Fyzika Laboratorní cvičení. Doc. RNDr. Stanislav Bartoň, CSc. RNDr. Ivo Křivánek, CSc. Ing. Libor Severa, Ph.D

Fyzika – Laboratorní cviˇcení Doc. RNDr. Stanislav Barton, ˇ CSc. RNDr. Ivo Kˇrivánek, CSc. Ing. Libor Severa, Ph.D. 7. února 2005

2

3

Obsah Pˇredmluva 1

. . . . .

9 9 14 16 17 17

2

Vyrovnání mˇerˇení 2.1 Metoda nejmenších cˇ tvercu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vyrovnání pˇrímkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 21 21

3

Protokol o mˇerˇení 3.1 Hlaviˇcka . . . . . . . . . . . 3.2 Teoretický základ mˇerˇ ení . . 3.3 Pracovní postup . . . . . . . 3.4 Výsledky a jejich zpracování 3.5 Grafické znázornˇení . . . . . 3.6 Závˇer . . . . . . . . . . . . . 3.7 Kontrolní otázky . . . . . .

. . . . . . .

23 23 23 24 24 24 26 27

. . . . . . .

29 29 29 30 30 33 33 34

4

Zpracování výsledku˚ mˇerˇení 1.1 Chyby mˇerˇ ení . . . . . . . 1.2 Vzorce pro chyby mˇerˇ ení . 1.3 Chyba jediného mˇerˇ ení . . 1.4 Stanovení chyby výpoˇctu 1.5 Kontrolní otázky . . . . .

7

. . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

Stanovení koeficientu statického a dynamického tˇrení 4.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Experimentální uspoˇrádání . . . . . . . . . . . . . 4.3 Mˇerˇ ení a vyhodnocení . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Koeficient statického tˇrení . . . . . . . . . . 4.3.2 Koeficient dynamického tˇrení . . . . . . . . 4.4 Diskuse a závˇer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

4 5

6

7

8

9

Mˇerˇení pevnosti slupky dužnatých plodin 5.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Experimentální uspoˇrádání . . . . . . 5.3 Mˇerˇ ení a vyhodnocení . . . . . . . . . 5.4 Diskuse a závˇer . . . . . . . . . . . . . 5.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . .

. . . . .

35 35 35 36 37 37

. . . . .

39 39 39 40 42 42

. . . . . . . .

43 43 43 43 44 44 47 48 48

. . . . .

49 49 49 50 53 53

Stanovení hustoty pevných a kapalných látek 9.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Experimentální uspoˇrádání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Pevné látky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Kapaliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Mˇerˇ ení a vyhodnocení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Stanovení hustoty kvádru pˇrímou a hydrostatickou metodou 9.3.2 Stanovení hustoty vody a lihu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Diskuse a závˇer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 55 56 57 58 58 58 58 59

Urˇcení modulu pružnosti v tahu 6.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . 6.2 Experimentální uspoˇrádání 6.3 Mˇerˇ ení a vyhodnocení . . . 6.4 Závˇer a diskuse . . . . . . . 6.5 Kontrolní otázky . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Mˇerˇení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 7.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Matematická kyvadla . . . . . . . . . 7.1.2 Fyzikální kyvadla . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Reverzní kyvadlo . . . . . . . . . . . . 7.2 Experimentální uspoˇrádání . . . . . . . . . . 7.3 Mˇerˇ ení a vyhodnocení . . . . . . . . . . . . . 7.4 Závˇer a diskuse . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . Mˇerˇení úˇcinnosti sluneˇcního kolektoru 8.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Experimentální uspoˇrádání . . . . 8.3 Mˇerˇ ení a vyhodnocení . . . . . . . 8.4 Závˇer a diskuse . . . . . . . . . . . 8.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

5 10 Stanovení mˇerného tepla pevných látek 10.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Experimentální uspoˇrádání . . . . . 10.2.1 Smˇešovací kalorimetr . . . . 10.2.2 Elektrický kalorimetr . . . . . 10.3 Mˇerˇ ení a vyhodnocení . . . . . . . . 10.3.1 Smˇešovací kalorimetr . . . . 10.3.2 Elektrický kalorimetr . . . . . 10.4 Závˇer a diskuse . . . . . . . . . . . . 10.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

11 Úvod do mˇerˇení elektrických veliˇcin ruznými ˚ typy mˇerˇících pˇrístroju˚ 11.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Experimentální uspoˇrádání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Mˇerˇ ení a vyhodnocení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Závˇer a diskuse výsledku˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

61 61 62 62 63 64 64 65 65 65

. . . . .

67 67 67 69 70 70

12 Mˇerˇení elektrických odporu˚ 12.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Experimentální uspoˇrádání . . . . 12.2.1 Pˇrímé mˇerˇ ení odporu˚ . . . 12.2.2 Substituˇcní metoda . . . . . 12.2.3 Mˇerˇ ení pˇrístrojem . . . . . . 12.3 Mˇerˇ ení a vyhodnocení . . . . . . . 12.3.1 Mˇerˇ ení pˇrístrojem OMEGA 12.3.2 Pˇrímá metoda . . . . . . . . 12.3.3 Substituˇcní metoda . . . . . 12.4 Závˇer a diskuse . . . . . . . . . . . 12.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

71 71 71 71 73 73 74 74 75 75 76 76

13 Kalibrace termoˇclánku 13.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . 13.2 Experimentální uspoˇrádání 13.3 Mˇerˇ ení a záznam dat . . . . 13.4 Manuální zpracování dat . . 13.5 Poˇcítaˇcové zpracování dat . 13.6 Diskuse a závˇer . . . . . . . 13.7 Kontrolní otázky . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

77 77 78 78 81 81 82 82

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

14 Stanovení indexu lomu a cukernatosti vodného roztoku sacharózy refraktometrem 83 14.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 14.2 14.3 14.4 14.5

Experimentální uspoˇrádání Mˇerˇ ení a vyhodnocení . . . Závˇer a diskuse . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . .

15 Stanovení koncentrace vodného rem 15.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . 15.2 Experimentální uspoˇrádání 15.3 Mˇerˇ ení a vyhodnocení . . . 15.4 Závˇer a diskuse . . . . . . . 15.5 Kontrolní otázky . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

84 85 86 86

roztoku sacharózy kruhovým polarimet. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Tabulky Koeficienty dynamického tˇrení . . . . . . . . . . . Younguv ˚ modul pružnosti vybraných materiálu˚ . Hustoty vybraných materiálu˚ . . . . . . . . . . . . Graf závislosti koncetrace lihu na hustotˇe roztoku Mˇerná tepla vybraných materiálu˚ . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

87 87 88 88 90 90

. . . . .

91 91 91 92 93 94

Doporuˇcená literatura

95

Rejstˇrík

97

7

Pˇredmluva Mˇerˇ ení ruzných ˚ veliˇcin a charakteristik technických, pˇrírodních i biologických procesu˚ patˇrí do náplnˇe cˇ innosti zemˇedˇelského nebo lesnického inženýra. Proto je nutné, aby si každý student osvojil praktické postupy pˇri mˇerˇ ení základních fyzikálních veliˇcin, dokázal stanovit nebo odhadnout chyby mˇerˇ ení a také výsledky svých mˇerˇ ení dokázal vhodným zpusobem ˚ zpracovat a prezentovat. Z tˇechto duvod ˚ u˚ je možné tato skripta rozdˇelit na nˇekolik cˇ ástí. V cˇ ásti první se student seznámí s problematikou stanovení chyby mˇerˇ ení a jejím výpoˇctem a stanovením relativní chyby mˇerˇ ení. Na závˇer je objasnˇeno jak stanovit chybu výpoˇctu, pokud jsou hodnoty, které se do výpoˇctu dosazují známy pouze s urˇcitou pˇresností. V druhé cˇ ásti jsou vysvˇetleny základy a použití metody nejmenších cˇ tvercu. ˚ Protože v souˇcasné dobˇe se již použití výpoˇcetní techniky stává samozˇrejmostí, je možné tuto metodu považovat za standardní. Její teoretické zvládnutí není pˇríliš obtížné a numerické výpoˇcty se dají provést již s pomocí jednoduché kalkulaˇcky. V cˇ ásti tˇretí jsou položeny základy správného postupu pˇri zpracování protokolu o mˇerˇ ení. Je zduraznˇ ˚ eno co a v jaké formˇe každý protokol musí obsahovat. Zvláštní duraz ˚ je kladen na tvorbu grafické dokumentace. Protože grafy se dnes již vˇetšinou tvoˇrí za pomoci výpoˇcetní techniky, je možné zvýšit nároˇcnost na jejich zpracování a z tohoto hlediska se pˇristupovalo i ke zpracování této cˇ ásti skript. V nejrozsáhlejší cˇ ásti je podán detailní popis základních úloh, tak jak se realizují v laboratoˇrích MZLU. Na zaˇcátku každé úlohy je krátký úvod do teorie potˇrebné k pochopení procviˇcované problematiky. Pak následuje popis mˇerˇ icí metody a jejího praktického provedení. Následuje výklad zpracování výsledku, ˚ pˇrípadnˇe tvorby grafu z mˇerˇ ení a požadavky na údaje, které jsou oˇcekávány v závˇeru. Na konci každé kapitoly je seznam nˇekolika kontrolních otázek. Pˇri odevzdávání protokolu ke kontrole musí student prokázat, že na nˇe zná odpovˇedi a že tedy ví, co a jak mˇerˇ il a jakým zpusobem ˚ a proˇc dospˇel ke stanoviskum, ˚ která zaujímá v závˇeru protokolu. Teprve po tomto tzv. "otestování" protokolu je možné považovat vykonané mˇerˇ ení za ukonˇcené a protokol za odevzdaný. Poˇcet a výbˇer laboratorních úloh, které bude nutno absolvovat, aby studentovi mohl být udˇelen zápoˇcet, stanoví vedoucí cviˇcení na úvodní hodinˇe. Zde se také studenti seznámí s pˇrípadnými odlišnostmi oproti stavu uvedenému ve skriptech.

8

Barton, ˇ Kˇrivánek, Severa

Nutnou podmínkou pro absolvování laboratorních cviˇcení je úˇcast na školení o bezpeˇcnosti práce v laboratoˇrích. Pokud student tímto školením neprojde a nepotvrdí, že byl seznámen s základními bezpeˇcnostními pˇredpisy na odpovídajícím formuláˇri, nebude mu povolen vstup do laboratoˇrí! V Brnˇe, leden 2005

Doc. RNDr. Stanislav Barton, ˇ CSc. RNDr. Ivo Kˇrivánek, CSc. Ing. Libor Severa, Ph.D.

9

Kapitola 1 Zpracování výsledku˚ mˇerˇení 1.1

Chyby mˇerˇení

Pˇri každém mˇerˇ ení se dopouštíme chyb. Jsou nutným následkem nedokonalosti našich smyslu, ˚ nepˇresnosti mˇerˇ icích pˇrístroju˚ a nemožnosti splnit zcela pˇresnˇe podmínky mˇerˇ ení, jako je napˇr. cˇ asová a místní stálost teploty, nepromˇennost tlaku vzduchu nebo jeho vlhkosti apod. Koneˇcnˇe i ruzné ˚ rušivé vnˇejší vlivy, které nelze úplnˇe odstranit (jako otˇresy, tepelné záˇrení, vnˇejší magnetické pole atd.), mohou mít vliv na výsledek mˇerˇ ení. I když se snažíme všechny nepˇríznivé okolnosti co nejvíce zmírnit, musíme si být vˇedomi toho, že dokonale pˇresná mˇerˇ ení nejsou a nemohou být již proto, že samým mˇerˇ ením do jisté míry mˇeníme mˇerˇ enou veliˇcinu, takže pˇresnˇe vzato namˇerˇ ená hodnota ani nemuže ˚ být naprosto totožná s puvodní ˚ hodnotou veliˇciny. Nejnázornˇeji se projevuje existence chyb tím, že pˇri opakování téhož mˇerˇ ení nedostáváme – mimo zcela výjimeˇcnˇe náhodné pˇrípady – zcela stejné výsledky. Tuto ruznost ˚ výsledku˚ vysvˇetlujeme právˇe ruzností ˚ chyb, jichž jsme se pˇri mˇerˇ ení dopustili, pˇri cˇ emž na velikost chyb má vliv také okolnost, že není možné opakovat žádné mˇerˇ ení za naprosto stejných podmínek. Vlivy, které vedou k mˇerˇ icím chybám, lze rozdˇelit na dvˇe hlavní skupiny: 1. Do první skupiny zahrnujeme vlivy, které se vyskytují pˇri daném zpusobu ˚ mˇerˇ ení pravidelnˇe – systematicky – protože tkví v povaze mˇerˇ icí metody nebo jsou dány vlastnostmi pˇrístroju˚ a pozorovatele. Chyby jimi zpusobené ˚ zkreslují výsledek mˇerˇ ení také systematicky – urˇcitým zpusobem ˚ – a proto je nazýváme pravidelné, neboli systematické chyby. 2. Kromˇe toho pusobí ˚ pˇri mˇerˇ ení velký poˇcet rozmanitých nepravidelných vlivu, ˚ které se uplatnují ˇ náhodnˇe podle okamžitých podmínek jednotlivých mˇerˇ ení. Jimi zpusobené ˚ zmˇeny mˇerˇ ených hodnot nazýváme proto chyby náhodné. Pokud jde o chyby soustavné, umožnuje ˇ nám právˇe jejich pravidelnost zjistit jejich velikost bud’ experimentálnˇe, nebo výpoˇctem, cˇ i alesponˇ odhadem. Tak je možno vzít je v úvahu a opravit mˇerˇ ené hodnoty a eliminovat tak jejich vliv. Proto dˇeláme kontrolu dosažených výsledku, ˚ a to výpoˇctem ze známých teoretických nebo experimentálních vzorcu˚ a snažíme se postihnout všechny vlivy, které by mohly mˇerˇ ení zkreslovat známým zpusobem. ˚ Kontrolujeme pˇrístroje pˇresnˇejšími metodami nebo


10

tak, že srovnáváme mˇerˇ enou veliˇcinu s etalony nebo s tˇelesy, pro která známe hodnotu hledané veliˇciny apod. Tak napˇr. pˇri vážení na vzduchu vzniká soustavná chyba, protože pro nestejný vztlak vzduchu jsou látky rˇ idší než závaží nadlehˇcovány více, látky hustší než závaží ménˇe. Ze známé hustoty vzduchu však mužeme ˚ vypoˇcítat opravu na vztlak, a tak chybu vylouˇcit. Podobnˇe pˇri mˇerˇ ení teploty mohou vzniknout systematické chyby napˇr. nedokonalým stykem teplomˇerné nádoby teplomˇeru s mˇerˇ eným prostˇredím. To je chyba metody, zatímco nesprávnˇe nanesená stupnice vede k systematickým chybám, zavinˇeným mˇerˇ icím pˇrístrojem. Stejnˇe je tomu napˇr. u nepˇresnˇe rovnoramenných vah, u ampérmetru˚ s nepˇresnou nulovou polohou apod. Na rozdíl od pravidelných chyb, vyskytují se chyby náhodné vždycky a jejich existence se projevuje tím, že se vždy ponˇekud liší výsledky, které získáme mˇerˇ eními opakovanými za myslitelnˇe stejných podmínek. Právˇe tyto rozdíly mezi jednotlivými výsledky opakovaných mˇerˇ ení nám umožnují ˇ odhadnout velikost náhodných chyb, nebo asponˇ jejich rˇ ád, a podle nich posoudit pˇresnost provedených mˇerˇ ení. Nepravidelnost náhodných chyb je vlastnost, která tyto chyby odlišuje od chyb pravidelných a umožnuje ˇ posoudit jejich vliv na výsledek mˇerˇ ení. Na první pohled se zdá naprostá nepravidelnost náhodných chyb pˇrekážkou jejich zhodnocení, ale je tomu právˇe naopak, provedeme–li velký poˇcet mˇerˇ ení. Pˇri rostoucím poˇctu mˇerˇ ení se totiž uplatní statistické zákonitosti, které plynou z poˇctu pravdˇepodobnosti. Takové statistické zákony nedávají ovšem výsledky platné pro každý jednotlivý pˇrípad, ale jen pro velmi poˇcetné souhrny - rˇ ady mˇerˇ ení. V moderní fyzice se potkáváme cˇ astˇeji se statistickými zákony, které neˇríkají nic o individuálních pˇrípadech, ale pouˇcují nás o jistých stˇredních hodnotách; stˇrední hodnoty nás vedou od nepozorovatelných jednotlivých pˇrípadu˚ k zákonum ˚ platným pro souhrnné nebo prumˇ ˚ erné hodnoty, které jsou pˇrístupné pozorování. V dalším výkladu se omezíme na to, že uvedeme pouze hlavní výsledky, které plynou pro náhodné chyby z poˇctu pravdˇepodobnosti. Z tzv. hypotézy elementárních chyb vyplývá, že náhodné chyby pˇri velikém poˇctu mˇerˇ ení jsou rozloženy podle jistého zákona, který se obvykle nazývá normální zákon cˇ etnosti (Gaussuv). ˚ Gaussuv ˚ zákon je zákon statistický, který lze chápat exaktnˇe jen pro mezní pˇrípad nekoneˇcného poˇctu chyb. Pˇresnˇeji rˇ eˇceno je to zákon, který je tím dokonaleji splnˇen, cˇ ím více stoupá poˇcet mˇerˇ ení. Pro jakoukoli skuteˇcnou rˇ adu mˇerˇ ení platí jen pˇribližnˇe – odchylky jsou tím pravdˇepodobnˇejší, cˇ ím ménˇe poˇcetná je tato rˇ ada. Máme–li tedy na mysli veliký poˇcet n chyb, mužeme ˚ charakterizovat jejich rozložení podle velikostí na základˇe pojmu cˇ etnosti. Pˇri koneˇcném poˇctu n je ovšem poˇcet chyb zcela urˇcité – jediné, velikosti rovný nule. Zvolíme-li ale jisté rozmezí velikostí chyb kolem hodnoty , dané hodnotami ± ∆/2, a dˇelímeli poˇcet chyb ∆ν obsažených v intervalu šíˇrkou intervalu ∆, dostaneme prumˇ ˚ ernou cˇ etnost ∆ν/∆. ˇ Je cˇ íselnˇe zhruba rovna poˇctu chyb v malém jednotkovém intervalu. Cetnost y() chyby urˇcité velikosti je pak daná mezní hodnotou – limitou y() =

∆ν dν = lim , d ∆→0 ∆

Zpracování výsledku˚ mˇerˇ ení

11

která už je nezávislá na velikosti intervalu a závisí jen na velikosti chyby a ovšem na poˇctu mˇerˇ ení. Kdybychom opakovali vˇetší poˇcet n mˇerˇ ení k×, pak by pˇri stejných podmínkách bylo v každém intervalu velmi pˇribližnˇe k× více chyb. Z toho soudíme, že cˇ etnost je úmˇerná celkovému poˇctu mˇerˇ ení. Proto zavádíme cˇ etnost relativní neboli pomˇernou, 1 dν y() = , η() = n n d která charakterizuje rozložení chyb pˇri daném zpusobu ˚ mˇerˇ ení nezávislé na poˇctu provedených mˇerˇ ení. Násobíme–li relativní cˇ etnost šíˇrkou intervalu, dostaneme výraz dν dP() = η() d = n rovný pomˇeru poˇctu dν chyb v intervalu d k poˇctu n všech chyb. Tento pomˇer má duležitý ˚ statistický význam: Provedeme-li veliký poˇcet mˇerˇ ení, je pravdˇepodobnost, že chyba náhodˇe vybraného mˇerˇ ení leží v intervalu ±

1 d 2

rovna poˇctu chyb v tomto intervalu, dˇelenému poˇctem všech chyb (tj. poˇctu pˇríznivých pˇrípadu, ˚ dˇelenému poˇctem všech možných pˇrípadu). ˚ Je tedy dP() pravdˇepodobnost výskytu chyby v daném intervalu, z níž dˇelením jeho šíˇrkou d dostaneme dP () = η() . d To je pravdˇepodobnost, že chyba leží v intervalu jednotkové šíˇrky. Jak je z uvedeného vztahu patrno, mužeme ˚ nazvat relativní cˇ etnost η() také hustotou pravdˇepodobnosti. Pravdˇepodobnost, že chyba leží v širších mezích, napˇr. mezi hodnotami −α, +α, dostaneme, dˇelíme-li celkový poˇcet chyb ve všech intervalech šíˇrky d, ležícím mezi −α, +α, poˇctem n všech mˇerˇ ení. V mezním pˇrípadˇe nekoneˇcnˇe malých intervalu˚ pˇrejde tento souˇcet v integrál, takže pravdˇepodobnost P (≤ α) =

Z

+α

η() d . α

(1.1)

Symbol P (≤ α) tedy oznaˇcuje pravdˇepodobnost, že prostá velikost chyby nepˇrekroˇcí danou hodnotu. Mužeme ˚ ji urˇcit integrací, známe-li funkci η(), kterou urˇcili Laplace a Gauss ve tvaru h 2 2 (1.2) η() = √ e−h , π kde h je reálná konstanta, (míra pˇresnosti). Tato rovnice vyjadˇruje Laplace–Gaussuv ˚ normální zákon chyb. Plynou z nˇeho dva dusledky. ˚ Poˇcet kladných i záporných chyb je stejný a jejich cˇ etnost klesá s rostoucí velikostí chyby. Tedy velké chyby jsou ménˇe cˇ etné než chyby malé. Lze to sledovat na obr. 1.1, kde je prubˇ ˚ eh funkce (1.2) zobrazen pro nˇekolik hodnot konstanty h. Vidíme, že nejvˇetší pomˇernou cˇ etnost mají


12

Obrázek 1.1: Gaussovy kˇrivky pro ruzné ˚ míry pˇresnosti chyby nulové; její velikost je podle (1.2) h η(0) = η0 = √ , π ˇ je tedy úmˇerná míˇre pˇresnosti h, která se také nazývá prostˇe pˇresnost. Cím vˇetší je pˇresnost h, tím tˇesnˇeji jsou mˇerˇ ené hodnoty nakupeny kolem správné hodnoty, = 0 a tím menší je poˇcet vˇetších chyb. Pˇresnost mˇerˇ ení se cˇ astˇeji než konstantou h vyjadˇruje stˇrední hodnotou chyb, kterou lze poˇcítat ruzným ˚ zpusobem. ˚ Aritmetický prumˇ ˚ er všech chyb je pˇri stejném rozložení kladných a záporných chyb roven nule, a proto zavádíme stˇrední kvadratickou chybu σ, také nazývanou smˇerodatná odchylka, zvanou struˇcnˇeji, ale nesprávnˇe stˇrední chyba, která je definována tak, že její cˇ tverec je rovný aritmetickému prumˇ ˚ eru cˇ tvercu˚ všech chyb. n 2 2 + 22 + . . . + 2n = i=1 i . (1.3) σ = 1 n n Jak plyne výpoˇctem z normálního zákona cˇ etnosti, je stˇrední chyba nepˇrímo úmˇerná pˇresnosti h: 1 σ=√ (1.4) 2h a její dvojnásobek urˇcuje šíˇrku Gaussovy kˇrivky, (jak se struˇcnˇe nazývá geometrické znázornˇení normálního zákona) v místˇe, kde je kˇrivka nejstrmˇejší; jinak rˇ eˇceno kde má Gaussova kˇrivka pro = ±σ body obratu, D1 a D2 , viz obr. 1.2. Jinou veliˇcinou, která vhodnˇe vyjadˇruje stˇrední hodnotu chyb, je prumˇ ˚ erná, stˇrední chyba, definovaná jako aritmetický prumˇ ˚ er absolutních hodnot chyb jednotlivých mˇerˇ ení,

P

2

Pn

λ=

i=1

n

|i |

.

