1
Rezon´ atorov´ a optika
Optick´e rezon´atory jsou zaˇr´ızen´ı, ve kter´ ych lze akumulovat optickou energii. Mohou tak´e p˚ usobit jako frekvenˇcn´ı filtr. Oboj´ıho se vyuˇz´ıv´a v laseru, kde je aktivn´ı prostˇred´ı, kter´e zesiluje optick´ y sign´al, obklopen´e zrcadly tvoˇr´ıc´ı rezon´ator. Princip rezon´atoru tkv´ı v tom, ˇze se opakovan´ ymi odrazy na zrcadlech udrˇzuje optick´a energie v omezen´em prostoru. Nejjednoduˇsˇs´ı konstrukce je Fabry˚ uv-Perot˚ uv (FP) rezon´ator, kter´ y tvoˇr´ı jen dvojice rovnobˇeˇznˇe um´ıstˇen´ıch rovinn´ ych zrcadel. Pokud se ˇ svˇetlo ˇs´ıˇr´ı kolmo k tˇemto zrcadl˚ um, jen se odr´aˇz´ı mezi nimi. Casem se pouze sniˇzuje intenzita svˇetla v d˚ usledku ztr´at na zrcadlech. Zrcadla neb´ yvaj´ı stoprocentnˇe odrazn´a, aby se optick´e pole mohlo do rezon´atoru dostat. Tvar zrcadel nemus´ı b´ yt rovinn´ y, jak´akoliv soustava ploch zajiˇst’uj´ıc´ı, ˇze se svˇetlo po nˇekolika odrazech dostane do p˚ uvodn´ı dr´ahy, je stabiln´ı, tj. svˇetlo se v rezon´atoru udrˇz´ı. Existuj´ı i sloˇzitˇejˇs´ı konstrukce, kruhov´e rezon´atory popˇr´ıpadˇe vl´aknov´e rezon´atory, viz. obr´azek 1.
Obr´azek 1: Pˇr´ıklady r˚ uzn´ ych typ˚ u rezon´ator˚ u, zleva do prava plan´arn´ı, sf´erick´ y, kruhov´ y a vl´aknov´ y.
1.1
Fabry˚ uv-Perot˚ uv plan´ arn´ı rezon´ ator
Matematick´a krit´eria pro setrv´an´ı svˇetla v rezon´atoru si m˚ uˇzeme demonstrovat na nejjednoduˇsˇs´ım FP rezon´atoru. Jak uˇz bylo ˇreˇceno, optick´e pole se mus´ı po nˇekolika odrazech (u FP rezon´atoru po dvou odrazech) zrekonstruovat a to vˇcetnˇe f´aze. Nav´ıc na zrcadlech se pˇri odrazu f´aze ot´aˇc´ı o π. Jedin´e stabiln´ı ˇreˇsen´ı je, aby na zrcadle bylo elektrick´e pole nulov´e. V tom pˇr´ıpadˇe se m˚ uˇze v rezon´atoru se vzd´alenost´ı zrcadel d udrˇzet jen takov´e z´aˇren´ı, kter´e splˇ nuje podm´ınku d = qλ/2 = qc/2ν (viz. obr. 2). To omezuje spektrum z´aˇren´ı, rezon´ator se chov´a jako frekvenˇcn´ı filtr. Frekvence (vlnov´e d´elky) nesplˇ nuj´ıc´ı tuto podm´ınku se interferenˇcnˇe vyruˇs´ı (interferuj´ı destruktivnˇe). Vzhledem k d´elce rezon´atoru se zav´ad´ı pojem voln´ y frekvenˇcn´ı interval νF , tedy frekvenˇcn´ı vzd´alenost dvou vedlejˇs´ıch vlnov´ ych d´elek splˇ nuj´ıc´ı rezonanˇcn´ı podm´ınku. νF =
c , 2d
λq =
2d . q
(1)
Z cel´eho spektra by mˇel FP interferometr (etalon) propustit jen s´erii vlnov´ ych d´elek (frekvenc´ı), kter´e jsou velmi u ´zce vymezen´e (maj´ı zanedbatelnˇe u ´zkou frekvenˇcn´ı ˇs´ıˇrku). V re´aln´e situaci propouˇst´ı FP etalon vˇsechny vlnov´e d´elky, jen je selektivnˇe utlum´ı d´ıky destruktivn´ı interferenci. Spektr´aln´ı propustnost FP interferometru je periodickou funkc´ı s d´elkou periody rovnou voln´emu spektr´aln´ımu intervalu. Frekvence splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku 1
