Eerlijk zullen we alles delen1
W. Uittenbogaard
De staartdeling blijft de gemoederen bezig houden. Kinderen zouden op de basisschool helemaal niet leren delen. Er zijn nogal wat mensen die vinden dat de ouderwetse staartdeling weer terug moet komen. Wat leren kinderen wel op de basisschool over delen? In dit artikel doen we verslag van het werk van twee groepen 8. Eén groep 8 van een basisschool in Overveen en een groep 8 van een basisschool in Bos en Lommer te Amsterdam. Het laat zien wat kinderen wel leren en hoe ze het er vanaf brengen.
1 Nog eens over de staartdeling Waarom zou je weer over de staartdeling moeten schrijven (Uittenbogaard, 2008)? Het is overduidelijk de moeilijkste van de standaardalgoritmen op de basisschool. Aftrekken is moeilijker dan optellen. Delen is veel moeilijker dan vermenigvuldigen. De algoritmen zijn ook gestapeld: je moet voor het uitvoeren van een deling over de vaardigheid beschikken om af te trekken en te vermenigvuldigen. Al die algoritmen zijn verworvenheden van de wiskunde. Hoe korter hoe beter. Ook doen we al honderd jaar ons best om dat alle kinderen in het basisonderwijs te leren. Met wisselend succes zullen we maar zeggen. Natuurlijk kun je een kleine groep leerlingen alle algoritmen blind leren en ervan uitgaan dat het inzicht later komt. Dat is wat critici altijd beweren: het begrip komt later. Wat is er in de afgelopen twintig jaar allemaal gebeurd op het gebied van de staardeling? Er is niet zo heel veel veranderd als je naar de huidige reken-wiskundemethoden kijkt. Het inzicht in het algoritme van de staartdeling is er nog steeds. De belangrijkste veranderingen zijn: – getallen heel houden en niet opsplitsen in cijfers; – herhaald aftrekken op weg naar verkortingen (De Moor, 2011, Van den Heuvel-Panhuizen, Buijs & Treffers, 2001). De staartdeling blijft een geliefd onderwerp. Want: ‘kinderen leren geen staartdeling meer’, zo praat men elkaar na. In een column van ‘Binnenlands Bestuur’ van de hand van Paul Lensink (interim-manager bij verschillende ministeries) getiteld ‘Cito ellende’ lezen we: Onze kinderen leren geen staartdeling meer maken op de
14
lagere school. Die is vervangen door een systeem van een beetje schatten en gokken.
Het lijkt onwaarschijnlijk dat Lensink zich ooit heeft verdiept in de lesstof van de basisschool. Hij noemt de basisschool ook nog steeds lagere school. Die lagere school heet al sinds 1985 basisschool. Zou hij 26 jaar achterlopen? Het is niet te hopen dat hij de mogelijkheid krijgt zijn ideeën uit te werken tot onderwijsbeleid. Het is een misvatting om te stellen dat kinderen tegenwoordig geen staartdeling meer leren. Ze leren hem tegenwoordig alleen anders. En dat is zeker geen schatten en gokken. Iedereen kan een filmpje op YouTube plaatsen, ter vermaak of ter lering. Laatst stuitte ik op een instructiefilmpje over de staartdeling, gemaakt door Wim Grosheide, docent aan het Hermann Wesselink College te Amstelveen. Grosheide laat stap voor stap zien hoe de staartdeling gemaakt moet worden en hoe de procedure ook leidt tot antwoorden in het geval een kommagetal gedeeld wordt of een repetendum ontstaat.2 Er is al veel over de staartdeling gepubliceerd en ook het verschijnen van zo’n filmpje is op zich geen nieuws. Veel Amerikanen gingen hem voor3. Grosheide legt de staartdeling uit met een mooie en rustige stem. Dat wil zeggen: hij legt niet zoveel uit, maar hij doet voor. Ik heb het filmpje vele malen bekeken. Ik probeerde het aantal malen ‘dus’ en ‘dan’ te tellen. Daar ben ik mee opgehouden. ‘Hoe vaak past de 3 in de 1? Dat gaat niet’, zo stelt de docent. Waarom schrijf je dan geen nul op, zoals in de volgende voorbeelden? Daar wordt nadrukkelijk gewaarschuwd voor het niet opschrijven van de nul. ‘Pas op nul!’, is de waarschuwing. In zijn filmpje behandelt Grosheide zes staartdelingen. Hieronder de eerste in zijn rijtje: 1491 : 3
