yang terletak pada sebuah lingkaran dengan dan dengan luarnya menggelinding tanpa tergeiincir pada sebuah lingkaran tetap di bagian adalah parameternya persamaan jari-jaria dinamakan episikloid. Buktikan bahwa u*b
, D C O S- , .
t:(rr+b)cost-
I
t)
ullt
t:(rr+b)sinr-
DSlll-l
b
(Lihat petunjuk Soal 31). 3 4 . A p a b t l a b = d , p e r s a m a a nd a r i S o a l 3 3 , m e n j a d i
-, .\
l
:
-
't._ -(J
-Ll
CoS t -
tt ctls 21
sinr-asinlt
- cos 0);dalam hal ini Buktikan bahwa hal khusus ini menghasilkan kardioid r = h(l Cartesius yang (a, koordinat sistem dalam 0) kutub adalah titik kutub sistem koordinat semula sedangkan sumbu kutubnya adalah sumbu x positif . Petuniuk: Tentukan persamaan Cartesfus epiSikloid dengan jalan menghilangkan r dari persamaan parameter tersebut di atas. Kemudian buktikan bahwa persamaan yang menghubungkan sistem Cartesius dan sistem kutub adalah ,\ :
l ' c O S{ i * a
t' : l'sin0
dan gunakan persamaan ini untuk mengubah persamaan Cartesius menjadi persamaan kutubr=2a(1 -cos0). 35.) Perhatikan sebuah lingkaran dengan jari-jari a yang berpusat di (0, a) ditunjukkan dalamGambarl2.GarisoAmemotonggarisy=hdi,4danlingkaranCdiB.AndaikanP titik potong sebuah garis mendatar yang melalui ,B.dengansebuah garis tegak yang melalui ,4. Apabila sudut g, antara OA dan sumbu x positif berubah, P melintasi sebuah kurva yang dinamakan "sihir dari Agnesi."
G A M B A R1 2 (a) Tentukan persamaankurva tersebut dengan 0 sebagaiparameter. ( b ) T e n t u k a l p e r s a m a a nCartesiuskurva tersebut.
Geometri pada Bidang, _Vektor
133
13.2 vektor pada Bidang:pendekatan secaraGeometri Banyak besaran yanq kita jumpai ilmu pengetahuan(misalnya panjang, massa, volume' dan muatan listrik)-oapat -dalam dinyatakan otetr satu bilangan.Besarandemikian (dan bilanganyang menjadi ukurannya) dinamakanslcalar.Ada besaranlain, misalnya kecepatan' Eaya'torka' dan pergeseran untuk menggambarkannya memerlukantidak hanya bilangan' tetapi juga arah' Besarandemikian dinamakanvektor dan vektor digambarkan sebagai anak panah (ruas garis yang berarah).panjang panah adarahbesarnyavektor; arah panar, adalaharah dari vektor' vektor oa!1 1 panjangnyaadalah2,7 satuandan ararrhlz-a adalah30" dari surnbux yang positif. Qambar Anak panah mempunyai pangkal dan ujung (Gambar 2). Dua vektor dinamakan sama apabila keduanya.sma uttatnyalrTu poffi'-'l d_.n arahnyajuga sama(Gambar 3). Kita akan melukisl
GAMBAR 1
\\\\\\\\\\\\\
Pangkal
Ujung
GAMBAR 2
Vektor yang s:!ma GAMBAR 3
P E R AS IT E R H AD AP v E KT OR U ntuk memperol ehj umtah, atau rezul tanteduavektor dan v' gerakkanlahv tanpa mengubah besarniu oan arahnyahinggapangkalnyaberimpit ngan ujung u' Maka u * v adalahvektor yang menghubungkanpangkalu denganujung v. rraini (disebuthukum segitiga)digambarkan pada iagian kiri Gambar4.
\..
u
/'/" \_.,, D u a c a r a s e t a r au n t u k m e n j u m l a h k a n vektor
GAMBAR 4
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2
134
Cara lain melukis u +{ ialah menggerakkanv sehinggapangkalnyaberimpit dengan pangkal u. Maka u + v adalah vektor yang sepangkaldenganu dan yang berimpit dengan diagonal jajarangenjangyang sisinya adalah u dan v. Cara ini (disebut hukum iaiaran' geniang)digambarkanpada bagiankanan Gambar4. Anda dapat membuktikan sendiri bahwa penjumlahandemikian bersifatkomutasi dan yaitu, asosiasi, u+v:v*u (u+v)*w:u+(1'+w) Apabila u vektor, maka 3u adalahvektor yang searahdenganu tetapi yang panjangnya tiga kali panjang u; vektornya _2u dua kali panjangnya u tetapi arahnya berlawanan (Gambar 5). Padaumumnya, cu adalahkelipatan skalar vektor u, yang panjangnyaadalah lcl kali panjangu, searahdenganu apabilac positif dan berlawananarah apabilac negatif. Khususnya, (-l)u (ugu ditulis sebagai-u) sama panjangnyadengan u, tetapi arahnya berlawanan.Vektor ini disebut vektor negatif u sebab apabila -u dijumlahkan pada u, hasilnyaadalahvektor nol (yaitu sebuahtitik); vektor ini, satu-satunyavektor tanpa arah tertentu, dinamakan vektor nol, yang dilambangkandengan 0. Vektor ini adalah unsur satuanpenjumlahanyaituu+0=0+u=,u.Akhirnya,penguranganditentukansebagai
u - v:
u * (-v)
CONTOHI DalamGambar6, nyatakanw denganu danv. PenyelevianOlehkarenau * w = v, maka 11 :V-U
CONTOH 2 Dalam Gambar7, IE : 3,q7. Nyatakan m dalam u dan v-
/
GAMBAR
GAMBAR 6
GAMBAR7
135
Geometri pada Bidang, Vektor
Penyelenion
+78: u * 3AC -u +j(v-u) : l u + 3r'
m:U
Padaumumnya, jtka IE : tAe dengan0 < t < l. maka m : (1 _ l)u,* fv
ffi
Bukti yang telah kita perolehuntuk m dapat pula ditulis sebagai
u+r(v-u) Apabilar berubahdari -- hingga+"" kita perolehsemuavektor berujungpadagarisyang diperlihatkan pada Gambar 8. Sifat ini penting untuk mencari persamaangaris dalam bahasavektor.
PENERAPAN Sebuahgayamemiliki besararrdan arah. Apabila dua gaya u dan v bekerja padasebuahtitik, gaya hasilnyadi titik tersebutadalahjumlah vektor gaya-gaya tersebut. CONTOH 3 Sebuahbeban200 newton digantungkanpadadua utaskawat padaGambar9. ?6ntukan besarnyategangandalamtiap-tiap kawat. Penyelevion Bobot w dan teganganu dan v adalah gaya yang bersifat sebagaivektor (Gambar 10). Tiap vektor ini dapat dinyatakansebagai jumlah komponen yang mendatar dan yang tegakdalamkedudukanseimbang,maka (l) besarnyagayayang ke kiri
GAMBAR B
t I f f,
t
t
GAMBAR 9
GAMBAR 1O
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2
136
ke gayayangke kanan,dan (2) besarnyagayayangmengarah iama Ornrunbesarnya ke bawah.Sehingga atassamadenganbesarnyagayayangmengarah l u l c o s3 3 " : l v l c o s5 0 ' l u l s i n3 3 ' + l v l s i n" 5 0 . l w l : 2 0 0
(1) (2)
dalam(2).,kita peroleh ( 1) kita hitunglvl danmenzubstitusikannya Daripersamaan
l u l s i n3 3 "+
l " l t " t r l . ' s i n5 0 ": 2 o o cos )U
atau
200
lul:
: s i n 3 3 " * cc' rs33otan -50' '
'l v 'l :
l' u 'l c-o- s 3 3 ' t c o s 50'
129,52newton
Sehingga,
129,52 cos33' cos 50o
r
l 6& 99 new ton
Kecepatanmemiliki arah dan besaran;sehinggaberperilakusebagaivektor. Besarnya kecepatandinamakanlaju. CpNTOH 4 Sebuahsungailebarnya 0,62 mil. laju air dalam sungaiadalah6 mil tiap jam. PerahuKaren dapat melaju 20 mil tiap jam dalam air yang tidak mengalir.Denganarah manakah perahu harus ditujukan apabilaKaren ingin sampaidi seberangsungaipada sebuah titik yang gans hubungnya tegaklurus arah aliran. Berapa waktu diperlukan untuk menyeberangi? Penyelevion Kita tentukan terlebih dahulu a pada Gambar I l.
