1. tétel A Az elektromágneses színkép tartományai. I. Az elektromágneses sugárzás: Az elektromágneses sugárzás egymásra merőlegesen haladó, oszcilláló elektromos és mágneses tér, mely hullám formájában terjed, energiát és impulzust szállítva. Kvantuma a foton Az elektromágneses sugárzások hullámhossz (vagy frekvencia) szerinti elrendezésével kapjuk az elektromágneses spektrumot. II. Elektromágneses spektrum: • A hullámhossz alsó határa a Planck hossz, felső határa az univerzum mérete • A spektrum folytonos és végtelen -> a két határ között akármilyen hullámhossz (frekvencia) előfordulhat • Hullámhossz, frekvencia és a foton energiájának kapcsolata:
c E=h⋅ h⋅c E= =
ahol λ a hullámhossz, υ a frekvencia, E a foton energiája, h a Planck állandó, c a fénysebesség Ezek alapján: • nagy frekvenciájú sugárzás hullámhossza kicsi, energiája nagy • kis frekvenciájú sugárzás: nagy hullámhossz, kis energia • Közegben az elektromágneses hullámok energiát vesztenek -> nő a hullámhosszuk
1.
2.
Rádió hullámok: • Hullámhossz: 1 méterig • A légkör részben átengedi • Az észlelés felső határa: a detektornak összemérhetőnek kell lennie a hullámhosszal • Előállítás: elektromos rezgőkörökkel • Fontosabb tartományai: • MF – medium frequency (300-3000 kHz): AM rádió • VHF – very high frequency (30-300 MHz): TV, FM rádió • UHF – ultra high frequency: TV, mobil telefon (GSM), vezeték nélküli hálózatok • nincs éles határ a rádióhullámok és a mikrohullámok között • Felhasználása: távközlés, adattovábbítás vezeték nélküli hálózatok rádió Mikrohullám:
Hullámhossz: 1 m-től 1 mm-ig A légkör elnyeli Előállítás: tranzisztorokkal, magnetronnal(vákuumcsövek) Alkalmazások: • WLAN • BlueTooth • IEEE802.11g (2,4 GHz) • radar Infravörös tartomány: • Hullámhossz: 1mm-től 780 nm-ig • A légkör jórészt elnyeli • Forrása: molekulák rezgései • Létrehozás: hősugárzó, lézerdióda • Alkalmazások: • Optikai kommunikáció • Haditechnikai alkalmazások (éjjellátó) Látható tartományai: • Hullámhossz: 800nm-től 400nm-ig • A légkör teljesen átengedi • Létrehozás: izzó, gázkisülés, lézerdióda • Forrása: külső elektronok • Alkalmazások: • CD, DVD • BlueRay Disc Ultraibolya tartományai • Hullámhossz: 400nm-10nm • Forrás: Elektronok • Lágy ultraibolya: • UV-A (400-315nm) • UV-B (315-280nm) • UV-C (280-100nm) • Kemény ultraibolya: 100-10nm • Alkalmazások: • csillagászatban forró objektumok • fotolitográfia: integrált áramkörök előállítása • fertőtlenítés Röntgen tartomány • 10nm – 0,1nm • ionizáló sugárzás • forrása: nagy energiájú elektronok (belső elektronok) • Alkalmazások: • Csillagászati: Chandra • Orvosi Gamma tartomány • Hullámhossz: <0,1nm • Forrása: nagy energiájú, a magban lejátszódó folyamatok • magreakciók • α-, β-bomlás • Alkalmazások: • Orvosi: daganatos sejtek megsemmisítése • anyagvizsgálat • • • •
3.
4.
5.
6.
7.
2. tétel A Hõmérsékleti sugárzás. Kirchhoff törvénye. Az abszolút fekete test. A Planckféle sugárzási formula. I. Hőmérsékleti sugárzás: • Ha az elektromágneses hullám kibocsátásának oka a test hőmérséklete, akkor hőmérsékleti sugárzásról beszélünk . • A hőmérsékleti sugárzás az infravörös, infravöröshöz közeli mikrohullámú, látható és ultraibolya tartományba is eshet. • A hőmérsékleti sugárzás spektrális energiasűrűség eloszlását a klasszikus fizika nem tudta megmagyarázni. 1. Kvalitatív tapasztalatok: A melegebb testek lehűlnek, a hidegebbek felmelegszenek Kísérlet: állítsunk egymással szembe két homorú tükröt; az egyik gyújtópontjába rakjunk termoelemet, a másikba pedig először a kezünket, majd hideg vizet: azt tapasztaljuk hogy az első esetben a termoelem felmelegedést, a másodikban lehűlést mutat. -> Bármilyen hőfokú test sugároz, környezetétől függetlenül. Sugárzási egyensúly: ha a test és környezete ugyanakkora hőmérsékletű: ugyanannyit sugároz ki mint amennyit elnyel A sugárzás intenzitása a test hőmérsékletével nő A hőmérséklettel változik a sugárzás spektrális eloszlása is: izzított vas fényének színen változik Ugyanazon hőfokon lévő testek közül az sugároz jobban, amelyik a sugárzást legjobban elnyeli 2. Sugárzási egyensúly üregben: Tekintsünk egy állandó T hőmérsékleten tartott, hőszigetelő falakkal határolt evakuált üreget. Az üreg falát alkotó részecskék termikus rezgéseket végeznek, ennek következtében energiát sugároznak ki. Másrészt energiát nyelnek el az üregből. Egyensúlyban a sugárzás az üreg egészében, külön-külön minden frekvencián homogén, izotrop és polarizálatlan. Az egyensúlyi sugárzás energiasűrűsége, és annak spektrális eloszlása csakis a hőmérséklettől függ; ez a termodinamikából következik: Gondolatkísérlet: Tekintsünk két olyan üreget melyek falainak anyagai különbözőek, az üregek hőmérséklete kezdetben ugyanakkora. Legyen a két üregben különböző az energiasűrűség; u1(T)>u2(T). Ekkor az első üregből több energia áramlik a másodikba, mint fordítva. A második üreg fala több energiát nyel el mint amennyit kibocsát; tehát felmelegszik. Másrészt az első üreg fala több energiát bocsát ki, mint amennyit elnyel, így lehűl. A termodinamika második főtétele tiltja hogy két kezdetben azonos hőmérsékletű üreg fala, csak egymással való hőcsere következtében megváltoztassák hőmérsékletüket.
3.