In mijn ogen is dat een hoofdrekenopgave en geen cijfersom. Ik zou mijn brugklasleerlingen vragen het antwoord te schatten. Zo niet Grosheide. Hij gaat van start:
2 Zes opgaven
– Hoe vaak gaat de 3 in de 1? Drie keer zullen veel leerlingen zeggen. Nee, 3 gaat niet in de 1. We gaan het bordje opschuiven. Hoezo bordje? En wat is een bordje? En waarom ga je schuiven? En waarom maar één cijfer? Dat blijft allemaal in het ongewisse. Maar goed, de docent schuift op: 14 wordt zichtbaar. Hoe vaak gaat 3 in 14? 4 Keer. We schrijven de 4 hier. Dat is het eerste cijfer van ons antwoord. – Hoezo eerste cijfer? En wat bedoel je daar eigenlijk mee: eerste cijfer van het antwoord. – We gaan door. We trekken de 12 van de 14 af. Waarom eigenlijk? Waarom aftrekken? En niet optellen? Er blijft 2 over en dan komt het volgende cijfer naar beneden. Waarom? 9 keer: 27, over 2, en dan nog weer de 1 naar beneden: 21. En dan gaat het nog 7 keer.
In zijn filmpje behandelt Grosheide zes opgaven. Alsof alle kinderen dat delen in een paar minuten kunnen leren. Dit zijn de opgaven die aan de orde komen:
Als je het goed beschouwt, is Grosheide vooral bezig een trucje aan te leren. Hij legt niet uit, maar doet voor. Ik heb van de wiskunde veel geleerd door ‘voordoen’ en ‘nadoen’. Maar de vraag is of dat in dit geval werkt en of het bijdraagt aan inzicht in de procedure. Waartoe een dergelijke betekenisloze procedure kan leiden, toont een filmpje waarin het algoritme wordt toegepast op 25 : 5. Daar kan 5 uitkomen, maar ook 14 (fig.1).4
1491 : 3 1520 : 4 2:3 18024 : 6 35,56 : 14 159292 : 2,8
De Julianaschool te Overveen Ik neem drie van Grosheides opgaven mee naar groep 8 van de Julianaschool te Overveen. Ik neem daarvoor de makkelijkste opgaven. Ik laat de derde, de vijfde en de zesde uit het bovengenoemde rijtje buiten beschouwing. Ik schrijf de opgaven op een blaadje: 1491 : 3 1520 : 4 18024 : 6
Met dat blaadje ga ik naar de leerkracht van groep 8b van de Julianaschool in Overveen. Ik vraag hem zijn leerlingen de drie opgaven te laten maken. Ik geef hem de opgaven naast elkaar, zonder deelstrepen. Zijn leerlingen mogen de opgaven oplossen zoals ze willen. Ze krijgen daarbij geen instructie en geen rekenmachine. Alle 21 leerlingen van groep 8 maken de opgaven. Dit levert 21 3 = 63 uitwerkingen. Hoe gaan de kinderen te werk? Van de 63 uitwerkingen is er eigenlijk maar één fout. Een leerling schrijft 1491 : 3 = 491. Verder maken enkele leerlingen overschrijffouten: drie leerlingen schrijven 1824 : 6 in plaats van 18024 : 6 en geven het antwoord antwoord 304. Een andere leerling schrijft: 1525 : 5 in plaats van 1520 : 5, met als antwoord 305. In deze vier gevallen is het denkwerk correct. Om verder greep te krijgen op het denkwerk van de leerlingen, verdeel ik het werk in drie verschillende typen van aanpakken:
figuur 1: 25 : 5 = 14
We leren in ons leven van jongsaf aan heel veel van voordoen, nadoen en imiteren. Op die manier leerde ik m’n veters strikken en met mes en vork eten. De vraag is of je alles in het leven zo zou moeten leren. Ik zou denken als het niet anders kan, dan doen we het zo. Maar gaat het bij wiskunde leren net zo? Ik zou zeggen van niet.
