Szak: M˝ uszaki menedzser I.
D´ atum: 2006. j´ unius 1.
´ MEGOLDOKULCS
T´ argy: Matematika szigorlat
Id˝ o: 120 perc
Neptun k´ od:
szig 06 06 01
El˝ oad´ o: Berta G´abor
Pontsz´ am:
(5 + 3j) · (8 + 2j) = (2+5j)·(7−4j) egyenletet a komplex sz´amok halmaz´an! 1+j ´ azolja a megold´asokat a komplex sz´ams´ıkon! Adja meg az eredm´enyt mindh´arom alakban! Abr´ Mo.:
1. Oldja meg a z 3 +
z3 +
(5 + 3j) · (8 + 2j) = (2 + 5j) · (7 − 4j) 1+j
z3 +
34 + 34j = 34 + 27j 1+j
/100p
8 pont
z 3 + 34 = 34 + 27j z 3 = 27j = 27(cos 90◦ + j sin 90◦ ) √ = 3 2 3√+ 23 j 3(cos 30◦ + j sin 30◦ ) z= 3(cos 150◦ + j sin 150◦ ) = − 3 2 3 + 23 j 3(cos 270◦ + j sin 270◦ ) = −3j
= 3e 6 j 5π = 3e 6 j 3π = 3e 2 j π
2. Adottak az A(1, 4, 3) , B(3, 1, −1) , C(−5, 2, 4) pontok a t´erben. Sz´am´ıtsa ki az ABC pontok ´altal meghat´arozott h´aromsz¨og (a) ker¨ ulet´et;
3 pont
Mo.: √ √ √ −−→ −−→ −−→ k = |AB| + |AC| + |BC| = 29 + 41 + 90 ≈ 21, 275 (b) ter¨ ulet´et;
5 pont
Mo.: ¯ ¯ i j −−→ −−→ ¯¯ AB × AC = ¯ 2 −3 ¯−6 −2 t=
¯ k ¯¯ −4¯¯ = −11i + 22j − 22k 1¯
−−→ −−→ |AB × AC| 33 = = 16, 5 2 2
(c) C cs´ ucs´an´al l´ev˝ o sz¨og´et!
3 pont
Mo.: −−→ −−→ CA · CB 51 √ ≈ 0, 839 cos γ = −−→ −−→ = √ 41 · 90 |CA| · |CB|
⇒
γ ≈ 32, 9◦
(d) Adjon meg egy a h´aromsz¨og s´ıkj´ara mer˝oleges egys´egvektort! Mo.: K´et ilyen vektor van, ezek b´armelyike j´o megold´asnak: e1 =
− − → − − → AB×AC − − → − − → |AB×AC|
e2 = −
¢ ¡ 22 22 = − 11 33 , 33 , − 33
− − → − − → AB×AC − − → − − → |AB×AC|
=
¡ 11
22 22 33 , − 33 , 33
¢
3. Adott az f (x) = (3x − 1)e−x egyv´altoz´os val´os f¨uggv´eny.
2 pont
(a) V´egezzen teljes f¨ uggv´enyvizsg´alatot, ´es rajzolja fel a f¨ uggv´eny grafikonj´at!
10 pont
Mo.: Df = R f (x) = 0 ⇔ x =
1 3
f (0) = −1
A grafikon az x-tengelyt az x = 31 , az y-tengelyt az y = −1 pontban metszi. ½ f (1) = 2e −4e = f (−1) 6= −f (1) = − 2e A f¨ uggv´eny nem p´aros, nem p´aratlan. lim (3x − 1)e−x = ”∞ · 0” = lim
x→∞
x→∞
3 3x − 1 = lim x = 0+ x→∞ e ex
lim (3x − 1)e−x = ” − ∞ · ∞” = −∞
x→−∞
f ′ (x) = 3e−x − (3x − 1)e−x = e−x (−3x + 4) = 0 ⇔ x = ′
f f
x < 34 + ր
4 3
4 3
0 lok. max.
4 3
<x − ց
f -nek lok´alis maximuma van az x =
4 helyen, ´es ennek ´ert´eke: f 3
f ′′ (x) = −3e−x − (−3x + 4)e−x = e−x (3x − 7) = 0 ⇔ x = f ′′ f
x < 37 − ⌢
7 3
0 infl.
