Mˇ eˇ rEN´ I MOMENTU SETRVAˇ cNOSTI KOLA ´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
1. Teorie Moment setrvaˇcnosti kola lze mˇeˇrit dvˇema metodami. 1.1. Metoda kyv˚ u. Tato metoda spoˇc´ıv´a v tom, ˇze na obvod kola do vzd´alenosti l od osy ot´aˇcen´ı um´ıst´ıme z´ avaˇz´ı o hmotnosti m. Pˇri vych´ ylen´ı z rovnov´aˇzn´e polohy zaˇcne syst´em konat kmitav´ y pohyb s periodou T . Pak z pohybov´e rovnice pro tento pohyb a dle studijn´ıho textu [1] plyne pro moment setrvaˇcnosti kola: 2
− l) (i) I = ml( gT 4π 2 Aby bylo moˇzno tento vztah pouˇz´ıt, je tˇreba se omezit na mal´e v´ ychylky. 1.2. Metoda ot´ aˇ cen´ı. Kolo je opazˇreno souos´ ymi v´alci o r˚ uzn´ ych polomˇerech r, na kter´e je moˇzno navinout lanko a pak na nˇeho zavˇesit z´avaˇz´ı o hmotnosti m, ˇc´ımˇz lze rozt´ aˇcet kolo se st´ al´ ym u ´hlov´ ym zrychlen´ım ε. Pak lze Moment setrvaˇcnosti I spoˇc´ıst jako: g − 1) (ii) I = mr2 ( rε Pouˇzit´ım tohoto vztahu ovˇsem zanedb´av´ame tˇren´ı. Oznaˇc´ıme-li moment tˇrec´ıch sil MT dostaneme pro moment setrvaˇcnosti kola Ik vztah: g (iii) Ik = mr( rε − 1) − 1ε MT Moment tˇrec´ıch sil urˇc´ıme line´arn´ı regres´ı zmeˇren´ım I ∗ nekorigovan´eho momentu strvaˇcnosti pro r˚ uzn´e polomˇery v´alc˚ u na kter´e je nav´ıjen prov´ azek, pro kter´ y plat´ı: g − 1) = Ik + 1ε MT (iv) I ∗ = mr2 ( rε
ˇr ˇen´ı 2. Me 2.1. Metoda kyv˚ u. Na kolo bylo um´ıstˇeno z´avaˇz´ı do vzd´alenosti l (meˇrena vzd´alenost tˇeˇz´ıˇstˇe od osy) a hmotnosti m: l = (23, 7 ± 0, 5)cm m = (148, 4050 ± 0, 0001)g Na stopk´ach byl zmˇeˇren ˇcas vˇzdy 10 period (v´ ysledky v tabulce 1, zde jiˇz ˇcas pˇr´ısluˇsn´ y jedn´e periodˇe). Pr˚ umˇern´a perioda (chyba byla vypoˇctena jako smˇerodatn´a odchylka): T = (2, 44 ± 0, 02)s 1
2
´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
Tabulka 1. Mˇeˇren´ı T T [s] 2,428 2,442 2,468 2,421 2,431 2,466 2,439 2,445 2,439 2,420 Z namˇeˇren´ ych hodnot dle vztahu (i) urˇc´ıme velikost momentu setrvaˇcnosti kola: Ikyvu = (0, 052 ± 0, 001)kgm2 2.2. Metoda ot´ aˇ cen´ı. Parametry v´alc˚ u urˇcen´ ych k nav´ıjen´ı nitek byly mˇeˇreny ˇsuplerou. ’ Chybu odhaduji na 0,2 mm, nebot jsou kladky na okraj´ıch vystoupl´e a ˇsuplera nemˇela tak velk´ y rozsah, aby bylo moˇzno zmˇeˇrit jen vnitˇrn´ı pr˚ umˇer. D60 = (5, 97 ± 0, 02)cm D100 = (9, 95 ± 0, 02)cm D140 = (13, 97 ± 0, 02)cm D180 = (17, 98 ± 0, 02)cm Hmotnosti z´ avaˇz´ı: m10 = (9, 9661 ± 0, 0001)g m15 = (14, 9421 ± 0, 0001)g m20 = (19, 8903 ± 0, 0001)g m30 = (29, 9039 ± 0, 0001)g m50 = (49, 7903 ± 0, 0001)g Byla namˇeˇrena z´ avislost u ´hlov´e rychlosti na ˇcase ω(t) pro vˇsechny kombinace z´avaˇz´ıv´alec. Grafy z´ avislosti ω(t) vytvoˇren´e programem kolo a gnuplot i s fitovan´ ymi line´arn´ımi z´avislostmi naleznete jako obr´ azky 1-4. Nˇekter´ a mˇeˇren´ı byla ovˇsm zat´ıˇzena pˇr´ıliˇs velkou chybou, proto nebyla d´ale zpracov´ ana. Smˇernice fitovan´ ych pˇr´ımek naleznete pro jednotliv´e kombinace i s chybou v tabulce 2. Tabulka 2. Smˇernice fitovan´ ych z´avislost´ı kladky D60 D100 D140 z´ avaˇz´ı m10 m15 0.2007 ± 0, 0009 m20 0.199 ± 0, 001 0.288 ± 0, 001 m30 0.1739 ± 0, 0009 0.313 ± 0, 001 0.443 ± 0, 002 m50 0.314 ± 0, 001 0.541 ± 0, 002 0.750 ± 0, 003
D180 0.169 ± 0, 001 0.275 ± 0, 001 0.371 ± 0, 002 0.582 ± 0, 003 0.992 ± 0, 005