(1.5)


13

Obrázek 1.2: Geometrické významy chyb Prumˇ ˚ erná chyba souvisí s mírou pˇresnosti a se stˇrední kvadratickou chybou vztahy 1 = λ= √ πh

s

2 σ. π

Ve fyzice se velmi cˇ asto posuzuje pˇresnost mˇerˇ ení podle tzv. pravdˇepodobné chyby θ, která je definována tak, že plocha Gaussovy kˇrivky mezi souˇradnicemi, vzdálenými od její osy o délky ±θ, (na obrázku 1.2 je šedá), je rovna polovinˇe plochy vymezené osou a celou kˇrivkou. To znamená, že z velkého poˇctu mˇerˇ ení má polovina mˇerˇ ených hodnot chybu menší a polovina chybu vˇetší než pravdˇepodobná chyba. Pravdˇepodobnost, že velikost chyby náhodnˇe vybraného mˇerˇ ení nepˇrekroˇcí θ, je tedy rovna jedné polovinˇe. Podle rovnice (1.1) je pravdˇepodobná chyba urˇcena vztahem P (≤ θ) =

+θ

Z

η() d = −θ

1 . 2

Dosadíme-li za η() z (1.2), dostaneme podmínku h Z √ π

+θ

e−h

2 2

d =

−θ

z které lze složitˇejším výpoˇctem odvodit θ=

0.4769 , h

1 , 2


14 takže vzhledem k (1.4) θ=

0.4769 √1 2σ

= 0.6745 σ ≈

2 σ, 3

(1.6)

jak je nakresleno na obrázku 1.2. Pravdˇepodobná chyba je tedy rovna pˇribližnˇe dvˇema tˇretinám chyby stˇrední, pro kterou plyne z teorie pravdˇepodobnost 68%, že nebude pˇrekroˇcena. Gaussova kˇrivka neprotíná nikde osu , a proto nelze teoreticky vylouˇcit sebevˇetší chybu. Nemužeme ˚ tedy najít nˇejakou maximální chybu, která by nemohla být nikdy pˇrekroˇcena. Naopak musíme oˇcekávat, že tím spíše se objeví vˇetší chyby, cˇ ím vˇetší poˇcet mˇerˇ ení provedeme. Chyba rovná trojnásobné stˇrední chybˇe, tj. 9 κ = 3σ ≈ θ , 2 se nˇekdy nazývá krajní chybou, protože pro pravdˇepodobnost, že bude pˇrekroˇcena, plyne z teorie malá hodnota 0.0027 [P (≤ κ) = 0.9973]. Proto mužeme ˚ oˇcekávat, že se chyba vˇetší než trojnásobek stˇrední chyby nebo zhruba cˇ tyˇriapulnásobek ˚ pravdˇepodobné chyby vyskytne teprve v rˇ adˇe mˇerˇ ení o 300 cˇ lenech a nevyskytne se vubec ˚ pˇri obvyklých mˇerˇ eních o mnohem menším poˇctu cˇ lenu. ˚

1.2

Vzorce pro chyby mˇerˇení

V pˇredchozí cˇ ásti jsme vyložili, že pˇresnost rˇ ady mˇerˇ ení posuzujeme podle velikosti pravdˇepodobné chyby θ, pˇribližnˇe rovné 2/3 σ. Výpoˇcet podle vzorce sP

σ=

n 2 i=1 i

n

(1.7)

,

který plyne z definice (1.3), však vyžaduje znalost skuteˇcných chyb 1 , . . . n . Kdybychom je znali, znali bychom již skuteˇcnou hodnotu mˇerˇ ené veliˇciny a byly by zbyteˇcné další úvahy o chybách. Je jasné, že problém se dá rˇ ešit jen statisticky. K tomu užijeme aritmetického prumˇ ˚ eru x¯, který snadno vypoˇcteme z mˇerˇ ených hodnot x1 , . . . xn . Odeˇcteme-li od x¯ po rˇ adˇe hodnoty x1 , . . . xn , dostaneme odchylky od aritmetického prumˇ ˚ eru ∆1 = x¯ − x1 ,

∆2 = x¯ − x2 ,

∆n = x¯ − xn ,

které nazýváme též zdánlivé chyby, protože na rozdíl od skuteˇcných chyb jsou pocˇ ítány od aritmetického prumˇ ˚ eru x¯, místo od skuteˇcné hodnoty. Pˇri velkém poˇctu mˇerˇ ení se aritmetický prumˇ ˚ er x¯ liší jen málo od skuteˇcné hodnoty a totéž platí pro ∆i a i . Ostatnˇe lze matematicky dokázat, že platí pˇribližný vztah n X i=1

2i =

n n X ∆2 n − 1 i=1 i


15

ve shodˇe s poznatkem, že souˇcet cˇ tvercu˚ odchylek od aritmetického prumˇ ˚ eru je menší než souˇcet odchylek od každé jiné (i od skuteˇcné) hodnoty. Tento duležitý ˚ vztah nám umožnuje ˇ vypoˇcítat pravdˇepodobnou chybu podle vzorcu˚ (1.6) a (1.7): 2 2 θ≈ σ= 3 3

sP

n 2 i=1 i

n

2 = 3

sP

n i=1

∆2i , n−1

(1.8)

kde všechna ∆2i mají známé hodnoty. Veliˇcinu θ nazýváme pravdˇepodobnou chybou jednoho mˇerˇ ení, abychom ji odlišili od pravdˇepodobné chyby výsledku (aritmetického prumˇ ˚ eru). Z dalšího, ne pˇríliš jednoduchého výpoˇctu plyne, že pravdˇepodobná chyba arit√ ˚ metického prumˇ ˚ eru θ¯ je n × menší než chyba jednoho mˇerˇ ení. Podle (1.8) ji mužeme tedy poˇcítat ze vzorce v 2 u n ∆2 θ¯ = t i=1 i . 3 n(n − 1) uP

(1.9)

Vhodnˇejší je vzorec odvozený použitím vztahu (1.5), P

5 ∆+ q , θ¯ = 3 n (n − 1)

(1.10)

kde ∆+ znaˇcí kladné odchylky od prumˇ ˚ eru. Proto odchylky mˇerˇ ení, jejichž výsledek je vˇetší než prumˇ ˚ er x¯, vubec ˚ nemusíme poˇcítat. Poslední vzorec je zvláštˇe praktický v pˇrípadˇe 5, 10 a 50 mˇerˇ ení: 1X θ¯5 = ∆+ , 6

1 X θ¯10 = ∆+ , 18

1 X θ¯50 = ∆+ . 210

Z tohoto výkladu plyne tento jednoduchý postup zpracování pˇrímých a stejnˇe pˇresných mˇerˇ ení: 1. Vypoˇcteme aritmetický prumˇ ˚ er x¯ všech mˇerˇ ených hodnot. 2. Urˇcíme všechny kladné odchylky ∆+ , (zdánlivé chyby) tak, že odeˇcteme od prumˇ ˚ eru všechny hodnoty menší než prumˇ ˚ er. 3. Utvoˇríme souˇcet

∆+ tˇechto kladných odchylek. ¯ násobíce pˇredešlý souˇcet cˇ ís4. Vypoˇcteme√pravdˇepodobnou chybu prumˇ ˚ eru θ, lem 5/(3 n n − 1), kde n je poˇcet všech mˇerˇ ení. P

5. Výsledek mˇerˇ ení píšeme ve tvaru

X = x¯ ± θ¯x [Jednotky SI],

θ¯x θ¯r = · 100 % , x¯

kde θ¯r se nazývá relativní pravdˇepodobná chyba mˇerˇ ení. Nˇekdy se také oznacˇ uje η, nezamˇenovat ˇ s hustotou pravdˇepodobnosti η() ze vztahu (1.2)! Vztah


16

θ¯r = η nám rˇ íká, kolik procent z prumˇ ˚ erné hodnoty x¯ cˇ iní pravdˇepodobná ¯ Je nutné zduraznit, chyba θ. ˚ že pouze relativní chyba nám umožnuje ˇ porovnávat mezi sebou ruzná ˚ fyzikální mˇerˇ ení. Odpovˇed’ na otázku: Které mˇerˇení je pˇresnˇejší 6 kg ± 74 g nebo 1200 km ± 150 m?, lze rozhodnout pouze porovnáním relativních pˇresností navzájem. Velmi pˇribližnˇe mužeme ˚ stanovit pˇresnosti mˇerˇ ení. θ¯r = η [%]

Hodnocení

≤1 (1, 3 > (3, 5 > (5, 10 > ≥ 10

Velmi pˇresné Pˇresné Prumˇ ˚ erné Nepˇresné Velmi nepˇresné

Pˇritom uvádíme chybu nejvýše s numerickou pˇresností maximálnˇe o dvˇe (platná) místa vyšší, než je numerická pˇresnost namˇerˇ ených hodnot a poˇcet platných cˇ íslic v prumˇ ˚ eru uvádíme o jednu vyšší. Tento bˇežný zpusob ˚ psaní neznamená ovšem, že správný (skuteˇcný) výsledek leží urˇcitˇe uvnitˇr mezí udaných pravdˇepodobnou chybou, uvedenou s obˇema znaménky za nejpravdˇepodobnˇejším výsledkem, nýbrž že mezi nimi leží pravdˇepodobnˇe, tj. s pravdˇepodobností rovnou jedné polovinˇe. Vzorec (1.9) i (1.10) je zejména výhodný pˇri zpracování výsledku˚ mˇerˇ ení, oba vztahy byly odvozeny za pˇredpokladu, že jde o velký poˇcet mˇerˇ ení. Pro malý poˇcet platí jen velmi pˇribližnˇe, nebot’ vztahy odvozené z poˇctu pravdˇepodobnosti jsou vždy jen pˇribližné a jejich platnost je tím ménˇe zaruˇcena, cˇ ím menší je poˇcet mˇerˇ ení. Pokud oba vztahy, jež byly odvozeny z Gaussova zákona, dávají stejné výsledky, pak jde o normální rozložení chyb, (viz obr. 1.1). Liší–li se rozložení chyb od normálního, budou oba vztahy udávat hodnoty ponˇekud rozdílné.

1.3

Chyba jediného mˇerˇení

Velmi cˇ asto se stane, že z ruzných ˚ duvod ˚ u˚ je možné provést pouze jedno jediné mˇerˇ ení. Samozˇrejmˇe i toto mˇerˇ ení je provedeno s urˇcitou pˇresností. Jak ji však urˇcit, když na jedno mˇerˇ ení již statistický pˇrístup skuteˇcnˇe nelze použít? V tomto pˇrípadˇe je možné si pomoci stanovením pˇresnosti mˇerˇ icích pˇrístroju. ˚ U nˇekterých mˇerˇ idel, napˇríklad elektrických je pˇrímo uvedená tˇrída pˇresnosti. Tak napˇríklad, je-li u voltmetru uvedena tˇrída pˇresnosti 1.5, znamená to, že namˇerˇ ená hodnota je urˇcena s chybou ±1.5% z použitého mˇerˇ ícího rozsahu. U dalších mˇerˇ idel zjistíme rˇ ád poslední platné cifry namˇerˇ ené hodnoty. Za chybu mˇerˇ ení pak volíme pˇribližnˇe cˇ tyˇrnásobek této hodnoty. Napˇríklad pˇri mˇerˇ ení pásmem byla stanovena vzdálenost 9 m 6 cm 5 mm. Mˇerˇ idlo je dˇeleno po pˇeti milimetrech, jsme tedy schopni mˇerˇ it s pˇresností cca. 20 mm. Takto stanovená chyba se cˇ asto také nazývá krajní chyba jednoho mˇerˇ ení κ.


1.4

17

Stanovení chyby výpoˇctu

Velmi cˇ asto se stává, že namˇerˇ ené hodnoty se dále zpracovávají. Pˇredpokládejme, že jsme po zpracování mˇerˇ ení získali hodnoty x¯ ± σx , y¯ ± σy a z¯ ± σz . Tyto hodnoty použijeme pro výpoˇcet hodnoty F , která je známou funkcí promˇenných x, y, z. Obecnˇe matematicky se tato skuteˇcnost zapíše F (x, y, z). Je zˇrejmé, že jsou-li konkrétní hodnoty veliˇcin x, y, z známy pouze s pˇresnostmi σx , σy , σz , pak musí i F být stanovena pouze s pˇresností σF . Pˇri jejím výpoˇctu se využije následujícího postupu. σF =

v u u ∂ F (x, y, z) t

∂x

!2

σx

+

∂ F (x, y, z) σy ∂y

!2

+

!2 ∂ F (x, y, z) σz x=x ¯ ∂z

y = y¯ z = z¯

Relativní chybu výsledku ηF pak vypoˇcteme jako ηF =

σF . F (¯ x, y¯, z¯)

Výše uvedený postup lze samozˇrejmˇe zobecnit i pro funkci více promˇenných.

1.5

Kontrolní otázky

1. Stanovte pravdˇepodobnou chybu zadaných pˇeti mˇerˇ ení. 2. Stanovte stˇrední kvadratickou chybu zadaných pˇeti mˇerˇ ení. 3. Stanovte relstivní chybu zadaných pˇeti mˇerˇ ení. 4. Urˇcete krajní chybu pˇredloženého mˇerˇ idla. 5. Urˇcete, které ze zadaných mˇerˇ ení je pˇresnˇejší. 6. Má smysl mˇerˇ ení provedené s relativní pˇresností ±100%? 7. Urˇcete pravdˇepodobnou chybu výsledku dle zadaného vztahu.

18


19

Kapitola 2 Vyrovnání mˇerˇení Velmi cˇ asto mˇerˇ ení fyzikální veliˇciny provádíme tak, že mˇerˇ íme její závislost na jiné veliˇcinˇe, která se v prubˇ ˚ ehu mˇerˇ ení mˇení, (typickým pˇríkladem je závislost na cˇ ase), nebo na veliˇcinˇe, jejíž hodnotu mužeme ˚ v prubˇ ˚ ehu mˇerˇ ení pˇrímo mˇenit, (typickým pˇríkladem jsou teplotní závislosti, deformace tˇelesa v závislosti na pusobící ˚ síle). Z prubˇ ˚ ehu závislé veliˇciny na veliˇcinˇe nezávislé pak mužeme ˚ urˇcit požadované charakteristiky zkoumaného problému. Uved’me typický pˇríklad: Pˇri mˇerˇ ení rovnomˇernˇe zrychleného, pˇrímoˇcarého pohybu jsme provedli v n cˇ asových okamžicích Ti , i = 1 · · · n, mˇerˇ ení polohy pohybujícího se tˇelesa a získali tak Si , i = 1 · · · n souˇradnic. Víme, že dráha S rovnomˇernˇe zrychleného, pˇrímoˇcarého pohybu závisí na cˇ ase t podle vztahu a t2 , S = s0 + v 0 t + 2

kde

   s0

= poˇcáteˇcní poloha tˇelesa v0 = poˇcáteˇcní rychlost tˇelesa   a = zrychlení tˇelesa .

Na stanovení neznámých veliˇcin by nám tak mohla staˇcit pouze tˇri mˇerˇ ení polohy. Je však jasné, že provedeme-li více mˇerˇ ení, podaˇrí se nám urˇcit hledané veliˇciny pˇresˇ nˇeji. Jak ale do výpoˇctu zahrnout všechny namˇerˇ ené hodnoty? Rešením je aplikace metody nejmenších cˇ tvercu. ˚

2.1

Metoda nejmenších cˇ tvercu˚

Princip metody je naznaˇcen na obrázku 2.1. Prázdné kroužky oznaˇcují v grafu polohu dvou bodu, ˚ které jsme získali mˇerˇ ením, [xi , yi ] a [xj , yj ]. Na souˇradnici x vynášíme nezávisle promˇennou veliˇcinu, na souˇradnici y vynášíme veliˇcinu, která je závisle promˇenná, tedy je funkcí x. Víme, jak vypadá teoretická závislost y = f (x) a že v ní napˇríklad vystupují tˇri neznámé parametry. Pro jednoduchost je oznaˇcme a, b, c. Závislost y na x pak zapíšeme ve tvaru y = f (x, a, b, c), aby bylo zˇrejmé jaké parametry ve funkci vystupují. Pokud by hodnoty a, b, c byly známy, pak bod o souˇradnici xi ležící na kˇrivce f (x) by mˇel souˇradnici y = f (xi ), obdobné platí i pro bod xj . Oznaˇcme ∆i = f (xi ) − xi , rozdíl mezi pˇresnou hodnotou, ležící na kˇrivce a hodnotou namˇerˇ enou. Je zˇrejmé, že tento rozdíl bude pouze funkcí a, b, c a jejich vhodnou volbou je možné jej minimalizovat. Není ale možné minimalizovat prostý sou-


20

Obrázek 2.1: Metoda nejmenších cˇ tvercu˚ cˇ et ni=1 ∆i , protože minimum tohoto souˇctu je −∞. Proto se minimalizuje souˇcet P druhých mocnin odchylek ni=1 ∆2i , protože jednotlivé hodnoty ∆2i jsou všechny kladné, a tudíž jejich souˇcet musí také být kladné cˇ íslo a nejnižší možné minimum pro kladná cˇ ísla je nula. Tento pˇrípad by ovšem nastal jen tehdy, kdyby všechny namˇerˇ ené body pˇresnˇe splnovaly ˇ hledanou funkˇcní závislost. Nalezení minima funkce více promˇenných je z matematického hlediska jednoP duchá záležitost. Derivace ni=1 ∆2i podle jednotlivých promˇenných a, b, c musí být rovny 0. Získáme tak 3 rovnice pro 3 promˇenné. V pˇrípadˇe, že hledané koeficienty a, b, c jsou ve funkci f (x, a, b, c) v lineárním tvaru, pak systém rovnic, který obdržíme je pro a, b, c lineární a jeho rˇ ešení je jednoduché. Výpoˇcet koeficientu˚ tedy provedeme následujícím zpusobem: ˚ P

1. Stanovíme souˇcet kvadrátu˚ odchylek SKO. SKO =

n X

(yi − f (xi , a, b, c))2 .

i=1

Souˇcet SKO je funkcí jen a, b, c, zapíšeme SKO = SKO(a, b, c). Hledáme takové hodnoty a, b, c, pro které dosáhne minimální možnou hodnotu. 2. Provedeme derivace Da =

dSKO , da

Db =

dSKO , db

Dc =

3. Z derivací Da , Db , Dc sestavíme systém rovnic Da = 0 ,

Db = 0 ,

Dc = 0

a pro a, b, c jej vyˇrešíme. Zobecnˇení postupu pro jiný poˇcet koeficientu˚ není složité.

dSKO . dc

Vyrovnání mˇerˇ ení

2.2

21

Vyrovnání pˇrímkou

Pˇredpokládejme opˇet, že jsme namˇerˇ ili n uspoˇrádaných dvojic [xi , yi ], i = 1 · · · n. Úkolem je stanovit koeficienty k a q, protože obecná rovnice pˇrímky je y = kx+q . Budeme-li postupovat podle návodu z pˇredešlé cˇ ásti lze odvodit: k=−

−Σ4 N + Σ3 Σ2 , Σ1 N − Σ2 2

q=

−Σ2 Σ4 + Σ3 Σ1 , Σ1 N − Σ2 2

kde jednotlivé Σi znamenají: Σ1 =

N X

x i 2 , Σ2 =

i=1

N X

x i , Σ3 =

i=1

N X

y i , Σ4 =

i=1

N X

yi xi .

i=1

V pˇrípadˇe závislosti bez absolutního cˇ lenu, pˇrímka prochází poˇcátkem y =Kx se vztahy zjednoduší Σ4 . Σ1 Pˇrestože výše uvedené vztahy vyhlížejí ponˇekud komplikovanˇe, ve skuteˇcnosti práce s nimi není tak zlá, pokud si uvˇedomíme, že všechny naznaˇcené sumace pˇredP cet všech namˇerˇ ených hodnot stavují pouze cˇ ísla. Napˇríklad N i=1 xi znamená souˇ PN 2 x1 + x2 + · · · + xN , i=1 xi znamená souˇcet druhých mocnin namˇerˇ ených hodnot K=

x21 + x22 + · · · + x2N a podobnˇe. Je nutné rozlišovat

2.3

PN

2 i=1 xi a

P

N i=1

2

xi !

Kontrolní otázky

1. Uved’te pˇríklad funkce y = f (x, a, b) obsahující sin x a cos x s lineárními koeficienty a, b. 2. Vysvˇetlete proˇc se liší

Pn

i=1

Pn

x2 od (

i=1

x)2 .

3. Proložte pˇrímku cˇ tyˇrmi body o zadaných souˇradnicích. 4. Proložte pˇrímku procházející poˇcátkem a pˇeti body o zadaných souˇradnicích .

22


23

Kapitola 3 Protokol o mˇerˇení Protokol o mˇerˇ ení musí obsahovat všechny potˇrebné údaje o provedeném mˇerˇ ení, tak aby bylo možné podle nˇej mˇerˇ ení kdykoliv zopakovat. Proto protokol musí obsahovat všechny náležitosti, které mohly mít vliv na namˇerˇ ené výsledky i na jejich pˇresnost. Z hlediska struktury protokolu jej mužeme ˚ rozdˇelit na nˇekolik základních cˇ ástí.