7 3
µ ¶ 4 4 = 3e− 3 ≈ 0, 79 3
7 3
<x + ⌣
7 helyen. 3 A f¨ uggv´eny grafikonj´anak ´abr´azol´as´at az olvas´ora b´ızzuk. ¤ 4 ¤ Rf = − ∞ , 3e− 3 A f¨ uggv´enynek inflexi´oja van az x =
4
(b) Sz´am´ıtsa ki az
Z3
(3x − 1)e−x dx hat´arozott integr´al ´ert´ek´et,
5 pont
1 3
´es ´abr´azolja ill. ´ertelmezze a jelent´es´et! Mo.: Parci´alis integr´al´assal: Z Z (3x − 1)e−x dx = −(3x − 1)e−x + 3 e−x dx = e−x (−3x − 2) + C Ennek felhaszn´al´as´aval: 4
Z3 1 3
£ ¤4 (3x − 1)e−x dx = e−x (−3x − 2) 31 ≈ 0, 56 3
Ez a f¨ uggv´eny-grafikon ´es az x-tengely k¨oz¨otti s´ıkr´esz ter¨ ulete a Az ´abr´azol´ast az olvas´ora b´ızzuk.
h1 4i intervallumon. , 3 3
(c) Hat´arozza meg az x0 = 0 helyen a f¨ uggv´eny grafikonj´ahoz h´ uzhat´o ´erint˝ o egyenes egyenlet´et!
4 pont
Mo.: e(x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) = f (0) + f ′ (0) · (x − 0) = −1 + 4x = 4x − 1
4. Hat´arozza meg az y ′′ − 2y ′ + 2y = 2x2 − 6 differenci´alegyenlet ´altal´anos megold´as´at!
10 pont
Adja meg a differenci´alegyenlet egy olyan yp partikul´aris megold´as´at, amelyre yp (0) = 0 teljes¨ ul! Mo.: Y ′′ − 2Y ′ + 2Y = 0
Y = ex (C1 cos x + C2 sin x)
yp = Ax2 + Bx + C yp = x2 + 2x − 2
y = Y + yp = ex (C1 cos x + C2 sin x) + x2 + 2x − 2
(a diffegyenlet a ´lt. megold´ asa)
y(0) = 1 · (C1 + 0) − 2 = C1 − 2 = 0 ⇒ C1 = 2 yp = ex (2 cos x + C2 sin x) + x2 + 2x − 2
(a kezdeti felt´etelt kiel´eg´ıt˝ o partikul´ aris megold´ as; C2 ∈ R tetsz˝ oleges)
5. Adott az f (x, y) =
x−y k´etv´altoz´os val´os f¨ uggv´eny. xy
(a) Hat´arozza meg ´es ´abr´azolja a f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´at!
2 pont
Mo.: © ª Df = (x, y) ∈ R2 | x 6= 0 , y 6= 0
Az ´abr´azol´ast az olvas´ora b´ızzuk.
(b) Hat´arozza meg a f¨ uggv´eny els˝ o- ´es m´asodrend˝ u parci´alis deriv´altf¨ uggv´enyeit!1
6 pont
Mo.: fx′ (x, y) =
1 xy − y(x − y) = 2 (xy)2 x
fy′ (x, y) =
−xy − x(x − y) 1 =− 2 (xy)2 y
′ fxx (x, y) = −
(c) Hat´arozza meg az
2 x3
Z2 Z2 1
′ fxy (x, y) = 0 ,
,
′ ′ fyx (x, y) = 0 , fyy (x, y) =
2 y3
f (x, y) dx dy kett˝ os integr´al ´ert´ek´et!
6 pont
1
Mo.: Z2 Z2 1
x−y dx dy = xy
¶ ¸2 ¶ Z2 · Z2 Z2 µ Z2 µ x 1 1 1 dx dy = − − ln |x| dy = − ln 2 dy = y x y y 1 1
1
1
1
1
2
= [ln |y| − y ln 2]1 = (ln 2 − 2 ln 2) − (0 − ln 2) = 0
6. (a) Magyarorsz´agon az emberek 15%-a besz´el angolul. Egy vizsg´alat sor´an 20 v´eletlenszer˝uen kiv´alasztott embert megk´erdeztek, hogy tud-e angolul. i. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a megk´erdezettek k¨oz¨ ul pontosan 5-en besz´elnek angolul? Mo.: A nevezett esem´enyt A-val jel¨olve: P (A) = 1 Nem
kell sz´ els˝ o´ ert´ ek-vizsg´ alatot v´ egezni!