6=2d/6
5=2d/5
Obr´azek 2: Podm´ınka pro vlnov´e d´elky v rezon´atoru o d´elce d. pro udrˇzen´ı v rezon´atoru – pod´eln´e mody – maj´ı ztr´aty minim´aln´ı. Velkou propustnost maj´ı ale i frekvence v tˇesn´e bl´ızkosti pod´eln´ ych mod˚ u. To, jak ˇsirok´e spektrum je FP etalonem propuˇstˇeno bez v´ yraznˇejˇs´ıch ztr´at z´avis´ı na vlastnostech rezon´atoru. Hlavn´ı z tˇechto vlastnost´ı jsou ztr´aty. Ty mohou nastat v prostˇred´ı, kter´e je mezi zrcadly rezon´atoru, nebo mohou vznikat pˇr´ımo na zrcadlech. Tyto zrcadla b´ yvaj´ı ˇc´asteˇcnˇe propustn´a, aby se optick´e pole mohlo dostat do rezon´atoru a zase ven. Pokud je optick´e pole moc ˇsirok´e, vznikaj´ı ztr´aty tak´e t´ım, ˇze energie unik´a bokem v d˚ usledku koneˇcn´ ych rozmˇer˚ u nebo nedokonal´e rovnobˇeˇznosti zrcadel. Pro pomˇeˇren´ı ztr´at FP rezon´atoru (pˇredpokl´adejme ztr´aty pouze na zrcadlech) definujeme maxim´aln´ı propustnost t2 ciny amplitudov´ ych propustnost´ı resp. odrazivost´ı dvou Tmax = (1−r) 2 , kde t a r jsou souˇ zrcadel. Jemnost s´ı parametr popisuj´ıc´ı FP rezon´ator, se vypoˇc´ıt´a podle q F (Finesse), dalˇ r vztahu F = π 1−r . Spektr´aln´ı pr˚ ubˇeh propustnosti m´a potom tvar (obr. 3) Tm ax
T (ν) = 1+
2F π
2
sin2
πν νF
.
(2)
FP rezon´ator m˚ uˇzeme pouˇz´ıt jako spektr´aln´ı analyz´ator. M˚ uˇzeme mˇenit vzd´alenost mezi zrcadly a t´ım mˇenit propustnost filtru tak, ˇze proskenujeme urˇcitou spektr´aln´ı oblast a zmˇeˇr´ıme v´ ystupn´ı optick´ y v´ ykon. Posunem zrcadla o vzd´alenost δd se posune maximum propustnosti o spektr´aln´ı vzd´alenost δνq = −νq δd/d. Nev´ yhodou tohoto spektr´aln´ıho filtru je ale nejednoznaˇcnost. Propustnost filtru je periodick´a, m˚ uˇzeme j´ım mˇeˇrit jen spektr´aln´ı z´avislosti s ˇs´ıˇrkou spektra menˇs´ı neˇz voln´ y spektr´aln´ı interval νF . Pˇr´ıklad namˇeˇren´eho spektra polovodiˇcov´e diody je na obr´azku 4, v tabulce 1.1 je nˇekolik hodnot voln´eho spektr´aln´ıho intervalu pro r˚ uzn´e ˇs´ıˇrky FP etalonu.
2
Tmax
Propustnost
5 10 50
F
/
0 q-1
q
F
q+1
= c/2d
Obr´azek 3: Spektr´aln´ı propustnost FP etalonu pro tˇri hodnoty jemnosti F. d νF λF 1 nm/νF mm GHz nm 10 15 0.035 29 5 30 0.069 14.5 2 75 0.173 5.8 1 150 0.35 2.9 0.5 300 0.69 1.45 0.2 750 1.73 0.58 0.1 1500 3.5 0.29
δν δλ GHz nm 0.1 0.00023 0.2 0.00046 0.5 0.00125 1 0.0023 2 0.0046 5 0.0115 10 0.023
Tabulka 1: Parametry FP etalonu pro F = 150 a λ = 830 nm.