SlnC:-
6 20
y. = 17,4(t"
G A M B A R1 1
Kemudian,kita tentukan iw l, ialahlaju perahuyang searahdengankecepatanw. ln'l = 20 cos lJ,4(:' :
l t 0 8 m i l t i a pj a m
Akhirnya,waktu yang diperlukanuntuk menyeberangi sungaiadalah
0.62 .-._ ^; = 0,0-ll5 jam : 1,9,5menit l%08
137
Geometri pada Bidang, Vektor
soAL-soAL13.2 D a l a m S o a l I - 4 , g a m b a r l a hv e k t o r w .
l.
n:uf*r'
2.
u:lu
,r' \-..,2 Jr
3.
11:U1
A +.
ll:tll+U2+U.t
5.
'.y' t
tU,-FU.1
Gambar di bawah ini adalahjajarangenjang.Nyatakan w dalam u dan v.
6. Dalam segitiga yang besar yang digambar di bawah ini, m adalah garis berat. Nyatakan m dan n dalam u dan v.
'1.
D a l a mg a mb a ri n i , w = -( u* v)
dan l ul = l vl = 1. Tentutcanl w l .
i
I
iI I
I I
iR t
[t:s t f t
Selesaikan Soal 7, untuk sudut atas 90" dan zudut-sudut samping masing-masing
138
Kalkulus dan Geometn Analrtts Jltrd 2
E 9. Pada gambar ini besarnyaga1au dan v adalah l0 pon. Tentukan besarnYadan arahnyagayaw yang mengimbangigaya u dan v tersebut.
arah 10. A mendorong tonggak dengan arah 30o tenggara (30" sebelah timur dari daya barat 60" arah selatan) dengan gaya 50 pon. B mendorong tonggak yu.g ,rrn, dengan (60o sebelah barat rlari arah selatan) dengan gaya 40 pon. Berapakah besarnya dan arahnya gaya resultan? yang I l. Sebuah beban dengan berat 250 newton terietak pada sebuah lantai miring manakah bebas hambatan yang membuat sudut 30o dengan bidang yang mendatar. Gaya yang sejajar dengan lantai miring itu dapat menahan beban yang meluncur ke bawah? jumlah dua gaya, yang Petuniuk: Anggaplah gaya 250 newton yang ke bawah itu sebagai satu sejajar lantai dan yang lain tegaklurus lantai. 12. Sebuah benda dengan bertt 237,5 pon berada dalam keadaan seimbang oleh dua E utas tali yang masing-masingmembuat sudut sebesar27,34o dan39,22" dengungaristegak. Tentukan besarnya gaya yang bekeda pada benda itu oleh kedua utas tali tadi. g 13. Angin bertiup denganlaju 58 milfiam dan dengan arah 20o barat laut (20o sebelah barat dari arah utara). Sebuah pesawat udara dengan laiu 425 mil/jam dalam udara tenang, terba_ngke arah utara. Tentukan arah dan laju pesawat tersebut dihitung terhadap bumi? . -la.) Sebuah kapal berlayar ke selatan dengan laju 20 milfiam. Seorang berjalan di atas dek kilal itu ke arah barat (tegaklurus sisi kapal) dengan laju 3 milfiam. Tentukan besar' nya dan arahnya kecepatan orang itu terhadap permukaan air? \ .r l5j Seorang penerbang mengemudikan sebuah pesawat dalam angin yang berkecepatan 8i-milfiam ke arah selatan. Penerbang itu menemukan bahwa ia terbang ke timur apabila pesawatnya mengarah 60o timur laut. Tentukan laju pesawat (dalam udara tenang). 16. Sebuah pesawat udara terbang dengan laju 837 milijarq dan harus menuju ke utara dalam angin yang berkecepatan 31,5 milfiam dengan arah ll,5o.tenggara. Arah manakah dan berapakah besarnya laju pesawat itu? 17. Dengan menggunakan vektor, buktikan bahwa ruas garis yang menghubungkan E titk-titik tengah dua sisi sebuah segitiga, sejajar dengan sisi ketiga' 18. Buktikan bahwa titik-titik zudut suatu jajarangenjang.
tengah sebuah segiempat sebarang adalah titik-titik
13.3 Vektor pada Bidang: Pendekatan Secara AUabar Dari uraian pada pasal terdahulu secarageometri dapat kita simpulkan bahwa sebuah vektor adalah keluarga anak panah yang panjangnyadan arahnya sama (Gambar l). Se' karangkita akan membahasvektor dengancara aljabar.
LreOIIlgtfl
ljaua
DluallEi.
lov
vcKtUI
Vektor u GAMBAR 1
\u1,u2)
Ambillah sebuahwakil GAMBAR 2
Nyatakan u dengan p a s a n g a nt e r u r u t ( u ' u " ) GAMBAR 3
Kita mulai denganmengambil sebuahsistemkoordinat Cartesiuspada bidang.Sebagai wakil dan vektor u, kita pilih sebuahanak panahyang berpangkaldi titik asal(Gambar2). Anak panah ini ditentukan secaratunggal oleh koordinal u1 dan u2 titik ujungnya;ini berarti bahwa vektor u ditentukan oleh pasanganterurut (uy u2) (Gambar3). Jadi kita anggap(u1, u2) adalahvektor u; pasanganterurut (u1, u2) ini merupakanvektor u secara aljabar.Kita menggunakanlambang(u1, u2) dan bukan (ur, uz) oleh sebabyangterakhir ini sudahmemiliki dua pengertian,yaitu untuk selangterbuka dan untuk titik padabidang. Mengapa kita menyajikan artian aljabar ini? Ada dua jawaban. Pertama hubungan konsep antarasifat geometridan sifat aljabarvektor, dapat memperkayadan menjelaskafi vektor itu lebih mendalam.Kedua, pandanganaljabarini yang palingntudahdapatdigunakan dalam ruang yang dimensinyalebih tinggi. Sebabsantamembicarakanganda-nterurut (u 1,ur, . . " ) urr)samamudahnya.dengan membicarakangandadua(u y u2) terurut.
OPERASIPADA VEKTOR Bilangann1 dan u, dinamakankomponenJcomponenvektor u = (a r u z ).D u a v e k to r u = (u 1 , u2) dan v = (u1, t)2)adal ahsamaj i ka dan hanyaj i ka ttr = t)r dan u2 = n2. Untuk rnenjumlahkanu dan v, kita junrlalikankomponen-komponen yangsesuai,yaitu, u * r , : ( r r r * r . 1 r. r , * r , ) Untuk mengalikanu denganskalarc, kita kalikantiap koniponennyadenganc. Jadi, I I I
I
IL
u(' : (' u : (c' tir, c' ur)
l4tu
r\qtAsluJ
u@ll
vwvlllwLll
nlldllltJ
JIllLI
z
Khuzusnya, -u
-
( -r, 1, -u2)
dan
0:0u:(0,0)
Gambar 4 menunjukkan bahwa, definisidefinisi di atas setara dengan definisidefinisi geometriyang telah kita bahassebelumnya.
lu,,url
Penjumlahan vektor
Perkalianskalar GAMBAR 4
Dengan menggunakanpenampilan aljabar vektor, mudahlah dibuktikan aturan berikut ini.
'Teorema
A
Untuk sebarangvelttor u, v, dan w dan sebarang skalara dan b, berlaku sifat-sifat b e ri k u t. l.u*v:v+u 2.(u*r')+w:u*(v*w) 3.u*0:0*u:u 4.u*(-u):0 5 . a (b u ) : (a b )u :
u (n b ) 6. a(u t- l') : rltt 1- nv 7. (u + 1l)u : (/u * 6u 8. lu : u
gukti Kita gambarkanpembuktian denganmembuktikan Kaidah ke6, sebagai'berikul.
a(u*'=1'/!il,*ii/!"'r'r - (aur,eur) + (au atz) 1, : a ( t t 1 ,u z ) * a ( r ' r , D z )
ffi
:Qu*ctv
P A N J AN G D A N H AS IL KA L I T I TIK (u1, u2l ditentukanoleh
P anj ang(atau besaran), lul sebuahvektor u =
lul: {'iT te = J4T 11 jika u = (4, -2),maka 1y1 Misatnya, kita kalikandenganlcl,jadi makapanjangnya
= 2T.Jika u dikalikandenganskalarc,
l c u l: l c l l u l Jangankeliru mengartikan pemakaian ganda simbol I l. Simbol lcl, yang disebut nilai mutla('c, adalahjarak antara titik asaldan c pada garisbilangan(Gambar 5). Sedangkan lul, yang dinamakan paniang u, adalahjarak antara titik asal dan ujung u pada bidang ( G a m b a r6 ).
