ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU – Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT6 1. Vypočtěte y = 6 x + 7
derivaci
Vzpomeneme si na poučku o odmocninách: 2
x . Uvědomíme si, že
y‘ = (6 x + 7 )‘ = (6.x
n
elementární
1 n
x = x . Pokud máme
funkce
x , znamená to ovšem
7 je pouze číslo. Zadání si podle toho přepíšeme: 1 2
+
7 )‘ = Také si vzpomeneme na to, jak se derivuje mocnina:
(xr )‘ = r.xr – 1 1 1 21 - 1 1 -2 = 6. .x + 0 = 3. x = 3. 1 = Použijeme první z uvedených pouček zase na druhou 2 2 x
stranu. 3 = x
Je to možnost (D).
2. Jestliže y = 3ex + lnx.cosx, potom hodnota y‘(1) je... Napřed zderivujeme, pak dosadíme jedničku. Funkce y je součet exponenciely a součinu dvou dalších funkcí. Derivace bude tedy součtem derivací těch dvou složek, přičemž exponencielu derivace nezmění: y‘ = (3ex + lnx.cosx)‘ = (3ex)‘ + (lnx.cosx)‘ = 3ex + (lnx.cosx)‘ = Připomeneme si vzoreček pro derivaci součinu: (prvni.druha)‘ = prvni‘.druha + prvni.druha‘ 1 = 3ex + (lnx)‘cosx + lnx.(cosx)‘ = (lnx)‘ = , (cosx)‘ = -sinx x 1 cosx = 3ex + .cosx + lnx.(-sinx) = 3ex + - lnx.sinx x x Dosadíme tedy jedničku:
y‘(1) = 3e1 +
cos 1 - ln 1.sin 1 = 1
ln 1 = 0,
e1 = e
= 3e + cos 1 Protože 1 radián je něco přes 60°, ale méně než 90°, vyjde cos 1 někde mezi 0,5 a 0, takže správně není nic z nabízeného. Odpověď tedy zní (E) „není žádná z uvedených“.
3. Pro funkci y = x3 – x máme určit velikost úhlu, který svírá tečna jejího grafu s kladně orientovanou osou x v bodě a = 1.2. Výsledek zaokrouhlete na celé stupně. Vzpomeneme si na poučku z kapitoly o zavedení derivace funkce v bodě: (Je to text Řešené příklady s výkladem, oddíl 8.)
df f(x0 + dx) - f(x0) f ‘(x0) = lim = lim dx dx dx 0 dx 0
Kde je ten hledaný úhel mezi tečnou ke grafu v bodě x0 a ixovou osou. Když jsme tázáni na ten úhel, uděláme derivaci, dosadíme do ní a místo x, čímž dostaneme tangens toho úhlu, takže na výsledek ještě použijeme funkci arctg (na kalkulačce) a dáme pozor, aby výsledek byl ve stupních. Pozn.: moje vysvětlování používá schválně bod x0, aby bylo jasné, že to je jedno z ixů. Označení „v bodě a“ je další pokus vás zmátnout. y‘ = (x3 – x)‘ = 3x2 – 1 y‘(1,2) = 3.1,22 – 1 = 3.1,44 – 1 = 4,42 (Pozn.: Prohlašuji, že nejsem ani z Manchesteru ani z Dallasu, proto zásadně nepíšu a nikdy psát nebudu desetinnou tečku, nýbrž jsem z c. a k. Budweisu, proto se zarytě držím c. a k. desetinné čárky a tečka u mě znamená „krát“.) tg = 4,42 / arctg na kalkulačce = 77°15` 77°, což je výsledek (E).
4. Výraz
4 (q - 1)2
3q (A) f(q) = q 3q (D) f(q) = 1
+ -
1 1 1 q
df dostaneme jako dq
3q - 1 (B) f(q) = q - 1
funkce
3q + 1 (C) f(q) = 1 - q
(E) žádná z uvedených funkcí nevyhovuje.
