Matematika 2 13. pˇredn´aˇska – Obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice
Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborov´ych studi´ı Technick´a univerzita v Liberci
[email protected] http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
LS 2012/13
Prezentace vznikla na z´ akladˇ e uˇ cebn´ıho textu, jehoˇz autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc.
J. Stebel
Matematika 2
13.1 Z´akladn´ı typy obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
Motivace: voln´y p´ad bez odporu vzduchu:
ma = mg v0 = g Voln´y p´ad s odporem vzduchu, kter´y z´avis´ı line´arnˇe na rychlosti: mv 0 = mg − bv Obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice (ODR): rovnice pro nezn´amou funkci jedn´e promˇenn´e (zde v = v (t)), ve kter´e se vyskytuj´ı derivace hledan´e funkce.
J. Stebel
Matematika 2
13.1 Z´akladn´ı typy obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
(pokraˇ c.)
Definice (Obyˇ cejnou) diferenci´ aln´ı rovnic´ı (ODR) pro funkci y = y (x) rozum´ıme rovnici tvaru F (y (n) , y (n−1) , . . . , y 00 , y 0 , y , x) = 0, ˇ adem ODR (1) kde F je re´aln´a funkce n + 2 promˇenn´ych. R´ nazveme ˇr´ad nejvyˇsˇs´ı derivace funkce y , kter´a se v rovnici (1) vyskytuje.
J. Stebel
Matematika 2
(1)
13.1 Z´akladn´ı typy obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
(pokraˇ c.)
Definice ˇ sen´ım diferenci´ Reˇ aln´ı rovnice (1) rozum´ıme funkci y definovanou na nˇejak´em nepr´azdn´em otevˇren´em intervalu I , kter´a m´a v kaˇzd´em bodˇe intervalu I vlastn´ı n-tou derivaci a jej´ıˇz hodnoty spolu s hodnotami derivac´ı splˇ nuj´ı rovnici (1) v kaˇzd´em bodˇe intervalu I , tj. pro kaˇzd´e x ∈ I plat´ı F (y (n) (x), y (n−1) (x), . . . , y 00 (x), y 0 (x), y (x), x) = 0. ˇ sen´ı y diferenci´aln´ı rovnice (1) je maxim´ Reˇ aln´ı, pokud neexistuje takov´e ˇreˇsen´ı z, pro kter´e D(y ) $ D(z) a kter´e se na D(y ) shoduje s y .
J. Stebel
Matematika 2
13.1 Z´akladn´ı typy obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
(pokraˇ c.)
Definice Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi je rovnice tvaru y 0 = g (y ) · h(x).
(2)
N´ avod k ˇreˇsen´ı: Pokud g (c) = 0, je funkce y (x) = c ˇreˇsen´ım rovnice. Na intervalech, kde g (y ) 6= 0 uvaˇzte R dy R h(x)dx. g (y ) =
y0 g (y )
= h(x) s n´asledn´ym
Nutn´a je diskuse o moˇznostech navazov´an´ı ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıch dvou typ˚ u!
J. Stebel
Matematika 2
13.1 Z´akladn´ı typy obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
(pokraˇ c.)
Definice Line´ arn´ı ODR prvn´ıho ˇr´ adu je rovnice tvaru y 0 + p(x)y = q(x),
(3)
kde p, q jsou spojit´e funkce na dan´em intervalu (a, b), a, b ∈ R∗ , a
J. Stebel
Matematika 2
13.1 Z´akladn´ı typy obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
(pokraˇ c.)
Definice Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice druh´ eho ˇr´ adu s konstantn´ımi koeficienty je rovnice tvaru Ay 00 + By 0 + Cy = f (x),
(4)
kde A, B, C ∈ R, A 6= 0, a funkce f (x) je spojit´a na intervalu (a, b). Pokud je f identicky nulov´a na (a, b), naz´yv´ame rovnici (5) homogenn´ı.
J. Stebel
Matematika 2
13.1 Z´akladn´ı typy obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
(pokraˇ c.)
Pˇr´ıpad I: f ≡ 0, rovnice: Ay 00 + By 0 + Cy = 0, obecn´e ˇreˇsen´ı yh Pokud charakteristick´ a rovnice Aλ2 + Bλ + C = 0 m´a: 1
dva r˚ uzn´e re´aln´e koˇreny λ1 6= λ2 : yh (x) = c1 e λ1 x + c2 e λ2 x
2
jeden dvojn´asobn´y re´aln´y koˇren λ: yh (x) = c1 e λx + c2 xe λx
3
dva komplexnˇe sdruˇzen´e koˇreny α ± iβ, β 6= 0: yh (x) = e αx (c1 cos βx + c2 sin βx)
J. Stebel
Matematika 2
13.1 Z´akladn´ı typy obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
(pokraˇ c.)
Pˇr´ıpad II: f 6≡ 0, rovnice: Ay 00 + By 0 + Cy = f (x) Pro ˇreˇsen´ı y (x) plat´ı: y (x) = yh (x) + yp (x), kde yh (x) je obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice (viz pˇredchoz´ı pˇr´ıpad) a yp (x) je jedno (jak´ekoliv), tzv. partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı rovnice Ay 00 + By 0 + Cy = f (x). Nˇekter´a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı lze uhodnout“ podle tvaru prav´e strany. ”
J. Stebel
Matematika 2
13.1 Z´akladn´ı typy obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
(pokraˇ c.)
