Matematika 2 ˇ ıseln´e a mocninn´e ˇrady 14. pˇredn´aˇska – C´
Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborov´ych studi´ı Technick´a univerzita v Liberci
[email protected] http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
LS 2012/13
Prezentace vznikla na z´ akladˇ e uˇ cebn´ıho textu, jehoˇz autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc.
J. Stebel
Matematika 2
14.1 Z´akladn´ı pojmy
Definice Necht’ {an } ∈ C je posloupnost komplexn´ıch ˇc´ısel. Pro m ∈ N poloˇzme sm = a1 + a2 + · · · + am . P ˇıslo sm nazveme m-t´ C´ ym ˇ c´ asteˇ cn´ ym souˇ ctemP ˇrady ∞ n=1 an . Prvek an budemePnaz´yvat n-t´ ym ˇ clenem ˇrady ∞ a . Souˇ ctem n n=1 nekoneˇcn´e ˇrady ∞ a nazveme limitu posloupnosti {s }, pokud m n=1 n tato limita existuje. Souˇ c et ˇ r ady budeme znaˇ c it symbolem P∞ ˇ ze ˇrada konverguje, je-li jej´ı souˇcet koneˇcn´e n=1 an . Rekneme, ˇ ˇc´ıslo. V jin´em pˇr´ıpadˇe ˇrekneme, ˇze ˇrada diverguje.
J. Stebel
Matematika 2
14.1 Z´akladn´ı pojmy
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.1 (nutn´a podm´ınka konvergence ˇrady) P Jestliˇze ˇrada ∞ n=1 an konverguje, pak lim an = 0. Pozn´amka Pr´avˇe uveden´a nutn´a podm´ınka konvergence se pouˇz´ıv´a pˇredevˇs´ım ve tvaru Jestliˇze lim an 6= 0 nebo lim an neexistuje, potom ˇrada P∞ ” n=1 an diverguje.“
J. Stebel
Matematika 2
14.1 Z´akladn´ı pojmy
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.2 P (i) P Necht’ α ∈ C, α 6= 0. Potom ∞ avˇe kdyˇz n=1 an konverguje, pr´ ∞ r´ıpadˇe plat´ı n=1 αan konverguje. V tom pˇ ∞ X
αan = α
n=1
∞ X
an .
n=1
P P∞ ’ ∞ (ii) Necht ı ˇrady. Potom n=1 an a n=1 bn jsou konvergentn´ P∞ (a + b ) konverguje, a plat´ ı n n=1 n ∞ ∞ ∞ X X X (an + bn ) = an + bn . n=1
n=1
J. Stebel
Matematika 2
n=1
14.1 Z´akladn´ı pojmy
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.3 (Bolzano-Cauchy) P∞ ˇ Rada avˇe kdyˇz plat´ı n=1 an konverguje, pr´ m X ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m > n ≥ n0 : aj < ε. j=n+1
J. Stebel
Matematika 2
14.2 Krit´eria konvergence
Vˇeta 14.4 (srovn´avac´ı krit´erium) P P∞ Necht’ n0 ∈ N. D´ale necht’ ∞ e ˇrady n=1 an a n=1 bn jsou dvˇ splˇ nuj´ıc´ı 0 ≤ an ≤ bn pro kaˇzd´e n ∈ N, n ≥ n0 . P P (i) Je-li ∞ ı, je rovnˇeˇz ∞ an konvergentn´ı. n=1 bn konvergentn´ P∞ P∞n=1 (ii) Je-li n=1 an divergentn´ı, je rovnˇeˇz n=1 bn divergentn´ı.