3.1

Hlaviˇcka

Pokud nevyplnujeme ˇ pˇredtištˇený formuláˇr, tak z hlaviˇcky protokolu musí být jasné: a) Co se mˇerˇ ilo - Název úlohy b) Kdo mˇerˇ il - Jméno, Pˇríjmení, Fakulta, roˇcník, studijní skupina, obor studia c) Kdy a kde mˇerˇ il - Den. Mˇesíc. Rok, Adresa laboratoˇre d) Podmínky mˇerˇ ení - Teplota, Tlak, Relativní vlhkost

3.2

Teoretický základ mˇerˇení

V této cˇ ásti je nutné v hlavních rysech vysvˇetlit, co a jak se bude mˇerˇ it, zduvod˚ nit vybrané postupy mˇerˇ ení, vyjmenovat potˇrebné mˇerˇ icí pˇrístroje a objasnit, co se dále bude s namˇerˇ enými hodnotami provádˇet. V pˇrípadˇe, že požadovanou veliˇcinu není možné mˇerˇ it pˇrímo, vysvˇetlí se zde jakým postupem ji z namˇerˇ ených hodnot vypoˇcteme. Vzhledem k tomu, že pˇresnost mˇerˇ ení závisí na vlastnostech jednotlivých mˇerˇ icích pˇrístroju, ˚ je nutné všechny použité pˇrístroje jednoznaˇcnˇe identifikovat, nejlépe podle tohoto schématu: Typ pˇrístroje Výrobce Výrobní cˇ íslo V pˇrípadˇe, že nˇekterý údaj chybí, pokusíme se jej nahradit jiným údajem, který by dokázal pˇrístroj jednoznaˇcnˇe identifikovat. Nejˇcastˇeji chybí na nˇekterých pˇrístrojích, dovezených ze zahraniˇcí, výrobní cˇ ísla. V tomto pˇrípadˇe se je pokusíme nahradit cˇ íslem inventárním, skladovým nebo jakoukoli jednoznaˇcnou identifikací pˇrístroje. Identifikace pˇrístroju˚ totiž umožní v pˇrípadˇe nutnosti opakování mˇerˇ ení zajistit naprosto identické podmínky s puvodním ˚ mˇerˇ ením.


24

3.3

Pracovní postup

Zde se vysvˇetlí schéma experimentálního uspoˇrádání, zapojení elektrického obvodu a podobnˇe. Velikou výhodou a úsporou cˇ asu pˇri popisu experimentu je schematický náˇcrt experimentu nebo obvodu. Zdurazní ˚ se zde, kde se nachází ovládací prvky, na nichž závisí velikost namˇerˇ ených hodnot. V pˇrípadˇe, že se používá pˇrístroje, který je nároˇcnˇejší na obsluhu, popíše se zde struˇcnˇe jeho ovládání. Zárovenˇ se struˇcnˇe popíše cˇ asová souslednost jednotlivých kroku˚ mˇerˇ ícího postupu, tak aby mˇerˇ ení probˇehlo co nejjednodušeji. Popíše se z kterých mˇerˇ ících pˇrístroju˚ a kdy se budou odeˇcítat indikované údaje.

3.4

Výsledky a jejich zpracování

Hodnoty namˇerˇ ené v pˇredcházející cˇ ásti se zapisují do tabulky. Z tabulky musí být zˇrejmé o jakou hodnotu se jedná a v jakých jednotkách se mˇerˇ ila. V pˇrípadˇe, že se provádí více mˇerˇ ení stejné veliˇciny, se pak tabulka rozšíˇrí o základní statistické zpracování namˇerˇ ené hodnoty. Ke každé namˇerˇ ené hodnotˇe se vypoˇcte odchylka od prumˇ ˚ eru z namˇerˇ ených hodnot a do posledního rˇ ádku tabulky se doplní prumˇ ˚ erná hodnota mˇerˇ ení, odpovídající pravdˇepodobná chyba mˇerˇ ení a jí odpovídající chyba relativní nebo se vypoˇcte stˇrední kvadratická chyba. V pˇrípadˇe, že se jedná o promˇerˇ ení závislosti jedné veliˇciny na druhé, napˇríklad dráhy na cˇ ase, kdy je možné provést v daném cˇ asovém okamžiku pouze jedno souˇcasné mˇerˇ ení cˇ asu a polohy, pak k tabulce vyznaˇcíme krajní chyby mˇerˇ ení obou veliˇcin - cˇ asu i polohy a také odpovídající relativní chyby. V pˇrípadˇe, že se z namˇerˇ ených hodnot poˇcítá hodnota veliˇciny, kterou není možné mˇerˇ it pˇrímo, je nutné uvést vzorec do kterého se namˇerˇ ené hodnoty cˇ íselnˇe dosazují, a to vˇcetnˇe rozmˇeru podle soustavy SI. Vzhledem k tomu, že samotný postup výpoˇctu je uveden v teoretické cˇ ásti, staˇcí pouze uvést hodnotu výsledku, opˇet s odpovídajícími jednotkami soustavy SI. Protože všechny vstupní údaje jsou známy i s pravdˇepodobnou, stˇrední kvadratickou nebo krajní chybou, je nutné provést i výpoˇcet chyby výsledku a relativní chyby výsledku.

3.5

Grafické znázornˇení

Pokud promˇerˇ ujeme prubˇ ˚ eh jedné veliˇciny na druhé, je velmi názorné namˇerˇ ené závislosti znázornit graficky. V prubˇ ˚ ehu dalšího výkladu oznaˇcíme nezávisle promˇennou jako x, budeme ji vynášet na vodorovnou souˇradnici grafu a závisle promˇennou, kterou budeme vynášet na svislou osu, oznaˇcíme y. Pˇri tvorbˇe grafu je vhodné postupovat podle následujících bodu. ˚ 1. Z celého rozsahu namˇerˇ ených hodnot x a y najdeme maximální a minimální hodnoty, oznaˇcme je xmin a xmax pro osu x, obdobnˇe pro osu y.

Protokol o mˇerˇ ení

25

2. Podle velikosti maxim a minim se rozhodneme pro druh grafu. Základními druhy jsou: (a) (b) (c) (d)

Lineární - obˇe osy mají lineární stupnici. Semilogaritmický - jedna z os x, y má logaritmickou stupnici. Logaritmický - obˇe osy mají logaritmickou stupnici. Speciální - podle úˇcelu je možné zvolit i zvláštní stupnice, a to i pro každou osu x, y jinou.

V dalším se budeme zabývat grafy s lineárními stupnicemi. Aplikace následujících bodu˚ na jiné stupnice však není pˇríliš komplikovaná. 3. Stanovíme mˇerˇ ítko, modul os. Mˇerˇ ítko volíme takové, aby graf namˇerˇ ených hodnot pokryl celou plochu grafu. Pˇritom pokud je graf monotónnˇe stoupající nebo klesající, mˇel by sledovat odpovídající úhlopˇríˇcku plochy, do které budeme graf zakreslovat. Je zˇrejmé, že pruseˇ ˚ cík obou os nemusí být v bodˇe [0, 0]. 4. Nalezneme cˇ ísla XM in a XM ax taková, aby interval < xmin , xmax > ležel uvnitˇr intervalu < XM in , XM ax > a pˇritom XM in a XM ax byla "rozumná" cˇ ísla tak, aby se interval < XM in , XM ax > dal rovnomˇernˇe rozdˇelit na 3 - 12 dílu˚ a pˇritom dˇelící intervaly byly také dány "rozumnými" cˇ ísly. Dˇelení naneseme na osu x a zapíšeme hodnoty. Zárovenˇ k ose x zapíšeme jaká veliˇcina a v jakých jednotkách se na ní vynáší. Shodný postup zopakujeme s osou y. 5. Zakreslíme namˇerˇ ené body. V pˇrípadˇe, že do jednoho grafu vynášíme dva soubory mˇerˇ ení, zvolíme pro každé mˇerˇ ení jiný symbol bodu. Nespojujeme body s osami, ani nezapisujeme souˇradnice bodu! ˚ Tuto informaci obsahuje tabulka namˇerˇ ených hodnot. 6. Protože hodnotu každého bodu známe s urˇcitou pˇresností, chybou, sestrojíme okolo každého bodu malý obdélníˇcek reprezentující chybu urˇcení polohy namˇerˇ eného bodu. Napˇríklad itý bod má souˇradnice [xi , yi ], pˇritom souˇradnice xi je známa s pravdˇepodobnou chybou θxi , souˇradnice yi je známa s pravdˇepodobnou chybou θyi . Obdélníˇcek tak reprezentuje pravdˇepodobnou chybu urˇcení tohoto bodu a je možné jej definovat jako cˇ ást plochy grafu, která vyhoví podmínkám xi −θxi ≤ x ≤ xi +θxi pro osu x a yi −θyi ≤ y ≤ yi +θyi pro osu y. Je možné, že v nˇekterých pˇrípadech bude šíˇrka nebo výška obdélníku vzhledem k použitým mˇerˇ ítkum ˚ zanedbatelná. Pak ji samozˇrejmˇe nezakreslujeme a obdélník se tak zredukuje na úseˇcku. 7. Zakreslené body spojíme hladkou kˇrivkou. V pˇrípadˇe, že známe její matematický tvar y = f (x, a, b, c), se pokusíme stanovit hodnotu koeficientu˚ a vyneseme pˇresný prubˇ ˚ eh kˇrivky. Pokud matematický zápis kˇrivky neznáme, snažíme se zvolit kˇrivku co nejhladší, tak aby procházela pokud možno co nejblíže namˇerˇ ených bodu. ˚ Pˇritom body samotné na kˇrivce ležet nemusí. Je ale vhodné, aby kˇrivka pokud možno prošla co nejvˇetším poˇctem obdélníku˚ znázornující ˇ


26

chyby mˇerˇ ení. Pokud nˇekterý bod výraznˇe vyboˇcuje z prubˇ ˚ ehu kˇrivky, nebudeme jej dále brát v úvahu, a to i ve výpoˇctech. Pravdˇepodobnˇe pˇri jeho mˇerˇ ení vznikla velká náhodná chyba. Pokud je v grafu nˇekolik souboru˚ mˇerˇ ení, zvolíme jinou tloušt’ku, nebo barvu, nebo druh cˇ áry, tak aby bylo zˇrejmé, která cˇ ára patˇrí ke kterému mˇerˇ ení. 8. V pˇrípadˇe souˇcasného zobrazení více grafu˚ vyznaˇcíme, která kˇrivka patˇrí ke kterému souboru mˇerˇ ení. 9. Hotový graf opatˇríme nadpisem, ze kterého musí být zˇrejmé, co graf zobrazuje. Pˇríklad hotového grafu je na obrázku 3.1

Obrázek 3.1: Pˇríklad spoleˇcného grafu dvou mˇerˇ ení

3.6

Závˇer

Správný závˇer musí obsahovat 3 údaje. 1. Namˇerˇ enou hodnotu, vˇcetnˇe rozmˇeru podle soustavy SI. 2. Pravdˇepodobnou, stˇrední kvadratickou nebo krajní chybu mˇerˇ ené hodnoty. 3. Odpovídající relativní chybu mˇerˇ ení v procentech.

Protokol o mˇerˇ ení

27

V pˇrípadˇe, že se promˇerˇ uje prubˇ ˚ eh jedné veliˇciny na druhé, použijeme formulaci v pˇribližném znˇení: V rozmezí hodnot xmin až xmax hodnota y klesá, stoupá, pohybuje se v intervalu od ymin do ymax . Pravdˇepodobná chyba θy nepˇresáhla θy , uvedeme maximální hodnotu pravdˇepodobné chyby, relativní chyba ηy nepˇresáhla, uvedeme maximální hodnotu relativní chyby. Pro stˇrední kvadratickou nebo krajní chybu je formulaci pozmˇeníme odpovídajícím zpusobem. ˚ Pokud bude relativní chyba mˇerˇ ení vysoká, je nutné provést diskusi pˇresnosti mˇerˇ ení s ohledem na pˇríˇciny zvýšené nepˇresnosti. Rozhodnˇe však není možné vysvˇetlovat vznik chyby nepˇresností odeˇcítání na pˇrístrojích!

3.7

Kontrolní otázky

1. Je možné znázornit pravdˇepodobnou chybu polohy bodu v grafu jinak nˇež obdélníkem? 2. Jaké stupnice ještˇe mohou pˇripadat v úvahu pˇri konstrukci grafu? 3. Naˇcrtnˇete schematicky graf znázornující ˇ prubˇ ˚ eh zadané hodnoty. 4. Je bod, který má maximální pravdˇepodobnou chybu totožný s bodem, který má maximální relativní chybu?

28


29

Kapitola 4 Stanovení koeficientu statického a dynamického tˇrení 4.1

Úvod

Tˇrením nazýváme sílu pusobící ˚ proti pohybu tˇeles. Základní druhy tˇrení jsou: 1. Statické – Musíme pˇrekonat, pokud uvádíme tˇeleso do pohybu z klidu. 2. Dynamické – Zpusobí ˚ zastavení pohybujících se tˇeles. Pokud tˇeleso chceme udržet v rovnomˇerném pˇrímoˇcarém pohybu, musíme na tˇeleso pusobit ˚ silou, která bude stejné velikosti, ale opaˇcné orientace k vektoru síly dynamického tˇrení. 3. Valivé – Síly zpusobující ˚ zastavení pohybu valících se tˇeles. Koeficient statického tˇrení µ0 je pomˇer teˇcné síly T0 , která právˇe staˇcí uvést do relativního pohybu dvˇe tˇelesa, která jsou tlaˇcena kolmo k sobˇe normálovou silou FN : T0 . µ0 = FN Koeficient dynamického tˇrení µ je pomˇer teˇcné síly T , která právˇe staˇcí udržovat tˇeleso v rovnomˇerném relativním pohybu po povrchu jiného tˇelesa, k normálové síle FN pˇritlaˇcující jedno tˇeleso k druhému: µ=

T . FN

Koeficienty statického i dynamického tˇrení závisí pouze na kvalitˇe, drsnosti, styˇcných ploch tˇeles, nezávisí na jejich velikosti a do jisté velikosti nezávisí na velikosti pˇrítlaˇcné síly FN . Pro malé relativní rychlosti vzájemného pohybu je možné považovat koeficient dynamického tˇrení za konstantní.

4.2

Experimentální uspoˇrádání

Zaˇrízení pro stanovení koeficientu dynamického tˇrení bukového špalíku na bukové desce je schematicky znázornˇeno na obrázku 4.1, schematický pohled shora. Špalík

Louˇcka, Bartonˇ

30

Obrázek 4.1: Mˇerˇ ení koeficientu˚ tˇrení i pˇrívažek jsou pro vˇetší názornost zobrazeny ve vˇetším mˇerˇ ítku než buková deska. Bukový špalík o hmotnosti ms s pˇrívažkem o hmotnosti mp je tažen pˇres kladiˇcku silonovou nití navíjenou na hˇrídel pohonu P . Rychlost pohonu je regulovatelná. Druhý konec nitˇe je pˇripevnˇen k silomˇeru S. Gumový kompenzátor slouží k regulaci rychlosti nárustu tažné síly FP . Špalík je uveden do pohybu v okamžiku, kdy síla FP dosáhne velikosti T0 a pˇrekoná tak statickou tˇrecí sílu Fs . V tomto okamžiku dosáhne tažná síla FP své maximální velikosti. Pro další, rovnomˇerný pˇrímoˇcarý pohyb špalíku, již není tˇreba tak velké síly, proto se tažná síla FP ustálí na hodnotˇe teˇcné síly T , která je rovna dynamické tˇrecí síle Ft . Prubˇ ˚ eh tažné síly FP v cˇ ase zaznamenává silomˇer, pˇripojený k poˇcítaˇci.

4.3

Mˇerˇení a vyhodnocení

4.3.1

Koeficient statického tˇrení

1. Nejprve je nutné stanovit hmotnost špalíku ms . 2. Spustíme poˇcítaˇc. Mˇerˇ icí program spustíme kliknutím na ikonu s popisem Tˇrení. Po startu programu vybereme z menu Experiment možnost Nový experiment. Program poté otevˇre okno Parametry experimentu, znázornˇené na obrázku 4.2. Dobu mˇerˇ ení nastavíme na 15 s. Dále z rozbalovacího menu Start mˇerˇení – vybereme Manuální. V oknˇe Vstupní kanály zkontrolujeme, zda program rozpoznal silomˇer. 3. Kliknutím na ikonu OK se toto menu uzavˇre. Mˇerˇ ení spustíme kliknutím na ikonu START. 4. Po pˇeti sekundách, spustíme pohon P velmi malou rychlostí. Nastavení pohonu vyzkoušíme pˇred záznamem experimentu. Na monitoru pozorujeme pozvolný nárust ˚ síly. Po pˇrekroˇcení Fs dojde k posunu špalíku a tahová síla výraznˇe po-

Stanovení koeficientu statického a dynamického tˇrení

31

Obrázek 4.2: Parametry experimentu klesne na Ft . Pokud neuplynula pˇrednastavená doba mˇerˇ ení, zastavíme záznam stiskem ikony STOP. Souˇcasnˇe vypneme pohon P . 5. Mˇerˇ ení zopakujeme ještˇe 7×, a to tak, že v menu Mˇerˇení vybereme položku Další mˇerˇení. Není-li nˇekteré mˇerˇ ení podle našich pˇredstav, mužeme ˚ jej nahradit dalším mˇerˇ ením. Záznam všech mˇerˇ ení znázornuje ˇ obrázek 4.3. 6. Namˇerˇ ená data uložíme na pevný disk poˇcítaˇce. V menu Nástroje klikneme na Export dat a jako Zdroj dat vybereme Excel 4.0. Vybereme adresáˇr D:\data, název souboru se doporuˇcuje ve tvaru: datum_jméno. Pro export vybereme všechna zobrazení i hodnoty cˇ asu. 7. Podle rovnice T0 = 2 (Fmax − F0 ) vypoˇcteme pro každé mˇerˇ ení velikost T0i . Fmaxi je maximální hodnota síly z každého záznamu. F0i je poˇcáteˇcní hodnota udávaná silomˇerem. Urˇcí se jako prumˇ ˚ er z jednotlivých hodnot bˇehem prvních pˇeti sekund mˇerˇ ení, dokud není zapnuto tažné zaˇrízení. Nulová hodnota silomˇeru totiž nemusí souhlasit s nulovou hodnotou poˇcítaˇce.

Louˇcka, Bartonˇ

32

Obrázek 4.3: Prubˇ ˚ eh experimentu 8. Vylouˇcíme maximální a minimální hodnoty, vypoˇcteme prumˇ ˚ ernou hodnotu T0 . 9. Mˇerˇ ení zopakujeme s pˇrívažky mP o velikosti 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 a 0.5 kg. 10. Namˇerˇ ené a vypoˇctené hodnoty zaznamenáme do tabulek.

mP = 0 kg N

Fmax [N ] F0 [N ] T0 [N ]

1 .. .

Fmax1 .. .

F01 .. .

5

Fmax5

F05

.. .

µ0

T01 .. .

µ01 .. .

T05

µ05

µ0 ± σµ0

mP = 0.5 kg N

Fmax [N ] F0 [N ] T0 [N ]

µ0

1 .. .

Fmax1 .. .

F01 .. .

T01 .. .

µ01 .. .

5

Fmax5

F05

T05

µ05

µ0 ± σµ0

Stanovení koeficientu statického a dynamického tˇrení

33

11. Z vypoˇctených hodnot koeficientu˚ statického tˇrení vypoˇcítáme prumˇ ˚ ernou hodnotu µ0 , stˇrední kvadratickou σµ0 a relativní ηµ0 chybu koeficientu statického tˇrení. Do grafu vyneseme jednotlivé koeficienty v závislosti na hmotnosti pˇrívažku. Podle požadavku vedoucího cviˇcení v grafu vyznaˇcíme pro každou vynesenou hodnotu stˇrední kvadratickou chybu.

4.3.2

Koeficient dynamického tˇrení

Zpusob ˚ stanovení koeficientu dynamického tˇrení se od stanovení koeficientu statického tˇrení liší pouze v drobných detailech. 1. Rychlost pohonu mírnˇe zvýšíme v porovnání s pˇredchozím pˇrípadem. 2. Dobu mˇerˇ ení nastavíme na 10 s. 3. Mˇerˇ ení spouštíme, až když je špalík v rovnomˇerném, pˇrímoˇcarém pohybu. 4. Po uplynutí šesti sekund vypneme pohon a špalík mírnˇe postrˇcíme prstem tak, aby gumový kompenzátor nebyl napnutý. Mˇerˇ ená tažná síla tak klesne na nulovou hodnotu. Záznam hodnot pokraˇcuje až do uplynutí doby mˇerˇ ení. 5. Pˇri stejném nastavení provedeme další mˇerˇ ení pro pˇrívažky o hmotnostech 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 a 0.5 kg. 6. Data uložíme na pevný disk poˇcítaˇce. 7. Z namˇerˇ ených hodnot dat vypoˇcteme velikost tažné síly T . T = 2 (F − F0 ) , kde F je namˇerˇ ená síla pro jednotlivé mˇerˇ ení, vypoˇcítá se jako prumˇ ˚ er z hodnot získaných v prubˇ ˚ ehu prvních pˇeti sekund záznamu, kdy byl špalík v pohybu. F0 je hodnota udávaná nezatíženým silomˇerem, zjistíme ji jako prumˇ ˚ er z hodnot získaných v posledních dvou sekundách záznamu. 8. Namˇerˇ ené a vypoˇctené hodnoty zapíšeme do podobných tabulek a zpracujeme stejným zpusobem ˚ jako v cˇ ásti 4.3.1.

4.4

Diskuse a závˇer

V závˇeru se soustˇredíme na diskusi možné závislosti µ = µ(mP ), kterou je možné v nˇekterých pˇrípadech pozorovat v grafu. Celé mˇerˇ ení zhodnotíme z hlediska dosažené relativní pˇresnosti.

Louˇcka, Bartonˇ

34

4.5

Kontrolní otázky

1. Co je duvodem ˚ vysoké relativní chyby mˇerˇ ení? 2. Jak zvýšit pˇresnost mˇerˇ ení? 3. Lze vyˇríznout dˇrevˇený špalík tak, aby koeficient dyn. tˇrení byl pro všechny stˇeny pˇribližnˇe stejný? 4. Navrhnˇete principiálnˇe jiný zpusob ˚ mˇerˇ ení. 5. Bude–li se celý experiment odehrávat na Mˇesíci, kde je tíhové zrychlení 1/6 g, zvýší se pˇresnost mˇerˇ ení? – Proˇc?

Podˇekování Autoˇri dˇekují Ing. Martinu Louˇckovi za sestavení mˇerˇ icí aparatury a vypracování metodiky mˇerˇ ení.

35

Kapitola 5 Mˇerˇení pevnosti slupky dužnatých plodin 5.1

Úvod

Mˇerˇ ení pevnosti slupky dužnatých plodin se provádí na penetrometrickém pˇrístroji statickou metodou. Princip statického mˇerˇ ení spoˇcívá v postupném zvyšování síly, pusobící ˚ na zkušební hrot, pˇri konstantní poloze plodiny, naklápˇením desky držáku zkušebního hrotu, viz obrázek 5.1.