Obr´azek 4: Pr˚ ubˇeh spektra laserov´e diody zmˇeˇren´ y pomoc´ı FP etalonu. 3
1.2
Sf´ erick´ y rezon´ ator
To, zda bude rezon´ator stabiln´ı ˇci nikoliv, m˚ uˇzeme urˇcit jednoduˇse pomoc´ı paprskov´e optiky. Vyjde n´am tato podm´ınka d 0≤ 1+ R1
!
d 1+ R2
!
≤ 1,
(3)
kde d je vzd´alenost dvou sf´erick´ ych zrcadel o polomˇerech kˇrivosti R1,2 . Existuje tedy nekoneˇcn´e mnoˇzstv´ı kombinac´ı, jak vytvoˇrit takov´ y rezon´ator, v nˇemˇz se optick´e pole udrˇz´ı. Polomˇer kˇrivosti zrcadla m˚ uˇze nab´ yvat kladn´ ych hodnot v pˇr´ıpadˇe vypukl´eho zrcadla, m˚ uˇze b´ yt ale i z´aporn´ y pro vydut´a zrcadla. Pro speci´aln´ı pˇr´ıpad rovinn´eho zrcadla je polomˇer kˇrivosti nekoneˇcnˇe velk´ y, potom d/R = 0. Podm´ınku stability lze zn´azornit i graficky, obr. 6, zde je stabiln´ı oblast oznaˇcen´a ˇsedou barvou. Speci´aln´ı pˇr´ıpady kromˇe jednoho pˇr´ıpadu na hranici stability jsou zn´azornˇeny ve v´ ysec´ıch.
R1
R2
.
. d
Obr´azek 5: Rezon´ator se sf´erick´ ymi vydut´ ymi zrcadly (R1,2 < 0).
(1+d/R2)
. 1
-1
0
. . . 1
.
(1+d/R1)
-1
Obr´azek 6: Grafick´e zn´azornˇen´ı podm´ınky stability sf´erick´ ych rezon´ator˚ u (ˇsed´a oblast). 4
Paprskov´a optika n´am sice m˚ uˇze ˇr´ıct, jak´e polomˇery kˇrivosti zrcadel v jak´e vzd´alenosti jsou moˇzn´e, neˇrekne n´am ale, jak´e optick´e pole se n´am m˚ uˇze v takov´em rezon´atoru generovat. V tomto ohledu je potˇreba obr´atit se na vlnovou optiku a jej´ı podkapitolu svazkov´e optiky. Zjist´ıme, ˇze v rezon´atoru se m˚ uˇze udrˇzet pouze takov´ y optick´ y svazek, jehoˇz tvar vlnoplochy v m´ıstˇe zrcadel rezon´atoru odpov´ıd´a kˇrivosti tˇechto zrcadel. Gaussovsk´ y svazek je nejjednoduˇsˇs´ım ˇreˇsen´ım. Pˇr´ıˇcn´e rozloˇzen´ı intenzity ve svazku m´a gaussovsk´ y pr˚ ubˇeh (odtud pojmenov´an´ı). Pˇri pod´eln´em ˇs´ıˇren´ı m´a v jednom m´ıstˇe nejuˇzˇs´ı poloˇs´ıˇrku svazku W0 – p´as. Po i proti smˇeru ˇs´ıˇren´ı se tato poloˇs´ıˇrka W (z) rozˇsiˇruje v d˚ usledku difrakce. Parametr z0 se naz´ yv´a Rayleghovou vzd´alenost´ı. Gaussovsk´ y svazek m´a v poloze pasu rovinnou vlnoplochu, d´ale od pasu se polomˇer kˇrivosti vlnoplochy R(z) zmenˇsuje (z nekoneˇcna dol˚ u), v poloze z = ±z0 nab´ yv´a minim´aln´ı hodnoty a d´al se opˇet zvˇetˇsuje (pro z = ∞ je R(z) ≈ z). s
W (z) = W0
z1
z 1+ z0
0
2
,
z2 R(z) = z + 0 , z
s
πW02 d |R| z0 = = 2 − 1. λ z d
(4)
z2
Obr´azek 7: Vlevo pod´eln´a difrakce gaussovsk´eho svazku v rezon´atoru, vpravo pˇr´ıˇcn´ y profil.
