Teoretická mechanika. Doc. RNDr. Ing. Kurt Fišer, CSc

Teoreticka´ mechanika Doc. RNDr. Ing. Kurt Fisˇer, CSc. 2003

2

Obsah

1 Mechanika hmotnyćh bodu˚

5

1.1

Za´kladnı´ hypote´zy klasicke´ mechaniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Vztazˇny´ a inercia´lnı´ syste´m. I. Newtonu˚v pohybovy´ za´kon . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Prave´ a zdańlive´ sı´ly. II. Newtonu˚v pohybovy´ za´kon. Hmotnost. Za´kon akce a reakce .

7

1.4

Galileiho transformace a du˚sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Pohyb hmotne´ho bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6

Impulzove´ veˇty a za´kony zachovańı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7

Energie a praće. Potencia´love´ a konzervativnı´ sı´ly. Za´kon zachovańı´ mechanicke´ energie 16

1.8

Centra´lnı´ sı´ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.9

Rychlost, zrychlenı´ a pohybove´ rovnice v pola´rnıćh sourˇadnicıćh . . . . . . . . . . . .

20

1.10 Integrace pomocı´ za´konu˚ zachovańı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.11 Kuzˇelosecˇky v pola´rnıćh sourˇadnicıćh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.12 Pohyby planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.13 Rozptyl. Rutherfordu˚v vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.14 Binetu˚v vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.15 Prˇirozeny´ pohyb po krˇivce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.16 Harmonicke´ kmity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.17 Soustava hmotnyćh bodu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.18 Proble´m dvou teˇles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2 Mechanika tuhe´ho teˇlesa

43 3

OBSAH

2.1

Za´kladnı´ vlastnosti. Hmotny´ strˇed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2

Eulerova veˇta o pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3

Eulerovy u´hly a Eulerovy kinematicke´ rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.4

Una´sˇiva´ rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.5

Kineticka´ energie a moment hybnosti. Ko¨nigova veˇta . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.6

Otaćˇenı´ kolem pevne´ho bodu. Tenzor setrvacˇnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.7

Eulerovy dynamicke´ rovnice. Setrvacˇnı´ky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.8

Rotace kolem pevne´ osy. Steinerova veˇta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.9

Pohyb v neinercia´lnı´m syste´mu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.10 Vektorova´ mechanika. Princip uvolneˇnı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3 Analyticka´ mechanika

71

3.1

´ vod. Stupenˇ volnosti a vazby. Integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U

71

3.2

Virtua´lnı´ posunutı´. Princip virtua´lnıćh pracı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

3.3

D’Alembertu˚v princip. Lagrangeu˚v princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.4

Lagrangeovy rovnice I. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

3.5

Zobecneˇne´ sourˇadnice. Lagrangeovy rovnice II. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.6

Hamiltonu˚v princip nejmensˇ´ı akce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.7

Hamiltonovy kanonicke´ rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

3.8

Kanonicke´ transformace. Poissonovy za´vorky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

3.9

Za´veˇr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

4 Mechanika kontinua

101

4.1

Tenzor deformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2

Tenzor napeˇtı´. Podmıńky rovnova´hy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3

Hooku˚v za´kon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.4

Elasticka´ energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.5

Dynamicka´ rovnice kontinua. Vlny v tuhyćh la´tkaćh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.6

Vlastnosti a popis tekutin. Rovnice kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4

Obsah

4.7

Navier-Stokesovy rovnice. Eulerovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.8

Hydrostatika. Archimedu˚v a Pascalu˚v za´kon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.9

Staciona´rnı´ proudeˇnı´. Bernoulliho rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.10 Potencia´lnı´ (nevı´rove´) proudeˇnı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.11 Vı´ry v idea´lnı´ tekutineˇ. Thomsonova a Helmholtzova veˇta . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.12 Lamina´rnı´ proudeˇnı´. Hagen-Poiseuilleu˚v vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.13 Turbulence. Reynoldsovo cˇ´ıslo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5

OBSAH

6

Kapitola 1 Mechanika hmotnyćh bodu˚ 1.1 Za´kladnı´ hypote´zy klasicke´ mechaniky Mechanika je oblast fyziky, ktera´ studuje klid a pohyb hmotnyćh teˇles pod vlivem vza´jemne´ interakce a pu˚sobenı´ vneˇjsˇ´ıch sil. Vneˇjsˇ´ımi silami rozumı´me pu˚sobenı´ teˇles, ktere´ do zkoumane´ho syste´mu nezahrnujeme. Klasicka´ mechanika byla zformulovańa v polovineˇ XVII. stoletı´ I. Newtonem a je to vlastneˇ prvnı´ veˇdecka´ disciplıńa podana´ axiomaticky´m zpu˚sobem. Vzhledem ke stavu teoretickyćh znalostı´ i experimenta´lnı´ u´rovneˇ tehdejsˇ´ı doby Newton musel vyjı´t z nejjednodusˇsˇ´ıch prˇedpokladu˚. Byla to prˇedevsˇ´ım hypote´za absolutnı´ho prostoru: „Prostor je trˇ´ırozmeˇrny´, v klidu a je homogennı´ a izotropnı´, tj. ma´ ve vsˇech bodech a smeˇrech stejne´ vlastnosti.“ Sa´m Newton jizˇ veˇdeˇl, zˇe nehybnost prostoru nelze zˇa´dny´mi mechanicky´mi pokusy doka´zat, ale veˇrˇil v jeho nehybnost a jesˇteˇ zacˇa´tkem XX. stoletı´ veˇtsˇina fyziku˚ doufala, zˇe pohyb vu˚cˇi absolutnı´mu prostoru bude mozˇno zjistit nemechanicky´mi (naprˇ. elektromagneticky´mi) prostrˇedky. Podobneˇ i o cˇase zavedl hypote´zu absolutnı´ho cˇasu: „Cˇas plyne rovnomeˇrneˇ, jednı´m smeˇrem a neza´visle na pohybove´m stavu teˇlesa.“

1.2 Vztazˇny´ a inercia´lnı´ syste´m. I. Newtonu˚v pohybovy´ za´kon Dalsˇ´ı du˚lezˇity´ pojem je vztazˇny´ syste´m: „Jake´koliv hmotne´ teˇleso, vu˚cˇi ktere´mu uda´va´me polohu zkoumanyćh objektu˚.“ Ve zvolene´m vztazˇne´m syste´mu pak uda´va´me polohu bodu bud’polohovy´m vektorem (invariantnı´ popis) vzhledem ke zvolene´mu bodu (pocˇa´tku) nebo pomocı´ trˇ´ı sourˇadnic v zavedene´m sourˇadnicove´m syste´mu (sourˇadnicovy´ popis). V teoretickyćh u´vahaćh da´va´me prˇednost vektorove´mu popisu, cˇ´ımzˇ za´rovenˇ splnı´me za´kladnı´ pozˇadavek (platny´ v cele´ fyzice), zˇe fyzika´lnı´ obsah nesmı´ za´viset na zvolene´m sourˇadnicove´m syste´mu. Prˇi pocˇ´ıtańı´ konkre´tnıćh situacı´ pak s vy´hodou zavedeme takovy´ sourˇadnicovy´ syste´m, aby vy´poveˇdi byly co nejjednodusˇsˇ´ı. Prˇipomenˇme, zˇe nejuzˇ´ıvaneˇjsˇ´ı 7

KAPITOLA 1. MECHANIKA HMOTNYĆH BODU˚

sourˇadne´ syste´my jsou:

a) Karte´zsky´ (x, y, z) nebo (x1 , x2 , x3 ): Vzda´lenost bodu od trˇ´ı vza´jemneˇ kolmyćh rovin. b) Va´lcovy´ (ρ, ϕ, z): Pola´rnı´ syste´m (ρ, ϕ) v rovineˇ a vzda´lenost z od te´to roviny. c) Kulovy´ (r, ϑ, ϕ): Pola´rnı´ syste´m (r, ϑ) v polorovineˇ a odchylka ϕ te´to poloroviny a pevne´ poloroviny ve svazku se spolecˇnou pola´rnı´ osou.

Obra´zek 1.1: Sourˇadne´ syste´my: karte´zsky´, va´lcovy´, kulovy´

Z mnozˇiny vztazˇnyćh syste´mu˚, ktere´ se teoreticky mohou pohybovat libovolneˇ, vybereme podmnozˇinu teˇch nejjednodusˇsˇ´ıch, ktery´m budeme rˇ´ıkat inercia´lnı´ syste´my: „Jsou to ty syste´my, vu˚cˇi ktery´m se osamocene´ teˇleso pohybuje rovnomeˇrneˇ prˇ´ımocˇarˇe.“ Prˇi tom klid povazˇujeme za pohyb s nulovou rychlostı´. Prakticka´ existence takove´ho syste´mu za´visı´ na konkre´tnıćh podmıńkaćh: naprˇ. prˇi zkoumańı´ pohybu˚ v blı´zkosti Zemeˇ (male´ vzda´lenosti, kra´tke´ cˇasy) mu˚zˇeme za inercia´lnı´ povazˇovat syste´m sva´zany´ s povrchem Zemeˇ. V jinyćh prˇ´ıpadech mu˚zˇeme bra´t syste´m pevneˇ spojeny´ se Sluncem nebo galaxiı´ cˇi sta´licemi. Prˇesto, abychom meˇli pevny´ teoreticky´ za´klad, si existenci inercia´lnı´ho syste´mu zavedeme jako postula´t, ktere´mu rˇ´ıka´me I. Newtonu˚v pohybovy´ za´kon: „Existuje alesponˇ jeden inercia´lnı´ syste´m.“ Tento syste´m si mu˚zˇeme prˇedstavit spojeny´ s teˇlesem, ktere´ je v klidu v absolutnı´m prostoru. Ma´ tedy smysl mluvit o rychlosti a zrychlenı´ vu˚cˇi tomuto inercia´lnı´mu syste´mu:

v

=

a

=

dr dt dv d2 r = 2. dt dt 8

(1.1) (1.2)

1.3. Prave´ a zdańlive´ sı´ly. II. Newtonu˚v pohybovy´ za´kon. Hmotnost. Za´kon akce a reakce

1.3 Prave´ a zdańlive´ sı´ly. II. Newtonu˚v pohybovy´ za´kon. Hmotnost. Za´kon akce a reakce Nynı´ se obrat’me k pojmu sı´ly. Neexistuje analyticka´ definice sı´ly (analogie naprˇ. definice inercia´lnı´ho syste´mu). Vzˇdy vsˇak mu˚zˇeme kazˇdou mnozˇinu definovat tı´m, zˇe uka´zˇeme na vsˇechny jejı´ prvky (definice vyćˇtem). Zava´dı´me tak mnozˇinu pravyćh (skutecˇnyćh) sil: jednı´m prvkem je naprˇ. sı´la coulombovska´ mezi dveˇma na´boji, sı´la gravitacˇnı´ mezi dveˇma teˇlesy, sı´ly pruzˇnosti, molekula´rnı´ apod. Nebo obecneˇji: vı´me, zˇe v prˇ´ırodeˇ existujı´ pra´veˇ cˇtyrˇi interakce: silna´, elektromagneticka´, slaba´ a gravitacˇnı´. Prava´ sı´la je pak kazˇda´ interakce, ktera´ je jejich kombinacı´. Du˚lezˇita´ vlastnost pravyćh sil je toto: pokud je nenulova´ v jedne´ vztazˇne´ soustaveˇ, pak je nenulova´ v kazˇde´ jine´ soustaveˇ. Tı´m se lisˇ´ı od tzv. zdańlivyćh sil, ktere´ tuto vlastnost nemajı´: v jedne´ soustaveˇ jsou nenulove´, v jine´ se rovnajı´ ˇ ´ıka´me, zˇe zdańlive´ sı´ly lze odtransformovat prˇechodem k jine´ vztazˇne´ soustaveˇ. nule. R Prˇedpokla´dejme, zˇe v nasˇ´ı inercia´lnı´ soustaveˇ pu˚sobı´ vy´sledna´ prava´ sı´la F na teˇleso. Pta´me se pak, zda ovlivnˇuje jeho pohyb. To rˇ´ıka´ druhy´ Newtonu˚v pohybovy´ za´kon: „Pu˚sobıćı´ sı´la a jı´ vyvolane´ zrychlenı´ jsou si u´meˇrne´.“ Obvykle ho pı´sˇeme ve tvaru ma = F ,

(1.3)

velicˇineˇ m rˇ´ıka´me hmotnost teˇlesa a je touto rovnicı´ definovańa. Jak se meˇnı´ hmotnost prˇi prˇechodu k jine´mu vztazˇne´mu syste´mu? I na tuto ota´zku Newton odpoveˇdeˇl nejjednodusˇsˇ´ım prˇedpokladem, ktery´ mu˚zˇeme nazvat hypote´zu absolutnı´ hmotnosti: „hmotnost je skala´rnı´ velicˇina neza´visla´ na pohybove´m stavu.“ Newton zavedl jesˇteˇ trˇetı´ za´kon, za´kon akce a reakce: „Kazˇda´ sı´la vyvola´va´ reakcˇnı´ sı´lu, ktera´ je stejneˇ velka´ a opacˇna´.“ Jelikozˇ vsˇak existujı´ interakce (naprˇ. sı´la mezi dveˇma elementy staciona´rnı´ho proudu), ktere´ tento princip nesplnˇujı´, je nejle´pe jej zkoumat od prˇ´ıpadu k prˇ´ıpadu.

1.4 Galileiho transformace a du˚sledky Zkoumejme prˇechod od nasˇeho (absolutnı´ho) inercia´lnı´ho syste´mu k jine´mu vztazˇne´mu syste´mu („cˇa´rkovane´mu“). Nejprve prˇedpokla´dejme, zˇe se „cˇa´rkovany´“ syste´m pohybuje rovnomeˇrneˇ prˇ´ımocˇarˇe rychlostı´ v = konst vzhledem k absolutnı´mu. Bez u´jmy na obecnosti prˇedpokla´dejme, zˇe rychlost ma´ smeˇr spojnice obou pocˇa´tku˚ a cˇas (spolecˇny´!) meˇrˇ´ıme od okamzˇiku, kdy oba pocˇa´tky splynuly. Vidı´me, zˇe platı´

r ′ = r − v t, 9

t = t′ ,

(1.4)


kde druha´ rovnice vyjadrˇuje hypote´zu absolutnı´ho cˇasu. Derivacı´ dle cˇasu dostaneme

v′ = u − v ,

(1.5)

cozˇ je za´kon skla´dańı´ rychlosti v klasicke´ mechanice. Dalsˇ´ı derivacı´ obdrzˇ´ıme

a′ = a . Odtud ihned plyne, zˇe cˇa´rkovany´ syste´m je te´zˇ inercia´lnı´, nebot’ inercia´lnost znamena´, zˇe pro osamocene´ teˇleso a = 0 a tudı´zˇ i a ′ = 0. Platı´ tedy: „Existuje nekonecˇneˇ mnoho inercia´lnıćh syste´mu˚ a jsou to pra´veˇ ty, ktere´ se vu˚cˇi postulovane´mu (absolutnı´mu) prostoru pohybujı´ rovnomeˇrneˇ prˇ´ımocˇarˇe.“

(1.6)

Obra´zek 1.2: Galileiho transformace

Napı´sˇeme-li v cˇa´rkovane´m inercia´lnı´m syste´mu Newtonovu rovnici m′ a ′ = F ′ ,

(1.7)

plyne z (1.7) m = m′ (hypote´za absolutnı´ hmotnosti) a (1.6) ihned

F = F′ ,

(1.8)

nebo-li: „Ve vsˇech inercia´lnıćh syste´mech je prava´ sı´la stejna´.“ Odtud plyne, zˇe zˇa´dny´mi mechanicky´mi pokusy nelze zjistit absolutnı´ pohyb. Transformace (1.4), ktera´ uda´va´ rovnice pro prˇechod mezi dveˇma inercia´lnı´mi syste´my v klasicke´ mechanice, nazy´va´me Galileiho transformace.

1.5 Pohyb hmotne´ho bodu Dalsˇ´ı uzˇitecˇny´ pojem ve fyzice je pojem hmotne´ho bodu: je to hmotne´ teˇleso, jehozˇ rozmeˇry jsou zanedbatelne´ vu˚cˇi charakteristicke´mu rozmeˇru u´lohy (naprˇ. rozmeˇr kamene vu˚cˇi zemske´mu polomeˇru v blı´zkosti povrchu, rozmeˇr Zemeˇ vu˚cˇi vzda´lenosti od Slunce apod.). Nynı´ budeme studovat pohyb hmotne´ho bodu bud vlivem zadane´ sı´ly, kterou budeme povazˇovat za funkci t, r , v = r˙ m¨r = F (t, r , r˙ ) . (1.9) Jedna´ se o diferencia´lnı´ rovnici 2. rˇa´du. Abychom dostali jednoznacˇne´ rˇesˇenı´, musı´me zadat jesˇteˇ dveˇ pocˇa´tecˇnı´ podmıńky, naprˇ. pro t = t0 je r = r0 , v = v0 . (1.10) 10

1.5. Pohyb hmotne´ho bodu Pak pro libovolnou sı´lu F (t, r , r˙ ) dosta´va´me rˇesˇenı´

r = r (t, r0 , v0) ,

(1.11)

ktere´ splnˇuje dane´ pocˇa´tecˇnı´ podmıńky. Nynı´ jesˇteˇ strucˇneˇ vysveˇtlı´me, procˇ sı´la nemu˚zˇe za´viset na vysˇsˇ´ıch derivacıćh podle cˇasu. Bude-li sı´la za´viset na ¨r , vede to jen k jine´ hmotnosti, ktera´ je urcˇena pra´veˇ z pohybove´ rovnice. Kdyby za´visela sı´la naprˇ. na trˇetı´ derivaci, museli bychom zadat jesˇteˇ libovolne´ r¨ pro t = t0 , ale ¨r je za´rovenˇ urcˇena z Newtonovy rovnice pro libovolnou sı´lu. Je jasne´, zˇe zrychlenı´ urcˇene´ takto, nebude souhlasit pro t = t0 s libovolnou hodnotou ¨r pro t = t0 . Ukazˇme si na konkre´tnıćh prˇ´ıkladech, zˇe pohybovou rovnici umı´me vzˇdy integrovat pro prˇ´ıpad, zˇe sı´la za´visı´ jen na jednom z argumentu˚. Slozˇiteˇjsˇ´ı prˇ´ıpad nelze obecneˇ vyrˇesˇit. a) Sı´la za´visı´ jen na cˇase Prˇ´ıklad 1.1 Hmotny´ bod m se pohybuje rychlostı´ v0 = konst , v cˇase t = 0 na neˇj zacˇne pu˚sobit kolmo na smeˇr pohybu harmonicka´ sı´la F = F0 cos ωt. Urcˇete jeho pohyb v cˇase t > 0. ˇ esˇenı´: Pohybova´ rovnice znı´ R dv = F0 cos ωt , dt

m

t > 0.

Separujeme promeˇnne´ a integrujeme dle cˇasu od 0 do t Z

v

m dv ′ = F0

mv (t) − mv0 =

a odtud

cos ωt′ dt′ ,

0

v0

dostaneme

Zt

F0 sin ωt , ω

dr F0 sin ωt . = v (t) = v0 + dt mω

Dalsˇ´ı separace a integrace dle cˇasu od 0 do t Z

r0

a odtud (volı´me r 0 = 0)

r

dr ′ = v0

Zt

dt′ +

0

F0 mω

Zt

sin ωt′ dt′ ,

0

F0 (1 − cos ωt) . r (t) = v0t + mω 2 11

KAPITOLA 1. MECHANIKA HMOTNYĆH BODU˚ Jedna´ se tedy o superpozici rovnomeˇrne´ho pohybu ve smeˇru v0 a harmonicke´ho pohybu o amplitudeˇ

F0

mω 2

ve smeˇru F0 .

Obra´zek 1.3: Superpozice rovnomeˇrne´ho a harmonicke´ho pohybu

b) Sı´la za´visı´ jen na rychlosti Prˇ´ıklad 1.2 Hmotny´ bod m je vrzˇen pod u´hlem α rychlostı´ v0 v prostrˇedı´ jezˇ klade odpor u´meˇrny´ rychlosti. Urcˇete vy´sˇku a nejveˇtsˇ´ı da´lku vrhu. ˇ esˇenı´: Pohybova´ rovnice znı´ R m

dv = mg − mk v , dt

kde k je koeficient odporu prostrˇedı´ na jednotku hmotnosti. V te´to rovnici nelze prove´st separaci, nebot’vektorem nelze deˇlit. Zavedeme tedy vhodny´ sourˇadny´ syste´m takto: pocˇa´tek zvolı´me v pocˇa´tecˇnı´m bodeˇ vrhu, jednu sourˇadnici (z) polozˇ´ıme do svislice, druhou (x) zvolı´me vodorovneˇ 12

1.5. Pohyb hmotne´ho bodu

Obra´zek 1.4: Vrh sˇikmy´ v rovineˇ vektoru˚ g a v0 , trˇetı´ (y) pak kolmo na x, z. Dosta´va´me tak tuto soustavu dvz = −(g + kvz ) ; dt dvx = −kvx ; dt dvy = −kvy ; dt

v0z = v0 sin α ,

z0 = 0 pro t = 0

v0x = v0 cos α ,

x0 = 0 pro t = 0

v0y = 0 ,

y0 = 0 pro t = 0 .

ˇ esˇenı´ rovnice R g du = −k +u ; dt k

u = u0 pro t = 0

je g +u ln gk = −kt , + u0 k odtud g g u(t) = − + + u0 e−kt ; k k 13


ma´me tedy dvz = −v∞ + (v∞ + v0 sin α) e−kt , dt dvx = v0 cos α e−kt , dt dvy = 0, dt

v∞ =

g k

kde v∞ prˇedstavuje usta´lenou rychlost pro t → ∞. Dalsˇ´ı integrace dle t da´va´ v∞ + v0 sin α z(t) = −v∞ t + 1 − e−kt , k v0 −kt x(t) = cos α(1 − e ) , k y(t) = 0 . Hledane´ hodnoty pro vy´sˇku H a da´lku L vrhu pak jsou: L = lim x(t) = t→∞

v0 cos α , k

H = z(t1 ) , kde t1 je okamzˇik kdy vz = 0, tj. 0 = −v∞ + (v∞ + v0 sin α) e−kt1 . Dosta´va´me

v0 v∞ v0 H= sin α − ln 1 + sin α . k k v∞

c) Sı´la za´visı´ jen na vzda´lenosti Prˇ´ıklad 1.3 Homogennı´ lano de´lky l o de´lkove´ hustoteˇ ρ lezˇ´ı na idea´lneˇ hladke´m stole tak, zˇe na zacˇa´tku (t = 0) visı´ prˇes hranu kus de´lky l0 . Pustı´me-li jej z klidu, najdeˇte jeho pohyb pro t > 0. ˇ esˇenı´: Lano povazˇujeme za neprodlouzˇitelne´ a stacˇ´ı tedy sledovat pohyb jedine´ho bodu, naprˇ. R konce A. V obecne´m cˇase t znı´ pohybova´ rovnice (pocˇa´tek v hraneˇ stolu) lρ¨ x = gρx ,

x0 = l0 ,

neboli x¨ −

g x = 0. l

14

x˙ 0 = 0 ,

1.5. Pohyb hmotne´ho bodu

Obra´zek 1.5: Lano na hraneˇ stolu Standardnı´m zpu˚sobem (x = eλt ) obdrzˇ´ıme obecne´ rˇesˇenı´ ve tvaru r √ √ √g √g g + gl t − gl t x(t) = C1 e +C2 e , x(t) ˙ = C1 e+ l t −C2 e− l t . l l0 a tedy 2 r r g g x(t) ˙ = l0 sinh t, l l

Hranicˇnı´ podmıńky da´vajı´ C1 = C2 ; C1 = x(t) = l0 cosh

r

g t, l

Okamzˇik t1 je dań tı´m, zˇe cele´ lano je svisle´: l = l0 cosh

r

g t1 . l

Od tohoto okamzˇiku platı´ pohybova´ rovnice lρ¨ x = ρ lg,

tj.

x¨ = g

a lano pada´ volny´m pa´dem s pocˇa´tecˇnı´mi podmıńkami pro bod A r q g 2 x(t1 ) = l, x(t ˙ 1) = l − l02 , l 15

0 ≤ t ≤ t1 .


a tedy

r q g 2 1 x(t) = l + t l − l02 + gt2 , l 2

t ≥ t1 .

1.6 Impulzove´ veˇty a za´kony zachovańı´ Zaved’me dalsˇ´ı du˚lezˇite´ pojmy dynamiky. Hybnost hmotne´ho bodu definujeme jako soucˇin jeho hmotnosti a rychlosti

p = mv .

(1.12)

Pohybovou rovnici v klasicke´ mechanice (m = konst.) mu˚zˇeme psa´t ve tvaru dp =F, dt

(1.13)

slovy: „cˇasova´ zmeˇna hybnosti se rovna´ pu˚sobıćı´ sı´le“. Integracı´ odsud dostaneme Zt2

p(t2 ) − p(t1) = F

dt = J12 ,

(1.14)

t1

kde J12 nazy´va´me impulz sı´ly za dobu (t1 , t2 ). „Rozdı´l hybnosti na zacˇa´tku a na konci cˇasove´ho intervalu se rovna´ impulzu sı´ly beˇhem tohoto intervalu.“ Rovnici (1.13) rˇ´ıka´me te´zˇ „I. impulzova´ veˇta“ a plyne z nı´ tento du˚lezˇity´ za´kon zachovańı´: prˇedpokla´dejme, zˇe slozˇka sı´ly do jiste´ho pevne´ho smeˇru e je sta´le rovna nule, tj. F · e = 0. Vyna´sobı´me-li rovnici (1.13) konstantnı´m jednotkovy´m vektorem e dostaneme

e · ddtp =

d dpe e ·p = = e · F = 0, dt dt

(1.15)

dpe = 0 a tudı´zˇ pe = konst. dt Dosta´va´me tak du˚lezˇity´ za´kon zachovańı´ hybnosti: „Je-li slozˇka vy´sledne´ sı´ly pu˚sobıćı´ na hmotny´ bod do pevne´ho smeˇru sta´le nulova´, pak slozˇka hybnosti do tohoto smeˇru se zachova´va´.“ Tuto veˇtu pouzˇ´ıva´me s vy´hodou naprˇ. prˇi studiu pohybu v gravitacˇnı´m poli (v blı´zkosti zemske´ho povrchu), nebot’ vsˇechny jeho slozˇky mimo do svislice jsou rovny nule. tj.

Ve specia´lnı´m prˇ´ıpadeˇ, kdy cela´ sı´la F ≡ 0, plyne odtud, zˇe p = konst .

Moment vektoru V vzhledem k dane´mu bodu definujeme jako vektorovy´ soucˇin polohovy´ vektor pu˚sobisˇteˇ vektoru V vzhledem k dane´mu bodu. 16

s × V , kde s

je

1.6. Impulzove´ veˇty a za´kony zachovańı´

Tedy moment hybnosti a moment sı´ly k dane´mu bodu jsou dańy vy´razy

l = s × p,

M = s ×F .

(1.16)

Na´sobme pohybovou rovnici vektoroveˇ s

s × ddtp = s × F .

(1.17)

d (s × p ) = s × F , dt

(1.18)

Tuto rovnici mu˚zˇeme prˇepsat do tvaru

nebot’

ds dr ≡ =v dt dt

a

v × p = 0.

Obra´zek 1.6: Definice rychlosti pomocı´ elementu pru˚vodicˇe dr a elementu dra´hy ds Dosta´va´me tedy

dl =M, dt

(1.19)

tj. „cˇasova´ zmeˇna momentu hybnosti je rovna momentu pu˚sobıćı´ sı´ly“ (druha´ impulzova´ veˇta). Odtud plyne u´plneˇ stejneˇ jako drˇ´ıve za´kon zachovańı´ momentu hybnosti: „Pokud slozˇka momentu vy´sledne´ sı´ly pu˚sobıćı´ na hmotny´ bod do pevne´ho smeˇru je neusta´le rovna´ nule, pak slozˇka momentu hybnosti do tohoto smeˇru se zachova´va´.“ Specia´lneˇ: prˇi M ≡ 0 je L = konst . 17


1.7 Energie a praće. Potencia´love´ a konzervativnı´ sı´ly. Za´kon zachovańı´ mechanicke´ energie Dalsˇ´ı du˚lezˇite´ pojmy jsou kineticka´ energie a praće definovane´ takto: 1 T = mv 2 , 2

A=

ZB

F · dl ,

(1.20)

A(C)

kde C je dana´ krˇivka orientovana´ od pocˇa´tecˇnı´ho bodu A do koncove´ho bodu B. Zava´dı´me te´zˇ praći po uzavrˇene´ krˇivce C, kterou pak znacˇ´ıme I A= F · dl . (1.21) (C)

Da´le zaved’me tyto podmnozˇiny mnozˇiny sil {F (r , t)}. Budeme rˇ´ıkat, zˇe sı´la je potencia´lnı´ , existuje-li takova´ skala´rnı´ funkce ϕ(r , t) (potencia´lnı´ funkce), zˇe platı´

F (r , t) = − grad ϕ(r , t) .

(1.22)

Kdyzˇ je navıć potencia´lnı´ funkce neza´visla´ na cˇase, rˇ´ıka´me jı´ potencia´lnı´ energie a prˇ´ıslusˇne´ sı´le ˇr´ıka´me konzervativnı´ a platı´ tedy F (r ) = − grad U(r ) . (1.23) Vyna´sobme pohybovou rovnici skala´rneˇ rychlostı´ v = r˙ : mr˙ · ¨r = v · F =

dr dA ¯ ·F = . dt dt

(1.24)

Vy´razu F · v rˇ´ıka´me vy´kon sı´ly a na prave´ straneˇ jsme sˇkrtnutı´m naznacˇili, zˇe diferencia´l praće obecneˇ nemusı´ by´t tota´lnı´ diferencia´l, nebot’praće obecneˇ za´visı´ na r i t a tedy (definice tota´lnı´ho diferencia´lu) dA = dr · grad A +

∂A dt, ∂t

(1.25)

zatı´mco diferencia´l praće dle definice (1.20) obsahuje jen dr . Snadno zjistı´me, zˇe levou stranu rovnice (1.24) mu˚zˇeme psa´t ve tvaru d 1 2 d 1 2 dT mr˙ · ¨r = mr˙ = mv = , dt 2 dt 2 dt kde

dT je cˇasova´ zmeˇna kineticke´ energie. dt 18

(1.26)

1.7. Energie a praće. Potencia´love´ a konzervativnı´ sı´ly. Za´kon zachovańı´ mechanicke´ energie

Rovnici

dA ¯ dT = (1.27) dt dt nelze integrovat, nebot’jak jsme videˇli pro obecnou sı´lu F (r , t) prava´ strana nenı´ tota´lnı´ diferencia´l.

Prˇedpokla´dejme, zˇe sı´la patrˇ´ı do podmnozˇiny potencia´lnıćh sil. Pak mu˚zˇeme psa´t (1.27) ve tvaru dr dT dϕ ∂ϕ =− · grad ϕ(F , t) = − + , dt dt dt ∂t

(1.28)

kde jsme pouzˇili definicˇnı´ rovnici (1.25) na funkci ϕ(r , t). Rovnici (1.28) mu˚zˇeme prˇepsat na tvar dE(t) ∂ϕ = , dt ∂t

(1.29)

kde jsme zavedli celkovou energii (mechanickou) za´vislou na cˇase E(t) = T + ϕ a dospeˇli jsme k za´veˇru: „cˇasova´ zmeˇna celkove´ energie za´visle´ na cˇase prˇi potencia´lnıćh silaćh je rovna explicitnı´ cˇasove´ zmeˇneˇ potencia´lu“. Ted’ prˇedpokla´dejme, zˇe uvazˇovana´ sı´la patrˇ´ı do mnozˇiny konzervativnıćh sil. Rovnice (1.28) pak da´va´ dT dr · grad U(r ) dU =− =− , dt dt dr

(1.30)

a tedy dE = 0, dt kde E = T + U je celkova´ mechanicka´ energie a z (1.31) ihned plyne E = T + U = konst. ,

(1.31)

(1.32)

tj. za´kon zachovańı´ (mechanicke´) energie: „Prˇi pu˚sobenı´ konzervativnıćh sil se celkova´ energie dana´ soucˇtem kineticke´ a potencia´lnı´ energie zachova´va´.“ Za´kony zachovańı´ jsou velice du˚lezˇite´ prˇi rˇesˇenı´ u´loh, nebot’ prˇedstavujı´ prvnı´ integra´ly pohybovyćh rovnic (obsahujı´ uzˇ jen prvnı´ derivace). Nemusı´me tedy rˇesˇit pomeˇrneˇ slozˇite´ diferencia´lnı´ rovnice druhe´ho rˇa´du. Navıć prvnı´ derivace, jak zna´mo z analy´zy, mu˚zˇeme povazˇovat za algebraicke´ zlomky dvou diferencia´lu˚ a metodou separace promeˇnnyćh velmi cˇasto rychle najdeme rˇesˇenı´. To jsme ostatneˇ vy´sˇe mlcˇky jizˇ vıćekra´t pouzˇili. α) Podmıńku potencia´lnosti

β) mu˚zˇeme jesˇteˇ vyja´drˇit takto

F = − grad ϕ rot F = 0 , 19


nebot’z vektorove´ analy´zy je zna´mo, zˇe rot grad ≡ 0 .

(1.33)

Pouzˇijeme-li rovnici ZB

F · dl = −

A

ZB

grad ϕ · dl = ϕ(A) − ϕ(B)

(1.34)

A

po libovolne´ krˇivce a dostaneme dalsˇ´ı formulaci krite´ria potencia´lnosti: γ) „Prˇi potencia´lnıćh silaćh je praće neza´visla´ na dra´ze, podle nı´zˇ se kona´.“ Z (1.34) snadno plyne I A= grad ϕ · dl = 0 , (1.35) (C)

a tedy δ) „Prˇi potencia´lnıćh silaćh je praće po libovolne´ uzavrˇene´ dra´ze rovna nule.“ Da´ se uka´zat, zˇe krite´ria α azˇ δ jsou zcela ekvivalentnı´, jedno z druhe´ho se da´ odvodit.

1.8 Centra´lnı´ sı´ly Sı´la, ktera´ pu˚sobı´ neusta´le v prˇ´ımce, vycha´zejıćı´ z jednoho bodu (silove´ho centra) a jejı´zˇ velikost za´visı´ jen na vzda´lenosti od tohoto centra, se nazy´va´ centra´lnı´ sı´la. Budeme-li polohu hmotne´ho bodu uda´vat polohovy´m vektorem vzhledem k centru, mu˚zˇeme psa´t

F (r ) = F (r)r 0 ,

(1.36)

kde r 0 ≡ er je jednotkovy´ vektor ve smeˇru r . Je-li F (r) > 0 mluvı´me o sı´le odpudive´, je-li F (r) < 0, jde o sı´lu prˇitazˇlivou. Pocˇa´tecˇnı´ podmıńky jsou dańy polohou r0 a rychlostı´ v0 = r˙0 v cˇase t = t0 . Nejprve rozhodneˇme, zda centra´lnı´ sı´la je sı´la konzervativnı´, tj. existuje potencia´lnı´ energie U(r ) takova´, aby F (r ) = F (r)r 0 = − grad U(r ) . (1.37) Prˇedpokla´dejme, zˇe U(r ) = U(r) (potencia´lnı´ energie za´visı´ jen na vzda´lenosti). Pak ma´me grad U(r) =

dU(r) dU 0 grad r = r dr dr 20

(1.38)

1.8. Centra´lnı´ sı´ly

F

v0

t0

t

r0

m

v

r

r0 Obra´zek 1.7: Pu˚sobenı´ centra´lnı´ sı´ly a rovnice (1.37) da´va´ dU(r) F (r) = − dr

⇒

U(r) = −

Z

F (r) dr + C .

(1.39)

Zjistili jsme tedy, zˇe centra´lnı´ sı´la je sı´la konzervativnı´ a potencia´lnı´ energii U(r) vypocˇ´ıta´me dle rovnice (1.39). Tato je urcˇena azˇ na libovolnou konstantu. Jejı´ hodnotu urcˇ´ıme tak, zˇe vhodneˇ zvolı´me bod r s nulovou hodnotou potencia´lnı´ energie: U(r ) = 0

(1.40)

Vypocˇteˇme praći centra´lnı´ sı´ly prˇi prˇechodu z dane´ho bodu r do bodu r (po libovolne´ dra´ze!): A=

Z r

r

F · dr = −

Z

r

grad U · dr = −U(r ) + U(r ) = U(r ) .

(1.41)

r

Vidı´me, zˇe „potencia´lnı´ energie v dane´m bodeˇ se rovna´ praći centra´lnı´ sı´ly prˇi prˇechodu z tohoto bodu do mı´sta nulove´ potencia´lnı´ energie“. Jelikozˇ se jedna´ o konzervativnı´ sı´lu, platı´ za´kon zachovańı´ energie. Ktere´ dalsˇ´ı za´kony zachovańı´ platı´? Jelikozˇ slozˇka sı´ly do zˇa´dne´ho konstantnı´ho smeˇru obecneˇ nenı´ rovna nule, za´kon za´kon zachovańı´ hybnosti obecneˇ neplatı´. Moment centra´lnı´ sı´ly vzhledem k centru je sta´le roven nule:

M = r × F (r)r 0 = 0 21

(1.42)


a tudı´zˇ platı´ za´kon zachovańı´ momentu, ale jen vzhledem k silove´mu centru

l = r × m ddtr

= konst = l0 ,

(1.43)

kde l0 = r0 × mv0 je moment hybnosti v cˇase t0 .

Vektor l je kolmy´ na rovinu tvorˇenou v kazˇde´m okamzˇiku vektory r a v . Jelikozˇ ma´ neusta´le stejny´ smeˇr plyne z toho: „Kazˇdy´ pohyb v poli centra´lnı´ sı´ly je pohyb rovinny´ a kona´ se v rovineˇ generovane´ pocˇa´tecˇnı´mi vektory r0 a v0 .“ Budeme tento pohyb popisovat pola´rnı´mi sourˇadnicemi (ρ, ϕ) s po´lem v silove´m centru a libovolneˇ zvolenou pola´rnı´ osou. Zaved’me si vektor plosˇne´ rychlosti jako vektor plochy opsane´ pru˚vodicˇem za jednotku doby:

Obra´zek 1.8: Plosˇna´ rychlost

= 12 r ×dtdr . Porovnańı´m s (1.43) dosta´va´me

l0 = konst .