Elektromágneses hullámok üregben: Tekintsünk egy tökéletesen visszaverő és T hőmérsékletű felületekkel határolt anyagmentes üreget. Az üreg belsejében elektromágneses hullámok jönnek létre. Termodinamikai egyensúly esetén ez az elektromágneses tér felbontható egymástól független, különböző frekvenciájú és irányú állóhullámok rendszerére. Az állóhullámok hullámhosszát és frekvenciáját az üreg méretei szabják meg. Rayleigh és Planck: Az állóhullámok mindegyike megfeleltethető egy-egy lineáris harmonikus oszcillátornak: az üregbe zárt elektromágneses tér lineáris harmonikus oszcillátorok összességével reprezentálható. Sugárzási tér energiasűrűsége:
u , T d =dn
ahol u(υ, T) az egységnyi frekvenciaintervallumon található energiasűrűség, dnυ az egységnyi térfogatban
lévő υ frekvenciájú oszcillátorok száma, a υ frekvenciájú oszcillátorok átlagos energiája. II. Kirchhoff törvénye: Egy test emisszióképességének (E) és abszorpcióképességének (A) hányadosa egy adott frekvencián (υ) megegyezik a vele termodinamikai egyensúlyban lévő sugárzás spektrális fajlagos intenzitásával:
E ,T c =K ,T = u A ,T 8 ,T
Az emisszió-, és abszorpcióképesség hányadosa független a közeg anyagi minőségétől. Ha egy test υ frekvencián sugárzást bocsát ki, akkor ugyanazon a frekvencián el is nyeli azt. Kísérlet: nátriumot égetünk egy spektrográf bemenete előtt; ekkor az ernyőn a nátrium vonalas színképét látjuk. Ezután a nátriumlángot folytonos spektrumú fénnyel világítjuk meg; ekkor az ernyőn folytonos színképet látunk, de a nátrium vonalainál sötét csíkok vannak. III. Abszolút feketetest: 1. Az olyan testeket, melyek abszorpcióképessége (A(υ, T)) 1-el egyenlő, abszolút feketetestnek nevezzük. Kirchhoff törvénye ebben az esetben:
E , T =
c u 8 ,T
-> Ha meg tudjuk u(υ, T)-t határozni az abszolút feketetest esetén, akkor bármely test hősugárzásának spektrális eloszlását meghatározhatjuk (ha mérjük az abszorpcióképességét) 2. Abszolút feketetest megvalósítása: Belül kormozott falú edény falába kis lyukat fúrunk; a lyukon át az üregbe jutó fény gyakorlatilag néhány visszaverődés után teljesen abszorbeálódik. Minél kisebb a nyílás, annál jobban közelíti az abszolút feketetest (mert kisebb a lyukon távozó energia)
3. Abszolút feketetest spektrális energiaeloszlása:
IV. Planck-féle sugárzási törvény: Próbálkozások az abszolút fekete test spektrális energiaeloszlásának leírására: Rayleigh-Jeans, Wien -> csak bizonyos hullámhosszokon közelítik jól a megfigyelteket:
Planck hipotézisei: Elektromágneses sugárzást elnyelő oszcillátor csak olyan állapotban lehet, amelyben az energiája egy ε energiakvantumnak az egész számú többszöröse. Az n-edik állapothoz tartozó energia:
n=n⋅ 1 1 a nullponti energia valójában: n=n ⋅ 2 2 Az oszcillátor az egyik energiaállapotból a másikba ugrásszerűen mehet át, úgy hogy az állapotok közti energiakülönbséget abszorbeálja vagy emittálja: a sugárzási energia abszorpciója és emissziója energiakvantumokban történik. Energiakvantum: =h⋅ , ahol h a Planck állandó ( h=6,626⋅10−34 J⋅s ) Planck-féle sugárzási törvény:
=
h⋅
h⋅ k⋅T
e −1 u ,T d =dn egyenletbe: 3 8 c h 1 8 h⋅ 1 u , T = u , T = 5 hc 3 , h c e T k −1 e kT −1
Ezt beírva a
Ezt az összefüggést Planck-féle sugárzási törvénynek nevezzük.
3. tétel A A fekete sugárzásra vonatkozó Stefan-Boltzmann törvény és a Wien-féle eltolódási törvény. I. A Stefan-Boltzmann-féle törvén: Stefan kísérleti eredmények analizálásával arra a következtetésre jutott hogy az u(T) sugárzási energiasűrűség arányos a hőmérséklet 4. hatványával. Boltzmann termodinamikai megfontolások alapján elméleti úton a feketetest sugárzás energiasűrűségére a következő összefüggést kapta:
u T =∫ u ,T d = T 4
ahol σ-t Stefan-Boltzmann-konstansnak nevezzük, melynek kísérletileg meghatározott értéke:
=5,7⋅10−8
W m2 K 4
II. Wien-törvény: Wien 1893-ban a termodinamika és az elektromágnesség elméleteinek eredményeire támaszkodva megmutatta, hogy a sugárzás u(υ, T) spektrális energiasűrűsége a következő alakban írható:
u ,T = 3 F
c4 c , u , T = 5 F T T
ahol az F függvény a frekvencia és a hőmérséklet hányadosának függvénye, ennek alakját termodinamikai megfontolások alapján nem lehet meghatározni. Ennek az összefüggésnek a felhasználásával meghatározható a λmax amelynél -adott hőmérsékleten- a spektrális energiasűrűség a maximális értékét veszi fel.
max =
b T
Ezt Wien-féle eltolódási törvénynek nevezzük: a feketetest maximális spektrális energiasűrűségéhez (emisszióképességéhez) tartozó hullámhossz az abszolút hőmérséklettel fordítva arányos. Tehát a sugárzás maximuma a növekvő hőmérséklettel a rövidebb hullámhosszak felé tolódik el.
b=2,9⋅10−3 m⋅K
4. tétel A Nem fekete testek sugárzása. Magas hőmérsékletek mérése. Fényforrások hatásfoka. I. Nem fekete test sugárzása: • Valamely test emisszióképességét Kirchhoff törvénye szerint a következő alakban írhatjuk:
E , T =A , T ⋅K , T
ahol A(υ, T) a test abszorpcióképessége, K(υ, T) pedig a termális egyensúlyban lévő sugárzás spektrális fajlagos intenzitását jelenti. Abszolút fekete test esetén: A(υ, T) = 1;
E , T =E f , T =K , T
•
az abszolút fekete test emisszióképessége megegyezik a K(υ, T)-vel. Szürke sugárzó test: olyan testek melyek abszorpcióképessége a υ frekvenciától illetve a λ hullámhossztól független (ilyen pl az ívlámpa szén):
A , T = AT E sz = , T = AT ⋅E f ,T = AT ⋅K , T
Látható hogy a szürke sugározó testek emisszióképességének spektrális eloszlása olyan mint a fekete testé (a megfelelő görbék ordinátái A(T) arányában kisebbek) • Szelektív sugárzó: olyan testek melyek abszorpcióképessége erősen függ υ-től (λ-tól), illetve a T-től II. Bármely test teljes (integrális) emisszióképessége: ∞
∞
∞
0
0
0
E T =∫ E , T d =∫ A , T E f ,T d = ∫ K ,T d =⋅K T ∞ 1 = A ,T K ,T d ahol K T ∫ 0
α a test feketeségének fokát jelenti, a test hőmérsékletétől, anyagától és felületének állapotától függ, értéke 0 és 1 között változik. • Abszolút fekete testre: α = 1;
E T =E f T =K T
•
Szürke sugárzó testre:
E T =E sz T =AT E f T = AT K T
-> szürke sugárzó test teljes emisszióképességének és abszorpcióképességének hányadosa egyenlő az abszolút fekete test ugyanahhoz a hőmérséklethez tartozó teljes emisszióképességével III. Sugárzási törvények alkalmazása magas hőmérsékletek mérésére: • 2600 °C felett már csak a sugárzásos hőmérsékletmérés és az optikai pirometria jöhet szóba. • Optikai pirometria: magas hőmérsékletek mérésére szolgáló módszerek összessége, amelyek a vizsgált testek hőmérséklete és emisszióképessége közötti összefüggést használja fel. Az erre a célra alkalmazott eszközöket sugárzási pirométernek nevezzük. Ezek a test az integrális sugárzását mérik. • Ha a test fekete testnek tekinthető, akkor a T hőmérsékletet meghatározhatjuk: a teljes sugárzás mérésével a Stefan-Boltzmann törvénnyel, vagy λmax mérésével a Wien törvényből, vagy pedig E(λ, T)d λ méréséből a Planck törvénnyel.