V d˚ usledku f´azov´eho zpoˇzdˇen´ı vlnoplochy v poloze mimo p´as, ζ(z) = arctan (z/z0 ), doch´az´ı i k posuvu rezonanˇcn´ıch frekvenc´ı, νq = qνF + δζνF /π, kde δζ = ζ(z2 ) − ζ(z1 ). ´ Gaussovsk´e svazky jsou jedn´ım nikoliv jedin´ ym ˇreˇsen´ım stability rezon´atoru. Uplnou sadou ˇreˇsen´ı jsou Hermitovy-guassovy svazky, v pˇr´ıpadˇe rotaˇcn´ı symetrie Laguerrovygaussovy svazky. Tyto svazky jsou nav´ıc charakterizov´any dvˇema cel´ ymi kladn´ ymi ˇc´ısly l a m, kter´e popisuj´ı pˇr´ıˇcn´ y mod svazku, viz obr. 8. Pro l = m = 0 dostaneme z´akladn´ı gaussovsk´ y svazek, ostatn´ı vyˇsˇs´ı mody uˇz nemaj´ı pˇr´ıˇcn´ y profil jen s jedn´ım maximem. Mody rezon´atoru oznaˇcujeme jako pod´eln´e, pro stejn´e souˇcty l + m jsou frekvenˇcnˇe vzd´alen´e o νF = c/2d. Pˇr´ıˇcn´e mody pro stejnou hodnotu q jsou frekvenˇcnˇe vzd´alen´e o celoˇc´ıseln´ y n´asobek δζνF /π, νl,m,q = qνF + (l + m + 1)
1.3
δζ νF . π
(5)
Mody laseru
Laser s rezon´atorem se sf´erick´ ymi zrcadly bude generovat kombinaci pˇr´ıˇcn´ ych a pod´eln´ ych mod˚ u splˇ nuj´ıc´ıch rezonanˇcn´ı podm´ınky. D´ıky tomu bude sv´ıtit na mnoha vlnov´ ych d´elk´ach, 5
Obr´azek 8: Pˇr´ıˇcn´ y profil svazk˚ u r˚ uzn´ ych ˇra´d˚ u, vlevo Hermitovy-guassovy svazky, vpravo Laguerrovy-gaussovy svazky. v kter´ ych pˇresahuje zisk aktivn´ıho prostˇred´ı ztr´aty rezon´atoru. Jednotliv´e vlnov´e d´elky m˚ uˇzeme odhalit bud’ pomoc´ı pˇresn´eho spektrometru nebo monochrom´atoru (FP etalon), nebo pomoc´ı Fourierovy transformace namˇeˇren´e autokorelaˇcn´ı funkce nebo m˚ uˇzeme prov´est pˇr´ımo Fourierovu transformaci fluktuac´ı mal´ ych v´ ykyv˚ u ve v´ ykonu laseru (viz. obr. 9). Takov´a anal´ yza n´am odhal´ı pod´eln´e mody a kolem nich v menˇs´ı spektr´aln´ı vzd´alenosti rozeset´e pˇr´ıˇcn´e mody. Kr laser, proud 45A, detektor DET200 0
clona 9, 325 mW clona 8, 300 mW
-10
FFT Spektrum (dB)
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100 0
128
256
384
512
Frekvence (MHz)
Obr´azek 9: Fourierova transformace zmˇen v´ ykonu laseru, po 128 MHz jsou patrn´e pod´eln´e mody, v jejich okol´ı potom pˇr´ıˇcn´e mody. Po omezen´ı clonou v rezon´atoru pˇr´ıˇcn´e mody zmiz´ı. Jak kontrolovat v´ ybˇer pˇresn´e vlnov´e d´elky emise laseru si pˇredvedeme na pˇr´ıkladu Kryptonov´eho plynov´eho laseru z obr´azku 10. Podle rozvrˇzen´ı zrcadel je jasn´e, ˇze na rovinn´em zrcadle bude p´as svazku a ˇze polomˇer kˇrivosti vlnoplochy odpov´ıd´a kˇrivosti v´ ystupn´ıho ˇc´asteˇcnˇe propustn´eho zrcadla. Pr˚ uchod Brewstrov´ ymi ok´enky zp˚ usobuje vˇetˇs´ı 6
ztr´aty horizont´aln´ı sloˇzce polarizace, proto ve v´ ysledku sv´ıt´ı laser jen vertik´alnˇe line´arnˇe. Vyˇsˇs´ı pˇr´ıˇcn´e mody mohou b´ yt omezeny kruhovou clonou s postupnˇe se zmenˇsuj´ıc´ım ˇ ım vyˇsˇs´ı pˇr´ıˇcn´ pr˚ umˇerem. C´ y m´od, t´ım vˇetˇs´ı poloˇs´ıˇrka svazku, zmenˇsen´ım apertury zvˇetˇs´ıme ztr´aty vyˇsˇs´ıch mody tak, ˇze se nedostanou pˇres pr´ah (ztr´aty budou vˇetˇs´ı neˇz zisk).