= 2m

(1.44)

(1.45)

Slovy: „pru˚vodicˇ opı´sˇe prˇi centra´lnı´m pohybu za stejnou dobu stejne´ plochy“ (za´kon ploch). Z toho, zˇe smysl vektoru je konstantnı´ mu˚zˇeme vyvodit, zˇe cˇa´stice v centra´lnı´m poli nemu˚zˇe obra´tit orientaci sve´ho obı´hańı´ na opacˇnou. Vyja´drˇ´ıme-li velikost v pola´rnıćh sourˇadnicıćh, obdrzˇ´ıme c=

1 2 dϕ l0 ρ = , 2 dt 2m

nebo-li ρ2 ϕ˙ =

l0 . 2m

(1.46)

(1.47)

1.9 Rychlost, zrychlenı´ a pohybove´ rovnice v pola´rnıćh sourˇadnicıćh Odvodı´me vy´razy pro rychlost a zrychlenı´ v pola´rnıćh sourˇadnicıćh. Ma´me

Derivacı´ podle cˇasu

r = ρeρ .

(1.48)

v = r˙ = ρ˙eρ + ρe˙ ρ ,

(1.49)

22

1.9. Rychlost, zrychlenı´ a pohybove´ rovnice v pola´rnıćh sourˇadnicıćh

a da´le (viz obr. 1.9)

e˙ρ = ddteρ =

dϕ eϕ = ϕ˙ eϕ , dt

(1.50)

nebot’diferencia´l konstantnı´ho vektoru je kolmy´ na tento vektor.

eρ′

deρ

eρ eϕ

deϕ

e

eϕ′

eϕ

dϕ

eρ′ eρ dϕ

′ ϕ

deϕ = 1 · dϕ

ρ

deρ = 1 · dϕ

dϕ ϕ Obra´zek 1.9: Pola´rnı´ sourˇadnice Podobneˇ

e˙ϕ = ddteϕ = − dϕ eρ = −ϕ˙ eρ . dt

(1.51)

Dosadı´me do (1.49)

v = ρ˙eρ + ρϕ˙ eϕ

v = (ρ,˙ ρϕ) ˙ .

tj.

(1.52)

Dalsˇ´ı derivacı´ dle cˇasu

a = v˙ = ρëρ + ρ˙e˙ρ + ρ˙ϕ˙ eϕ + ρϕëϕ + ρϕ˙ e˙ϕ , dosazenı´m z (1.50) a (1.51)

a = (¨ρ − ρϕ˙ 2 )eρ + (2ρ˙ϕ˙ + ρϕ) ¨ eϕ

tj.

a = (¨ρ − ρϕ˙ 2 , 2ρ˙ϕ˙ + ρϕ) ¨ .

(1.53)

Pohybove´ rovnice tedy jsou m(¨ ρ − ρϕ˙ 2 ) = F (ρ),

2ρ˙ ϕ˙ + ρϕ¨ = 0 .

(1.54)

Tyto rovnice druhe´ho rˇa´du integrovat nebudeme, nebot’za´kony zachovańı´ vedou k cı´li mnohem rychleji. 23


1.10 Integrace pomocı´ za´konu˚ zachovańı´ Napisˇme za´kon zachovańı´ energie 1 1 E = mv 2 + U(ρ) = E0 = mv02 + U(ρ0 ) . 2 2 Dosadı´me za v 2 z (1.52)

1 m(ρ˙2 + ρ2 ϕ˙ 2 ) + U(ρ) = E0 . 2

(1.55)

Za´kon zachovańı´ momentu hybnosti da´va´ ρ2 ϕ˙ =

l0 . m

(1.56)

Zajı´ma´-li na´s detailnı´ rˇesˇenı´ tj. chceme dostat ρ = ρ(t), ϕ = ϕ(t), vyloucˇ´ıme ϕ˙ a ma´me 1 l02 1 2 m ρ˙ + 2 2 + U(ρ) = E0 . 2 m ρ

(1.57)

Odtud jednoduchou separacı´ urcˇ´ıme ρ = ρ(t) a potom z (1.56) Z l0 dt . ϕ(t) = 2 m ρ (t) Veˇtsˇinou na´s vsˇak zajı´ma´ jen rovnice dra´hy ρ = ρ(ϕ). Z rovnice (1.55) a (1.56) vyloucˇ´ıme cˇas takto dρ dρ dϕ (derivaci podle ϕ znacˇ´ıme cˇa´rkou): = tj. dt dϕ dt

a dosazenı´m za ϕ˙ z (1.56)

1 m ρ′ 2 ϕ˙ 2 + ρ2 ϕ˙ 2 + U(ρ) = E0 , 2 "

1 m 2

dρ dϕ

2

+ ρ2

#

l02 + U(ρ) = E0 . m2 ρ4

Separacı´ dϕ = ρ2

r

dρ . 2E0 m 2m 1 − 2 U(ρ) − 2 l02 l0 ρ

(1.58)

Zavedenı´m nove´ promeˇnne´ u = 1/ρ a integracı´ zı´ska´me konecˇny´ vy´sledek ve tvaru kvadratury ϕ = ϕ0 −

Zu

u0

s

du 2E0 m 2mU(1/u) − − u2 l02 l02

24

.

(1.59)

1.11. Kuzˇelosecˇky v pola´rnıćh sourˇadnicıćh

1.11 Kuzˇelosecˇky v pola´rnıćh sourˇadnicıćh Jako prˇ´ıpravu pro aplikaci pojednejme nynı´ o rovnici kuzˇelosecˇek v pola´rnıćh sourˇadnicıćh. Odvozenı´ uka´zˇeme pro elipsu. Po´l zvolme v jednom ohnisku, pola´rnı´ osu polozˇme do hlavnı´ osy a orientujme ji √ k nejblizˇsˇ´ımu vrcholu. Oznacˇ´ıme-li poloosy a, b ma´me e = a2 − b2 , ε = e/a. Kosinova´ veˇta da´va´ 2

ρ′ = ρ2 + 4e2 + 4eρ cos ϕ. Podle definice elipsy je ρ′ + ρ = 2a .

Obra´zek 1.10: Elipsa Odtud vypocˇ´ıta´me ρ′ 2 a srovnańı´m snadno obdrzˇ´ıme p ρ= , 1 + ε cos ϕ

(1.60)

kde p = b2 /a (parametr). Snadno se uka´zˇe, zˇe rovnice (1.60) prˇedstavuje obecnou rovnici kuzˇelosecˇek a to: K: ε = 0 kruzˇnice, E: ε < 1 elipsa, P: ε = 1 parabola, H: ε > 1 hyperbola. 25

(1.61)


Obra´zek 1.11: Kuzˇelosecˇky

Pro prˇ´ıpad ε > 1 ma´me jesˇteˇ druhe´ rˇesˇenı´ H′ :

ρ=

p , −1 + ε cos ϕ

(1.62)

cozˇ prˇedstavuje druhou veˇtev hyperboly. Pro −1 + ε cos ϕ∞ = 0 dosta´va´me asymptoticky´ smeˇr. Musı´ by´t cos ϕ > 1/ε. 26

(1.63)

1.12. Pohyby planet

1.12 Pohyby planet Aplikujme obecnou teorii na pohyb pod vlivem Newtonovy gravitacˇnı´ sı´ly. Prˇedstavme si, zˇe Slunce hmotnosti M je nehybne´ a planeta ma´ hmotnost m. Dle gravitacˇnı´ho za´kona sı´la na planetu od Slunce je (jde o sı´lu prˇitazˇlivou) F (r ) = −G Mm r0 . (1.64) r2 Prˇ´ıslusˇnou potencia´lnı´ energii dostaneme z (1.39) γ U(r) = − , r

(1.65)

kde γ = GMm a zvolili jsme U(∞) = 0. Dosazenı´m do (1.59) dostaneme integra´l Z du ϕ=− r +C. 2E0 m 2m − 2 γu − u2 l02 l0 Tento integra´l se snadno upravı´ podle elementa´rnı´ integrace typu Z dx x = arccos + C . − √ A A2 − x2 Konecˇne´ rˇesˇenı´ znı´ (konstantu C urcˇ´ıme z pozˇadavku, aby pola´rnı´ osa procha´zela nejblizˇsˇ´ım vrcholem):   s 2 2E0 l0 1 mγ = 2 1 + 1 + cos ϕ . (1.66) ρ l0 mγ 2 Porovnańı´m s (1.60) a (1.61) dostaneme I. Kepleru˚v za´kon: „Planety se pohybujı´ po elipsaćh v jejichzˇ spolecˇne´m ohnisku je Slunce.“ Vidı´me, zˇe v nasˇem prˇ´ıpadeˇ p = ε =

l02 , mγ s

1+

2E0 l02 < 1, mγ 2

(1.67)

nebot’E0 < 0 (aby planeta zu˚stala v konecˇne´ vzda´lenosti prˇi U(∞) = 0, U(r) < 0 musı´ by´t |T | < |U|). Ze za´kona ploch (1.45), ktery´ je platny´ pro libovolny´ centra´lnı´ libovolny´ centra´lnı´ pohyb, plyne II. Kepleru˚v za´kon: „Pru˚vodicˇ planety za stejnou dobu opı´sˇe stejnou plochu v libovolne´m bodeˇ orbity.“ Oznacˇme obeˇzˇnou dobu planety τ . Ze za´kona ploch plyne c=

dS l0 = , dt 2m 27


a odtud plocha prˇi jednom obeˇhu S=

l0 τ = πab , 2m

(1.68)

kde a a b jsou poloosy elipticke´ orbity. Z rovnic b2 l0 p≡ = , a mγ

ε≡

snadno urcˇ´ıme a=−

√

a2 − b2 = a

s

1+

2E0 l02 , mγ 2

l0 √ a b=√ mγ

γ , 2E0

(1.69)

(vsˇimneˇme si, zˇe energie planety za´visı´ jen na velke´ poloose). Dosazenı´m do (1.68) obdrzˇ´ıme τ2 4π 2 = , a3 MG

(1.70)

cozˇ je III. Kepleru˚v za´kon: „Pomeˇr kvadra´tu˚ obeˇzˇnyćh dob a trˇetıćh mocnin velkyćh poloos je pro vsˇechny planety stejny´.“

1.13 Rozptyl. Rutherfordu˚v vzorec Ted’ se budeme zaby´vat odpudivy´mi silami (F (r) > 0) klesajıćı´mi se vzda´lenostı´. Pak ze vzorce (1.39) plyne, zˇe U(r) > 0 prˇi volbeˇ U(∞) = 0 a jelikozˇ kineticka´ energie je vzˇdy kladna´ je i E0 > 0. Prˇipadajı´ tak v u´vahu jen dra´hy podobne´ hyperbolicke´mu typu. Jedna´ se tedy o rozptyl. Budeme uvazˇovat o proudu cˇa´stic dopadajıćıćh rovnobeˇzˇneˇ na centrum a zavedeme pojem ućˇinny´ pru˚rˇez rozptylu (diferencia´lnı´) do dane´ho smeˇru ϑ σ(ϑ) dΩ =

N1 N0

(1.71)

jako pocˇet cˇa´stic, ktere´ se rozpty´lı´ do prostorove´ho u´hlu dΩ za jednotku cˇasu k hustoteˇ dopadajıćıćh ´ hel mezi pu˚vodnı´m smeˇrem a vy´sledny´m smeˇrem oznacˇme ϑ (u´hel rozptylu). Prˇi centra´lnıćh cˇa´stic. U silaćh musı´ by´t u´plna´ symetrie kolem smeˇru nale´tańı´ cˇa´stic a prostorovy´ u´hel je dań vy´razem dΩ = 2π sin ϑ dϑ . Vsˇechny cˇa´stice nale´tajıćı´ v kruhove´ slupce kolem osy o polomeˇru b o sˇ´ırˇce db se rozpty´lı´ do teˇlesne´ho u´hlu dΩ, tedy N0 2πb db = N1 , neboli pomocı´ (1.71) 2πb db = −σ dΩ = −2πσ(ϑ) sin ϑ dϑ 28

1.13. Rozptyl. Rutherfordu˚v vzorec

Obra´zek 1.12: Rutherfordu˚v rozptyl (znameńko mıńus odpovı´da´ tomu, zˇe se zveˇtsˇujıćı´m se b ( db > 0) se zmensˇuje ϑ ( dϑ > 0)). Dosta´va´me tak b(ϑ) db σ(ϑ) = . (1.72) sin ϑ dϑ Musı´me tedy prˇi konkre´tnı´ u´loze najı´t za´vislost parametru rozptylu b na u´hlu rozptylu ϑ. Snadno najdeme tento obecny´ vztah mezi b, l0 a E0 . Platı´ r p p 2T0 = b 2mT0 = b 2mE0 , l0 = mv0 b = mb (1.73) m nebot’U0 = U(∞) = 0.

Prˇ´ıklad 1.4 Najdeˇte ućˇinny´ pru˚rˇez rozptylu proudu nabityćh cˇa´stic na nabite´ cˇa´stici stejne´ho znameńka. ˇ esˇenı´: Dle Coulombova za´kona je sı´la R F (r) =

1 Q′ Q . 4πε0 r 2

(1.74)

Porovnańı´m s prˇ´ıpadem gravitacˇnı´ sı´ly (1.64) vidı´me, zˇe stacˇ´ı vsˇude mı´sto γ psa´t − prˇevzı´t drˇ´ıveˇjsˇ´ı rˇesˇenı´ (1.66)

1 mQ′ Q p =− (1 + ε cos ϕ) , tj. ρ = , 2 ρ 4πε0 l0 −1 + ε cos(π − ϕ) kde ε=

s

1+

2E0 l02 16π 2ε20 >1 mQ′2 Q2 29

nebot’E0 > 0 .

Q′ Q a mu˚zˇeme 4πε0

(1.75)


Obra´zek 1.13: Rozptyl na nabite´ cˇa´stici Dosazenı´m z (1.73) dostaneme ε(b) =

s

1+

8πε0 E0 Q′ Q

2

b2 .

(1.76)

Vzhledem k tomu, zˇe v (1.75) je znameńko minus, cˇa´stice se pohybuje po druhe´ veˇtvi hyperboly (H′ ) a u´hel ϕ se meˇnı´ v mezıćh hϕ0 , ϕ∞ i, kde (viz (1.63)) cos(π − ϕ∞ ) =

1 ε

tj.

1 cos ϕ∞ = − . ε

(1.77)

Vztah mezi u´hlem ϑ a ϕ∞ vidı´me z obra´zku 1.4 2ϕ∞ = π + ϑ . Odtud cos ϕ∞ = − sin neboli ε=

1 ϑ sin 2

=

r

ϑ 1 =− , 2 ε

1 + cotg2

a porovnańı´m s (1.76) da´le cotg

ϑ 8πε0 E0 = b. 2 Q′ Q 30

(1.78)

ϑ , 2

1.14. Binetu˚v vzorec Urcˇ´ıme-li odtud b(ϑ) a dosadı´me do (1.72) ma´me 2 1 QQ′ σ(ϑ) = 4 8πε0 E0

1 ϑ sin 2

,

(1.79)

4

cozˇ je slavna´ Rutherfordova formule. Experimenta´lneˇ doka´zal, zˇe prˇi rozptylu α cˇa´stic (Q = 4e), na zlatu (Q′ = 79e) tento vzorec platı´ azˇ do vzda´lenosti ∼ 10−15 m. Tı´m doka´zal existenci kladneˇ nabite´ho atomove´ho ja´dra uvnitrˇ atomu o rozmeˇrech ∼ 10−10 m.

1.14 Binetu˚v vzorec Azˇ dosud jsme hledali tvar trajektorie prˇi zadane´ pu˚sobıćı´ sı´le. Ted’ rˇesˇme obraćenou u´lohu: ptejme se, jak musı´ za´viset centra´lnı´ sı´la na vzda´lenosti, aby se cˇa´stice pohybovala po dane´ trajektorii. Vyjdeˇme ze vztahu˚ (1.54) a (1.56) F (ρ) = (¨ ρ − ρϕ˙ 2 )m ,

ρ2 ϕ˙ =

a vylucˇme z nich cˇas. Za´rovenˇ prˇejdeme k nove´ promeˇnne´ u =

resp.

l0 m

1 ρ

d d du dϕ d ′ l0 2 ∗ = ( ∗) = ( ∗) u u , dt du dϕ dt du m d d dϕ d l0 2 ∗ = ( ∗) =( ∗) u , dt dϕ dt dϕ m d 1 1 l0 ′ l0 2 ρ˙ = = − 2 u u = − u′ , dt u u m m l0 ′′ l0 2 l2 u = − 02 u′′ u2 . ρ¨ = − u m m m

Tedy

1 l2 l2 l2 F = − 0 u′′u2 − 0 u3 = 0 u2 (u′′ + u) , u m m m a vra´tı´me-li se k pu˚vodnı´ promeˇnne´ ρ dostaneme l02 1 d2 1 1 F (ρ) = − + , m ρ2 dϕ2 ρ ρ

cozˇ je Binetu˚v vzorec a rˇesˇ´ı zcela obecneˇ nasˇi u´lohu. 31

(1.80)


Obra´zek 1.14: Obra´zek k prˇ´ıkladu 1.5 Prˇ´ıklad 1.5 Jak musı´ centra´lnı´ sı´la za´viset na vzda´lenosti, ma´-li se cˇa´stice pohybovat po kruzˇnici polomeˇru R tak, aby centrum lezˇelo (teoreticky) na kruzˇnici. ˇ esˇenı´: Trajektorie je dańa vztahem R ρ(ϕ) = 2R cos ϕ , a tedy ′ 1 1 sin ϕ = ρ 2R cos2 ϕ ′′ 1 1 1 + sin2 ϕ = ρ 2R cos3 ϕ Binetu˚v vzorec da´va´ l2 1 1 F (ρ) = − 0 2 m ρ 2R

1 + sin2 ϕ 1 + 3 cos ϕ cos ϕ

=−

l02 1 , 2 Rmρ cos3 ϕ

a tedy F (ρ) = −

8l02 R2 1 . m ρ5

Sı´la musı´ by´t prˇitazˇliva´, neprˇ´ımo u´meˇrna´ pa´te´ mocnineˇ vzda´lenosti.

1.15 Prˇirozeny´ pohyb po krˇivce Na za´veˇr si vsˇimneme pohybu cˇa´stic jen z hlediska krˇivky (obecneˇ prostorove´), po ktere´ se pohybuje bez ohledu na prostor, do ktere´ho je vnorˇena. Mluvı´me pak o prˇirozene´m pohybu bodu. Budeme pouzˇ´ıvat metody diferencia´lnı´ geometrie. Nejprve si prˇiblı´zˇ´ıme pojem diferencia´lu. 32

1.15. Prˇirozeny´ pohyb po krˇivce

Obra´zek 1.15: Derivace v bodeˇ x0 Prˇedpokla´dejme, zˇe funkce je hladka´ v okolı´ neˇjake´ho bodu x0 . Jak vı´me, derivaci definujeme jako ∆f = f ′ (x0 ) , ∆x→0 ∆x jde tedy vlastneˇ o neurcˇity´ vy´raz typu 0/0 a pokud ma´ jednoznacˇnou hodnotu, da´va´ na´m cˇ´ıslo f ′ (x0 ). Jeho geometricky´ vy´znam je smeˇrnice tecˇny v dane´m bodeˇ f ′ (x0 ) = tg α = k. lim

∆y Zkoumejme blı´zˇe okolı´ bodu x0 . Vidı´me, zˇe 6= tg α. Zkusme se prˇiblı´zˇit k bodu x0 . Je vy´hodne´ si ∆x myslet, zˇe okolı´ bodu drzˇ´ım stejne´, ale zˇe vneˇjsˇ´ı vzda´lenosti zveˇtsˇujeme: to ma´ za na´sledek, zˇe i krˇivka v okolı´ dane´ho bodu se narovna´va´ (blı´zˇe k prˇ´ımce). Vzˇdy mohu vneˇjsˇ´ı meˇrˇ´ıtko tak zveˇtsˇit, aby okolı´ vypadalo takto:

Obra´zek 1.16: Diferencia´ly Vidı´me, zˇe zlomek

dy = tg α = f ′ (x0 ) prˇi dx 6= 0, dy 6= 0. Teˇmto velicˇina´m rˇ´ıka´me diferencia´ly. dx 33


Jsou velice („nekonecˇneˇ“) male´, ale nenulove´ a ve vy´razu dy = f ′ (x0 ) dx mu˚zˇeme se zlomkem zacha´zet jako s algebraicky´m vy´razem. (To jsme ostatneˇ jizˇ vıćekra´t deˇlali, naprˇ. prˇi separaci promeˇnnyćh). V diferencia´lnı´ geometrii cˇasto meznı´ poloha znamena´, zˇe stacˇ´ı uva´zˇit takove´ prˇiblı´zˇenı´, zˇe krˇivku mu˚zˇeme povazˇovat za prˇ´ımku. Jedna´ se veˇtsˇinou o prˇiblı´zˇenı´ „nekonecˇneˇ“ male´, ale nenulove´ a pocˇ´ıta´me pak s diferencia´ly. Zvolme na krˇivce (obecneˇ prostorove´) pevny´ bod. Polohu libovolne´ho jine´ho bodu zada´me jednoznacˇneˇ velikostı´ oblouku s, ktery´ na´m da´va´ vzda´lenost tohoto bodu a pevne´ho bodu meˇrˇenou pode´l krˇivky. Za´rovenˇ zavedeme orientaci: v kladne´m smeˇru ma´me s > 0.

Obra´zek 1.17: Tecˇna krˇivky Zkoumejme okolı´ libovolne´ho, ale pevneˇ zvolene´ho bodu M. Zvolı´me dalsˇ´ı bod M ′ a prolozˇme obeˇma body prˇ´ımku, secˇnu MM ′ . Meznı´ poloze te´to prˇ´ımky, prˇi M ′ → M, rˇ´ıka´me tecˇna. Z vy´sˇe uvedene´ho vidı´me, zˇe tecˇna ma´ smeˇr diferencia´lu ds ≡ MM ∗ . Zavedeme jednotkovy´ tecˇny´ vektor t0 ukazujıćı´ ve smeˇru kladne´ orientace. Ma´me ds = t0 ds . (1.81) Rovina kolma´ ke smeˇru t0 se nazy´va´ norma´lova´. Je urcˇena jednoznacˇneˇ a oznacˇ´ıme ji ν. Kazˇda´ prˇ´ımka lezˇ´ıcı´ v rovineˇ ν a procha´zejıćı´ bodem M je kolma´ na t0 a nazy´va´ se norma´la. Teˇch je ovsˇem nekonecˇne´ mnozˇstvı´. Ted’si zvolme kromeˇ bodu M jesˇteˇ dva dalsˇ´ı body krˇivky M ′ a M ′′ . Tyto trˇi body na´m urcˇujı´ jednoznacˇneˇ jednak rovinu, jednak kruzˇnici v te´to rovineˇ. Budeme-li oba body M ′ a M ′′ prˇiblizˇovat k bodu M, pak 34

1.15. Prˇirozeny´ pohyb po krˇivce v meznı´ poloze rˇ´ıka´me te´to rovineˇ oskulacˇnı´ rovina (znacˇ´ıme κ), kruzˇnici oskulacˇnı´ kruzˇnice, jejı´mu polomeˇru ρ a strˇedu S polomeˇr a strˇed krˇivosti. Pru˚secˇnice oskulacˇnı´ roviny a norma´love´ roviny se nazy´va´ hlavnı´ norma´la. Strˇed krˇivosti zrˇejmeˇ na nı´ musı´ lezˇet. Kladny´ norma´lovy´ vektor n0 orientujeme tak, aby vzˇdy ukazoval od bodu M do strˇedu krˇivosti.

Obra´zek 1.18: Pohyb po krˇivce V meznı´ poloze (ve smyslu diferencia´lnı´ geometrie) ma´me dt0 = dα n0

ds = ρ dα, (diferencia´l jednotkove´ho vektoru je kolmy´ na neˇj!). 35

(1.82)

KAPITOLA 1. MECHANIKA HMOTNYĆH BODU˚ Vyloucˇenı´m dα v (1.82) dosta´va´me diferencia´l t0 dt0 =

ds n0 . ρ

(1.83)

Uvazˇujme, zˇe po zkoumane´ (prostorove´!) krˇivce se pohybuje hmotny´ bod m. Jeho pohyb zada´me funkcı´ s = s(t). Rychlost definujeme jako

v = ddts

=

ds t0 = v(t)t0 . dt

(1.84)

Vidı´me, zˇe rychlost ma´ smeˇr tecˇny v bodeˇ, kde se bod pra´veˇ nacha´zı´ a jejı´ velikost se rovna´ s. ˙ Dalsˇ´ı derivacı´ dle cˇasu dostaneme zrychlenı´

a = ddtv

=

dv dt

t0 + v ddtt0 = s¨t0 + vρ

ds n0 , dt

(1.85)

to jest 2

a = s¨t0 + vρ n0 . Zrychlenı´ tedy vzˇdy (i u prostorove´ krˇivky) lezˇ´ı v oskulacˇnı´ rovineˇ, ma´ slozˇku tecˇnou norma´lovou an 2 at = s¨t0 , an = vρ n0 .

at a slozˇku (1.86)

Vidı´me, zˇe zrychlenı´ norma´love´ je nenulove´, kdykokoliv se bod nepohybuje po prˇ´ımce (s v 6= 0). U prˇ´ımky ρ → ∞. Trˇetı´ smeˇr prostoru obvykle zada´va´me jednotkovy´m vektorem binorma´ly

b0 = t0 × n0 . Rovinu tvorˇenou b0 a t0 nazy´va´me rektifikacˇnı´ . Trojici navza´jem kolmyćh vektoru˚ t0 , pru˚vodnı´ trojkou krˇivky.

n0, b0 ˇr´ıka´me

1.16 Harmonicke´ kmity Vysˇetrˇujme pohyb hmotne´ho bodu m pod vlivem harmonicke´ sı´ly

F = −kr .

(1.87)

Uva´zˇ´ıme-li jesˇteˇ tlumıćı´ sı´lu u´meˇrnou rychlosti, dostaneme pohybovou rovnici m¨r = −k r − 2γmr˙ . 36

(1.88)

1.16. Harmonicke´ kmity

Upravı´me ji na tvar

¨r + 2γ r˙ + ω02 r = 0

(1.89)

kde jsme zavedli oznacˇenı´ ω02 = k/m. Pocˇa´tecˇnı´ podmıńky jsou: t = t0 , r = r 0 , r˙ = v 0 . ˇ esˇenı´ Linea´rnı´ diferencia´lnı´ rovnici s konstantnı´mi koeficienty (1.89) rˇesˇ´ıme standardnı´ metodou. R prˇedpokla´da´me ve tvaru r = C eλt . Pro λ dosta´va´me charakteristickou rovnici λ2 + 2γλ + ω02 = 0 s rˇesˇenı´m λ1,2 = −γ ± Charakter rˇesˇenı´ za´lezˇ´ı na diskriminantu a) ω0 > γ:

q

γ 2 − ω02 .

p λ1,2 = −γ ± i ω02 − γ 2

r = e−γt (C1 sin ω′t + C2 cos ω′t)

(1.90) p kde ω ′ = ω02 − γ 2 a pouzˇili jsme vztah eiα = cos α + i sin α. Vidı´me, zˇe pro male´ tlumenı´ dosta´va´me harmonicke´ tlumene´ kmity o frekvenci ω ′. Pro γ = 0 dostaneme ω ′ = ω0 a ˇresˇenı´ je

r = C1 sin ω0t + C2 cos ω0t = C cos(ω0t + ϕ0 ) a ω0 je vlastnı´ frekvencı´ netlumenene´ho pohybu, ϕ0 je pocˇa´tecˇnı´ fa´ze. p b) ω0 < γ: λ1,2 = −γ ± γ 2 − ω02 √ √ r = e−γt (C1 e+ γ2 −ω02t +C2 e− γ2 −ω02 t)

(1.91)

(1.92)

Prˇi velke´m tlumenı´ je pohyb aperiodicky´ tlumeny´. c) ω0 = γ:

λ = −γ

r = e−γt (C1 + C2 t)

(1.93)

Integracˇnı´ konstanty C1 a C2 vypocˇ´ıta´me jednoznacˇneˇ z pocˇa´tecˇnıćh podmıńek. Uveˇdomme si, zˇe ve vsˇech prˇ´ıpadech prˇi existenci tlumenı´ (γ 6= 0) platı´

r →0

pro t → ∞ .

ˇ esˇenı´ Bude-li navıć pu˚sobit vneˇjsˇ´ı sı´la (vynucujıćı´ ), bude tato sta´t na prave´ straneˇ rovnice (1.89). R tohoto prˇ´ıpadu si uka´zˇeme na konkre´tnı´m prˇ´ıpadu. 37

KAPITOLA 1. MECHANIKA HMOTNYĆH BODU˚ Prˇ´ıklad 1.6 Kulicˇka o hmotnosti m je zaveˇsˇena na pruzˇineˇ, ktera´ ma´ klidovou de´lku l0 a prˇi zatı´zˇenı´ o hmotnosti M se prodlouzˇ´ı o a. Da´le na ni pu˚sobı´ ve svisle´m smeˇru vynucujıćı´ sı´la f = f0 cos Ωt. V cˇase t = 0 kulicˇce kra´tky´m u´derem dolu˚ udeˇlı´me rychlost u0. Diskutujte pohyb kulicˇky.

Obra´zek 1.19: Harmonicke´ kmity ˇ esˇenı´: Nejprve urcˇ´ıme konstantu pruzˇiny. R Mg Platı´: Mg = ka a odtud k = . Ted’ urcˇ´ıme ocˇ se pruzˇina prodlouzˇ´ı, zaveˇsı´me-li na ni kulicˇku: a mg = kb ,

b=

odtud

mg M = a. k m

Pohyb se bude konat ve svisle´m smeˇru, polozˇ´ıme do neˇj tedy osu x, orientujeme ji ve smeˇru g a odecˇet provedeme od klidove´ polohy (tj. ve vzda´lenosti l0 + b od za´veˇsu). V obecne´m cˇase tedy bude pohybova´ rovnice m¨ x = −kx + mg − 2γmx˙ + f,

t=0:

x = 0,

x˙ = u0 .

Zaved’me novou sourˇadnici s vztahem −kx + mg = −ks , odtud s=x−

mg = x − b. k

Dostaneme m¨ s = −ks − 2γms˙ + f

t = 0, 38

s = −b,

s˙ = u0 ,

(1.94)

1.16. Harmonicke´ kmity

neboli

f , m

s¨ + 2γ s˙ + ω02 s =

ω02 =

k Mg = . m ma

Obecne´ rˇesˇenı´ homogennı´ rovnice mu˚zˇeme napsat ihned (prˇedpokla´da´me maly´ odpor vzduchu) (1.90) q s¯ = e−γt (C1 sin ω ′ t + C2 cos ω ′ t), ω ′ = ω02 − γ . Odtud

s¯˙ = −γ e−γt (C1 sin ω ′ t + C2 cos ω ′t) + e−γt ω ′ (C1 cos ω ′t − C2 sin ω ′t) . Dosazenı´m t = 0 dane´ z pocˇa´tecˇnıćh podmıńek u0 = bγ + ω ′ C1

−b = C2

odtud C1 =

u0 − bγ , C2 = −b ω′

a rˇesˇenı´ homogennı´ rovnice je −γt

s¯ = e

u0 − bγ ′ ′ sin ω t − b cos ω t . ω′

Partikula´rnı´ rˇesˇenı´ nehomogennı´ rovnice hleda´me ve tvaru (vzhledem k prave´ straneˇ) s˜ = A cos Ωt + B sin Ωt . Dosazenı´m do (1.94) a srovnańı´m koeficientu u cos Ωt a sin Ωt dostaneme pro A a B rovnice f0 , m

(ω02 − Ω2 )A + 2γΩB =

−2γΩA + (ω02 − Ω2 )B = 0 . Snadno nynı´ najdeme konecˇne´ rˇesˇenı´ u0 − bγ −γt ′ ′ x(t) = b + e sin ω t − b cos ω t + ω′ h i f0 /m 2 2 + 2 (ω0 − Ω ) cos Ωt + 2γΩ sin Ωt , (1.95) (ω0 − Ω2 )2 + 4γ 2 Ω2 kde

ω′ =

q ω02 − γ,

ω02 =

Mg , ma

b=

M a. m

Pro velka´ t zu˚sta´vajı´ pouze vynucene´ kmity. Pro Ω = ω0 ma´me prˇ´ıpad rezonance xrez (t) =

f0 /m sin Ωt . 2ω0 γ

Pro mala´ tlumenı´ (γ → 0) dosahuje rezonancˇnı´ amplituda ohromnyćh hodnot.

39


1.17 Soustava hmotnyćh bodu˚ Ted’ budeme studovat soustavu N hmotnyćh bodu˚. Zavedeme si bod nazy´vany´ hmotny´ strˇed a definovany´ takto N N 1 X 1 X rs = M mi ri, jeho rychlost vs = r˙s = M mir˙i (1.96) i=1 i=1 Pn kde mi a ri jsou hmotnost a polohovy´ vektor i–te´ho bodu a M = ´ hmotnost i=1 mi je celkova soustavy. Pro kazˇdy´ bod platı´ pohybova´ rovnice mi rï = F

T OT i

= Fi + F

IN T i

= Fi +

N X

Fji ,

(1.97)

j=1

kde

FiT OT – je celkova´ sı´la pu˚sobıćı´ na i - ty´ hmotny´ bod, Fi – je externı´ sı´la (tj. sı´la od teˇles mimo soustavu), Fji – je vnitrˇnı´ sı´la od j - te´ho bodu na i - ty´ bod. P P Secˇteme rovnici (1.97) pro cely´ syste´m a zaved’me oznacˇenı´ P = mi vi = mi r˙i pro celkovou Pn hybnost syste´mu a F = i=1 Fi vy´slednice vneˇjsˇ´ıch sil. Pak mu˚zˇeme (1.97) prˇepsat do tvaru X

mi rï =

X XX XX d X dP mi r˙i = = F F Fji . i+ ji = F + dt dt i i=1 j=1 i=1 j=1 N

N

N

N

(1.98)

V poslednı´ sumeˇ zameˇnı´me oznacˇenı´ scˇ´ıtacıćh indexu˚ a pı´sˇeme N X N X i=1 j=1

Fij =

N X N X i=1 j=1

Fji = 12

N X N X

(Fij + Fji ) .

i=1 j=1

Prˇedpokla´da´me-li o vnitrˇnıćh silaćh platnost za´kona akce a reakce dosta´va´me I. impulzovou veˇtu pro soustavu dP =F, dt

(1.99)

Fij = −Fji, tento cˇlen vypadne a (1.100)

a odtud plyne za´kon zachovańı´ hybnosti: „Pokud vy´sledna´ vneˇjsˇ´ı sı´la trvale nema´ slozˇku do pevne´ho smeˇru a vnitrˇnı´ sı´ly splnˇujı´ za´kon akce a reakce, pak se slozˇka celkove´ hybnosti soustavy do tohoto smeˇru zachova´va´.“ 40

1.17. Soustava hmotnyćh bodu˚

Da´le platı´, pomocı´ rovnice (1.96) d X dP = mi r˙i = M v˙s = M as = F . dt dt

(1.101)

Hmotny´ strˇed se tedy pohybuje jako jeden hmotny´ bod, ve ktere´m si myslı´me soustrˇedeˇnou celkovou hmotnost, pod vlivem vy´sledne´ vneˇjsˇ´ı sı´ly. Specia´lneˇ odtud plyne: „Pokud na soustavu nepu˚sobı´ vneˇjsˇ´ı vy´sledna´ sı´la, pak se jejı´ hmotny´ strˇed pohybuje rovnomeˇrneˇ prˇ´ımocˇarˇe.“ Analogicky odvodı´me obdobnou veˇtu pro momenty: n X i=1

XX X si × mi rï = dtd si × mi r˙i = ddtL = M + si × Fji , i=1 j=1 i=1 n

n

n

(1.102)

P P kde si jsou ramena od libovolne´ho bodu. L = ni=1 li je vy´sledny´ moment hybnosti a M = ni=1 si × Fi je vy´sledny´ moment vneˇjsˇ´ıch sil. Da´le upravı´me dvojitou sumu N X N X i=1 j=1

si × Fji =

N X N X i=1 j=1

sj × Fij = 12

N X N X i=1 j=1

(si − sj ) × Fji ,

kde jsme nejprve prˇejmenovali indexy i ⇄ j a pak vyuzˇili za´kona akce a reakce pro vnitrˇnı´ sı´ly. Pokud jsou tyto sı´ly navıć centra´lnı´ ma´me (si − sj ) × Fji = rji × Fji = 0 a dosta´va´me II. impulzovou veˇtu:

nebot’

rji k Fji

dL =M. dt

(1.103)

(1.104)

Z nı´ plyne za´kon zachovańı´ momentu hybnosti: „Pokud vy´sledny´ moment vneˇjsˇ´ıch sil trvale nema´ slozˇku do neˇjake´ho pevne´ho smeˇru a vnitrˇnı´ sı´ly splnˇujı´ za´kon akce a reakce a navıć jsou centra´lnı´, pak slozˇka momentu hybnosti do tohoto smeˇru se zachova´va´.“ Ota´zka za´kona zachovańı´ energie je slozˇiteˇjsˇ´ı. Stacˇ´ı si pamatovat, zˇe dostatecˇna´ podmıńka pro jeho platnost je podmıńka, aby vsˇechny vyskytujıćı´ se sı´ly byly konzervativnı´ . Uzˇitecˇne´ vztahy dostaneme zavedeme-li polohy ri′ vzhledem k hmotne´mu strˇedu

ri = rs + ri′ a odtud

to je

X

mi vi = vs

⇒ X

vi = vs + vi′

mi +

X

P = M vs + P ′ . 41

(1.105)

mi vi′ , (1.106)


Obra´zek 1.20: Poloha vzhledem k hmotne´mu strˇedu Pro moment hybnosti (vzhledem k pocˇa´tku) X L = (rs + ri′ ) × (mivs + mivi′ ) = rs × M vs + rs × P ′ + M rs′ × vs + L′

(1.107)

i

a pro kinetickou energii

1X 1 mi (vs + vi′ )2 = Mvs2 + T ′ + vs · P ′ . 2 2 Z (1.105) vsˇak plyne na za´kladeˇ definice (1.96) X X X rs = M1 miri′ = M1 mi ri′ − M1 vs mi = 0 , i i i T =

a tudı´zˇ i

P′ =

X i

Tı´m dosta´va´me

d X mi ri′ = 0 . mi r˙i′ = dt i

P = M vs , L = rs × M vs + L′,

a stejneˇ

T =

1 Mvs2 + T ′ 2

(1.108)

M = rs × F + M ′ .

Tento jednoduchy´ vy´sledek rˇ´ıka´ naprˇ., zˇe „celkova´ kineticka´ energie soustavy se rovna´ kineticke´ energii teˇzˇisˇteˇ a kineticke´ energii soustavy, vzhledem k teˇzˇisˇti“. Tote´zˇ platı´ pro moment hybnosti a moment sı´ly.

1.18 Proble´m dvou teˇles ˇ esˇit proble´m vıće nezˇ dvou hmotnyćh bodu˚ se obecneˇ analyticky nedarˇ´ı. Proble´m dvou teˇles se vsˇak R da´ zcela obecneˇ redukovat. 42

1.18. Proble´m dvou teˇles

Pohybova´ rovnice znı´

m1 r¨1 = F21 ,

m2 r¨2 = F12 .