5. tétel A Az α-sugarak szórása; a Rutherford-féle atommodell I. Az α-részecskék szóródása: 1. Az α-részecskék: Az α-sugárzást képező α-részecskéket számos radioaktív anyag bocsát ki magából. Elektromos és mágneses térben történő eltérítésekkel megállapították, hogy az α-részecskék kétszeres pozitív töltésű hélium ionok. ( 4 2+ ) 2 He Az α-részecskék kezdeti sebessége egy anyagra nézve állandó, a fénysebesség 5-7%. Kinematikai energiája: 4-9 MeV -> α-részecskék ionizáló hatást fejtenek ki; a közegben energiát vesztenek és lefékeződnek (a hőmozgásnak megfelelő sebességre) Szabad úthossz függ a közegtől és a kezdeti energiától, „normál” levegőre 5Mev esetén 3,5 cm 2. α-részecskék kimutatása, láthatóvá tétele: Wilson-féle ködkamra: telített gőz a részecske pályája mentén keletkező ionokra csapódik le, apró cseppek alakjában.-> a ködfonal néhány másodpercig látszik. A részecskék sebességének és mozgási energiájának méréséhez a kamrát erős mágneses térbe helyezik. Szcintillációs részecskeszámlálók: cink-szulfid ernyőn felvillanások (szcintillációk) GM-cső: a töltött nagy energiájú részecskék ionizálják a töltőgázt-> az elektromos tér tovább ionizálja a gázt 3. Az α-részecskék szóródása vékony fémlemezen: Egy atomban a pozitív és negatív töltések eloszlása az atom belső tartományának a közvetlen kísérleti „szondázásával” feltárható: Rutherford α-részecskék mozgásirányának megváltozását figyelte vékony fémfólián történő áthaladás után.
•
Az α-részecskéket radioaktív anyag emittálta, ebből egy diafragmával nyalábot választott ki. A nyaláb egy vékony (1μm) aranyfólián haladt keresztül. Az α-részecskék φ szöggel eltérnek eredeti irányuktól; a szórt részecskék cink-szulfid ernyőre jutnak, az ernyőn keletkezett szcintillációkat mikroszkóppal figyelte. Az egész berendezést vákuumban helyezte el. Kísérlet eredményei: az α-részecskék nagy része nem térült el jelentősen, viszont kis számban tapasztalt nagy (még 190° közeli) eltérülést is. Magyarázat: az atom belsejében erős elektromos tér van, amelyet kis térfogatban, „nagy” tömeghez tartozó pozitív töltés hoz létre; A magban 10-14m-nél nem nagyobb Ze töltésű „nehéz” pozitív mag van, az atom által elfoglalt tartomány többi részét pedig Z számú elektron tölti ki. Szóródás kvantitatív értelmezése: Feltevés: az elektronok nem befolyásolják az α-részecskék mozgását. A 2e töltésű α-részecskére a Ze töltésű mag által gyakorolt erő:
F=
1 2Ze2 4 0 r 2
Ekkor az α-részecske pályája hiperbola lesz; a hiperbola aszimptotái által bezárt szög legyen φ (ez az eltérülésre jellemző). Továbbá vezessük még be a b paramétert amit ütközési paraméternek neveznek.
Ezeket felhasználva:
ctg
m v 2 =4 0 b 02 2 2 Ze
ahol mα az α-részecske tömege, e az elemi töltés, ε0 a vákuumpermittivitás. Ez a formula kísérletileg nem igazolható, mert egyetlen α-részecskével nem tudjuk b távolságra megcélozni az atommagot. -> ezért statisztikus formában: Időegység alatt a D vastagságú fólián áthaladó n számú α-részecske közül hány (dn) szóródik a φ szög körüli kis dΩ térszögbe, amely az ernyő mikroszkóppal figyelt részének felel meg. (N a fólia egységnyi térfogategységében lévő atomok száma)
dn , d Z 2 e 4 DN = n 4 0 2 m2 v 40 sin 4 2
•
Ezt Rutherford-féle szórási formulának nevezzük. Rutherford-féle szórási formula kísérleti igazolása: • Szórás mértékének a φ iránytól való függése: minden kísérleti feltételt változatlanul hagyunk, csak a φ szöget változtatjuk (Geiger vizsgálta) • Szórás függése a szóró anyag D vastagságától: különböző vastagságú fóliákon áthaladó szög alatt szóródó részecskék számát határozták meg. • Szórás függése a v0 sebességtől: az α-részecskéket lassították, azt kapták hogy a szórt részecskék száma a sebesség 4. hatványával fordítva arányos.
II. Rutherford-féle atommodell: •
Egy Z rendszámú elem atomjainak tömege túlnyomórészt a Ze töltésű, 10-15m sugarú atommagban helyezkedik el, és a mag körül 10-10m távolságban kering Z számú elektron (a bolygók nap körüli keringéséhez hasonlóan).
•
A modell hiányosságai: elektrodinamikailag nem stabil: Az elektronok ν frekvenciájú keringés közben ν frekvenciájú elektromágneses sugárzást bocsátanak ki.-> energiát vesztenek; a maghoz közeledő spirális pálya mentén egyre nagyobb frekvenciával keringene, majd a magba zuhanna. -> a kisugárzott frekvencia folyamatosan változna; a színképek folytonosak lennének. Tehát nem egyeztethető össze a kísérleti tapasztalatokkal.
6. tétel A A fényelektromos hatás; külső fotoeffektus. Az Einstein-egyenlet. Fotocellák. I. Kísérleti eredmények: • A fényelektromos hatást Hertz fedezte fel (1887), azt tapasztalta hogy a szikrakisülést fémelektródok között az ultraibolya fény elősegíti. ->az ultraibolya fény negatív töltésű fémlapból negatív töltéseket szabadított ki. • Kísérlet: Negatív töltéssel feltöltött amalgámozott cinklemez ultraibolya fény hatására elveszti negatív töltését. Azonban pozitív töltéssel feltöltve ugyanezt a lemezt, a töltés megmarad. • Lenard és Thomson kísérletileg meghatározta a fémből fény hatására kilépő részecskék fajlagos töltését; a kilépő részecskék elektronok. • Ezt külső fényelektroms jelenségnek, vagy fotoeffektusnak nevezzük. Bizonyos hullámhossznál nagyobb hullámhosszú fény esetén lép fel, nagyon függ a fémfelület állapotától. • Fotoáram: Ha a katód és anód közé egy galvanométeren keresztül feszültséget kapcsolunk, és a katódra fényt bocsátunk, akkor a galvanométer áramot jelez. Ezt az áramot fotoáramnak nevezzük. • Kilépő elektronok sebességének meghatározás Lenard-fele ellentér-módszerrel:
A fényérzékeny X anyagot egy F félvezető gömb belsejében helyezzük el. Az X-et és F-et az ábrán látható módon összekötjük egy galvanométeren keresztül egy változtatható feszültségforrással. Ha a feszültséget növeljük, akkor a galvanométer egyre kisebb áramot mutat.Az X-ből F-felé haladó elektronoknak le kell győzniük az ellenteret, csak azok az elektronok érik el F-et, amelyeknek elég nagy a kezdeti sebessége. A feszültséget tovább növelve egy bizonyos feszültség (Vr) után már nem folyik áram. Ekkor már a legnagyobb sebességű elektron sem éri el az F-et. Vr feszültségnél a leggyorsabb elektronok energiája éppen megegyezik azzal a munkával amit a tér ellenében végeznek:
1 2 m v max=e V r , ahol m az elektron tömege 2 •
Így vmax sebesség meghatározható Vr ismeretében. Kísérleti eredmények és a klasszikus hullámegyenlet viszonya: Kísérlet eredménye A fotoelektronok vmax maximális sebessége, illetve a Vr éréke független a fény 1 intenzitásától, csak a frekvenciától függ; a frekvencia növekedésével vmax és Vr nőnek.