Disperzní hranol
Etalon
Brewstrova okénka +
Kr
Kruhová clona
Laserová trubice Výstupní zrcadlo
Rovinné zrcadlo Obr´azek 10: Schema Kryptonov´eho plynov´eho laseru.
Co se t´ yˇce spektra je Kryptonov´ y plyn velmi univerz´aln´ı. Jeho energetick´e pˇrechody odpov´ıdaj´ı 17 vlnov´ ym d´elk´am v rozmez´ı od 350 nm po 800 nm. Energetick´e hladiny jsou ale d´ıky siln´emu magnetick´emu poli rozˇstˇepen´e, takˇze energie odpov´ıdaj´ıc´ı rozd´ılu hladin m´a urˇcit´ y rozsah, a tedy i ˇs´ıˇrka spektra generovan´ ych foton˚ u m´a urˇcitou ˇs´ıˇrku ˇca´ry. V´ ybˇer jedn´e vlnov´e d´elky (frekvence) se dˇeje v nˇekolika kroc´ıch: 1. Povrstven´ı dielektrick´ ych zrcadel tvoˇr´ıc´ıch rezon´ator je vysoce odrazn´e jen pro urˇcitou oblast spektra, jin´e propouˇst´ı, zav´ad´ı t´ım ztr´aty. V´ ybˇerem urˇcit´ ych zrcadel omezujeme moˇznou oblast laserov´an´ı jen na dvˇe aˇz ˇctyˇri bl´ızk´e spektr´aln´ı ˇca´ry. 2. Disperzn´ıho hranol rozkl´ad´a spektrum z´aˇren´ı na jednotliv´e sloˇzky. Mal´ ym n´aklonem hranolu z´aroveˇ n s rovinn´ ym zrcadlem m˚ uˇzeme vyb´ırat jednotliv´e spektr´aln´ı ˇc´ary. 3. I s disperzn´ım hranolem v r´amci jedn´e spektr´aln´ı ˇc´ary m˚ uˇze sv´ıtit v´ıce pod´eln´ ych mod˚ u splˇ nuj´ıc´ıch rezonanˇcn´ı podm´ınku. Vyb´ırat mezi jednotliv´ ymi mody m˚ uˇzeme pomoc´ı velmi pˇresn´eho interferenˇcn´ıho filtru Fabryova-Perotova etalonu. V pˇr´ıpadˇe kryptonov´eho laseru se jedn´a o v´aleˇcek s povrstven´ ymi stˇenami. Zmˇena d´elky FP etalonu s prov´ad´ı teplotnˇe, tj. d´ıky tepeln´e roztaˇznosti se mˇen´ı vzd´alenost zrcadel FP rezon´atoru. V t´eto konfiguraci sv´ıt´ı laser jednofrekvenˇcnˇe, tj. spektr´aln´ı ˇc´ara emitovan´a laserem je jen jedna a je velmi u ´zk´a. Kaˇzd´ y z pˇredeˇsl´ ych krok˚ u ale sniˇzuje v´ ystupn´ı v´ ykon laseru. Pro dan´e pouˇzit´ı tedy mus´ıme vˇedˇet, zda se vyplat´ı omezit spektrum emitovan´eho z´aˇren´ı.
7