(1.109)

Prˇejdeˇme k relativnı´ poloze

r = r2 − r1 a k polohove´mu vektoru R hmotne´ho strˇedu (m1 + m2 )R = m1 r1 + m2 r2 .

(1.110)

Odtud

r1 = R − m m+2m r , r2 = R + m m+1m r . 1

Obra´zek 1.21: Proble´m dvou teˇles

2

1

2

Dosazenı´m do (1.109) za prˇedpokladu platnosti za´kona akce a reakce (F21 = −F12 ) dostaneme

R¨ = 0 ,

µ¨r = F ,

(F ≡ F12 ) ,

1 1 1 = + , µ m1 m2

(1.111)

kde µ nazy´va´me redukovanou hmotnostı´ . Hmotny´ strˇed se tedy pohybuje rovnomeˇrneˇ prˇ´ımocˇarˇe a v inercia´lnı´m syste´mu s nı´m spojene´m ˇresˇ´ıme pohybovou rovnici druhe´ho teˇlesa s redukovanou hmotnostı´ µ v silove´m poli prvnı´ho teˇlesa. Vra´tı´me-li se pak k pu˚vodnı´mu popisu pomocı´ r1 a r2 (nejle´pe zvolit O ≡ S), nesmı´me zapomenout, zˇe spojnice obou bodu˚ musı´ neusta´le procha´zet S. Aplikujeme-li tento vy´sledek na pohyb nebeskyćh teˇles (azˇ dosud jsme prˇedpokla´dali naprˇ. Slunce za nehybne´, cozˇ odpovı´da´ prˇedpokladu M ≡ m1 ≫ m2 = m, vidı´me, zˇe nasˇe rˇesˇenı´ zu˚stane v platnosti pro libovolna´ teˇlesa, jen nutno nahradit m → µ a uveˇdomit si, zˇe nynı´ budou obeˇ teˇlesa obı´hat kolem spolecˇne´ho hmotne´ho strˇedu tak, aby jejich spojnice jı´m neusta´le procha´zela.

43


44

Kapitola 2 Mechanika tuhe´ho teˇlesa 2.1 Za´kladnı´ vlastnosti. Hmotny´ strˇed Tuhe´ teˇleso definujeme jako soustavu N hmotnyćh bodu˚, jejichzˇ vza´jemna´ vzda´lenost je nemeˇnna´ (N ≥ 4, obecneˇ polozˇene´). Abychom jej mohli popsat, nutno zjistit kolika neza´visly´mi parametry (sourˇadnicemi) jej musı´me charakterizovat. Budeme konstruovat teˇleso postupneˇ: Jeden hmotny´ bod je dań trˇemi sourˇadnicemi, dva hmotne´ body jsou popisovańy celkem peˇti parametry (sˇest sourˇadnic va´zanyćh jednou podmıńkou: vzda´lenost mezi nimi je nemeˇnna´), trˇi hmotne´ body (obecneˇ polozˇene´) majı´ sˇest neza´vislyćh parametru˚ (deveˇt sourˇadnic va´zanyćh trˇemi podmıńkami: vzda´lenost mezi kazˇdy´mi dveˇma body je nemeˇnna´), cˇtyrˇi hmotne´ body (a to uzˇ je teˇleso) da´vajı´ te´zˇ sˇest neza´vislyćh parametru˚ (prˇida´me-li k troju´helnı´ku dalsˇ´ı bod mimo jeho rovinu, prˇida´me trˇi sourˇadnice, ale za´rovenˇ i trˇi dalsˇ´ı podmıńky mezi nimi: jeho vzda´lenost od trˇ´ı vrcholu˚ troju´helnı´ka jsou konstantnı´). To platı´ i pro kazˇdy´ dalsˇ´ı bod. Vidı´me, tedy, zˇe ˇ ´ıka´me, pocˇet neza´vislyćh parametru˚ pro libovolny´ pocˇet bodu˚, N ≥ 3, neza´visı´ na N a je rovno sˇesti. R zˇe tuhe´ teˇleso ma´ sˇest stupnˇu˚ volnosti. Mu˚zˇeme tedy pocˇet bodu˚ libovolneˇ zveˇtsˇovat azˇ v limiteˇ dojdeme k pojmu spojite´ho teˇlesa se spojiteˇ rozlozˇenou hustotou hmotnosti γ(r ). Mı´sto hmotne´ho bodu tedy ma´me element hmotnosti dm = γ(r ) dV

(2.1)

a mı´sto scˇ´ıtańı´ ma´me integraci. Naprˇ´ıklad hmotny´ strˇed tuhe´ho teˇlesa o hmotnosti M a objemu V0 , definujeme analogicky jako pro soustavu bodu˚

rs

1 = M

Z

M

r

1 dm = M

Z

r γ(r ) dV ,

V0

M=

Z

M

45

dm =

Z

V0

γ(r ) dV .

(2.2)

KAPITOLA 2. MECHANIKA TUHE´HO TEˇLESA Pro homogennı´ teˇleso γ(r ) = konst. = γ0 je

rs

1 = V0

Z

r

dV

(2.3)

V0

neza´visle´ na hmotnosti.

2.2 Eulerova veˇta o pohybu Budeme-li chtı´t popsat pohyb tuhe´ho teˇlesa, zda´ se, zˇe je to u´loha velice slozˇita´, nebot’si lze prˇedstavit velmi slozˇity´ pohyb. Euler vsˇak doka´zal, zˇe kazˇdy´ pohyb lze vzˇdy rozlozˇit pouze na dva pohyby: postupny´ a otocˇny´. Eulerova veˇta o pohybu znı´ : „Libovolnou pocˇa´tecˇnı´ a konecˇnou polohu tuhe´ho teˇlesa lze vzˇdy jednoznacˇneˇ ztotozˇnit jednı´m posunutı´m a jednı´m otocˇenı´m.“

Obra´zek 2.1: Sˇipka otocˇenı´ Matematicky budeme posunutı´ z bodu A do bodu B popisovat vektorem posunutı´ s = charakterizujeme sˇipkou ϕ definovanou takto:

AB . Otocˇenı´

a) smeˇr da´va´ osu otocˇenı´, b) velikost da´va´ u´hel otocˇenı´, c) smysl da´va´ smysl otocˇenı´ dle pravotocˇive´ho sˇroubu. Zmeˇnu vlivem male´ho otocˇenı´ pak mu˚zˇeme psa´t jako

srot =

dϕ × r . 46

(2.4)

2.3. Eulerovy u´hly a Eulerovy kinematicke´ rovnice

Pozna´mka: prˇi konecˇnyćh otaćˇenıćh mluvı´me o sˇipce a ne o vektoru, nebot’ konecˇna´ otaćˇenı´ nejsou za´meˇnna´ (komutativnı´). Eulerovu veˇtu stacˇ´ı doka´zat pro tuhy´ troju´helnı´k nebot’, jak bylo vy´sˇe uka´zańo, ten jizˇ reprezentuje tuhe´ teˇleso (ma´ sˇest stupnˇu˚ volnosti). Ostatnı´ body mohu k neˇmu jednoznacˇny´m zpu˚sobem „prˇilepit“.

Obra´zek 2.2: Eulerova veˇta o pohybu pro troju´helnı´k Ma´me tedy zadań tuhy´ troju´helnı´k a jeho pocˇa´tecˇnı´ polohu ABC a konecˇnou polohu (v prostoru) A′ B ′ C ′ . Zvolme libovolny´ bod M a jemu odpovı´dajıćı´ bod M ′ , definujme s = MM ′ a posunˇme troju´helnı´k ABC jako celek o s : dosta´va´me troju´helnı´k A′′ B ′′ C ′′ „rovnobeˇzˇny´“ s pu˚vodnı´m. Nynı´ stacˇ´ı doka´zat, zˇe existuje jedine´ otocˇenı´ ϕ, ktere´ ztotozˇnı´ A′′ B ′′ C ′′ s A′ B ′ C ′ . Osa otaćˇenı´ bude zrˇejmeˇ procha´zet bodem M ′ nebot’M ′ ≡ M ′′ . Sestrojme rovinu symetrie α bodu˚ A′′ a A′ , da´le rovinu symetrie β bodu˚ B ′′ a B ′ a jejich pru˚secˇnici nazveme o. Roviny α a β procha´zı´ bodem M ′ nebot’C ′ M ′ = C ′′ M ′ a B ′ M ′ = B ′′ M ′ tudı´zˇ i prˇ´ımka o jı´m procha´zı´. Z rekonstrukce a vlastnostı´ rovin symetrie plyne, zˇe prˇi otaćˇenı´ troju´helnı´ku A′′ B ′′ C ′′ kolem osy o tak, aby splynul bod B ′′ s B ′ , splyne i bod C ′′ s C ′ . Abychom doka´zali, zˇe o je hledana´ osa otaćˇenı´, stacˇ´ı doka´zat, zˇe prˇi tomto otaćˇenı´ splyne i bod A′′ s A′ . To je ovsˇem trivia´lnı´: jelikozˇ B ′′ → B ′ , C ′′ → C ′ , M ′′ → M ′ (zu˚sta´va´ na mı´steˇ) a troju´helnı´k je takovy´, zˇe musı´ vsˇechny si odpovı´dajıćı´ body splynout a tudı´zˇ i A′′ → A′ . Snadno najdeme u´hel a smysl otaćˇenı´ a tı´m i ϕ. Dvojice {s , ϕ} pak jednoznacˇneˇ urcˇuje obecny´ pohyb tuhe´ho teˇlesa va´zane´ho na na´sˇ troju´helnı´k.

2.3 Eulerovy u´hly a Eulerovy kinematicke´ rovnice V kazˇde´m okamzˇiku mu˚zˇeme obecny´ pohyb popsat jako postupny´ pohyb bodu a otocˇenı´ kolem tohoto bodu (kolem okamzˇite´ osy otaćˇenı´ – o. o. o.): trˇi parametry rr (t) prˇirˇadı´me postupne´mu pohybu libovolne´ho bodu R vzhledem k syste´mu Σ pevne´mu v prostoru (budeme mu take´ neˇkdy rˇ´ıkat zkraćeneˇ 47

KAPITOLA 2. MECHANIKA TUHE´HO TEˇLESA absolutnı´ ), dalsˇ´ı trˇi parametry pak budou charakterizovat otaćˇenı´ kolem bodu R: nejle´pe zvolı´me trˇi u´hly, naprˇ. dva u´hly dajı´ smeˇr osy a trˇetı´ uda´va´ otaćˇenı´ kolem te´to osy. Tento popis vsˇak nenı´ vhodny´ nebot’ smeˇr osy zada´va´me trˇemi smeˇrovy´mi u´hly α1 , α2 , α3 , va´zany´mi jednou podmıńkou cos2 α1 + cos2 α2 + cos2 α3 = 1. Euler uka´zal jak je mozˇno zave´st trˇi neza´visle´ u´hly (Eulerovy u´hly). K tomu si zaved’me druhy´ sourˇadny´ syste´m Σ′ , pevneˇ spojeny´ s teˇlesem (pohyb vu˚cˇi neˇmu budeme neˇkdy nazy´vat relativnı´ ) s pocˇa´tkem v R. Da´le si bodem R ved’me rovnobeˇzˇky s osami absolutnı´ho syste´mu a budeme vyjadrˇovat vza´jemnou polohu. mezi Σ a Σ′ se spolecˇny´m pocˇa´tkem R ≡ O ≡ O ′. Nejprve si mysleme, zˇe oba (pravou´hle´) sourˇadne´ syste´my v Σ a Σ′ splynou a trˇemi neza´visly´mi otaćˇenı´mi teˇlesa (tj. syste´mu Σ′ ) jej uvedeme do obecne´ polohy. z = z0′ = z1′ z ′ = z2′

o.o.o. ω

ϑ

y′ y2′

ψ˙ ϕ˙

eω

y1′

R ≡ O ≡ O′

y = y0′

ϑ˙ ψ

ϕ

x′ x = x′0

x′1 = x′2 Obra´zek 2.3: Eulerovy u´hly

Pocˇa´tecˇnı´ polohu sourˇadne´ho syste´mu oznacˇme Σ′0 : 48

2.3. Eulerovy u´hly a Eulerovy kinematicke´ rovnice 1. Provedeme otocˇenı´ kolem spolecˇne´ osy z ≡ z0′ o u´hel ψ v kladne´m smyslu (pravotocˇivy´ sˇroub). Dostaneme polohu Σ′1 . 2. Da´le provedeme otocˇenı´ kolem osy x′1 (uzlove´ linie) o u´hel ϑ v kladne´m smyslu. Tı´m vychy´lı´me rovinu x′ y ′ a dostaneme polohu Σ′2 . 3. Konecˇneˇ provedeme kladne´ otocˇenı´ kolem osy z2′ o u´hel ϕ. Tı´m zı´ska´me konecˇnou obecnou polohu sourˇadne´ho syste´mu Σ′ . Trˇi Eulerovy u´hly {ψ, ϑ, ϕ} zavedeme jako dalsˇ´ı trˇi parametry, ktere´ popisujı´ otaćˇivy´ pohyb kolem bodu (kolem okamzˇite´ osy otaćˇenı´ eω ). Abychom mohli popsat otaćˇivy´ pohyb, zaved’me pojem u´hlove´ rychlosti. Proved’me nekonecˇneˇ male´ otaćˇenı´ za dobu dt. Je charakterizovańo vektorem (nebot’ se jedna´ o nekonecˇneˇ male´ otocˇenı´) dϕ (definice viz vy´sˇe). Pak dϕ = ω eω = ϕ˙ eω . (2.5) ω= dt ´ hlove´ rychlosti odpovı´dajıćı´ zmeˇna´m Eulerovyćh u´hlu˚ jsme vyznacˇili v obra´zku 2.3. U Jelikozˇ popis pomocı´ otaćˇenı´ kolem okamzˇite´ osy otaćˇenı´ u´hlovou rychlostı´ ω a pomocı´ u´hlovyćh ˙ ϑ, ˙ ϕ˙ je ekvivalentnı´, promı´tneme ω na osy a obdrzˇ´ıme Eulerovy kinematicke´ rovnice rychlostı´ ψ, (v syste´mu Σ′ ): ωx′ = ψ˙ sin ϑ sin ϕ + ϑ˙ cos ϕ ω ′ = ψ˙ sin ϑ cos ϕ − ϑ˙ sin ϕ y

ωz′ = ψ˙ cos ϑ + ϕ˙

Prˇ´ıklad 2.1 Najdeˇte Eulerovy kinematicke´ rovnice v syste´mu Σ. ˇ esˇenı´: Promı´tneme ϕ˙ do roviny (x, y) R ϕ˙xy = ϕ˙ sin ϑ a da´le ϕ˙x = ϕ˙xy sin ψ , ϕ˙y = −ϕ˙xy cos ψ . Platı´ ϑ˙x = ϑ˙ cos ψ , ϑ˙y = ϑ˙ sin ψ . 49

(2.6)

KAPITOLA 2. MECHANIKA TUHE´HO TEˇLESA y1′

ψ ϕ˙ xy

y

ϑ˙ ψ

x′1

x

Obra´zek 2.4: Eulerovy kinematicke´ rovnice v syste´mu Σ Jelikozˇ ψ˙ je kolme´ na rovinu (x, y) nema´ slozˇky x a y. Celkem: ωx = ϑ˙ cos ψ + ϕ˙ sin ψ sin ϑ , ωy = ϑ˙ sin ψ − ϕ˙ cos ψ sin ϑ ,

(2.7)

ωz = ψ˙ + ϕ˙ cos ϑ .

2.4 Una´sˇiva´ rychlost Ukazˇme, zˇe rychlost bodu r ′ tuhe´ho teˇlesa, ktere´ se otaćˇ´ı v dane´m okamzˇiku u´hlovou rychlostı´ ω kolem osy nehybne´ v uvazˇovane´m sourˇadne´m syste´mu Σ je

u = ω × r′

(2.8)

vu˚cˇi pevne´mu syste´mu. Za dobu dt urazı´ obloucˇek ds = r⊥ dϕ = r ′ sin α dϕ a tedy u=

ds = r ′ sin ϕϕ˙ = | ω × r ′ | dt

Smeˇr a smysl zrˇejmeˇ take´ souhlası´. Tuto rychlost cˇasto nazy´va´me una´sˇivou, nebot’ stojı´me-li klidneˇ na dane´m mı´steˇ teˇlesa, tak toto je rychlost, kterou na´s toto mı´sto una´sˇ´ı vzhledem ke zvolene´ soustaveˇ sourˇadne´ Σ. 50

2.5. Kineticka´ energie a moment hybnosti. Ko¨nigova veˇta

Obra´zek 2.5: Una´sˇiva´ rychlost

2.5 Kineticka´ energie a moment hybnosti. Ko¨nigova veˇta Pro obecny´ pohyb tedy platı´

r v kde v0 je rychlost postupne´ho, syste´mu).

= =

r0 + r ′ v0 + u = r˙0 + ω × r ′ ,

u rychlost otaćˇive´ho pohybu a v

(2.9) je celkova´ rychlost (vu˚cˇi pevne´mu

Pro celkovou kinetickou energii dostaneme Z Z Z 1 1 1 2 2 2 T = v dm = 2 (v0 + u ) dm = 2 v0 M + v0 2 Z = T0 + Trot + v0 · ω × r ′ dm

kde T0 = 21 M v02 je kineticka´ energie postupne´ho pohybu a Trot = rotacˇnı´ho pohybu. 51

1 2

u dm + Trot = (2.10) R

u 2 dm je kineticka´ energie

KAPITOLA 2. MECHANIKA TUHE´HO TEˇLESA

Obra´zek 2.6: Obecny´ pohyb (postupny´ i otaćˇivy´) Obdobneˇ pro moment hybnosti (vzhledem k o) Z

(r0 + r ′ ) × (v0 + u ) dm = Z Z ′ = L0 + Lrot + r0 × (ω × r dm) + ( r ′ dm) × v0 ,

L =

r ×v

Z

dm =

(2.11)

R kde L0 = r0 × M v0 je moment hybnosti postupne´ho a Lrot = r ′ × u dm moment hybnosti otaćˇive´ho pohybu. Vy´razy (2.10) a (2.11) ukazujı´, zˇe obecneˇ neplatı´, zˇe celkova´ energie (resp. moment hybnosti) se rovna´ soucˇtu postupne´ a rotacˇnı´ energie (resp. momentu hybnosti), vyskytujı´ se jesˇteˇ smı´sˇene´ cˇleny. Teˇchto cˇlenu˚ se mu˚zˇeme zbavit ve dvou prˇ´ıpadech:

a) vysˇetrˇujeme otaćˇenı´ kolem pevne´ho bodu, ve ktere´m volı´me spolecˇny´ pocˇa´tek: pak je v0 ≡ 0 a zby´vajı´ na´m jen cˇleny Trot, Lrot .

r0 ≡ 0,

b) za bod R (ktery´ azˇ dosud mohl by´t libovolny´ bod teˇlesa) zvolı´me hmotny´ strˇed S. Potom dle R definice je r ′ dm = rs′ M = 0 a oba smı´sˇene´ cˇleny na´m vypadajı´. Dosta´va´me tak Ko¨nigovu veˇtu: „Celkova´ kineticka´ energie tuhe´ho teˇlesa se rovna´ kineticke´ energii postupne´ho pohybu hmotne´ho strˇedu a rotacˇnı´ energii kolem hmotne´ho strˇedu.“ Stejna´ veˇta platı´ i o momentu hybnosti.

2.6 Otaćˇenı´ kolem pevne´ho bodu. Tenzor setrvacˇnosti Da´le uzˇ se budeme zaby´vat jen otaćˇivy´m pohybem tuhe´ho teˇlesa. Budeme proto veˇtsˇinou vynecha´vat index „rot“. Vzorec pro kinetickou energii upravı´me dosazenı´m za u pouzˇitı´m vzorecˇku (a × b )2 = 52

2.6. Otaćˇenı´ kolem pevne´ho bodu. Tenzor setrvacˇnosti a2 b2 − (a · b )2 : 1 T = 2 1 = 2

Z Z

1 (ω × r ) dm = 2 ′ 2

Z

ω 2r ′2 − (ω · r ′ )2 dm =

[ω · ω r ′2 − ω · r ′ r ′ · ω] dm .

Dosadı´me-li za prvnı´ ω v prvnı´m cˇlenu vy´raz ω = ω · I, kde I je tenzor identity. Mu˚zˇeme vytknout ω doprˇedu a dozadu a ma´me konecˇny´ vy´raz pro rotacˇnı´ kinetickou energii Trot =

1 ω·J ·ω, 2

(2.12)

kde jsme zavedli tenzor setrvacˇnosti def

J =

Z

(I r ′2 − r ′ r ′ ) dm .

(2.13)

M

Pro moment hybnosti

L

= =

Z Z

r

′

× (ω × r ) dm = ′

Z

(ω r ′2 − r ′ r ′ · ω) dm =

[I · ω r ′2 − r ′ r ′ · ω] dm = J · ω .

Uveˇdomı´me-li si, zˇe J je tenzor symetricky´, mu˚zˇeme psa´t pro moment hybnosti otaćˇive´ho pohybu

Lrot = J · ω = ω · J .

(2.14)

Abychom mohli interpretovat slozˇky momentu setrvacˇnosti, zaved’me jesˇteˇ pojem skala´rnı´ moment setrvacˇnosti k dane´ ose o Z 2 J o = r⊥ dm , (2.15) M

kde r⊥ je kolma´ vzda´lenost od osy. Zvolme pevny´ smeˇr e a zkoumejme slozˇku Jee = =

e ·J ·e = Z

′2

(r −

Z

rk′2 )

(e · I · e r ′2 − e · r ′ r ′ · e ) dm = dm =

Z

′2 dm = Jei , r⊥

kde k a ⊥ znamena´ slozˇky rovnobeˇzˇne´ a kolme´ vzhledem ke zvolene´mu smeˇru e . Dosta´va´me tedy, zˇe „slozˇka tenzoru setrvacˇnosti se stejny´mi indexy je rovna skala´rnı´mu momentu setrvacˇnosti kolem osy, do ktere´ tenzor promı´ta´me“. 53

KAPITOLA 2. MECHANIKA TUHE´HO TEˇLESA Pokud se ty´ka´ slozˇek s nestejny´m indexem, rˇ´ıka´me jim deviacˇnı´ momenty (naprˇ. Dxy = −Jxy = R xy dm), nejsou vy´znamne´, nebot’se jich zbavı´me prˇechodem do hlavnı´ho syste´mu (J symetricky´!), kdy ma´me     JI I 0 0 JI 0 0     J =  0 JII II (2.16) 0 0 .  ≡  0 JII 0 0 JIII III 0 0 JIII JI , JII , JIII jsou hlavnı´ momenty setrvacˇnosti (spra´vne´ znacˇenı´ s dveˇma indexy!).

2.7 Eulerovy dynamicke´ rovnice. Setrvacˇnı´ky Nynı´ zkoumejme zmeˇnu libovolne´ho vektoru A prˇi otaćˇenı´; jeho zmeˇna za cˇasovy´ element dt je rovna (una´sˇiva´ zmeˇna)

ω

du A =ω×A dt

dA

dϕ

(2.17)

Podrobny´ du˚kaz je podań u rovnice (2.8) (stacˇ´ı udeˇlat za´meˇnu r ′ → A). Bude-li navıć jesˇteˇ zmeˇna vu˚cˇi otaćˇejıćı´mu se syste´mu (relativnı´ zmeˇna, znacˇ´ıme d′ ) bude celkova´ zmeˇna vu˚cˇi pevne´mu („absolutnı´mu“) syste´mu dańa

A

d = d′ + du ,

tzn.

d d′ = +ω× . dt dt

(2.18)

Za´kladnı´ dynamicka´ rovnice je dańa II. impulzovou veˇtou (I. impulzova´ veˇta nic neda´va´, nebot’nenı´ postupny´ pohyb) d(J · ω) dL =M= =M. dt dt

Obra´zek 2.7: Zmeˇna vektoru A prˇi otaćˇenı´

(2.19)

Uveˇdomme si, zˇe J je cˇasoveˇ nepromeˇnny´ jen vu˚cˇi syste´mu Σ′ (viz definice (2.13)), vu˚cˇi syste´mu Σ jsou to obecneˇ velice „divoke´“ funkce. Proto pouzˇijeme cˇasovy´ opera´tor (2.18) a pı´sˇeme d(J · ω) d′ = (J · ω) + ω × J · ω dt dt

a dosta´va´me tak Eulerovy dynamicke´ rovnice J ·

d′ ω +ω×J ·ω = M. dt 54

(2.20)

2.7. Eulerovy dynamicke´ rovnice. Setrvacˇnı´ky Pro prakticke´ vy´pocˇty je vy´hodne´ slozˇkove´ vyja´drˇenı´ (v syste´mu Σ′ !) Jik

dωk′ + εirs ωr′ Jsk ωk′ = Mi′ . dt

(2.21)

Odtud snadno obdrzˇ´ıme Eulerovy dynamicke´ rovnice v hlavnı´m syste´mu dωI′ ′ ′ + (JIII − JII ) ωIII ωII = MI′ , dt ′ dωII ′ ′ JII + (JI − JIII ) ωI′ ωIII = MII , dt ′ dωIII ′ ′ JIII + (JII − JI ) ωI′ ωII = MIII . dt JI

(2.22)

Dosadı´me-li za ω z Eulerovyćh kinematickyćh rovnic (v hlavnı´m syste´mu) (2.6), dosta´va´me trˇi diferencia´lnı´ rovnice druhe´ho rˇa´du pro trˇi Eulerovy u´hly. S prˇ´ıslusˇny´mi pocˇa´tecˇnı´mi podmıńkami t = t0 : {ψ0 , ϑ0 , ϕ0 }, {ψ˙0 , ϑ˙0 , ϕ˙0 }, jejich rˇesˇenı´ da´va´ popis otaćˇive´ho pohybu. Praktickou aplikacı´ je pohyb setrvacˇnı´ku˚. Pod setrvacˇnı´kem rozumı´me symetricke´ teˇleso, ktere´ se mu˚zˇe staćˇet kolem sve´ osy symetrie, jejichzˇ jeden bod je upevneˇn. Pokud je tı´mto nehybny´m bodem teˇzˇisˇteˇ setrvacˇnı´ku, nazy´va´ se volny´ setrvacˇnı´k. Jinak se nazy´va´ teˇzˇky´ setrvacˇnı´k.

Obra´zek 2.8: Rychle rotujıćı´ setrvacˇnı´k Prˇesna´ teorie setrvacˇnı´ku˚ je velice slozˇita´. Za podmıńky, zˇe setrvacˇnı´k rotuje velice rychle kolem sve´ osy rotace, mu˚zˇeme dojı´t ke zjednodusˇene´ teorii takto: prˇedpokla´dejme, zˇe setrvacˇnı´k rotuje kolem vlastnı´ osy z ′ u´hlovou rychlostı´ ω a za´rovenˇ se otaćˇ´ı u´hlovou rychlostı´ ω1 kolem osy z pevne´ v prostoru. Vy´sledny´ pohyb se kona´ s u´hlovou rychlostı´ ω = ω + ω1 55

KAPITOLA 2. MECHANIKA TUHE´HO TEˇLESA Moment hybnosti tedy nebude mı´t smeˇr z ′ . Pokud ovsˇem bude ω ≫ ω1 , mu˚zˇeme zanedbat rozdı´l mezi smeˇry ω a ω a prˇedpokla´dat, zˇe platı´ L = JI · ω , (2.23) nebot’osa symetrie je jisteˇ hlavnı´ smeˇr (oznacˇili jsme jej I).

d

Obra´zek 2.9: Precese Ted’popı´sˇeme jeden z gyroskopickyćh jevu˚. Pta´me se, jak se bude chovat velmi rychle rotujıćı´ setrvacˇnı´k, bude-li na neˇj pu˚sobit sı´la vyvola´vajıćı´ moment sil. U volne´ho setrvacˇnı´ku to mu˚zˇe by´t stranovy´ tlak na osu, u teˇzˇke´ho setrvacˇnı´ku moment vyvolany´ jeho va´hou. Podle za´kladnı´ dynamicke´ rovnice platı´

dL =M. dt

(2.24)

Zmeˇna dL ma´ tedy smeˇr momentu (v nasˇem prˇ´ıpadeˇ vodorovny´) a osa setrvacˇnı´ku nebude padat (jako kdyby se netocˇil), ale vybocˇ´ı do strany a zacˇne opisovat kuzˇel kolem pevne´ osy s neˇjakou u´hlovou rychlostı´ ω1 . Tomuto pohybu rˇ´ıka´me regula´rnı´ precese. Koncovy´ bod vektoru L prˇitom ma´ rychlost (jak plyne z (2.24)) u o velikosti u = M = Gd sin ϑ, kde d je vzda´lenost teˇzˇisˇteˇ od pevne´ho bodu. Rychlost u se vsˇak rovna´ u = ω1 × L (viz (2.17)) a tedy u = ω1 L sin ϑ. Porovnańı´m obou vztahu˚ a dosazenı´m z (2.23) najdeme u´hlovou rychlost precese ω1 =

Gd , JI ω

56

(2.25)

2.7. Eulerovy dynamicke´ rovnice. Setrvacˇnı´ky

Obra´zek 2.10: Gyrokompas ktera´ je tı´m mensˇ´ı, cˇ´ım rychleji setrvacˇnı´k rotuje (a tı´m le´pe jsou take´ splneˇny prˇedpoklady nasˇeho prˇiblı´zˇenı´). U setrvacˇnı´ku, ktery´ se otaćˇ´ı kolem pevne´ho bodu (a tedy ma´ vsˇechny trˇi rotacˇnı´ stupneˇ volnosti), osa rotace setrvacˇnı´ku meˇnı´ smeˇr pod vlivem momentu sil. Da´ se uka´zat, zˇe pokud da´me setrvacˇnı´k do za´veˇsu tak, zˇe se mu˚zˇe otaćˇet jen kolem dvou os (AB, XY ), nemu˚zˇe jizˇ reagovat na vneˇjsˇ´ı moment a jeho osa (prˇi velmi rychle´ rotaci) drzˇ´ı konstantnı´ smeˇr. Na tom je zalozˇen gyrokompas.

Obra´zek 2.11: Nutace 57


Prˇesna´ teorie ukazuje, zˇe docha´zı´ i k periodicky´m zmeˇna´m u´hlu nakloneˇnı´ osy a tomuto pohybu ˇr´ıka´me nutace. Eulerovy u´hly proto take´ neˇkdy nazy´va´me takto: ψ - u´hel precese, ϑ - u´hel nutace, ϕ - u´hel rotace. I na Zemi je mozˇno pohlı´zˇet jako na setrvacˇnı´k, na ktery´ vlivem nepravidelnostı´ ve tvaru a slozˇenı´ a vlivem Meˇsıće, pu˚sobı´ maly´ moment. Zemeˇ tedy kromeˇ rotacˇnı´ho pohybu kolem svisle´ osy kona´ precesnı´ pohyb (doba precese 26 000 let) i malou astronomickou nutaci (zmeˇna sklonu zemske´ osy). Prˇ´ıklad 2.2 Rotor rychlobeˇzˇne´ turbıńy o n otaćˇkaćh za minutu ma´ osu v pode´lne´ ose lodi, va´zˇ´ı G a ma´ polomeˇr setrvacˇnosti a (definujme jej tak, aby platilo Ma2 = J). Najdeˇte maxima´lnı´ gyroskopicky´ tlak na lozˇiska turbıńy, vzda´lene´ od sebe s, houpe-li se lod’ kolem prˇ´ıcˇne´ osy s maxima´lnı´ vyćhylkou ϕ0 a periodou τ .

Obra´zek 2.12: Rotor rychlobeˇzˇne´ turbıńy ˇ esˇenı´: Oznacˇme smeˇr pode´lny´ a prˇ´ıcˇny´ sˇipkami (viz obr. 2.12). Moment hybnosti rotoru je dań R vztahem G πn . L = Jω = a2 g 30 Houpańı´ lodi prˇedstavuje harmonicky´ pohyb kolem prˇ´ıcˇne´ osy ϕ = ϕ0 sin

2π t, T

u´hlova´ rychlost je dańa ω1 =

dϕ ϕ0 2π 2π = cos t0 , dt T t

jejı´ maxima´lnı´ hodnota je ω1 max =

58

2π ϕ0 . T

2.8. Rotace kolem pevne´ osy. Steinerova veˇta Bude-li se prˇ´ıd’ zdvı´hat, koncovy´ bod vektoru L bude klesat rychlostı´ u = Lω1 a cˇ´ıselneˇ se rovna´ (viz (2.24)) momentu dvojice reakcı´ lozˇisek, ktery´ je rovneˇzˇ orientovań dolu˚ (a pu˚sobıćı´ na rotor). Na lozˇiska pu˚sobı´ moment opacˇny´ (nazy´va´ se gyroskopicky´ moment), tedy vzhu˚ru MR = Lω1 max = Rs . Odtud R=

π 2 na2 Gϕ0 . 15gT s

Lod’ tedy „ucı´tı´“ moment Rs, ktery´ ji bude zataćˇet doleva. Bude-li prˇ´ıd’ klesat, moment bude na druhou stranu. Uveˇdomme si, zˇe tato reakce na chod turbıńy na houpańı´ lodi, neza´visı´ na pohybu lodi. Tedy turbıńa v chodu bude otaćˇet lodı´ v rytmu houpańı´ v prˇ´ıcˇne´ ose i v klidu. Proto se u veˇtsˇ´ıch lodı´ pouzˇ´ıvajı´ dveˇ protibeˇzˇne´ turbıńy. Obdobne´ gyroskopicke´ „u´kazy“ se objevujı´ i u letadel prˇi stoupańı´, klesańı´ cˇi zataćˇenı´ a je nutno s nimi prˇi konstrukcıćh pocˇ´ıtat.

2.8 Rotace kolem pevne´ osy. Steinerova veˇta Bude-li mı´t osa otaćˇenı´ pevny´ smeˇr ω = ω(t)eω ,

eω = konst .,

(2.26)

dosazenı´m ω = (ω, 0, 0) do rovnice (2.12), (2.14) a (2.20), obdrzˇ´ıme Trot =

1 Jω 2 , 2

Lrot = Jω ,

J

dω =M, dt

(2.27)

kde J je (skala´rnı´) moment setrvacˇnosti, Lrot je velikost momentu hybnosti a M je velikost momentu sı´ly kolem osy eω = konst . Smeˇr a smysl vektoru˚ L a M souhlası´ s eω . Obra´zek 2.13: Steinerova veˇta Pro momenty setrvacˇnosti kolem dvou rovnobeˇzˇnyćh os, platı´ tato du˚lezˇita´ Steinerova veˇta: „moment setrvacˇnosti kolem osy o je roven momentu setrvacˇnosti kolem rovnobeˇzˇne´ osy, procha´zejıćı´ hmotny´m strˇedem, zveˇtsˇeny´ o soucˇin hmotnosti teˇlesa a cˇtverce vzda´lenosti mezi osami“: Jo = Js + Md2 59

(2.28)

KAPITOLA 2. MECHANIKA TUHE´HO TEˇLESA Du˚kaz: Zvolme libovolny´ bod A teˇlesa. V rovineˇ jdoucı´ tı´mto bodem kolmo na obeˇ osy, zaved’me vektory r⊥ , r⊥′ a d (viz obr. 2.13). Platı´ r⊥ = r⊥′ + d a tedy Jo =

Z

r

2 ⊥

dm =

M

Z

(r + d ) dm = ′ ⊥

2

Z

r

′2 ⊥

dm + 2d ·

M

Z

r⊥′ dm + d2M .

M

Prvnı´ integra´l na prave´ straneˇ je Js a druhy´ je roven nule, je pocˇa´tkem syste´mu Σ′ .

′ nebot’r⊥

meˇrˇ´ıme od hmotne´ho strˇedu, ktery´

Prˇ´ıklad 2.3 Urcˇete moment setrvacˇnosti tenke´ homogennı´ tycˇe o de´lce l kolem osy jdoucı´ jejı´m koncem pod u´hlem α.

Obra´zek 2.14: Moment setrvacˇnosti tenke´ homogennı´ tycˇe ˇ esˇenı´: Dle definice R Jo =

Z

2 r⊥ dm = γ0

Zl

x2 sin2 α dx S ,

0

kde S je pru˚rˇez tycˇe. Da´le 2

Jo = γ0 S sin α

Zl

x2 dx = γ0 S sin2 α

0

a konecˇneˇ Jo =

1 Ml2 sin2 α , 3

kde M = lSγ0 je hmotnost tycˇe.

60

l3 3

2.8. Rotace kolem pevne´ osy. Steinerova veˇta Prˇ´ıklad 2.4 Urcˇete moment setrvacˇnosti homogennı´ho disku o hmotnosti M, polomeˇru R a tlousˇt’ky h kolem osy kolme´ k jeho rovineˇ a jdoucı´ bodem jeho obvodu.

Obra´zek 2.15: Moment setrvacˇnosti homogennı´ho disku ˇ esˇenı´: Nejprve urcˇ´ıme moment setrvacˇnosti kolem osy jdoucı´ jeho hmotny´m strˇedem. Ma´me ve R va´lcovyćh sourˇadnicıćh Js =

Z

2 r⊥

dm = γ0

Z

2 r⊥

dV = γ0

ZZZ

2 r⊥ r⊥

dr⊥ dϕ dz = γ0

ZR 0

3 r⊥

dr⊥

Z2π 0

dϕ

Zh

dz =

0

π 1 = γ0 R4 h = MR2 . 2 2 Podle Steinerovy veˇty Jo = Js + MR2 =

3 MR2 2

Prˇ´ıklad 2.5 Urcˇete moment setrvacˇnosti kolem osy symetrie prˇ´ıme´ho kruhove´ho kuzˇele (polomeˇr za´kladny R, vy´sˇka h) o celkove´ hmotnosti M, jehozˇ hustota linea´rneˇ roste s vy´sˇkou tak, zˇe na za´kladneˇ je nulova´. ˇ esˇenı´: Zavedeme va´lcove´ sourˇadnice (ρ, ϕ, z). Pak R γ(z) = kz a M=

Z

V

ZR Z2π zZ1 (ρ) γ(z) dV = k zρ dρ dϕ dz , 0

61

0

0


Obra´zek 2.16: Moment setrvacˇnosti prˇ´ıme´ho kruhove´ho kuzˇele kde z1 (ρ) vypocˇ´ıta´me z rovnice povrsˇky z ρ + = 1, h R

odtud z1 (ρ) =

h (R − ρ) . R

Je M = k

Z2π

dϕ

0

=

ZR

dρ ρ

0

zZ1 (ρ)

dz z = 2πk

0

ZR

h2 (R − ρ)2 πkh2 = dρ ρ R2 2 R2

0

ZR 0

dρ ρ(R − ρ)2 =

πkh2 R2 . 12

Da´le J =

Z

2 r⊥

= 2πk

zZ1 (ρ) ZR Z2π zZ1 (ρ) ZR 2 3 dm = ρ kzρ dρ dϕ dz = 2πk dρ ρ z dz = 0

ZR

0

0

0

h2 (R − ρ)2 πkh2 dρ ρ3 = R2 2 R2

0

ZR 0

Vyja´drˇ´ıme k pomocı´ M a dostaneme J=

1 MR2 . 5

62

dρ ρ3 (R − ρ)2 =

0

πkh2 R4 . 60

2.8. Rotace kolem pevne´ osy. Steinerova veˇta Prˇ´ıklad 2.6 Klikovy´ mechanismus se skla´da´ z pevne´ho disku polomeˇru r1 , kliky o va´ze G1 a disku polomeˇru r2 a va´hy G2 , ktery´ se odvaluje po pevne´m disku pomocı´ kliky. Bude-li se klika otaćˇet u´hlovou rychlostı´ ω, najdeˇte celkovy´ moment hybnosti mechanismu k bodu otaćˇenı´ O.