Klasszikus hullámelmélet jóslata Ha nagyobb az intenzitás akkor az elektromos térnek is nagyobbnak kell lennie; nagyobb az elektron mozgási energiája is.
Ha egy fotokatódot különböző frekvenciájú fénnyel sugárzunk be, akkor csak egy jól A fény frekvenciája nem befolyásolja 2 meghatározottnál nagyobb frekvencia esetén az emittált fotoelektron energiáját. kezdenek el elektronok kilépni. 3
Kilépő elektronok száma a fény intenzitásával arányos
Az intenzitásnak a kilépő elektronok energiáját kellene növelnie.
„tehetetlenségmentes” jelenség; az Gyenege fény esetén sok időre lenne 4 elektronok szinte egy időben lépnek ki a szükség hogy az elektron a kilépéshez sugárzás beérkezésével. szükséges energiát megszerezze. A kísérleti eredmények ellentétesek a klasszikus hullámegyenlet jóslataival.
II. Az Einstein-féle „fényelektromos egyenlet”: Einstein 1905-ben a fény részecskeszerű felfogását javasolta. Planck feltevéséből indult ki, mely szerint az atomi oszcillátorok energiái csak egy hν nagyságú elemi energiakvantum egész számú többszörösei lehetnek. • Einstein feltételezése: a fény diszkrét, hν nagyságú energiamennyiségekből, fénykvantumokból (fotonokból) áll, amelyek egyenes vonalban fénysebességgel terjednek. • A fotoeffektus leírása: Egy elektron K0 kinetikus energiája egy foton abszorbeálásakor hν-vel növekszik:
K ' = K 0h
Az elektron az anyag felületének eléréséig, a többi elektronnal való kölcsönhatás miatt ΔK energiát veszít, így az energiája a felület közvetlen közelében:
K ' '=K 0h− K
Ha az elektron elég energiával rendelkezik hogy elhagyja a fotokatódot, akkor a következő kinetikus energiával rendelkezik:
1 2 K ' ' ' = mv =K 0 h − K −e 2
ahol eφ = A a kilépési munka. A kezdeti hőmozgásból származó energiát elhanyagolhatjuk a többi tag mellett, ekkor
1 K ' ' ' = mv 2 =h − K −e 2
•
Ezt Einstein.féle fényelektromos egyenletnek nevezzük. Az elektronok kinetikus energiája akkor a legnagyobb ha ΔK 0, tehát ha az elektron a felület közvetlen közeléből lép ki. Kísérleti eredmények magyarázatai: • A fotokatód felületére beeső fotonenergia-áram teljesítménysűrűségét, illetve intenzitását az
N f⋅h
• •
kifejezéssel adhatjuk meg, ahol Nf a felületegységre időegység alatt beérkező fotonok száma. Minél nagyobb Nf, annál több elektron gerjesztődik a fotokatód belsejében. -> megegyezik a kísérleti eredményekkel a fotoelektron energiája csak az abszorbeált foton hν energiájától függ, azaz lineáris függvénye a fény frekvenciájának. -> megegyezik a kísérleti eredményekkel Foton csak akkor vált ki fotoelektront, ha hν nagyobb a kilépési munkánál:
h A=e =h 0
ν0-nál kisebb frekvencián fényelektromos hatás nem észlelhető -> megegyezik a kísérleti eredményekkel • Mivel az elektron a térben lokalizált (nem pedig hullámfront mentén egyenletesen eloszló) foton energiáját egyetlen lépésben át tudja venni, ezáltal az elektron tetszőlegesen halvány fény esetén is elhanyagolható időkéséssel emittálódik a fémből. III. Einstein-egyenlet kísérleti igazolása: Az Einstein-egyenlet szerint a besugárzott fény frekvenciája és a fotoelektron energiája között lineáris kapcsolat van. Tehát megbizonyosodhatunk az Einstein-egyenlet helyességéről, ha a fotoeffektust különböző frekvenciájú fénnyel hozzuk létre és meghatározzuk a keletkező fotoelektronok energiáját. A fotoelektronok maximális energiájának a frekvenciától való függését ábrázolva az egyenes meredekségéből h meghatározható. A kísérleti igazolást Milikan végezte el 1916-ban, Lenard -féle ellentér-módszerrel. IV. Fotocellák: Az a tapasztalati tény hogy fény segítségével elektromos áramot állíthatunk elő, a külső fényelektromos hatás számos gyakorlati célú felhasználását teszi lehetővé. Fotocellának nevezzük azt a fényelektromos eszközt, amelyben a fény által kiszabadított elektron egy – fény nélkül nyitott – áramkört zár. A fotocellákat a méréstechnikában és irányítástechnikában ma is sokféle módon használják.
7. tétel A A Schrödinger-egyenlet; sajátértékek, sajátfüggvények I. Időtől függő Schrödinger-egyenlet: •
E. Schrödinger 1926-ban egy olyan hullámegyenletet állított fel, amely a mikrorészecskék mozgásának leírásában alapvetőnek bizonyult. U külső potenciáltérben mozgó m tömegű részecskéhez egy olyan Ψ(x, y, z,t) hullámfüggvényt kell rendelni, ami kielégíti a következő egyenletet:
iℏ ahol
ℏ 2 = U t 2 m
=
2 2 2 x 2 y 2 z 2
Ezt az egyenletet időfüggő Schrödinger-egyenletnek, a Ψ függvényt pedig állapotfüggvénynek nevezzük (mivel ez határozza meg a részecske állapotát). •
A Schrödinger-egyenlet összehasonlítása az u sebességgel haladó elektromágneses vagy hanghullámra vonatkozó hullámegyenlettel: •
u sebességgel haladó elektromágneses vagy hanghullámra vonatkozó hullámegyenlet alakja:
2 2 =u t2
•
•
Az egyik lényeges különbség hogy a Schrödinger-egyenlet megoldásai általános esetben komplex értékű függvények, míg az elektromágneses hullámra vonatkozó egyenlet megoldásai minden esetben valósak.
•
A másik fontos különbség hogy a Schrödinger-egyenlet időben elsőrendű, míg a másik hullámegyenlet másodrendű.