ONTOH I Andaikata u = <4, -3). Tentukan lul dan l-2u1. Tentukanpula vektor v yang searahdenganu tetapi denganpanjangl. nyelevian lul = V4r+--(-3P
u lul
= 5 dan l-2ui = l - 2 i l u l = 2 ' 5 = 1 0 . U n t u k m e n c a r i v ,
(4, - 3)
:-
I
-",\
/a < 4_. 3 ): \ s , _ r . /
N
Kita telah membahasperkaliandenganskalar,yaitu perkalianvektor u denganskalarc. t{asilnya adalahvektor cu. Sekarangkita tentukan perkalian dua vektor u dan v. Perkalian ini dinamakanhasilkali titik, yang dilambangkandenganu'v. Kita tentukan perkalianini sebagai
U'V
:
L l 1 D 1*
Ll2L)2
Perhatikanbahwa hasilkalititik itu adalahskalar. Sifat-sifathasilkali titik mudah dikembangkan;kita nyatakansifat-sifattersebuttanpa pembuktian.
TeoremaB Jika u, v, danw vektordanc d
;
' Untuk memahami arti hasilkali titik, kita berikan rumus lain. Jika u dan v adalah vektcr tidak nol, maka
u.v:lullvlcos0 di sini g adalahsudut antarau dan v. Dengan sudut antarau dan v, kita maksudkanadalah zudut terkecil yang positif antarau dan v, sehingga0 ( 0 1r.. Untuk menururkan rumus tersebut,kita gunakanHukum Kosinuspada segitigadalam Gambar7.
lu - vlt: lul'+ lrl'-- 2lullrlcos0 Dengankatalain, darisifat-sifat hasilkalititik padaTeoremaB, kita perolehpula lu - vl' : (u - v).(u- v) - u.(u - v) - v.(u - r,) - u.u - u.v - v.u * v.v : l u l 2+ l v l 2_ 2 u . v
GAMBAR7
keduarumusini untuk lu - v 12. Hasilini diperolehdenganmenyamakan Hasilyang sangatpenting dari rumus yang baru sajadiperolehadalahteoremaberikut.
Teorema C (Kr it eria Ketegaklurusan).Dua vektor u dan v tegaklurus(ortogonal)jika dan hanya jikau.v=0.
Bukti Dua vektor yang bukan vektor nol saling tegaklurusjika dan hanya jika sudut 0 = di antaranya adalah nl2; jadi, jika dan hanya jika cos g = 0. Tetapi cos 0 0 jika dan = bahwa pengertian 0. Hasil ini berlaku pula untuk vektor nol, dengan hanya jika u . v ffi suatuvektor nol tegakluruspada tiap vektor. CONTOH 2 Tentukan D sehinggau = (8, 6) dan v = (3, b) tegaklurus. Penyelevion u ' v : ( 8 ) ( 3 )+ ( 6 ) ( b ): 2 4 + 6 b : 0
ffi
J a d i ,b = -4 . CONTOH 3 Tentukan sudut antarau = (8, 6) dan v = (5, 12) (Gambar8). Penveleyisn
cos o: ##: e?rt#q2 --H:0,862 Jadi,
o : coS-t{Osoz;x 0,532(atau30,5o)
GAMBAR8
VEKTOR BASIS Andaikan i = (1,0) danj = (0, 1) danperhatikanbahwavektor'vektorini tegaklurusdan bahwa panjangnyasamadengansatu. Vektor i dan j ini dinamakanvektor basis, sebab setiap vektor u = (r,rr, ttz) dapat dinyatakan secaratunggal dengan i dan j. Yaitu. u : ( r rt . L t r ) : L t r ( , l , 0 )+ t r r ( O , 1 ):
uri + uri
L44
Arti geometrihubungantersebutdapat dilihat pada Gambar9. coNToH 4 Apabilau anak panah dari\2, -l) ke QG3,7), tuiislahu sebagaiui+
u2J.
,8)
\
o(-3,7)
u=\u1,u2)
, urt
G A M B A R1 O
GAMBAR
penyelesoion Kita geser anak panah itu, sehinggapangkalnya berimpit dengan titik asal (Gambar 10). Hal ini dapat dilakukan denganmengurangikomponen titik pangkaldari vektor aljabarkita menjadi(- 3 -2,7 -(-1)) = (-5,8). Sehingga titik ujung. Sehingga
ffi
u--5i+8j CONTOH 5 Tentukan besarnyasudut ABC, denganA (6, -4), ditunjukkan dalamGambar11. Penyelevian u
= ( 4 , 3 ) ,B = ( 1 , - 1 ) , C a nC =
:BA:(4-l)i+(3+
lX: 3i+4j:
Y: B d : ( 6 t ) i + ( - 4 + l ) i : lul
:,T+4?:5
lvl
: .r 5t+ (-3f - .,34
u'v
: ( 3 ) ( 5+) ( 4 ) ( - 3 ): 3
cos0:*
u'v
3
lullrl
5\ 34
.^^^
0 x 1,468(atau84,09o)
GAMBAR 11
)r-JJ
Andaikan 0 sudut antarau dan v. Skalarlul cos 0 dinamakanproyeksi skalaru pada v, yang penjelasannyaada pada Gambar 12.Ia dapat positif, nol atau negatif tergantung apakah0 lancip, siku-sikuatau tumpul. Kerja yang dilakukan oleh gaya konstan F yang menggerakkansebuahbenda dari P hingga Q adalahbesarnyagaya dalam arah gerak dikalikan denganjarak yang ditempuh. Jadi apabilaD adalahvektor dariP hinggaQ, besarnyakerja adalah
(Proyeksi skalar F padaD) Int = lFlcos0 lDl atau
Kerja :
Fl D
D=6i +j
\-v--=/
K e r j a= F ' D
lul cos ,
-GAMBAR 12
GAMBAR 13
CONTOH 6 SebuahgayaF = 80i + 50j dengansatuanpon memindahkanbendadari (1, 0) hingga(7 ,l). Jarak didkur dengankaki. Berapakahbesarnyakerja? Penyelevtun AndaikanD vektor dari (1, C) ke (7, 1) maka D = 6i + j. Jadi Ke rj a= F , D = (80)(6) + (50)(1) = 530 pon-kaki
soA L-soAL 13.3 l. Andaikan a = -3i + 4j, b = 2i - 3j, dan c = -5j. Hitunglah (a) 2a - ,lb (c) a'(b + c) (c) lalc'a
1i
(b) a'b (d) (-2a + 3b).5c (f) b.b_lbl
Andaikana = (4, -l), b = (1, -l), dan c = (0, 6). Hitunglah
(rtI 4a +- 3b (c) (a + b)'c (c) lblb'a
(b) b'c .(d)lc'(la + .1b) (t) lclr - c.c
,,m
3. Hitunglah kosinussudut antaraa dan b dan gambarlah. (a)a:(2,-3),
(b)a:(-5,-2>,
b:(-1,4)
b:(6,0)
(c) a : (-3, -l). b: (-2. -4> (d)a: (4,-5), b: (-8, l0)
4. Hitunglah sudut antaraa dan b, dan gambarlah. (a)a :12i. b: -7i (b)a:4i+3j. b:12i+9j
(c)a:-i+3j,
b:3i-9j
(d)a:v'3i+j,
[:
-.-rl*v-1
.;. J
->
5. Tulislah vekt (a) (c)
yang digambarkan oleh AB dalam bentuk t= ctri + a2i.
A ( 2 , 1 ) .B (- 3 ,4 ) _ A(ri ' 2 ,-e ), B (0 ,0 )
(b) ,4(0,5B ) ,( - 6 , 0 ) ( d ) l ( - J , 2 ) ,B ( - 4 , l )
'\ '..6.,)Tentukansebuahvektor satuanu denganaraha dan tulislah vektor tersebut dalam b e n tu J i u= ttri + u z y ( a )a : ( - 3 , 4 ) (c)a : (0.-2) 7. Apabila u + v tegaklurus pada u besar relatif dari u dan v?
(b)a: (1,-7) (d)a : (-5. -
tr L1/ \
v apakah yang dapat anda katakan tentang
8 . B u k t i k a nb a h w a ( u + r ' ; ' ( 3 u - r ' ) : J i u l t - l v i r + 2 u ' r ' . Dalam Soal 9-12, berilah bukti sifat yang tertulis di bawah ini. Gunakan u = (ue v = ( u l , u 2 ) ,d a n w = ( w 1 , w 2 ) 9. (rr * b)u .- ou + bu 1 0 . -u ' ( v * r v ): u ' v + u . r +
u2),
I l. c'(u' r') : ( t ' u )' r 12.Jika u *."=
u,ntakav=0.