Obra´zek 2.17: Klikovy´ mechanismus se dveˇma disky ˇ esˇenı´: Hledany´ moment hybnosti se rovna´ soucˇtu momentu hybnosti disku II a kliky I R L = LII + LI . Pro disk ma´me (moment teˇzˇisˇteˇ plus moment kolem neˇho) LII =

G12 vA (r1 + r2 ) + J2 ω2 , g

kde (viz prˇ´ıklad 2.4) J2 =

1 G2 2 r , 2 g 2

vA = (r1 + r2 )ω ,

Pro kliku LI = J1 ω , kde (viz prˇ´ıklad 2.3) J1 =

1 G1 (r1 + r2 )2 . 3 g 63

ω2 =

vA . r2


Celkem tedy ma´me

" # r1 + r2 3 r1 + r2 L= G 1 r1 + r2 + G 2 ω. g 2 3

2.9 Pohyb v neinercia´lnı´m syste´mu Inercia´lnı´ syste´m je kazˇdy´ syste´m, ktery´ se vu˚cˇi postulovane´mu pohybuje rovnomeˇrneˇ prˇ´ımocˇarˇe (viz kapitola 1.2 a 1.3). Kazˇdy´ syste´m, ktery´ nenı´ inercia´lnı´, nazy´va´me neinercia´lnı´ . Jelikozˇ dle Eulerovy veˇty (viz kapitola 2.2) lze kazˇdy´ pohyb rozlozˇit na pohyb postupny´ a otaćˇivy´, stacˇ´ı zkoumat neinercia´lnı´ syste´my, postupne´ a otaćˇive´. Pohybuje-li se prˇ´ımocˇarˇe, musı´ by´t urychleny´ (nebo zpomaleny´). Syste´m konajıćı´ krˇivocˇary´ pohyb je vzˇdy neinercia´lnı´ (i kdyzˇ je pohyb rovnomeˇrny´). a) Postupny´ pohyb. Je to takovy´ pohyb teˇlesa, prˇi ktere´m libovolna´ prˇ´ımka spojena´ s teˇlesem, zu˚sta´va´ rovnobeˇzˇna´ s jejı´ pocˇa´tecˇnı´ polohou. Snadno se uka´zˇe, zˇe vsˇechny body prˇi tom opisujı´ rovnobeˇzˇne´ trajektorie (posunem je lze ztotozˇnit), majı´ stejnou rychlost i zrychlenı´. Hmotny´ bod m ma´ vu˚cˇi inercia´lnı´mu syste´mu polohu r a vu˚cˇi neinercia´lnı´mu syste´mu, ktery´ se pohybuje postupneˇ (r0 (t)), ma´ polohu danou vektorem r ′ .

Obra´zek 2.18: Postupny´ pohyb V inercia´lnı´m syste´mu platı´ pohybova´ rovnice m¨r = F , kde F je prava´ sı´la (viz kapitola 1.2). Platı´

r ′ = r − r0 .

(2.29)

Jelikozˇ t′ = t (hypote´za absolutnı´ho cˇasu, viz kapitola 1.1), mu˚zˇeme obeˇ strany dvakra´t derivovat podle spolecˇne´ho cˇasu a dosta´va´me r¨′ = r¨ − ¨r0 . (2.30) 64

2.9. Pohyb v neinercia´lnı´m syste´mu Vyna´sobı´me-li tuto rovnici spolecˇnou hmotou m′ = m (hypote´za absolutnı´ hmotnosti (viz kapitola 1.3)), je m′ ¨r ′ = m¨r − m¨r0 = F + Z = F ′ . (2.31) Budeme-li tuto rovnici interpretovat jako pohybovou rovnici v neinercia´lnı´m syste´mu, vidı´me, zˇe k prave´ sı´le F (ktera´ se nezmeˇnila) prˇistoupila dalsˇ´ı sı´la.

Z = −ma0 .

(2.32)

Te´to sı´le rˇ´ıka´me sı´la inercia´lnı´ (setrvacˇna´) a je to sı´la zdańliva´ (viz kapitola 1.2), nebot’se jı´ mu˚zˇeme prˇechodem k jine´mu vztazˇne´mu syste´mu (trˇeba k nasˇemu inercia´lnı´mu) zbavit. Prˇ´ıklad 2.7 Kolik bude va´zˇit cˇloveˇk va´hy G ve vy´tahu, ktery´ a) prˇi rozjezdu vzhu˚ru dosahuje zrychlenı´ 31 g b) volneˇ pada´ na´sledkem prˇetrzˇenı´ lana?

Obra´zek 2.19: Cˇloveˇk ve vy´tahu prˇi pohybu a) vzhu˚ru b) volny´m pa´dem ˇ esˇenı´: R a) Polozˇ´ıme-li kladnou osu z do smeˇru zemske´ tı´zˇe, ma´me dle (2.31) G′ = G − m(−a0 ) = G + 65

m 4 g = G. 3 3

KAPITOLA 2. MECHANIKA TUHE´HO TEˇLESA b) Prˇetrhne-li se lano, bude mı´t vy´tah zrychlenı´ g a ma´me G′ = G − ma0 = G − G = 0 . Ve volneˇ padajıćı´m vy´tahu je cˇloveˇk ve stavu beztı´zˇe. Prˇ´ıklad 2.8 Teˇleso va´hy G je polozˇeno na sˇikmou steˇnu klıńu, ktery´ spocˇ´ıva´ na vodorovne´ rovineˇ. Jake´ vodorovne´ zrychlenı´ musı´ mı´t klıń, aby teˇleso zu˚stalo v klidu vu˚cˇi neˇmu. Jakou silou prˇitom tlacˇ´ı teˇleso na klıń? Trˇenı´ zanedbejte. Zna´me u´hel α sˇikme´ steˇny.

Obra´zek 2.20: Teˇleso na klıńu, ktery´ se pohybuje zrychleneˇ ˇ esˇenı´: Prˇedpokla´dejme, zˇe hledane´ zrychlenı´ je a . V neinercia´lnı´m syste´mu spojene´m s klıńem a R G teˇlesem je toto v klidu, pod vlivem teˇchto sil: jeho va´hy G , tlaku klıńu N a setrvacˇne´ sı´ly Z = − a , g

G +N +Z = 0.

Rozlozˇenı´m do smeˇru rovnobeˇzˇne´ho a kolme´ho s sˇikmou steˇnou klıńu ma´me G G G sin α − a cos α = 0 , N − G cos α − a sin α = 0 . g g Z prvnı´ rovnice dostaneme velikost vodorovne´ho zrychlenı´ a = g tg α . Dosazenı´m do druhe´ rovnice vycha´zı´ tlak N=

G . cos α

66

2.9. Pohyb v neinercia´lnı´m syste´mu b) Rotacˇnı´ pohyb. Neinercia´lnı´ vztazˇny´ syste´m Σ′ spojı´me s teˇlesem, ktere´ se otaćˇ´ı okamzˇitou u´hlovou rychlostı´ ω, kolem okamzˇite´ osy otaćˇenı´. Hmotny´ bod m se pohybuje vu˚cˇi neinercia´lnı´mu syste´mu a jeho poloha je dańa funkcı´ r ′ (t). V inercia´lnı´m syste´mu Σ (se spolecˇny´m pocˇa´tkem) platı´ pohybova´ rovnice d2 r m 2 =F, dt kde F je neˇjaka´ prava´ sı´la. Prˇepocˇ´ıta´me tuto rovnici k cˇa´rkovane´mu syste´mu pomocı´ opera´toru (viz (2.18)) d′ d = + ω× (2.33) dt dt a dostaneme (platı´ r = r ′ ) ′ ′ d d ′ m + ω× + ω× r = F , dt dt nebo-li m′ nebo-li

"

# d′2 r ′ d′ r ′ d′ r d′ ω +ω× + ×r +ω× + ω × (ω × r ) = F , dt2 dt dt dt d2 r ′ m = F + FE + FC + F0 = F ′ . 2 dt ′

(2.34)

(2.35)

Budeme-li tento vztah interpretovat jako pohybovou rovnici v rotujıćı´m neinercia´lnı´m syste´mu Σ′ , vidı´me, zˇe ke skutecˇne´ sı´le F (ktera´ se nemeˇnı´) prˇistupujı´ jesˇteˇ tyto zdańlive´ sı´ly (lze je „odtransformovat“): Eulerova sı´la: FE = mr ′ × ε , (2.36) def

kde ε = ω˙ je u´hlove´ zrychlenı´. Coriolisova sı´la:

FC = 2mvrel × ω ,

(2.37)

kde vrel ≡ v ′ je relativnı´ rychlost vu˚cˇi otaćˇejıćı´mu se syste´mu. Tato sı´la je nenulova´, jen pokud se bod pohybuje vu˚cˇi otaćˇejıćı´mu se teˇlesu.

Odstrˇediva´ sı´la: nebot’

F0 = mω × (r ′ × ω) = mω2r⊥e⊥ ,

ω × (r ′ × ω) = ω 2 r − ω ω · r = ω 2 (r − eω r cos ϑ) = ω 2 r⊥ .

Tato sı´la je prˇi rotaci vzˇdy nenulova´ a ma´ smeˇr odstrˇedivy´ e⊥ . Neˇkdy pı´sˇeme

m′ a ′ = F + FC + Z , 67

(2.38)


Obra´zek 2.21: Odstrˇediva´ sı´la kde

Z = −ma0 = −m ε × r ′ + ω × (ω × r ′ ) je sı´la setrvacˇna´.

Prˇ´ıklad 2.9 Urcˇete odchylku mı´sta dopadu kamene, ktery´ pustı´me na otaćˇejıćı´ se zemi z vy´sˇky h. ˇ esˇenı´: Prˇedpokla´dejme, zˇe se nacha´zı´me na povrchu Zemeˇ v mı´steˇ se zemeˇpisnou sˇ´ırˇkou ϕ. Jelikozˇ R nelze od sebe odlisˇit tı´hu zemskou (do strˇedu Zemeˇ) a odstrˇedivou sı´lu, budeme loka´lnı´ kolmici povazˇovat za jejich vy´slednici

g ′ = g + ω × (R × ω) . Povazˇujeme-li rotaci zemskou za rovnomeˇrnou, pak je m¨r ′ = mg ′ + 2mr˙ ′ × ω ,

t=0:

r0 = he⊥ , v0 = 0 .

Prvnı´ integrace da´va´

r˙ ′ = g ′t + 2mr ′ × ω + C ,

odtud 0 = 2he⊥ × ω + C ,

takzˇe

r˙ ′ = −gte⊥ + 2(r ′ − he⊥) × ω . 68

2.9. Pohyb v neinercia´lnı´m syste´mu

Obra´zek 2.22: Ka´men padajıćı´ z vy´sˇky h na povrch Zemeˇ Tato rovnice pro r ′ se da´ sice prˇesneˇ integrovat, ale vzhledem k malosti ω (∼ 7, 29 · 10−5 s−1 ) se spokojı´me s prvnı´m prˇiblı´zˇenı´m. Zanedba´me-li rotaci (ω = 0), dostaneme v nulte´m prˇiblı´zˇenı´ 1 2 ′ ′ r˙(0) = −gte˙ ⊥ a odtud r(0) = − 2 gt + h e⊥ , zna´my´ volny´ pa´d pode´l svislice. Dosazenı´m do rovnice pro r˙ ′ dostaneme prvnı´ prˇiblı´zˇenı´ pro rychlost ′ v(1) = −g ′ te⊥ − g ′t2 e⊥ × ω

a integracı´ dle t

1 1 ′ r(1) = − g ′ t2 e⊥ + g ′t3 ω × e⊥ . 2 3

Vektor ω × e⊥ na severnı´ polokouli ma´ smeˇr na vyćhod. Urcˇ´ıme-li dobu pa´du z rovnice s 1 2h + g ′t21 = h tj. t1 = , kde g ′ ∼ g (go ∼ 0, 0338 m s−2 ) 2 g′ a dosadı´me, dostaneme pro odchylku na vyćhod

s 2 2h ∆= h ω cos ϑ . 3 g

V Praze to cˇinı´ asi 1,3 mm prˇi pa´du z vy´sˇky 100 m.

69


2.10 Vektorova´ mechanika. Princip uvolneˇnı´ Azˇ dosud jsme prˇi teoretickyćh u´vahaćh pouzˇili vektorovy´ za´pis, cozˇ meˇlo vy´hodu v tom, zˇe nasˇe u´vahy byly neza´visle´ na konkre´tnıćh sourˇadnicıćh. Prˇi rˇesˇenı´ u´loh jsme meˇli k dispozici vlastneˇ jen dveˇ rovnice: prvnı´ a druhou impulzovou veˇtu, kde vystupovaly zadane´ vneˇjsˇ´ı sı´ly a momenty. Tomuto formalizmu neˇkdy rˇ´ıka´me vektorova´ mechanika. Hodı´ se pro jednoduche´ u´lohy volnyćh teˇles. Ve veˇtsˇineˇ prˇ´ıpadu˚, vsˇak zkoumany´ objekt je omezen ve sve´m pohybu jiny´mi teˇlesy, ktere´ na neˇ siloveˇ pu˚sobı´ (nezadany´mi silami). Abychom mohli teˇleso zkoumat pomocı´ pohybovyćh rovnic, musı´me pu˚sobenı´ okolnıćh teˇles nahradit silami (rˇ´ıka´me jim reakcˇnı´ −R). Pak ma´me volne´ teˇleso pod vlivem vneˇjsˇ´ıch sil F a reakcı´ R m¨r = F + R .

Tento princip uvolneˇnı´ prˇi slozˇiteˇjsˇ´ıch soustavaćh je nevy´hodny´, nebot’ sı´ly R se ne vzˇdy snadno najdou (vneˇjsˇ´ı omezenı´ by´vajı´ veˇtsˇinou zada´vańy geometricky´mi podmıńkami). Navıć na´s reakce veˇtsˇinou nezajı´majı´. Proto se pouzˇ´ıvajı´ jine´ metody rˇesˇenı´, ktere´ usnadnˇujı´ rychle a efektivneˇ najı´t vy´sledky. Prˇ´ıklad 2.10 Zˇebrˇ´ık va´hy G je oprˇen o idea´lneˇ hladkou steˇnu a stojı´ na idea´lneˇ hladke´ podlaze. Jakou silou P ho musı´me zaprˇ´ıt na pateˇ, aby zu˚stal v klidu pod u´hlem α?

Obra´zek 2.23: Zˇebrˇ´ık oprˇeny´ o steˇnu ˇ esˇenı´: Abychom mohli vysˇetrˇovat jedine´ teˇleso (zˇebrˇ´ık), musı´me jej uvolnit, tj. mı´sto steˇny a podlahy R musı´me zave´st sı´ly (nezna´me´) R1 a R2 . Jelikozˇ se jedna´ o idea´lnı´ povrchy (bez trˇenı´), musı´ by´t reakce kolme´ k povrchu (procˇ?). Nasˇe teˇleso tedy musı´ by´t v klidu pod vlivem sil R1 , R2 , G , P . Z prvnı´ a druhe´ impulzove´ veˇty plyne: ma´-li teˇleso zu˚stat v rovnova´ze (tj. ri ≡ konst .), musı´ by´t X

X

Fi = 0 , 70

Mi = 0 ,

2.10. Vektorova´ mechanika. Princip uvolneˇnı´

kde na prave´ straneˇ je vy´slednice vsˇech sil a vy´sledny´ moment vsˇech sil k libovolne´mu bodu. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ musı´ platit (prova´dı´me rozklad do vodorovne´ho a svisle´ho smeˇru, moment k bodu A) R1 − P = 0 ,

G − R2 = 0 ,

R1 l sin α − G

l cos α = 0 . 2

Vyloucˇenı´m reakcı´ (ktere´ na´s nezajı´majı´) dostaneme P =

G cotg α . 2

Prˇ´ıklad 2.11 Na vrcholu hladke´ kruzˇnice polomeˇru a lezˇ´ı kulicˇka o hmotnosti m. Jak souvisı´ vy´sˇka ˇ esˇte jako proble´m odpadnutı´ kulicˇky na pocˇa´tecˇnı´ rychlosti v0 (ve vodorovne´m smeˇru)? Diskutujte. R ve svisle´ rovineˇ.

Obra´zek 2.24: Pohyb kulicˇky po povrchu koule ˇ esˇenı´: Polohu kulicˇky budeme uda´vat vzda´lenostı´ y od vodorovne´ prˇ´ımky, jdoucı´ strˇedem kruzˇnice. R V obecne´ poloze pu˚sobı´ na kulicˇku cˇtyrˇi sı´ly: odstrˇediva´, gravitacˇnı´, reakcˇnı´ a Eulerova (po odstraneˇnı´ kruzˇnice – uvolneˇnı´). Ve smeˇru norma´ly platı´ F0 = R + mg sin α ,

71

kde F0 = m

v2 , a


a tedy R=m

v2 − g sin α a

.

Odpadnutı´ kulicˇky znamena´ R = 0, cozˇ da´va´ u´hel α, a tı´m i y = a sin α: v2 − g sin α = 0 a

odtud y =

v2 , g

(2.39)

kde v je rychlost prˇi odpadnutı´. Abychom dostali vztah mezi v a v0 uveˇdomme si, zˇe se jedna´ o gravitacˇnı´ pole, cozˇ je pole konzervativnı´ o potencia´lnı´ energii U = mgy (cozˇ je praće prˇi zvednutı´ cˇa´stice od y = 0 (volı´me U(0) = 0) do y). A za´kon zachovańı´ energie je dań E=

1 1 mv 2 + mgy = mv02 + mga = E0 . 2 2

Pro bod odpadnutı´ najdeme odtud v 2 = v02 + 2g(a − y) . Dosadı´me-li do (2.39) dostaneme hledany´ vztah v02 = (3y − 2a)g , a odtud plyne 0 ≤ v0 ≤

√

ag ,

ymin ≤ y ≤ a

prˇi v0 = 0 ,

72

y min =

2 a. 3

Kapitola 3 Analyticka´ mechanika 3.1 U´vod. Stupenˇ volnosti a vazby. Integrace Analyticka´ mechanika pouzˇ´ıva´ takovyćh fyzika´lnıćh pojmu˚ a matematickyćh prostrˇedku˚, aby po strańce teoreticke´ umozˇnila co nejobecneˇjsˇ´ı a nejsˇirsˇ´ı formulace a za´rovenˇ dala ućˇinne´ prakticke´ postupy pro rˇesˇenı´ slozˇityćh mechanickyćh u´loh. Dynamicky´ stav mechanicke´ho syste´mu je v kazˇde´m okamzˇiku dań polohami a rychlostmi (nebo hybnostmi) svyćh cˇa´stı´, zatı´mco zrychlenı´ je jednoznacˇneˇ urcˇeno silami. Zava´dı´me proto pojem stupenˇ volnosti jako pocˇet neza´vislyćh parametru˚ (sourˇadnic), ktere´ na´m jednoznacˇneˇ urcˇujı´ polohu syste´mu. Na prˇ´ıklad N hmotnyćh bodu˚, ktere´ se mohou volneˇ pohybovat ve 3-rozmeˇrne´m prostoru, ma´ 3N stupnˇu˚ volnost, nebot’musı´me uvazˇovat pro kazˇdy´ bod trˇi sourˇadnice k jednoznacˇne´mu urcˇenı´ jeho polohy. Kazˇda´ podmıńka, ktera´ omezuje volnost pohybu se nazy´va´ vazba. Da´va´ na´m jeden vztah mezi sourˇadnicemi a tedy snizˇuje pocˇet stupnˇu˚ volnosti o jeden. Mu˚zˇeme tedy napsat obecny´ vztah pro pocˇet stupnˇu˚ volnosti F pro N hmotnyćh bodu˚ v D dimenzıćh (D = 3, 2, 1) podrobenyćh celkem V vazba´m: F = DN − V .

(3.1)

Vazby mohou obecneˇ za´viset na polohaćh, rychlostech a na cˇase. Dle za´vislosti na cˇase deˇlı´me vazby na rheonomnı´ (za´visle´ na cˇase) a skleronomnı´ (neza´visle´ na cˇase). Da´le se budeme zaby´vat jen vazbami skleronomnı´mi linea´rnı´mi v rychlostech. Obecneˇ majı´ tento tvar N X i=1

ai (ri) · dri = 0 .

Vazby deˇlı´me na trˇi typy dle toho, zda lze diferencia´lnı´ formu integrovat cˇi nikoliv. 73

(3.2)

KAPITOLA 3. ANALYTICKA´ MECHANIKA a) Pokud vy´raz (3.2) je tota´lnı´m diferencia´lem neˇjake´ funkce ϕ(ri ) a da´ se tedy integrovat do tvaru ϕ(ri ) = C (nebo pokud je vazba prˇ´ımo zadana´ v integra´lnı´m tvaru) nazy´va´ se vazba holonomnı´ ; b) pokud vy´raz (3.2) sice nenı´ tota´lnı´ diferencia´l, ale existuje funkce λ(ri ) (integracˇnı´ faktor) takova´, zˇe po vyna´sobenı´ se vy´raz (3.2) sta´va´ tota´lnı´m diferencia´lem (a da´ se tedy integrovat), nazy´va´ se vazba (3.2) semiholomnı´ ; c) pokud neexistuje integracˇnı´ faktor a vazba tedy musı´ zu˚stat v diferencia´lnı´m tvaru, ˇr´ıka´me jı´ neholonomnı´ . Konkre´tnı´ podmıńky pro rozhodovańı´, do ktere´ kategorie dana´ vazba patrˇ´ı, si uka´zˇeme pro nejcˇasteˇji se vyskytujıćı´ prˇ´ıpad. Prˇedpokla´dejme, zˇe vazba znı´ P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) ddz = 0 . Definujeme-li forma´lneˇ vektor

Z

mu˚zˇeme vy´raz (3.3) napsat vektoroveˇ

def

= (P, Q, R) ,

Z · dr = 0 .

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Pokud je tento vy´raz tota´lnı´ diferencia´l, musı´ platit

Z = grad ϕ a tudı´zˇ

rot Z = 0

⇒

vazba holonomnı´;

(3.6)

Da´ se jednodusˇe uka´zat, zˇe podmıńka pro to, aby existoval integracˇnı´ faktor je

a tedy

Z · rot Z = 0

⇒

vazba semiholomnı´ ;

Z · rot Z 6= 0

⇒

vazba neholonomnı´ .

(3.7)

Nenı´ teˇzˇke´ uka´zat analogicka´ pravidla pro vıće promeˇnnyćh. Najı´t integracˇnı´ faktor je obecneˇ velice obtı´zˇne´. Jak si mozˇno prakticky pomoci a take´ jak vazbu integrovat si uka´zˇeme na konkre´tnı´m prˇ´ıkladeˇ. Prˇ´ıklad 3.1 Je dańa vazba v diferencia´lnı´m tvaru: (3x ln y − 2 sin z) dx +

x2 dy − x cos z dz = 0 . y

74

(3.8)

3.1. U´vod. Stupenˇ volnosti a vazby. Integrace

Rozhodneˇte jaka´ to je vazba a pokud to jde, integrujte ji. ˇ esˇenı´: Definujeme forma´lnı´ vektor R

Z = (3x ln y − 2 sin z,

x2 , x cos z) . y

Vypocˇ´ıtejme rotx Z = 0 ,

roty Z = − cos z ,

rotz Z = −

x y

⇒ rot Z 6= 0 .

Snadno zjistı´me, zˇe Z · rot Z = 0, jedna´ se tedy o vazbu semiholomnı´ ; pokusme se zjistit integracˇnı´ faktor takto: prˇedpokla´dejme, zˇe λ = λ(x). Vyna´sobme rovnici (3.8) funkcı´ λ a zˇa´dejme, aby rot λZ = 0: x rotx λZ = 0 , roty λZ = (xλ′ − λ) cos z = 0 , rotz λZ = (xλ′ − λ) = 0 ; y odtud xλ′ − λ = 0

a separacı´ λ(x) = x .

Tedy pro λZ = (3x2 ln y − 2x sin z, je

x3 , −x2 cos z) y

λZ · dr = dφ .

tota´lnı´ diferencia´l. Funkci φ(x, y, z) najdeme takto. Vı´me, zˇe naprˇ. ∂φ = −x2 cos z ∂z

odtud φ(x, y, z) = −x2 sin z + C(x, y) ,

(3.9)

kde C(x,y) je libovolna´ (diferencovatelna´) funkce (x,y) (hleda´me nejobecneˇjsˇ´ı vy´raz splnˇujıćı´ (3.9)). Da´le ma´me

∂φ ∂C(y, z) x3 ≡ = , ∂y ∂y y

odtud C(x, y) = x3 ln y + C(x) . Tedy ϕ(x, y, z) = x2 sin z + x3 ln y + C(x) . Da´le je ∂ϕ dC(x) ≡ −2x sin z + 3x2 ln y + = 3x2 ln y − 2x sin z , ∂x dx 75

KAPITOLA 3. ANALYTICKA´ MECHANIKA

tedy dC(x) = 0 a ma´me C(x) = konst. dx Konecˇneˇ tedy ϕ(x, y, z) = x3 ln y − x2 sin z + konst.

3.2 Virtua´lnı´ posunutı´. Princip virtua´lnıćh pracı´ Azˇ dosud jsme mluvili o posunutı´ (budeme mu rˇ´ıkat skutecˇne´) v tom smyslu, zˇe za dobu dt se bod posune o dr pod vlivem sil, vazeb a pocˇa´tecˇnıćh podmıńek. Toto skutecˇne´ posunutı´ je jednoznacˇne´. Ted’ zavedeme posunutı´ virtua´lnı´ , ktere´ ma´ tyto vlastnosti: a) je mysˇlene´, b) splnˇuje vazby,

(3.10)

c) je okamzˇite´, prˇicˇemzˇ nevylucˇujeme, zˇe jedno z virtua´lnıćh posunutı´ souhlası´ se skutecˇny´m posunutı´m. Obecneˇji si mu˚zˇeme zave´st skutecˇnou a virtua´lnı´ zmeˇnu obecne´ funkce f (r , t) skutecˇna´ zmeˇna:

df = grad f · dr +

virtua´lnı´ zmeˇna: δf = grad f · δ r

∂f dt , ∂t

(3.11) (3.12)

(nebot’t = konst., δt = 0). Z hlediska matematicke´ho tedy skutecˇna´ zmeˇna je tota´lnı´ diferencia´l, zatı´mco virtua´lnı´ posunutı´ je ten netota´lnı´ diferencia´l, ktery´ obdrzˇ´ıme vypusˇteˇnı´m cˇlenu u´meˇrne´ho cˇasove´ zmeˇneˇ. Matematicky takovy´m velicˇina´m rˇ´ıka´me variace izochronnı´ a prˇ´ıslusˇna´ matematicka´ disciplıńa se nazy´va´ variacˇnı´ n P pocˇet. Za´kladnı´ veˇta tohoto pocˇtu znı´: „Soucˇin Ai ai = 0 za podmıńky, zˇe vsˇechna ai si mu˚zˇeme i=1

neza´visle volit libovolna´, jen kdyzˇ Ai = 0 pro vsˇechna i = 1, . . . , n.“ Du˚kaz je jednoduchy´: vyberme libovolne´, ale pevne´ k ∈ {1, . . . , n}. Zvolme ak = 1, ai = 0, i 6= k ; suma da´va´ Ak = 0. Tuto veˇtu budeme v dalsˇ´ım mnohokra´t uzˇ´ıvat, nebot’virtua´lnı´ posunutı´ (jsou mysˇlena´!) volı´me libovolneˇ.

Zacˇneme vysˇetrˇovat rovnova´hu soustavy N hmotnyćh bodu˚. Prˇedstavme si, zˇe jsme provedli uvolneˇnı´, tj. nahradili vazby reakcˇnı´mi silami Ri . Prˇi rovnova´ze tedy bude

Fi + Ri = 0 ,

i = 1, 2, . . . , N , 76

(3.13)

3.2. Virtua´lnı´ posunutı´. Princip virtua´lnıćh pracı´ kde Fi je vy´slednice vsˇech vneˇjsˇ´ıch sil a Ri je vy´slednice vsˇech reakcˇnıćh sil na i-ty´ bod. Kazˇde´mu bodu udeˇlı´me libovolne´ virtua´lnı´ posunutı´ δ ri skala´rneˇ vyna´sobene´ s (3.13) a secˇteme. Dostaneme celkovou virtua´lnı´ praći N N X X Fi · δri + Ri · δri = 0 . δA = (3.14) i=1

i=1

Nynı´ zaved’me pojem idea´lnı´ vazby: platı´ pro neˇ N X i=1

Ri · δri = 0 .

(3.15)

Nezˇa´da´me, aby kazˇdy´ cˇlen sa´m o sobeˇ byl roven nule (to bude splneˇno naprˇ. za neprˇ´ıtomnosti trˇenı´). Prˇi idea´lnıćh vazbaćh tedy ma´me N X Fi · δri = 0 , (3.16) i=1

cozˇ vyzˇaduje princip virtua´lnıćh pracı´ : „Virtua´lnı´ praće vneˇjsˇ´ıch sil prˇi rovnova´ze a prˇi idea´lnıćh vazbaćh je rovna nule.“ Du˚lezˇite´ je umeˇt najı´t pocˇet neza´vislyćh virtua´lnıćh posunutı´ (abychom mohli pouzˇ´ıt za´kladnı´ veˇtu variacˇnı´ho pocˇtu). Snadno si uveˇdomı´me, zˇe tento pocˇet je pra´veˇ roven pocˇtu stupnˇu˚ volnosti. Pouzˇitı´ tohoto principu si nejle´pe uka´zˇeme na prˇ´ıkladech. Uveˇdomme si, zˇe reakcˇnı´ sı´ly „vypadnou“. ˇ esˇte prˇ´ıklad 2.10 pomocı´ principu virtua´lnıćh pracı´. Prˇ´ıklad 3.2 R ˇ esˇenı´: Na´sˇ syste´m ma´ jeden stupenˇ volnosti (stacˇ´ı zadat jeden parametr, naprˇ. u´hel α). Udeˇlme zˇebrˇ´ıku R libovolne´ posunutı´ (mysˇlene´). Princip virtua´lnıćh posunutı´ da´va´ P δx + G δy = 0 , kde jsme zavedli sourˇadny´ syste´m dle obra´zku 3.2. Ma´me x = l cos α , 2y = l sin α (l – de´lka zˇebrˇ´ıku), odtud δx = −l sin α δα , δy = (l/2) cos α δα a da´le dosazenı´m (−lP sin α + G

l cos α) δα = 0 , 2 P =

odtud (δα 6= 0 , libovolne´ )

G cotg α . 2

Prˇ´ıklad 3.3 Urcˇete silove´ nama´hańı´ sˇikme´ podpeˇry (viz obra´zek 3.2). Tı´hu podpeˇry pokla´dejte za zanedbatelnou. 77


Obra´zek 3.1: Zˇebrˇ´ık va´hy G oprˇeny´ o idea´lneˇ hladkou steˇnu na idea´lneˇ hladke´ podlaze ˇ esˇenı´: Hledana´ sı´la nenı´ vneˇjsˇ´ı sı´la a zda´ se tedy, zˇe princip virtua´lnıćh pracı´ nelze pouzˇ´ıt. Mu˚zˇeme R vsˇak vodorovny´ pruh cˇa´stecˇneˇ uvolnit (odstranı´me podpeˇru a mı´sto nı´ zavedeme hledanou sı´lu T ). Tı´m se hledana´ sı´la stala vneˇjsˇ´ı silou a za´rovenˇ vodorovny´ prut zı´skal 1 stupenˇ volnosti. Udeˇlejme virtua´lnı´ posunutı´ δα 6= 0. Tı´m se na´m pu˚sobisˇteˇ sil T a G posunou o δx a δy a ma´me T √ δx + G δy = 0 . 2 Da´le platı´ δy = 2 δx = 2a tg δα ∼ (δα ≪ 1) = 2a δα T √ a + G 2a δα = 0 2 a konecˇneˇ

√ T = −2 2G

(za´porne´ znameńko znamena´, zˇe T mı´rˇ´ı proti smeˇru G). Prˇ´ıklad 3.4 Pomocı´ principu virtua´lnıćh pracı´ odvod’te podmıńky rovnova´hy. ˇ esˇenı´: Prˇedpokla´dejme, zˇe syste´m je v rovnova´ze pod silami Fi (vy´slednice vsˇech sil, tj. i reakcı´ R pu˚sobıćıćh na i-ty´ bod). Obecny´ pohyb lze vzˇdy, dle Eulerovy veˇty (viz kapitola 2.2), rozdeˇlit na 78

3.2. Virtua´lnı´ posunutı´. Princip virtua´lnıćh pracı´

~~ Obra´zek 3.2: Silove´ nama´hańı´ sˇikme´ podpeˇry posunutı´ a otocˇenı´. Udeˇlme vsˇem bodu˚m stejne´ virtua´lnı´ posunutı´ δ a 6= 0. Princip virtua´lnıćh pracı´ da´va´ N X X Fi · δa = 0 odtud δa · Fi = 0 i=1

i

a da´le N X

Fi = 0 .

(3.17)

i=1

Ted’ udeˇlme cele´mu syste´mu tote´zˇ virtua´lnı´ otocˇenı´ δϕ 6= 0, kazˇdy´ bod se posune o δ ri = δϕ × ri a ma´me N X Fi · δϕ × ri = 0 ; i=1

79


da´le N X i=1

odtud δϕ · a konecˇneˇ

N X i=1

δϕ · ri × Fi = 0 ,

ri × Fi = δϕ · N X

N X

Mi = 0

i=1

Mi = 0 .

(3.18)

i=1

3.3 D’Alembertu˚v princip. Lagrangeu˚v princip Od statiky k dynamice prˇejdeme pomocı´ D’Alembertova principu. Napisˇme pohybovou rovnici pro i-ty´ bod Fi + Ri = mirï = miai a anulujme

Fi + Ri − mi ai = 0 .

def Zaved’me setrvacˇne´ sı´ly Zi = −mi ai (viz kapitola 2.9) a dosta´va´me

Fi + Ri + Zi = 0 .

(3.19)

To vsˇak je rovnice obdobna´ rovnici pro rovnova´hu (3.17) a mu˚zˇeme vyslovit D’Alembertu˚v princip: „Dynamicky´ syste´m je v rovnova´ze pod vlivem vy´slednyćh sil vneˇjsˇ´ıch, reakcˇnıćh a setrvacˇnyćh.“ P Na tuto rovnova´hu mu˚zˇeme pouzˇ´ıt princip virtua´lnıćh pracı´ a pro idea´lnı´ vazby ( Ri · δ ri = 0) dosta´va´me N X (Fi + Zi ) · δ ri = 0 ,

nebo dosazenı´m za Z

i=1

N X i=1

(Fi − mi ¨ri ) · δ ri = 0 ,

(3.20)

cozˇ vyjadrˇuje Lagrangeu˚v princip pro syste´m v pohybu. Du˚lezˇite´ je si uveˇdomit, zˇe celkem ma´me pro N bodu˚ 3N virtua´lnıćh posunutı´ (pocˇ´ıtane´ skala´rneˇ), ale z nich pouze F = 3N − V je neza´vislyćh. Na (3.20) nelze tedy bezprostrˇedneˇ pouzˇ´ıt za´kladnı´ 80

3.3. D’Alembertu˚v princip. Lagrangeu˚v princip veˇtu variacˇnı´ho pocˇtu. Jen v prˇ´ıpadeˇ volnyćh bodu˚ (V = 0) ma´me vsˇech 3N virtua´lnıćh posunutı´ neza´vislyćh a tedy z (3.20) ihned plyne Fi = miai , to je ovsˇem trivia´lnı´ vy´sledek. Jak pouzˇ´ıt Lagrangeu˚v princip uvidı´me nejle´pe na prˇ´ıkladeˇ. Prˇ´ıklad 3.5 Urcˇete virtua´lnı´ praći a vliv setrvacˇnyćh sil prˇi otaćˇenı´ tuhe´ho teˇlesa kolem pevne´ osy.

Obra´zek 3.3: Otaćˇenı´ tuhe´ho teˇlesa kolem pevne´ osy ˇ esˇenı´: Prˇedpokla´dejme, zˇe tuhe´ teˇleso se tocˇ´ı kolem osy jdoucı´ bodem O. R Element dm ma´ virtua´lnı´ posunutı´ δ r a tedy Z Z Z Z δA = f · δ r dm = fk δr dm = fk r⊥ δϕ, dm = δϕ r⊥ fk dm , M

M

M

M

kde fk znacˇ´ı projekci f do smeˇru δ r , kolma´ vzda´lenost elementu dm od rotacˇnı´ osy je oznacˇena r⊥ , a tedy δA = Mo δϕ , (3.21) kde Mo je celkovy´ moment vneˇjsˇ´ıch sil vzhledem k ose o. Setrvacˇna´ sı´la prˇi rotaci je dańa soucˇtem Eulerovy sı´ly a odstrˇedive´ sı´ly (viz kapitola 2.9). Prˇi otaćˇenı´ kolem pevne´ osy je odstrˇediva´ sı´la kolma´ na smeˇr pohybu a neovlivnˇuje jej (rusˇ´ı se pomocı´ osy), Eulerova sı´la dfE = dr⊥ × ε 81


mı´rˇ´ı proti zrychlenı´ a ma´ moment Mz = − neboli

Z

2 dm r⊥ ε

= −ε

Mz = − εJo ,

Z

2 r⊥ dm ,

(3.22)

kde Jo je skala´rnı´ moment setrvacˇnosti kolem osy rotace. Prˇ´ıklad 3.6 Dva bubny o polomeˇrech r1 a r2 a vahaćh Q1 a Q2 jsou pevneˇ spojeny a mohou se otaćˇet kolem vodorovne´ osy procha´zejıćı´ jejich spolecˇny´m strˇedem. Jsou na nich namotane´ neprodlouzˇitelne´ niteˇ a na jejich koncıćh jsou uva´zańa za´vazˇ´ı G1 a G2 . Urcˇete u´hlove´ zrychlenı´ bubnu˚.