J. Stebel
Matematika 2
14.2 Krit´eria konvergence
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.5 (limitn´ı srovn´avac´ı krit´erium) P P∞ Necht’ ∞ rady s nez´aporn´ymi ˇcleny a n=1 an a n=1 bn jsou ˇ ∗ limn→+∞ an /bn = c ∈ R . P (i) Necht’ c ∈ (0, ∞). Potom ∞ avˇe kdyˇz n=1 an konverguje, pr´ P∞ konverguje n=1 bn . P (ii) P Necht’ c = 0. Pak konverguje-li ∞ n=1 bn , konverguje i ∞ n=1 an . P (iii) P Necht’ c = ∞. Pak konverguje-li ∞ n=1 an , konverguje i ∞ b . n=1 n
J. Stebel
Matematika 2
14.2 Krit´eria konvergence
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.6 (Cauchyovo odmocninov´e krit´erium) P rada s nez´aporn´ymi ˇcleny. Potom plat´ı: Necht’ ∞ n=1 an je ˇ (i) Existuje-li q ∈ (0, 1) takov´e, ˇze ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : potom
P∞
n=1 an
√ n
an ≤ q,
konverguje. P (ii) Je-li lim an < 1, pak je ∞ ı. n=1 an konvergentn´ P∞ √ n (iii) Je-li lim an > 1, pak neplat´ı lim an = 0 a n=1 an je divergentn´ı. √ n
J. Stebel
Matematika 2
14.2 Krit´eria konvergence
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.7 (d’Alembertovo pod´ılov´e krit´erium) P Necht’ ∞ rada s kladn´ ymi ˇcleny. n=1 an je ˇ (i) Existuje-li q ∈ (0, 1) takov´e, ˇze ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : potom
an+1 ≤ q, an
P∞
(ii) Je-li lim
n=1 an konverguje. P∞ an+1 ı. n=1 an konvergentn´ an < 1, pak je P∞ an+1 ı lim an = 0 a n=1 an an > 1, pak neplat´
(iii) Je-li lim divergentn´ı.
J. Stebel
Matematika 2
je
14.2 Krit´eria konvergence
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.8 (integr´aln´ı krit´erium) Necht’ f je nez´aporn´a, nerostouc´ı a spojit´a na hn0 , +∞), kde n0 ∈ N. Necht’ pro posloupnost re´aln´ych ˇc´ısel {an }∞ ı n=1 plat´ an = f (n) pro n ≥ n0 . Pak Z
∞
f (x)dx < +∞
⇐⇒
n0
∞ X
an konverguje.
n=1
Vˇeta 14.9 ˇ Necht’ α ∈ R. Rada
P∞
1 n=1 nα
konverguje pr´avˇe tehdy, kdyˇz α > 1.
J. Stebel
Matematika 2
14.2 Krit´eria konvergence
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.10 (Raabeovo krit´erium) P Necht’ ∞ rada s kladn´ymi ˇcleny. n=1 an je ˇ P n − 1 > 1, pak je ∞ ı. (i) Je-li lim n aan+1 n=1 an konvergentn´ P n (ii) Je-li lim n aan+1 − 1 < 1, pak je ∞ ı. n=1 an divergentn´
J. Stebel
Matematika 2
14.2 Krit´eria konvergence
(pokraˇ c.)
Definice P∞ ˇ Rekneme, ˇ z e ˇ r ada e konvergentn´ı, pokud n=1 an je absolutnˇ P∞ ˇrada n=1 |an | konverguje. Vˇeta 14.11 P Je-li ˇrada ∞ e konvergentn´ı, je rovnˇeˇz konvergentn´ı. n=1 an absolutnˇ
J. Stebel
Matematika 2
14.3 Neabsolutn´ı konvergence
Vˇeta 14.12 (Abel-Dirichletovo krit´erium) ∞ Necht’ {an }∞ a monot´onn´ı n=1 je posloupnost a {bn }n=1 je omezen´ posloupnost. Jestliˇze je splnˇena nˇekter´a z n´asleduj´ıc´ıch podm´ınek, P pak je ∞ a ı. n bn konvergentn´ P∞ n=1 (A) ı, n=1 an je konvergentn´ P∞ (D) limn→∞ bn = 0 a n=1 an m´a omezenou posloupnost ˇc´asteˇcn´ych souˇct˚ u.
J. Stebel
Matematika 2
14.3 Neabsolutn´ı konvergence
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.13 (Leibniz) Necht’ {an }∞ nuj´ıc´ı n=1 je posloupnost splˇ ∀n ∈ N : an ≥ 0, ∀n ∈ N : an ≥ an+1 , lim an = 0. P n Potom je ˇrada ∞ ı. n=1 (−1) an konvergentn´
J. Stebel
Matematika 2
14.4 Pˇrerovn´av´an´ı ˇrad
Definice P∞ Necht’ p : N → N je bijekce. Pˇ r erovn´ a n´ ım ˇ r ady n=1 an P rozum´ıme ˇradu ∞ a . p(n) n=1 Vˇeta 14.14 P P Necht’ ∞ e konvergentn´ı ˇrada a ∞ ı n=1 an je n=1 ap(n) je jej´ Pabsolutnˇ ∞ pˇrerovn´an´ı. Pak a je absolutnˇ e konvergentn´ ı a m´ a stejn´ y n=1 p(n) P souˇcet jako ∞ n=1 an .