Úloha, kdy se hledá k derivaci zpět funkce, je v podstatě integrování a patří až do příští nebo přespříští kapitoly. Navíc myslím, že jsem prokoukl záměr tohoto příkladu, kterým zřejmě je, abyste si zafixovali vzoreček pro derivaci zlomku (podílu). Proto nebudeme tento příklad řešit matematicky čistým a efektivním způsobem – tím integrováním, ale vezmeme vylučovací metodu. (Kdo je liška podšitá, vezme to od konce, protože psychologicky odvodí, že ta správná možnost, pokud tam je, bude naschvál jedna z posledních. Mně se takové spekulace moc neosvědčily a taky si říkám, že to bych mohl rovnou integrovat.) Popořádku napřed možnost (A) – vezmeme výsledek a derivujeme podle q: 3q + 1 čitatel čitatel'.jmenovatel - čitatel.jmenovatel' vzoreček f = , f‘ = q-1 jmenovatel jmenovatel2 (není to slovensky, to jsou derivace) df (3q + 1)'(q - 1) - (3q + 1)(q - 1)' 3(q - 1) - (3q + 1) 3q - 3 - 3q - 1 = = = = dq (q - 1)2 (q - 1)2 (q - 1)2 -4 = To není ono! (q - 1)2 f(q) =
Následuje možnost (B): 3q - 1 f(q) = q-1 df (3q - 1)'(q - 1) - (3q - 1)(q - 1)' 3(q - 1) - (3q - 1) 3q - 3 - 3q + 1 = = = = dq (q - 1)2 (q - 1)2 (q - 1)2 -2 = To také není ono! (q - 1)2 Přejdeme k možnosti (C): 3q + 1 f(q) = 1-q df (3q + 1)'(1 - q) - (3q + 1)(1 - q)' 3(1 - q) - (3q + 1).(-1) 3 - 3q + (3q + 1) = = = = dq (1 - q)2 (1 - q)2 (1 - q)2 3 - 3q + 3q + 1 4 = = = Už je to skoro ono. Někdo by tuto možnost zavrhl, protože 2 (1 - q) (1 - q)2 nesouhlasí jmenovatel. Já bych s tím tak nechvátal. 4 4 4 4 4 = = = = = A to už sedí! (- q + 1)2 ((-1). (q - 1))2 (-1)2.(q - 1)2 1.(q - 1)2 (q - 1)2 Ty čachry s tím znaménkem vypadají právem uměle a divoce. Zkuste si ale obě možnosti rozepsat: (q – 1)2 = q2 – 2.q.1 + 12 = q2 – 2q + 1 (1 – q)2 = 12 – 2.1.q + q2 = 1 – 2q + q2 - což je opravdu totéž. Někteří např. matfyzáci nebo inženýři technických oborů by vám taky řekli, že (q – 1)2 je čtverec vzdálenosti jedničky od q, kdežto (1 – q)2 je čtverec vzdálenosti q od jedničky, což přece obvykle bývá stejné. Neboli: Je to dál z Budějovic do Prahy nebo z Prahy do Budějovic? Takže opravdu možnost (C). Komentář: Tomu se říká chyták, podpásovka, zvěrstvo, ...
5. y =
Najděte x3 - 3x
všechny
stacionární
body
funkce
Stacionární body jsou ty, kde je derivace nulová. V těchto bodech se s funkcí obvykle něco děje. Buďto přestává růst a začíná klesat, popř. opačně – pak jde o (lokální nebo globální) maximum, popř. minimum – viz pojednání o průběhu funkcí, nebo se funkce ve stacionárním bodě začíná stáčet na opačnou stranu – představte si prostředek písmene S. Nuže nejprve derivaci, pak určit, kde je nulová. y = x3 - 3x y‘ =
3
složená funkce ... vnitřní funkce je z = x – 3x, vnější je
1 2
z , tj. z , kterou ale
derivujeme podle z, obě derivace vynásobíme, jak nám káže vzoreček na složenou funkci: 1 1 -2 2z
.(3x2 – 3) =
1 2 z
(3x2 – 3) =
1 3x2 - 3 2 = .(3x – 3) = 2 x3 - 3x 2 x3 - 3x y‘ = 0 3x2 - 3 =0 2 x3 - 3x
/ Nepleťte si to s nerovnicí. Zde nás jmenovatel až tak moc nezajímá. Tam, kde je nulový, nemá zřejmě funkce derivaci. Mimochodem je to vx =0ax= 3. My provedeme úpravu založenou na tom, že zlomek je nulový, jen když je čitatel nulový: / :3
3x2 – 3 = 0 x2 – 1 = 0 Zde jsou dva možné další postupy – rychlý a spolehlivý: Rychlý způsob x2 – 1 = 0 x2 = 1 x= 1
Spolehlivý způsob /+1 /
Je to kvadratická rovnice, tak použijeme příslušný vzorec. Napřed učešeme zadání: x2 – 1 = 0
b2 - 4ac 2a -0 0-4.1.(-1) 4 2 x1,2 = = = = 1 2 2 2 Takto by to vypadalo na variantu (D), kde je jednička a mínus jednička. ALE POZOR!!! x1,2 =
-b
Tento příklad je obzvláště zákeřný chyták, ještě zákeřnější než předchozí příklad. Schválně si zkusíme ty body načrtnout do grafu funkce y = x3 - 3x . K tomu potřebujeme kromě x1,2 také y1,2. Ty dopočítáme: y1 = (-1)3 - 3.(-1) = -1 + 3 = 2 ... OK y2 = 13 - 3.1 = 1 - 3 = -2 ... A SAKRA. Tak toto nenamalujeme. Mínus pod odmocninou je zakázáno a to znamená, že ta funkce v bodě x = 1 vůbec není (definovaná ... jednička nepatří do jejího definičního oboru), takže tam ani nemá žádný stacionární bod. Všechny stacionární body funkce y jsou tyto: x = -1. Tato možnost v nabídce není, správně je (E) – žádný z uvedených...