µ
¶ 20 · 0, 155 · 0, 8515 ≈ 0, 1028 5
3 pont
ii. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a v´arhat´on´al kevesebben besz´elnek k¨oz¨ ul¨ uk angolul?
3 pont
Mo.: Binomi´alis eloszl´asr´ol l´ev´en sz´o : M (ξ) = np = 20 · 0, 15 = 3 Ezt felhaszn´alva, a nevezett esem´enyt B-vel jel¨olve: µ ¶ µ ¶ µ ¶ 20 20 20 0 20 1 19 P (B) = · 0, 15 · 0, 85 + · 0, 15 · 0, 85 + · 0, 152 · 0, 8518 ≈ 0, 4048 0 1 2 (b) A f´elliteres u ¨vegekbe t¨olt¨ott s¨or mennyis´ege 0,5 (liter) v´arhat´o ´ert´ek˝ u, 0,05 (liter) sz´or´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´onak tekinthet˝ o. i. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az u ¨vegbe t¨olt¨ott s¨or mennyis´ege
3 pont
0,48 ´es 0,52 liter k¨oz¨ott van? Mo.: P (0, 48 < ξ < 0, 52) = F (0, 52) − F (0, 48) = Φ
µ
0, 52 − 0, 5 0, 05
¶
−Φ
µ
0, 48 − 0, 5 0, 05
¶
=
= Φ(0, 4) − Φ(−0, 4) = 2Φ(0, 4) − 1 ≈ 2 · 0, 6554 − 1 = 0, 3108 ii. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a s¨or kicsordul az u ¨vegb˝ ol,
3 pont
ha az u ¨veg u ˝rtartalma 0,53 liter? Mo.: P (ξ > 0, 55) = 1−P (ξ < 0, 55) = 1−F (0, 55) = 1−Φ
µ
0, 55 − 0, 5 0, 05
¶
= 1−Φ(1) ≈ 1−0, 8413 = 0, 1587
´ ˝ KERD ´ ´ ELMELETI JELLEGU ESEK ¯
¯
7. Adjon meg egy olyan z komplex sz´amot, amelyre teljes¨ul, hogy ¯ z 2 ¯ < |z| ! Mo.:
4 pont
Minden olyan z komplex sz´am j´o, amelyre 0 < |z | < 1 teljes¨ ul. (C´elszer˝ u trigonometrikus alakban gondolkodni). Pl.: z =
1 (cos 30◦ + j sin 30◦ ) 2
8. Hat´arozza meg c ´ert´ek´et u´gy, hogy az an =
µ
2 1+ cn
¶3n
sorozat hat´ar´ert´eke
1 legyen! e
4 pont
Mo.: lim
n→∞
µ
2 1+ cn
¶3n
¶cn ¸ 3n ·µ cn ¡ ¢3 6 2 = e2 c = e c 1+ = lim n→∞ cn
⇒
c = −6
9. D¨ontse el, melyik a val´osz´ın˝ubb a k¨ovetkez˝o k´et esem´eny k¨oz¨ul:
4 pont
A= Egy p´enzdarabot 3-szor feldobva a dob´asok k¨oz¨ott pontosan k´et fej lesz; B= Egy dob´okock´at 3-szor feldobva a dob´asok k¨oz¨ott lesz (legal´abb) k´et egyforma. Mo.: P (A) =
3 = 0, 375 8
<
P (B) = 1 −
20 6·5·4 =1− = 0, 4˙ 3 6 36
10. Adjon meg egy olyan egyv´altoz´os val´os f f¨uggv´enyt, amelyik p´aros, ´es amelyre f (x) < 0 teljes¨ ul minden x ∈ Df eset´en! Mo.: Pl.: f (x) = −x2 − 1
4 pont
11. Mi a hiba az al´abbi sz´amol´asban? t · cos 2t
(−1)1 ·
4 pont
−4 4 = 2 +4 s +4
s2
mert (cos 2t)′ = −2 sin 2t ´es −2 sin 2t
−2·
s2
2 −4 = 2 +4 s +4
Mo.: El˝ obb kell a cos 2t f¨ uggv´eny Laplace-transzform´altj´at venni, ´es csak ut´ana deriv´alni.
12. Adottak az a(1, −2, 3) ´es b(c, 6, c) vektorok. Hat´arozza meg c ´ert´ek´et u ´gy, hogy a ⊥ b teljes¨ ulj¨on! Mo.: a · b = c − 12 + 3c = 0
⇒
c=3
4 pont