Szabad, erőmentes térben térben mozgó részecske mozgásegyenletét kielégíti a de Broglie-féle hullámegyenlet:
= Ae
i pr− Et / ℏ
Behelyettesítéssel, U = 0;
E =
p2 2m
Ez a szabad részecske kinetikus energiája: E = p2/2m. A Schrödinger-egyenlet lineáris, ezért a de Broglie-féle hullámok bármely lineáris kombinációja megoldása az erőmentes esetre vonatkozó Schrödinger-egyenletnek. II. Az állapotfüggvény fizikai jelentése: •
A Schrödingertől származó eredeti értelmezés: Az állapotfüggvényből képzett
=* mennyiség az elektron tömegsűrűségét jelenti. Tehát az elektron nem pont szerű, hanem folytonos eloszlású tömeg, amellyel együtt jár a folytonos töltéseloszlás is:
e =e
*
-> az atom magját folytonos eloszlású elektronfelhő veszi körül, amelynek töltéssűrűségét és tömegsűrűségét a ρe-vel, illetve ρ-val jellemezhetjük. Ebből megmaradási törvény is levezethető:
div J =0 , ahol J az áramsűrűségre jellemző mennyiség t •
Max Born-féle értelmezés: annak a dP valószínűségét, hogy a részecske dV térfogatban találhat, a Ψ függvény abszolút értékének négyzete határozza meg:
dP= A∣∣2 dV =A * dV
A egy konstans arányossági tényező.
∫ dP=A∫ * dV =1 Normális feltétel: mostantól foglalkozzunk olyan függvényekkel, melyekre igaz hogy:
∫ * dV =1 Ez alapján a dP normált függvény esetén:
dP=∣∣2 dV =* dV Ez alapján azt mondhatjuk hogy az állapotfüggvény nagyságának négyzete megadja a részecskéknek – a tér adott helyén – az egységnyi térfogatban való tartózkodásának valószínűségét. Vagyis * nem tömegsűrűség, hanem valószínűség-sűrűség. III. Az időtől független Schrödinger-egyenlet: Stacionárius állapotfüggvény:
x , y , z , t= x , y , z e−iEt/ ℏ Ebben az esetben ∣∣2 =∣∣2 ; vagyis a részecske térbeli megtalálásának valószínűsége nem függ az időtől. Ha ezt visszahelyettesítjük a Schrödinger-egyenletbe akkor megkapjuk az időfüggetlen Schrödingeregyenletet:
−ℏ2 U =E 2m Ez az eset nem atomi folyamatokat ír le, hanem az atomi rendszerek tulajdonságait írja le stacionárius állapotban. PL: ha ismert a rendszer U(x, y, z) potenciális energiája, akkor megállapítható a stacionárius állapot, majd ebből a rendszer spektruma (atomi színképe). Reguláris megoldások (egyértékű, differenciálható, és négyzetesen integrálható) esetén megoldások csak E teljes energiának bizonyos értékeinél vannak. Ezeket az E1, E2, … energiákat és a hozzájuk tartozó Ψ1, Ψ2, … állapotfüggvényeket sajátértékeknek illetve sajátfüggvényeknek nevezzük. A hullámmechanika szerint egy atomi rendszernek a stacionárius állapotokban lehetséges energiái a rendszer Schrödingeregyenletének sajátértékei.
8. tétel A Az atomfogalom kialakulása. Az első atommodellek. I. Az atomfogalom kialakulása: • ie. V. század Lenkippos és Demokritos görög természetfilozófusok: az anyag apró, tovább nem osztható részecskékből, atomokból áll -> filozófiai alapokon jutottak erre a következtetésre • 19. század; tapasztalati alapok a kémiából: • Állandó súlyviszonyok törvénye: egy kémiai vegyületben az alkotórészeknek, illetve elemeknek a súlyviszonya szigorúan állandó. • Többszörös súlyviszonyok törvénye (Dalton): ha két elem (A és B) többféle súlyviszony alapján alkot vegyületet, akkor az egyik elemnek (B-nek) azok a mennyiségei, amelyek a másik elem (A) azonos súlyú mennyiségével egyesülnek, úgy viszonyulnak egymáshoz mint kis egész számok. Dalton értelmezése: a kémiai elemek tovább oszthatatlan atomokból állnak egyazon elem atomjai egymással teljesen megegyeznek, de más elemek atomjaitól különböznek. --> Csak egész számú atom egyesülhet molekulává. • Gay-Lussac térfogati törvénye: • kémiailag egyesülő gázok térfogatai állandó hőmérsékleten és nyomáson úgy aránylanak egymáshoz mint kis egész számok • -->Értelmezése: Avogadro-törvény: egyenlő hőmérsékletű, nyomású és térfogatú gázban egyenlő számú molekula van • --> két különböző gázból azonos hőmérsékleten és nyomáson egyenlő térfogatot veszünk, akkor a gázmennyiségek tömege úgy aránylik egymáshoz mint az egyes molekulák tömegei: Mr relatív molekulatömeg Ar relatív atomtömeg Avogadro szám: 6,022⋅10 23 Avogadro állandó: •
•
•
6,022⋅10
23
1 mol
19. század közepe: • Kinetikus gázelmélet: a gáz nagy számú molekulából áll, amelyek rendszertelen irányban és sebességgel, a Newtoni mechanika szabályai szerint végzik mozgásukat: ->a molekulák apró rugalmas gömbök: egymással és az edény falával ütköznek A kinetikus gázelmélettel magyarázható a nyomás, fajhő, viszkozitás, hővezetés... Mengyelejev: • atomsúly szerint felsorakoztatott elemek tulajdonságaiban szakaszosság mutatkozik; az elemek bizonyos kémiai és fizikai tulajdonságai periodikusak -> Mengyelejev-féle periódusos rendszernek • értelmezése: az elemek kisebb építőelemekből épülnek fel, valamilyen törvény szerűen ismétlődő csoportosulás szerint. Anyag és elektromosság közötti kapcsolat: • Bármilyen fajta 1 vegyértékű ion 1 molja összesen 96485 Coulomb töltést szállít;
C 23 1 , N A=6,022⋅10 mol mol F 1 vegyértékű ionnak e= töltése van NA Z vegyértékű ionnak: z⋅e töltése van F =96485
•
Ennek bizonyítéka a Millikan-féle olajcsepp kísérlet. Az elektron fajlagos töltésének meghatározása: Thomson: Ha a ye és ym (elektromos tér és mágneses tér eltérítése) egyenlő és ellentétes irányú: ekkor az elektron sebessége:
v=
E B
Ez után a mágneses teret kikapcsoljuk, és mérjük az elektromos tér eltérítését:
e E = m B2
ye 1 l 1 l 1l 2 2
Az elektronok az atom része: a pozitív töltésű ionok elektronjaiktól megfosztott atomok a H+ egyszeres pozitív töltésű ion csaknem megegyező tömegű a Hidrogén atommal, protonnak nevezzük. • Bizonyítékok az atomok létezésére: • Brown-féle mozgás: részecskékkel ütköző gáz vagy folyadék atomok okozzák (Einstein 1905) • Laue: röntgen sugarak kristályon való elhajlása -> rács szerkezetre utal • Avogadro állandó: egymástól független mérések ugyanarra az eredményre vezettek II. Thomson-féle atommodell: • Az első modell ami tekintettbe vette hogy az elektron része az atomnak • Az egészébe véve semleges atom pozitív töltése egyenletesen oszlik el egy tömör, a kinetikai gázelméletnek megfelelő 10-10m sugarú gömbben • Ennek belsejében vannak a pontszerű elektronok, amelyek egyensúlyi állapotok körül rezgéseket végezhetnek • Az elektronok a tömegközéppont körül szimmetrikusan helyezkednek el • Az atomok fénykibocsátásáért az elektronok rezgései felelősek • Hiányosságok: • nem magyarázza a vonalas színképeket • nincs összhangban a katódsugarak és α-részecskék szórási kísérleteivel •
III. Rutherford-féle atommodell: •
Egy Z rendszámú elem atomjainak tömege túlnyomórészt a +Ze töltésű, 10-15m sugarú atommagban helyezkedik el, és a mag körül 10-10m távolságban kering Z számú elektron (a bolygók nap körüli keringéséhez hasonlóan).