5.2


Zkoumaná plodina se umístí mezi pohyblivé desky, které je možno rozevˇrít podle velikosti plodiny a nabodne se na vyˇcnívající hrot. Vzhledem k tomu, že dužnina plodiny je na rozdíl od slupky elektricky dobˇre vodivá, dojde po proražení slupky zkušebním hrotem k vodivému spojení s kovovým rámem pˇrístroje, na jehož hrot je plodina nabodnuta. To je indikováno rozsvícením svítivé LED diody, viz schéma zapojení na obrázku 5.2. V okamžiku rozsvícení diody se odeˇcte úhel náklonu v kruhovém otvoru pevné cˇ ásti pˇrístroje. Pro pˇrepoˇcet úhlu náklonu na normálovou sílu vzhledem k povrchu plodiny se použije vztah:

F = m g sin α ,

kde

   F

= síla prurazu ˚ m = hmotnost závaží = 0.4 kg   α = úhel náklonu

Známe-li plochu S hrotu, mužeme ˚ urˇcit tlak p, pˇri kterém dojde k mechanickému poškození plodiny. Platí: p=

F . S

Prumˇ ˚ er cˇ elní plošky zkušebního hrotu je d = 0.6 mm.


36

Obrázek 5.1: Penetrometrický pˇrístroj

5.3


Níže uvedeným postupem stanovte prumˇ ˚ erné hodnoty síly prurazu ˚ a tlaku u slupky zkoumaných dužnatých plodin. 1. Po rozevˇrení pohyblivých desek napíchneme plodinu na hrot. 2. Uvolníme šroub držáku závaží na pevném rameni a posuneme jej tak, aby se zkušební hrot závaží lehce dotýkal plodiny, poté jej utáhneme. 3. Jemným a plynulým otáˇcením kliˇcky natáˇcíme desku až do prurazu ˚ – rozsvítí se LED dioda. 4. Odeˇcteme úhel α.

Mˇerˇ ení pevnosti slupky dužnatých plodin

37

Obrázek 5.2: Schéma zapojení 5. Pˇrístroj vrátíme do nulové polohy a mˇerˇ enou plodinu pootoˇcíme. U každé plodiny provedeme N mˇerˇ ení, výsledky zapíšeme do tabulky. Hodnotu N stanoví vedoucí cviˇcení. N

α [◦ ]

F [N ]

p [P a]

1 .. .

α1 .. .

F1 .. .

p1 .. .

N

αN

FN

pN

α ± σα

F ± σF

p ± σp

Vypoˇcteme pravdˇepodobnou a relativní chybu mˇerˇ ení pro jednotlivé plodiny.

5.4

Diskuse a závˇer

Porovnejte sílu prurazu ˚ a tlak potˇrebný k prurazu, ˚ vˇcetnˇe pravdˇepodobných a relativních chyb mˇerˇ ení u jednotlivých plodin.

5.5

Kontrolní otázky

1. Jaký je rozdíl mezi prumˇ ˚ erem a pruˇ ˚ rezem? 2. Jsou zde získané informace užiteˇcné?


38

3. Proˇc nejsou síla prurazu ˚ a tlak potˇrebný k proražení slupky u jedné plodiny ve všech místech stejné? 4. Co všechno muže ˚ ovlivnit pevnost slupky? 5. Jak urˇcit pevnost slupky v pˇrípadˇe, že ani pˇri naklopení o úhel α = 90◦ nedojde k jejímu proražení?

39

Kapitola 6 Urˇcení modulu pružnosti v tahu 6.1

Úvod

Pˇri studiu protažení ∆l homogenní tyˇce délky l0 o konstantním pruˇ ˚ rezu S, zpuso˚ ~ beném silou F , (smˇer síly je rovnobˇežný s délkou tyˇce l0 ), odvodil Hooke obecný zákon ve tvaru: l ∆l = k F , (6.1) S pˇriˇcemž zjistil, že konstanta k závisí pouze na materiálu tyˇce. Zavedeme–li relativní prodloužení a normálové napˇetí σ =

∆l (l − l0 ) = , l0 l0

σ=

F , S

je možné Hookuv ˚ zákon (6.1) psát ve tvaru =k σ=

1 σ E

nebo

σ =E.

Napˇetí je pˇrímo úmˇerné relativnímu prodloužení. Konstanta k se nazývá souˇcinitel roztažnosti, její pˇrevrácená hodnota E = 1/k se nazývá Younguv ˚ modul pružnosti v tahu, (tlaku), má stejný rozmˇer jako napˇetí a udává se ve stejných jednotkách. Závisí již jen na vlastnostech materiálu a nikoli na rozmˇerech tˇelesa. Hookuv ˚ zákon (6.1) v této podobˇe platí pouze pro malé relativní prodloužení . V pˇrípadˇe vysokých napˇetí je zapotˇrebí vzít nejprve v úvahu zmˇenu pruˇ ˚ rezu tyˇce, pro ještˇe vyšší napˇetí pak dochází k trvalým deformacím, pˇrípadnˇe i k pˇretržení materiálu.

6.2


Úkolem je stanovit Younguv ˚ modul pružnosti materiálu zkušebních tyˇcí o délce l0 a rozmˇerech pˇríˇcného pruˇ ˚ rezu ve tvaru obdélníku o rozmˇerech a ± ∆a, b ± ∆b. Vzhledem k velikosti pruˇ ˚ rezu tyˇce by bylo zapotˇrebí na ni pusobit ˚ znaˇcnou silou. Proto pˇrímé mˇerˇ ení zmˇeny délky tyˇce není vhodné a modul pružnosti se mˇerˇ í z pruhybu ˚ tyˇce.


40

Podstatou metody je, že pˇri prohnutí tyˇce do rovinného oblouku dojde na vnitˇrní stranˇe oblouku ke stlaˇcení materiálu a na vnˇejší stranˇe k protažení materiálu tyˇce. Vrstva materiálu, který nezmˇení svoji délku se nazývá neutrální vrstva a její prunik ˚ s rovinou pruhybu ˚ se nazývá neutrální osa. Je zˇrejmé, že cˇ ím více se tyˇc prohne, tím vyšší musí být deformace materiálu. Deformace materiálu také vzrustají ˚ s rostoucí vzdáleností od neutrální osy. Je–li obdélníková tyˇc vodorovnˇe podepˇrena dvˇema bˇrity ve vzdálenosti l0 a zatížena uprostˇred silou F , pak pro její pruhyb ˚ y lze odvodit y=

F l03 , 4 E a b3

kde l0 = 521.6 ± 0.2 mm ,

je vzdálenost bˇritu˚ .

(6.2)

Vztah (6.2) platí ovšem s podmínkami, že: 1. Tíha samotné tyˇce nezpusobí ˚ mˇerˇ itelný pruhyb. ˚ 2. Prohnutí tyˇce je v rovinˇe, která je dána smˇerem nezatížené tyˇce a smˇerem síly zpusobující ˚ pruhyb. ˚ 3. Vzdálenost bˇritu˚ l0 je mnohem vyšší než výška b pruˇ ˚ rezu, (l b). Younguv ˚ modul pružnosti E se ze vztahu (6.2) vyjádˇrí ve tvaru E=

F l03 . 4 a b3 y

(6.3)

Vzhledem k (6.2) je možné každé mˇerˇ ení napsat ve tvaru Fi = Konst , yi

kde Konst =

l03 , 4 E a b3

(6.4)

lze také levé i pravé strany (6.4) seˇcíst pro jednotlivá mˇerˇ ení a podˇelit jejich poˇctem, tzn. v rovnici (6.4) nahradíme Fi /yi prumˇ ˚ ernou hodnotou podílu F/y. Tento postup se nazývá skupinová metoda. Rovnice (6.3) tak pˇrejde do finálního tvaru l3 E= 03 4ab

6.3

F y

!

.

(6.5)


Experimentální uspoˇrádání je znázornˇeno na obrázku 6.1 Pˇri mˇerˇ ení postupujeme následujícím zpusobem: ˚ 1. Na tyˇc nasuneme hrazdiˇcku pro závaží. 2. Tyˇc položíme naplocho symetricky na bˇrity mˇerˇ ící lavice.

Urˇcení modulu pružnosti v tahu

41

Obrázek 6.1: Urˇcení modulu pružnosti z pruhybu ˚ tyˇce 3. Do stojanu uchytíme indikátorové hodinky a umístíme je tak, aby byly kolmo k plošce hrazdiˇcky a pˇritom mˇerˇ icí hrot byl témˇerˇ zcela zasunut. Hrot hrazdiˇcky pˇritom musí být uprostˇred mezi bˇrity. 4. Pˇresvˇedˇcíme se, zda se mˇerˇ icí hrot indikátorových hodinek se volnˇe pohybuje. Pokud ne, ponˇekud uvolníme šroub stojanu udržující indikátorové hodinky. 5. Odeˇcteme poˇcáteˇcní poˇcáteˇcní pruhyb ˚ tyˇce ppi – pruhyb ˚ nezatížené tyˇce. 6. Na hrazdiˇcku umístíme opatrnˇe závaží, (i disku, ˚ 1 ≤ i ≤ N , hmotnost jednoho disku m = 1±0.001 kg). Odeˇcteme pruhyb ˚ tyˇce pˇri zatížení pi . Pro zatížení dˇrevˇených tyˇcí volíme pˇrírustek hmotnosti závaží 0.25 kg nebo 0.5 kg, použijeme kombinaci disku˚ a závaží. 7. Sejmeme zátˇež a zmˇerˇ íme pruhyb ˚ tyˇce pki – po odlehˇcení. 8. Vypoˇcteme i-tý pruhyb ˚ yi = pi −

ppi + pki . 2

9. Body 5 – 8 zopakujeme pro 1 – N závaží. Hodnotu N stanoví vedoucí cviˇcení. 10. Tyˇc otoˇcíme o 180◦ okolo podélné osy a celé mˇerˇ ení zopakujeme. Hodnoty zapisujeme do tabulky


42 První strana pp [m] p [m] pk [m]

M [kg]

F [N ]

1 .. .

F1 .. .

pp1 .. .

N

FN

ppN

1 .. .

F1 .. .

pp1 .. .

N

FN

ppN

p1 .. .

p k1 .. .

pN p kN Druhá strana p1 p k1 .. .. . . pN

p kN

y [m]

F/y [N/m]

y1 .. .

(F/y)1 .. .

yN

(F/y)N

y1 .. .

(F/y)1 .. .

yN

(F/y)N (F/y) ± σ(F/y)

Ze všech 2 N mˇerˇ ení vypoˇcteme prumˇ ˚ ernou hodnotu podílu (F/y) a její stˇrední kvadratickou chybu σ(F/y) . Podle vztahu (6.5) vypoˇcteme Younguv ˚ modul pružnosti E a podle odstavce 1.4 vypoˇcteme σE a ηE . Vypracujeme graf závislosti pruhybu ˚ na zatížení y = y(F ).

6.4

Závˇer a diskuse

Porovnáním namˇerˇ ené hodnoty E s tabelovanými hodnotami se pokusíme urˇcit materiál tyˇce. Provedeme diskusi chyby mˇerˇ ení z hlediska vlivu pˇresnosti mˇerˇ ení jednotlivých veliˇcin.

6.5

Kontrolní otázky

1. Jak se nazývá deformace tˇelesa, pokud ji lze popsat Hookovým zákonem? 2. Jakou fyzikální veliˇcinu máme na mysli, hovoˇríme-li o normálovém napˇetí? 3. Jaké druhy napˇetí znáte? 4. Jsou zadány dvˇe ze tˇrí promˇenných l0 , l, . Vypoˇctˇete zbývající promˇennou. 5. Co musíme zmˇenit ve vztahu (6.5), otoˇcíme-li tyˇc okolo podélné osy jen o 90◦ ? 6. Je možné ze všech namˇerˇ ených hodnot vypoˇcítat výslednou hodnotu E jiným zpusobem, ˚ než výše uvedeným? 7. Jakým druhem napˇetí vlastnˇe pˇri tomto mˇerˇ ení zatˇežujeme pruˇ ˚ rez tyˇce? 8. Proˇc je možné urˇcit E z pruhybu ˚ tyˇce? 9. Pˇredpokládejme, že materiál snese zaˇcné namáhání. Jak velké tahové napˇetí musí pusobit, ˚ aby = 1?

43

Kapitola 7 Mˇerˇení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 7.1

Úvod

Tíhové zrychlení je zrychlení volného pádu ve vakuu. Závisí na zemˇepisné šíˇrce a nadmoˇrské výšce. Jako normální tíhové zrychlení gn se definuje hodnota gn = 9.80665

m , s2

což je tíhové zrychlení na 45◦ severní zemˇepisné šíˇrky pˇri hladinˇe moˇre. Mezi jednoduché, ale pˇresné metody stanovení jeho velikosti patˇrí mˇerˇ ení pomocí kyvadel. Kyvadla je možné rozdˇelit na dvˇe základní skupiny .

7.1.1

Matematická kyvadla

Jde hmotný bod zavˇešený na nehmotném závˇesu. Pro periodu kyvu T matematického kyvadla, za pˇredpokladu, že výchylka kyvadla nepˇresáhne 4◦ , platí: s

l T = 2π , g

(

kde

g = tíhové zrychlení l = délka kyvadla .

(7.1)

V praxi je možné matematické kyvadlo aproximovat zavˇešením velmi malé, tˇežké koule na co nejlehˇcí, dobˇre ohebný závˇes. Takto realizovaným kyvadlem je možné tíhové zrychlení mˇerˇ it podle vztahu (7.1) s pˇresností okolo 1 %.

7.1.2

Fyzikální kyvadla

Fyzikální kyvadlo muže ˚ být každé tuhé tˇeleso libovolného tvaru, které se muže ˚ volnˇe otáˇcet okolo osy neprocházející jeho tˇežištˇem. Pohybová rovnice fyzikálního


44 kyvadla je:

J

d2 φ(t) = −m g d sin φ(t) , d t2

kde

          

J =

moment setrvaˇcnosti tˇelesa vzhledem k ose otáˇcení

d =

vzdálenost tˇežištˇe tˇelesa od osy otáˇcení

   φ(t) =       

(7.2)

výchylka kyvadla, závisí na cˇ ase t, mˇerˇ í se od klidové polohy

Pokud se omezíme na malé výchylky, φ(t) ≤ 4◦ , je možné ve vztahu (7.2) nahradit sin φ(t) −→ φ(t) a získáme tak rovnici d2 φ(t) + ω 2 φ(t) = 0 , 2 dt

kde

ω2 =

mgd , J

ω = úhlová frekvence .

(7.3)

Vyˇrešením diferenciální rovnice (7.3) je možné získat vztah pro periodu kyvu: s

2π J T = = 2π . ω mgd

(7.4)

Problém ale je s urˇcením momentu setrvaˇcnosti kyvadla J. Pokud se použije zvláštní, reverzní kyvadlo, není jej nutné znát.

7.1.3

Reverzní kyvadlo

Obrázek 7.1: Reverzní kyvadlo Reverzní kyvadlo je znázornˇeno na obrázku 7.1. Jde o kyvadlo, které se muže ˚ kývat okolo dvou rovnobˇežných os, ležících v rovinˇe obsahující hmotný stˇred kyvadla. Pokud osy nejsou okolo hmotného stˇredu položeny symetricky a pˇritom doba kyvu pro obˇe osy je shodná, pak vzdálenost obou os je rovna délce matematického kyvadla, které má stejnou dobu kyvu. Vzdálenosti os se rˇ íká redukovaná délka lr reverzního kyvadla a osy se nazývají sdružené.

7.2


V praxi je reverzní kyvadlo tyˇc opatˇrená dvˇema rovnobˇežnými bˇrity O1 a O2 vzdálenými o vzdálenost lr . Na jednom konci je posuvný tˇežký pˇrívažek Z, zajišt’ující

Mˇerˇ ení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem

45

asymetrii os vuˇ ˚ ci hmotnému stˇredu kyvadla. Dá se nalézt taková poloha závaží Z, pˇri které budou doby kyvu pro oba bˇrity shodné. Pˇrívažek Z se posouvá rotací po uvolnˇení aretaˇcního šroubu. Po pˇresunu do nové polohy je nutné pˇrívažek opˇet zajistit dotažením aretaˇcního šroubu. Urˇcit pˇresnou polohu pˇrívažku je možné grafickou metodou. Mˇerˇ íme doby kyvu T1 a T2 kolem os R1 a R2 v závislosti na poloze = poˇctu otáˇcek n pˇrívažku Z od jeho nulové polohy, tedy od dorazu u bˇritu R2 . Dobu kyvu urˇcíme pomocí optické závory a programu ISES. Obslužný program spustíme kliknutím na ikonu s popisem ISES. Po startu programu vybereme z menu Experiment možnost Nový experiment. Program otevˇre okno Parametry experimentu, znázornˇené ne obrázku 7.2. Dobu mˇerˇ ení nastavíme na 180 s. Dále nasta-

Obrázek 7.2: Parametry experimentu víme Start mˇerˇení – z podmenu vybereme Trigger. Zkontrolujeme, zda program rozpoznal optickou závoru – Vstupní kanál A. Kyvadlo zavˇesíme na bˇrit R1 , vychýlíme jej k dorazu na optické závoˇre a necháme kývat. Kliknutím na ikonu OK se toto menu uzavˇre. Mˇerˇ ení se spustí automaticky a zastaví se po uplynutí nastaveného cˇ asu.

46


Po ukonˇcení mˇerˇ ení stanovíme následujícím zpusobem ˚ frekvenci kyvu˚ f . V Menu zvolíme možnost Zpracování, dále Zpracování dat. Poté stiskneme ikonu na levé stranˇe okna se symbolem Sinusovka . Kurzorem myši najedeme na pole mˇerˇ ení a to na stˇred levé strany a stiskneme a držíme levé tlaˇcítko myši. Následným pohybem kurzoru myši doprava oznaˇcíme celé mˇerˇ ení a uvolníme tlaˇcítko. V pravém oknˇe se zobrazí hodnota vypoˇctené frekvence kyvu, ˚ viz obrázek 7.3. Skuteˇcná frekvence

Obrázek 7.3: Urˇcení frekvence kyvu˚ kyvu˚ f je poloviˇcní, protože optická závora zmˇerˇ í bˇehem periody dva pruchody ˚ kyvadla! Odtud se již pomocí vztahu T = 1/f vypoˇcte doba kyvu. Nyní se kyvadlo beze zmˇeny polohy pˇrívažku zavˇesí na osu R2 , opˇet se vychýlí a nechá se kývat. V hlavním menu mˇerˇ ícího programu stiskneme Experiment a vybereme možnost Nový experiment. Nastavení nového experimentu zachovává parametry experimetu pˇredchozího. Stiskem OK se spustí nové mˇerˇ ení. Po zmˇerˇ ení frekvence zpusobem ˚ popsaným výše a vypoˇctení periody kyvu na ose R2 provedeme zmˇenu polohy – otáˇcením pˇrívažku, zavˇesíme kyvadlo na osu R1 a celý postup zopakujeme. Do grafu vyneseme na vodorovnou osu polohu pˇrívažku, tedy poˇcet otáˇcek od krajní polohy dorazu a na svislou osu pˇríslušné doby kyvu pro každou osu. Získáme

Mˇerˇ ení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem

47

tak dvˇe kˇrivky, jejich pruseˇ ˚ cík pak urˇcuje takovou polohu n0 pˇrívažku, pro niž je doba kyvu T0 v rámci chyb mˇerˇ ení stejná pro obˇe osy. Pokud se budou doby kyvu pˇri nastavení pˇrívažku do n0 pˇresto lišit, provedeme nové mˇerˇ ení v okolí hodnoty n0 a stanovíme její novou a pˇresnˇejší polohu. V pˇrípadˇe nutnosti pˇresnˇejšího stanovení n0 je nutné zvýšit i pˇresnost urˇcení doby jednoho kyvu, což provedeme zvýšením poˇctu kyvu, ˚ jejichž dobu mˇerˇ íme.

7.3


Zmˇerˇ íme doby kyvu kolem obou os alesponˇ pro pˇet ruzných ˚ poloh pˇrívažku Z, vždy po cca dvaceti otáˇckách. Hodnoty zapíšeme do tabulky a vyneseme do grafu, který využijeme pro stanovení polohy n0 pˇrívažku. n [ot]

T1 [s]

T2 [s]

1 .. .

x1 .. .

T11 .. .

T21 .. .

N

xN

T1N

T2N

Obrázek 7.4: Grafické urˇcení polohy pˇrívažku Pˇrívažek nastavíme tuto polohu, zmˇerˇ íme a vypoˇcteme periodu jednoho kyvu T0 opˇet pomocí programu ISES a optické závory. Pro zvýšení pˇresnosti mˇerˇ ení nastavíme v oknˇe Parametry experimentu dobu mˇerˇ ení 600 s.


48

Dále zmˇerˇ íme vzdálenost bˇritu˚ os – redukovanou délku kyvadla lr . Tíhové zrychlení poté vypoˇcteme ve vztahu: g=

4 π2 lr . T02

Pokud urˇcí vedoucí cviˇcení, pak zpusobem ˚ naznaˇceným v cˇ ásti 1.4 urˇcíme krajní chybu κg tíhového zrychlení g. K výpoˇctu použijeme krajní chyby mˇerˇ ení doby kyvu κT0 a redukované délky κlr .

7.4

Závˇer a diskuse

V závˇeru uvedeme namˇerˇ enou hodnotu g spolu s krajní chybou κg a relativní chybou mˇerˇ ení ηg . Provedeme diskusi pˇresnosti mˇerˇ ení a porovnáme namˇerˇ enou hodnotu s tabelovanými hodnotami.

7.5

Kontrolní otázky

1. K cˇ emu je vhodné znát pˇresnˇe tíhové zrychlení? 2. Co je moment setrvaˇcnosti? 3. Proˇc se v rovnici (7.3) musíme omezit na maximální výkyv do 4◦ ? 4. Lze pˇresnˇe zmˇerˇ it dobu velkého množství kyvu, ˚ aniž bychom je museli poˇcítat? 5. Jak urˇcit poˇcet kyvu, ˚ jejichž dobu lze zmˇerˇ it i bez jejich poˇcítání? 6. Jaká je souvislost mezi matematickým a reverzním kyvadlem? 7. Je reverzní kyvadlo i fyzikálním kyvadlem? 8. Co je fyzikální kyvadlo? 9. Proˇc osa závˇesu fyzikálního kyvadla nesmí procházet jeho tˇežištˇem? 10. Víte co je to Foucaltovo kyvadlo? 11. Délka závˇesu matematického kyvadla se zdojnásobí. Jak se zmˇení jeho perioda?