Je-li f (x) = P(x)e αx , kde α ∈ R a P je polynom, potom existuje polynom Q, st Q = st P, ˇze 1 2 3
α 6= λ1 , α 6= λ2 =⇒ yp (x) = Q(x)e αx , α 6= λ1 , α = λ2 =⇒ yp (x) = xQ(x)e αx , α = λ1 = λ2 =⇒ yp (x) = x 2 Q(x)e αx .
Je-li f (x) = e αx (P(x) cos βx + R(x) sin βx), (P, R polynomy), existuj´ı polynomy Q, S, stupnˇe nejv´yˇse max(st P, st R), takov´e, ˇze 1
2
α + iβ 6= λ1 , α + iβ 6= λ2 =⇒ yp (x) = e αx (Q(x) cos βx + S(x) sin βx), α + iβ = λ1 , α + iβ 6= λ2 =⇒ yp (x) = xe αx (Q(x) cos βx + S(x) sin βx),
J. Stebel
Matematika 2
13.2 Aplikace obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
Line´ arn´ı oscil´ ator
vnˇejˇs´ı vlivy
odpor pruˇziny
odpor prostˇred´ı
b k y 00 = − y 0 − y + f (x) |{z} m } |{z} m | {z
y . . . odchylka od klidov´e polohy m. . . hmotnost z´avaˇz´ı k. . . tuhost pruˇziny b. . . souˇcinitel odporu
J. Stebel
Matematika 2
13.2 Aplikace obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
(pokraˇ c.)
Logistick´ a rovnice y 0 = αy (K − y ) , y (0) = y0 y . . . hustota populace α. . . koeficient rychlosti r˚ ustu K . . . maxim´aln´ı stav populace 1
alpha=2 alpha=0.2 alpha=-0.5 alpha=-2
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
2
4
ˇreˇsen´ı: y (x) =
6
8
K 1+ yK −1 e αx 0
J. Stebel
Matematika 2
10
13.2 Aplikace obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
Dravec-koˇrist
(pokraˇ c.)
y10 = y1 (α − βy2 ) y20 = −y2 (γ − δy1 )
y1 . . . mnoˇzstv´ı koˇristi (kr´al´ıc´ı) y2 . . . mnoˇzstv´ı dravc˚ u (liˇsky) soustava rovnic nem´a explicitn´ı ˇreˇsen´ı lze ˇreˇsit pˇribliˇznˇe nebo studovat kvalitativn´ı vlastnosti ˇreˇsen´ı ˇreˇsen´ı jsou periodick´a rovnov´aˇzn´e ˇreˇsen´ı (y10 = y20 = 0)
J. Stebel
Matematika 2
13.3 Line´arn´ı obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu
Budeme se zab´yvat rovnicemi tvaru an (t)y (n) + an−1 (t)y (n−1) + · · · + a1 (t)y 0 + a0 (t)y = f (t),
(5)
kde a0 , . . . , an a f jsou funkce spojit´e na dan´em intervalu (a, b), an (t) 6= 0 pro t ∈ (a, b) (line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice n-t´ eho ˇr´ adu s nekonstantn´ımi koeficienty). Jsou-li vˇsechny funkce a0 , . . . , an konstantn´ı na intervalu (a, b), jde o line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnici n-t´ eho ˇr´ adu s konstantn´ımi koeficienty, (f (t) nemus´ı b´yt konstantn´ı). Homogenn´ı rovnic´ı k rovnici (5) rozum´ıme rovnici an (t)y (n) + an−1 (t)y (n−1) + · · · + a1 (t)y 0 + a0 (t)y = 0.
J. Stebel
Matematika 2
(6)
13.3 Line´arn´ı obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu
(pokraˇ c.)
Vˇeta 12.1 Necht’ t0 ∈ (a, b) a z0 , . . . , zn−1 ∈ R. Pak existuje pr´avˇe jedno maxim´aln´ı ˇreˇsen´ı y rovnice (5) resp. (6), kter´e splˇ nuje tzv. poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınky y (t0 ) = z0 , y 0 (t0 ) = z1 , . . . , y (n−1) (t0 ) = zn−1 . Toto ˇreˇsen´ı je nav´ıc definov´ano na cel´em intervalu (a, b).
J. Stebel
Matematika 2
13.3 Line´arn´ı obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu
(pokraˇ c.)
Vˇeta 12.2 (o struktuˇre vˇsech ˇreˇsen´ı) (i) Maxim´aln´ı ˇreˇsen´ı rovnice (6) jsou definov´ana na cel´em intervalu (a, b) a tvoˇr´ı vektorov´y podprostor prostoru C n ((a, b)) dimenze n. Jeho jakoukoli b´azi naz´yv´ame fundament´ aln´ım syst´ emem rovnice (6). (ii) Necht’ yp je maxim´aln´ı ˇreˇsen´ı rovnice (5). Pak funkce y je jej´ım maxim´aln´ım ˇreˇsen´ım, pr´avˇe kdyˇz ji lze zapsat ve tvaru y = yp + yh , kde yh je vhodn´e ˇreˇsen´ı rovnice (6).