J. Stebel
Matematika 2
14.5 Souˇcin ˇrad
Definice P P∞ Cauchyov´ ym souˇ cinem ˇrad ∞ n=1 an a m=1 bm budeme rozumˇet ˇradu ! ∞ k X X ak+1−i bi . k=1
i=1
Vˇeta 14.15 (Mertens) P P∞ Necht’ ˇrady ∞ ı, pˇriˇcemˇz alespoˇ n n=1 an , m=1 bm konverguj´ jedna z nich konverguje absolutnˇ e. Potom ! ! ! ∞ k ∞ ∞ X X X X ak+1−i bi = an · bm . k=1
n=1
i=1
J. Stebel
Matematika 2
m=1
14.5 Souˇcin ˇrad
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.16 (Abel) P P∞ Necht’ ∞ ı ˇrady, takov´e, ˇze i n=1 an , m=1 bm jsou konvergentn´ jejich Cauchy˚ uv souˇcin konverguje. Pak plat´ı ! ! ! ∞ k ∞ ∞ X X X X ak+1−i bi = an · bm . k=1
n=1
i=1
J. Stebel
Matematika 2
m=1
14.5 Souˇcin ˇrad
(pokraˇ c.)
Shrnut´ı Vztah absolutni konvergence a konvergence an ≥ 0 an ∈ C
AK ⇐⇒ K AK =⇒ K
Aritmetick´ e operace s ˇradami operace staˇc´ı, kdyˇz n´asobek konstantou ˇrada konverguje asociativita (uz´avorkov´an´ı) ˇrada konverguje souˇcet, rozd´ıl obˇe ˇrady konverguj´ı pˇrerovn´an´ı (komutativita) ˇrada konverguje absolutnˇe n´asoben´ı dvou ˇrad obˇe ˇrady konverguj´ı, alespoˇ n jedna z nich absolutnˇe
J. Stebel
Matematika 2
14.6 Mocninn´e ˇrady
Definice Mocninnou ˇradou o stˇredu z0 ∈ C rozum´ıme ˇradu P∞ a (z − z0 )k , kde z ∈ C a ak ∈ C pro kaˇzd´e k ∈ N ∪ {0}. k=0 k
J. Stebel
Matematika 2
14.6 Mocninn´e ˇrady
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.17 P k Necht’ ∞ a ˇrada. Pak existuje nez´aporn´y k=0 ak (z − z0 ) je mocninn´ ∗ prvek R ∈ R takov´y, ˇze pro kaˇzd´e z ∈ C, |z − z0 | < R, uveden´a ˇrada konverguje absolutnˇe, pro kaˇzd´e z ∈ C, |z − z0 | > R, uveden´a ˇrada diverguje. Plat´ı R=
1 limk→∞
p , k |ak |
pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. V´yrazu 1/0 zde pˇriˇrazujeme hodnotu R = +∞ a v´yrazu 1/∞ pˇriˇrazujeme hodnotu R = 0.
J. Stebel
Matematika 2
14.6 Mocninn´e ˇrady
(pokraˇ c.)
Pozn´ amka. Plat´ı tak´e R=
1
ak+1 , limk→∞ ak
pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. V´yrazu 1/0 zde opˇet pˇriˇrazujeme hodnotu R = +∞ a v´yrazu 1/∞ pˇriˇrazujeme hodnotu R = 0. Definice PrvekPR z pˇredchoz´ı vˇety naz´yv´ame polomˇ erem konvergence k . Kruh v komplexn´ ˇrady ∞ a (z − z ) ı rovinˇ e 0 k k=0 KR (z0 ) := {z ∈ C; |z − z0 | < R} naz´yv´ame kruhem konvergence, a kruˇznici KR (z0 ) := {z ∈ C; |z − z0 | = R} naz´yv´ame konvergenˇ cn´ı kruˇ znic´ı dan´e ˇrady.
J. Stebel
Matematika 2
14.6 Mocninn´e ˇrady
(pokraˇ c.)