jaargang 30
3
herfst 2011
1 een lange weg, 2 de meest verkorte manier via herhaald aftrekken, zoals die op bijna alle basisscholen in Nederland volgens de methode onderwezen wordt; 3 variamanieren, waarbij mengvormen ontstaan van de meest verkorte vorm en hoofd- en handig rekenen. Bij de opgave 1491 : 3 leiden deze aanpakken tot de volgende uitwerkingen.
15
ad 1: een lange weg 1491 : 3 300 100 x 1191 600 200 x 591 300 100 x 291 150 50 x 141 120 40 x 21 21 7x 0 497 x
ad 2: de meest verkorte manier 1491 : 3 1200 400 x 291 270 90 x 21 21 7x 0 497 x
ad 3: variamanieren 1491 : 3 1500 : 3 = 500 9:3= 3 500 – 3 = 497 Of nog korter: 1491 : 3 = 497 1500 – 9 Of: Eerst 400 keer, over 291. Dan 100 keer, maar 9 tekort, dus 3 x minder 497
figuur 2: het werk van Feline
In zowel opgave 1 als opgave 3 kiest ze niet voor de meest korte werkwijze. Ze neemt in beide opgaven één stapje meer. De tweede opgave doet ze waarschijnlijk uit haar hoofd. Ze schrijft het ook niet heel handig op, maar ze maakt geen fouten in de positiewaarden van de deeltallen. Het werk van Sidney, ook uit stapel 1 Ook Sidney volgt de lange weg. Hij kiest bij de eerste opgave nogal een omweg. Maar in de volgende opgaven kiest hij toch voor de meest verkorte vorm. Al maakt hij in de laatste opgave wel een overschrijffoutje. Wel de meest verkorte vorm en het goede antwoord (fig.3).
Naar het werk van de kinderen Ik maak per aanpak een stapeltje en ga na hoeveel uitwerkingen er op ieder stapeltje liggen. – Stapel 1: een lange weg: twee, waarvan één met overschrijffout, alle antwoorden goed. – Stapel 2: de meest verkorte manier: tien, waarvan drie met overschrijffout, alle antwoorden goed. – Stapel 3: variamanieren: negen, waarvan één echte fout: 1491 : 3 = 491. Het werk van Feline uit stapel 1 Feline doet het volgens ‘de lange weg’. Ze geeft wel drie goede antwoorden (fig.2).
16
figuur 3: het werk van Sidney
Tien leerlingen kiezen voor een deelalgoritme gebaseerd op de meest verkorte manier: stapel 2. Hier de uitwerkingen van twee van hen (fig.4). Wat opvalt is dat de uitwerkingen laten zien dat ze de meest verkorte werkwijze met inzicht gebruiken. Ze werken verkort en met inzicht.
Job begint wel even met een staart en stapt over naar geschikt splitsen. Rianne ziet de geschiktste splitsingen meteen al. De leerlingen van de Julianaschool kunnen de gestelde deelopgaven goed maken en gebruiken daarbij verschillende aanpakken. Maar dit bewijst nog niet dat dat overal zo gaat. De Julianaschool in Overveen is immers niet representatief voor het basisonderwijs. De Springplank Amsterdam-west De Springplank is een zogenaamde zwarte school in Amsterdam. De school is daarmee heel anders dan de Julianaschool en wellicht maakt dat we hier meer uitvallers op de staartdeling mogen verwachten. Ik ga dat na en vraag de leerkracht van groep 8 om dezelfde drie sommen aan zijn leerlingen voor te leggen. Weer vraag ik de opgaven naast elkaar te presenteren en de leerlingen vrij te laten in hun aanpak. Ook mogen de leerlingen van de Springplank geen rekenmachine gebruiken. Alle leerlingen maken de opgaven; de twintig leerlingen produceren zo zestig uitwerkingen.
figuur 4: het werk van Florine & Kirsten
En dan blijft er nog het werk over van negen leerlingen. Allemaal goed en ze leveren een rijke bron van inzichten: stapel 3. Hier twee voorbeelden daarvan (fig.5).
