11/22/11$
ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN…
Anne Schatteman ErasmushogeschoolBrussel Lerarenopleiding LSO
[email protected]
Vandaag 2
2
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
Moeilijk onderdeel van de leerstof 3
Bewijzen worden behandeld want ‘het hoort erbij’
Vraagt heel veeltijd …. Weinig rendement Wordt
(vaak) zuiver gememoriseerd
Grote
faalangst
Didactisch:
veel tovermomenten; weinig inbreng van de lln Inzicht moeilijk te evalueren
Bewijzen worden soms weggelaten of moeten niet gestudeerd worden weinig in de eerste graad
3
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
1$
11/22/11$
Heuristisch versus deductief 4
≠
Denken van wiskundigen
Denk proces om definities en eigenschappen op te bouwen
Vertrekken van eenprobleem
Hypotheses formuleren en in vraagstellen
Kritisch zijn tov redeneringen >bijsturen van voorwaarden en bewijzen Dynamisch zoeken; een avontuur in de wiskunde
4
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Deductievestijl in handboek
Lijst van definities eigenschappen voorbeelden Poneren van stellingen Gestructureerde voorstelling van een denkresultaat elke stap verklaren Wiskunde lijkt onbetwistbaar; steeds groeiend …
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
Verband met Problem Solving 5
Onderzoek (Lakatos)
PS (Polya / Schoenfeld)
(primitieve) hypothese
1ste bewijs = ruw gedachtenexperiment
Plan maken van uitwerking
Globaal tegenvoorbeeld
Plan uitvoeren
Waar zat de fout in het eerste bewijs? =>voorwaarden in conjectuur aanpassen
5
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Het probleem analyseren / begrijpen
Reflecteren op het oplossingsproces
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
h e u r i s t i e k e n
26 november 2011
Opdracht (kenmerk parallellogram) 6
Analyseer de volgende stelling:
Formuleer een aanvaardbare vraag/probleem in een opdrachtje voor de lln als instap voor de formulering van de stelling. Ilustreer waarom het voorgestelde bewijs geen neerslag is van een denkproces.
6
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
2$
Stelling: Als in een vierhoek twee overstaande zijden even lang zijn en evenwijdig, dan is de vierhoek een parallellogram. Bewijs: In onderstaande vierhoek ABCD met AD // BC en |AD| = |BC| trekken we de diagonaal [BD].
Δ ABD ≅ Δ CDB want |AD|=|CB| en Daaruit volgt
en |BD|=|BD| (ZHZ)
. Dus dit zijn verwisselende binnenhoeken van AB en
CD , gesneden door de rechte BD. Daaruit volgt dat AB // CD. De vierhoek heeft twee paar evenwijdige zijden en is dus een parallellogram.
11/22/11$
7
Vertrekken van een probleem
congruentiekenmerken
Kenmerk van een middelloodlijn van een lijnstuk
kenmerk van een gelijkbenige driehoek
Eigenschappen van eenkoordein eencirkel
Middelpuntshoek versus omtrekshoek
Stelling van Pythagoras
7
Kortrijk, Dag van de wiskunde
hypothese
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
Anticiperen op het bewijs 8
Stelling van de middelloodlijnen in een driehoek:
Teken drie middelloodlijnen in een driehoek. wat stel je vast?
OF
Kenmerk van gelijkbenige driehoek
teken twee middelloodlijnen gaat de derde door het snijpunt van de twee eerste? onderzoek van geplooide driehoek -> • merkwaardige lijnen • congruentie
Beeld van een rechte door een spiegeling is een rechte:
de juiste probleemstelling geeft de structuur van de redenering aan.
8
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
Oefenen op gegevens en gevraagde 9
Tekeningen leren maken: gegevens
in het groen in het rood aanvullende markeringen door gebruik van eigenschappen in het blauw Voorbeelden: 1. Teken: Als een zijde van een driehoek, ingeschreven in een cirkel, een middellijn is van de cirkel, dan is de driehoek rechthoekig. 2. Teken: In een gelijkbenige driehoek is een zwaartelijn vanuit de tophoek ook een bissectrice. gevraagde
9
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
3$
11/22/11$
Bewijzen = probleemoplossen 10
• De 4 fasen van Polya doorlopen tijdens het zoeken naar een bewijs • Aangepaste heuristieken gebruiken • Metacognitieve begeleiding en feedback
Kenmerk gelijkbenige driehoek Kenmerk middelloodlijn van een lijnstuk Som van de hoeken van een driehoek is 180° Middelpuntshoek–omtrekshoek Eigenschappen van een koorde Stelling van Pythagoras
10
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
Kenmerken van begrippen 11
Kennis van zoveel mogelijk kenmerken =>taal waar in een bewijs kan
gevoerd worden =>technisch voordeel uitbuiten.