I 3. Tentukan sebuah vektor yang searahdengan 3i -_ 4j dan yang panjangnya tiga kali panjang vektor t ersebut. 14. Tentukan sebuah vektor yang berlawanan arah dengan 5i + i2j dan yang panjangnya satu. I 5. Buktikan bahwa vektor (6, 3) dan (- I , 2) iegaklurus. 16. Buktikan bahwa vektor (-5, \6) dan(J21, 15) tegaklurus. 17. Tentukan c agar vektor (c, 3) tegaklurus pada vektor k, -4). 18. Untuk nilai c yan1 manakah, 2ci - 4j tegirklurus pada 3i + cj. " 19. Diketahui vektor a = 3i - 2j dan vektor b = -i + 4i, dua vektor yang tidak segaris (yaitu sudut 0 antara a danb memenuhi 0 < 0(-n). Diketahui pula vektor r = 7i - 8j. Tentukan skalar k danru sehinggar = ka + mb. 20. Diketahui a = -4i + 3j danb = 3i - j(duavektoryangtidaksegaris).Adavektor ketiga r = 6i - 7j. Tentukan skalar k dan n sehinggar = ka + mb. 21. Andaikan a = ari+ ozj dan b = bi+ . ndaikanvektor r= b z j y a n g t i d a k s e g a r i sA r . : , + r z i v e k t o r s e b a r a n gp a d a b i d a n g a d a n b . T e n t u k a n s k a l a r k d a n l n s e h i n g g a r = k a * mb. 22- Ruktlkan bahwa vektor n = ai + bj tegaklurus pada garis ax t by = c. Petuniuk: A n d a i k a nP r ( r r , ) , t ) d a n P 2 ( x z , y z ) d u a t i t i k p a d a g a r i si t u . B u k t i k a n b a h w a n ' P 1 P c = O 23. Tentukan besarnyakerja yang dilakukan oleh gaya F = 3i + 10j pon untuk mem u d a h k a n b e n d a s e j a u h 1 0 k a k i d e n g a na r a h v e k t o r j .
I.r
f
24. Tentukan kerja yang dilakukan oleh gaya sebesar 100 dyne dengan arah 70o ke tenggarauntuk memindahkan benda sejauh 50 sentimeter ke timur. -25. Tentukan keda yang dilakukan oleh gaya sebesar F = 3i + 4j pon untuk mem i n d a h k a n b e n d a d a r i ( 1 , 0 ) k e ( 6 , 8 ) ; s a t u a n j a r a k a d a l a hk a k i . 26. Tentukan kerja yang dilakukan oleh gaya F = -5i + 8j newton untuk'memindahkan sebuahbenda sejauh 12 meter ke arah utara. 27. Buktikan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz:
lu.vl < lullvl 28. Buktikan KetaksamaanSegitiga(lihat gambar): lu+vl
Kurva 13.4 FungsiBernilaiVektor dan GerakSepanjang Kita ingat kembali pengertian sebuah fungsi /, yaitu sebuah kaidah yang memadankan setiap anggota f dari sebuah himpunan (daerah asal) dengan nilai tunggal /(r) anggota himpunan lain (Gambar 1). Himpunan nilai-nilai demikian disebut daerah nilai fungsi /. Hingga sekarangfungsifungsi yang diperoleh masih berupa fungsi bernilai- rill (bernilaiskalar) peubah riil;dengan kata lain, baik daerahasalmaupun daerahnilai masih berupa himpunan bilangan-bilanganriil. Salah satu contoh ialah f(t) = 12;fungsi ini memadankan tiap bilangan riil f denganbilangan rrll t2 , " Kita akan menyajikan sekarangperluasan daerah nilai (Gambar 2) dalam arti bahwa nilai tungsi kita dapat bernilaivektor. Suatu fungsi F bernilaivektor denganpeubahriil r memadankantiap bilangan riil / dengansatuvekr.rr F(r). Jadi,
F(r): f(t)i + s(t)j: (l'(t),s(t)> denganf dan g fungsifungsi bernilai bilangan riil. Misalnya F(r) :
t 2 i + , tj :
(t'. n')
Perhatikanpenggunaanhuruf tebal untuk vektor; ini membedakandenganmudah vektor fungsi dan skalar fungsi.
I t
14E
Daerah nilai
Daerah asaI
Daerah asal
Daerah nilai
GAMBAR2
CAMBAR 1
adalah limit. KALKULUS FUNGSTVEKTOR Konsep paling mendasardalam kalkulus / menuju c apabila L ke vektor = menuju F(r) SecaraintuisilT Utrl L berarti bahwa vek;tor '+ c (Gambar 3). Definisi ei, 6 limit sesuai atau vektor F(r) - L menuju vektor 0 apabila t denganhal yang samauntuk fungsibernilairiil dalamPasal2.5.
GAMBAR 3
Definisi Uttl = L berarti bahwauntuk tiap r ; ) 0 a d a ' b i l a n g a n d ) 0 Mengartftanbahwa l* ( ( sehingga sedemikian lF(t) - Ll ( e asalsqiadipenuhi0 ir cl 6; yai tu 0
+
lF(r)-Ll <e
- L' Perhatikanbahwa sekaranglF(f) -- Ll menggambarkanpanjang vektor F(/) memperoleh Apabila kita menyatakan F(r) dengan komponennya /(r) dan g(r), kita suatu teorema penting. Buktinya kita berikan dalam Lembaran Tambahan Pasal A-1, TeoremaD.
Teorema A Andail
: . 1T't'i [i'l rt'r]' [l'l otrr]l I
6t
t v^Lvr
149
Semua sifat-sifat limit berlaku untuk fungsi vektor. Juga kekontinuitas memiliki arti yang serupa;yaitu F kontinu di c apabil.lfl F(r) = F(c). Dari Teorema A di atas,jelaslah bahwa F kontinu di c jika dan hanya jika f dan g kontinu di c. Akhirnya, turunan F'(r) didefinisikansepertiuntuk fungsi bernilai skalar-riil sebagaiberikut
F'(r): 11- F ( r + f t ) - F ( r ) ft-0
Pertamaini dapatjuga ditulis dalamkomponen-komponennya. F'(r) :
- t/(r)i+s1rxl
t-&!Lrat2!l
11p-1
h
h-O
h-o
It
i+lim s(t+h)-g(t) ft-0
: l,Q)i + g,(t)j Secara singkat,apabilaF(r) : f (t)i + g(r[, maka
F'(r): .f '(r)i + s,(t)j* (_f,(t),g,(t))
IONTOH I
p"(o).
Jika F(t) = (t2 + r)i + eJ, tentukan F'(r), F"(r), dan zudut 0 antaraF'(O)dan
'enyelevion F'1r; = (2t + l)i + etj dan F"(r) = 2i + eti. Jadi,F'(O)= i +j, F"(0) = 2i+ 1, dan ^ ^ ^ ,t COS (/ :
F ' ,(0 ). F ,,(0)
( l ) ( 2 )+ ( l ) ( l )
I F ' , ( O ) | | F " ( 0 ) | l' + l' ./2' + 12 "/ 0 = Q32lS (kira-kira l g,43o)
a J
AT
Di bawah ini diberikankaidah-kaidahpendiferensialan.
TeoremaB (RumusPendiferensialan). AndaikanF dan G fungsivektor yang terd iferensialkan, h zuatufungsibernilaiskalarriil yangterdiferensialkan danc sebuahskalar.Maka: l. 2. 3. 4. 5.
D , [ F ( r )+ G ( r ) ] _ F , ( / )* G , ( r ) ; D , [ r ' F ( r ) *] r . F ' ( r ) ; D , L h ( t ) F ( / )-. 1h ( r \ F ' ( t )* / r , ( r ) F ( r ) ; D , [ F ( r ')G ( r ) ] _ - F ( r ) . G ( r ) + G ( r ) . F , ( r ) ; D,lF(h(r))l: F'(/t(0)h'(t) (AturanRantai).
w
\alKulus
L52
Ll,ir,ll \tg\JrrrvLll
nlr4uLrr
r uv
'
.