49

Kapitola 8 Mˇerˇení úˇcinnosti sluneˇcního kolektoru 8.1

Úvod

Sluneˇcní kolektor je zaˇrízení, které pˇremˇenuje ˇ elektromagnetické sluneˇcní záˇrení na jiný druh energie. Vˇetšinou jde o pˇremˇenu na elektrickou energii, pˇrípadnˇe na energii tepelnou.

8.2


Úkolem je stanovit úˇcinnost kolektoru, který pˇremˇenuje ˇ svˇetelnou energii na teplo. Tento kolektor se skládá ze tˇrí základních cˇ ástí, viz. obrázek 8.1.

Obrázek 8.1: Základní cˇ ásti sluneˇcního kolektoru 1. Absorbér – pohlcuje dopadající záˇrení, ohˇrívá se a pˇredává teplo pracovnímu médiu, v našem pˇrípadˇe vodˇe, kterou je transformovaná energie odvádˇena. 2. Transparentní kryt – materiál, který nepropouští tepelné – dlouhovlnné zárˇ ení. Absorbér, který má vyšší teplotu než okolí vyzaˇruje teplo, které krytem neprojde. 3. Tepelná izolace – slouží ke snížení tepelných ztrát. Na kolektor je tˇreba pohlížet jako na soustavu, jejíž teplota je vyšší než teplota okolí. Je zˇrejmé, že cˇ ím vyšší bude pracovní teplota kolektoru, tím vyšší budou i tepelné ztráty.


50 Pro úˇcinnost libovolného stroje a zaˇrízení platí vztah: Pi η= , Po

(

kde

Po = Pˇríkon dodávaný stroji ˇ Pi = Cinný výkon stroje

V pˇrípadˇe laboratorního sluneˇcního kolektoru tento vztah pˇrejde na   τ     c         m

m c ∆T Wτ kde  Qm  Qm c (To − Ti )   = × 100%,   Ti  W     T   o  W

η =

= cˇ as = mˇerné teplo náplnˇe, = = = = =

(voda c = 4186 Jkg−1 K−1 ) hmotnost proteklá za cˇ as τ m/τ , hmotnostní tok teplota vstupujícího media teplota vystupujícího media záˇrivý výkon žárovek = 1000 W .

(8.1)

Protože úˇcinnost kolektoru závisí na tepelných ztrátách, tedy na tepelném spádu mezi kolektorem a okolím, je tˇreba ještˇe stanovit parametr kolektoru A. Platí: S (Tk − Te ) , A= W

kde

   Te

= teplota okolí, místnosti Tk = (To − Ti )/2 , teplota kolektoru   S = plocha kolektoru

Funkˇcní závislost η = η(A) se nazývá charakteristikou kolektoru a je rozhodujícím kritériem pro posouzení jeho kvality.

8.3


Cílem tohoto mˇerˇ ení je stanovit úˇcinnost a pracovní charakteristiku laboratorního kolektoru, který transformuje záˇrení simulovaného sluneˇcního zdroje. Tímto zdrojem jsou cˇ tyˇri svˇetelné lampy pracující v infraˇcervené oblasti, s celkovým výkonem W = 1000 W . Budeme postupovat následujícím zpusobem: ˚ 1. Nejprve je po zapnutí cˇ erpadla nutné stanovit Qm . Do odmˇerného válce napouštíme vodu z výstupu kolektoru a pomocí stopek stanovíme cˇ as τ , za který nateˇce V = 500 ml = 5·10−4 m3 . Pro vodu poˇcítáme s hustotou ρ = 1000 kg m−3 . Pozor! Pˇri mˇerˇení pomocí odmˇerného válce dáváme pozor, aby nedošlo k vylití vody mimo odmˇerný válec nebo zásobník kolektoru. 2. Vypoˇcteme Qm = V ρ/τ , stanovíme krajní chybu mˇerˇ ení ηQm 3. Zapneme osvˇetlení kolektoru – mezi zapnutím první a druhé dvojice žárovek vyˇckáme pˇribližnˇe 5 s. 4. Zapneme digitální teplomˇer a spustíme poˇcítaˇc.

Mˇerˇ ení úˇcinnosti sluneˇcního kolektoru

51

5. Spustíme promíchávání vody v zásobníku – pˇrepínaˇc na zásobníku pˇrepneme na polohu H0. 6. Nyní je tˇreba poˇckat pˇribližnˇe 4 min, dokud se neustálí rozdíl teplot výstupní a vstupní vody. Nyní je možné zahájit mˇerˇ ení pomocí poˇcítaˇce. Na ploše monitoru spustíme mˇerˇ ící program kliknutím na ikonu s popisem kolektor. Zadáme frekvenci záznamu dat (po konzultaci s vyuˇcujícím). Vlastní mˇerˇ ení spustíme kliknutím na cˇ ervené tlaˇcítko , oznaˇcující záznam hodnot. Až do ukonˇcení experimentu probíhá ukládání dat (vstupní teplota média Ti , výstupní teplota média To a rozdíl teplot ∆T = To − Ti ), a to s nastavenou frekvencí. Ukázka plochy monitoru je na obr. 8.2

Obrázek 8.2: Pracovní okno programu Podle požadavku˚ vedoucího cviˇcení bud’ spustíme pˇrihˇrívání vody v zásobníku – pˇrepínaˇc na zásobníku pˇrepeneme na polohu H4, nebo ponecháme pˇrepínaˇc v poloze H0. 7. Po dosažení stanovené teploty nebo uplynutí doby mˇerˇ ení, upˇresní vyuˇcující, ukonˇcíme záznam dat kliknutím na cˇ ernou ikonu . Namˇerˇ ená data je vhod-

52

Barton, ˇ Kˇrivánek, Severa né zkontrolovat kliknutím na ikonu . Zobrazí se tabulka namˇerˇ ených hodnot, viz obr. 8.3. Možné je též zobrazení grafu závislosti teplot na dobˇe mˇerˇ ení.

Obrázek 8.3: Kontrola namˇerˇ ených hodnot Graf se zobrazí po kliknutí na ikonu se symbolem grafu

.

8. Vypneme svˇetelný zdroj a za dalších 5 min vypneme cˇ erpadlo kolektoru, aby nedošlo k jeho pˇrehˇrátí! 9. Namˇerˇ ené hodnoty uložíme na pevný disk poˇcítaˇce do adresáˇre D:\data\. Doporuˇcuje se název souboru ve tvaru: datum_jméno. Soubor bude na pevném disku archivován po dobu jednoho mˇesíce a slouží jako záloha pro pˇrípad ztráty nebo poškození dat na disketˇe. Po uplynutí jednoho mˇesíce bude soubor odstranˇen. Dále je tˇreba soubor uložit na vlastní disketu. Data na disketˇe pozdˇeji slouží k vyhodnocení a zpracování nezbytnému pro vypracování závˇereˇcného protokolu. Data se ukládají ve formátu *.prn . 10. Zmˇerˇ íme rozmˇery kolektoru potˇrebné pro stanovení plochy S.

Mˇerˇ ení úˇcinnosti sluneˇcního kolektoru

53

11. Pokud bude probíhat další mˇerˇ ení, je tˇreba vypustit ohˇrátou vodu ze zásobníku vody a nahradit ji studenou vodou. Informujte se u vedoucího cviˇcení! 12. Pokud nenásleduje další cviˇcení, je možné vypnout digitální teplomˇer a poˇcítaˇc. Z vypoˇctených hodnot úˇcinnosti η a parametru A je tˇreba sestrojit graf η = η(A). Zpusob ˚ zpracování grafu urˇcí vedoucí cviˇcení.

8.4

Závˇer a diskuse

V závˇeru je tˇreba provést analýzu grafické závislosti η = η(A) a zduvodnit, ˚ proˇc není úˇcinnost kolektoru bˇehem mˇerˇ ení konstantní.

8.5

Kontrolní otázky

1. Jak je úˇcinnost obecnˇe definovaná? 2. Který cˇ len našeho výrazu pro úˇcinnost je možno nazvat pˇríkonem a který výkonem? 3. Proˇc není kˇrivka grafu proložená vypoˇctenými body hladká? 4. Je reálné, aby úˇcinnost našeho kolektoru nabývala hodnot vˇetších než 100%, jak obˇcas nˇekdo namˇerˇ í? 5. Jaké podmínky musí být splnˇeny, aby úˇcinnost poˇcítaná podle vzorce 8.1 byla vyšší než 100%? 6. Na cˇ em všem závisí teplota náplnˇe vytékající z kolektoru? 7. Muže ˚ být úˇcinnost kolektoru záporná? 8. Co znamená záporná úˇcinnost kolektoru? 9. Jaké podmínky musí být splnˇeny, aby úˇcinnost poˇcítaná podle vzorce 8.1 byla záporná? 10. Vyjmenujte hlavní konstrukˇcní cˇ ásti sluneˇcního kolektoru. 11. Výkon cˇ erpadla kolektoru, pracujícího za bˇežných provozních podmínek stoupne na dvojnásobek. Co se stane s úˇcinností kolektoru?

54


55

Kapitola 9 Stanovení hustoty pevných a kapalných látek 9.1

Úvod

Hustota látky ρ je hmotnost její objemové jednotky, definované vztahem: ρ=

dm , dV

kde

dm = hmotnost objemového elementu dV .

Pro homogenní tˇelesa pˇrejde definiˇcní vztah ve tvar: ρ=

m . V

Tento vztah vyjadˇruje jednak hustotu homogenního tˇelesa, jednak prumˇ ˚ ernou hus−3 totu nehomogenního tˇelesa. Jednotka hustoty je [ρ]SI = kg m . Hustota všech látek závisí na teplotˇe a tlaku. U látek pevných a kapalných uvažujeme vˇetšinou pouze o vlivu teploty, vliv tlaku je vzhledem k malé stlaˇcitelnosti zanedbatelný. Objem se mˇení s teplotou pˇribližnˇe podle vztahu:

V (t) = V0 (1 + β (t − t0 )) ,

kde

= objem pˇri teplotˇe t0 β = koeficient teplotní roztažnosti  t = teplota látky    t0 = teplota, pˇri které byl zmˇerˇ en V0 .  V0    

Hustota je nejen charakteristickou veliˇcinou daného tˇelesa, ale její znalost je duležitá ˚ v rˇ adˇe fyzikálních úvah a pˇri rˇ ešení mnoha problému˚ technické praxe.

9.2


Pro stanovení hustoty pevných látek i kapalin lze použít nˇekolik ruzných ˚ metod.


56

9.2.1

Pevné látky

Pˇrímá metoda Tato metoda je nejjednodušší metodou urˇcování hustoty pravidelných tˇeles. Vychází pˇrímo z definiˇcního vztahu, kdy hmotnost tˇelesa m urˇcíme vážením a objem V vypoˇcítáme z jeho geometrických rozmˇeru. ˚ ρ=

m . V

Pˇri pˇresném urˇcování hustoty pˇrímou metodou je tˇreba uvažovat obecnˇe ruznou ˚ hustotu váženého pˇredmˇetu a závaží, tzn. je nutné provádˇet tzv. korekci na vakuum, uvažujeme zde o vztlaku vzduchu. Hydrostatická metoda Je to metoda vhodná pro urˇcování hustoty tˇeles nepravidelného tvaru. Je založena na platnosti Archimedova zákona. Mˇerˇ ení spoˇcívá ve dvojím vážení daného tˇelesa na upravených laboratorních vahách, viz obrázek 9.1. První vážení vyšetˇrovaného

Obrázek 9.1: Hydrostatické stanovení hustoty tˇelesa provádíme na vzduchu, hmotnost oznaˇcíme mv . Pro rovnováhu na vzduchu platí:

V g (ρ − ρv ) = mv g 1 −

ρv ρz

!

 ρ = hustota neznámého tˇelesa     V = objem neznámého tˇelesa , kde  ρv = hustota vzduchu   

(9.1)

ρz = hustota závaží .

Pˇri druhém vážení je tˇeleso zcela ponoˇreno v kapalinˇe o známé hustotˇe ρk . Nejˇcastˇeji používanou kapalinou je destilovaná voda, jejíž hustota je tabelovaná. Tˇeleso vyvážíme závažím hmotnosti mk .

Stanovení hustoty pevných a kapalných látek

57

Podmínka rovnováhy se zmˇení na: ρv V g (ρ − ρk ) = mk g 1 − ρz

!

.

(9.2)

Po úpravˇe a vydˇelení vztahu˚ (9.1) a (9.2) dostaneme pro hledanou hustotu výraz: ρ=

ρk mv − ρv mk . mv − mk

Protože platí, že ρk ρv , lze hledanou hustotu vyjádˇrit pˇribližnˇe vztahem: ρ = ρk

9.2.2

mv . mv − mk

Kapaliny

Mˇerˇení hustoty kapalin Mohrovými vahami Mohrovy váhy vycházejí opˇet z Archimedova zákona. Jedná se vlastnˇe o nerovnoramenné váhy, na jejichž delším rameni je zavˇešeno ponorné tˇelísko, viz obrázek 9.2. Delší rameno je rozdˇeleno na deset stejných dílu, ˚ na kterých jsou háˇcky pro zavˇe-

Obrázek 9.2: Mohrovy váhy šení vyvažovacích závaží. Váhy se zavˇešeným ponorným tˇelískem se na vzduchu nejprve vyváží pomocí stavˇecího šroubu a vyrovnají a pomocí stavˇecí matice. Poté se ponorné tˇelísko zcela ponoˇrí do mˇerˇ ené kapaliny a provede se vyvážení pomocí tˇrí vyvažovacích závaží o rozdílných hmotnostech. Pro hustotu neznámé kapaliny platí vztah: kg ρ = (n1 + n2 + n3 ) 3 , m

kde

   n1  

n2 n3

= 100 × poloha nejtˇežšího závaží = 10 × poloha stˇredního závaží = 1 × poloha nejlehˇcího závaží


58 Mˇerˇení hustoty kapalin hustomˇerem

Hustomˇery jsou zatavené sklenˇené trubice pˇrizpusobené ˚ k plování v kapalinˇe ve svislé poloze, obrázek 9.3. Podle Archimedova zákona je objem ponoˇrené cˇ ásti hus-

Obrázek 9.3: Hustomˇer tomˇeru závislý na hustotˇe kapaliny, ve které je ponoˇrený. Na hustomˇeru lze tedy vyznaˇcit stupnici udávající pˇrímo hustotu mˇerˇ ené kapaliny. Hustomˇery slouží k rychlému, avšak ménˇe pˇresnému stanovení hustoty kapalin.

9.3 9.3.1

Mˇerˇení a vyhodnocení Stanovení hustoty kvádru pˇrímou a hydrostatickou metodou

Rozmˇery kvádru urˇcíme pomocí posuvného mˇerˇ ítka. Hmotnost tˇelesa na vzduchu a ve vodˇe zmˇerˇ íme na upravených laboratorních vahách. Jako kapalinu pro hydrostatickou metodu použijeme vodu z vodovodu, pro druhé mˇerˇ ení použijeme denaturovaný líh. Hustoty kapalin, které potˇrebujeme znát pro výpoˇcet, urˇcíme dále Mohrovými vahami.

9.3.2

Stanovení hustoty vody a lihu

Hustotu vody použité pro hydrostatickou metodu stanovíme pomocí Mohrových vah a hustomˇerem. Stejné mˇerˇ ení provedeme pro denaturovaný líh. Všechna mˇerˇ ení provedeme pouze jednou, stanovíme krajní a relativní chybu mˇerˇ ení.

9.4

Diskuse a závˇer

V obou pˇrípadech porovnáme namˇerˇ ené hodnoty a pˇresnosti jednotlivých metod. U pevného tˇelesa se porovnáním tabelovaných hustot pokusíme urˇcit druh materi-

Stanovení hustoty pevných a kapalných látek

59

álu. V pˇrípadˇe denaturovaného lihu zduvodníme ˚ rozdíl mezi namˇerˇ enými a tabelovanými hodnotami.

9.5

Kontrolní otázky

1. Proˇc pˇri pˇresném mˇerˇ ení hustoty pevného tˇelesa je tˇreba do výpoˇctu˚ zahrnout také hustotu vzduchu? Je to vždy nezbytnˇe nutné? 2. Jak závisí hustota pevného tˇelesa i kapaliny na teplotˇe? 3. Proˇc mužeme ˚ zanedbat vliv zmˇeny atmosférického tlaku na hustotu kapalin a plynu? ˚ 4. Hustomˇer je více vynoˇren, je-li hustota mˇerˇ ené kapaliny menší cˇ i vˇetší? Proˇc? 5. Máte za úkol navrhnout hustomˇer pro mˇerˇ ení hustot z intervalu ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2 . Zduvodnˇ ˚ ete svoji konstrukci. 6. Jak nejrychleji zvýšíte pˇresnost hustomˇeru na dvojnásobek? 7. V budoucí laboratoˇri na Mˇesíci budete mˇerˇ it hustotu kapalin. Tíhové zrychlení Mˇesíce je pˇribližnˇe 1/6 pozemského. Zduvodnˇ ˚ ete nutné konstrukˇcní úpravy Mohrových vah a hustomˇeru. 8. Jaké vlastnosti musí mít sonda Mohrových vah? 9. Jak zní Archimeduv ˚ zákon? 10. Jaké jsou podmínky platnosti Archimedova zákona? 11. Je pro stanovení hustoty pevných látek pˇresnˇejší metoda hydrostatická nebo pˇrímá – vážením a výpoˇctem? 12. Jak stanovíte hustotu porézního materiálu, napˇríklad pˇenového polyuretanu nebo kostkového cukru?

60


61

Kapitola 10 Stanovení mˇerného tepla pevných látek 10.1

Úvod

O teple se dá rˇ íci, že souvisí s energií neuspoˇrádaného pohybu molekul. Úhrnná pohybová energie neuspoˇrádaného pohybu molekul, pohybu postupného, otáˇcivého a kmitavého, spolu se všemi druhy potenciální energie vzájemného pusobení, ˚ je definována jako vnitˇrní energie tˇelesa. Souˇcet všech pohybových energií neuspoˇrádaných pohybu˚ molekul je tepelná energie daného tˇelesa. Odlišit tepelnou energii od úhrnné vnitˇrní energie je znaˇcnˇe obtížné a lze je provést jenom tehdy, známe-li podrobnˇe molekulárnˇe kinetickou teorii daného tˇelesa, což je možné provést jen u nejjednodušších systému, ˚ napˇríklad u ideálního plynu. Z tohoto duvodu ˚ se zpravidla omezujeme na zkoumání úhrnné vnitˇrní energie tˇeles a necháváme stranou otázku, z jakých jednotlivých druhu˚ energií se vnitˇrní energie skládá. Duležitou ˚ veliˇcinou, kterou urˇcujeme pˇri tepelných mˇerˇ eních je mˇerné teplo soustavy, které je definováno:

1 dQ , c= m dT

kde

  

m = hmotnost soustavy dQ = zmˇena tepla soustavy   dT = zmˇena teploty soustavy

Mˇerné teplo závisí na podmínkách, za kterých probíhá sdílení tepla. Nejˇcastˇeji se setkáváme s mˇerným teplem cv , což je mˇerné teplo pˇri konstantním objemu a cp udává mˇerné teplo pˇri stálém tlaku v soustavˇe. Protože pˇri mˇerˇ ení mˇerných tepel látek pevných a kapalných je zpravidla udržován konstantní barometrický tlak, mˇerˇ íme nejˇcastˇeji mˇerné teplo cp . V literatuˇre je potom zpravidla vypuštˇen u pevných a kapalných látek index p . Kromˇe toho bývá zmˇena objemu látek pevných a kapalných tak malá, že se mˇerná tepla tˇechto látek pˇri konstantním tlaku a objemu liší od sebe jen velmi málo.


62

10.2


Mˇerné teplo nejˇcastˇeji urˇcujeme pomocí kalorimetru, což je tepelnˇe izolovaná nádoba, obsahující zpravidla jinou látku, jejíž mˇerné teplo známe. Protože pˇri mˇerˇ ení ve všech typech kalorimetru˚ dochází i k pˇrenosu tepla na souˇcásti kalorimetru, (míchaˇcka, teplomˇer, . . .), musíme vzít v úvahu tepelnou kapacitu kalorimetru i s pˇríslušenstvím.

10.2.1

Smˇešovací kalorimetr

Patˇrí k nejjednodušším typum ˚ kalorimetru. ˚ Skládá se z tepelnˇe izolované nádoby, míchaˇcky a teplomˇeru, viz obrázek 10.1. Uvnitˇr kalorimetru je vhodná, chemicky

Obrázek 10.1: Smˇešovací kalorimetr nereagující kapalina, jejíž mˇerné teplo c1 a hmotnost m1 známe. Principem této metody mˇerˇ ení je zákon zachování tepelné energie, který je vyjádˇren kalorimetrickou rovnicí. Teplo odevzdané látkou teplejší je rovno teplu pˇrijatému látkou cˇ i tˇelesem chladnˇejším, tedy puvodní ˚ náplní ˇ a vlastním kalorimetrem:  t      t1      t   2

m2 c2 (t2 − t) = kde m2  (m1 c1 + K ) (t − t1 ) ,      c2      K

= = = =

ustálená teplota po výmˇenˇe tepla poˇcáteˇcní teplota náplnˇe kalorimetru poˇcáteˇcní teplota mˇerˇ ené látky hmotnost látky o neznámém mˇerném teple = neznámé mˇerné teplo = tepelná kapacita kalorimetru a pˇríslušenství

(10.1)

Stanovení mˇerného tepla pevných látek

63

Je zˇrejmé, že z tohoto vztahu získáme po jednoduché úpravˇe vztah pro výpoˇcet mˇerného tepla c2 mˇerˇ ené látky. Nejprve je tˇreba urˇcit pomocí upraveného vztahu (10.1) tepelnou kapacitu kalorimetru K, kde m2 , c2 a t2 budou známé hodnoty jiné kapaliny, napˇríklad vody, tedy c1 = c2 . c2 (m2 (t2 − t) − m1 (t − t1 )) K = . (10.2) t − t1 Prakticky postupujeme tak, že nejprve dáme do kalorimetru vodu o známé hmotnosti m1 a ponecháme ji v nˇem dostateˇcnˇe dlouho, aby se všechny cˇ ásti kalorimetru i s vodou ustálily na teplotˇe t1 . Poté nalijeme do kalorimetru další vodu o hmotnosti m2 a teplotˇe t2 . Po ustálení zmˇerˇ íme výslednou teplotu t. Protože mˇerné teplo vody známe, mužeme ˚ urˇcit K.