Obra´zek 3.4: Dva pevneˇ spojene´ bubny otocˇne´ kolem spolecˇne´ osy, na jednom z nich je namotańa nit se dveˇmi za´vazˇ´ımi ˇ esˇenı´: Cely´ syste´m ma´ jeden stupenˇ volnosti. Udeˇlme mu virtua´lnı´ pootocˇenı´ o u´hel δϕ a prˇedpoR kla´dejme, zˇe pohyb se bude konat tak, zˇe za´vazˇ´ı G1 klesa´. Zakresleme si do obra´zku vsˇechny sı´ly a 82

3.4. Lagrangeovy rovnice I. druhu

momenty (vcˇetneˇ setrvacˇnyćh). Lagrangeu˚v princip a rovnice (3.21), (3.22) da´vajı´ (G1 − m1 a1 ) δs1 + (−G2 − m2 a2 ) δs2 − Mz δϕ = 0 . Da´le platı´ m1 =

G1 G2 , m2 = , g g

δs1 = r1 δϕ , δs2 = r2 δϕ

d2 ϕ d δs1 = r1 = r1 ε , a2 = r2 ε dt dt dt2 1 Mz = εJ = ε (Q1 r12 + Q2 r22 ) . 2g

a1 =

Dosazenı´m 1 G 1 r1 − G 2 r2 − g Tudı´zˇ δϕ 6= 0

"

ε=

Q1 G1 + 2

# ! Q 2 r12 + G2 + r22 ε δϕ = 0 . 2

(G1 r1 − G2 r2 ) g . G1 + Q21 r12 + G2 + Q22 r22

Bude-li G1 r1 < G2 r2 bude klesat za´vazˇ´ı G2 .

3.4 Lagrangeovy rovnice I. druhu Prˇedpokla´dejme, zˇe ma´me syste´m N hmotnyćh bodu˚ podrobene´ H holonomnı´m vazba´m a R neholonomnı´m vazba´m (H + R = V < 3N, tak aby F = 3N − V > 0). Ve spojenı´ s Lagrangeovy´m principem ma´me N X (Fi − mi rï ) · δ ri = 0 , i=1

ϕ(j) (r , t) = 0 ,

N X i=1

j = 1, . . . , H ,

ai(k) (r , t) · dri + a(k) 0 (r , t) dt = 0 ,

(3.23)

k = 1, . . . , R .

Napisˇme virtua´lnı´ zmeˇny vazeb (obecneˇ skleronomnıćh) (viz cˇa´st 3.1) δϕ

(j)

≡

N X i=1

gradi ϕ(j) · δ ri = 0 , 83

j = 1, . . . , H ,

(3.24)

KAPITOLA 3. ANALYTICKA´ MECHANIKA N X i=1

ai(k) · δri = 0 ,

k = 1, . . . , R .

(3.25)

K rozrˇesˇenı´ toho syste´mu pouzˇijeme Lagrangeovy metody multiplika´toru˚: kazˇdou rovnici (3.23) na´sobme multiplika´torem λ(j) a secˇtem prˇes j od 1 do H, kazˇdou rovnici (3.25) na´sobme multiplika´torem µ(k) a secˇteme. Oba vy´sledky prˇicˇteme k prvnı´ rovnici (3.24) a dostaneme ! N H R X X X Fi − mirï + λ(j) gradi ϕ(j) + µ(k)a(k) · δri = 0 . (3.26) i=1

j=1

k=1

Uveˇdomme si, zˇe z te´to rovnice nemu˚zˇeme zatı´m nic dostat, nebot’ pocˇet scˇ´ıtancu˚ je 3N (skala´rneˇ pocˇ´ıtańo), zatı´mco neza´vislyćh virtua´lnıćh posunutı´ je pouze F = 3N − V . Avsˇak, vzhledem k tomu, zˇe jsme si zavedli H + R = V novyćh promeˇnnyćh λ(j) a µ(k) , mu˚zˇeme si prˇedepsat H + R vztahu˚ k jejich urcˇenı´. Ty volı´me tak, zˇe libovolnyćh V za´vorek v (3.26) polozˇ´ıme rovno nule: volı´me:

Zi = 0

pro i = 1, . . . , V .

Pak se suma (3.26) redukuje na tvar (3N )

X

i=V +1

Zi · δxi = 0 ;

(3.27)

ted’ ovsˇem celkovy´ pocˇet scˇ´ıtancu˚ se rovna´ F , cozˇ je pra´veˇ tolik, kolik mohu volit δx libovolnyćh a neza´vislyćh a podle za´kladnı´ veˇty variacˇnı´ho pocˇtu se vsˇechny za´vorky ve (3.27) rovnajı´ nule. Celkem tedy platı´ H R X X (j) (j) Fi − mirï + λ gradi ϕ + µ(k) a(k) = 0 , i = 1, . . . , N . (3.28) j=1

k=1

To jsou Lagrangeovy rovnice I. druhu. Vidı´me, zˇe cˇleny s multiplika´tory prˇedstavujı´ reakcˇnı´ sı´ly, nebot’ m¨ ri = Fi + Ri . ˇ esˇte pomocı´ Lagrangeovyćh rovnic I. druhu prˇ´ıklad 2.11. Prˇ´ıklad 3.7 R ˇ esˇenı´: V rovineˇ pohybu si zvolme karte´zsky´ pravou´hly´ syste´m s pocˇa´tkem ve strˇedu kruzˇnice, R s vodorovnou osou x a svislou osou y. Vazba je dańa vy´razem ϕ(x, y) ≡ x2 + y 2 − a2 = 0 . Jedna´ se tedy o jednu holonomnı´ skleronomnı´ vazbu. Lagrangeovy rovnice I. druhu jsou m¨ x = +2λx , m¨ y = −mg + 2λy , 84

(3.29)

3.4. Lagrangeovy rovnice I. druhu

Obra´zek 3.5: Kulicˇka o hmotnosti m lezˇ´ı na vrcholu hladke´ kruzˇnice polomeˇru a a pohybuje se s pocˇa´tecˇnı´ rychlosti v0 ve vodorovne´m smeˇru kde jsme zavedli multiplika´tor λ. Tyto diferencia´lnı´ rovnice rˇesˇ´ıme standardnı´m zpu˚sobem (srov. (1.24)): prvnı´ vyna´sobı´me x, ˙ druhou y˙ a secˇteme m(x¨ ˙ x + y˙ y¨) =

d m 2 d d 2 (x˙ + y˙ 2 ) = − mgy + λ (x + y 2) . dt 2 dt dt

Poslednı´ cˇlen je roven nule a po integraci ma´me 1 mv 2 + mgy = C . 2 Dostali jsme za´kon zachovańı´ energie a je C = 21 mv02 + mga. Abychom dostali druhou rovnici pro v zderivujme dvakra´t podle cˇasu vazbovou podmıńku 2xx˙ + 2y y˙ = 0 , x¨ x + y y¨ + x˙ 2 + y˙ 2 = 0 . Vyna´sobı´me-li prvnı´ rovnici (3.29) x a druhou y a secˇteme, vyloucˇ´ıme vy´raz x¨ x + y y¨ a dosta´va´me 2λma2 + mv 2 − mgy = 0 . Vydeˇlenı´m a dostaneme λ2ma = mg sin α − m 85

v2 ≡ G⊥ − F0 = R , a

KAPITOLA 3. ANALYTICKA´ MECHANIKA cozˇ je silova´ rovnice v norma´le. Odpadnutı´ kulicˇky znamena´ R = 0, tj. λ = 0 a dosta´va´me: 1 2 1 2 v + ga , v + gy = 2 2 0 v 2 = gy , kde prouzˇkem znacˇ´ıme hodnoty velicˇin v okamzˇiku odpadnutı´ kulicˇky. Vyloucˇ´ıme-li v 2 dosta´va´me: v02 = g(3y − 2a). Odtud snadno plyne y. Lagrangeovy rovnice I. druhu jsou nevy´hodne´ pro mnoho bodu˚ a mnoho vazeb: prˇedstavme si, zˇe ma´me 4 body a celkem 11 vazeb. Cely´ syste´m ma´ 1 stupenˇ volnosti (stacˇ´ı najı´t jeden parametr), prˇesto musı´me rˇesˇit celkem 23 rovnic: 12 Lagrangeovyćh rovnic I. druhu + 11 rovnic vazeb. Nevy´hoda je v tom, zˇe fakticky pocˇ´ıta´me v pravou´hlyćh sourˇadnicıćh a tudı´zˇ ma´me mnoho vztahu˚ mezi nimi (vazby).

3.5 Zobecneˇne´ sourˇadnice. Lagrangeovy rovnice II. druhu Zkusme minimalizovat u´lohu v tom smyslu, zˇe zavedeme pra´veˇ tolik neza´vislyćh parametru˚ pro urcˇenı´ poloh, kolik je stupnˇu˚ volnosti F . Jelikozˇ mezi nimi jizˇ nemohou platit zˇa´dne´ vztahy, touto volbou jsme v urcˇite´m smyslu automaticky splnili vsˇechny vazby. Takto zavedeny´m parametru˚m budeme rˇ´ıkat zobecneˇne´ sourˇadnice a budeme je znacˇit qα (α = 1, 2, . . . , F ). Mysˇlenku zavedenı´ zobecneˇnyćh sourˇadnic pomu˚zˇe pochopit tento jednoduchy´ prˇ´ıpad: zkoumejme pohyb jednoduche´ho matematicke´ho kyvadla (hmotny´ bod m na nehmotne´ niti de´lky l) v rovineˇ. Tento syste´m ma´ jeden stupenˇ volnosti. Budeme-li jej popisovat pomocı´ pravou´hlyćh sourˇadnic x, y vidı´me, zˇe nejsou neza´visle´, nebot’neusta´le musı´ platit vztah (vazba) x2 + y 2 = l2 . Prˇejdeme-li vsˇak k popisu pomocı´ pola´rnıćh sourˇadnic (ρ, ϕ), stacˇ´ı k jednoznacˇne´mu urcˇenı´ polohy jedina´ sourˇadnice ϕ, pro druhou platı´ neusta´le ρ = l, ktera´ je konstantnı´ a tı´m splnˇuje vazbu. V jiste´m smyslu „vypada´va´ ze hry“. Tedy u´hel ϕ je pro na´sˇ prˇ´ıpad zobecneˇna´ sourˇadnice. Dynamiku popisujeme F parametry q˙α , ktery´m rˇ´ıka´me zobecneˇne´ rychlosti a jsou mezi sebou neza´visle´. Nutno si uveˇdomit, zˇe promeˇnne´ qα a q˙α jsou na sobeˇ neza´visle´. Matematicky vyja´drˇeno ∂qα = δαβ , ∂qβ

∂ q˙γ = δγδ , ∂ q˙δ

∂qα ∂ q˙γ = = 0, ∂ q˙β ∂qδ

(3.30)

kde δαβ = 0 pro α 6= β, δαβ = 1 pro α = β (tzv. Kroneckerovo delta). Pro u´plnost dodejme, zˇe neˇkdy i karte´zske´ sourˇadnice mohou by´t zavedeny jako obecne´, pokud splnˇujı´ pozˇadavky na neˇ kladene´. Da´le je nutno si uveˇdomit, zˇe pokud zobecneˇna´ sourˇadnice je de´lka, zobecneˇna´ rychlost je opravdu rychlost; pokud qα je u´hel, pak q˙α ma´ vy´znam u´hlove´ rychlosti. 86

3.5. Zobecneˇne´ sourˇadnice. Lagrangeovy rovnice II. druhu Abychom nasˇli pohybove´ rovnice v novyćh dynamickyćh promeˇnnyćh {qα , q˙α , t}, kteryćh je celkem 2F + 1, vrat’me se k Lagrangeovu principu N X i=1

(Fi − mi rï ) · δ ri = 0

(3.31)

a prˇejdeˇme od pravou´hlyćh sourˇadnic ri = (xi , yi , zi ) k zobecneˇny´m gα

ri = ri (qα, t) .

(3.32)

Prˇi skleronomnıćh vazbaćh tato transformace neza´visı´ na cˇase. V prˇ´ıpadeˇ potrˇeby lze napsat i obraćene´ vyja´drˇenı´ qα = qα (ri , t) ,

(3.33)

nebot’prˇechod mezi dveˇma syste´my sourˇadnic musı´ by´t jednoznacˇny´ (azˇ na vyjı´mecˇne´ body). Pro skutecˇne´ posunutı´ (tota´lnı´ diferencia´l) ma´me dri = a pro rychlost

X ∂r ∂r dqα + dt ∂qα ∂t α

X ∂ ri vi = ddtri = ∂q α

q˙α +

α

(3.34)

∂ ri ; ∂t

(3.35)

vidı´me tedy, zˇe vztah mezi rychlostmi (vektorovy´mi nebo karte´zsky´mi) a zobecneˇny´mi je vzˇdy linea´rnı´. Odtud ihned ma´me pro kinetickou energii T =

X1 i

kde T2 =

XX α

2

aαβ (q, t)q˙α q˙β ,

mvi2 = T2 + T1 + T0 ,

T1 =

X

bα (q, t)q˙α ,

(3.36)

T0 = C(q, t) .

(3.37)

α

β

Zavedli jsme oznacˇenı´ aαβ (q, t) =

X ∂ ri ∂ ri X ∂ ri ∂ ri X ∂ ri ∂ ri · , bα (q, t) = 2 · , C(q, t) = · . ∂q ∂q ∂q ∂t ∂t ∂t α β α i i i

(3.38)

Prˇipomeneme-li si definici homogennı´ funkce k-te´ho rˇa´du f (ui ) f (λui ) = λk f (ui ) 87

pro kazˇde´ λ ,

(3.39)


vidı´me, zˇe „kineticka´ energie v obecnyćh sourˇadnicıćh se obecneˇ skla´da´ z homogennı´ funkce druhe´ho, prvnı´ho a nulte´ho rˇa´du v zobecneˇnyćh rychlostech“. Tı´m se lisˇ´ı od vyja´drˇenı´ v karte´zskyćh sourˇadnicıćh 3N

1X T = mi x˙ 2i , 2 i=1

(3.40)

ktera´ je vzˇdy homogennı´, druhe´ho rˇa´du a dokonce se skla´da´ jen z u´plnyćh cˇtvercu˚. ∂ ri Pokud jsou vazby skleronomnı´ = 0 , je kineticka´ energie homogennı´ funkce druhe´ho ˇra´du a ∂t neza´visı´ explicitneˇ na cˇase XX T ≡ T2 = aαβ (q)q˙α q˙β prˇi skleronomnıćh vazbaćh . (3.41) α

β

Virtua´lnı´ posunutı´ je dańo vztahem (viz (3.34)) δ ri = a dosta´va´me

X i

Fi · δri =

kde jsme zavedli zobecneˇnou sı´lu

X i

Fi · def

Qα =

X ∂ ri δqα ∂q α α X ∂r X δqα = Qα δqα , ∂q α α α i

∂ ri Fi · ∂q

X

.

(3.43)

α

i

Budou-li sı´ly potencia´lnı´ , tj.

(3.42)

Fi = − gradi ϕ = − ∂∂ϕr , ma´me i

Qα = −

X ∂ϕ i

∂ ri

·

∂ ri ∂ϕ =− ∂qα ∂qα

(3.44)

a platı´ tedy mezi zobecneˇny´mi sı´lami a potencia´lem (vyja´drˇeny´m pomocı´ zobecneˇnyćh sourˇadnic) stejny´ vztah jako v pravou´hlyćh sourˇadnicıćh. Fi = −

∂ϕ(x, t) ∂xi

−→

Qα = −

∂ϕ(q, t) ; ∂qα

(3.45)

(cˇtena´rˇ si jisteˇ vsˇiml, zˇe v pravou´hlyćh sourˇadnicıćh pouzˇ´ıva´me bud’ scˇ´ıtańı´ „vektorove´“ i = 1, . . . , N nebo „skala´rnı´“ i = 1, . . . , 3N tak, jak je to vy´hodneˇjsˇ´ı pro danou u´vahu. Budeme tak cˇinit i nada´le. Prˇitom naprˇ. F1 , F2 , F3 jsou slozˇky sı´ly F1 , F4 , F5 , F6 jsou slozˇky sı´ly F2 atd.). Drˇ´ıve nezˇ upravı´me (3.31) odvodı´me jesˇteˇ dva vztahy. Prˇedevsˇ´ım z (3.35) vidı´me, zˇe ∂ r˙i ∂ ri ∂ vi ≡ = ∂ q˙α ∂ q˙α ∂qα 88

(3.46)

3.5. Zobecneˇne´ sourˇadnice. Lagrangeovy rovnice II. druhu

a da´le

X ∂ ri ∂ vi ∂ r˙i ∂ ri d ∂ ri = . ≡ q˙α + = ∂qβ ∂qβ ∂q ∂q ∂q ∂t dt ∂q β α β β α

(3.47)

Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme upravit v (3.31): X i

X d ∂ ri mi rï · = ( ∂qα dt i

∂ ri mi r˙i · ∂qα

− mi r˙i ·

d ∂ ri ) dt ∂qα

a pouzˇijeme-li (podtrzˇene´ cˇa´sti v (3.46) a (3.47)) da´le

kde T =

P1 i

2

X d ∂ r˙i ∂ r˙i d ∂T ∂T ( (mi r˙i · ) − mi r˙i · )= − , dt ∂ q˙α ∂qα dt ∂ q˙α ∂qα i

(3.48)

mr˙ 2 je celkova´ kineticka´ energie. Dohromady tedy obdrzˇ´ıme X α

d ∂T ∂T + Qα − dt ∂ q˙α ∂qα

δqα = 0 .

(3.49)

Zde jizˇ ma´me pra´veˇ tolik scˇ´ıtancu˚, kolik ma´me libovolnyćh a neza´vislyćh δqα (podle definice zobecneˇnı´ sourˇadnic) a tedy dle za´kladnı´ veˇty variacˇnı´ho pocˇtu (viz kapitola 3.2) je d ∂T ∂T − = Qα dt ∂ q˙α ∂qα

(α = 1, 2, . . . , F ) .

(3.50)

To jsou Lagrangeovy rovnice II. druhu v nejobecneˇjsˇ´ım tvaru. Prˇedpokla´dejme, zˇe cˇa´st sil je potencia´lnıćh, tj. Qα = −

sı´ly, pak obecneˇji

∂ϕ(q, t) eα nepotencia´lnı´ cˇa´st . Oznacˇ´ıme-li Q ∂qα

eα − ∂ϕ . Qα = Q ∂qα

Dostaneme

(3.51)

d ∂T ∂T ∂ϕ − + = 0. dt ∂ q˙α ∂qα ∂qα

Definujeme Lagrangeovu funkci def

L(qα , q˙α , t) = T (qα , q˙α , t) − ϕ(qα , t) .

(3.52)

Pak lze psa´t d ∂L ∂L eα , − =Q dt ∂ q˙α ∂qα

eα jsou nepotencia´lnı´ zobecneˇne´ sı´ly. kde Q

89

(3.53)


Pro potencia´lnı´ syste´m pak ma´me Lagrangeovy rovnice II. druhu ve tvaru: d ∂L ∂L − = 0. dt ∂ q˙α ∂qα e tak, zˇe zˇa´da´me, aby forma´lneˇ vy´raz Neˇkdy zava´dı´me pojem zobecneˇna´ Lagrangeova funkce L e e d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q˙α ∂qα

(3.54)

(3.55)

da´val spra´vne´ pohybove´ rovnice. V tom prˇ´ıpadeˇ ovsˇem uzˇ nemusı´ platit, zˇe L = T − ϕ, poprˇ´ıpadeˇ ϕ mu˚zˇe za´viset eventua´lneˇ i na zobecneˇnyćh rychlostech (viz naprˇ. teorie elektromagneticke´ho pole). Da´le se budeme zaby´vat jen potencia´lnı´mi syste´my. Nejprve zavedeme pojem cyklicke´ sourˇadnice: „je to takova´ sourˇadnice, na ktere´ Lagrangeova funkce neza´visı´“. Prˇedpokla´dejme naprˇ., zˇe qα (pro jiste´ pevne´ α) je cyklicka´, tj. ∂L = 0, ∂qα

(3.56)

z prˇ´ıslusˇne´ Lagrangeovy rovnice pak ihned plyne d ∂L =0 dt ∂ q˙α

tj.

∂L = konst. ∂ q˙α

(3.57)

Kazˇda´ cyklicka´ sourˇadnice tedy da´va´ za´kon zachovańı´, cozˇ je vlastneˇ prvnı´ integra´l Lagrangeovyćh rovnic II. druhu. Da´le zaved’me pojem zobecneˇne´ energie def

ε =

X

q˙α

α

∂L − L. ∂ q˙α

(3.58)

Jejı´ celkova´ cˇasova´ zmeˇna se rovna´ dε X ∂L d ∂L ∂L ∂L ∂L = (¨ qα − q˙α − q˙α − q¨α ) − dt ∂ q˙α dt ∂ q˙α ∂qα ∂ q˙α ∂t α a uzˇitı´m Lagrangeovyćh rovnic II. druhu dosta´va´me dε ∂L =− . dt ∂t

(3.59)

Bude-li tedy Lagrangeova funkce neza´visla´ na cˇase (explicitneˇ) ma´me dalsˇ´ı za´kon zachovańı´: def

ε =

X α

q˙α

∂L − L = konst. ∂ q˙α 90

(3.60)

3.6. Hamiltonu˚v princip nejmensˇ´ı akce Ted’ zkoumejme ota´zku, kdy je zobecneˇna´ energie ε rovna skutecˇne´ energii E ≡ T + ϕ. K tomu potrˇebujeme Eulerovu veˇtu o homogennıćh funkcıćh f (ui) k-te´ho rˇa´du: X

ui

i

∂f = kf . ∂ui

(3.61)

Du˚kaz je snadny´, zderivujeme-li definici (3.39) dle λ obdrzˇ´ıme X ∂f (λui ) i

∂(λui )

ui = kλk−1f (ui ) ;

sem stacˇ´ı dosadit λ = 1, abychom obdrzˇeli (3.61). Dosadı´me-li (3.36) a pouzˇijeme Eulerovu veˇtu, ma´me ε =

X α

(q˙α

∂T1 ∂T2 + q˙α ) − T + ϕ = 2T2 + T1 − T + ϕ = ∂ q˙α ∂ q˙α

= 2T − T1 − 2T0 − T + ϕ = T + ϕ − T1 − 2T0 = E − T1 − 2T0 . Tedy, aby platilo ε(t) = E(t) = T + ϕ(t) ,

(3.62)

musı´ by´t T1 = 0 a T0 = 0, tj. vazby musı´ by´t skleronomnı´ (srovnej s (3.41)). Pta´me-li se, kdy platı´ za´kon zachovańı´ energie, dostaneme odpoveˇd’: pokud Lagrangeova funkce neza´visı´ explicitneˇ na cˇase a syste´m je podroben skleronomnı´m vazba´m platı´ za´kon zachovańı´ energie E = T (qα , q˙α ) + U(qα ) = konst. Jinak rˇecˇeno: syste´m musı´ by´t konzervativnı´ (tj. potencia´lnı´ energie neza´visla´ na cˇase) a vazby skleronomnı´ , cozˇ za´rovenˇ zarucˇuje, zˇe kineticka´ energie neza´visı´ explicitneˇ na cˇase (viz (3.41)).

3.6 Hamiltonu˚v princip nejmensˇ´ı akce Lagrangeovy rovnice II. druhu se nejcˇasteˇji pouzˇ´ıvajı´ prˇi prakticke´m rˇesˇenı´ u´loh a jsou take´ za´kladem pro dalsˇ´ı teoreticke´ zkoumańı´, proto si je odvodı´me jesˇteˇ jednou jiny´m zpu˚sobem. Pohyb syste´mu si nejle´pe prˇedstavujeme v konfiguracˇnı´m prostoru, cozˇ je F -rozmeˇrny´ abstraktnı´ prostor, ve ktere´m na kazˇdou sourˇadnou osu nana´sˇ´ıme jednu zobecneˇnou sourˇadnici qα . Pohyb cele´ho syste´mu je tam tedy zna´zorneˇn jedinou krˇivkou, trajektoriı´ syste´mu. Zvolme si dveˇ konfigurace syste´mu v cˇasovyćh okamzˇicıćh t1 a t2 . Uvazˇujme vsˇechny mozˇne´ trajektorie mezi prˇ´ıslusˇny´mi dveˇma body 91


konfiguracˇnı´ho prostoru a ptejme se, ktera´ krˇivka odpovı´da´ skutecˇne´mu pohybu za danyćh fyzika´lnıćh podmıńek (sı´ly, vazby atp.). Vytvorˇme nejprve integra´l, ktere´mu budeme rˇ´ıkat akce:

def

S(q) =

Zt2

L(qα , q˙α , t) dt ;

(3.63)

t1

hodnota (cˇ´ıslo, nebot’jsou pevne´ meze) bude za´viset na tom, pode´l ktere´ krˇivky budeme integra´l bra´t.

Obra´zek 3.6: Virtua´lnı´ dra´ha a Hamiltonu˚v princip

V matematice se takovy´m vy´razu˚m rˇ´ıka´ funkciona´l. Hamiltonu˚v princip nejmensˇ´ı akce pak ˇr´ıka´: „Skutecˇna´ trajektorie mezi vsˇemi mysˇleny´mi (se spolecˇny´mi pevny´mi polohami v konfiguracˇnı´m prostoru v okamzˇicıćh t1 a t2 ) se vyznacˇuje tı´m, zˇe hodnota akce je nejmensˇ´ı.“ Z matematiky je zna´mo, zˇe nutna´ podmıńka minima je, aby se diferencia´l rovnal nule. Jelikozˇ srovna´va´me virtua´lnı´ (mysˇlene´) pohyby, musı´ by´t nulova´ variace

δS = 0

pro skutecˇny´ pohyb.

(3.64)

Oznacˇ´ıme-li skutecˇny´ pohyb {qα , q˙α }, pak mysˇlena´ (virtua´lnı´) dra´ha bude {qα + δqα , q˙α + δ q˙α }, kde δqα je libovolna´ odchylka azˇ na to, zˇe δqα (t1 ) = δqα (t2 ) = 0 . 92

(3.65)

3.6. Hamiltonu˚v princip nejmensˇ´ı akce

Z (3.63) tak dostaneme Zt2 h i δS = S(qα + δqα ) − S(qα ) = L(qα + δqα , q˙α + δ q˙α , t) − L(qα , q˙α , t) dt = t1

=

t2 "

XZ α t 1

# ∂L ∂L δqα + δ q˙α dt . (3.66) ∂qα ∂ q˙α

Zde se podle definice diferencia´lu omezujeme na linea´rnı´ cˇa´st rozdı´lu. Da´le platı´ δ q˙α = q˙α′′ − q˙α′ =

d ′′ d (qα − qα′ ) = δqα , dt dt

(3.67)

kde naznacˇujeme, zˇe variace je rozdı´l dvou hodnot prˇi stejne´m cˇase (viz definice virtua´lnı´ zmeˇny, kapitola 3.2). Pouzˇitı´m (3.67) v druhe´m cˇlenu provedeme integraci per partes Zt2

t1

t2 Zt2 ∂L d ∂L ∂L d δqα dt = δqα − δqα dt , ∂ q˙α dt ∂ q˙α dt ∂ q˙α t1

(3.68)

t1

prvnı´ cˇlen se anuluje (viz (3.65)) a dosta´va´me δS =

Zt2 X F

t1

α=1

∂L d ∂L − ∂qα dt ∂ q˙α

δqα = 0 .

(3.69)

Odtud na za´kladeˇ fundamenta´lnı´ veˇty variacˇnı´ho pocˇtu ihned ma´me ∂L d ∂L − = 0, ∂qα dt ∂ q˙α

(3.70)

to vsˇak jsou Lagrangeovy rovnice II. druhu. Prˇ´ıklad 3.8 Hmotny´ bod M se mu˚zˇe volneˇ pohybovat po vodorovne´ prˇ´ımce p. Na neˇm je na bezhmotne´ tycˇi de´lky l zaveˇsˇen hmotny´ bod m, ktery´ se mu˚zˇe otaćˇet kolem bodu M ve svisle´ rovineˇ prolozˇene´ prˇ´ımkou p. Najdeˇte pohyb syste´mu pro male´ kmity (elipticke´ kyvadlo). ˇ esˇenı´: Pohyb je rovinny´ a ma´ dva stupneˇ volnosti. Za zobecneˇne´ sourˇadnice zvolı´me: polohu x bodu R M na prˇ´ımce, meˇrˇenou od libovolne´ho pevne´ho bodu 0 a u´hel ϕ tycˇe l od svislice. Kinetickou energii nejle´pe pocˇ´ıta´me v karte´zskyćh sourˇadnicıćh (druhou osu y zvolı´me svisle dolu˚), nebot’ma´me univerza´lnı´ vzorec: T =

1 1 M x˙ 2 + m(x˙ 21 + y˙ 12) , 2 2 93


Obra´zek 3.7: Kmity elipticke´ho kyvadla kde pro sourˇadnice x1 , y1 hmotne´ho bodu m platı´ x1 = x + l sin ϕ , Snadno zjistı´me T =

y1 = l cos ϕ .

1 1 (m + M)x˙ 2 + m l2 ϕ˙ 2 + m l cos ϕ x˙ ϕ˙ . 2 2

Potencia´lnı´ energie je dańa vy´razem (volı´me U(y = 0) = 0) U = −mgy1 = −mgl cos ϕ . Lagrangeova funkce je L(x, ϕ, x, ˙ ϕ) ˙ = Da´le urcˇ´ıme

1 1 (m + M)x˙ 2 + ml2 ϕ˙ 2 + ml cos ϕ x˙ ϕ˙ + mgl cos ϕ . 2 2

∂L = (m + M)x˙ + ml cos ϕ ϕ˙ = C1 , ∂ x˙

nebot’x je cyklicke´,

a odtud (m + M)x + ml sin ϕ = C1 t + C2 . ( x = x0 , ϕ = ϕ0 Zvolı´me-li pocˇa´tecˇnı´ podmıńky tak, aby pro t = 0 : x˙ = 0 , ϕ˙ = 0 ma´me C1 = 0. Zvolı´me-li vhodneˇ pocˇa´tek O tak, aby (m + M)x0 + ml sin ϕ0 = 0 94

3.6. Hamiltonu˚v princip nejmensˇ´ı akce je i C2 = 0 a ma´me x=−

ml sin ϕ . m+M

Jelikozˇ L neza´visı´ explicitneˇ na t a vazby jsou skleronomnı´, ma´me E = konst. 1 1 (m + M)x˙ 2 + ml cos ϕ x˙ ϕ˙ + ml2 ϕ˙ 2 − mgl cos ϕ = E0 = −mgl cos ϕ0 . 2 2 Dosazenı´m za x˙

m g 1 2 1− cos ϕ ϕ˙ 2 + (cos ϕ0 − cos ϕ) = 0 2 m+M l a odtud derivacı´ dle ϕ a zkraćenı´m ϕ˙ dostaneme rovnici pro ϕ 1 m m g 2 1− cos ϕ ϕ¨ + sin ϕ cos ϕ ϕ˙ 2 + sin ϕ = 0 , 2 m+M m+M l (1 + κ sin2 ϕ) ϕ¨ + κ sin ϕ cos ϕ ϕ˙ 2 +

g (1 + κ) sin ϕ = 0 , l

(3.71)

m . M Budeme-li pocˇ´ıtat pomocı´ Lagrangeovyćh rovnic II. druhu, ma´me def

kde κ =

d ∂L ∂L − ≡ (m + M)¨ x + ml cos ϕ ϕ¨ − ml sin ϕ ϕ˙ 2 = 0 dt ∂ x˙ ∂x Da´le ma´me

∂L ∂L = ml2 ϕ˙ + ml cos ϕ x˙ , = −ml sin ϕ x˙ ϕ˙ − mgl sin ϕ ∂ ϕ˙ ∂ϕ d ∂L = ml2 ϕ¨ + ml cos ϕ¨ x − ml sin ϕ x˙ ϕ˙ dt ∂ ϕ˙ d ∂L ∂L − ≡ ml2 ϕ¨ + ml cos ϕ x ¨ + mgl sin ϕ = 0 . dt ∂ ϕ˙ ∂ϕ

(A)

(B)

Dosazenı´m za x¨ z (A) do (B) obdrzˇ´ıme opeˇt (3.71). Je to nelinea´rnı´ diferencia´lnı´ rovnice jejı´zˇ ˇresˇenı´ je obecneˇ velice obtı´zˇne´, ne-li nemozˇne´. Prˇedpokla´dejme tedy ϕ ≪ 1 a ϕ˙ ≪ 1, pak mu˚zˇeme nahradit sin ϕ ∼ ϕ ,

cos ϕ ∼ 1

a omezı´me se na cˇleny maxima´lneˇ 1.rˇa´du a dostaneme z (3.71) ϕ¨ +

g (1 + κ) ϕ = 0 l

(linearizace) .

ˇ esˇenı´ je tedy ϕ = ϕ0 sin ω0 t , x = − mlϕ0 sin ω0 t , kde R m+M r g m ω0 = 1+ l M 95


je u´hlova´ frekvence malyćh kmitu˚. Najdeˇme krˇivku, kterou opisuje bod m prˇi tomto pohybu: x1 = x + l sin ϕ = −

M ml sin ϕ + l sin ϕ = l sin ϕ , m+M m+M

y1 = l cos ϕ . Vyloucˇenı´m u´hlu ϕ dostaneme

x21 M l m+M

2 +

y12 = 1, l2

cozˇ prˇedstavuje elipsu.

3.7 Hamiltonovy kanonicke´ rovnice Lagrangeovy rovnice II. druhu jsou velice obecne´ a vy´hodne´, hlavneˇ prˇi rˇesˇenı´ konkre´tnıćh u´loh. Prˇi teoreticke´m zkoumańı´ vsˇak majı´ jiste´ nevy´hody. Naprˇ. dynamicke´ velicˇiny q˙α jsme zavedli jako derivace qα podle cˇasu, pak je ale povazˇujeme za naprosto neza´visle´. Da´le qα a q˙α vystupujı´ v Lagrangeoveˇ ∂L =0 formalizmu nerovnopra´vneˇ: zatı´mco cyklicˇnost qα ma´ za na´sledek za´kon zachovańı´, vztah ∂ q˙α na´m nic neda´va´. A konecˇneˇ: Lagrangeovy rovnice II. druhu jsou rovnice 2. rˇa´du pro qα : X ∂2L d ∂L ∂2L ∂2L = q¨β + q˙β + . dt ∂ q˙α ∂ q ˙ ∂ q ˙ ∂ q ˙ α ∂ q˙β α ∂qβ α ∂t β Dali bychom prˇednost rovnicı´m 1. rˇa´du, nebot’ tam ma´me k dispozici rˇadu obecnyćh metod, naprˇ. separaci promeˇnnyćh (1. derivace je algebraicky´ zlomek dvou diferencia´lu˚ (viz kapitola 1.15)). Prˇejdeme proto k nove´mu formalizmu, ktere´mu budeme rˇ´ıkat hamiltonovsky´. Obecne´ sourˇadnice qα podrzˇ´ıme, nebot’jejich pocˇet je minima´lnı´ (viz kapitola 3.5). Zavedeme vsˇak nove´ dynamicke´ promeˇnne´ pα , ktere´ se nazy´vajı´ zobecneˇne´ hybnosti (impulzy) def

pα =

∂L , ∂ q˙α

α = 1, . . . , F .

(3.72)

Toto je F linea´rnıćh rovnic (nebot’L je kvadraticka´ v q˙α ) mezi pα a q˙α a dajı´ se odtud vzˇdy vyja´drˇit q˙α = f (pα , qα , t) . 96

(3.73)

3.7. Hamiltonovy kanonicke´ rovnice O dvojici qα a pα k dane´mu α mluvı´me jako o kanonicky sdruzˇenyćh velicˇinaćh. Mı´sto Lagrangeovy funkce L zavedeme novou funkci X def H(qα , pα , t) = q˙α pα − L , (3.74) q→p ˙

α

ktere´ rˇ´ıka´me Hamiltonova funkce. Je du˚lezˇite´ si uveˇdomit, zˇe musı´me vzˇdy zobecneˇne´ rychlosti vyloucˇit pomocı´ (3.73), aby opravdu H byla funkce jen kanonickyćh promeˇnnyćh qα , pα (a cˇasu). Udeˇlejme tota´lnı´ diferencia´l z (3.74): dH =

=

X ∂H ∂H ∂H ( dqα + dpα ) + dt = ∂q ∂p ∂t α α α

X α

( dq˙α pα + q˙α dpα −

∂L ∂L ∂L dqα − dq˙α ) − dt ; ∂qα ∂ q˙α ∂t

(3.75)

na za´kladeˇ definice (3.72) cˇleny s diferencia´lem dq˙α se vyrusˇ´ı a prava´ strana (3.74) na q˙α opravdu neza´visı´. Srovnańı´m zby´vajıćıćh diferencia´lu˚ dostaneme q˙α =

∂H , ∂pα

−

∂L d ∂L ∂H =− = −p˙α = , ∂qα dt ∂ q˙α ∂qα

−

∂L ∂H = . ∂t ∂t

(3.76)

Dostali jsme za´rovenˇ pohybove´ rovnice, ktery´m rˇ´ıka´me Hamiltonovy kanonicke´ rovnice dpα ∂H =− , dt ∂qα

dqα ∂H = dt ∂pα

(α = 1, 2, . . . , F ) .