Vektor posisipadasaatr adalah Penyelevrfun r ( r ) : r c o S ( r ) / i * r sin r,;rj
Sehingga
v(r): - t'e)sin cori * ra cos corj a(I) :
. i. - f (r)" cos rr;Tl- ra)' sin olrj
Perhatikanbahwa a(l) :
- uzr(t)
Jadi apabilaa kita bayangkanberpangkaldi P, a mengarahke titik asaldan tegaklurus ffi padav (Gambar6).
adalahx = CONTOH 4 Persamaanparameter sebuahtitik P yang bergerakpadabidang waktu' 3 cos f dan y = 2 sin /, dengan/ menggambarkan (a) Gambarlahgrafik lintasanP. (b) Tentukan rumus untuk kecepatanv(r),[aju lv(r)1,dan percepatana(r)' pada saat manakah nilai itu di i.) Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan capai. (d) guktikan bahwa vektor percepatanyang .berpangkaldi P selalumenuju ke titik asal.
r/1
/
tl X
12
./
/
-/
\
r(t):3cosfi+2sintj GAMBAR 6
GAMBAR 7
Penyelevfun (a) Oleh karena x219 + y2 f 4 = 1, lintasannyaadalah sebuzrhelips yang ada Pada Ga mb a r7 . (b) Vektor posisiadalah r(t):3costi+2sinlj
I I
I
.i .rI
('sorne[n pa(ra blcang,. veKtor
153
sehinggaberturut-turut kita memperoleh
v(r): -3sinfi+2cosrj --_-'--
l v ( r ):l , / 9 s r n " t + 4 c o s ,t : J 5 s i n 2t + 4 .
a
r
^:---.
a(r): - 3 c o st i - 2 s i n r j (c) Oleh karena laju ditentukan oleh \61i", / + 4 nilai maksimumnyaadalah3 pada saat sin t = tl, yaitu, apabilat = nf2 atau3n12.Untuk nilai r ini, kita perolehtitik (0' !2) pada elips. Begitu pula laju minimum, yaitu 2,dicapaipada saatsin = / 0, yang memberikantitik_titik (r3, 0). (d) Perhatikanbahwa a(r) = -r(r). Jadi, apabilapangkala(r) kita ambil di p, vektor ini akan menqar_ah ke dan ujungnya akan tepat ada di titik asal.Maka la(r)l paling besarada df (11, 0) dan palingkecil di (0, t2). ffi CONTOH 5 Sebuahpeluru ditembakkan dari titik asaldenganarah zudut 0, yaitu zudut antara arah tersebut dan zumbux positif. I-aju awal adalahue kaki tiap detik (Gambar 8)' Abaikan gesekandenganudara. Tentukan rumus untuk kecepatanv(r) dan posisi r(r). Buktikan bahwa lintasanpeluru adalahsebuahparabol.
GAMBAR 8
. Penyelevian Percepatanyang diakibatkan oleh gaya berat adalah a(r) = -32j kaki tiap detik. Syarat awal adalah r(0) = 0 dan v(0) = us cos 0i+ uo sin gj. Dimulai dengan a(r) = -32j, kita integralkandua kali.
v ( r)
:Jut"u':I- 3 2 r l t i :
-32tj+C
Syarat v(o; = us coS gi + po sin 0j, dampak memberikankonstanta C, yaitu c uq coS0i + po sin 0j. Jadi,
v(r) : (uocos0)i + (uosin 0 - 32t)j dan
r(r):
^'ro o':
( 1 r ' oc o s 0 ) i * ( r u os i n 0 - l 6 / 2 ) j + K
Syarat(0) = 0 menghasilkanK = 0, sehingga
r(r) : (ruocos0)i + (ruosin 0 - l6rr)i
aKutus oan beomerrl Anarrrls rlllu z
154
.
Untuk menemukan persamaanlintasan, kita mengeliminasif dari persamaan g)r - l6t2 -),: (f o sin
x : (uocos0)t,
1
ke dalampersamapertamadisubstitusikan olehpersamaan Apabilanilai / yangdihasilkan an kedua. Kita peroleh /4\,, ' r , : ( t a n g- ) x - ( - . \'---- /"
^1.-'
\ r . o C O SU /
n
persamaantersebutadalahpersamaanparabol.
soAL-soAL 13.4 Dalam Soal 1-8, hitunglah limit yang bersangkutanapabila ada atau sebutkanlahbahwa limit ini tidak ada. l . l i m [ 3 r i- t ' j ]
7. l i m[(r - 2)' i + 4tj f
r- I
t-2
It-2.
3. liml , .i+ ,-zU'-+ - t . l i r nl rl t- -- 9- i.o - - . . 1 t+ - t
12+I-6.-l
r-l
jl I
^
r:+r-6.-l jl * I' - 9 "J
fsinr. r.l ) . l l n l l- r + ; J l e'.-l ,*oL t
I
:
t)+1.-l [sinr. i + b . l i ml I ; ; 2 r - -; J, r JI ,.,1 r
7.
r r nr ) ,lp<,n1r').
8.
/
,\
,']:l\.",i;j/
9. Apabila dalam definisi fungsi fektor tidak diberikan daerah asalnya, kita anggap adalah himpunan semua skalar riil yang memberikan vektor-vektor riil, yaitu vektor yang komponennya riil. Tentukan daerah asal fungsi vektor berikut I
( a )r ( r ) : - - - " i * . , 4 + r j I - L
(b) r(r) : frli - . l' i- i;
yangkurang atau sama I r l a d a l a h" b i l a n g a n b u l a t p a l i n g b e s a r "
dengan /. 10. Sebutlah daerah asal fungsi vektor berikut. ( a ) r ( r ) : h r ( t 2+ l ) i + ( t a n - 1 r ) j ( b ) r ( r ) : l n ( 2 t ' ) i * ' ( O- I ) t : ' I I " Untuk nilai / manakah fungsi dalam Soal 9 kontinu? 12. Untuk nilai f manakah fungsi dalam Soal 10 kontinu?
ueometrl paoa Itrcang, veKtor
rbb
,j l. .fentukan Dsr(t) danD!{t) fungsi berikut. '-.
' ( a ) r ( r ) : ( 2 r * 3 ) 2 i- c 2 ' j ( b ) r(r) : c o s2 ri - s i n 3rj ,{ 4) Tentukan r'1r; dan r,,(r) fungsfberikut. \_-/ ( a ) r ( r )- ( c ' * r , - ' ) i- , , " j ( b ) r ( r ) : t A I lr i - 2 r s3 j 1 5 . J i k a r ( t ) : e 2 ' i+ l r r ( r r ) jt.e n t u k a nD , [ r ( r ) . r ' ( r ) ] . 1 6 . J i k a r(t) : s i n 3 ri - c o s2 rj .tentukanD ,[r' (r).r,' (r)]. 1 7 . J i k a r(r; : r r* --l i + l n(2r2)jdan l t(t): e-3' . tentukanD ,[l r(r)r(r)]. 1 8 . J i k a r ( r ) : s i n2 r i * c o s hr j d a n h ( r ) : l n ( 3 r- 2 ) ,t e n t u k a n D , [ / r ( r ) r ( r ) ] DalamSoal 19 dan 20, F(r) = f(g(r)). TentukanF'(r) padasuku-sukudari r. ' 1 9 . f ( i l ) : c o sr r i+ c . ' , j dang(r): 3r2'-4. 2 l l . f(rr): u 2 i + s i n 2rrjd a n g(r) : tan r. Hitunglah integraldalam Soal 2 | dan 22. pl
z t . | 1 e ,+i e - ,j ) d t J0 ^ l
..22. + r ) 3 ' i + ( l - r ) . ' r i la t J_,t(l Dalam Soal 23-30', pcsisi sebuah partikel pada saat / ditentukan oleh r(r). Tentukan kecepatandan percepatanv(r) dan a(r) dan laju pada saatf =f1. Gambarlahbagiangrafik r(r) yang memuat posisi P partikel tersebut pada saat t = tr. Gambarlahv(r1) dan a(r1) denganpangkaldi P. 2 3 . r(r) : e -ti * e ' j ; rr : I 2 4 . ,r(t): (3 t2- t)i + rj ; r,
-_ 2l
2 5 . r(t) : 2 c o sri - 3 s i n 2rj ;
n -
-
tl
n
2 6 , r(r) : ta n ri * s i nrj ; rr
6
2 7 . r(r) : 3 r2 i+ t3j .. tt : 2 2 8 . r(r) : a s i n ti + b c o sl j ;
7l a l
-
T
29. r(r) : c o sri - 2 ta n rj :
_ -TL; 4
30. r ( t ) : e ' ' 2 i+ c - ' j ; r , : Dalam Soal 3I-34, gunakanlahyang diketahui untuk menentukanvektor kecepatanv(r) dan vektor posisir(l) (lihat Contoh 5).