10.2.2

Elektrický kalorimetr

Jiným typem kalorimetru, vhodným k mˇerˇ ení mˇerných tepel kapalných a sypkých pevných látek, je kalorimetr elektrický, který se podobá kalorimetru smˇešovacímu, viz obrázek 10.2. Jeho základními souˇcástmi je opˇet tepelnˇe izolovaný obal, mí-

Obrázek 10.2: Elektrický kalorimetr chaˇcka a teplomˇer. Navíc obsahuje topný odpor o velikosti R, kterým prochází elektrický proud I. Zmˇerˇ íme-li dobu τ , po kterou proud prochází, mužeme ˚ stanovit množství dodaného tepla: Q = R I2 τ (10.3)


64

Známe-li tepelnou kapacitu kalorimetru, mužeme ˚ urˇcit mˇerné teplo c látky nacházející se v kalorimetru: R I2 τ K c= − , m (t2 − t1 ) m

  m   

= hmotnost mˇerˇené látky t1 = poˇcáteˇcní teplota kalorimetru

kde

    t 2

a mˇerˇ ené látky = teplota po dodání tepla

(10.4)

Tepelnou kapacitu kalorimetru, vˇcetnˇe vodní náplnˇe, urˇcíme ze vztahu: K=

10.3

R I2 τ . t2 − t1

(10.5)


Vzhledem ke znaˇcné cˇ asové nároˇcnosti opakovaného kalorimetrického mˇerˇ ení provedeme veškerá mˇerˇ ení pouze jednou a pokusíme se stanovit krajní chybu mˇerˇ ení. Mˇerˇ ení teplot provádíme pomocí dvoukanálového elektronického teplomˇeru GMH. Mˇerˇ ící metodu urˇcí vedoucí cviˇcení.

10.3.1

Smˇešovací kalorimetr

1. Nejprve stanovíme postupem uvedeným v cˇ ásti 10.2.1 tepelnou kapacitu kalorimetru K. Jedna sonda teplomˇeru GMH mˇerˇ í trvale teplotu vody v elektricky ohˇrívané nádobˇe. Tato sonda mˇerˇ í teplotu t2 ohˇráté vody, tedy teplotu blízkou 100 ◦ C. Druhou sondu používáme na stanovení teploty t1 studené vody z vodovodu a na stanovení výsledné teploty t po smísení obou kapalin, pˇrípadnˇe po vložení zkoumaného ohˇrátého tˇelesa do kalorimetru. 2. Dále urˇcíme mˇerné teplo neznámých tˇeles – kovu. ˚ Opˇet postupujeme podle cˇ ásti 10.2.1. (m1 c1 + K) (t − t1 ) c2 = m2 (t2 − t) Abychom dosáhli pˇri mˇerˇ ení mˇerného tepla co nejvˇetší pˇresnosti, musíme volit rozdíl teplot obou smˇešovaných látek co nejvˇetší. Mˇerˇ enou látku, kovové tˇeleso, zahˇríváme obvykle ve vodní lázni na teplotu blízkou 100 ◦ C . Protože mˇerné teplo je funkcí teploty, pokládáme namˇerˇ enou hodnotu za prumˇ ˚ erné mˇerné teplo v intervalu teplot < t1 , t2 >. Bˇehem zápisu mˇerˇení se nesmí zamˇenit hodnoty z bodu 1 a 2, veliˇciny mají v obou pˇrípadech stejné indexy!

Stanovení mˇerného tepla pevných látek

10.3.2

65

Elektrický kalorimetr

Pomocí elektrického kalorimetru stanovíme mˇerné teplo kovového tˇelesa, využijeme pˇritom postup uvedený v cˇ ásti 10.2.2. K mˇerˇ ení teplot použijeme dvousondový teplomˇer GMH. Jednu sondu teplomˇeru umístíme poblíž topného odporu. 1. Pˇri mˇerˇ ení tepelné kapacity kalorimetru K naplníme kalorimetr pˇribližnˇe do 2/3 výšky studenou vodou, objem vody odmˇerˇ íme pˇresnˇe pomocí odmˇerného válce. Druhou sondu teplomˇeru umístíme pˇribližnˇe do stˇredu kalorimetru. Náplnˇ kalorimetru krátce promícháme, vyˇckáme do vyrovnání teplotních údaju˚ obou sond a odeˇcteme teplotu t1 . 2. Zapneme ohˇrev kalorimetru a souˇcasnˇe spustíme stopky. Poznamenáme si velikost proudu I, který protéká topným odporem. Prubˇ ˚ ežnˇe kontrolujeme údaje obou cˇ idel a mícháme náplnˇ kalorimetru. Ohˇrev ukonˇcíme v okamžiku, kdy se teplota náplnˇe kalorimetru pˇriblíží 50 ◦ C. Zaznamenáme dobu ohˇrevu τ . 3. Nyní sledujeme obˇe sondy teplomˇeru a zaznamenáme obˇe maximální teploty, pˇritom náplnˇ kalorimetru lehce mícháme. Teplotu t2 urˇcíme jako prumˇ ˚ er obou maximálních teplot. 4. Tepelnou kapacitu K kalorimetru vypoˇcteme pomocí vztahu (10.5). Stanovíme krajní κK a relativní ηK chybu K. 5. Ohˇrátou náplnˇ kalorimetru vylijeme a nahradíme ji pˇresnˇe stejným množstvím studené vody jako v kroku 1. Stanovíme hmotnost m vzorku. 6. Do kalorimetru vložíme mˇerˇ ený vzorek. Druhou sondu teplomˇeru umístíme co nejblíže ke vzorku. 7. Dále postupujeme podle kroku˚ 2 – 3. 8. Mˇerné teplo c vzorku vypoˇcteme podle vztahu (10.4). Stanovíme krajní κc a relativní ηc chybu c, které uvedeme i v závˇeru.

10.4

Závˇer a diskuse

V závˇeru je tˇreba vypoˇctené mˇerné teplo tˇeles porovnat s tabulkovými hodnotami a provést diskusi ohlednˇe rozdílnosti vypoˇctených a tabulkových hodnot.

10.5

Kontrolní otázky

1. Jaký je vliv jednotlivých mˇerˇ ených veliˇcin na výslednou krajní chybu mˇerˇ ení? 2. Má vložené kovové tˇeleso teplotu 100 ◦ C?


66

3. V jakém pomˇeru by mˇely být hmotnosti kapaliny a kovového pˇredmˇetu u smˇešovacího kalorimetru? Proˇc? 4. Má topná spirála elektrického ohˇrevu úˇcinnost 100% ? Proˇc? 5. Je nezbytnˇe nutné používat u obou metod míchadla? 6. Muže ˚ mít tvar kovového tˇelesa vliv na pˇresnost mˇerˇ ení? Proˇc? 7. V jakých jednotkách se mˇerˇ í mˇerné teplo? 8. V jakých jednotkách se mˇerˇ í kapacita kalorimetru? 9. Jak zmˇerˇ íte mˇerné teplo neznámé kapaliny? 10. Jak zmˇerˇ íte mˇerné teplo rozpustné látky, napˇr. cukru? 11. Má smysl uvažovat o mˇerném teple látky a jednotkovém objemu, nikoli jednotkové hmotnosti? Kdy a jaký? 12. Muže ˚ tepelná vodivost materiálu komplikovat mˇerˇ ení mˇerného tepla materiálu? 13. Jak mˇerˇ it mˇerné teplo tepelnˇe nevodivých materiálu? ˚

67

Kapitola 11 Úvod do mˇerˇení elektrických veliˇcin ruznými ˚ typy mˇerˇících pˇrístroju˚ 11.1

Úvod

Pˇrístroje mˇerˇ ící základní elektrické veliˇciny mužeme ˚ rozdˇelit podle nˇekolika kritérií. Jedna z možností je rozdˇelení podle zpusobu ˚ indikace mˇerˇ ené veliˇciny. Jsou to pˇrístroje cˇ íslicové digitální a ruˇckové analogové. Dále je mužeme ˚ rozdˇelit podle toho, jakou elektrickou veliˇcinu mˇerˇ í. Patˇrí sem napˇríklad ampérmetr – mˇerˇ ení proudu, voltmetr – mˇerˇ ení napˇetí, ohmmetr – mˇerˇ ení odporu, wattmetr – mˇerˇ ení výkonu atd., pˇrípadnˇe multimetry, tj. pˇrístroje schopné mˇerˇ it podle zpusobu ˚ svého zapojení ruzné ˚ elektrické veliˇciny. Nˇekteré mˇerˇ ící pˇrístroje jsou schopny si automaticky zvolit správný rozsah, u jiných je tˇreba mˇerˇ ící rozsah otoˇcným voliˇcem nebo pˇrepínaˇcem nastavit. Vzhledem k tomu, že vˇetšina ruˇckových mˇerˇ ících pˇrístroju˚ má pouze jednu nebo dvˇe stupnice, je tˇreba údaj na nich odeˇctený správnˇe pˇrepoˇcíst, což bude hlavním úkolem této úlohy.

11.2


U pˇrepoˇctu libovolného údaje stupnice na rozsah nastavený pˇrepínaˇcem existuje jednoduché pravidlo. Je duležité ˚ se vždy nejprve pˇresvˇedˇcit, jaký rozsah je na stupnici uveden. Je to napˇr. 0 – 30.

Upozornˇení: Pˇred pˇripojením jakéhokoliv mˇerˇícího pˇrístroje do obvodu je na nˇem bezpodmíneˇcnˇe nutné nastavit správnou hodnotu mˇerˇené veliˇciny a její rozsah. Uvˇedomte si, že pro ruzné ˚ mˇerˇené veliˇciny je vˇetšinou nutné používat ruzné ˚ vstupní svorky! Pˇríklad: pˇri mˇerˇ ení napˇetí si navolíme pˇrepínaˇcem rozsah 6 V. To znamená, že ukazuje-li ruˇciˇcka pˇrístroje na 30, odpovídá to mˇerˇ enému napˇetí 6 V. Jak tedy pˇrepocˇ íst libovolný údaj, který pˇrístroj ukazuje? Vypoˇcteme podíl 30/6 = 5, tedy v našem


68

pˇrípadˇe každý odeˇctený údaj vydˇelíme pˇeti. Ukáže-li tedy ruˇciˇcka pˇri tomto navoleném rozsahu napˇríklad 26.5, mˇerˇ ené napˇetí má velikost 26.5/5 = 5.3 V. Pro mˇerˇ ení napˇetí si zapojíme obvod dle obrázku 11.1. Do obvodu pro mˇerˇ ení

Obrázek 11.1: Mˇerˇ ení napˇetí napˇetí bude souˇcasnˇe zapojeno jedno digitální mˇerˇ idlo a tˇri ruzné ˚ ruˇckové. Dále je tˇreba odeˇcíst ještˇe údaj o nastaveném napˇetí na pˇrístroji stabilizovaného zdroje. Pro mˇerˇ ení proudu zapojíme obvod dle obrázku 11.2. Využíváme zde té vlast-

Obrázek 11.2: Mˇerˇ ení proudu nosti regulovatelného stabilizovaného zdroje, že má zabudováno proudové omezení, což znamená, že je možné pomocí potenciometru na zdroji nastavit maximální hodnotu proudu, který obvodem teˇce. Mˇerˇ ení proudu provedeme opˇet jedním digitálním a tˇremi ruˇckovými pˇrístroji, dále je tˇreba odeˇcíst údaj na pˇrístroji stabilizovaného zdroje, pochopitelnˇe pˇrepnutého na mˇerˇ ení proudu. Pro mˇerˇ ení neznámého odporu si zapojíme obvod dle obrázku 11.3. Mˇerˇ ení elek-

Obrázek 11.3: Mˇerˇ ení odporu trického odporu provedeme jedním digitálním a dvˇema ruˇckovými pˇrístroji. Každý

Úvod do mˇerˇ ení elektrických veliˇcin ruznými ˚ typy mˇerˇ ících pˇrístroju˚

69

pˇrístroj se v tomto pˇrípadˇe pˇripojuje k jednotlivým odporum ˚ z baterie neznámých odporu˚ samostatnˇe!

11.3


Pro obvod na obrázku 11.1 provedeme mˇerˇ ení pro N ruzných ˚ hodnot napˇetí nastavených pomocí potenciometru na stabilizovaném zdroji a to v celém rozsahu zdroje 0.1 – 30 V. Údaje digitálního multimetru, vˇcetnˇe pˇrepoˇctu odeˇctené hodnoty a rozsahu u analogových pˇrístroju, ˚ zapíšeme do tabulky. Jednotlivé pˇrístroje a N – poˇcet jednotlivých mˇerˇ ení urˇcí vedoucí cviˇcení: Mˇerˇ ení napˇetí Analog 1 Analog 2

Zdroj Digital

Analog 3

[V]

[V]

Stup.

Pˇrep.

U [V]

Stup.

Pˇrep.

U [V]

Stup.

Pˇrep.

U [V]

1 .. .

UZ1 .. .

UM 1 .. .

SA1 .. .

PA1 .. .

UA1 .. .

S C1 .. .

PC1 .. .

UC 1 .. .

SP1 .. .

PP1 .. .

UP1 .. .

N

UZN

UMN

SAN

PAN

UAN

SCN

PC N

UCN

SPN

PPN

UPN

Pro obvod na obrázku 11.2 provedeme mˇerˇ ení pro N ruzných ˚ hodnot proudu nastavených pomocí proudové pojistky a to v rozmezí 0.01 – 1.0 A. Údaje, opˇet vˇcetnˇe pˇrepoˇctu u analogových pˇrístroju˚ zapíšeme do tabulky: Mˇerˇ ení proudu Analog 1 Analog 2

Zdroj Digital

Analog 3

[A]

[A]

Stup.

Pˇrep.

I [A]

Stup.

Pˇrep.

I [A]

Stup.

Pˇrep.

I [A]

1 .. .

IZ1 .. .

IM1 .. .

SA1 .. .

PA1 .. .

IA1 .. .

SC1 .. .

PC 1 .. .

IC1 .. .

SP1 .. .

PP1 .. .

IP1 .. .

N

IZN

IMN

SAN

PAN

IAN

S CN

P CN

ICN

SPN

PPN

IPN

Deset neznámých odporu˚ postupnˇe promˇerˇ íme pomocí digitálního multimetru, analogového multimetru a pˇrístroje Omega a výsledky zapíšeme do tabulky:

R

Mˇerˇ ení odporu Digital [Ω] Analog [Ω]

Omega [Ω]

R1 .. .

RM1 .. .

RP1 .. .

R O1 .. .

RN

R MN

RPN

R ON


70

11.4

Závˇer a diskuse výsledku˚

V závˇeru je tˇreba uvést pro jednotlivé pˇrístroje subjektivní hodnocení pˇresnosti mˇerˇ ení jednotlivých veliˇcin pomocí vzájemného srovnání namˇerˇ ených hodnot. Podle pokynu vedoucího cviˇcení do porovnání zahrnte ˇ i tˇrídu pˇresnosti jednotlivých pˇrístroju. ˚

11.5

Kontrolní otázky

1. Má vˇetšina kombinovaných mˇerˇ icích pˇrístroju˚ (multimetru) ˚ shodné svorky pro mˇerˇ ení napˇetí a proudu? Proˇc? 2. Vyžadují pˇrístroje umožnující ˇ mˇerˇ ení odporu vnˇejší zdroj? Vysvˇetlete. 3. Na jakých principech je založeno mˇerˇ ení odporu? 4. Je možné souˇcasné mˇerˇ ení proudu a napˇetí jedním multimetrem? 5. Navrhnˇete postup na pˇresné cejchování ampérmetru. ˚ 6. Co mˇerˇ í galvanometr? 7. Jaká je pˇresnost digitálního multimetru? 8. Jaká je definice ampéru dle SI? 9. Co je to vlastnˇe elektrický odpor? 10. Co se stane pokud pˇripojíte ampérmetr pˇrímo ke zdroji napˇetí? 11. Navrhnˇete postup na pˇresné cejchování ampérmetru. ˚ 12. Co mˇerˇ í galvanometr? 13. Jaká je pˇresnost digitálního multimetru? 14. Jaká je definice ampéru dle SI? 15. Co je to elektrický odpor? 16. Co se stane, pokud pˇripojíte ampérmetr pˇrímo ke zdroji napˇetí?

71

Kapitola 12 Mˇerˇení elektrických odporu˚ 12.1

Úvod

Ohmuv ˚ zákon definuje ohmický odpor, zkrácenˇe jen odpor, R elektrického vodiˇce jako konstantu úmˇernosti mezi stejnosmˇerným proudem I, který protéká vodiˇcem a napˇetím U mezi konci vodiˇce, U = RI . (12.1) Jednotkou el. odporu v soustavˇe SI je Ohm, R [Ω]. Vodiˇc má odpor 1 Ω, když pˇri napˇetí mezi konci vodiˇce 1 V jím protéká proud 1 A. V pˇrípadˇe homogenních a izotropních vodiˇcu˚ ve tvaru drátu s konstantním pru˚ rˇ ezem je možné odpor vodiˇce vypoˇcítat ze vztahu l R=ρ , S

12.2

kde

   ρ

= mˇerný odpor, ρ [Ω m] l = délka vodiˇce   S = pruˇ ˚ rez vodiˇce .


Pro stanovení velikosti odporu vodiˇce je možné použít: 1. Metodu pˇrímou – je založena na pˇrímém mˇerˇ ení napˇetí a proudu podle rovnice (12.1). 2. Metodu substituˇcní – je založena na náhradˇe neznámého odporu odporem o známé velikosti. Pokud v obou pˇrípadech pˇri shodném napˇetí na koncích odporu (vodiˇce), odpory protéká stejný proud, pak mají oba odpory stejnou velikost. 3. Mˇerˇení pˇrístrojem – pˇrímé mˇerˇ ení odporu, nejˇcastˇeji mustkovou ˚ metodou.

12.2.1

Pˇrímé mˇerˇení odporu˚

Je nutné si uvˇedomit, že pˇri mˇerˇ ení odporu˚ se nepoužívá ideální ampérmetr, ani voltmetr, a že použití reálných pˇrístroju˚ je zdrojem nepˇresností. Vzhledem k tomu, že na reálném ampérmetru dochází k úbytku napˇetí, tzn. že napˇetí na odporu není


72

pˇresnˇe rovno napˇetí zdroje a reálným voltmetrem protéká proud, tedy že proud dodávaný do odporu zdrojem není pˇresnˇe roven proudu, který protéká odporem, je nutné používat dva ruzné ˚ obvody. Mˇerˇení malých odporu˚ V pˇrípadˇe, kdy mˇerˇ íme malé odpory, mˇerˇený odpor je srovnatelný s odporem ampérmetru, je nutné použít obvodu podle obrázku 12.1 tak, aby voltmetr mˇerˇ il pouze napˇetí mezi konci odporu. Výsledný odpor je pak možné vypoˇcítat ze vztahu R=

1 I 1 − U Rv

,

(12.2)

kde Rv je odpor voltmetru. Pro malé hodnoty R je splnˇeno R Rv , rovnice (12.2) se pak výraznˇe zjednoduší na U R= . (12.3) I

Obrázek 12.1: Mˇerˇ ení malých odporu˚

Obrázek 12.2: Mˇerˇ ení velkých odporu˚

Mˇerˇení velkých odporu˚ Za velké odpory je možné považovat ty odpory, které jsou svoji velikostí srovnatelné s odporem voltmetru. V tomto pˇrípadˇe zapojíme obvod podle obrázku 12.2 tak, aby ampérmetr mˇerˇ il pouze proud protékající odporem. Výsledný odpor R je pak dán vztahem U R = − Ra , (12.4) I kde Ra je odpor ampérmetru. Pro velké odpory platí R Ra , což rovnici (12.4) zjednoduší na (12.3).

Mˇerˇ ení elektrických odporu˚

73

Stanovení hranice mezi malými a velkými odpory Nahrad’me v rovnicích (12.2) a (12.4) podle rovnice (12.3) U/I = R. Tyto rovnice pak pˇrejdou na tvar R1 =

(

1 1 1 − R Rv

,

R2 = R − Ra ,

kde

R1 = hodnota malého odporu R2 = hodnota velkého odporu

Nyní stanovíme chybu urˇcení ∆R1 a ∆R2 v závislosti na chybˇe mˇerˇ ení ∆R ∆R1 =

Rv ∆R d R1 ∆R = − , dR R (−Rv + R)

∆R2 =

d R2 ∆R ∆R = . dR R − Ra

Nyní staˇcí urˇcit hodnotu R, pˇri které jsou si rovny ∆R1 a ∆R2 . Jednoduchý výpoˇcet vede k výsledku R=

q

Rv Ra .

Hraniˇcní hodnotu odporu R, pˇri které je nutno zamˇenit zapojení mˇerˇ ícího obvodu, urˇcíme jako geometrický prumˇ ˚ er odporu voltmetru Rv a ampérmetru Ra .

12.2.2

Substituˇcní metoda

Obrázek 12.3: Substituˇcní metoda Sestavíme obvod podle schématu na obrázku 12.3. Neznámý odpor X se stˇrídavˇe zapojuje do obvodu s pˇresným odporem R, odporovou dekádou tak, aby pro stejné napˇetí byl proud procházející obvodem v obou pˇrípadech shodný. To nastane pouze v pˇrípadˇe, že obˇe hodnoty R a X jsou shodné. Hodnotu R je možné z dekády snadno odeˇcíst.

12.2.3

Mˇerˇení pˇrístrojem

Nejrozšíˇrenˇejší pˇrístroje pro pˇrímé mˇerˇ ení odporu využívají tzv. mustkovou ˚ metodu. Jejím základem je obvod nazvaný Wheastoneuv ˚ most, schématicky naznaˇcený na obrázku 12.4. Z Kirchoffových zákonu˚ vyplývá, že galvanometrem G neprotéká


74

Obrázek 12.4: Mustková ˚ metoda proud, pokud je splnˇena podmínka X=R

a , b

kde

  

X = neznámý odpor R = srovnávací odpor   a, b = cˇ ásti otoˇcného odporu .