Tyto smˇernice jsou vlastnˇe u ´hlov´e zrychlen´ı ε [ms−1 ]. Pro kaˇzd´e z vypoˇcten´ ych zrychlen´ı ∗ urˇc´ıme nyn´ı honotu I . Tyto hodnoty jsou vyps´any v tabulce 3 (chyby byly urˇceny jako chyba nepˇr´ımo mˇeˇren´e veliˇciny) a zn´azornˇeny v grafu 5 i s fitovanou line´arn´ı z´avislost´ı I ∗ ( 1ε ) s parametry Ik a MT dle (iv) Fitov´ an´ım line´ arn´ı funkce byly nalezeny hodnoty: Ik = (0.0435 ± 0, 0009)kgm2 MT = (0.0012 ± 0, 0002)kgm2
Mˇ eˇrEN´I MOMENTU SETRVAˇ cNOSTI KOLA
3
´ zek 1. Graf z´avislosti ω(t) pro kladku D60 Obra 3. Diskuse Momenty setrvaˇcnosi se zmˇeˇren´e obˇema metodami se neshoduj´ı ani v r´amci chyby. Pˇresnˇejˇs´ı ovˇsem bude metoda ot´ aˇcen´ı, nebot’ v prvn´ı metodˇe bylo zanedb´ano tˇren´ı. prvn´ı metodˇe je t´eˇz moˇzn´ a systematick´ a chyba, nebot’ jak je vidˇet z graf˚ u ω(t), na jednom m´ıstˇe kolo ”drhne”v´ıce neˇz na jin´ ych, neot´ aˇc´ı se rovnomˇernˇe (kolo se za dobu mˇeˇren´ı ω otoˇcilo pˇribliˇznˇe tˇrikr´ at a na grafech pro mal´e kladky a mal´a z´avaˇz´ı jsou vidˇet tˇri neline´arn´ı ˇc´asti grafu, proto tak´e nebyly zaˇrazeny do dalˇs´ıho zpracov´av´an´ı.) Pokud by toto m´ısto bylo zrovna kolem um´ıstˇen´ı z´ avaˇz´ı v metodˇe kyvu, zp˚ usobilo by to vˇelkou systematickou chybu. V metodˇe kyvu vn´ aˇs´ı nejvˇetˇs´ı chybu do mˇeˇren´ı mˇeˇren´ı l, nebot’ z´avaˇz´ı m´a nepravideln´ y tvar a nen´ı moˇzno tak pˇresnˇe urˇcit polohu jeho tˇeˇziˇstˇe, jehoˇz vzd´alenost od osy by se mˇela mˇeˇrit. U mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti metodou ot´aˇcen´ı vn´aˇs´ı nejvˇetˇs´ı nepˇresnost mˇeˇren´ı polomˇeru v´alc˚ u, nebot’ se ve v´ ypoˇctu vyskytuj´ı v druh´e mocninˇe. ´ ve ˇr 4. Za Metodou kyvu byl zmˇeˇren moment setrvaˇcnosti kola: Ikyvu = (0, 052 ± 0, 001)kgm2
4
´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
´ zek 2. Graf z´avislosti ω(t) pro kladku D100 Obra Metodou ot´ aˇcen´ı byl zmˇeˇren moment setrvaˇcnosti kola a moment tˇrec´ıch sil: Ik = (0.0435 ± 0, 0009)kgm2 MT = (0.0012 ± 0, 0002)kgm2 5. Literatura (I) Studijn´ı text k Praktiku 1 http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt 113.pdf
Mˇ eˇrEN´I MOMENTU SETRVAˇ cNOSTI KOLA
´ zek 3. Graf z´avislosti ω(t) pro kladku D140 Obra Tabulka 3. Moment setrvaˇcnosti nekorigovan´ y m g 29,9039 49,7903 19,8903 29,9039 49,7903 14,9421 19,8903 29,9039 49,7903 9,9661 14,9421 19,8903 29,9039 49,7903
1 r ε chyba ε chyba 1ε I∗ chyba I ∗ ε −2 −2 −1 2 −1 2 2 cm rads rads rad s rad s kgm kgm2 2,99 0,1739 0,0009 5,75 0,03 0,050 0,002 2,99 0,3140 0,0010 3,18 0,01 0,046 0,002 4,98 0,1990 0,0010 5,03 0,03 0,049 0,001 4,98 0,3130 0,0010 3,19 0,01 0,047 0,001 4,98 0,5410 0,0020 1,85 0,01 0,045 0,001 6,99 0,2007 0,0009 4,98 0,02 0,051 0,001 6,99 0,2880 0,0010 3,47 0,01 0,047 0,001 6,99 0,4430 0,0020 2,26 0,01 0,046 0,001 6,99 0,7500 0,0030 1,33 0,01 0,045 0,001 8,99 0,1690 0,0010 5,92 0,04 0,052 0,001 8,99 0,2750 0,0010 3,64 0,01 0,048 0,001 8,99 0,3710 0,0020 2,7 0,01 0,047 0,001 8,99 0,5280 0,0030 1,89 0,01 0,050 0,001 8,99 0,9920 0,0050 1,01 0,01 0,044 0,001
5
6
´ ´IKOVA ´ TEREZA ZABOJN
´ zek 4. Graf z´avislosti ω(t) pro kladku D180 Obra
Mˇ eˇrEN´I MOMENTU SETRVAˇ cNOSTI KOLA
´ zek 5. Graf z´avislosti I ∗ ( 1ε ) Obra
7