,i
iii
KalKulus dan ueometn Analitrs Jrnd'z
3 1 . a ( t )- - 3 2 j , v ( 0 ) : 0 . r ( 0 ) : 6 32. a(r) : tj. v(0) : i * 2j, r(0) : $ 3 3 . a ( r ): i + e ' j , v ( 0 ) : 2 i * j , r ( Q ): i + j 3 4 . a ( t ) : * c o s r i + s i nr j . v ( 0 ): i , r ( 0 ): i + 3 j 35. Sebuah titik bergerak sepanjang lingkaran x2 + y2 = 25 dengan laju sudut tetap 6 radian tiap detik dan berawal di (5, 0). Tentukan r(r), v(r), lv(r)l Can a(r) (lihat Contoh 3). 36. Sebuah titik bergerak sedemikian rupa sehinggalajunya tetap, yaitu v(r) . v(r) = c, (c konstanta). Buktikan bahwa vektor kecepatan dan v6ktor percepatan selalu tegaklurus satu sama lain. 37. Dalam Contoh 5, andaikan 0 = 30" dan vs = 96 kaki tiap detik. Tentukan saat pelurr; jatuh; tentukan juga laju dan jarak jatuhnya peluru dari titik asal. 38. Sebuah titik bergerak pada bidang dengan percepatan tetap ^ = aj.Buktikan bahwa lintasannya adalah parabol atau sebuah garislurus. 39. Sebuah titik bergerak pada sebuah hiperbol x2 - y2 = I dengan vektor posisi
dengan, sebuahkonstantar*::; positif.
;;T;:Iri,
denganc sebuah konstantayang
40. Sebuahtitik bergerak padaelipsx2b2 + y'lb' = I denganvektorposisi r(t) : ri cos turi * b sin rr-rrj dengan r'r konstanta. Buktikan bahwa a(t) = cr(t), dengan c konstanta yang negatif (lihat Contoh 4). 41. Daiam sebuah permainan kasti, sebuah bola dipukul dan meninggalkan pemukul dengan sudut 45o dengan arah mendatar. Bola tersebut jatuh di tanah sejauh 300 kaki dari tempat pemukul bola. Berapakah kecepatan awal bola tersebut? (Lihat Contoh 5).
1 3 .5 K e l e n g k u n g a n d a n p ercepatan Kita hendak memperkenalkan bilangan yang disebut kelengkungan. Kelengkungan ini mengukur seberapatajam sebuahkurva melengkung.Kelengkungansebuahgaris seharusnya nol' sebuah kurva yang berbelok tajam harus memiliki kelengkunganyang agak besar (Gambar 1). Untuk memberikan ketentuan tentang kelengkungan,kita mengingat kembali pemikiran lama dan memperkenalkanbeberapapemikiran baru. Andaikan untuk
.s: lr(r)
I ill''(u)1,+ lg,(u)ltO r: lr'(u)ldu fv
9A
f"
la7
Geometri pada Bidang, Yektor
Kelengkungan nol Kelengkungan kecil GAMBAR
GAMBAR 2
1
I-aju titik yang bergerak itu adalah ds
;:lr'(r)l
:lv(r)l
Oleh karena r'(r) + O, maka l(f)l > 0. Dengan demikian s naik apabilaf naik. Dengan = menggunakanTeorema Fungsi Balikan (Teorema7 .28),s = ft(t) memiliki balikan r &-t(s) dan dt11 ds
dsl dt
l v(r) |
Andaikan T(f), yang disebut vektor singgungsatuandi ^P(t),didefinisikan sebagai Y(r) r'(r) r(r):ffi: not Apabila P(i) bergerak sepanjangkurva, vektor satuan T(r) mengubaharahnya(Gambar 3)' .perbandinganperubahanT terhadapparrjangbusurs, yaitu dTlds dinamakanvektorkelengkungan or P. Akhirnya, kita mendefinisikan kelengkungan r (kappa) di P ditentukan se' peroleh Uagaibesaran dTlds.Jadi x = 1dl ldsl.DenganmenggunakanAturan Rantai kita
Vektor singgung s a t u a nT ( t )
dT
dT dt
T' (t)
r/s
dt tl s
l v(r)I
GAMBAR 3
r06
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2
Jadi,
,lT - _ | I:
K_
lT'(r)l
dr l
lv(t)l
BEBERAPA CONTOH PENTING Untuk meyakinkan anda bahwa ketentuankita mengenai kelengkunganmasuk akal, kita berikan beberapacontoh. CONTOH I Buktikan bahwa kelengkungangaris lurus adalahnol. Penyelevian Hal ini adalah akibat dari sifat bahwa T adalah vektor yang tetap. Untu\ menggunakan metode vektor, kita akan membuktikan sifat terrybut secara3rljabar. Andaikan P dan Q dua titik tetap pada garis dan andaikan a = OP danb = N. Maka bentuk vektor untuk persamaangaris dapat ditulis sebagai(Gambar 4)
r:r(r):a*tb
GAMBAR 4
v(r):r'(r):5 fi/\
ltn
-
_
b
tbl lr'(r)| Iv(r)|
fr:o
CONTOH 2 Buktikan bahwa kelengkunganlingkaran di tiap titiknya adalahK = lfa,apabtla a radius lingkaran itu (Gambar 5). Penyelevian Ambil lingkaran denganpusat di titik asal sistem koordinat Cartesius.Maka persamaanvektor lingkaran itu adalah
r(r) : a costi * a sin rj
Geometn pada tsldang, veKtor
GAMBAR 5
Sehingga, -c si n ti + a cos tj
v (r) : r' (r) :
T(t):
v(t)
:
lv(t)l -n-
Y"(:t -) S l n t i a
+costj
l T ' ( r )-l - :l - c o s r i - s i n r j l lv(r)l
o
1 a
makin kecil kelengkung' Oleh karena k adalah kebalik.n ,.dirrr, makin besarlingkaran t annya. titik pada C-ontohlingkaran di atas menimbulkan pemikiran baru. Andaikan P sebuah P di dan yang sebu-ahkurva.dengan x * O. Perhatikan lingkaran yang menyinggungkurva kurva' Lingkar' kelengkungannyasalna,yaitu x pusalnya akan terletak pada bagian cekung Radiusnya adalah an ini dinamakan littgk"tan'tc"tengi
Lingkaran kelengk u ngan
Pusatkelengkungan
Kurva Kurna
GAMBAR6
CONTOH 3 Tentukan kelengkungandan radius kelengkunganhiposikloid r:8cos3ri+8sin3rj di titik P dengant = nl l2 . Gambarlahlingkarankelengkungandi P
KalKulus dan Geometrt Analttis Jilld 2
t6u Penyelevion
Untuk0
24 sin t cost - cosri + sin rj
T(r)
T'(r) sin ri * cosrj l s i nt i * c o sr j I 24 sin r cos I
l r ' ( t )|
h'(/):-
Iv ( r )|
I 24r*r."tr
I
I
n ti" 2t ,'(;)
:
1
n1
1 6
: ^(#) 6
I Grafik hiposikloid yang diminta diperlihatkan pada Gambar 7. Perhatikan bahwa koordinatP kira-kira (7 ,21, 0,14).
L i n g k a r an k e l e n g ku n g a n
Hiposikloid
GAMBAR7
R U M U S L A I N U N T U K K E L E N G K U N G A N A n d a i k a n@sudut yang diukur berlawanan arahputaranjarum jam antarai ke t (Gambar8). Maka,T = cos @i+ sin dj, sehingga
'fr : sintDi+ cos@j
ueometrl paca l'loang, vektor
161
SekarangdTld| adalah vektor satuan (vektor denganpanjang 1 ) d a n T . dTldp = 0. Se' lanjutnya, K:.1
ldr ,
I rls
: ldr do l,tT la6'E l d o
d4) r/s
sehingga
K:1.
I d4, I r/s
Rumus untuk x ini sesuaidengan pengertian kelengkunganyang alami yaitu bahwa r tersebut mengukur perbandinganperubahan zudut @ terhadap busur s. Hubungan tersebut dapat digunakanuntuk membuktikan teorernadi bawah ini.
TeorymaA Maka parameter Andaikanx = f(t)dany = g(t) adalahpersamaan kurva yangmulus.
L . - ' J r l
Ix')/' - y'x"I [* ' ' + ," 21312
Khususnya,untuk kurva denganpersamaany= g(x), berlaku
rc:ffi Lr
I 1,"I -r
"y J.
Bukti Lihatlah Gambar 8
dy . , IanO ' --. dx
dyldt dxldt
y' x'
Diferensialkanruas kiri dan ruaskanan terhadapf , maka v' 1r' - 1"x" , , dQ sec-9 dt:*--;T-
GAMBAR8
atKUlUSCan \teometn Anautls JIUO 2
Lrl.Z
.