Pozn´ amka. V dalˇs´ım textu budeme pouˇz´ıvat pojem derivace komplexn´ı funkce, kter´y je definov´an form´alnˇe zcela stejnˇe jako pojem derivace re´aln´e funkce re´aln´e promˇenn´e. Tedy, ˇrekneme, ˇze f : C → C m´a derivaci v bodˇe z ∈ C, pokud existuje limita f 0 (z) := lim
w →z
f (w ) − f (z) ∈ C. w −z
Na rozd´ıl od re´aln´ych funkc´ı nedefinujeme v tomto pˇr´ıpadˇe pojem nevlastn´ı limity (derivace), ani pojmy jednostrann´a limita (derivace).
J. Stebel
Matematika 2
14.6 Mocninn´e ˇrady
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.18 ’ Necht erem konvergence mocninn´e ˇrady P∞ R > 0 je polomˇ n n=0 an (z − z0 ) . Definujme f (z) :=
∞ X
an (z − z0 )n ,
|z − z0 | < R.
n=0
Potom ˇrada plat´ı
P∞
n=1 nan (z
f 0 (z) =
∞ X
− z0 )n−1 konverguje pro |z − z0 | < R a
nan (z − z0 )n−1 ,
|z − z0 | < R.
n=1
J. Stebel
Matematika 2
14.6 Mocninn´e ˇrady
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.19 Necht’ f je jako ve Vˇetˇe 14.18. Potom m´a f derivace vˇsech ˇr´ad˚ u pro z ∈ C, |z − z0 | < R, a plat´ı: f
(k)
(z) =
∞ X
n(n − 1) . . . (n − k + 1)an (z − z0 )n−k .
n=k
Speci´alnˇe plat´ı f (k) (z0 ) = k!ak .
J. Stebel
Matematika 2
14.6 Mocninn´e ˇrady
(pokraˇ c.)
Pozn´ amka. Mocninnou ˇradu lze tedy uvnitˇr kruhu konvergence libovolnˇekr´at derivovat (a integrovat) ˇclen po ˇclenu, aniˇz se zmˇen´ı polomˇer konvergence. Stejnˇe tak lze prov´adˇet uvnitˇr kruhu konvergence vˇsechny v´yˇse sepsan´e aritmetick´e operace, vˇcetnˇe pˇrerovn´an´ı ˇrady.
J. Stebel
Matematika 2
14.6 Mocninn´e ˇrady
(pokraˇ c.)
Vˇeta 14.20 (Abel) ’ Necht Vˇetˇe 14.18 a necht’ ˇ c´ıseln´ a ˇrada P∞ f je jako ve n a (z − z ) konverguje pro nˇ e jak´ e z ∈ C, leˇz´ıc´ı na n 0 n=0 konvergenˇcn´ı kruˇznici, tedy pro z = z0 + Re iϕ , ϕ ∈ h0, 2π). Potom existuje vlastn´ı limita limr →R− f (z0 + re iϕ ) a plat´ı: ∞ X n=0
an (z − z0 )n =
∞ X
an R n e inϕ = lim f (z0 + re iϕ ) .
n=0
r →R−
P n Speci´alnˇe, pokud konverguje ˇc´ıseln´a ˇrada ∞ n=0 an R , je P ∞ n e je n=0 an R = limx→R− f (x), a podobnˇ P∞ n a R n = lim (−1) f (x) za pˇ redpokladu, ˇze ˇc´ıseln´a n x→−R+ n=0P ∞ n n ˇrada n=0 (−1) an R konverguje.
J. Stebel
Matematika 2
14.6 Mocninn´e ˇrady
(pokraˇ c.)
Pˇr´ıklady: Nˇ ekter´ a z pouˇ zit´ı teorie ˇ c´ıseln´ ych a mocninn´ ych ˇrad: Rozv´ıjen´ı funkc´ı do Taylorov´ych ˇrad pomoc´ı derivov´an´ı a integrovan´ı ˇrady (ln(1 + x), arctg x). Sˇc´ıt´an´ı nˇekter´ych ˇc´ıseln´ych (i mocninn´ych) ˇrad (ln 2, π 4 = arctg 1). Hled´an´ı ˇreˇsen´ı ODR ve tvaru ˇrady.
J. Stebel
Matematika 2