y'(2) 6. Je dána funkce y = ln(2x2 + 7). Potom zlomek y'(1) je roven ... Spočítáme derivaci, dosadíme dvojku a jedničku, dáme do zlomku: y = ln(2x2 + 7) y‘ = Zase je to složená funkce. Vnitřní funkce je z = 2x2 + 7, její derivace 2.2x = 4x. Vnější 1 1 funkce je lnz. Tu derivujeme podle z a následně dosadíme. Vyjde = 2 . z 2x + 7 1 4x = 2 . 4x = 2 2x + 7 2x + 7 4.2 8 8 = = 2 2.2 + 7 8 + 7 15 4.1 4 4 y‘(1) = = = 2.12 + 7 2 + 7 9 y‘(2) =
8
y'(2) 15 8 9 82 = = . = y'(1) 49 15 4 15 5
=
6 5
Správně je (B). Komentář: Student(ka), který/á měl(a) půjčenou vaši cvičebnici z městské knihovny přede mnou divoce zakroužkoval(a) propiskou to béčko ... ... škoda, udělalo by mi radost, kdyby to nebylo dobře.
7. Po zásahu ekologů došlo postupně ke zlepšení kvality vody v jezeře zasaženém bakteriální infekcí. Počáteční stav 5000 bakterií v mililitru vody se dále vyvíjel podle modelové funkce 2 N(t) = 5000 - 1000ln(1 + t ), kde N(t) je koncentrace
bakterií v 1 mililitru vody závisící na t, času od počátku procesu ve dnech. Jakou rychlostí klesal počet bakterií v jednom mililitru vody 2 a půl den od počátku procesu? (Zaokrouhlete na nejbližší stovku bakterií v ml za den.) Kdo má maturitu z fyziky, bude vám tvrdit, že rychlost je dráha lomená časem. Ale kdo čichl k fyzice na VŠ, ten by vám vysvětlil, že rychlost je změna nějaké veličiny v čase. Ano, může to být a často to bývá ona dráha, ale klidně to může být i počet, elektrický náboj, koncentrace, což je vlastně totéž jako počet, nebo třeba úhel. Jo, a změnu veličiny v čase dostaneme tak, že její časovou funkci zderivujeme podle času. Tak to uděláme i tady: N(t) = 5000 – 1000ln(1 + t2) dN = A zase složená funkce (těch 5000 je konstanta, kterou derivaci zplacatí na nulu) – dt 1 1 vnější funkce je zase logaritmus lnz, její derivace = . Vnitřní funkce je tady z 1 + t2 z = 1 + t2, její derivace vyjde 2t. Známý vzoreček nám zase velí obě derivace vynásobit. 1 -2000t = -1000 .2t = 1 + t2 1 + t2 dN -2000.2,5 -5000 (2,5) = = -690 -700 * dt 1 + 6,25 7,25 Mínus jsem tam nechal. Znamená to, že sledovaná veličina nenarůstá, ale klesá. Což souhlasí. U výsledku mi chybí jednotka, což je ve fyzice hrubá chyba. Protože naše časová jednotka je 1 den, odpovídá tento výsledek dobře možnosti (B). Jednotka, kterou vám dlužím u výsledku, je „bakterií v mililitru za den“.
* Mimochodem, toto znáte? Fígl, jak se počítá druhá mocnina čísla zakončeného pětkou: Rozdělím číslo na počet desítek a pětku. Pětku zahodím. Počet desítek vynásobím číslem o jednu větším a za výsledek připíšu „25“. Např.: 352 3|5 3 | 5 3.(3+1) 3.4 = 12 12|25 1225 Zde to bylo: 252 2|5 2 | 5 2.(2+1) 2.3 = 6 6|25 625 2 resp.: 2,5 = 625, ovšem desetinná čárka musí ještě o dvě místa doleva ... 6,25. Nebo i takto: 2052 = 20|5 kalkulačce.
20 | 5
20.21
420
420|25
42025 – Račte ověřit na