Formularia aanvullen met fiches van kenmerken van de belangrijkste begrippen (parallellogram / middelloodlijn / gelijkbenige driehoek ....
Consequente keuzes maken in bewijzen
Strategische keuzes maken in bewijzen
11
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Opdracht: Zoek de verschillende kenmerken die aan bod komen en waarom zijn ze strategisch?
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
Is er steeds nood aan een bewijs? 12
Patroonherkenning ≠ bewijsvoering Vb1: Vb2: Vb3:
Is n2+n+41 een priemgetal? Hoeveel domeinen?
1 1 n + ... + = 1.2 n(n +1) n +1
Pseudobewijzen Een
voorbeeld kan soms al het nodige inzicht
Een
tekening bevat soms alle informatie die nodig is.
€ genereren;
Illustreren met een vb ≠ bewijzen van de eigenschap -> telkens zeggen we aan de lln ....
12
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
4$
11/22/11$
schema: reliëf leggen Geg
TB
IR2 ,+
is commutatief
Place to be
∀(a,b), (c,d) ∈ IR2
€
(a,b) + (c,d )
€
€
(a + c, b + d)
€ 13
14
=
=
€
(c,d) + ( a,b)
Kortrijk, Dag van de wiskunde
€
=
(c + a, d + b)
€
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
Kritische stapsgewijze analyse van een bewijs
We proberen elke stap in het bewijs te verklaren; op welke eigenschap steunt men, welke definitie wordt gebruikt, welk kenmerk? Een valiesje van vragen aanleggen. Kan onafhankelijk van de analyse van de structuur van het bewijs Kan als voorbereiding in een huiswerk , of nadat de structuur van het bewijs is besproken in de klas.
14
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
Opdracht: stel elke stap in vraag! wees kritisch! 15
15
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
5$
11/22/11$
Maak een spiekbriefje Het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk: P ∈ middelloodlijn van [AB] lPAl = lPBl
=>)
Een punt van de middelloodlijn ligt even ver van de twee eindpunten PAD PBD ZHZ => lPAl = lPBl
<=) een punt even ver van de eindpunten ligt op de middelloodlijn
PAM PBM ZZZ ⇒ hoeken in M even groot ⇒ twee rechte hoeken
16
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
RECONSTRUCTIE
17
Structuur/
Uitwerking
sleutelelementen =>) • definitie middelloodlijn • tekening maken/ geg aanvullen • congruentie van 2 driehoekn
PAD PBD ZHZ
<=) • tekening maken/ geg aanvullen • TB: zwaartelijn is hoogtelijn of omgekeerd • congruentie van 2 driehoekn
PAM ZZZ
17
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
PBM
17
26 november 2011
Opdracht 18
Maak een spiekbriefje van het bewijs dat de homothetie de lengte van een lijnstuk vermenigvuldigt met de factor in absolute waarde.
18
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
6$
11/22/11$
19
nog mogelijkheden in de eerste graad middelloodlijnen in een driehoek snijden elkaar in een punt bissectrices in een driehoek snijden elkaar in een punt hoofdeigenschap van breuken deelbaarheidskenmerken in Z associativiteit / commutativiteit ... van de vermenigvuldiging van breuken ....
19
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
Is het haalbaar? Is er een keuze? 20
LESS IS MORE
Niet als we alle stellingen zo aanpakken ->keuzes maken. Stellingen/ Bewijzen die niet ontdekt worden door de lln hebben weinig ‘leer’waarde Lln moeten overtuigd raken van het nut van een bewijs: Voor de wiskunde Voor de eigen problem solving vaardigheden
20
Kortrijk, Dag van de wiskunde
26 november 2011
Lln moeten ervaren dat steeds dezelfde vaardigheden terugkomen, steeds dezelfde structuren, steeds dezelfde kritische vragen.
Overleg met de lln ivm de bewijsmethode, ....
Moeilijke taak van de leerkracht:
21
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
Steeds zoeken naar het probleem dat eraan vooraf gaat? Zich inleven in het onderzoek van het probleem, in het denkproces van de ontdekking …
Basis van de logica / bewijsmethoden is een belangrijk kenniselement
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
7$
11/22/11$
22
Kortrijk, Dag van de wiskunde
Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel
26 november 2011
8$