•
A modell hiányosságai: elektrodinamikailag nem stabil: Az elektronok ν frekvenciájú keringés közben ν frekvenciájú elektromágneses sugárzást bocsátanak ki.-> energiát vesztenek; a maghoz közeledő spirális pálya mentén egyre nagyobb frekvenciával keringene, majd a magba zuhanna. -> a kisugárzott frekvencia folyamatosan változna; a színképek folytonosak lennének. Tehát nem egyeztethető össze a kísérleti tapasztalatokkal.
9. tétel A A Bohr-féle atommodell; a Bohr-féle posztulátumok. I. A Bohr-féle atommodell klasszikus fizikai előzményei: Tegyük fel hogy az m tömegű, e töltésű elektron egy Ze töltésű, M tömegű mag körül r sugarú körpályán mozog. (Z az elem rendszáma). A klasszikus mechanika szerint az elektron tömegének és a v2/r centripetális gyorsulásának a szorzata egyenlő a töltések között ható Coulomb-féle vonzó erővel.
m⋅v 2 1 Ze2 = r 4 0 r 2 Epot potenciális energia r =
∞ esetén 0, a magtól r távolságban pedig: 1 Ze 2 E pot = 4 0 r
A kinetikus és potenciális energia közti összefüggés:
E kin=
mv2 1 Ze2 1 == ∣E pot∣ 2 4 0 2r 2
A teljes energia:
E=E kinE pot =
mv2 1 Ze 2 1 Ze 2 1 − == ∣E ∣ 2 4 0 r 4 0 2r 2 pot
Ebből a körpálya sugara:
r=
1 Ze 2 4 0 2 E kin
Az elektron sebessége:
v= 2 Ezek felhasználva az f frekvencia:
f=
E kin m
4 0 E kin E v = 2 kin 2 2 r m Ze
A klasszikus elektrodinamika szerint a gyorsuló mozgást végző töltés energiát sugároz ki. Bohr feltette hogy az elektronok olyan stabil pályákon keringenek, amelyeken nem sugároznak ki energiát. Ha egy elektron végtelen távolról (ahol f = 0) egy atommaghoz közeli stabil pályára kerül (ahol a keringési frekvencia f), akkor
=
f 2
frekvenciájú fényt bocsát ki. Alkalmazzuk most a Planck-féle feltevést; azaz a folyamat során emittált energia csak az alábbi értéket veheti fel:
E n=n h ahol h a Planck állandó, n egy egész szám (kvantumszámnak vagy főkvantumszámnak nevezik) Ezeket figyelembe véve:
E n=−n h
f Z 2 e 4 m 1 Z 2 e 4 m 1 == 2 8 20 h2 n 2 32 2 20 ℏ2 n2 4 0 ℏ 2 2 r= n Ze2 m Z 2 e 4 m 1 = 32 3 02 ℏ 3 n 3
Ze 2 1 v= 4 ℏ n Ha két energiaállapot között átmenet jön létre és En > Ek, akkor a kisugárzott energia a két állapot energiakülönbsége:
E n− E k =
Z 2 e 4 m 1 1 − 2 2 2 32 0 ℏ k 2 n 2
II. A Bohr-féle frekvencia- és kvantumfeltétel: • Bohr-féle frekvencia feltétel: Bohr feltételezte hogy az En – Ek típusú energiaátmenetben csak egyetlen energiakvantum emitálódik:
h =E n −E k Ha n=2 és k = 3, 4, 5, ... akkor a látható tartományba eső Balmer sorozatot kapjuk • Ha n = 3 és k = 4, 5, 6, ... akkor az infravörös spektrumtartományba eső Paschen-féle sorozatot kapjuk • Ha n = 1 és k = 2, 3, 4, … akkor az ultraibolya tartományba eső Lymann sorozatot kapjuk Bohr-féle kvantumfeltétel: A korábbiak figyelembevételével Bohr az elektron impulzusmomentumát a következő alakban adta meg: •
•
∣m r ×v ∣=∣l ∣=n
h =n ℏ 2
Ahol h a Planck állandó, n pedig egy pozitív egész számot jelen. Ezt Bohr-féle kvantumfeltételnek nevezzük. III. A Bohr-féle modell eredményeit tartalmazó posztulátumok: • Az atom tartósan csak az un. Stacionárius kvantumállapotokban létezhet, amelyekben meghatározott, állandó E1, E2, … energiaértékekkel rendelkezik, tehát nem sugároz. Az elektronok csak a stacionárius pályákon keringhetnek. Az E1, E2, … sorozat meghatározása bizonyos feltételek bevezetésével lehetséges. • Sugárzás emissziója vagy abszorpciója csak két stacionárius állapot közötti átmenetkor jöhet létre, ekkor a kibocsátott vagy elnyelt foton energiáját a kezdeti és végső stacionárius állapothoz tartozó energiák szabják meg. Az elektronok az egyik stacionárius pályáról a másikra ugrás-szerűen jutnak, közben h =E n −E k fotont bocsátanak ki. IV. Abszorpció és emisszió értelmezése: E1 alapállapot, E2, E3 gerjesztési állapotok. Ha az elektron nagyobb energiájú állapotból spontán egy kisebb energiájú állapotba kerül, akkor emisszió következik be. Az elektron nagyobb energiájú állapotba juthat, ha a ráeső sugárzásból épp az energiaszintek különbségének megfelelő energiájú fotont nyel el. Ezt abszorpciónak nevezzük.