(3.77)

Jsou to rovnice 1. rˇa´du (je jich ovsˇem 2F ). Za´rovenˇ je z nich videˇt, zˇe promeˇnne´ qα a pα jsou naprosto rovnopra´vne´ z hlediska cyklicˇnosti: „Pokud Hamiltonova funkce neza´visı´ na neˇktere´ promeˇnne´, pak k nı´ kanonicky sdruzˇena´ je konstantnı´.“ Pokud se ty´ka´ fyzika´lnı´ho vy´znamu Hamiltonovy funkce, porovnańı´m (3.60), (3.74) a (3.72) vidı´me, zˇe Hamiltonova funkce je rovna zobecneˇne´ energii H ≡ ε(t). Pokud jsou vazby skleronomnı´, ma´ vy´znam celkove´ energie (srovnej (3.62)) H = E(t) = T + ϕ(t) . (3.78) Da´le platı´

dH X ∂H dqα ∂H dpα ∂H = ( + )+ dt ∂qα dt ∂pα dt ∂t α

a dosazenı´m za q˙α a p˙α z (3.77) dosta´va´me:

dH ∂H = . dt ∂t 97

(3.79)

KAPITOLA 3. ANALYTICKA´ MECHANIKA To souhlası´ s tı´m, zˇe zobecneˇna´ energie, tj. H je konstantnı´ pokud H nebo L (viz (3.76)) neza´visı´ explicitneˇ na cˇase. Pokud ovsˇem ma´ by´t konstantnı´ i celkova´ energie E = konst., musı´ navıć by´t syste´m konzervativnı´ tj. ϕ(t) = U (srovnej text za (3.62)). ˇ esˇte prˇ´ıklad 3.8 Hamiltonovy´m formalizmem. Prˇ´ıklad 3.9 R ˇ esˇenı´: Z Lagrangeovy funkce (viz prˇ´ıklad 3.8) R L(x, ϕ, x, ˙ ϕ) ˙ =

1 1 (m + M)x˙ 2 + ml2 ϕ˙ 2 + ml cos ϕ x˙ ϕ˙ + mgl cos ϕ, 2 2

(A)

obdrzˇ´ıme z definice px ≡

∂L = (m + M)x˙ + ml cos ϕ ϕ˙ , ∂ x˙

(B)

∂L pϕ ≡ = ml cos ϕ x˙ + ml2 ϕ˙ ; ∂ ϕ˙ odtud x˙ =

px l − pϕ cos ϕ , l(M + m sin2 ϕ)

ϕ˙ =

−px ml cos ϕ − pϕ (M + m) . ml2 (M + m sin2 ϕ)

(C)

Jelikozˇ jsou vazby skleronomnı´ a gravitacˇnı´ sı´la je konzervativnı´, Hamiltonova funkce se rovna´ celkove´ energii, kde ovsˇem musı´me zobecneˇne´ rychlosti nahradit zobecneˇny´mi hybnostmi podle (C). Po delsˇ´ım pocˇ´ıtańı´ obdrzˇ´ıme l2 p2x − 2lpx pϕ cos ϕ + p2ϕ (1 + M/m) H(x, ϕ, px , pϕ ) = − mgl cos ϕ . 2l2 (M + m sin2 ϕ) Hamiltonovy rovnice dx ∂H dϕ ∂H = a = dt ∂px dt ∂pϕ na´m znovu da´vajı´ rovnice (C) (slouzˇ´ı jako kontrola). Dalsˇ´ı rovnice je dpx ∂H =− = 0, dt ∂x

nebot’x je cyklicka´ sourˇadnice .

Odtud plyne px = C 1 . Cˇtvrta´ Hamiltonova rovnice je obecneˇ slozˇiteˇjsˇ´ı. Omezme se na konkre´tnı´ pocˇa´tecˇnı´ podmıńky: t=0:

x˙ = 0 ;

ϕ˙ = 0

⇒ px = C 1 = 0

(viz (B)).

Ma´me tedy pro tento prˇ´ıpad: H(x, ϕ, 0, pϕ ) =

(m + M)p2 ϕ − mgl cos ϕ , 2l2 m(M + m sin2 ϕ) 98

3.8. Kanonicke´ transformace. Poissonovy za´vorky

a vztahy: x˙ = −

cos ϕ pϕ , l(M + m sin2 ϕ

ϕ˙ =

m+M pϕ . + m sin2 ϕ)

ml2 (M

(D)

Cˇtvrta´ Hamiltonova rovnice znı´ dpϕ ∂H (m + M) sin ϕ cos ϕ 2 =− = 2 p − mgl sin ϕ . dt ∂ϕ l (M + m sin2 ϕ)2 ϕ

(E)

Poslednı´ trˇi rovnice 1. rˇa´du s pocˇa´tecˇnı´mi podmıńkami t = 0 : x = x0 , ϕ = ϕ0 na´m urcˇujı´ trˇi nezna´me´ funkce x(t), ϕ(t), pϕ (t). Stacˇ´ı najı´t ϕ = ϕ(t), dalsˇ´ı integrace je snadna´. Abychom vyloucˇili pϕ najdeˇme ϕ¨ derivacı´ druhe´ rovnice (D) ϕ¨ =

Dosadı´me za

m+M (m + M) sin ϕ cos ϕ p˙ϕ − 2 2 ϕp ˙ ϕ. 2 + m sin ϕ) l (M + m sin2 ϕ)2

ml2 (M

dpϕ a pϕ z (D), (E) a po delsˇ´ı algebraicke´ u´praveˇ obdrzˇ´ıme dt g (1 + κ sin2 ϕ)ϕ¨ + κ sin ϕ cos ϕ ϕ˙ 2 + (1 + κ) sin ϕ = 0 , l

cozˇ je pohybova´ rovnice (3.71) z prˇ´ıkladu 3.8. Poznamenejme, zˇe pro M → ∞ (κ → 0) rovnice znı´ ϕ¨ +

g sin ϕ = 0 ; l

popisuje matematicke´ kyvadlo s pevny´m za´veˇsem. Vidı´me, zˇe Lagrangeu˚v formalizmus vede prˇi konkre´tnıćh u´lohaćh daleko rychleji k cı´li.

3.8 Kanonicke´ transformace. Poissonovy za´vorky Prˇedpokla´dejme, zˇe zkoumana´ mechanicka´ soustava je popsańa hamiltonovsky´m formalizmem: souborem 2F kanonicky sdruzˇeny´mi promeˇnny´mi qα , pα a Hamiltonovou funkcı´ H(q, p, t). Platı´ tedy dpα ∂H =− , dt ∂qα

dqα ∂H = ∂t ∂pα

(α = 1, 2, . . . , F ) .

(3.80)

Pomocı´ transformace Qα = Qα (p, q, t) , Pα = Pα (p, q, t) , 99

(3.81)

KAPITOLA 3. ANALYTICKA´ MECHANIKA kde p, q znacˇ´ı za´vislost na pu˚vodnıćh kanonickyćh promeˇnnyćh, prˇejdeme k novy´m promeˇnny´m Qα , Pα . Nebudou na´s vsˇak zajı´mat libovolne´ transformace typu (3.81) (rˇ´ıka´me jim bodove´), ale jen takove´, zˇe nove´ promeˇnne´ Qα , Pα budou opeˇt mı´t fyzika´lnı´ vy´znam zobecneˇnyćh sourˇadnic a hybnostı´, tj. musı´ existovat takova´ funkce H(Q, P, t), zˇe i v „novyćh“ promeˇnnyćh platı´ Hamiltonovy kanonicke´ rovnice ∂H dPα =− , dt ∂Qα

dQα ∂H = dt ∂Pα

(α = 1, 2, . . . , F ) .

(3.82)

Podmnozˇineˇ takovyćh transformacı´ rˇ´ıka´me kanonicke´ transformace. Prˇedstavme si, zˇe se na´m podarˇilo najı´t takovy´ „novy´“ hamiltonovsky´ formalizmus, zˇe novy´ Hamiltoniań H neza´visı´ na zˇa´dne´ nove´ sourˇadnici a ani na hybnostech H = H(t) .

(3.83)

Vsˇechny kanonicke´ promeˇnne´ jsou cyklicke´ a tudı´zˇ z (3.82) ihned plyne, zˇe musı´ by´t konstantnı´ Qα = Aα = konst. ,

Pα = Bα = konst.

α = 1, 2, . . . , F .

(3.84)

Hodnoty konstant Aα , Bα urcˇ´ıme z pocˇa´tecˇnıćh podmıńek pro novy´ syste´m, ktere´ jsou samozrˇejmeˇ jednoznacˇne´ funkce pu˚vodnıćh pocˇa´tecˇnıćh podmıńek qα0 , p0α , tj. Aα = Aα (p0 , q 0 ) ,

Bα = Bα (p0 , q 0 ) .

Ma´me tak 0

0

Qα ≡ Qα (p, q, t) = Aα (p , q ) Pα ≡ Pα (p, q, t) = Bα (p0 , q 0 )

)

α = 1, 2, . . . , F .

(3.85)

(3.86)

Z te´to soustavy cˇisteˇ algebraicky vypocˇ´ıta´me qα = qα (q 0 , p0 , t) pα = pα (q 0 , p0 , t)

)

α = 1, 2, . . . , F .

(3.87)

cozˇ je rˇesˇenı´ nasˇeho pu˚vodnı´ho syste´mu. Vidı´me, zˇe principia´lneˇ se na´m podarˇilo cˇisteˇ algebraicky (bez integracı´) jen vhodnou volbou kanonicke´ transformace nasˇi u´lohu obecneˇ rozrˇesˇit. Je sice pravda, zˇe je nutno zkoumat ota´zku existence a zpu˚sobu nalezenı´ te´to kanonicke´ transformace, to vsˇak nemeˇnı´ nic na tom, zˇe jsme v jiste´m smyslu dospeˇli ke „konci“ mechaniky, nebot’obecneˇjsˇ´ı a jednodusˇsˇ´ı formalizmus bychom asi teˇzˇko nalezli. Hamiltonovsky´ formalizmus na´m vsˇak poma´ha´ i prˇi formulaci za´konu˚ nove´, tj. kvantove´ mechaniky. 100

3.9. Za´veˇr Naprˇ. je zna´mo, zˇe v kvantove´ mechanice kazˇde´ fyzika´lnı´ velicˇineˇ G (ktera´ v „klasicke´ mechanice“ je b Za´kladnı´ vlastnostı´ opera´toru˚ vsˇak je, zˇe obecneˇ nekomutujı´, tj. funkce) prˇirˇazujeme opera´tor G. bFb 6= FbG b. G

(3.88)

b Fb ] def bFb − FbG b def b, [ G, = G = C

(3.89)

Nevı´me tedy, jakou hodnotu prˇirˇadit komuta´toru,

nebot’„klasicke´“ velicˇiny F , G vzˇdy komutujı´.

Hamiltonovsky´ formalizmus poma´ha´ rˇesˇit tuto ota´zku: zaved’me si nejprve tzv. Poissonovy za´vorky b Fb } def { G, =

X ∂G ∂F ∂F ∂G ( − ). ∂qα ∂pα ∂qα ∂pα α

(3.90)

Da´ se uka´zat, zˇe Poissonovy za´vorky jsou invariantnı´ vu˚cˇi kanonicky´m transformacı´m, tj. majı´ ve vsˇech „reprezentacıćh“ fyzika´lnı´ho proble´mu tute´zˇ hodnotu. Ukazuje se, zˇe „hodnota Poissonovyćh za´vorek dvou fyzika´lnıćh velicˇin je u´meˇrna´ komuta´toru odpovı´dajıćıćh opera´toru˚“. Naprˇ. snadno zjistı´me, zˇe platı´ {qα , pβ } = δαβ

(3.91)

[x bα , pbβ ] = C δαβ ;

(3.92)

a tedy

z postula´tu nove´ teorie plyne C = i~ (~ = h/2π, h - Planckova konstanta). Takto na´m hamiltonovsky´ formalizmus da´va´ mnoha´ cenna´ vodı´tka pro zobecneˇnı´ „klasicke´ mechaniky“.

3.9 Za´veˇr Na za´veˇr si musı´me rˇ´ıci neˇco o podmıńkaćh platnosti klasicke´ Newtonovy teoreticke´ mechaniky. Videˇli jsme, zˇe je zalozˇena na postula´tech, ktere´ Newton zformuloval v polovineˇ XVII. stoletı´ na za´kladeˇ tehdejsˇ´ıch teoretickyćh i experimenta´lnıćh znalostı´. Vy´voj fyziky a jejı´ uprˇesneˇnı´ zpu˚sobila zejmeńa teorie relativity na zacˇa´tku XX. stoletı´. Dnes pevneˇ veˇrˇ´ıme, zˇe absolutnı´ pohyb nelze proka´zat zˇa´dny´mi fyzika´lnı´mi prostrˇedky, dokonce i de´lka tycˇe za´visı´ na jejı´m pohybu (zkracuje se) a da´le vı´me, zˇe kazˇdy´ inercia´lnı´ syste´m ma´ svu˚j vlastnı´ cˇas (pohybem se hodiny zpomalujı´), neplatı´ tedy ani hypote´za absolutnı´ho cˇasu. Ani hmotnost nezu˚sta´va´ konstantnı´ (pohybem se hmotnost zveˇtsˇuje) a nakonec ani Galileiho transformace nezu˚sta´va´ 101


Obra´zek 3.8: Za´vislost relativisticke´ korekce γ na rychlosti v (v jednotkaćh rychlosti sveˇtla c) v platnosti (nutno nahradit obecneˇjsˇ´ı Lorentzovou transformacı´).

Ukazuje se vsˇak, zˇe skoro vsˇechny „opravy“ klasickyćh velicˇin jsou dańy faktorem γ=r

1 v2 1− 2 c

,

(3.93)

. kde v je charakteristicka´ rychlost syste´mu a c = 300 000 km · s−1 je rychlost sveˇtla. Ze zna´zorneˇnı´ te´to funkce vidı´me, zˇe odchylka od hodnoty 1 („klasicka´ mechanika“) je podstatna´ azˇ pro pomeˇrneˇ velke´ rychlosti v. Naprˇ. pro rychlost v = 1 000 000 km·hod−1 = 278 km·s−1 je γ = 1+0, 5×10−6. A naopak, aby se γ lisˇilo o vıć nezˇ 0, 01% od jednicˇky, musı´ by´t v > 4 250 km · s−1 = 15 300 000 km · hod−1 . Vidı´me, zˇe pro vsˇechny beˇzˇne´ rychlosti v „makrosveˇteˇ“ platı´ Newtonova klasicka´ mechanika te´meˇˇr u´plneˇ prˇesneˇ.

102

Kapitola 4 Mechanika kontinua 4.1 Tenzor deformace Azˇ dosud jsme uvazˇovali tuhe´ teˇleso: vzda´lenost mezi libovolny´mi dveˇma body byla naprosto nemeˇnna´. Tato idealizace slouzˇ´ı jako nulte´ prˇiblı´zˇenı´ k teˇlesu, ktere´ je schopno se deformovat. Budeme se zaby´vat prvnı´m prˇiblı´zˇenı´m, kdy deformace jsou tak male´, zˇe se stacˇ´ı omezit na linea´rnı´ vztahy v deformacıćh. Mluvı´me pak o mechanice kontinua malyćh deformacı´ . Prˇedstavme si zkoumane´ teˇleso, vybereme si libovolny´ vnitrˇnı´ bod a jeho male´ okolı´ v nedeformovane´m stavu.

Obra´zek 4.1: Deformace teˇlesa spolu s jeho posunutı´m Pocˇa´tek O zvolı´me ve zkoumane´m bodeˇ a libovolny´ bod M, jehozˇ okolı´ budeme zada´vat polohovy´m vektorem r . Ted’ proved’me obecnou deformaci teˇlesa, vsˇechny nove´ polohy oznacˇme cˇa´rkovaneˇ a budeme je bra´t od te´hozˇ pu˚vodnı´ho pocˇa´tku O. 103

KAPITOLA 4. MECHANIKA KONTINUA

Za´kladnı´ vektor charakterizujıćı´ obecnou zmeˇnu je vektor posunutı´

s (r )

def

=

r′ − r ,

(4.1)

ktery´ ovsˇem za´visı´ na vektoru r : kazˇdy´ bod se obecneˇ posune jinak. Nesmı´me ovsˇem zapomenout, zˇe ve vektoru s je obsazˇena nejen deformace okolı´ (o kterou se ted’ zajı´ma´me), ale i posunutı´ a otocˇenı´ okolı´ jako tuhe´ho teˇlesa (podle Eulerovy veˇty, viz kapitola 2.2), ktere´ na´s ted’ nezajı´ma´. Pisˇme tedy

neboli

s (r ) = s (0) + r · ∇s (0) + o (r2) ,

(4.2)

< < 1 1 s (r ) = s0 + r · 2 ∇s0 − s ∇(0) + r · 2 ∇s0 + s ∇(0) + o(r2) ,

(4.3)

< < 1 1 1 r · ∇s − r · s ∇ = r × (s × ∇) = (∇ × s ) × r . 2 2 2

(4.4)

s (r ) = s0 + dϕ0 × r + r · E + o (r2) ,

(4.5)

kde jsme tenzor ∇s rozdeˇlili na cˇa´st antisymetrickou a symetrickou. Druhy´ cˇlen se da´ psa´t takto:

Celkem tedy ma´me, oznacˇ´ıme-li symetrickou cˇa´st tenzoru ∇s jako E,

kde jsme polozˇili def

dϕ0 =

1 1 ∇ × s (0) ≡ rot s0 . 2 2

Uveˇdomı´me-li si, zˇe index nula znamena´ spolecˇnou hodnotu pro vsˇechny body okolı´, vidı´me, zˇe prvnı´ dva cˇleny v (4.5) odpovı´dajı´ posunutı´ a otocˇenı´ okolı´ jako tuhe´ho teˇlesa (srovnej (2.4)). Omezı´me-li se na linea´rnı´ (tj. male´) zmeˇny, zanedba´me i cˇlen o (r 2) a cˇistou deformaci na´m tedy popisuje jediny´ cˇlen

s =r ·E ≡E ·r

(nebot’E je symetricky´ tenzor.)

(4.6)

Proto nazy´va´me tenzor E tenzorem deformace def

E =

< 1 (∇s + s ∇) 2

(4.7)

a ma´me

r′ = r + E · r ,

(4.8)

kde jizˇ neuvazˇujeme posunutı´ a otocˇenı´ teˇlesa odpovı´dajıćı´ prˇ´ıpadu, kdybychom jej povazˇovali za tuhe´. 104

4.1. Tenzor deformace

Z (4.6) a (4.8) plyne jednoducha´ obecna´ interpretace tenzoru deformace: „je to opera´tor, ktery´ na´m kazˇde´ poloze prˇed deformacı´ prˇirˇadı´ prˇ´ıslusˇne´ posunutı´“. V pravou´hlyćh sourˇadnicıćh mu˚zˇeme psa´t 

 ε11 ε12 ε13   E =  ε21 ε22 ε23  ≡ ε31 ε32 ε33



   ≡   

∂sy ∂sx + ∂x ∂y ∂sy 1 ∂sx ∂sy + 2 ∂y ∂x ∂y 1 ∂sx ∂sz 1 ∂sy ∂sz + + 2 ∂z ∂x 2 ∂z ∂y ∂sx ∂x

1 2

1 ∂sz + 2 ∂x 1 ∂sz + 2 ∂y ∂sz ∂z

∂sx ∂z ∂sy ∂z



    . (4.9)   

Abychom si udeˇlali na´zornou prˇedstavu o fyzika´lnı´m vy´znamu slozˇek tohoto tenzoru, zvolme si libovolny´ pevny´ smeˇr r0 a ptejme se na relativnı´ zmeˇnu de´lky v tomto smeˇru ∆r r′ − r = . r r

(4.10)

Ma´me r′ = r

r

r′ 2 = r2

r

r ′ · r ′ = 1 p(r + r · E) · (r + E · r ) =

r2 r 1p 1p 2 = r · r + 2r · E · r + o(ε2 ) = r + 2r · E · r + o(ε2 ) = r r p p = 1 + 2r0 · E · r0 + o(ε2 ) = 1 + 2εrr + o(ε2 ) ∼ = 1 + εrr , (4.11)

kde ∼ znamena´ linea´rnı´ prˇiblı´zˇenı´ (male´ deformace) a εrr = r0 · E · r0 je slozˇka tenzoru dvakra´t do smeˇru r . Celkem tedy ∆r , (4.12) εrr = r slovy: „slozˇka tenzoru deformace se dveˇma stejny´mi indexy uda´va´ relativnı´ zmeˇnu de´lky do dane´ho smeˇru“. Abychom dostali fyzika´lnı´ vy´znam slozˇek s dveˇma ru˚zny´mi indexy, zkoumejme deformaci jednotkove´ho cˇtverce v rovineˇ dane´ dveˇma kolmy´mi smeˇry ea , eb . Oznacˇ´ıme-li zmeˇny prave´ho u´hlu 2γab (deformace musı´ by´t symetricke´) ma´me

ea · eb

′

= ea · (eb + E · eb ) = ea · eb + ea · E · eb = εab .

Z druhe´ strany

ea · eb

′

= 1 · 1 · cos

π 2

− γab = sin γab ∼ = γab 105

(male´ deformace).


Obra´zek 4.2: Deformace jednotkove´ho cˇtverce v rovineˇ A tedy εab = γab ,

(4.13)

slovy: „slozˇky tenzoru deformace s nestejny´mi indexy jsou rovny polovineˇ zmeˇny prave´ho u´hlu v rovineˇ dane´ obeˇma indexy“. V karte´zskyćh sourˇadnicıćh tedy mu˚zˇeme psa´t   ∆x γ γ xy xz x   E =  γxy ∆y (4.14) γyz  y γxz γyz

∆z z

Du˚lezˇita´ velicˇina je stopa tenzoru, kterou definujeme jako soucˇet diagona´lnıćh prvku˚ def

Sp T = T11 + T22 + T33 .

(4.15)

Z (4.9) vidı´me, zˇe

∂sx ∂sy ∂sz + + = div s = ∇ · s , (4.16) ∂x ∂y ∂z cozˇ, jako skala´rnı´ soucˇin, je velicˇina invariantnı´ (neza´visla´ na zvolenyćh sourˇadnicıćh). To ostatneˇ platı´ pro libovolny´ tenzor. def

Sp E =

Tento invariant ma´ take´ fyzika´lnı´ vy´znam. Zkoumejme relativnı´ zmeˇnu objemu okolı´ ∆V x′ y ′z ′ − xyz (x + ∆x)(y + ∆y)(z + ∆z) − xyz ∼ = = = V xyz xyz ∆x ∆y ∆z ∼ + + = εxx + εyy + εzz = Sp E = div s . (4.17) = x y z Slovy: „stopa tenzoru deformace se rovna´ relativnı´ zmeˇneˇ objemu prˇi dane´ deformaci“. 106

4.2. Tenzor napeˇtı´. Podmıńky rovnova´hy

Pro u´plnost se jesˇteˇ zminˇme o tom, zˇe mezi druhy´mi derivacemi slozˇek tenzoru deformace musı´ vzˇdy platit tzv. rovnice kompatibility. Dostaneme je tı´m, zˇe definici (4.7) vyna´sobı´me vektoroveˇ zleva opera´torem ∇ < < 1 1 ∇ × E = (∇ × ∇s + ∇ × s ∇) = ∇ × s ∇ , 2 2 nebot’rot grad ≡ 0. Provedeme-li tote´zˇ zleva, je <

∇ × E × ∇= 0

rovnice kompatibility.

(4.18)

Udeˇla´me-li i, j-tou slozˇku tohoto tenzoru, ma´me v karte´zskyćh sourˇadnicıćh εirs εjkl

∂ 2 εsk =0 ∂xr ∂xl

(6 rovnic).

(4.19)

Za´veˇrem prˇipomıńa´me, zˇe vzhledem k tomu, zˇe E je symetricky´ tenzor, vzˇdy existuje pra´veˇ jeden pravou´hly´ syste´m, rˇ´ıka´me mu hlavnı´ , ve ktere´m tenzor deformace ma´ diagona´lnı´ tvar 

 εI 0 0   E =  0 εII 0  0 0 εIII

(4.20)

εI , εII a εIII jsou hlavnı´ hodnoty tenzoru deformace (srovnej viz kapitola 2.6).

4.2 Tenzor napeˇtı´. Podmıńky rovnova´hy Ted’ zkoumejme silove´ pomeˇry. Sı´ly si rozdeˇlı´me na dveˇ kategorie: a) Sı´ly objemove´ dF = f (r ) dV ,

dF f (r ) = dV

(4.21)

prˇedstavuje objemovou hustotu sil. Sem patrˇ´ı naprˇ. sı´la gravitacˇnı´, elektricka´ apod. dG = g γ(r ) dV , b) Sı´ly povrchove´ dK = k (r dS , ν

ν

dE =

1 ρ(r ) dV 4πε r2

k (r = ddSK ; ν

ν

r0 .

(4.22)

dS = ν dS ,

(4.23)

kde r ∈ S a ν je jednotkova´ vneˇjsˇ´ı norma´la k uzavrˇene´ plosˇe. Sem patrˇ´ı naprˇ. tlak p =

def

107

dF . dS


Obra´zek 4.3: Silove´ pu˚sobenı´ v bodeˇ uvnitrˇ teˇlesa Prˇedstavme si teˇleso v rovnova´ze pod vlivem objemovyćh a povrchovyćh prˇilozˇenyćh sil. Vybereme si libovolny´ bod uvnitrˇ teˇlesa a popisˇme silove´ pomeˇry v jeho okolı´. Abychom to mohli udeˇlat, mysleme si, zˇe vedeme dany´m bodem libovolnou rovinu o vneˇjsˇ´ı norma´le ν. Podle principu uvolneˇnı´ (viz kapitola 2.10) musı´me oddeˇlenou cˇa´st nahradit ekvivalentnı´ silou, ktera´ v dane´m prˇ´ıpadeˇ je zrˇejmeˇ povrchova´ na element dS kolem zvolene´ho bodu. dK = k (r ) dS . ν

ν

(4.24)

Pta´me se, jak souvisı´ element dK a element dS = ν dS. Musı´me splnit na´sledujıćı´ pozˇadavky: ν

a) souvislost musı´ by´t linea´rnı´ (zveˇtsˇ´ıme-li n-kra´t velikost plosˇne´ho elementu, musı´ se take´ n-kra´t zveˇtsˇit na neˇj pu˚sobıćı´ elementa´rnı´ sı´la); b) smeˇr dK a ν nenı´ obecneˇ stejny´, nebot’ν volı´me libovolneˇ, smeˇr dK je dań fyzika´lnı´mi pomeˇry v okolı´ bodu; c) musı´me spra´vneˇ reprodukovat vektorovy´ charakter jak dK tak dS . Jediny´ vztah, ktery´ splnˇuje vsˇechny trˇi pozˇadavky je dK = σ · dS , ν

dS = ν dS ,

(4.25)

kde σ je tenzor 2. rˇa´du. Touto rovnicı´ je definovań a rˇ´ıka´me mu tenzor napeˇtı´ v dane´m bodeˇ. Mu˚zˇeme da´le psa´t, deˇlı´me-li obeˇ strany dS ν k =σ·ν. (4.26) 108

4.2. Tenzor napeˇtı´. Podmıńky rovnova´hy

Abychom dostali obecneˇ fyzika´lnı´ interpretaci slozˇek tenzoru napeˇtı´, zvolme zkoumany´m bodem dalsˇ´ı libovolny´ smeˇr e a na´sobme jı´m rovnici (4.26) zleva skala´rneˇ σeν ≡ e · σ · ν = e · k = ke , ν

ν

(4.27)

slovy: „velikost slozˇky tenzoru napeˇtı´ uda´va´ hustotu povrchove´ sı´ly na plochu danou druhy´m indexem do smeˇru dane´ho prvnı´m indexem“ (viz Obr. 4.4). Budeme-li vztahovat tenzor ke karte´zske´mu syste´mu, ma´me   σxx σxy σxz   σ =  σyx σyy σyz  , { x, y, z} ≡ { 1, 2, 3} . σzx σzy σzz

(4.28)

a interpretace je tedy na´sledujıćı´:

σii diagona´lnı´ slozˇky: norma´love´ napeˇtı´ na plochu o norma´le ve smeˇru i. σji nediagona´lnı´ slozˇky: tecˇne´ napeˇtı´ do smeˇru j na plosˇe o norma´le do smeˇru i.

Obra´zek 4.4: Norma´love´ a tecˇne´ slozˇky tenzoru napeˇtı´ Pozna´mka: Nutno si uveˇdomit, zˇe tenzor napeˇtı´ je definovań jen uvnitrˇ teˇlesa (tj. spojita´ zmeˇna vlastnostı´ la´tky). Pokud ma´me splnit podmıńku na povrch teˇlesa (tj. mı´sto se skokovou zmeˇnou 109

KAPITOLA 4. MECHANIKA KONTINUA vlastnostı´ la´tky) musı´me definovat σ teˇsneˇ u povrchu teˇlesa uvnitrˇ a limitovat posle´ze k povrchu. Jen tak majı´ hranicˇnı´ podmıńky jasny´ smysl. Ted’ zkoumejme podmıńky rovnova´hy elementu objemu dV teˇlesa v rovnova´ze, pod vlivem objemovyćh a vneˇjsˇ´ıch povrchovyćh sil. V kazˇde´m bodeˇ povrchu ∂ dV ma´me tedy definovań tenzor σ a ma´me tedy dveˇ podmıńky rovnova´hy (viz prˇ´ıklad 3.4, rovnice (3.17), (3.18)) I X F = 0 : f dV + σ · dS = 0 , (4.29) ∂ dV

X

M=0

:

r ×f

dV +

I

r × σ · dS = 0 .

(4.30)

∂ dV

Prvnı´ rovnici pouzˇitı´m zobecneˇne´ Gaussovy veˇty v opera´torove´m tvaru I Z dS · = dV ∇· V

∂V

na tenzor σ prˇevedeme na tvar

f

(4.31)

dV + ∇ · σ e dV = 0 .

(4.32)

e, kde σ e je transponovany´ tenzor. Vzhledem k tomu, zˇe element Pouzˇili jsme vlastnost σ · dS = dS · σ dV je libovolny´, nenulovy´, nekonecˇneˇ maly´ (diferencia´l), platı´ v dane´m bodeˇ

f

Prˇi u´praveˇ rovnice (4.30) pouzˇijeme vztah

a zobecneˇnı´ Gaussovy veˇty (4.31)

r × σ · dS = − dS · σe × r

r ×f Odtud

+∇·σ e = 0.

(4.33)

(4.34)

dV − ∇ · (e σ × r ) dV = 0 .

r ×f

− ∇ · (e σ × r) = 0 .

(4.35)

Provedeme-li derivaci soucˇinu v druhe´m cˇlenu (index c znacˇ´ı, zˇe tento cˇinitel nederivujeme)

r ×f

−∇·σ e × rc − ∇ · σ ec × r = 0 .

Dosadı´me-li z (4.33) vidı´me, zˇe prvnı´ dva cˇleny se vyrusˇ´ı a ma´me ∇·σ ec × r = 0 . 110

(4.36)

4.3. Hooku˚v za´kon Tuto invariantnı´ rovnici prˇepisˇme do vhodnyćh sourˇadnic, naprˇ. pravou´hlyćh (pocˇ´ıta´me i-tou slozˇku scˇ´ıta´me prˇes dva stejne´ indexy) ∂ (c) σ e εijk xk = 0 ∂xr rj

neboli

σ erj εijk

∂xk =σ erj εijk δkr = σ erj εijr = 0 . ∂xr

Vı´me, zˇe tenzor εijr je antisymetricky´ v scˇ´ıtacıćh indexech j, r. Z toho plyne, zˇe σ erj musı´ by´t symetricky´ v r, j tj. σ e = σ.

Prˇehledneˇjsˇ´ı invariantnı´ du˚kaz probı´ha´ takto: oddeˇlme si smeˇry u tenzoru σ a pisˇme σc = rovnici (4.36) upravı´me takto

(4.37)

ab. Pak

∇ · ab × r = −a · ∇r × b = −a · I × b = −a × b = 0 . Z toho plyne: a k b , oba smeˇry tenzoru σ jsou stejne´ a je tedy symetricky´. Momentova´ podmıńka rovnova´hy tedy da´va´, zˇe tenzor napeˇtı´ je tenzor symetricky´ a podmıńku (4.33) pı´sˇeme ve tvaru div σ + f = 0 ,

(4.38)

cozˇ je tedy podmıńka rovnova´hy kontinua. Prˇipomenˇme, zˇe ze symetricˇnosti σ plyne opeˇt, zˇe existuje pra´veˇ jeden hlavnı´ syste´m v dane´m bodeˇ takovy´, zˇe   σI 0 0   σ =  0 σII 0  , (4.39) 0 0 σIII

kde σI , σII , σIII jsou hlavnı´ hodnoty σ. Fyzika´lneˇ to znamena´, zˇe v kazˇde´m bodeˇ teˇlesa existuje takova´ orientace, zˇe nama´hańı´ jsou cˇisteˇ norma´lova´. To je du˚lezˇite´ pro konstrukce, nebot’veˇtsˇina matera´lu˚ je ma´lo odolna´ proti tecˇne´mu nama´hańı´ (smyk, strˇih, krut).

4.3 Hooku˚v za´kon Ted’ budeme vysˇetrˇovat souvislost mezi nama´hańı´m a deformacı´. Jelikozˇ se zajı´ma´me jen o male´ deformace, prˇipousˇtı´me jen pomeˇrneˇ male´ nama´hańı´ a mu˚zˇeme v nasˇem prˇiblı´zˇenı´ prˇedpokla´dat cˇisteˇ linea´rnı´ za´vislost (nulove´mu nama´hańı´ odpovı´da´ nulova´ deformace a naopak). Neˇkdy la´tka´m, ktere´ splnˇujı´ tuto podmıńku rˇ´ıka´me (mechanicky) linea´rnı´. 111


Matematicky vyja´drˇeno (opeˇt scˇ´ıta´me prˇes stejne´ indexy) σij = Cijkl εkl ⇐⇒ εkl = Sklij σij .

(4.40)

Tomuto vztahu rˇ´ıka´me zobecneˇny´ Hooku˚v za´kon. Tenzor Cijkl je cˇtvrte´ho rˇa´du v trˇ´ırozmeˇrne´m prostoru (i, j, k ∈ {1, 2, 3}). Obecneˇ tedy ma´ 34 = 81 slozˇek. Vzhledem k symetrii obou tenzoru˚ druhe´ho ˇra´du (kazˇdy´ ma´ jen 6 neza´vislyćh slozˇek) tenzor C jich tedy ma´ jen 62 = 36. Da´le si uka´zˇeme (viz (4.60)), zˇe tenzor C musı´ by´t symetricky´ jesˇteˇ vzhledem k za´meˇneˇ prvnı´ a druhe´ dvojice CAB = CBA

A, B ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} .

(4.41)

Jde tedy o symetricky´ tenzor v A, B, ktery´ ma´ jen 21 neza´vislyćh slozˇek. Dosˇli jsme tedy k za´veˇru, zˇe nejobecneˇjsˇ´ı la´tka (tj. nejmeńeˇ symetricka´) ma´ maxima´lneˇ 21 elastickyćh koeficientu˚ Cijkl . Se zvysˇujıćı´ se symetriı´ se jejich pocˇet zmensˇuje (kazˇda´ symetrie na´m da´va´ neˇjake´ vztahy mezi nimi). Krystalografie ukazuje na´sledujıćı´ pocˇet koeficientu˚ u jednotlivyćh krystalickyćh soustav: trojklonna´ 21, jednoklonna´ 13, kosocˇtverecˇna´ 9, cˇtverecˇna´ 7, klencova´ 7, sˇesterecˇna´ 5, kubicka´ 3. V dalsˇ´ım se omezı´me na nekrystalicke´ (amorfnı´) la´tky. Vyznacˇujı´ se tı´m, zˇe jsou izotropnı´ (v kazˇde´m smeˇru majı´ stejnou vlastnost) tj. jsou vlastneˇ nekonecˇneˇ symetricke´ a majı´ tudı´zˇ minima´lnı´ pocˇet elastickyćh koeficientu˚. Vybereme si bod uvnitrˇ amorfnı´ la´tky. Vı´me, zˇe tam musı´ existovat dva hlavnı´ syste´my, jeden pro σ a jeden pro E. Snadno uva´zˇ´ıme, zˇe k tomu, abychom neporusˇili izotropii („rovnopra´vnost“ vsˇech smeˇru˚) je naprosto nutne´, aby hlavnı´ smeˇry obou tenzoru˚ splynuly. Musı´ tedy platit podle Hookova za´kona naprˇ. σI = a εI + b εII + c εIII , avsˇak smeˇry II a III musı´ zase by´t „rovnopra´vne´“, tj. b = c, pak ma´me σI = a εI + b εII + b εIII ,

(4.42)

tı´m jsme doka´zali, zˇe amorfnı´ la´tka je charakterizovańa dveˇma elasticky´mi koeficienty (cozˇ je soucˇasneˇ minima´lnı´ pocˇet). Pokusme se rovnici (4.42) prˇepsat do takove´ho tvaru, aby prˇedstavovala slozˇku I neˇjake´ho vy´razu v hlavnı´m syste´mu. Pak na´sledkem tenzorove´ho charakteru nasˇich velicˇin, musı´ platit v libovolne´m syste´mu. Abychom do vy´razu (4.42) dostali stopu tenzoru E (cozˇ je invariant), upravı´me takto σ = a εI + b (εI + εII + εIII ) − b εI = (a − b) εI + b Sp E , ted’ uzˇ stacˇ´ı nahradit 1 = II u poslednı´ho cˇlenu. 112

4.3. Hooku˚v za´kon



 1 0 0   I= 0 1 0 , 0 0 1

je tenzor identity a ma´me

σI = (a − b) εI + b II Sp E ,

(4.43)

cozˇ je slozˇka I (spra´vneˇji: slozˇka II) jiste´ho vy´razu a proto obecneˇ σ = 2 κ E + λI Sp E

(Hooku˚v za´kon pro amorfnı´ la´tky),

(4.44)

kde jsme zavedli dva Lame´ho elasticke´ koeficinety κ a λ. Da´ se uka´zat, zˇe κ, λ > 0. Chceme-li naopak vyja´drˇit E pomocı´ σ, urcˇ´ıme nejprve z (4.44) Sp σ = 2 κ Sp E + 3 λ Sp E a odtud Sp E =

(Sp I = 3)

1 Sp σ ; 2κ+3λ

(4.45)

pak uzˇ snadno z (4.44) plyne E = 2 κ′ σ − λ′ I Sp σ , 1 λ 1 > 0, λ′ = > 0. kde jsme oznacˇili κ′ = 4κ 2κ 2κ+3λ

(4.46)

Prˇ´ıklad 4.1 Homogennı´ tycˇ de´lky l cˇtvercove´ho pru˚rˇezu b2 je zaveˇsˇena svisle a na sve´m konci zatı´zˇena svislou silou F . Napisˇte obecny´ Hooku˚v za´kon pro tento prˇ´ıpad (gravitaci zanedbejte). ˇ esˇenı´: Pro dany´ prˇ´ıpad definujeme relativnı´ prodlouzˇenı´ R ε=

∆l l

a napeˇtı´ σ=

F F = 2. S b

Elementa´rnı´ Hooku˚v za´kon pak znı´ σ = εE,

E > 0,

(4.47)

kde E je tzv. modul pruzˇnosti (v tahu). Da´le pro relativnı´ prˇ´ıcˇne´ zu´zˇenı´ ∆b/b deˇla´me hypote´zu ∆b ∆l = −µ , b l

µ > 0,

(4.48)

kde µ je Poissonova konstanta. Uka´zˇeme, zˇe takto formulovany´ proble´m souhlası´ s obecny´m Hookovy´m za´konem a zˇe E a µ lze jednoznacˇneˇ vyja´drˇit pomocı´ κ a λ. Tı´m za´rovenˇ doka´zˇeme platnost hypote´zy u zu´zˇenı´. 113


Obra´zek 4.5: Svisle zaveˇsˇena´ tycˇ cˇtvercove´ho pru˚rˇezu Nejprve si uveˇdomme, zˇe v nasˇem prˇ´ıpadeˇ svislice je jisteˇ hlavnı´ smeˇr (oznacˇme I), z (4.47) pak plyne (I)

εI =

1 σI , E

(4.49)

kde hornı´ index (I) ukazuje, zˇe se jedna´ o cˇa´stecˇne´ prodlouzˇenı´ pro prˇ´ıpad, kdy sı´la pu˚sobı´ jen ve smeˇru I. Da´le z (4.48) (I)

ε II

(I)

ε III

∆b ∆l µ = −µ = − σI , b l E µ = − σ II . E =

Bude-li sı´la ve smeˇru II, ma´me (II)

ε II =

1 σ II , E

(II)

εI

µ σ II , E

ε III = −

µ σ III , E

ε II

=−

(II)

µ σ II E

a konecˇneˇ prˇi za´teˇzˇi ve smeˇru III, ma´me (III)

ε III =

1 σ III , E

(III)

εI

=−

114

(III)

=−

µ σ III . E

4.4. Elasticka´ energie

Bude-li tedy obecna´ za´teˇzˇ superpozicı´, obdrzˇ´ıme (I)

(II)

(III)

εI + εI + εI

=

1 µ µ 1+µ µ σ I − σ II − σ III = σ I − (σ I + σ II + σ III ) . E E E E E

To ale uzˇ je rovnice ve smeˇru I (spra´vneˇji: ve smeˇru II) a tudı´zˇ obecneˇ E=

1+µ µ σ − I Sp σ . E E

(4.50)

Porovnańı´m s (4.46) vidı´me, zˇe jsme opravdu dostali obecny´ Hooku˚v za´kon a porovnańı´m koeficientu˚ dostaneme jednoznacˇne´ vztahy mezi µ, E a κ, λ 1 1+µ = , E 4κ

µ λ 1 = . E 2κ 2κ+3λ

(4.51)

Pro na´sˇ prˇ´ıpad si mu˚zˇeme odvodit hornı´ mez pro Poissonovu konstantu µ. Stabilita kazˇde´ la´tky vyzˇaduje, aby ∂V < 0. ∂p T Prˇi zvysˇujıćı´m se vneˇjsˇ´ım tlaku se objem musı´ zmensˇit. (To se da´ i exaktneˇ odvodit v termodynamice). Pro na´sˇ prˇ´ıpad to znamena´ ∆V < 0, ∆p

−

∆V > 0, ∆p

∆V > 0, σ

∆V = V ′ − V > 0 .