J. Stebel
Matematika 2
13.3 Line´arn´ı obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu
(pokraˇ c.)
I. Hled´ an´ı fundament´ aln´ıho syst´ emu Pro rovnici (6) s konstantn´ımi koeficienty lze pouˇz´ıt tzv. metodu charakteristick´ eho polynomu. Pro rovnici (6), kde alespoˇ n jeden z koeficient˚ u je nekonstatn´ı, nelze obecnˇe explicite naj´ıt jej´ı fundament´aln´ı syst´em. Definice Necht’ jsou koeficienty homogenn´ı rovnice (6) konstantn´ı. Charakteristick´ ym polynomem rovnice (6) rozum´ıme polynom P(λ) = an λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 .
J. Stebel
Matematika 2
13.3 Line´arn´ı obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu
(pokraˇ c.)
Vˇeta 12.3 Necht’ jsou koeficienty homogenn´ı rovnice (6) konstantn´ı. Necht’ λ1 , . . . , λs jsou vˇsechny r˚ uzn´e re´aln´e koˇreny charakteristick´eho polynomu P, s n´asobnostmi r1 , . . . , rs . Necht’ α1 + β1 i, . . . , α` + β` i jsou vˇsechny navz´ajem r˚ uzn´e koˇreny polynomu P, s kladnou imagin´arn´ı ˇc´ast´ı a n´asobnostmi q1 , . . . , q` .
J. Stebel
Matematika 2
13.3 Line´arn´ı obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu
(pokraˇ c.)
Pak funkce e λ1 t , .. .
te λ1 t ,
...
t r1 −1 e λ1 t ,
e λs t , te λs t , ... t rs −1 e λs t , α t q −1 cos β1 t, te 1 cos β1 t, . . . t 1 e α1 t cos β1 t, e α1 t sin β1 t, te α1 t sin β1 t, . . . t q1 −1 e α1 t sin β1 t, .. .
e α1 t
e α` t cos β` t, te α` t cos β` t, . . . t q` −1 e α` t cos β` t, e α` t sin β` t, te α` t sin β` t, . . . t q` −1 e α` t sin β` t tvoˇr´ı fundament´aln´ı syst´em homogenn´ı rovnice (6) (s konstantn´ımi koeficienty).
J. Stebel
Matematika 2
13.3 Line´arn´ı obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu
(pokraˇ c.)
II. Hledan´ı partikul´ arn´ıho ˇreˇsen´ı Vˇeta 12.4 (o uhodnut´ı partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı) Necht’ (5) je rovnice s konstatn´ımi koeficienty. Necht’ f (t) = e αt · (P(t) cos βt + Q(t) sin βt) , kde α, β ∈ R a P, Q jsou polynomy. Pak existuje ˇreˇsen´ı rovnice (5) ve tvaru yp (t) = t m e αt · (R(t) cos βt + S(t) sin βt) , kde R, S jsou vhodn´e polynomy stupnˇe ne vˇetˇs´ıho neˇz max{stupeˇ n P, stupeˇ n Q} a m ∈ N ∪ {0} ud´av´a, jakou n´asobnost m´a ˇc´ıslo α + iβ jakoˇzto koˇren charakteristick´eho polynomu.
J. Stebel
Matematika 2
13.3 Line´arn´ı obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu
(pokraˇ c.)
N´asleduj´ıc´ı Lemma je z´akladem tzv. metody variace konstant pro hled´an´ı partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı line´arn´ı (nehomohenn´ı) ODR, a to jak s konstantn´ımi tak s nekonstantn´ımi koeficienty. Lemma 1 Necht’ y1 , . . . , yn tvoˇr´ı fundament´aln´ı syst´em homogenn´ı rovnice (6) ( s obecnˇ e nekonstatn´ımi koeficienty). Potom matice U(t) =
y1 (t) y10 (t) .. . (n−1)
y1
y2 (t) y20 (t) .. . (n−1)
(t) y2
... ... .. .
(n−1)
(t) . . . yn
je regul´arn´ı pro kaˇzd´e t ∈ R.
J. Stebel
yn (t) yn0 (t) .. .
Matematika 2
(t)
13.3 Line´arn´ı obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu
(pokraˇ c.)
Vˇeta 12.5 (variace konstant) Necht’ y1 , . . . , yn tvoˇr´ı fundament´aln´ı syst´em rovnice (6) ( s obecnˇ e nekonst. koeficienty), U(t) bud’ jako v pˇredchoz´ı vˇetˇe. Necht’ c1 (t), . . . , cn (t) ˇreˇs´ı soustavu 0 0 c1 (t) .. .. U(t) · . = . . 0 cn−1 0 (t) 0 f (t)/an cn (t) Pak funkce yp (t) := c1 (t)y1 (t) + · · · + cn (t)yn (t) je (partikul´arn´ı) ˇreˇsen´ı rovnice (5). J. Stebel
Matematika 2