Sehingga
#:#+:ffi, :
x'1/' - 7/Y" ,x , o; x''(l * )"'lx') ,'l;
:
x'1/' - Y'x" r- -z +, ) '- . ' z
Jadi
,tO| | a6arI l,tO d' I : : *
K_
ldfldtl
la al: G'2+ )r2fw
d,I Ianl
Apabila hasil dqldt dizubstitusikan ke dalamrumusuntuk x, kita perolehrumusyangpertamayanghendakkita buktikan,yaitu j'' -
Y'x"l lx' K:G\jryn Untuk memperoleh rumus kedua, anggaplahpersamaany = g(x) sebagaihasil elirninasi f daripersamaanx = t,! =g(f), sehinggax'= I danr" = 0. Makadiperolehrumuskedua., CONTOH 4 Tentukan kelengkunganelips x:3cosI,
.),:2sinr = 1Tl2,,yaitumasirg:masiflg(3,0) dan(0,2). Gambarlah Pada titik denganf = 0 dan t elips itu dan lingkaran kelengkungandi titik tersebut. Penyelevian Dari persamaan x':
.
y" :
-3sint
y':2cosr
- 3 c o st
y-": -'2 sinr
Kita peroleh, ' x ' 1 " -' J " - \ " 6 s i n 2 t + 6 c o s 2r -t9sin2r *4cos2t)3tz LXr+ Jl2l3t2
,r:r-r1rl:.;-
:
6 [ 5 s i n 2r r - 4 ] 3 r
Sehingga
r(o): /n\62 .\t/ :
63 4'.,: 4
s3t2:t
l
I
IA
.*2
GeometripadaBidang,Vektor
163
.n (0, 2l
(,1
-\z) \
x
/
GAMBAR 9
Perhatikanbahwa rc(O)melebrhix@12),yung cocok dengankenyataan.pada Gambar9 dapat dilihat lingkaran kelengkungan di (3, 0) yang beiadius - 3f - aan - - - di (0, 2) dengan radiusf.
re K O MP O N ENN OR M AL D AN T A N GE N S IA L P E R C E P A TA N AndaikanP=4t) sebuah titik pada sebuah kurva yang mulus. Andaikan N = N(t) yang dinamakanvektor normal satuandiP. Kita definisikanN sebagaiberikut
N-
dTlds ldTldsl
l dT rc.r/s
sefuingga
Oleh karena T - eoSdi + sin @j, dan seterusnya
dT ds
#t*:
(-sin/i * cosoil!,*
tadi T' N = 0' Dengan demikian, N adalah vektor satuan yang tegakluruspada T dan nenga/ahke bagiancekungkurva tersebut(lihat soal 2g). Kita ingin menyatakan vektor percepatana dalam T dan N; yaitu kita ingin mengtraikan a menjadi komponen singgungdan komponen normal kurva. oleh karenavektor lecepatanv memenuhi
v:lrtf=ff
KalKulus dan Ueometrt Analrtrs Jrlid 2
rb4 maka tlv
d2 s
.r-'--:a
dt
tlt'
T*.
r/s ,17 . dt
d2.s
rls dT r/s
tlt
,ttEn
: ; ; T -*
tll
Sehingga,
. (,f)'"*
u: *r or-
hubunganterakhirini dapat pula dilihat padaGambar 10. Mari kita tafsirkanhasil ini untuk pengendaramobil yarLgmenginjakpedal gassewaktu mobil itu meluncur pada sebuahjalan lurus dan kemudian melewati belokan menurut Hukum Newton, gaya adalah massakali percepatan.Jadi gaya yang bekerja pada mobil denganmassam adalah
F :
tl'a: rr(]t dt'
+,,,u({\tn \dt I
Si pengendaradenganmassams juga mengalamipengaruhgaya.Padajalan yang lurus dengan K = 0, ia merasakanbrsarantolakan.tempatduduk sebesarmsdzsfdtt,yungdiakibatkan oleh terinjaknya pedal gas.Padawaktu melewati belokan, ia merasakantolakan gaya searahdenganlengkungankecekungansebesarmsx(dsldt)2. Perhatikanbahwa tolakan ini sebandingdengan kelengkungankurva dan dengan kuadrat laju. Makin tajam kurva dan makin cepatmobil itu melaju makin kuat pula gayatolakan itu. CONTOH.5 Sebuah partikel bergeraksedemikianhinggar(t) = t2i+ *tt j,f > 0. Nyatakan a(f) dalamT dan N, dan hitunglaha(/)'untuk t = 2.
GA.MBAR 1O
L'eometn pada Bidang, Vektor
IttS
PenT,elevion
v (r) :
2 ti + t2j
ds
lv(r)l: 1i/
;: d2s (fi'
., I : yrQ a 1z
4 + 2t2 .4+_t2
t I.\'1"'- J,'.\', . -/.irf 1 /,i.r\ : I x')"'- )''x" I -K l -l ^\Al 1tz;;-1r.2 \;/ dsldr l ( 2 t ) ( 2 t )- ( t , ) ( 2 ) l rr/4 + 12
2t2 rl4 + 12
2r -^ 1'4 + t'
Sehingga,
a(l):
r/2s -rT+ (ll-
/r/s\: "(,al*
4+2t2
r+-4x
,/4 + t2
l+ + t2
dan
a(2) :
12
T+
ar't8
4
* : 3r lr + :x '.'e "
w
Kita telah menyatakana dalam bentuk a:erT+anN di mana komponen tangensialdan komponen normalnya adalah
n, :'#
dan 4N: ,.(;-)' \/
Untuk menghitunBa.nr,tampaknya kita harus menghitungK. Ini dapat kita hindari dengan rnengingatbahwa T dan N tegaklurus,sehingga
lal':ul.+afi Kita gambarkan.
166
KalKulus clan Geometrr Analitis Jitid 2
.
CONTOH 6 Tanpa menghitutrB K, tentukan a7 dan ap untuk gerak yang ditentukan oleh
t > 0. r = tzi + +t3j,dengan
Penyelesian Gerak di atas sama dengangerak pada Contoh 5, oleh karena itu cara perhitungan o7 srrrr?dengancara yang digunakandalam contoh tersebut.
2ti
r-J ) t
a :2i + 2ti c/s
:ti4+t2
;:lvl
d2s n
ttT
-
:-2
ut
4+2t2
l+ + t2
Dengandemikian, maka
-a?:4 al, : 1a12
Q11
+t2-
(4 + 2t2)2
4+-f
4t'
:44
r_-.---.-=
"/4
+ r'
SOAL.SOAL 1 3 . 5 r Dalam Soal l-4,.tentukan titik f : 11.
vektor sin$gungsatuanT(r) dan kelengkunganx(r) di sebuah
l . r ( r ): 4 t z i + 4 r i t r : I :.,i(r) :
j t 2 i + i r ' j r 1 1: I
. 3 . r ( t ) : 4 c o sr i + 3 s i nr j , , , : I { r = r ( r ) : e ' s i nt i + e ' c o st j : t r : 1 L Dalam Soal 5-14, gambarlah kurva untuk titik yang diketahui. Tentukan kelengkungan dan radius kelengkungan. Akhirnya, gambarlah lingkaran kelengkungandi titik tersebut. Petunjuk: Untuk kelengkungangunakanlah rumus kedua dalam Teorema A. 5 . ) ' - x 2 , 1 1 ,l ;
10.r' : cos2.r,(*n,i)
6 . ) ' : x ( x - 2 ) 2 ,( 2 , 0 )
I l. r' : coshj.x,(0, l)
7,j'':x*4,(-3,-l)
| 2. r' : ln sin r, (in, - 1n.,,?;
8 . ] ' : l n . x ,( 1 . 0 )
/n ii 1 3 .1 ': s i n. t . { ; \ - - }
9. -l' : e' - x, (0, l)
l{. r':tan.\,f,t)
\4
\4/
z/
padaBidang,Vektor Geometri
167
Dalam Soal I 5- 18, tentukan titik pada kurva yang kelengkungannyapaling besar. '15.-r':lnx 1 6 . )' : c ' 1 7 .1 ' : s i n x ; - r - < l ( z I tl. t' : cosh,r Dalam Soal l9-22, tentukan komponen tangensial dan komponen normal (a7 dana1,r) vektor percepatan di r. Kemudian hitunglah untuk t = t r. Lihat Contoh 5 atau Contoh 6. 1 9 .r ( r ) : t 2 i + t j ; t , :
!!.