Dostaneme ∆V = (l + ∆l)(b + ∆b)2 − l b2 ∼ = b2 ∆l + 2 b l ∆b > 0 a da´le vydeˇlenı´m V ∆l ∆b +2 >0 l b a dosadı´me z (4.48) ∆l ∆l −2µ >0 l l

=⇒

µ<

1 . 2

(4.52)

1 Poissonova konstanta pro libovolnou amorfnı´ la´tku musı´ by´t mensˇ´ı nezˇ . 2

4.4 Elasticka´ energie Prˇedpokla´dejme, zˇe elasticke´ teˇleso je v deformovane´m stavu, charakterizovane´m polem posunutı´ s (r ). Prˇi za´sahu sil se zmeˇnı´ na s (r ) + δ s . Prˇedpokla´dejme, zˇe se tak deˇje kvazistaticky´m zpu˚sobem tzn. 115


zˇe beˇhem cele´ho procesu zu˚sta´va´ teˇleso v rovnova´ze. Objemove´ a povrchove´ sı´ly prˇitom vykona´vajı´ praći, ktera´ se rovna´ prˇ´ıru˚stku hustoty elasticke´ potencia´lnı´ energie I δA = δu dV = f · δ s dV + dS · σ · δ s . (4.53) ∂ dV

Pouzˇitı´m zobecneˇne´ Gaussovy veˇty na druhy´ cˇlen, ma´me δA = δu dV = f · δ s dV + ∇ · (σ · δ s ) dV a da´le

δu dV = f · δ s dV + ∇ · σ · δ sc dV + ∇ · σc · δ s dV .

Jelikozˇ beˇhem cele´ho procesu je teˇleso v rovnova´ze, platı´ ∇ · σ = −f .

(4.54)

Prvnı´ a druhy´ cˇlen na prave´ straneˇ se vyrusˇ´ı a zu˚sta´va´ δu = ∇ · σc · δ s .

(4.55)

Ve slozˇkaćh δu =

XX i

k

XX XX ∂ ∂ σik δsk = σik (s′k − sk ) = σik ∂xi ∂x i i i k k

∂s′k ∂sk − ∂xi ∂xi

,

kde jsme stav po deformaci oznacˇili cˇa´rkou. Vzhledem k symetrii σik mu˚zˇeme psa´t naprˇ. XX XX ∂sk X X ∂si 1 XX ∂sk ∂si = σik = σik + = σik εik . σik ∂xi ∂xk 2 i ∂xi ∂xk i i i k

k

Tedy δu =

k

XX i

k

σik (ε′ik − εik ) =

k

XX i

σik δεik .

(4.56)

k

Zmeˇna hustoty elasticke´ potencia´lnı´ energie je dańa vy´razem δu = σ · ·δE ≡ Sp (σ · δE) = du ,

(4.57)

kde jsme vyznacˇili, zˇe se jedna´ o tota´lnı´ diferencia´l, nebot’elasticka´ energie jako soucˇa´st vnitrˇnı´ energie musı´ by´t (I. princip termodynamiky) stavova´ velicˇina. Odtud vsˇak ihned plyne u = u(εik ) ,

σik =

116

∂u . ∂εik

(4.58)

4.5. Dynamicka´ rovnice kontinua. Vlny v tuhyćh la´tkaćh Dosadı´me-li z obecne´ho Hookova za´kona za σik (4.40), je Cikrs εrs = Derivujeme podle εrs Cikrs =

∂u , ∂εik

(scˇ´ıta´me prˇes r, s !)

∂ 2u ∂ 2u = = Crsik . ∂εrs ∂sik ∂sik ∂εrs

(4.59)

(4.60)

Pouzˇili jsme za´meˇnnost druhyćh smı´sˇenyćh derivacı´. Integracı´ (4.57) za pouzˇitı´ (4.58) dostaneme pro hustotu elasticke´ energie 1 1 (4.61) u = E · · σ ≡ Sp (E · σ) . 2 2

4.5 Dynamicka´ rovnice kontinua. Vlny v tuhyćh la´tkaćh Od statistiky prˇejdeme k dynamice pouzˇitı´m D’Alembertova principu (viz kapitola 3.3), prˇida´me k rovnova´zˇny´m sila´m sı´ly setrvacˇne´. Pro jednotku objemu tedy ma´me

Dosadı´me-li za z = −ρ¨ s

div σ + f + z = 0 .

(4.62)

ρ¨ s = f + div σ .

(4.63)

Abychom dostali diferencia´lnı´ rovnici pro posunutı´ s , dosadı´me nejprve za σ z Hookova za´kona (4.44) div σ = 2 κ div E + λ ∇ · I Sp E .

(4.64)

Urcˇ´ıme div E = ∇ ·

< < 1 1 1 ∇s + s ∇ = ∇ · ∇ s + ∇ · s ∇ = 2 2 2

=

< < 1 1 1 1 ∆s + s · ∇ ∇ = ∆s + ∇∇ · s . 2 2 2 2

Dosadili jsme za div grad Laplaceu˚v opera´tor a vyuzˇili toho, zˇe ∇∇ je symetricky´ tenzor. Druhy´ cˇlen v (4.64) da´va´ ∇ · I Sp E = ∇∇ · s , nebot’Sp E = div s (viz (4.16)) a tedy dosazenı´m

ρ¨ s = f + κ ∆s + (κ + λ) grad div s . 117

(4.65)


Toto je tedy za´kladnı´ dynamicka´ rovnice elasticke´ho prostrˇedı´. Musı´me k nı´ ovsˇem prˇidat vhodne´ pocˇa´tecˇnı´ a hranicˇnı´ podmıńky a nesmı´me zapomenout ani na podmıńky kompatibility (4.18). Ukazˇme si zcela obecneˇ, zˇe rovnice (4.65) ma´ ˇresˇenı´ ve tvaru vln tj., zˇe existuje rˇesˇenı´ vyhovujıćı´ vlnove´ rovnici 1 ∂ 2u ∆u − 2 2 = 0 , (4.66) v ∂t kde v je trˇeba interpretovat jako (fa´zovou) rychlost sˇ´ırˇenı´. Prˇedpokla´dejme, zˇe pod vlivem vneˇjsˇ´ıch sil neza´visejıćıćh na cˇase se ustavı´ rovnova´zˇna´ hodnota posunutı´ s0 (r ). Vyhovuje rovnici 0 = f (r ) + κ ∆s0 (r ) + (κ + λ) grad div s0 (r ) .

(4.67)

Ted’ vyvolejme rozruch e s (r , t) a celkove´ posunutı´

(4.68)

vyhovuje rovnici (4.65). A vzhledem k (4.67) dostaneme pro e s

(4.69)

s (r , t) = s0 (r ) + es (r , t)

ρe s¨ = κ ∆es + (κ + λ) ∇∇ · es .

Zaved’me velicˇinu ξ = + div e s (relativnı´ zmeˇna objemu viz (4.17)). Na rovnici (4.69) proved’me operaci div ≡ ∇. s¨ = κ ∇ · (∇ · ∇)es + (κ + λ) ∇ · ∇∇ · es (4.70) ρ∇ · e tj.

neboli

ρ (∇ · e s )·· = κ (∇ · ∇) ∇ · es + (κ + λ)(∇ · ∇) ∇ · es ρ ξ¨ = (2 κ + λ) ∆ξ .

A to uzˇ je vlnova´ rovnice pro ξ. Jedna´ se o skala´rnı´ vlny zhusˇteˇnı´ a zrˇedeˇnı´ sˇ´ıˇr´ıcı´ se rychlostı´ v l s 2κ+λ vl = (vlna pode´lna´). (4.71) ρ Ted’ zaved’me ω = 12 rote s (vlastneˇ u´hel pootocˇenı´ viz (4.5)) a proved’me na (4.69) operaci rot ≡ ∇× ρ (∇ × e s )·· = κ ∇ × (∇ · ∇) es + (κ + λ)∇ × ∇∇ · es

dostaneme (∇ × ∇ ≡ 0)

¨ = κ ∆ω , ρω 118

(4.72)

4.5. Dynamicka´ rovnice kontinua. Vlny v tuhyćh la´tkaćh

cozˇ je vlnova´ rovnice pro ω. Jedna´ se o vektorove´ vlny sˇ´ırˇ´ıcı´ se rychlostı´ r κ vt = (vlna prˇ´ıcˇna´). ρ

(4.73)

Vidı´me tedy, zˇe v kazˇde´ la´tce kterou popisujeme tı´m, zˇe kazˇdy´ bod lokalizujeme pomocı´ posunutı´ s (a to cˇinı´me prˇedevsˇ´ım u tuhyćh elastickyćh la´tek – Lagrangeu˚v popis), vzˇdy existujı´ dveˇ vlny: prˇ´ıcˇna´ a pode´lna´ a platı´ vt < vl , kde rychlosti sˇ´ırˇenı´ jsou dańy vzorci (4.71) a (4.73). Prˇ´ıklad 4.2 Odvod’te a rˇesˇte rovnici pro prˇ´ıcˇne´ kmity struny. ˇ esˇenı´: Prˇedpokla´dejme, zˇe struna de´lky l z homogennı´ho materia´lu o de´lkove´ hustoteˇ ρ je pevneˇ R uchycena na koncıćh pod osovy´m tahem τ , jehozˇ velikost pokla´da´me za konstantnı´.

Obra´zek 4.6: Prˇ´ıcˇne´ kmity struny Bude-li prˇ´ıcˇneˇ velmi ma´lo vychy´lena, platı´ pro vyćhylku u = u(x, t), x ∈ [0, l] ∂u = tg α ≪ 1 , ∂x

(4.74)

kde vy´znam u´hlu α je patrny´ z Obr. 4.6. Pro rovnova´hu elementu strany de´lky ds dostaneme sı´lu ve vodorovne´m smeˇru τ cos α2 − τ cos α1 ∼ =0 a ve svisle´m smeˇru τ sin α2 − τ sin α1 = τ (tg α2 − tg α1 ) = τ 119

"

∂u ∂x

2

−

∂u ∂x

# 1

.


Prˇida´me-li setrvacˇne´ sı´ly elementu ma´me pohybovou rovnici " # ∂u ∂u ∂2u τ − − ρ ds 2 = 0 . ∂x 2 ∂x 1 ∂t Uva´zˇ´ıme-li, zˇe ds = dostaneme 1 dx a v limiteˇ ds = dx → 0

√

dx2

"

∂u ∂x

+

du2

x+ dx

s

= dx 1 +

−

∂u ∂x

# x

2

∂u ∂x

−

ρ ∂2u =0 τ ∂t2

(4.75)

∼ = dx ,

1 ∂2u ∂2u − = 0, ∂x2 v 2 ∂t2

(4.76)

r

(4.77)

kde jsme oznacˇili v=

τ . ρ

Obdrzˇeli jsme jednorozmeˇrnou vlnovou rovnici (viz (4.66)). Jejı´ rˇesˇenı´ prˇi hranicˇnıćh podmıńkaćh x = 0 : u(0, t) = 0 ,

x = l : u(l, t) = 0

budeme hledat ve tvaru u(x, t) = X(x)T (t) .

(4.78)

1 d2 T 1 d2 X = = −λ2 , X dx2 T v 2 dt2

(4.79)

Dosazenı´m do (4.76) a separacı´

kde −λ2 musı´ by´t konstanta. (Ponecha´va´me na cˇtena´rˇi, aby si oveˇrˇil, zˇe pouze prˇi za´porne´ hodnoteˇ konstanty oznacˇene´ −λ2 lze splnit okrajove´ podmıńky.) Dosta´va´me tak dveˇ rovnice T ′′ + λ2 c2 T = 0 X ′′ + λ2 X = 0.

(4.80)

Obecne´ rˇesˇenı´ je dańo vy´razy T = A cos λvt + B sin λvt ,

X = C cos λx + D sin λX

Okrajove´ podmıńky da´vajı´ 0=C,

0 = D sin λl . 120

(4.81)

4.6. Vlastnosti a popis tekutin. Rovnice kontinuity

Odtud plyne λl = kπ

k = 1, 2, . . .

a tedy λk =

π k. l

Cˇasovy´ pru˚beˇh je tedy dań funkcemi Tk = Ak sin

vπ kt l

a obecne´ rˇesˇenı´ ∞ X π π u(x, t) = Ck cos k + Dk sin k sin ωk t , l l

(4.82)

k=0

kde

ωk =

vπ k l

k = 1, 2, . . .

jsou vlastnı´ frekvence kmitu˚ struny. Koeficienty {Ck , Dk } by se urcˇily z pocˇa´tecˇnı´ podmıńky: t = 0 , u(x, t) = f (x), kde f (x) je tvar struny v pocˇa´tecˇnı´m okamzˇiku.

4.6 Vlastnosti a popis tekutin. Rovnice kontinuity Elasticke´ la´tky deˇlı´me do dvou velkyćh skupin: a) La´tky pevne´. Vyznacˇujı´ se tı´m, zˇe jednotlive´ cˇa´sti (body) se mohou prˇi deformaci vzda´lit jen ma´lo ve vsˇech smeˇrech od klidove´ polohy. kladou odpor ve vsˇech smeˇrech (tj. tecˇne´m i norma´love´m) srovnatelny´, cozˇ se projevuje v tom, zˇe vsˇechny slozˇky tenzoru napeˇtı´ (viz fyzika´lnı´ interpretace kapitola 4.2) jsou rˇa´doveˇ stejneˇ velke´. Tyto la´tky se nejvhodneˇji popisujı´ tak, jak jsme to azˇ dosud deˇlali (Lagrangeu˚v popis): pomocı´ polohove´ho vektoru r a posunutı´ s (r ) kazˇde´ho elementu. Tı´m ma´me te´zˇ zarucˇen za´kon zachovańı´ hmotnosti, nebot’kazˇdy´ element se neusta´le popisuje zcela jednoznacˇnou polohou (r resp. s (r )). b) La´tky, ktery´m rˇ´ıka´me tekutiny. Lisˇ´ı se od pevne´ kategorie tı´m, zˇe kladou maly´ odpor vu˚cˇi tecˇny´m posunutı´m a v norma´love´m smeˇru reagujı´ na stlacˇovańı´ (prˇi tahu se „trhajı´“). Znamena´ to, zˇe nediagona´lnı´ slozˇky tenzoru napeˇtı´ jsou o neˇkolik rˇa´du˚ mensˇ´ı nezˇ slozˇky diagona´lnı´ a tyto pak charakterizujeme tlakem σii = −pii , pii > 0 . Tekutiny pak da´le mu˚zˇeme deˇlit na dveˇ skupiny podle sı´ly interakce mezi molekulami na kapaliny, ktere´ zaujı´majı´, za prˇ´ıtomnosti gravitace, 121


libovolny´ tvar dle hranice (na´doby) a plyny, ktere´ dokonce zaujı´majı´ libovolny´ prostor (objem), ktery´ majı´ k dispozici. Navıć veˇtsˇinu kapalin mu˚zˇeme povazˇovat za nestlacˇitelne´. Tyto vlastnosti tekutin („tekutost“) zpu˚sobujı´, zˇe popis pomocı´ polohove´ho vektoru jednotlivyćh cˇa´stic je nevhodny´. Zava´dı´ se proto jiny´ zpu˚sob (Euleru˚v popis): zavedeme pevny´ sourˇadny´ syste´m („mrˇ´ızˇ“) a fyzika´lnı´ vlastnosti tekutiny popisujeme pomocı´ pole, tj. dana´ vlastnost f (r , t) je vlastnost te´ cˇa´stice, ktera´ se pra´veˇ nacha´zı´ v bodeˇ r v cˇase t v pevne´m bodeˇ syste´mu („mrˇ´ızˇe“). Hlavneˇ na´s zajı´majı´ tato pole: rychlostnı´ pole v (r , t) , pole hustoty ρ (r , t) , tlakove´ pole p (r , t) . Tento popis ma´ za na´sledek zˇe musı´me rozlisˇovat ru˚zne´ zmeˇny v cˇase. Napı´sˇeme-li obecny´ vztah pro tota´lnı´ derivaci ∂F dF ∂F dr ∂F = + ∇F · = + ∇F · v = + v · ∇F dt ∂t dt ∂t ∂t vidı´me, zˇe pro na´sˇ popis odtud plyne, zˇe opera´tor d ∂ = + v (r , t) · ∇ dt ∂t

(4.83)

pro celkovou cˇasovou zmeˇnu se skla´da´ ze dvou cˇa´stı´: a) loka´lnı´ zmeˇny v dane´m mı´steˇ danou explicitnı´ cˇasovou za´vislostı´. b) prˇenosove´ zmeˇny dane´ rychlostnı´m polem a gradientem (spa´dem) dane´ velicˇiny ve zkoumane´m bodeˇ. Pozna´mka: Mu˚zˇe se sta´t, zˇe dostaneme nenulovou cˇasovou zmeˇnu i kdyzˇ „nic na cˇase neza´visı´“. Naprˇ. uvazˇujme hustotu neza´vislou na cˇase ρ(r ) a rychlostnı´ pole neza´visle´ na cˇase v (r ) (tzv. staciona´rnı´ prˇ´ıpad viz da´le). Pro celkovou cˇasovou zmeˇnu obdrzˇ´ıme dle (4.83) dρ(r ) ∂ρ(r ) = + v (r ) · ∇ρ(r ) = v (r ) · ∇ρ(r ) 6= 0 . dt ∂t Je to dańo tı´m, zˇe pozorujeme v pevne´m bodeˇ mrˇ´ızˇe. I kdyzˇ loka´lneˇ se hustota nemeˇnı´, nebot’neza´visı´ na cˇase, celkova´ zmeˇna je dańa proudeˇnı´m nenulovou rychlostı´ v bodeˇ s nenulovy´m gradientem. Da´le si musı´me uveˇdomit, zˇe v Euleroveˇ popisu, jelikozˇ nesledujeme jednotlive´ hmotne´ elementy, musı´me zvla´sˇt’postulovat za´kon zachovańı´ hmotnosti. Zvolme si pevny´ objem V v nasˇem poli, oznacˇme celkovou hmotnost uvnitrˇ V v dane´m okamzˇiku M a celkovy´ tok povrchem za jednotku cˇasu I (kladneˇ 122

4.7. Navier-Stokesovy rovnice. Eulerovy rovnice volı´me vneˇjsˇ´ı norma´lu tudı´zˇ I > 0 znamena´ vy´tok, I < 0 vtok). Jelikozˇ hmotnost nemu˚zˇeme ani vzniknout ani zaniknout musı´ platit dM = −I , (4.84) dt („to co naroste uvnitrˇ musı´ vteći z okolı´“). H R H Dosadı´me-li M = ρ dV , I = j · dS = ρv · dS , kde

j = ρv

dostaneme

d dt

Z

ρ dV +

V

I

je hustota toku hmotnosti,

ρv · dS =

Z

∂ρ + div ρv ∂t

V

∂V

(4.85)

dV = 0 .

Pouzˇili jsme Gaussovy veˇty. Jelikozˇ tato rovnice musı´ platit pro libovolny´ objem je ∂ρ + div ρv = 0 . ∂t

(4.86)

Te´to rovnici rˇ´ıka´me rovnice kontinuity a fyzika´lneˇ na´m vyjadrˇuje za´kon zachovańı´ hmotnosti. Vidı´me, zˇe pole rychlosti a pole hustoty si nemu˚zˇeme zadat libovolneˇ, ale musı´ splnˇovat neusta´le vztah (4.86), jinak by dosˇlo k porusˇenı´ za´konu zachovańı´ hmotnosti. Fyzika´lneˇ je to jasne´, nebot’ nasˇim „polnı´m“ popisem ztraćı´me „kontrolu“ nad jednotlivy´mi cˇa´stmi la´tky a jejich zachovańı´ tedy musı´me zvla´sˇt’ postulovat. Pouzˇitı´m vztahu div ρv = v · ∇ρ + ρ div v a (4.83) dρ ∂ρ = + v · ∇ρ dt ∂t mu˚zˇeme rovnici kontinuity da´t tvar dρ + ρ div v = 0 . dt

4.7 Navier-Stokesovy rovnice. Eulerovy rovnice Jelikozˇ na´s u tekutin nezajı´majı´ posunutı´, ale rychlosti zavedeme do tenzoru deformace < 1 ∇s + s ∇ 2

posunutı´ za jednotku cˇasu δ s = v δt a dostaneme

< 1 ∇v + v ∇ δt 2

123

(4.87)


a za tenzor deformace (spra´vneˇji rychlosti deformace) budeme povazˇovat tenzor < 1 E(v ) = ∇v + v ∇ . 2

(4.88)

Tenzor napeˇtı´ σ(v ) pak dostaneme z Hookova za´kona (ten platı´ obecneˇ pro libovolnou amorfnı´ elastickou la´tku) (4.44) σ(v ) = 2 η E(v ) + (η ′ − 2 η) I Sp E(v ) , (4.89) kde jsme, jak je obvykle´ v mechanice tekutin, mı´sto Lame´ho koeficientu˚ λ a µ zavedli dva jine´ koeficienty η a η ′ , ktery´m rˇ´ıka´me viskozita a druha´ viskozita.

Tenzor napeˇtı´ σ(v ) je roven nule pro v = 0. Je vsˇak jasne´, zˇe tekutina v klidu ma´ te´zˇ jiste´ „silove´“ vlastnosti a ty budeme popisovat pomocı´ klidove´ho tenzoru deformace σ0 . Nenı´ ostatneˇ teˇzˇke´ si tento tenzor explicitneˇ odvodit pro libovolne´ tekutiny. Nediagona´lnı´ slozˇky musı´ vymizet, nebot’ pokud nebudou tecˇne´ slozˇky napeˇtı´ rovny nule nemu˚zˇe by´t tekutina v klidu. Obdobneˇ diagona´lnı´ slozˇky (za´porny´ tlak - viz kapitola 4.6) musı´ by´t stejne´, nebot’elipsoid tlaku musı´ by´t koule u izotropnı´ la´tky, ktera´ mu˚zˇe zaujmout libovolny´ tvar. Jinak la´tka nemu˚zˇe by´t v klidu. Odtud plyne     −p 0 0 1 0 0     σ0 =  0 −p (4.90) 0  = −p  0 1 0  = −p I . 0 0 −p 0 0 1 Vy´sledny´ tenzor napeˇtı´ pro tekutinu tedy je σ = σ0 + σ(v ) .

(4.91)

Pohybova´ rovnice jako obvykle plyne z podmıńky rovnova´hy a d’Alembertova principu (viz (4.63))

kde a =

−ρa + div σ + f = 0 ,

(4.92)

div σ0 = −∇ · p I = −∇p · I = −∇p ,

(4.93)

dv je celkove´ zrychlenı´. dt

Je a da´le

div σ(v ) = 2 η ∇ · E + (η ′ − 2 η) ∇ · I ∇ · v ,

kde jsme pouzˇili toho, zˇe Sp E = ∇ · v (viz (4.16), s → v ). Dosazenı´m za E z (4.88) div σ(v ) = η ∇ · ∇v + η ∇ · v ∇ + (η ′ − 2 η) ∇∇ · v . <

Druhy´ cˇlen na prave´ straneˇ upravı´me takto ∇ · v ∇ = v · ∇ ∇ = ∇∇ · v <

< <

124

4.7. Navier-Stokesovy rovnice. Eulerovy rovnice

a dostaneme tak pohybovou rovnici ve tvaru ρ

dv = f − ∇p + η ∆v + (η ′ − η) ∇∇ · v , dt def

Deˇlı´me-li celou rovnici ρ a zavedeme tzv. kinematicke´ vazkosti ν =

′ η def η , ν′ = a ma´me ρ ρ

1 dv 1 = f − ∇p + ν ∆v + (ν ′ − ν) ∇∇ · v , dt ρ ρ kde f ≡ fv je hustota sı´ly na jednotku objemu. Da´le definujme hmotnosti takto def dF = fV dV = fm dm . Odtud

fm =

Budeme-li tedy od te´to chvı´le pod cˇlen na prave´ straneˇ (4.94) jako f .

f

fm

(4.94)

jako hustotu sı´ly na jednotku

dV 1 1 f f f. V = V ≡ dm ρ ρ

(4.95)

rozumeˇt hustotu sı´ly na jednotku hmotnosti mu˚zˇeme psa´t prvnı´

Da´le zavedeme tzv. tlakovy´ potencia´l rovnicı´ def

Up = ma´me ∇Up = Celkem tedy

Z

dp , ρ(p)

dUp 1 ∇p = ∇p . dp ρ

dv ∂v ≡ + v · ∇v = f − ∇Up + ν ∆ v + (ν ′ − ν) grad div v . dt ∂t

(4.96)

(4.97)

(4.98)

Toto jsou Navier-Stokesovy dynamicke´ rovnice pro pohyb tekutiny. Spolu s rovnicı´ kontinuity (4.86) nebo (4.87) tvorˇ´ı 4 (skala´rnı´) rovnice pro 5 nezna´myćh v , p, ρ. Musı´me tedy dodat jesˇteˇ jednu rovnici. To je stavova´ rovnice charakterizujıćı´ danou tekutinu, ktera´ v obecne´m prˇ´ıpadeˇ ma´ tvar f (p, V, T ) = 0 .

(4.99)

V nasˇem prˇ´ıpadeˇ jde o deˇj izotermicky´ T = T0 (nebot’teplota se nikde explicitneˇ nevyskytuje), da´le, 1 jelikozˇ m = konst., je V ∼ a (4.99) da´va´ ρ ρ = ρ(p) . Tento vztah na´m za´rovenˇ dovoluje vypocˇ´ıtat tlakovy´ potencia´l (4.96). 125

(4.100)


Rovnici (4.98) je mozˇno na prave´ straneˇ pouzˇitı´m za´kladnı´ identity vektorove´ analy´zy rot rot A = grad div A − ∆A napsat ve tvaru

∂v dv ≡ + v · ∇v = f − ∇Up − ν rot rot v + ν ′ grad div v . dt ∂t

Dalsˇ´ı u´pravu dostaneme vyuzˇitı´m identity

v × rot v = v × (∇ × v ) = ∇v · vc − v · ∇v = 12 ∇v2 − v · ∇v . Dosazenı´m za v · ∇v ma´me 1 ∂v = f − ∇Up − ∇v 2 + (v − ν ∇) × rot v + ν ′ grad div v . ∂t 2

(4.101)

Obvykle klademe ν ′ = 0. Zdu˚vodnˇujeme to tı´m, zˇe u kapalin (nestlacˇitelnost) je div v = 0 (viz da´le) a cˇlen s ν ′ vypadne. U plynu˚ je vazkost velice mala´ a ν ′ mu˚zˇeme zanedbat. Celkem tedy ma´me pro potencia´lnı´ sı´ly f = −∇U: rovnici kontinuity ∂ρ + div ρv = 0 , ∂t nebo

dρ + ρ div v = 0 ; dt

(4.102)

Navier-Stokesovy rovnice

dv ∂v ≡ + v · ∇v = −∇(U + Up ) + ν ∆v − ν grad div v , dt ∂t

nebo

∂v dv ≡ + v · ∇v = −∇(U + Up ) + ν rot rot v , dt ∂t

nebo

∂v 1 = −∇( v 2 + U + Up ) + (v − ν ∇) × rot v ; ∂t 2

(4.103)

a rovnici stavovou ρ = ρ(p) . Tento syste´m peˇti simulta´lnıćh nelinea ´ rnıćh (cˇlen v ·∇v ) nehomogennıćh parcia´lnıćh diferencia´lnıćh η rovnic s promeˇnny´mi koeficienty ν(r , t) = pro peˇt nezna´myćh polı´ v (r , t), p (r , t), ρ (r , t) ρ(r , t) nutno rˇesˇit s prˇ´ıslusˇny´mi hranicˇnı´mi a pocˇa´tecˇnı´mi podmıńkami, abychom obdrzˇeli jednoznacˇne´ ˇresˇenı´. Je to velice obtı´zˇne´, ne-li nemozˇne´, i kdyzˇ modernı´ pocˇ´ıtacˇe umozˇnily jisty´ pokrok prˇi numerickyćh vy´pocˇtech. Spolehlivost prˇedpoveˇdi pocˇası´ je nejlepsˇ´ım sveˇdkem slozˇitosti situace! Zava´dı´me proto prˇedpoklady dovolujıćı´ obdrzˇet exaktnı´ cˇi zjednodusˇena´ rˇesˇenı´ pro specia´lnı´ prˇ´ıpady: 126

4.7. Navier-Stokesovy rovnice. Eulerovy rovnice a) mu˚zˇeme-li pro danou la´tku nebo pro danou fyzika´lnı´ situaci zanedbat viskozitu (polozˇit ν = 0), mluvı´me o idea´lnı´ tekutineˇ. Pro neˇ pak platı´ Eulerovy rovnice ∂v + v · ∇v = −∇(U + Up ) , ∂t

(4.104)

dv = − grad p − ρ grad U . dt

(4.105)

nebo cˇasteˇji (viz (4.97)) ρ

b) Jedna´-li se o kapalinu mu˚zˇeme ji ve veˇtsˇineˇ prˇ´ıpadu˚ povazˇovat za nestlacˇitelnou tj. polozˇit ρ(r , t) = konst. = ρ0 . Z rovnice kontinuity pak plyne div v = 0 jako podmıńka nestlacˇitelnosti. Da´le ma´me z definice (4.96) pro tento prˇ´ıpad p Up = . ρ0

(4.106)

(4.107)

c) Vı´me, zˇe vy´raz 12 rot v prˇedstavuje u´hlovou rychlost rotace cˇa´stic (viz naprˇ. (4.5)) 1 rot s × r 2 δϕ def = ω (u´hlovou rychlost) ma´me a dosadı´me-li za s → δ s = v δt a oznacˇ´ıme δt 1 ω = rot v . (4.108) 2 Rotacˇnı´ pohyb cˇa´stic nazy´va´me vı´ry. Budeme-li prˇedpokla´dat nevı´rovost tekutiny dostaneme podmıńku rot v = 0 . (4.109) δϕ =

d) Budeme-li prˇedpokla´dat usta´lene´ proudeˇnı´ tj. takove´, zˇe zˇa´dne´ pole, je popisujıćı´, neza´visı´ explicitneˇ na cˇase, dostaneme prˇ´ıpad staciona´rnı´ , kdy (symbolicky) ∂ = 0. (4.110) ∂t Ovsˇem celkova´ zmeˇna s cˇasem obecneˇ nenı´ nulova´, nebot’ma´me prˇenosovou zmeˇnu v (r ) ·∇ 6= 0 (4.83) (viz pozna´mka v odstavci b). e) Budeme-li uvazˇovat situaci, kdy se tekutina nacha´zı´ v klidu, dostaneme oblast statickou: nic se ∂ nemeˇnı´ s cˇasem = 0 a nic se nepohybuje (v ≡ 0), neboli symbolicky (4.83) ∂t d = 0. dt

(4.111)

Nynı´ si probereme jednotlive´ prˇ´ıpady, kdy vy´sˇe uvedene´ prˇedpoklady dovolujı´ nale´zt rˇesˇenı´. Budeme postupovat od jednoduchyćh situacı´ ke slozˇiteˇjsˇ´ım. 127


4.8 Hydrostatika. Archimedu˚v a Pascalu˚v za´kon Pro hydrostatiku platı´ d = 0, dt

v = 0.

Rovnice kontinuity (4.87) je splneˇna identicky. Rovnice (4.98) nebo (4.101) da´va´ −∇(U + Up ) = 0 .

(4.112)

Odtud integracı´ zı´ska´me za´kladnı´ rovnici hydrostatiky U + Up = konst.

(4.113)

div σ + f = 0

(4.114)

Odvod’me si z podmıńky rovnova´hy

obecny´ za´kon o silove´m pu˚sobenı´ na teˇleso ponorˇene´ do tekutiny za prˇ´ıtomnosti gravitace. Oznacˇme si vy´slednici povrchovyćh sil (vliv tekutiny) Fvz .

Obra´zek 4.7: Silove´ pu˚sobenı´ na teˇleso ponorˇene´ do kapaliny Dostaneme ji tı´m, zˇe integrujeme prvnı´ cˇlen rovnice (4.114) prˇes povrch teˇlesa. Je zde vsˇak obtı´zˇ: jak vı´me, na povrchu teˇlesa nenı´ tenzor σ definovań (viz podrobneˇ pozna´mka v kapitole 4.2), nebot’ se zde meˇnı´ la´tka nespojiteˇ. Uveˇdomı´me-li si vsˇak, zˇe rovnova´ha se neporusˇ´ı, zameˇnı´me-li teˇleso jakoukoliv jinou la´tkou, mohu teˇleso nahradit tekutinou do ktere´ je teˇleso ponorˇene´ a tı´m dosta´va´me spojite´ prostrˇedı´, kde σ ma´ jasny´ smysl. Ted’ stacˇ´ı integrovat rovnici (4.114) po plosˇe ∂V a ma´me (f = g , kde g je va´ha jednotky hmoty tekutiny) I Z Z Fvz ≡ σ · dS = div σ dV = − g dm = −Gtek. , (4.115) ∂V

V

V

128

4.8. Hydrostatika. Archimedu˚v a Pascalu˚v za´kon kde Gtek. je va´ha tekutiny objemu V . Tı´m jsme odvodili zna´my´ Archimedu˚v za´kon: „teˇleso ponorˇene´ do tekutiny je nadlehcˇovańo silou, rovnajıćı´ se va´ze jı´m vytlacˇene´ kapaliny“. Prˇ´ıklad 4.3 Odvod’te barometrickou formuli pro izotermickou atmosfe´ru.

Obra´zek 4.8: Volba pocˇa´tku a osy pro izotermickou atmosfe´ru ˇ esˇenı´: Povazˇujme atmosfe´ru za idea´lnı´ plyn. Jeho stavova´ rovnice pro 1mol je R p V = R T0 ,

T0 = konst.

(4.116)

Da´le je ρ= a tedy z (4.116)

M V

⇒

p def 1 = konst. = ρ r

ρ∼

1 V

tj. ρ(p) = rp .

(4.117)

Za´kladnı´ rovnice hydrostatiky da´va´ +gz +

Z

dp = konst. , rp

(4.118)

kde osa z mı´rˇ´ı svisle vzhu˚ru a pocˇa´tek je na povrchu zemeˇ, kde zna´me atmosfe´ricky´ tlak p 0 . Integracı´ rovnice (4.118) obdrzˇ´ıme +gz +

1 ln p = konst. r

Z hranicˇnı´ podmıńky: p (0) = p 0 plyne konst. =

(4.119)

1 ln p0 . Vy´sledek je hledana´ barometricka´ formule r

p (z) = p 0 e−rgz , 129

(4.120)


ktera´ rˇ´ıka´, zˇe v „izotermicke´ atmosfe´rˇe barometricky´ tlak klesa´ exponencia´lneˇ s vy´sˇkou“. Prakticky platı´ pro male´ vy´sˇky. Prˇ´ıklad 4.4 Odvod’te Pascalu˚v za´kon pro nestlacˇitelnou kapalinu.

Obra´zek 4.9: Volba osy a pocˇa´tku sourˇadnic pro odvozenı´ Pascalova za´kona ˇ esˇenı´: Osu h zvolme svisle dolu˚ do kapaliny, pocˇa´tek na hladineˇ, kde zna´me atmosfe´ricky´ tlak p 0 . R p Za´kladnı´ rovnice hydrostatiky (4.113) da´va´ pro nestlacˇitelnou kapalinu Up = ρ0 −gh + hranicˇnı´ podmıńky p (0) da´va´ konst. =

p (h) = konst. ; ρ0

(4.121)

p0 a ma´me ρ

p (h) = p 0 + ρ0 gh = p 0 + Gh ,

(4.122)

kde Gh je va´ha sloupce kapaliny vy´sˇky h a jednotkove´ho pru˚rˇezu. Tenzor napeˇtı´ tedy je σ0 = −p I = −(p 0 + Gh ) I .

(4.123)

Vybereme-li si plosˇku dS s libovolnou norma´lou dostaneme pro tlak (zanedba´me-li atmosfe´ricky´ tlak)

p = σ0 · ν = −Gh I · ν = −Gh ν ,

(4.124)

cozˇ je Pascalu˚v za´kon: „v nestlacˇitelne´ kapalineˇ je tlak na vsˇechny strany stejny´ a rovna´ se va´ze sloupce kapaliny nad dany´m bodem“.

130

4.8. Hydrostatika. Archimedu˚v a Pascalu˚v za´kon

Prˇ´ıklad 4.5 Na´doba s kapalinou rotuje konstantnı´ u´hlovou rychlostı´ ω. Urcˇete tvar hladiny. ˇ esˇenı´: V neinercia´lnı´m syste´mu otaćˇejıćı´m se rychlostı´ ω je kapalina v klidu. Ke skutecˇne´ sı´le R (va´ha jednotky hmotnosti) musı´me prˇidat zdańlivou sı´lu (odstrˇediva´ sı´la) f0 = r⊥ ω 2 (viz (2.38)).