Zdroj napˇetí – baterie, spínací tlaˇcítko, odpor R a otoˇcný odpor na obrázku 12.4 jsou pˇrímo zabudovány v pˇrístroji, pouze neznámý odpor X se pˇripojuje na vnˇejší svorky! Je zˇrejmé, že souˇcet a+b = konst. Oznaˇcme tento konstantní odpor Rc . Pˇri mˇerˇ ení se pˇripojí k pˇrístroji neznámý odpor X, po stisknutí spínaˇce zaˇcne obvodem protékat proud. Otoˇcným odporem docílíme stav, kdy galvanometrem neprotéká proud. Stupnice otoˇcného odporu je zpravidla cejchována tak, že pˇrímo udává podíl a/b. Pˇri vhodné volbˇe odporu R je tak možné ze stupnice pˇrímo odeˇcítat hodnoty odporu X. V závislosti na pˇribližné velikosti odporu X se ještˇe pˇrepínaˇcem rozsahu˚ mˇení velikosti odporu R a otoˇcného odporu Rc , pˇri pˇrepnutí na vyšší rozsah mˇerˇ ení se podle typu pˇristroje tyto hodnoty zvyšují na desetinásobek nebo stonásobek pˇredchozí velikosti. Je tak možné mˇerˇ it pˇresnˇeji vyšší hodnoty odporu X, protože se podíl a/b posouvá smˇerem k nižším hodnotám, kde je stupnice otoˇcného odporu dˇelená jemnˇeji.

12.3


12.3.1

Mˇerˇení pˇrístrojem OMEGA

Mˇerˇ ený odpor X pˇripojíme na svorky pˇrístroje. Rozsah mˇerˇ ení pˇrístroje zvolíme tak, abychom pˇri zmˇenˇe otoˇcného odporu pˇriblížili proud protékající galvanometrem co

Mˇerˇ ení elektrických odporu˚

75

nejpˇresnˇeji k nule. Potom odeˇcteme ze stupnice otoˇcného odporu podle zvoleného rozsahu mˇerˇ ení hodnotu odporu. Mˇerˇ ení opakujeme 10 ×, hodnoty zapisujeme do tabulky Malý odpor N R [Ω]

Velký odpor N R [Ω]

1 .. .

R1 .. .

1 .. .

R1 .. .

10

R10

10

R10

R ± σR

12.3.2

R ± σR

Pˇrímá metoda

Zapojíme obvod podle obrázku 12.1 nebo 12.2, podle toho zda mˇerˇ íme malé nebo velké odpory. Promˇenným odporem, reostatem, nastavíme postupnˇe deset hodnot proudu Ii . Zmˇerˇ íme odpovídající napˇetí Ui a vypoˇcteme odpory Ri . Hodnoty zapisujeme do tabulky

N

Malý odpor U [V ] I [A] R [Ω]

1 .. .

U1 .. .

I1 .. .

R1 .. .

1 .. .

U1 .. .

I1 .. .

R1 .. .

10

U10

I10

R10

10

U10

I10

R10

R ± σR

12.3.3

N

Velký odpor U [V ] I [A] R [Ω]

R ± σR

Substituˇcní metoda

Zapojíme obvod podle obrázku 12.3. Pˇrepínaˇc zapojíme tak, aby proud protékal odporem X. Pomocí promˇenného odporu nastavíme proud Ii . Nyní pˇrepínaˇc pˇrepneme tak, aby byla do obvodu zapojena odporová dekáda R místo odporu X. Hodnotu odporu Ri na dekádˇe nastavíme tak, aby obvodem opˇet protékal stejný proud Ii . Velikost promˇenného odporu – reostatu nemˇeníme! Tehdy je velikost neznámého odporu X rovna velikosti nastaveného odporu dekády R. Mˇerˇ ení opˇet opakujeme 10× pro ruzné ˚ proudy. Vždy pˇred dalším mˇerˇ ením je tˇreba u R vynulovat všechny rozsahy mimo nejvyššího. Hodnoty opˇet zapíšeme do tabulky. Pozor, odporová dekáda se nesmí pˇripojit pˇrepínaˇcem do obvodu, když jsou všechny rozsahy nastaveny na nulové hodnoty, hrozí poškození ampérmetru!


76 Malý odpor N I [A] R [Ω]

Velký odpor N I [A] R [Ω]

1 .. .

I1 .. .

R1 .. .

1 .. .

I1 .. .

R1 .. .

10

I10

R10

10

I10

R10

R ± σR

12.4

R ± σR

Závˇer a diskuse

Pro každou metodu provedeme výpoˇcet prumˇ ˚ erné hodnoty odporu R, stˇrední kvadratické chyby mˇerˇ ení σR a relativní chyby mˇerˇ ení ηR . Porovnáme mezi sebou pˇresnosti jednotlivých metod a to zvlášt’ pro mˇerˇ ení malých a velkých odporu. ˚ Dále provedeme porovnání jednotlivých metod z hlediska cˇ asové nároˇcnosti mˇerˇ ení. Podle požadavku vedoucího cviˇcení provedeme porovnání relativní chyby ηR s tˇrídou pˇresnosti použitých pˇrístroju. ˚

12.5

Kontrolní otázky

1. Jaký by mˇel být odpor ideálního ampérmetru a voltmetru? Proˇc? 2. Proˇc se liší zapojení pro mˇerˇ ení malých a velkých odporu? ˚ 3. Jak stanovit hranici mezi odpory, které budeme považovat za malé a za velké? 4. Pˇresnost mˇerˇ ení pˇrímou metodou závisí na velikosti mˇerˇ eného odporu. Pro jakou velikost odporu je chyba mˇerˇ ení nejvyšší? Proˇc? 5. Proˇc není nutné mˇerˇ it napˇetí pˇri substituˇcní metodˇe? 6. Proˇc se pˇri mˇerˇ ení pˇrístrojem OMEGA nastavuje proud tekoucí galvanometrem na nulu? 7. Jak chápat relativní chybu ηR pˇri mˇerˇ ení pˇrístrojem OMEGA v pˇrípadˇe, že je velmi malá nebo dokonce nulová? 8. Je nutné znát vnitˇrní odpor pˇrístroje OMEGA? 9. Je nutné znát napˇetí zdroje uvnitˇr pˇrístroje OMEGA? 10. Co mˇerˇ í ruˇckové mˇerˇ idlo pˇrístroje OMEGA? 11. Co je galvanometr? Proˇc nemá na stupnici vyznaˇcené hodnoty mˇerˇ ené velicˇ iny? 12. Co je odporová dekáda? 13. K cˇ emu v zapojení podle obrázku˚ 12.1, 12.2 a 12.3 slouží promˇenný odpor, také nazývaný reostat?

77

Kapitola 13 Kalibrace termoˇclánku 13.1

Úvod

Termoelektrické teplomˇery (termoˇclánky, tepelné cˇ lánky) mˇerˇ í teplotu na základˇe termoelektrického jevu: Ve vodivém okruhu tvoˇreném dvˇema vodivˇe spojenými dráty z ruzných ˚ kovu˚ vznikne elektrické napˇetí, jakmile se teplota T jednoho ze spájených míst liší od teploty T0 druhého spoje. V místˇe styku má jeden kov proti druhému jistý potenciální rozdíl, který závisí na teplotˇe styˇcného místa. Mají-li tedy oba spoje stejnou teplotu, ruší se oba potenciální rozdíly, nebot’ poˇradí kovu˚ ve druhém spoji je obráceno. Jsou-li však teploty T0 , T obou spoju˚ S0 , S ruzné, ˚ jsou ruzné ˚ i potenciály a v obvodu se objeví termolektrické napˇetí E rovné rozdílu potenciálu. ˚ Termoelektrické napˇetí E závisí na teplotním rozdílu T − T0 obou míst spoju˚ tak, že pro danou dvojici kovu˚ je funkcí rozdílu teplot. Pro malé rozdíly teplot je možné považovat závislost za lineární, pro vˇetší rozdíly je nutné závislost E(T − T0 ) aproximovat polynomy vyššího stupnˇe. E(T ) = a (T − T0 ) + b (T − T0 )2 + c (T − T0 )3 + d (T − T0 )4 + . . . .

(13.1)

Tuto okolnost je tˇreba vzít v úvahu pˇri mˇerˇ ení vˇetších teplotních rozdílu. ˚ Velkou pˇredností termoˇclánku˚ je to, že jejich mˇerˇ ící spoj muže ˚ mít velmi malé rozmˇery a že umožnuje ˇ mˇerˇ it teplotu na dálku i v prostorech tˇežko pˇrístupných nebo vzduchotˇesnˇe uzavˇrených, a to pˇresnˇe v požadovaném místˇe. Mˇerˇ í se jimi ovšem v podstatˇe rozdíly teplot, což muže ˚ být pro nˇekteré úkoly znaˇcnou výhodou. Podmínkou pˇresnosti a spolehlivosti jsou ovšem pˇresné mˇerˇ icí pˇrístroje a pˇredevším stejnorodost užitých kovu˚ (drátu). ˚ Jsou-li totiž kovy nehomogenní, vznikají pˇri nestejné teplotˇe drátu˚ neznámá podružná termonapˇetí, zkreslující výsledek mˇerˇ ení. Proto se pro pˇresná základní mˇerˇ ení používá takových kovu, ˚ které lze vyrobit velmi cˇ isté, tzn. ryzí kovy nebo homogenní slitiny. Pˇri vˇetší pˇresnosti je mimo to nutno upravit termoˇclánek tak, aby nemˇenil teplotu mˇerˇ eného místa vedením tepla. Proto se volí dráty termoˇclánku tenké a mají se odvádˇet kolmo ke smˇeru teplotního spádu ve spirále nebo šroubovici.


78

13.2


Termoˇclánek upravujeme k mˇerˇ ení vysokých nebo velmi nízkých teplot tak, že jeden spoj (spájené místo) S vložíme do mˇerˇ eného prostoru a druhý spoj S0 umístíme tak, aby mˇel teplotu okolí, (dále od S). Pˇri mˇerˇ ení menších rozdílu, ˚ a pˇri pˇresných mˇerˇ eních vubec, ˚ vkládáme i druhý spoj S0 do láznˇe (nebo do termostatu), jejíž teplotu mužeme ˚ pˇresnˇe zmˇerˇ it, nebo do prostˇredí stálé teploty, zejména do nˇejaké tající látky (nejˇcastˇeji do smˇesi tajícího ledu s vodou), jak je znázornˇeno na obr. 13.1. Termoelektrické napˇetí mˇerˇ íme citlivým milivoltmetrem s vysokým vstupním od-

Obrázek 13.1: Zapojení termoˇclánku porem, aby proud protékající milivoltmetrem byl co nejmenší a úbytky napˇetí na odporech v obvodu nesnižovaly pˇresnost mˇerˇ ení. Toto zapojení ovšem pˇredpokládá, že v okruhu nemohou vzniknout podružná termonapˇetí bud’ proto, že celý obvod, vˇcetnˇe milivoltmetru, je uzavˇren vedením z téhož kovu (napˇr. vstupní svorky mˇerˇ icího pˇrístroje) nebo proto, že obˇe místa, v nichž se další vodiˇc, nejˇcastˇeji mˇedˇený, napojuje na vlastní termoˇclánek, mají stejnou teplotu. Termoˇclánek mˇed’ – konstantan je velmi vhodný pro mˇerˇ ení nízkých a stˇredních teplot (od -250 ◦ C do 400 ◦ C). Rozdílu teplot 0 – 100 ◦ C odpovídá termonapˇetí ∼ 4.1 mV . Vzhledem k tomu, že se používá mˇedˇených pˇrívodních drátu, ˚ lze cˇ lánek zapojit jednoduchým zpusobem, ˚ bez nebezpeˇcí vzniku parazitních napˇetí, viz obr. 13.1. Lze jím mˇerˇ it rozdíly teplot s pˇresností asi 0.5 – 1 %, pro rozdíly nˇekolika stupnˇ u˚ je možno pˇredpokládat pˇrímkovou závislost, pˇri vˇetších rozdílech kvadratickou a pˇri nejpˇresnˇejším mˇerˇ ení i závislosti vyšších stupnˇ u˚ s více koeficienty.

13.3

Mˇerˇení a záznam dat

Referenˇcní teplotu T0 budeme realizovat smˇesí vody a ledu. Tím je možné do rovnice (13.1) dosadit za T0 = 0. Mˇerˇ ící spoj umístíme do kádinky s vhodnou kapalinou

Kalibrace termoˇclánku

79

(voda, olej), kterou ohˇríváme do teploty ∼ 90 ◦ C. Mˇerˇ ení a záznam dat je provádˇeno automaticky pomocí pˇripojeného PC. Obslužný program spustíme kliknutím na ikonu s popisem ISES na obrazovce monitoru. Dále zvolíme volbu z menu Experiment možnost Nový experiment. Plocha monitoru bude mít vzhled obrázku 13.2.

Obrázek 13.2: Parametry experimentu Dobu mˇerˇení, v sekundách, zvolíme dostateˇcnˇe dlouhou, (napˇr. 2700 s), mˇerˇ ení lze kdykoli ukonˇcit manuálnˇe. Vzorkování, tedy frekvenci záznamu dat zadá vyucˇ ující. Start mˇerˇ ení zvolíme manuální. Vstupní kanály budou teplomˇer a voltmetr a pˇríslušná políˇcka A a B tedy musí být zaškrtnuta. Dále klikneme na tlaˇcítko Zobrazení a zadáme název experimentu. V levé cˇ ásti pole s názvem Panely oznaˇcíme kliknutím panel cˇ .2 a klikneme na tlaˇcítko vyjmout. Zbývá panel cˇ .1. Pro ten na pravé stranˇe plochy v cˇ ásti Definice zobrazení provedeme vyjmutí A1 a B1 a pokraˇcujeme kliknutím na tlaˇcítko Pˇridat. Tím postoupíme do dalšího okna, jak je zobrazeno na obrázku 13.3. Zde zvolíme libovolný Název zobrazení a oznaˇcíme Zobrazení typu X–Y. Nazveme osu X popisem a1 a osu Y popisem b1. Dále zvolíme Barvu kˇrivky. Doporucˇ ujeme volbu vhodné kontrastní barvy pro tmavé pozadí. Vyplníme políˇcka inter-


80

Obrázek 13.3: Definice zobrazení valu zobrazení. Na osu X bude vynášena teplota ve ◦ C, proto zvolíme Min. X = 0 a Max. X = 100. Osa Y pˇredstavuje termonapˇetí v mV a vhodným rozsahem je v tomto pˇrípadˇe Min. Y = 0 a Max. Y = 5. Po vyplnˇení pˇríslušných políˇcek pokraˇcujeme kliknutím na tlaˇcítko OK a pak tlaˇcítko START, cˇ ímž zahájíme vlastní mˇerˇ ení. Souˇcasnˇe spustíme ohˇrev. Pˇripojené PC prubˇ ˚ ežnˇe zaznamenává jednotlivé veliˇciny, tedy teplotu a termonapˇetí, se zadanou frekvencí. Mˇerˇ ení ponecháme aktivní do teploty pˇribližnˇe 90 ◦ C. Poté vypneme ohˇrev. Další mˇerˇ ení provedeme pˇri ochlazování láznˇe na pokojovou teplotu. Pro urychlení ochlazování použijeme ventilátor. Mˇerˇ ení zahájíme stejnˇe jako v pˇredešlém pˇrípadˇe, tedy kliknutím na Nový experiment. Ihned po spuštˇení záznamu dat zapneme ventilátor. Po dokonˇcení experimentu namˇerˇ ené hodnoty uložíme na pevný disk poˇcítaˇce a vlastní pamˇet’ové zálohové medium (disketu). Ukládání dat realizujeme takto. V menu zvolíme Nástroje a dále Export dat. Vybereme si vhodný datový formát. K dispozici jsou: Access, dBase, Excel, FoxPro a Text. Zadáme jméno souboru vˇcetnˇe pˇrípony. Doporuˇcujeme nazvat soubor tvarem obsahujícím datum mˇerˇ ení a jméno,

Kalibrace termoˇclánku

81

napˇr.: 1503novak.xls.

13.4

Manuální zpracování dat

Do tabulky 13.1 zapisujeme namˇerˇ ené hodnoty termonapˇetí Ei+ , zaznamenané pˇri ohˇrevu a Ei− , zaznamenané pˇri ochlazování, které byly dosaženy pˇri teplotách Ti z intervalu 30 ◦ C – 80 ◦ C s krokem 5 ◦ C Vypoˇcteme prumˇ ˚ erné hodnoty termonapˇetí E¯i = (Ei+ + Ei− )/2. T [◦ C]

E + [mV ]

E − [mV ]

E [mV ]

1 2 .. .

30 35 .. .

E1+ E2+

E1− E2−

E1 E2 .. .

10 11

75 80

N

.. . + E10 + E11

.. . − E10 − E11

E10 E11

Tabulka 13.1: Tabulka namˇerˇ ených hodnot Vzhledem k tomu, že se pohybujeme v rozdílu teplot do 80 ◦ C, staˇcí se omezit na lineární prubˇ ˚ eh termonapˇetí v závislosti na teplotˇe. Rovnice (13.1) se tak výraznˇe zjednoduší na: E(T ) = a T Metodou nejmenších cˇ tvercu˚ vypoˇcteme koeficient a. Pˇritom postupujeme zpuso˚ bem popsaným v cˇ ásti 2.2.

13.5

Poˇcítaˇcové zpracování dat

Data získaná v prubˇ ˚ ehu ohˇrevu a ochlazování proložíme lineární funkcí, pˇrímkou, ve tvaru E(T ) = a T + E0 . (13.2) Koeficienty vypoˇcteme ze všech zaznamenaných hodnot z rozmezí teplot 30 ◦ C až 80 ◦ C metodou nejmenších cˇ tvercu, ˚ pomocí vhodného programu. Získáme tak dvˇe + + − hodnoty koeficientu˚ a , a a E0 a E0− , jeden pro ohˇrev a druhý pro ochlazování. Pru˚ mˇerné hodnoty koeficientu˚ a a E0 pak vypoˇcteme a=

a+ + a− , 2

E0 =

E0+ + E0− . 2

Za krajní chybu koeficentu˚ a a E0 budeme považovat κa = |a+ − a− |,

κE0 = |E0+ − E0− | .

Vypoˇctené závislosti i namˇerˇ ené hodnoty znázorníme graficky.


82

13.6

Diskuse a závˇer

V závˇeru provedeme diskusi rozdílu namˇerˇ eného koeficientu od tabelovaných hodnot. Namˇerˇ ený prubˇ ˚ eh termonapˇetí v závislosti na teplotˇe vyneseme do grafu. Do stejného grafu vyneseme i vypoˇctenou závislost E(T ).

13.7

Kontrolní otázky

1. Uved’te pˇríklady využití termonapˇetí v technické praxi. 2. Uved’te pˇríklady kdy se termonapˇetí projevuje negativnˇe. 3. Jaké jsou podmínky pro vznik termonapˇetí? 4. Jak eliminovat termonapˇetí? 5. Jakým zpusobem ˚ lze termonapˇetí zvýšit? 6. Kdy je možné, aby obvodem, který je napájen termoˇclánkem, protékal velký proud? 7. Jak mˇerˇ it termonapˇetí, když nemáme k dispozici milivoltmetr s velmi vysokým vstupním odporem? 8. Jak si vyrobíte termoˇclánek? 9. Jaké jsou výhody mˇerˇ ení teploty termoˇclánkem? 10. Jaké jsou nevýhody mˇerˇ ení teploty termoˇclánkem? 11. Co znamená kalibrace termoˇclánku? 12. Jak se liší kalibrovaný termoˇclánek od nekalibrovaného? 13. Jaký je význam koeficientu E0 v rovnici (13.2)?

83

Kapitola 14 Stanovení indexu lomu a cukernatosti vodného roztoku sacharózy refraktometrem 14.1

Úvod

Prochází-li svˇetelný paprsek z prostˇredí s indexem lomu n1 do prostˇredí s indexem lomu n2 , platí pro nˇej Snelluv ˚ zákon lomu paprsku na rozhraní dvou prostˇredí: n2 sin α1 = , sin α2 n1

(

kde

α1 = úhel dopadu α2 = úhel lomu

(14.1)

Lom paprsku je znázornˇen na obrázku 14.1.

Obrázek 14.1: Lom svˇetla Pro index lomu platí definiˇcní vztah: c n= , v

(

kde

c = rychlost šíˇrení svˇetla ve vakuu v = rychlost šíˇrení svˇetla v daném prostˇredí .

Prochází-li paprsek z prostˇredí opticky hustšího do prostˇredí opticky rˇ idšího, dojde k lomu paprsku od kolmice. Je zˇrejmé. že pˇri urˇcitém úhlu dopadu se paprsek láme pod úhlem 90◦ .Tento úhel dopadu se nazývá mezní úhel αm . Pˇri úhlu dopadu


84

Obrázek 14.2: Totální odraz vˇetším než αm se paprsek pouze od prostˇredí odráží, viz obrázek 14.2. Pro mezní úhel dopadu platí tedy Snelluv ˚ zákon v upraveném tvaru: sin αm =

n2 . n1

Pokud dopadající paprsek prochází vzduchem, mužeme ˚ položit n2 = 1.

14.2


Princip refraktometru spoˇcívá v promˇerˇ ování mezního úhlu αm . Necháme-li svˇetelný paprsek procházet mˇerˇ eným vzorkem rovnobˇežnˇe s rozhraním, láme se do vzduchu pod úhlem αm , který je úmˇerný indexu lomu daného vzorku. Protože byla prokázána pˇrímá úmˇera mezi indexem lomu vodného roztoku sacharózy a její koncentrací, je možné refraktometricky mˇerˇ it pˇrímo cukernatost roztoku. Laboratorní refraktometr, viz obrázky 14.3 a 14.4 je složen s refraktometrického hranolu s vodorovnou vyleštˇenou mˇerˇ ící stˇenou, na kterou se nanáší mˇerˇ ený vzorek a z krycího osvˇetlovacího hranolu (12), jehož plocha je matná a zrnitá. Dále následuje soustava Amiciho hranolu˚ jimiž se odstranuje ˇ zbarvení mezní cˇ áry rozhraní svˇetla a stínu pomocí toˇcítka (4), viz obrázek 14.3. K pozorování pak slouží objektiv a okulár (1). Bˇehem mˇerˇ ení jsou svˇetelné paprsky usmˇernovány ˇ na refraktometrický hranol pomocí osvˇetlovacího okénka. Po lomu na mˇerˇ ící stˇenˇe se zkoumanou látkou a pruchodu ˚ Amiciho hranoly vstupují paprsky do objektivu, v jehož ohnisku leží horní okénko zorného pole okuláru. V dolním okénku okuláru je stupnice indexu lomu a procent cukernatosti. Stupnice jsou osvˇetleny pomocí zabudovaného zdroje osvˇetlení. Ruˇcní refraktometr je založen na stejném principu. Slouží k rychlému stanovení koncentrace cukru v potravináˇrských výrobcích a rostlinných produktech.