I
r t r l - ( 2 t+ l ) i + ( r ' - 2 ) i , t ,
2 1 . r ( r ) : d c o St i + u s i n t j ; r , :
_l
_
I
' L
6
2 _ 2 . , r ( t ) 4: c o s st i + 4 s i n 3r j : r , :
i
23. Dengan menggunakandefinisi dari vektor N, yaitu *r\ :
dTlds
rdrl,/t
buktikanlah untuk parametersebarangr bahwa dTldt \ - ---ldr ldr I 24. Gunakanrumus Soal23 untuk menentukanN pada elips: r(t) : rrcosrori+ b sinarrj 25. Gambarlah lintasan partikel, apabila vektor posisi adalah r = sin r i + sin 2r j, .0 < t { 2n (grafiknya akan berbentuk angka delapan).Di marrakahpercepatannyanol? Di manakahvektor percepatanmengarahke titik asalsistemkoordinat? ', 26. Vektor posisisebuahpartikel pada saatt > 0 adalah t I
r(t) : (cosr * r sin r)i + (sinr -.r cosr)j
I
lit . ) B u k ti k a n b a h w al a j u d s l d t = t. "lfbl Buktikan bahwadT = I dan oN = t. 27. Apabila untuk sebuah partikel, aT = 0 untuk semuaf, apakahyang dapat anda ilsimpulkan tentang laju? Apabila ap = 0 untuk semuar, apakahyang dapat anda simpulkan Ientangkelengkungan? \, 28. Buktikan bahwa N mengaran ke arah bagian cekung kurva. Petuniuk: Buktikan ierlebihdahulu. drl t' tl s N : (-si n rl i + cosqJ) l;/,4,/t terhatikankemudian
kasus dQlds ) 0 (kurva membelok ke kiri) dan kasus dQlds 1O hurvamembeloklle kanan). i
I
Kalkulus dan Geometri Analitis Jifd 2
168
29. Buktikan bahwa N tegaklurus pada T dengan mendiferensialkan T'T hadaps.
=
I ter-
UlanganBab 13.6 Soal-soal KUISBENAR.SALAH Jawablahdenganbenar atau salahpernyataandi bawah ini. Bersiaplahuntuk mempertahankan pendiriananda. 1. Persamaanparametersuatukurva adalahtunggal. 2. Grafik ,r = 2r3..l' : 13 adalahsebuahgaris. 3. Jika x = f(t) dany'= g(t), kita dapat menemukanfungsi ft sehinggay = h(x). 4. Kurva denganpersamaanparameter.r : ln t dan.t': t2 - 1 melalui titik asal. 5. Jika x = I(t) dan 7 = g(t) dan apabila f" dan g" ada,maka d2yldx2 = g"{t)lf"(t), untuk f"(t) * o. 6. Sebuahkurva dapat memiliki lebih dari satu garis singgungdi sebuahtitik pada kurva tersebut. 7. Vektor 2i - 3i tegakhuuspadakurva 6i + 4j. u dan v vektor satuan, maka sudut 0 antara vektor-vektor itu adalah cos 0 = t l:;:Ua . 9. Hasilkalititik vekior-vektor memenuhihukum asosiasif 1 0 . - U n t u kt i a p d u a v e k t o rs e b a r a n g du a n v b e r l a k ul u ' v l < l u l l v l . jikaukelipatanskalardariv. 1 1 . l u - v l : l u l l v l u n t u kv e k t o r t a k n o l u , v j i k ad a n h a n y a 1 2 . J i k al u l : l v l : l u # v l . m a k au : r ' : 0 . I 3. Jika u * v dan u - v dua vektor yang tegaklurus,maka Iu | : Iv i. 1 4 . U n t u k t i a p d u a v e k t o r u d a n v s e b a r a n g , b e r l lauk*u v l t : l u 1 2+ l v l t + 2 u ' v . 1 5 . F u n g s i b e r n i l a i v e k t o\ rf ( t ) , g ( t ) ) a d a l a h k o n t i n u d i r = a , j k a d a n h a n y a j i k a f d a n g kontinu dit =a.
1 6 . D , [ F ( t ) ' F ( t 1 :] 2 F ( r ) ' F ' ( r ) 17. Kelengkungan kurva dengan persamaan .x = 3t + 4 dan y = 2t - I adalah nol untuk semua t.
18. Kelengkungankurva dengan persamaanx = 2 cos t dan y = 2 sin f. adalah 2 untuk semuar. 19. Apabila T = T(t) adalah vektor singgungsatuanpada sebuahkurva mulus, maka T(t) dan T'(r) tegaklurus. 20. Jika u = lvl adalahlaju sebuahpartikel sepanjangkurva yang mulus maka lduldt I adalah besarnyapercepatan.
GeometripadaBidang,Vektor
169
S O A L .SOA LA N E KA R A G A M Dalam Soal 1-4, diketahui persamaanparameter sebuahkurva. Flilangkanlahparameter untuk memperolehpersamaanCartesiusyang bersangkutan.Gambarlahkurva tersebut. l. x:6t
+2,),:2t,
2. .x:4t'.)':4t:
- : f . :< f < r o
-l<
t<2
3, .r:4sinr -2, 1':3cosr * l; 0
<, a! 22
Dalam Soal5 dan 6, tentukan persamaangarissinggungdan garisnormal di r = 0. 5 . x : 2 t 3 - 4 t + 7 , J ' : r + l n ( r+ l ) (r. -\ :
3e-t. l' :
4e,'
7. Tentukan panjangkurva X:COST+ISiNT
)':sinr-feosr antara titik dengant = 0 dan t = 2n. Gambarlah kurva ini. 8. Tentukan u dan lul apabila u adalah vektor dari p1 hingga p2. ( a ) P , : ( 2 , 4 ) ,P z : ( - l , 5 ) (b) P, - (-3,0), P2 : (-4, 5) 9 . A n d a i k d r! :
<2, -5),b:
(a) 3a - 2b (c) a.(b+c) (e) lcic.b
(1, l),danc:
(-6,0).Tentukan
(b)a.b ( d ) ( a a+ 5 b ) .3 c (f) c.c - lcl
10. Tentukan kosinussudut antaraa dan b dan gambarlah. -i+4j ( a )a : 3 i + 2 j , b : ( b ) a : - 5 i - 3 j ,b : 2 i - j (c)a:(7,0),b:(5,.1) I l. Diketahui a = -zidan b = 3i - 2j danvektor kltiga r = 5i - 4i,tentukan skalar k dan rn sehinggat = ka + mb. 12. Tentukan sebuah vektor yang panjangnya 3 yang sejajar dengan garis singgung pa d ay = x 2 d i ti ti k (-1 , l ). I 3. Tentukan sebuahvektor yang panjangnya 10 dan yang membuat sudut sebesar l5 0 o d e n g a ns u mb ux p o s i ti f. 14. Dua gaya F1 = 2i - 3j dan F2 = 3i + 12j bekerja pada sebuahtitik. Tentukanlah besar dan arahny^ Eaya yang harus bekerja pada titik itu untuk mengimbangi resultan i keOuagaya tersebut? I
15. Arah manakahdan berapakahlaju terbang sebuahpesawatterbanguntuk menI I capai 450 mil tiap jam dan rnenuju ke utara apabila angin bertiup dengan laju 100 mil I tianjam denganarah 60o timur laut. I
l,
k
170
.
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2
16. Jika r(r) : (e'', r-'), tentukanlah (a) lim r(r) t-0
IDl lrm
r(0+/r)-r(0) tt
h-o Sln
(c) | Jg
2
r(r) r/r
(d) D,Irr(t)] (e ) D ,[r(3 t+ l 0 )] (f ) D ,[r(r).r' (r)] 17. Tentukanlahr'(r) dan r"(r) apabila (a ) r(r) : (l n r)i - 3 rtj (b ) r(r) : s i n ri + c o s2 rj (c) r(r) : tan ri - r4j 18. Tentukan panjangbusur kurva r(r) = 4t3/2i + 3tidari r = 0 hinggat = 2. Dalam Soal l9 dan 20, posisisebuahpartikel yang bergerak,pada saatt, adalahr(r). Tentukan kecepatandan percepatan,v(r) dan a(r), dan nilainya di t = tr. Tentukan pula lajunya dit =t1. 1 9 . r ( r ) : 2 t 2 i+ ( 4 r + 2 ) j ; r r : - I 2 0 . r ( r ): 4 ( l - - s i n r ) i + 4 ( r * c o sr ) j ; r , : 3 r . 21. Tentukan kelengkunganrckurva berikut di titik P yang diketahui. (a ) -r': .x 2- x d i f1 t. O 1 ( b ) r ( r ) : ( r * r 3 ) i+ 1 r+ r 2 ; jd i P ( 2 . 2 ) (c) .r': d cosh(xla)di P(a.a coshl ) 22. Tentukan vektor singgungsatuanT(r) untuk kurva r(r) = ri + jr3j. Dititik P(l) pada kurva dengan / = 1, tentukan T(1). Tentukan kelengkunganrc(l) kurva di P(l). Gambarlahkurva dan gambarlahvektor singgungsatuanT(l ) yang berpangkaldi P(l ). 23. Apabila r(r) = (1 - t')i + 2tj, tentukan komponen tangensialdan komponen normalay danap percepatana di titik P(0,2).