Obra´zek 4.10: Rotujıćı´ na´doba s kapalinou Potencia´l te´to sı´ly je U0 = − 12 ω 2 r⊥2 , nebot’

f0 = −∇U0 = + 12 ω2 ∇r⊥2 = ω2 r⊥e⊥ = ω2r⊥ . Za´kladnı´ rovnice hydrostatiky (4.113) da´va´ U + U0 + Up = konst. , tj. 1 2 2 p ω r⊥ + = konst. 2 ρ0

gz − (z – svisle vzhu˚ru, x, y – v kolme´ rovineˇ).

Na hladineˇ musı´ by´t konstantnı´ tlak p 0 . Zvolı´me-li pocˇa´tek na hladineˇ, ma´me gz − neboli z=

1 2 2 ω r⊥ = 0 , 2

ω2 2 (x + y 2 ) , 2g

cozˇ je rotacˇnı´ paraboloid.

131

g


4.9 Staciona´rnı´ proudeˇnı´. Bernoulliho rovnice Ve staciona´rnı´ oblasti

∂ = 0, v = v(r ) da´va´ rovnice kontinuity (4.86) ∂t div ρv = 0 ,

(4.125)

a pohybova´ rovnice (4.103) −∇

1 2 v + U + Up + (v − ν ∇) × rot v = 0 . 2

(4.126)

Bez dalsˇ´ıch prˇedpokladu˚ se tato soustava neda´ rˇesˇit: a) prˇedpokla´dejme da´le, zˇe se jedna´ o nevı´rove´ proudeˇnı´. Pak je rot v = 0 a (4.126) da´va´ 1 2 v + U + Up = 0 . (4.127) ∇ 2 Tato rovnice se da´ ihned integrovat a da´va´ 1 2 v + U + Up = konst. , 2

(4.128)

cozˇ je Bernoulliho rovnice, ktera´ pro nestlacˇitelnou kapalinu v gravitacˇnı´m poli da´va´ 1 ρ0 v 2 + ρ0 gz + p = konst. , 2

(4.129)

kde osa z je orientovańa svisle vzhu˚ru. Je to za´kon zachovańı´ energie. Platı´ tedy: „Prˇi staciona´rnı´m proudeˇnı´ nevı´rove´ tekutiny je splneˇna Bernoulliho rovnice.“ b) Ted’ prˇedpokla´dejme, zˇe se jedna´ o idea´lnı´ tekutinu. Pak z (4.126) plyne 1 2 −∇ v + U + Up + v × rot v = 0 . 2

(4.130)

Integrujeme tuto rovnici pode´l vybrane´ proudocˇa´ry C, tj. krˇivky, ke ktere´ je rychlost tecˇna´ v kazˇde´m bodeˇ Z Z 1 2 − ∇ v + U + Up · dl + v × rot v · dl = 0 . (4.131) 2 C

C

Druhy´ integra´l je roven nule, nebot’

v × rot v · dl = dl × v · rot v = 0 , protozˇe dl k v . 132

(4.132)

4.10. Potencia´lnı´ (nevı´rove´) proudeˇnı´

Dostaneme

1 2 v + U + Up = konst. (C) . 2

(4.133)

Tento vy´raz je konstantnı´ jen pode´l proudocˇa´ry a navıć pode´l kazˇde´ proudocˇa´ry ma´ konstanta jinou hodnotu. Rovnici (4.133) rˇ´ıka´me zobecneˇna´ Bernoulliho rovnice. A ma´me: „Prˇi staciona´rnı´m proudeˇnı´ idea´lnı´ tekutiny platı´ zobecneˇna´ Bernoulliho rovnice.“

4.10 Potencia´lnı´ (nevı´rove´) proudeˇnı´ Proudeˇnı´ za´visle´ na cˇase (nestaciona´rnı´ ) zacˇneme zkoumańı´m nevı´rove´ho proudeˇnı´: rot v = 0 .

(4.134)

Tuto podmıńku splnı´me zavedenı´m rychlostnı´ho potencia´lu φ(r , t) prˇedpisem

v = − grad φ .

(4.135)

∂ρ = div(ρ grad φ) ∂t

(4.136)

Rovnice kontinuity ma´ tvar

a Navier–Stokesovy rovnice (4.103) da´vajı´ ∂φ 1 2 + grad φ + U + Up = 0 . ∇ − ∂t 2

(4.137)

Tuto rovnici mu˚zˇeme ihned integrovat −

∂φ 1 + grad2 φ + U + Up = konst. + ψ(t) , ∂t 2

(4.138)

kde ψ(t) je libovolna´ funkce cˇasu. Te´to funkce se vsˇak mu˚zˇeme zbavit tı´m, zˇe prˇejdeme k nove´mu rychlostnı´mu potencia´lu Z φ → φ − ψ(t) dt , (4.139)

ktery´ da´va´ tote´zˇ rychlostnı´ pole. Dostaneme tak pro nestaciona´rnı´ proudeˇnı´ nevı´rove´ (tj. potencia´lnı´) tekutiny ∂φ 1 − + grad2 φ + U + Up = konst. (4.140) ∂t 2 Rovnice (4.136) a (4.140) spolu se stavovou rovnicı´ ρ = ρ(p) da´va´ trˇi rovnice pro trˇi nezna´me´: φ, p, ρ. Vy´hoda je, zˇe ma´me jen trˇi skala´rnı´ promeˇnne´ oproti obecneˇ peˇti: v , p, ρ. Uka´zˇeme si pouzˇitı´ teˇchto rovnic ve dvou prˇ´ıpadech: 133

KAPITOLA 4. MECHANIKA KONTINUA a) zvukove´ vlny. Prˇedpokla´dejme, zˇe vneˇjsˇ´ı sı´ly neza´visı´ na cˇase, tj. U(r ). Nahrad’me fyzika´lnı´ velicˇiny, ktere´ na´s zajı´majı´, strˇednı´mi hodnotami a maly´mi odchylkami od nich φ(r , t) = φ + δφ(r , t), ρ (r , t) = ρ + δρ (r , t), p (r , t) = p + δp (r , t) .

(4.141)

Odchylky povazˇujeme za male´ a v obou rovnicıćh podrzˇme jen velicˇiny prvnıćh rˇa´du˚. To dovoluje zanedbat nelinea´rnı´ cˇlen grad2 φ = grad2 δφ → 0 . Derivujeme-li rovnici (4.140) dle cˇasu, ma´me ∂ 2φ ∂Up dUp dp ∂ρ 1 dp = = = div(ρ grad φ) , 2 ∂t ∂t dp dρ ∂t ρ dρ

(4.142)

∂ρ kde jsme za dosadili z (4.136) a mı´sto ρ psali ρ, nebot’grad φ = grad δφ je jizˇ prvnı´ho ˇra´du. ∂t Rovnici (4.142) mu˚zˇeme prˇepsat do tvaru 1 ∂ 2φ ∆φ − 2 2 = 0 , v ∂t

vzv =

s

dp . dρ

(4.143)

To vsˇak je vlnova´ rovnice a jejı´ rˇesˇenı´ jsou pode´lne´ skala´rnı´ vlny (zvukove´) sˇ´ırˇ´ıcı´ se fa´zovou rychlostı´ vzv . V kapitole 4.5 jsme uka´zali, zˇe v kazˇde´ pevne´ elasticke´ la´tce existujı´ vzˇdy vlny pode´lne´ i prˇ´ıcˇne´ a na amplitudy jsme nekladli zˇa´dna´ omezenı´. Ted’vidı´me, zˇe v tekutineˇ existujı´ pouze vlny pode´lne´ o male´ amplitudeˇ. Rozdı´l je dań tı´m, zˇe rovnice pro tekutiny je nelinea´rnı´ a linea´rnı´ vlnovou rovnici zı´ska´me jen pro male´ odchylky od rovnova´hy. To nevylucˇuje existenci jinyćh vln, naprˇ. ra´zovyćh apod. b) nestlacˇitelne´ kapaliny. Pro ty ma´me ρ = ρ0 = konst. Rovnici kontinuity (4.136) pak ihned da´va´ ∆φ = 0 .

(4.144)

Rychlostnı´ potencia´l je tedy rˇesˇenı´ Laplaceovy rovnice s prˇ´ıslusˇny´mi okrajovy´mi podmıńkami. Tlak pak dostaneme z rovnice (4.140) p (r , t) = konst. + ρ0

∂φ 1 − grad2 φ − U ∂t 2

kde konstantu urcˇ´ıme z hranicˇnı´ podmıńky pro tlak.

134

,

(4.145)

4.11. Vı´ry v idea´lnı´ tekutineˇ. Thomsonova a Helmholtzova veˇta

4.11 Vı´ry v idea´lnı´ tekutineˇ. Thomsonova a Helmholtzova veˇta I kdyzˇ se omezı´me na idea´lnı´ tekutiny (ν = 0), je soustava (4.86) a (4.106) pro vı´rove´ proudeˇnı´ ∂ρ + div ρv = 0 , ∂t ∂v 1 2 = −∇ v + U + Up + v × rot v , ∂t 2 ρ = ρ(p) ,

(4.146)

prˇ´ılisˇ slozˇita´ na rˇesˇenı´. Ukazˇme si proto jen neˇktere´ vlastnosti samotnyćh vı´ru˚ v idea´lnı´ tekutineˇ. K tomu potrˇebujeme Navier-Stokesovu rovnici ve tvaru (4.101) (ν = 0)

a ≡ ddtv

= −∇(U + Up ) .

(4.147)

Loka´lneˇ charakterizujeme vı´ry pomocı´ rot v = 2ω 6= 0 ,

(4.148)

kde ω je u´hlova´ rychlost rotace (4.108) v dane´m bodeˇ. Globa´lneˇ, ve veˇtsˇ´ım prostoru, charakterizujeme vı´ry integra´lem po zvolene´ krˇivce C I Γ= v (r , t) · dl , (4.149) (C)

ktere´mu rˇ´ıka´me cirkulace.

Obra´zek 4.11: Cirkulace: rozdı´l prˇi integraci pode´l krˇivky C pro lamina´rnı´ proudeˇnı´ a vı´rove´ proudeˇnı´ H Na´zorneˇ vidı´me (Obr. 4.11), zˇe integra´l |Γ| = (C) vt dl ma´ pomeˇrneˇ velkou hodnotu pro proudeˇnı´ s vı´ry nezˇ pro proudeˇnı´ bez vı´ru˚ (lamina´rnı´). Souvislost mezi obeˇma charakteristikami je prˇes Stokesovu veˇtu I Z Γ = v · dl = rot v · dS , C

S

kde S je libovolna´ plocha majıćı´ krˇivku C za svu˚j okraj. 135

(4.150)


Obra´zek 4.12: Odvozenı´ Thomsonovy veˇty o cirkulaci v idea´lnı´ kapalineˇ Dokazˇme si du˚lezˇitou veˇtu o cirkulaci v idea´lnı´ vı´rove´ kapalineˇ. V okamzˇiku t zvolme krˇivku C va´zanou na cˇa´stice tekutiny Cirkulace se rovna´ (nepı´sˇeme-li argumenty, znamena´ to, zˇe jsou (r , t)) I I v (r , t) · dr ≡ v · dr . Γ= C

(C)

Za cˇas δt se cˇa´stice posunou a krˇivka na neˇ va´zana´ zaujme polohu C ′ a cirkulace je I Γ(t + δt) = v (r ′ , t + δt) · dr ′ , kde r je nova´ poloha cˇa´stice z r

(4.151)

(4.152)

C′

′

r′ = r + v

dt .

Posunutı´ cˇa´stice r + dr je δ s = v (r + dr , t)δt. Z obra´zku 64 ma´me dr ′ = dr + δ s − v δt = dr + v (r + dr , t)δt − v δt . Funkci rozvineme a ponecha´me jen linea´rnı´ cˇleny dle obecne´ho vzorce (bez argumentu znamena´ (r , t) !) f (r + h , t + δt) = f + h · ∇f + δt ∂f . ∂t 136

4.12. Lamina´rnı´ proudeˇnı´. Hagen-Poiseuilleu˚v vzorec

Dostaneme tak dr ′ = dr + (v + dr · ∇v )δt − v δt = dr + dr · ∇v δt ,

v (r + v δt, t + δt) = v kde jsme pouzˇili

a ≡ ddtv

∂v + v δt · ∇v + δt = v + a δt , ∂t

=

(4.153)

∂v + v · ∇v . ∂t

Dosadı´me (4.153) do (4.152) a ma´me I I I Γ(t + δt) = (v + a δt) · ( dr + dr · ∇v δt) = v · dr + δt a · dr + I I I v2 + δt dr · ∇v · vc = Γ(t) − δt ∇(U + Up ) · dr + δt dr · ∇ = Γ(t) . 2

Prˇi tomto vy´pocˇtu jsme zanedbali cˇlen u´meˇrny´ δt2 , jako cˇlen druhe´ho rˇa´du, za a jsme dosadili ze (4.147), vc znacˇ´ı, zˇe se na neˇ nevztahuje derivace ∇, nebot’toto v jsme dostali z prvnı´ho cˇinitele. Da´le platı´ v2 1 1 1 ∇ = ∇(v · v ) = (∇v · vc + ∇vc · v ) = 2 ∇v · vc = ∇v · vc . 2 2 2 2 Konecˇneˇ oba integra´ly se rovnajı´ nule, nebot’obecneˇ I I dr · ∇f = ∇f · dr = 0 C

C

pro libovolne´ f (r ). Doka´zali jsme tedy Thomsonovu veˇtu: Γ(t) = Γ(t + δt) ,

(4.154)

„v idea´lnı´ tekutineˇ se cirkulace podle krˇivky pevneˇ va´zane´ na cˇa´stice s cˇasem nemeˇnı´“. Pomocı´ tohoto poznatku lze odvodit rˇadu veˇt, zna´myćh jako Helmholtzovy veˇty o prostorove´m a cˇasove´m zachovańı´ vı´ru˚ v idea´lnı´ tekutineˇ. Vyply´va´ z nich, zˇe vı´ry jsou tvorˇeny sta´le stejny´mi cˇa´sticemi a pokud vı´r je jednou vytvorˇen, nemu˚zˇe sa´m od sebe zaniknout ani v prostoru ani v cˇase. Da´ se tomu fyzika´lneˇ rozumeˇt, nebot’tı´m, zˇe jsme zanedbali vazkost, tj. vlastneˇ vnitrˇnı´ trˇenı´ tekutiny, nemu˚zˇe se energie vı´ru prˇemeˇnit na teplo a za´kon zachovańı´ energie nutı´ vı´ry k trvale´ existenci v idea´lnı´ tekutineˇ. Prakticky jsou zna´my „kourˇove´ kruhy“, ktere´ se pomeˇrneˇ dlouho udrzˇ´ı ve vzduchu cˇi torna´da apod.

4.12 Lamina´rnı´ proudeˇnı´. Hagen-Poiseuilleu˚v vzorec Nakonec se budeme zaby´vat staciona´rnı´m proudeˇnı´m vazke´ nestlacˇitelne´ kapaliny trubicı´. Za teˇchto podmıńek je rovnice kontinuity splneˇna identicky a Navier-Stokesova rovnice (4.98) da´va´ (za neprˇ´ı137


tomnosti vneˇjsˇ´ıch sil)

v · ∇v = − ρ1

0

∇p + ν ∆v .

(4.155)

Tato rovnice se obecneˇ neda´ rˇesˇit, nebot’vadı´ nelinearita na jejı´ leve´ straneˇ. Uka´zˇeme, zˇe za prˇedpokladu, zˇe rychlost ma´ sta´le pevny´ smeˇr (cˇisteˇ lamina´rnı´ proudeˇnı´ ) nelinearita se exaktneˇ anuluje. Prˇedpokla´dejme tedy, zˇe platı´

v (r ) = v(r )ek ,

ek = konst . , |ek| = 1 .

(4.156)

Rozlozˇ´ıme r a opera´tor ∇ na cˇa´st pode´lnou (meˇrˇ´ıme sourˇadnicı´ z) a cˇa´st prˇ´ıcˇnou

r = r⊥ + z ek ,

∂ . ∂z

∇ = ∇⊥ + ek

(4.157)

Podmıńka nestlacˇitelnosti div v = 0 da´va´ ∇⊥ · v⊥ +

∂v =0 ∂z

(4.158)

a ze (4.156) vidı´me, zˇe v⊥ = 0 a tedy ∂v =0 ∂z

⇒

v = v(r⊥ ) .

(4.159)

Rozlozˇenı´ rychlosti je tedy stejne´ ve vsˇech pru˚rˇezech. Nelinearita je rovna

v · ∇v =

∂ v⊥ · ∇⊥ + v ∂z

v ek = v

∂v ∂z

ek = 0 .

(4.160)

Rovnice (4.155) se tedy redukuje na tvar η ∆v = ∇p .

(4.161)

Operace divergence na (4.161) da´va´ ∆p = η ∇ · ∆v = η ∆∇ · v = 0 , nebot’ ∆ = ∇ · ∇ je skala´rnı´ opera´tor. Vidı´me, zˇe tlak splnˇuje Laplaceovu rovnici ∆p = 0 ,

(4.162)

kterou rˇesˇ´ıme s prˇ´ıslusˇny´mi hranicˇnı´mi podmıńkami. Pak dosadı´me do (4.161) a najdeme v (r ).

138

4.12. Lamina´rnı´ proudeˇnı´. Hagen-Poiseuilleu˚v vzorec Vysˇetrˇujme za teˇchto podmıńek proudeˇnı´ vodorovnou rourou o polomeˇru R. Prˇedpokla´dejme, zˇe tlak je stejny´ v cele´m pru˚rˇezu, tj. p = p(z), a zˇe zna´me jeho hodnoty p0 a pL na zacˇa´tku a konci u´seku de´lky L. Rovnice (4.162) tedy znı´ d2 p = 0, dz 2

p(0) = p0 ,

p(L) = pL ,

p 0 > pL .

ˇ esˇenı´ te´to u´lohy je trivia´lnı´ R def

p(z) = p0 − p1 z ,

p1 =

kde p1 je tlakovy´ spa´d. Rovnice (4.161) pro v znı´

v

p0 − pL > 0, L

dp = v(r⊥ )ek , ∇p = ek dz

(4.163)

1 ∆v = − p1 . η

(4.164)

Vzhledem k tomu, zˇe tlak je stejny´ v cele´m pru˚rˇezu, prˇedpokla´dejme, zˇe rychlost je rozlozˇena symetricky kolem strˇednı´ osy roury. Zavedeme-li tedy va´lcovy´ syste´m (r, ϕ, z) s pocˇa´tkem na ose, na zacˇa´tku u´seku bude v = v(r) . (4.165) Abychom nemuseli rˇesˇit Laplaceovu rovnici ve va´lcovyćh sourˇadnicıćh postupujeme takto: pı´sˇeme 1 ∆v = div grad v = − p1 η a integrujeme zatı´m prˇes libovolny´ objem V0 . Pak dle Gaussovy veˇty ma´me Z Z I 1 1 dV = − p1 V0 . div grad v dV = grad v · dS = − p1 η η V0

∂V0

V0

Ted’ za V0 zvolı´me souosy´ va´lec polomeˇru r < R a de´lky l < L. dv Vsˇude je grad v(r) = er , tudı´zˇ integra´ly prˇes cˇela va´lce V0 vymizı´, nebot’norma´la k dS tj. dr kolma´ na grad v. Integra´l prˇes pla´sˇt’je Z l Z2π 0 0

dv dv 1 e = − p1 πr 2 l . r · dl r dϕ er = 2 πlr dr dr η

Dosta´va´me tedy pro v(r) tuto jednoduchou diferencia´lnı´ rovnici dv p1 =− r. dr 2η 139

ek je


Obra´zek 4.13: Souose´ va´lce se spolecˇnou osou z; mensˇ´ı z nich urcˇuje objem V0 , prˇes ktery´ integrujeme proudıćı´ kapalinu Po separaci promeˇnnyćh a integraci vycha´zı´ v(r) = −

p1 2 r +C. 4η

Budeme-li povazˇovat tekutinu za dokonale smaćˇivou ma´me okrajovou podmıńku v(R) = 0 . Pomocı´ nı´ vypocˇteme C a konecˇne´ rˇesˇenı´ znı´ v(r) =

p1 R2 − r 2 . 4η

(4.166)

Profil rychlosti je tedy parabolicky´ s maxima´lnı´ rychlostı´ vmax

p1 R 2 = 4η

(4.167)

na ose. Snadno vypocˇ´ıta´me celkovy´ pru˚tok za jednotku cˇasu Q1 =

ZR

2 πr dr v(r) =

πp1 4 R , 8η

(4.168)

0

cozˇ je zna´my´ vzorec Hagen-Poiseuilleu˚v pro pru˚tok prˇi cˇisteˇ lamina´rnı´m staciona´rnı´m proudeˇnı´ nestlacˇitelne´ vazke´ kapaliny vodorovnou rourou o polomeˇru R. Je vy´znacˇne´, zˇe pru˚tok je u´meˇrny´ cˇtvrte´ mocnineˇ polomeˇru. 140

4.13. Turbulence. Reynoldsovo cˇ´ıslo

Obra´zek 4.14: Profil rychlosti dokonale smaćˇive´ proudıćı´ kapaliny Zavedeme-li strˇednı´ rychlost vztahem Q1 = v S = v πR2 dostaneme pro tlakovy´ spa´d z (4.168) p1 =

(4.169)

8η v. R2

Celkova´ sı´la, ktera´ je zapotrˇebı´ k protlacˇenı´ kapaliny rourou de´lky L pak je F = S(pL − p0 ) = πR 2 LP1 = 8 π η v L ∼ η

(4.170)

a je u´meˇrna´ viskoziteˇ kapaliny.

4.13 Turbulence. Reynoldsovo cˇ´ıslo Lamina´rnı´ proudeˇnı´, kdy proudocˇa´ry jsou te´meˇrˇ rovnobeˇzˇne´, prˇecha´zı´ prˇi vysˇsˇ´ıch rychlostech v proudeˇnı´ turbulentnı´, kdy proudocˇa´ry jsou velmi slozˇite´ho tvaru. Empiricky bylo zjisˇteˇno, zˇe obeˇ oblasti jsou urcˇeny tzv. Reynoldsovy´m cˇ´ıslem def ρ R v Re = (4.171) η a to: Re < Rekr – proudeˇnı´ je lamina´rnı´ Re > Rekr – proudeˇnı´ je turbulentnı´ 141


kde Rekr ∼ = 1150 je tzv. kriticke´ Reynoldsovo cˇ´ıslo. Turbulentnost je tedy podporovańa velkou hustotou a rychlostı´, rozsa´hlou oblastı´ a malou vazkostı´. Pozna´mka: Nelze smeˇsˇovat pojmy vı´rovost a nevı´rovost a lamina´rnı´ a turbulentnı´ : vı´rovost je vlastnost loka´lnı´ a spı´sˇe teoreticka´, dańa hodnotou rot v 6= 0 v dane´m bodeˇ. Lamina´rnost a turbulentnost je charakteristika spı´sˇe experimenta´lnı´ a ty´ka´ se tvaru proudocˇar v oblasti. Naprˇ. i nasˇe cˇisteˇ lamina´rnı´ proudeˇnı´ je vı´rove´, nebot’ rot v = rot v ek = ∇ × v ek = ∇v × ek =

dv dr

p1 e⊥ × ek = − dv e r eϕ 6= 0 . ϕ = + dr 2η

Prˇ´ıklad 4.6 Zkoumejte proudeˇnı´ mezi dveˇma rovnobeˇzˇny´mi, dostatecˇneˇ velky´mi deskami.

Obra´zek 4.15: Proudeˇnı´ mezi velky´mi rovnobeˇzˇny´mi deskami, hornı´ deska ve vzda´lenosti a se pohybuje rychlostı´ v0 ˇ esˇenı´: Prˇedpokla´dejme, zˇe spodnı´ deska je v klidu a hornı´ ve vzda´lenosti a se pohybuje rovnomeˇrneˇ R prˇ´ımocˇarˇe rychlostı´ rychlostı´ v0 ve vodorovne´m smeˇru. Do smeˇru pohybu polozˇme osu x, ve smeˇru svisle´m y, pocˇa´tek na klidne´ desce. Prˇedpokla´dejme, zˇe tlak je rovnomeˇrny´ v cele´m „pru˚rˇezu“ a roven p0 . Hledejme rˇesˇenı´ ve tvaru cˇisteˇ lamina´rnı´ho proudeˇnı´ (neza´visle´ho na trˇetı´ sourˇadnici)

v (r ) = v(y)ex . Pak ma´me hranicˇnı´ podmıńky v(0) = 0 ,

v(a) = v0 . 142

(4.172)

4.13. Turbulence. Reynoldsovo cˇ´ıslo

Obra´zek 4.16: Proudeˇnı´ mezi rovnobeˇzˇny´mi deskami je vı´rove´ Rovnice ∆p = 0 je splneˇna identicky pro p = p0 = konst. Rovnice pro v ma´ tvar d2 v ex dy 2

∆v = ∆v ex =

⇒

d2 v =0 dy 2

nebo-li v(y) = C1 y + C2 a hranicˇnı´ podmıńky (4.172) da´vajı´ konecˇne´ rˇesˇenı´ v(y) =

v0 y. a

(4.173)

Jedna´ se tedy skutecˇneˇ o cˇisteˇ lamina´rnı´ proudeˇnı´ . Toto proudeˇnı´ je vı´rove´, nebot’ rot v = ∇ ×

v0 v0 v0 y ex = ∇y × ex = a a a

ey × ex = − va0 ez 6= 0 .

Mu˚zˇeme to videˇt i na´zorneˇ, pı´sˇeme-li

v0 y = 1 v a

cozˇ odpovı´da´ superpozici polı´.

2

0

y v 0 + 2 −1 , 2

a

U druhe´ho pole je okamzˇity´ loka´lnı´ rotacˇnı´ charakter proudeˇnı´ prˇ´ımo na´zorneˇ videˇt.

143

Rejstrˇ´ık absolutnı´ cˇas, 7, 10, 64, 101 absolutnı´ hmotnost, 10 absolutnı´ prostor, 7 barometricka´ formule, 129 binorma´la, 36 cirkulace, 135 v idea´lnı´ vı´rove´ kapalineˇ, 136 deformace, 103, 111 mala´, 103, 105 deviacˇnı´ momenty, 54 diferencia´l, 33 netota´lnı´ (neu´plny´), 76 tota´lnı´, 87 tota´lnı´(u´plny´), 76 elasticke´ koeficienty, 112 energie celkova´, 52, 98 celkova´ kineticka´ soustavy, 42 celkova´ mechanicka´, 19 elasticka´ potencia´lnı´, 116 kineticka´, 18, 87 celkova´ tuhe´ho teˇlesa, 51 hmotne´ho bodu, 18 tuhe´ho teˇlesa, 52 postupna´, 52 potencia´lnı´, 18 rotacˇnı´, 52 rotacˇnı´ kineticka´, 53 vnitrˇnı´, 116

zobecneˇna´, 90, 97 Eulerovy u´hly, 48, 49, 55, 58 formalizmus hamiltonovsky´, 96, 99 Lagrangeu˚v, 99 frekvence vlastnı´, 121 funkce Hamiltonova, 97, 99 homogennı´, 87 Lagrangeova, 89 zobecneˇna´, 90 potencia´lnı´, 18 funkciona´l, 92 gradient, 122 gyrokompas, 57 gyroskopicke´ jevy, 56 gyroskopicky´ moment, 59 gyroskopicky´ tlak, 58 hlavnı´ norma´la, 35 hmotnost, 9, 101 absolutnı´, 9 celkova´ soustavy, 40 redukovana´, 43 hmotny´ bod, 10 hmotny´ strˇed, 43 soustavy hmotnyćh bodu˚, 40 tuhe´ho teˇlesa, 45 hustota elasticke´ energie, 117 144

Rejstrˇ´ık

hustota sı´ly na jednotku hmotnosti, 125 na jednotku objemu, 125 hybnost, 16, 73 celkova´ soustavy, 40 zobecneˇna´, 96 hydrostatika, 128 impulz sı´ly, 16 integra´l pohybove´ rovnice, 19 invariant, 106 invariantnı´ popis, 7 invariantnı´ velicˇina, 106 kanonicky sdruzˇene´ promeˇnne´, 97, 99 kapalina, 121, 127 nestlacˇitelna´, 122, 126, 127, 130, 132, 134 kinematicka´ vazkost, 125 kmity harmonicke´, 36 harmonicke´ tlumene´, 37 struny, 119 vynucene´, 39 koeficienty elasticke´, 112 Lame´ho elasticke´, 113, 124 komuta´tor, 101 konfiguracˇnı´ prostor, 91 krystalografie, 112 kuzˇelosecˇky, 25 elipsa, 25 hyperbola, 25 kruzˇnice, 25 parabola, 25 lamina´rnost, 142 la´tka amorfnı´, 112 elasticka´, 121

izotropnı´, 112 linea´rnı´, 111 nekrystalicka´, 112 pevna´, 121 plyn, 122 mechanika, 7 analyticka´, 73 klasicka´, 7 platnost, 101 kontinua, 103 kvantova´, 100 vektorova´, 70 metoda Lagrangeovyćh multiplika´toru˚, 84 meznı´ poloha, 34, 35 moment gyroskopicky´, 59 hybnosti, 17, 41, 59 otaćˇive´ho pohybu, 52, 53 postupne´ho pohybu, 52 tuhe´ho teˇlesa, 52, 53 setrvacˇnosti, 59 hlavnı´, 54 skala´rnı´, 53 sı´ly, 17, 59 vektoru, 16 vneˇjsˇ´ıch sil, 41 nama´hańı´ norma´love´, 111 tecˇne´, 111 napeˇtı´ norma´love´, 109 tecˇne´, 109 nutace, 58 astronomicka´, 58 okamzˇita´ osa otaćˇenı´, 47 145

REJSTRˇI´K

opera´tor, 101 komutativnı´, 101 Laplaceu˚v, 117 nekomutativnı´, 101 oskulacˇnı´ kruzˇnice, 35 oskulacˇnı´ rovina, 35 otocˇenı´, 46 parametr rozptylu, 29 plosˇna´ rychlost, 22 plyny, 122 podmıńka nestlacˇitelnosti, 127, 138 rovnova´hy, 128 podmıńka rovnova´hy, 124 podmıńka rovnova´hy kontinua, 111 pohyb absolutnı´, 101 aperiodicky´ tlumeny´, 37 otaćˇivy´, 49 kolem pevne´ho bodu, 52 tuhe´ho teˇlesa, 52 postupny´, 64 relativnı´, 48 rotacˇnı´, 67 rovinny´, 22 tuhe´ho teˇlesa, 46 Poissonova konstanta, 113 Poissonovy za´vorky, 101 pole hustoty, 122, 123 rychlostnı´, 122, 123 tlakove´, 122 poloha, 73 popis Euleru˚v, 122 Lagrangeu˚v, 119, 121 sourˇadnicovy´, 7

posunutı´, 119, 121 skutecˇne´, 76, 87 tecˇne´, 121 tuhe´ho teˇlesa, 46 virtua´lnı´, 76, 88 potencia´l tlakovy´, 125 praće, 18 virtua´lnı´, 77 precese, 56 Zemeˇ, 58 princip D’Alembertu˚v, 80, 117, 124 Hamiltonu˚v, 92 Lagrangeu˚v, 80, 83 termodynamiky prvnı´, 116 uvolneˇnı´, 70, 108 virtua´lnıćh pracı´, 77 proble´m dvou teˇles, 42 proudeˇnı´ bez vı´ru˚, 135 lamina´rnı´, 135, 138, 141, 143 nestaciona´rnı´, 133 nevı´rove´ tekutiny, 133 nevı´rove´, 132, 133 potencia´lnı´, 133 staciona´rnı´, 127, 132 vazke´ nestlacˇitelne´ kapaliny, 137 turbulentnı´, 141 usta´lene´, 127 vı´rove´, 135, 143 proudocˇa´ra, 132 reprezentace, 101 Reynoldsovo cˇ´ıslo, 141 rezonance, 39 rovina 146

Rejstrˇ´ık

oskulacˇnı´, 35 rektifikacˇnı´, 36 rovnice Bernoulliho, 132 zobecneˇna´, 133 dynamicka´ elasticke´ho prostrˇedı´, 118 Eulerovy, 127 Eulerovy dynamicke´, 54 Eulerovy kinematicke´, 49 Hamiltonovy kanonicke´, 97 hydrostatiky za´kladnı´, 128 kompatibility, 107, 118 kontinuity, 123, 126, 128, 132–134, 137 Lagrangeovy prvnı´ho druhu, 84 druhe´ho druhu, 89, 93, 96 Laplaceova, 134, 138 Navier-Stokesovy, 125, 126, 133, 135, 137 stavova´, 125, 126 vlnova´, 118 rovnova´ha, 70, 76, 77, 108, 116 kontinua, 111 rozptyl, 28 na nabite´ cˇa´stici, 29 parametr, 29 Rutherfordu˚v, 31 ućˇinny´ pru˚rˇez, 28 u´hel rozptylu, 28 Rutherfordu˚v vzorec, 28 rychlost, 36, 51, 73 fa´zova´, 118, 134 otaćˇive´ho pohybu, 51 postupne´ho pohybu, 51 precese, 56 sˇ´ırˇenı´ vlny, 119 u´hlova´, 49, 55, 127 una´sˇiva´, 50

zobecneˇna´, 86 rychlostnı´ potencia´l, 133, 134 setrvacˇnı´k rychle rotujıćı´, 55 teˇzˇky´, 55 volny´, 55 sı´la centra´lnı´, 20 Coriolisova, 67 Eulerova, 67, 81 harmonicka´, 36 inercia´lnı´, 65 konzervativnı´, 18, 41 objemova´, 107 odpudiva´, 28 odstrˇediva´, 67, 81 potencia´lnı´, 18, 19, 88 povrchova´, 107 prava´, 9, 10 prˇitazˇliva´, 20 reakcˇnı´, 70, 84 setrvacˇna´, 65, 68, 81 skutecˇna´, 9 tlumıćı´, 36 vneˇjsˇ´ı, 40 vnitrˇnı´, 40 vynucujıćı´, 37 za´visla´ na cˇase, 11 za´visla´ na rychlosti, 12 za´visla´ na vzda´lenosti, 14 zdańliva´, 9, 65, 67 zobecneˇna´, 88 nepotencia´lnı´, 89 sourˇadnice cyklicka´, 90 pola´rnı´, 22 zobecneˇna´, 86 147

REJSTRˇI´K

sourˇadny´ (sourˇadnicovy´) syste´m, 7 absolutnı´, 48 karte´zsky´, 8 kulovy´, 8 pevneˇ spojeny´ s teˇlesem, 48 va´lcovy´, 8 soustava hmotnyćh bodu˚, 40 rovnova´ha, 76 krystalicka´, 112 cˇtverecˇna´, 112 jednoklonna´, 112 klencova´, 112 kosocˇtverecˇna´, 112 kubicka´, 112 sˇesterecˇna´, 112 trojklonna´, 112 stabilita, 115 stopa tenzoru, 106 deformace, 106 stupenˇ volnosti, 45, 73, 77 syste´m hlavnı´, 54, 107 inercia´lnı´, 8–10, 43, 64 konzervativnı´, 91 neinercia´lnı´, 64, 67 potencia´lnı´, 90 vztazˇny´, 7 sˇipka otocˇenı´, 46 tekutina, 121 dokonale smaćˇiva´, 140 idea´lnı´, 127, 132, 135 nevı´rova´, 127 tenzor, 104, 106 antisymetricka´ cˇa´st, 104 antisymetricky´, 111

deformace, 104, 123 hlavnı´ hodnoty, 107 klidovy´, 124 identity, 53, 113 napeˇtı´, 108, 111, 121, 124 diagona´lnı´ slozˇky, 109 nediagona´lnı´ slozˇky, 109 pro tekutinu, 124 slozˇky, 109 setrvacˇnosti, 53 stopa, 106, 112 symetricka´ cˇa´st, 104 symetricky´, 107, 111, 117 tlak, 121 gyroskopicky´, 58 tlakovy´ potencia´l, 125 transformace bodova´, 100 Galileiho, 10 kanonicka´, 100 Lorentzova, 102 tuhe´ teˇleso, 45 turbulentnost, 142 ućˇinny´ pru˚rˇez, 28 u´hel nutace, 58 precese, 58 prostorovy´, 28 rotace, 58 rozptylu, 28 variace izochronnı´, 76 variacˇnı´ pocˇet, 76 za´kladnı´ veˇta, 76, 84 vazba, 73 holonomnı´, 74, 83 148

Rejstrˇ´ık

idea´lnı´, 77 neholonomnı´, 74, 83 rheonomnı´, 73 semiholonomnı´, 74 skleronomnı´, 73, 83, 91, 97 vazkost, 137 vektor polohovy´, 7, 121 velicˇina invariantnı´, 106 stavova´, 116 veˇta Eulerova o homogennıćh funkcıćh, 91 Eulerova o pohybu, 46 Gaussova, 139 Gaussova zobecneˇna´, 110, 116 Helmholtzova, 137 impulzova´ prvnı´, 16, 40 druha´, 17, 54 Ko¨nigovu, 52 Steinerova, 59 Stokesova, 135 Thomsonova, 137 vı´rovost, 142 vı´ry, 127 v idea´lnı´ tekutineˇ, 135 viskozita, 124, 127 druha´, 124 vlastnı´ frekvence, 37 vlna pode´lna´, 119, 134 prˇ´ıcˇna´, 119, 134 zvukova´, 134 vy´kon sı´ly, 18 vy´slednice vneˇjsˇ´ıch sil, 40 vzorec

Binetu˚v, 31, 32 Hagen-Poiseuilleu˚v, 140 Rutherfordu˚v, 31 za´kladnı´ identita vektorove´ analy´zy, 126 za´kladnı´ rovnice hydrostatiky, 128 za´kon akce a reakce, 9, 40 pro vnitrˇnı´ sı´ly, 41 Archimedu˚v, 129 Coulombu˚v, 29 gravitacˇnı´, 27 Hooku˚v zobecneˇny´, 112 Kepleru˚v prvnı´, 27 druhy´, 27 trˇetı´, 28 Newtonu˚v prvnı´, 8 druhy´, 9 trˇetı´, 9 Pascalu˚v, 130 ploch, 22 skla´dańı´ rychlostı´, 10 zachovańı´ energie, 41, 91, 132 zachovańı´ hmotnosti, 121, 122 zachovańı´ hybnosti, 16, 40 zachovańı´ mechanicke´ energie, 19 zachovańı´ momentu hybnosti, 17, 41 za´vorky Poissonovy, 101 zmeˇna loka´lnı´, 122 prˇenosova´, 122 zrychlenı´, 36 norma´love´, 36 tecˇne´, 36

149

Teoretická mechanika. Doc. RNDr. Ing. Kurt Fišer, CSc

Recommend Documents