10. tétel A A Franck-Hertz-féle elektronütközési kísérletek. A Bohr-féle posztulátumok egyik legközvetlenebb bizonyítéka a Franck-Hertz-féle elektronütköztetéses kísérlet. A kísérlet során meghatározott sebességre gyorsított elektronokkal kisnyomású gázok atomjait bombázták, majd az elektronok sebességeloszlásának megváltozásából következtettek az ütközés típusára (rugalmas vagy rugalmatlan): Rugalmas ütközéskor az elektron nem veszít energiát, míg rugalmatlan ütközéskor energiát ad át az atomnak. I. Az első gerjesztési állapot kísérleti meghatározása: A berendezés fő része kisnyomású higanygőzt tartalmazó cső. A K katódból kilépő elektronokat a változtatható Ur rácsfeszültség gyorsítja az R rács felé. A rácson való áthaladás után az A elektródnak az R-hez kissé negatív feszültsége fékezi az elektronokat (R és A között az elektronok gyenge ellentérben mozognak). A G galvanométerrel mért áramerősség az Ur függvényében a 2. ábrán látható:
Ur feszültséget elkezdjük növelni, ekkor I is nő (a); ez azt mutatja hogy az elektronok és a higany atomok rugalmasan ütköznek. Ur = 4,9 V átlépése után azonban az áram hirtelen csökkenni kezd; ilyenkor rugalmatlan ütközés történik. Ha Ur-t tovább növeljük, akkor az elektronok már az R előtti térben elvesztik energiájukat, de a rácsig ismét felgyorsulnak annyira hogy a gyenge ellentéren keresztül elérjék A-t; ilyenkor az áram újra nő. Ur= 9.8 V után az áram csökkenni kezd, és így tovább. A kísérletet elvégezték más atomokra is. A kísérlet azt bizonyítja, hogy az atomok csak bizonyos, pontosan meghatározott diszkrét energiaadagokat képesek fölvenni. Ezek szerint: alap állapotban lévő higany atom 4,9 eV gerjesztési energia felvétele után első gerjesztési állapotba, 6,7 eV vagy nagyobb energia felvételekor pedig magasabb gerjesztési állapotba kerül, végül 10,4 eV ionizációs energia felett az atom ionizálódik. A gerjesztési energiának megfelelő feszültséget gerjesztési feszültségnek, az ionizációs energiának megfelelő feszültséget pedig ionizációs feszültségnek nevezzük. Az alapállapotok és a gerjesztési állapotok nem másik mint a Bohr-féle első posztulátumban szereplő stacionárius állapotok (energianívók); az energianívók elektronütköztetési kísérletekkel meghatározhatók. II. A Bohr-féle frekvencia-feltétel kísérleti igazolása: Franck és Hertz azt tapasztalták, hogy 4,9 V gyorsítófeszültség esetén a higanygőz λ=253,7 nm-es hullámhosszú, υ=1,183 ∙ 1015 s-1 frekvenciájú ultraibolya fényt bocsátott ki. Ez a hullámhossz illetve frekvencia pedig megegyezik a frekvencia feltétel által jósolttal;
=
E 2−E 1 1 =1,18⋅10 15 h s
11. tétel A A H-atom Bohr-féle elmélete; a hidrogén és a hidrogénszerű ionok színképének Bohr-féle értelmezése. I. A hidrogénatom spektrumának kísérleti törvényszerűségei: A hidrogén atom spektruma a látható tartományban 4 vonalból áll (Hα, Hβ, Hγ, Hδ), amelyeket az ultraibolya tartományban egyre sűrűsödő és csökkenő intenzitású vonalak követnek. A vonalak alkotta sorozat sűrűsödési helyétől - a sorozathatártól – kezdve folytonos spektrum, a határkontinuum figyelhető meg.
Balmer a Balmer sorozatnak nevezett spektrum vonlak hullámhosszaira a következő szabályt állította fel;
=B
n2 n2−4
Ahol B egy empirikus állandó. Ezt hullámszámra átírva: 2
1 n −4 4 1 1 1 1 = = =B = − 2 =R H 2 − 2 2 c B 4 n n 2 n
Ezt Balmer formulának nevezzük, RH-t a Rydberg állandó. (RH = 13,59 eV, ez a hidrogénatomra vonatkozó Rydberg állandó) Később más sorozatokat is találtak, melyekre igaz az általánosított Balmer-formula:
=R H
1 1 − 2 2 k n
Lyman-sorozat: k = 1, n=2, 3, 4, … (ultraibolya) Balmer-sorozat: k = 2, n = 3, 4, 5, … (optikai) Paschen-sorozat: k = 3, n = 4, 5, 6, … (infravörös) II. A hidrogénatom elemi elmélete a Bohr-modell szerint: A hidrogén atom M tömegű és +e töltésű magból (Z=1), valamint egy m tömegű és -e töltésű elektronból áll. Mivel a mag tömege sokkal nagyobb az elektron tömegénél ezért nyugvónak tekintjük. Az elektron r sugarú pályán, v sebességgel kering. Ekkor n=1-re a legbelső elektronpálya sugara:
4 0 ℏ 2 r 1= =0,529⋅10−10 m=0,05 nm 2 e m Az n-edig pálya (n-kvantumos pálya) sugara ennek n2-szerese: rn = n2 r1 Hidrogén atom energiája n = 1 kvantumszámú állapotban: 4
e m E n= =−13,59 eV 2 2 2 32 0 ℏ A hidrogén En és Ek (<En) energiájú állapotai közti átmenet során a következő frekvenciájú fény emittálódik:
=
E n−E k e 4 m 1 1 = − 2 3 h 32 0 ℏ k 2 n2
Hullámszámmal kifejezve:
=
e 4 m 1 1 1 1 − 2 =R 2 − 2 2 3 2 32 0 ℏ c k n k n
ahol
R≈13,59 eV
Ez jól egyezik a Balmer-formulával; ez az egyik legmeggyőzőbb bizonyítéka a Bohr-modell helyességének. III. A hidrogénatom színképének értelmezése a Bohr-elmélettel: • Az emissziós spektrum: Hidrogén gázt tartalmazó csőben kisüléskor a H2-molekulák nagy része H-atomokra bolmik, ezek közül sok, a nagy energiájú ütközések miatt n = 2, 3, 4, … kvantumszámú állapotba kerül. • Lyman-sorozat létrejötte: az elektronok a n kvantumszámú állapotokból az 1-es kvantumszámú állapotba kerülnek (pl n = 2-ről 1-re; ehhez tartozik a sorozat legkisebb hullámszámú vonala. • Balmer-sorozat létrejötte: az n = 3, 4, 5, … kvantumszámú állapotokból az elektron a 2-es kvantumszámú állapotba kerül. • A határkontinuum értelmezése: Legyen az energia nulla pontja E∞ ionizációs energia. Az atomból eltávozott szabad elektronok bármekkora mv2/2 mozgási energiával rendelkezhetnek. Ekkor egy H+-ból és ezen elektronból álló rendszer energiája E∞+ mv2/2. Ha a H+ befogja ezt az elektront (pl az n = 2 kvantumszámú pályára) akkor a kisugárzott fény frekvenciája:
=
•
E ∞
mv2 −E2 2 h
ez a frekvencia nagyobb mint a Balmer sorozat határértéke; sok ilyen folyamat eredménye a határkontinuum. Az abszorpciós spektrum: • Közönséges, nem túl nagy hőmérsékletű hidrogéngáz (a H2molekulákon kívül) gyakorlatilag csak alap állapotban lévő hidrogén atomokat tartalmaz. Ekkor csak a Lyman-sorozat jöhet létre: a H-atomok az alapállapotból gerjesztett állapotba jutnak azáltal hogy a gázra eső folytonos színképű fényből
E 2− E 1 E 3−E 1 E ∞ −E 1 E ion , , .... és 0= = h h h h frekvenciájú fotonokat nyelnek. A ν0-nál nagyobb frekvenciájú fényből az atomok bármilyen ν frekvenciájú fényt elnyelhetnek. Ekkor az energia egy része az ionizációra megy el, a maradék az elektron kinetikus energiáját adja. Ez egy folytonos spektrumot eredményező folyamat, H-atomban létrejövő fényelektromos jelenség. IV. Hidrogénszerű atomok (He+, Li++, Be+++, …) ionok spektruma: A hidrogénszerű atomok: He+, Li++, Be+++, … a hidrogénhez hasonlóan 1 elektront tartalmaznak, de Z magtöltésszámuk (rendszámuk) 2, 3, 4, … A Bohr-elmét szerint ekkor az ilyen ionok lehetséges energiaértékei a hidrogén atom lehetséges energiaértékeinek Z2-szeresei, így a színképvonalak hullámszámai: 2 =Z R