Stanovení cukernatosti roztoku refraktometrem

Obrázek 14.3: Pohled zprava

14.3

85

Obrázek 14.4: Pohled zleva


Úkolem je stanovit index lomu a koncentraci cukru v dodaných kapalných vzorcích. Mˇerˇ ení se provádí pro každou náplnˇ N ×, stanoví vedoucí cviˇcení, výsledky mˇerˇ ení se zapíší do tabulky. 1. Stiskem vypínaˇce zapneme LED osvˇetlení krycího hranolu a stupnice. 2. Po nanesení mˇerˇ eného vzorku, (cca. 5 kapek), se na mˇerˇ ící plochu pˇriklopí odklopený osvˇetlovací hranol (12) a zajistí se otoˇcením pojistného koleˇcka (8). Kapalina musí pokrýt celou mˇerˇ ící stˇenu. 3. Zaostˇríme okulár na nitkový kˇríž a toˇcítkem (6) nastavíme rozhraní mezi svˇetlým a tmavým polem do pruseˇ ˚ cíku nitkového kˇríže. 4. Toˇcítkem (4) otáˇcíme, dokud nedostaneme ostré a bezbarvé rozhraní. 5. Na stupnicích odeˇcteme index lomu n a cukernatost p v %. 6. Celý postup, body 2 – 5, opakujeme N ×. 7. Na závˇer mˇerˇení je tˇreba dukladnˇ ˚ e oˇcistit oba hranoly vodou a osušit!


86 n

p [%]

1 .. .

n1 .. .

p1 .. .

N

nN n ± σn

pN p ± σp

Pro index lomu i cukernatost vzorku se vypoˇcte stˇrední kvadratická chyba mˇerˇ ení. Pokud je k dispozici ruˇcní refraktometr, provede se pouze 1× zmˇerˇ ení vzorku˚ a odhadne se krajní chyba mˇerˇ ení.

14.4

Závˇer a diskuse

V závˇeru je tˇreba uvést výsledky mˇerˇ ení i s diskusí chyb mˇerˇ ení. Pokud byl vzorek promˇerˇ en i ruˇcním refraktometrem, je tˇreba porovnat výsledky. Pokud se vzorek promˇerˇ uje zárovenˇ i polarograficky, porovnejte dosažené výsledky. Na promˇerˇ ovaných ovocných št’ávách bývá výrobcem udávána maximální koncentrace sacharózy. Porovnejte ji s výsledkem.

14.5

Kontrolní otázky

1. Je rychlost svˇetla vyšší v našem vzorku nebo ve vzduchu? 2. V kterém prostˇredí je vyšší rychlost šíˇrení svˇetla, dojde-li pˇri pruchodu ˚ z prostˇredí I do prostˇredí II k lomu od kolmice ? 3. Z jakého duvodu ˚ je kontrastnˇejší rozhraní v okuláru pˇri sledování cˇ irého vzorku, než napˇríklad u vylisované ovocné št’ávy? 4. Uved’te duvody ˚ proˇc se vubec ˚ cukernatost mˇerˇ í. 5. Jak je definován index lomu? 6. Jakou hodnotu má index lomu vakua? Proˇc? 7. Jak je definován mezní úhel? 8. Co je to optická disperze? 9. Kde se využívá v praxi úplný odraz svˇetla pˇri dopadu na rozhraní pod úhlem vyšším než je mezní úhel?

87

Kapitola 15 Stanovení koncentrace vodného roztoku sacharózy kruhovým polarimetrem 15.1

Úvod

Svˇetlo je definováno jako elektromagnetické vlnˇení. Pro popis svˇetelných jevu˚ staˇcí zkoumat chování periodicky promˇenného elektromagnetického pole. Svˇetlo v urˇcitém místˇe prostoru je v urˇcitém okamžiku popsáno vektorem in~ který udává velikost i smˇer elektrického pole v tomto tenzity elektrického pole E, ~ udávajícím velikost a smˇer magnetické inbodˇe a vektorem magnetické indukce B, ~ iB ~ jsou vždy kolmé ke smˇeru šíˇrení paprsku dukce v tomto bodˇe. Oba vektory E urˇcenému vektorem ~k, i k sobˇe navzájem. Z toho vyplývá, že známe–li smˇer šíˇrení ~ protože smˇer vektoru B ~ je svˇetelného paprsku, staˇcí urˇcit napˇríklad smˇer vektoru E, ~ Proto se nadále budeme zabývat již urˇcen – musí být kolmý na rovinu vektoru˚ ~k a E. ~ jen studiem polohy vektoru E. ~ ve všech bodech dráhy paprsku bˇehem cˇ asu stálý, rˇ íkáme, Je-li smˇer vektoru E že svˇetlo je lineárnˇe polarizované. Rovina, ve které se kmity dˇejí, se nazývá kmitová, polarizaˇcní, rovina. Jako polarizátory se v praxi nejˇcastˇeji užívají polarizaˇcní filtry, (krystalky jodchininsulfátu rozptýlené v celuloidové folii), cˇ ili polaroidy, nebo zvláštním zpusobem ˚ vybroušené a slepené hranoly z dvojlomného islandského vápence, (napˇríklad hranol Nicoluv, ˚ krátce nikol). Nˇekteré látky vykazují vlivem své struktury tzv. optickou aktivitu, (napˇríklad vodný roztok sacharózy). Tato vlastnost se projevuje stáˇcením kmitové roviny polarizovaného svˇetla pˇri pruchodu ˚ paprsku opticky aktivní látkou. Velikost tohoto stoˇcení je u dané látky závislé na její koncentraci, cˇ ehož se využívá pro rychlé a pomˇernˇe pˇresné stanovení koncentrace opticky aktivních látek.


88

15.2


Na mˇerˇ ení stoˇcení polarizaˇcní roviny se používají kruhové polarimetry, viz obrázek 15.1. Ze zdroje Z monochromatického svˇetla dopadá svˇetlo na vstupní kruhovou

Obrázek 15.1: Konstrukˇcní schéma polarimetru štˇerbinu kolimátoru K, který vytváˇrí rovnobˇežný paprsek svˇetla. Toto svˇetlo dopadá na nikol, který se nazývá polarizátor P, který propouští pouze lineárnˇe polarizované svˇetlo. Po pruchodu ˚ prostorem, ve kterém je umístˇena kyveta s mˇerˇ eným roztokem L, dopadá svˇetlo na druhý nikol, který nazýváme analyzátor A a je jím možno otáˇcet kolem optické osy pˇrístroje. S analyzátorem je pevnˇe spojen kruh s úhlovou stupnicí. Vycházející svˇetlo pozorujeme dalekohledem D. Zkˇrížíme-li polarizátor a analyzátor, (v pˇrístroji ještˇe není kyveta s opticky aktivní látkou), bude intenzita zorného pole minimální, protože kmitové roviny, (smˇery propustnosti nebo také roviny polarizace polarizátoru a analyzátoru jsou na sebe kolmé). Oko však urˇcuje minimum osvˇetlení pomˇernˇe nepˇresnˇe. Chceme–li pˇresnost urcˇ ení této polohy zvýšit, mužeme ˚ užít napˇríklad polostínového zaˇrízení, které vznikne tak, že analyzátor je rozˇríznut v rovinˇe, která je urˇcena optickou osou pˇrístroje a osou analyzátoru. Poté je z každé cˇ ásti odbroušen malý klín pod úhlem ψ a hranol se opˇet slepí. Je-li polarizátor s analyzátorem zkˇrížen, budou nyní obˇe poloviny zorného pole stejnˇe osvˇetleny, jsou však obˇe polozastínˇeny, nejsou zcela tmavé, ani zcela svˇetlé. Stoˇcení polarizaˇcní roviny cˇ teme na stupnici opatˇrené noniem na setiny stupnˇe. Protože optická stáˇcivost je závislá také na vlnové délce procházejícího svˇetla, používá se k mˇerˇ ení svˇetlo monochromatické. Pˇri našem experimentu použijeme jako zdroj svˇetla sodíkovou výbojku. Potom mužeme ˚ vypoˇcítat koncentraci p vodného roztoku sacharózy pomocí vztahu: α [%] , p = 150.4 dρ

15.3

kde

    

α d  ρ    150.4

= = = =

stoˇcení roviny polarizovaného svˇetla délka kyvety hustota mˇerˇ eného roztoku konstanta pro sodíkovou výbojku


1. Zapneme zdroj sodíkové výbojky a poˇckáme, až bude vyzaˇrovat žluté svˇetlo konstantní intenzity. Mezitím je možno provést bod 2.

Stanovení koncentrace roztoku sacharózy polarimetrem

89

2. Je tˇreba stanovit hustotu ρ zkoumaného vodného roztoku sacharózy. Pokud roztok není pˇripraven, namícháme si jej. Jeho hustotu stanovíme pomocí Mohrových vah, viz cˇ ást 9.2.2 a dále zmˇerˇ íme délku kyvety d. Obˇe mˇerˇ ení se provedou pouze jedenkrát, stanovíme krajní chybu mˇerˇ ení. 3. Zaostˇríme okulár polarimetru a pˇrípadnˇe i lupu nad stupnicí. 4. Provedeme následujícím zpusobem ˚ stanovení úhlu α0 , což je úhel pootoˇcení paprsku v prázdném polarimetru, (liší se od 0◦ vlivem nepˇresností pˇri výrobˇe pˇrístroje). Mikrometrickým šroubem otáˇcíme tak dlouho, až v zorném poli dalekohledu vidíme celé zorné pole stejnˇe polozastínˇené, tedy stˇred i okraje, viz. Obr 15.2 B. Pˇri mˇerˇ ení bez vzorku nastane tento stav v okolí 0◦ pohyblivé stupnice. Provedeme odeˇctení α0 . Hodnotu zapíšeme do tabulky.

Obrázek 15.2: Zorné pole polarimetru 5. Mˇerˇ ící kyvetu naplníme vzorkem roztoku sacharózy, po naplnˇení nesmí být uvnitˇr vzduchová bublina! Kyvetu se vzorkem poté vložíme do polarimetru a provedeme nastavení polarimetru tak, že mikrometrickým šroubem otácˇ íme pomalu doleva proti smˇeru hodinových ruˇciˇcek tak dlouho, až zorné pole bude opˇet celé polozastínˇené, viz Obr 15.2 B. Poté provedeme odeˇctení úhlu α1 a hodnotu zapíšeme do tabulky. 6. Celé mˇerˇ ení popsané výše zopakujeme N ×, N stanoví vedoucí cviˇcení. Po té provedeme výmˇenu vzorku v kyvetˇe a celé mˇerˇ ení znovu zopakujeme. Pozor pˇri odeˇcítání úhlu pootoˇcení! Výsledek pootoˇcení se vždy odeˇcte pomocí nonia (pˇrídavné stupnice, která dˇelí interval 1◦ , odeˇcítání je obdobné jako napˇr. u posuvného mˇerˇ ítka. Vypoˇcteme prumˇ ˚ ernou velikost úhlu stoˇcení kmitové roviny, α = α1 − α0 a vypoˇcteme koncentraci sacharózy p. Samozˇrejmˇe také stanovíme σp stˇrední kvadratickou a ηp relativní chybu mˇerˇ ení. 7. Po ukonˇcení mˇerˇení kyvetu vypláchneme cˇ istou vodou! Dáváme pozor aby jsme nepoškodili nebo neztratili krycí skla kyvety!


90

15.4

α0 [◦ ]

α1 [◦ ]

1 .. .

α01 .. .

α11 .. .

N

α0N α0 ± σα0

α1N α1 ± σα1

Závˇer a diskuse

V závˇeru je tˇreba uvést prumˇ ˚ ernou hodnotu koncentrace sacharózy ve vodˇe a provést diskusi ohlednˇe velikosti relativní chyby mˇerˇ ení.

15.5

Kontrolní otázky

1. Co je to monochromatické svˇetlo? 2. Co je opticky aktivní látka? 3. Proˇc jsou nˇekteré látky opticky aktivní? 4. Závisí úhel pootoˇcení polarizovaného svˇetla na délce kyvety se vzorkem? 5. Jak dochází k polarizaci svˇetla? ˇ 6. Cím se liší polarizované svˇetlo od nepolarizovaného? 7. Jak se jeví polarizaˇcní filtr pˇri pozorování v obyˇcejném svˇetle? 8. Kde se ještˇe používají polarizaˇcní filtry? 9. Popište princip mˇerˇ ení noniem.

91

Tabulky Koeficienty dynamického tˇrení Materiály ocel achát dˇrevo

konopí kuže ˚

dˇrevo kámen dˇrevo dˇrevo kov

Plocha suchý olejovaný suchý namydlený stˇr. hodn. suchý vlhký suchý suchý

µ 0.20 0.11 0.25–0.50 0.20 0.40 0.53 0.33 0.27–0.38 0.56

Materiály kuže ˚ kov

kov

dˇrevo

kov kov

kámen

Plocha vlhký mastný olejovaný suchý vlhký namydlený suchý trvale mazaný suchý

Younguv ˚ modul pružnosti vybraných materiálu˚ Prvky Materiál E [G P a] cín 54 hliník 70.7 kˇremík 95 mangan 193 mˇed’ 123 nikl 205 olovo 16 stˇríbro 78.8 zlato 78.5 železo 212

Slitiny a slouˇceniny Materiál E [G P a] bronz 97–120 dural 72.5 konstantan 163 litina 110–140 mosaz 99 ocel 200–215 sul ˚ 38.5 mramor 72 sklo 55–80 beton 40–45

Organické materiály Materiál E [G P a] plexisklo 3.3 celuloid 2.5 guma 0.0015–0.005 borovice1 120 / 0.46 1 buk 150 / 0.9 dub1 130 / 0.55 smrk1 110 / 0.43 pˇrekližka 21.5 lepenka 15 dˇrevo lisované 25 1

Kolmo / Ve smˇeru vláken

µ 0.36 0.23 0.13 0.50–0.60 0.24–0.26 0.20 0.15–0.20 0.03–0.04 0.30–0.70


92

Hustoty vybraných materiálu˚ Prvky h

kg m3

Materiál

ρ

cín bílý cín šedý hliník hoˇrcˇ ík kˇremík mangan molybden

7 298 5 750 2 699 1 739 2 328 7 440 10 20

i

h

kg m3

i

Materiál

ρ

mˇed’ nikl olovo osmium platina rtut’ stˇríbro

8 960 8 900 11 341 22 480 21 450 13 456 10 503

h

kg m3

Materiál

ρ

uhlík-diamant uhlík-grafit uran wolfram zinek zlato železo

3 511 2 240 19 05 19 30 7 140 19 32 7 874

i

Tuhé látky Materiál

ρ

i

Materiál

ρ

i

Materiál

ρ

bronz dural litina mosaz ocel

7 600-8 850 2 750-2 870 7 200 8 300-8 600 7 800-8 300

beton cˇ ediˇc cihla mramor žula

1 500-2 400 2 600-3 300 1 400-1 800 2 500-2 800 2 500-3 100

buk borovice dub jedle smrk

750 500 700 650 650

Materiál

ρ

Materiál

ρ

H 2 O 0◦ C H 2 O 4◦ C H2 O 20◦ C

999.8 1000.0 997.0

H2 O 50◦ C H2 O 75◦ C H2 O 100◦ C

988.0 974.8 958.4

h

kg m3

h

kg m3

h

kg m3

i

Kapaliny h

kg m3

i

Materiál

ρ

benzín etanol nafta

690-770 789 730-940

h

kg m3

i

Graf závislosti koncetrace lihu na hustotˇe roztoku

h

kg m3

i

Tabulky

93

Mˇerná tepla vybraných materiálu˚ Prvky h

J kg K

Materiál

c

cín bílý cín šedý hliník hoˇrcˇ ík kˇremík mangan molybden

227 5.750 896 1 017 703 476 251

i

h

J kg K

Materiál

c

mˇed’ nikl olovo osmium platina rtut’ stˇríbro

383 448 268 130 133 139 235

Materiál

c

i

h

J kg K

Materiál

c

uhlík-diamant uhlík-grafit uran wolfram zinek zlato železo

460 837 115 134 385 129 450

Materiál

c

i

Tuhé látky Materiál

c

h

J kg K

i

h

J kg K

i

h

J kg K

i

94


95

Doporuˇcená literatura ˇ ˇ • Cerný F. a kol.: Fyzika I. CVUT, Praha, 2004, ISBN 80-01-02913-1 • Dostál J., Janáˇcek Z.: Fyzika. UTB, Zlín, 2004, ISBN 80-7318-181-9 • Zajíc J. Fyzika II. Univerzita Pardubice, 2004, ISBN 80-7194-641-9 • Bahník T. a kol.: Pˇríklady z fyziky II. TU, Liberec, 2003, ISBN 80-7083-735-7 ˇ • Bednaˇrík M., Koníˇcek P., Jiˇríˇcek O.: Fyzika I a II : fyzikální praktikum. CVUT, Praha, 2003,ISBN 80-01-02805-4 • Benco P. a kol.: Technická fyzika : návody na laboratórne cviˇcenia. STU, Bratislava, 2003, ISBN 80-227-1869-6 • Bílková J.: Fyzika. Barrister & Principal, Brno, 2003, ISBN 80-86598-12-8 ˇ • Kubeš P., Kyncl Z.: Fyzika I. CVUT, Praha, 2003, ISBN 80-01-02671-X • Libra M. a kol.: Fyzika v pˇríkladech. Ústí nad Labem, R. Hájek, 2003, ISBN 8096540-17-0 • Salyk O., Weiter M.: Fyzika: laboratorní cviˇcení. VUT, Brno, 2003, ISBN 80-2142467-2 • Cimpl Z., Karamazov S.: Fyzika. Univerzita Pardubice, 2002, ISBN 80-7194421-1 • Feynman R.: Feynmanovy pˇrednášky z fyziky s rˇešenými pˇríklady. Fragment, Praha, 2002, ISBN 80-7200-421-2 • Petráš J., Št’avina C., Vaník j.: Fyzika II. STU, Bratislava, 2002, ISBN 80-2271731-2 • Benda M. Fyzika 2. ZU, Plzen, ˇ 2001, ISBN 80-7082-790-4 • Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika. Vutium, Brno, 2001, ISBN 80-2141869-9

Doporuˇcená literatura

96

ˇ • Nováková D., Budínská Z., Malá Z.: Fyzika 1. CVUT, Praha, 2001, ISBN 80-0102360-5 • Novotný I., Pištora J.: Fyzika. VŠB, Ostrava, 2001, ISBN 80-7078-834-8 • Buchar J., Severa L.: Fyzika I. MZLU, Brno, 1999, ISBN 80-7157-382-5 • Bartonˇ S., Kˇrivánek I., Pilát V.: Laboratorní cviˇcení z fyziky. MZLU, Brno, 1997, ISBN 80-7157-262-4 • Rektorys K. a kol.: Pˇrehled užité matematiky. Prometeus, Praha, 1995, ISBN 8085849-72-0. • Buchar J.: Fyzika I a II. VŠZ, Brno, 1990. • Krupka F., Kalivoda L.: Fyzika. SNTL, Praha, 1989. • Ružiˇ ˚ cka J., Hruška E.: Fyzika (cviˇcení). VŠZ, Brno, 1988. • Krempaský J.: Fyzika. Alfa, Bratislava, 1982. • Horák Z., Krupka F.: Fyzika. SNTL, Praha, 1981. • Horák Z., Krupka F., Šindeláˇr V.: Technická Fyzika. SNTL, Praha, 1961. ˇ • Petržílka V., Šafrata S.: Elektˇrina a magnetismus. CSAV, Praha, 1956. • Horák Z., Krupka F., Šindeláˇr V.: Základy technické fyziky. Práce, Praha, 1953. Jakákoliv další skripta vysokých škol technického nebo pˇrírodovˇedeckého zamˇerˇ ení urˇcená ke studiu fyziky.

97

Rejstˇrík absorbér, 49 aktivita optická, 87 ampérmetr reálný, 71 analyzátor, 88 cˇ len absolutní, 21 délka redukovaná, 44, 48 dekáda odporová, 73, 75 drsnost, 29 energie tepelná, 61 vnitˇrní, 61 filtr polarizaˇcní, 87 funkce minimum, 20 graf lineární, 25 logaritmický, 25 semilogaritmický, 25 speciální, 25 hranoly Aimiciho, 84 charakteristika kolektoru, 50 chyba cˇ etnost, 10 relativní, 11 rˇ ád, 10 grafické znázornˇení, 25 hustota výskytu, 11 krajní, 14 jednoho mˇerˇ ení, 16 metody, 10

náhodná, 9 prumˇ ˚ erná, 12, 13 pradˇepodobná, 13–15 jednoho mˇerˇ ení, 15 prumˇ ˚ eru, 15 relativní, 15 pravdˇepodobnost výskytu, 11 relativní, 16 soustavná, 9 stˇrední, 12, 14 hodnota, 12 kvadratická, 12, 13 systematická, 9 výpoˇctu, 17 zdánlivá, 14 index lomu, 83 jev termoelektrický, 77 kˇrivka Gaussova, 12 kapacita kalorimetru tepelná, 63, 64 koeficient roztažnosti teplotní, 55 kolimátor, 88 kompenzátor gumový, 30 míra pˇresnosti, 13 metoda skupinová, 40 statická, 35 modul, 25 pružnosti Younguv, ˚ 39–40 most Wheastoneuv, ˚ 73 multimetr, 67 napˇetí normálové, 39

98 parazitní, 78 termoelektrické, 77 podružné, 77 nikol, 87, 88 nonium, 89 odchylka smˇerodatná, 12 odpor hraniˇcní, 73 malý, 72 ohmický, 71 velký, 72 omezení proudové, 68 osa neutrální, 40 osy sdružené, 44 pˇrístroj identifikace, 23 penetrometrický, 36 pˇresnost, 12 tˇrída, 16 paprsek svˇetelný, 87 parametr, 19 kolektoru, 50 polarizátor, 88 polaroid, 87 prodloužení relativní, 39 promˇenná nezávislá, 24 závislá, 24 protokol testování, 7 reostat, 75 rovina polarizaˇcní, 87 rovnice kalorimetrická, 62 roztažnost souˇcinitel, 39 soubory archivace, 31, 52, 81 stáˇcivost optická, 88 svˇetlo, 87 polarizované, 87 teplo mˇerné, 61 úˇcinnost, 50

Barton, ˇ Kˇrivánek, Severa úhel mezní, 83 voltmetr reálný, 72 vrstva neutrální, 40 zákon Archimeduv, ˚ 57, 58 chyb Gausuv, ˚ 10–11 Hookuv, ˚ 39 Ohmuv, ˚ 71 Snelluv, ˚ 83, 84 zápoˇcet podmínky, 7 zaˇrízení polostínové, 88 zrychlení tíhové normální, 43

Fyzika Laboratorní cvičení. Doc. RNDr. Stanislav Bartoň, CSc. RNDr. Ivo Křivánek, CSc. Ing. Libor Severa, Ph.D

Recommend Documents