1 1 − k2 n 2
12. tétel A Optikai spektrumok, spektroszkópiai termek. Emissziós és abszorpciós spektrumok. I. Optikai spektrumról általában: • A spektrum vagy színkép általánosan valamely elektromágneses sugárzás energiájának hullámhossz szerinti eloszlását jelenti. A különböző hullámhosszú spektrumok felvételéhez és vizsgálatához eltérő technika szükséges -> részben ezért is a spektrumot tartományokra osztjuk. Az optikai spektrum alatt a látható, infravörös és ultraibolya tartományokat értjük, ezen tartományokba eső sugárzások keletkezése hasonló folyamatokra vezethetők vissza. • Az optikai spektroszkópia kísérleti jellegű feladatai: • színképek előállítása vagy gerjesztése megfelelő fényforrásokkal • a fény felbontása prizmás, rácsos és interferometriás spektroszkópok segítségével • hullámhossz és intenzitás mérése • A spektroszkópia elméleti jellegű feladatai: • a spektrumok rendszerezése, értelmezése • anyagszerkezeti következtetések levonása II. Emissziós és abszorpciós színképek: • Emissziós spektrum: • Fénykibocsátás emissziós spektrum jön létre. • Az atomok maguk bocsátják ki a színképben előforduló hullámhosszakat. • A színkép közvetlen megfigyelésénél sötét alapon világos vonalakat látunk. • Példa: bármilyen világító gáz spektruma • Abszorpciós spektrum: • Fényelnyeléskor beszélünk abszorpciós spektrumról. • Folytonos színképű forrás fényét valamilyen anyagon keresztül bocsátjuk a spektroszkópia. • A színképből hiányoznak a vizsgált anyagra jellemző hullámhosszak. • A színkép sötét vonalakból áll. III. Vonalas, sávos és folytonos színképek: • Emissziós és abszorpciós színképek is lehetnek vonalasak, sávosak vagy folytonosak. • Vonalas színképek: atomoktól vagy atomi ionoktól származnak-> a vonalas színképet atomspektrumnak nevezzük. • Sávos színképek: molekuláktól származnak-> a sávos színképet molekulaspektrumnak nevezzük. • Mind az atomok mind a molekulák színképének vannak folytonos tartományai. • Folytonos színképek: • izzó szilárd testek emissziója • folyékony és szilárd testek abszorpciója IV. Spektroszkópiai termek: A Bohr-féle frekvenciatételt a következő lakban írhatjuk fel:
= Hullámszámmal =
1 = : c
= A
T=
E'-E'' h
E'-E'' E' E'' = − hc hc hc
E mennyiséget termnek nevezzük. A frekvenciaegyenlet termekkel kifejezve: hc =T ' −T ' '
Ennek jelentése: bármilyen spektrumvonal hullámszáma két term különbségeként állítható elő. A term mértékegysége s-1.
1 cm−1 =1,24⋅10−4 eV =1,986⋅10−23 J
13. tétel A A Bohr-Sommerfeld-féle hidrogénatom modell; elliptikus elektronpályák, főmellék- és mágneses kvantumszám. Iránykvantálás. A Bohr-féle korreszpondencia-elv. I. A Bohr-modell Sommerfeldtől származó továbbfejlesztése: • Magy felbontású spektroszkóppal végzett vizsgálatokból kiderült, hogy a hidrogénatom színképvonalai nem egyszerű vonalak, hanem több, egymáshoz igen közel eső komponensekből állnak. Például a Hα-vonala három különböző hullámhosszú vonalból áll. A felhasadás mértéke a magtöltésszám 4. hatványával arányos: nehezebb ionok esetén jobban kimutatható -> erre a finomszerkezetre a Bohr-modell nem tudott magyarázatot adni. • Sommerfeld arra gondolt hogy az elektronok a bolygókhoz hasonlóan ellipszis pályákon keringenek a mag körül; azt remélte hogy a finomszerkezet magyarázható a Kepler törvények alkalmazásával • A Bohr-elméletben szereplő főkvantumszám mellett bevezette a k(≤n) azimutális kvantumszámot • Mellékkvantumszám: l = k-1 • A mellékkvantumszám és az elektron pálya menti impulzusmomentuma közti kapcsolat:
ℏ
∣l ∣=l
h 2
A mellékkvantumszám megadja az impulzusmomentum nagyságát •
ℏ egységben
Az ellipszisen mozgó elektron két szabadsági fokának megfelelően a stacionárius ellipszispályák kiválasztására két kvantumfeltétel szükséges: an az ellipszispályák félnagytengelye, bn,l pedig a félkistengely
rq 2 n z l+1 r 1 b n,l=a n = n l1 n Z a n=
•
ahol n = 1,2,3,... főkvantumszámok, l = 0,1,2,... mellékkvantumszámok, r1 a H-atom legbelső körpályájának sugara A számítások alapján a lehetséges energiák csak az n főkvantumszámtól függenek, a korábban megismert képlet szerint:
E n=
Z 2 e 4 m 1 32 2 20 ℏ2 n2
Az En energiához tehát n > 1 estén több (n) olyan pálya, illetve állapot tartozik, amelyek az l = 0, 1, … értékekkel megkülönböztethetőek ugyan, de mind egyenlő energiájúak. Az ilyen En energiaállapotot elfajult állapotnak nevezzük. • Ezek az eredmények nem magyarázzák meg a H-atom színképének finomszerkezetét II. Az energiaelfajulás feloldása a relativisztikus tömegváltozás révén: • Az ellipszispályák nem eredményezenk újabb energianívókat, minden nívó n-szeresen elfajult. Ez azt fejezi ki hogy egy energianívóhoz az elektron többféle térbeli eloszlása tartozhat. • Sommerfeld szerint az energia és pálya elfajulás feloldható, ha figyelembe vesszük a relativisztikus tömegváltozást: ugyanis a Kepler törvények szerint az elektron a pálya maghoz közelebbi részén nagyobb sebességgel halad, így a tömege is megnő. Ez viszont az energia csökkenésével jár együtt -> minél kisebb a félkistengely annál nagyobb korrekció szükséges. • Sommerfeld számításai szerint az elektron ellipszispályája nem mozdulatlan, hanem egy precesszáló ellipszis. III. A Bohr-Sommerfeld-modell hiányosságai: • A H-atom esetén is csak a spektrumvonalak frekvenciáját lehet segítségével kiszámítani, a színképvonalak intenzitását és polarizációs viszonyáról nem mond semmit. • A két elektront tartalmazó hélium esetén jelentősek az eltérések a kísérleti eredményekhez képest. • Nem tisztán klasszikus elemeket használ, és nem is tisztán kvantummechanikaiakat. •
IV. A Bohr-féle korrespondencia elv: • A Bohr-Sommerfeld-elmélet nem tudott olyan átfogó rendszert kiépíteni, amely valamiféle határesetként a klasszikus fizikát is magába foglalta volna. Bohr ezt felismerte kísérletet tett az elmélet kiegészítésére, hogy annak a klasszikus fizikával való kapcsolatai általános érvénnyel megfogalmazhatók legyenek. A klasszikus fizika és a kvantummechanika közötti szakadékot a korreszpondencia-elvel próbálta áthidalni. • Megállapítható hogy nagy kvantumszámoknál a kvantumelmélet közelít a klasszikus elmélethez, vagy: egy atom viselkedése annál jobban követi a klasszikus makroszkopikus fizika törvényszerűségeit, minél nagyobb az energiája a vizsgált folyamatban fellépő energiákhoz képest, azaz minél magasabban helyezkedik el az energianívó, és minél kisebb a nívótávolság. • Korreszpondencia-elv általános megfogalmazása: minden nem klasszikus elméletnek nagy energiák és kis energiakülönbségek határesetében a klasszikus elméletbe kell átmennie.