Hoe doen de kinderen het? Van de zestig gemaakte opgaven zijn er veertien fout. Een analyse van het werk laat zien dat het eigenlijk maar om twaalf fouten gaat. In twee gevallen gaat het om verkeerde antwoorden bij correcte berekeningen. Ook hier maakte ik weer drie stapels. Een overzicht van de stapels: – Stapel 1: een lange weg: zes uitwerkingen, met twee fouten. – Stapel 2: de meest verkorte weg: negen uitwerkingen, met zeven fouten waarvan vijf bij twee kinderen – Stapel 3: variamanieren: vijf uitwerkingen, met vijf fouten waarvan drie bij één kind.
figuur 5: het werk van Rianne & Job
jaargang 30
3
herfst 2011
17
figuur 6: het werk van Aygul & Gamze
Stapel 1: het werk van Aygul en Gamze (fig.6) Aygul begint met een lange staart maar brengt in de tweede en de derde opgave de nodige verkortingen aan. Daar werkt ze met mooie ronde getallen. Ook Gamze begint met een staart. Wel veel korter dan de staart van Aygul. In de tweede opgave neemt Gamze nog een tussenstap. In de laatste opgave doet hij het heel efficiënt.
Hij is de enige met drie fouten. Het blijkt dat hij drie vermenigvuldigopgaven heeft gemaakt. Daarin maakt hij overigens geen fouten. Hij laat zien dat hij de tafels en de nulregel goed kent. Waarschijnlijk kan hij met een beetje moeite leren delen. Dan komt hij misschien echt in stapel 3. Ook de leerlingen van de Springplank hebben al veel begrepen van wat delen is.
figuur 7: het werk van Yassir & Hamza
Stapel 2: het werk van Yassir en Hamza (fig.7) Het werk van Yassir is foutloos en het meest verkort. In het werk van Hamza is het antwoord van de derde opgave fout. Maar als je naar zijn berekeningen kijkt, zie je dat zijn antwoord 3004 had moeten zijn. Stapel 3: het werk van Mihriban en Oguzhan (fig.8) In het werk van Mihriban zie je goed de manier waarop zij de getallen splitst, namelijk 1491 in 1200 en 291. En dan vervolgens 291 in 240 en 51. De splitsingen bij opgave 2 en 3 zijn niet zo lastig. Het werk van Oguzhan laat drie foute antwoorden zien.
18
Ze maken wel eens een fout en raken soms het spoor bijster. Maar in het algemeen werken ze goed en efficiënt.
3 Samenvattend We zien dat de leerlingen op de Julianaschool het beter doen dan die op de Springplank. Op de eerste school maken de leerlingen in totaal twee fouten, dat zijn er bij de tweede school twaalf. Dat ligt ook voor de hand. De
figuur 8: het werk van Mihriban & Oguzhan
Julianaschool staat in een buurt met de hoogst mogelijke sociaal-economische populatie. De Springplank in een van de laagst mogelijke. Dat neemt niet weg dat we door middel van deze sociaal-economische dwarsdoorsnede komen op veertien fouten in 123 opgaven. Dat is een behoorlijke goedscore, namelijk een van 89 procent. Uit een nadere analyse blijkt verder dat vrijwel alle leerlingen begrepen wat er met de deelopgaven werd bedoeld. Anders dan Grosheide beweert, blijkt uit niets dat de leerlingen vooral gaan schatten en gokken. Sterker nog: bij alle kinderen zie ik een zoektocht naar de meest verkorte werkwijze. Veel van de kinderen beschikken al over deze werkwijze. Er is in mijn ogen dan ook geen enkele reden om met deze leerlingen na de basisschool het leren delen nog eens over te doen. Grosheide haalt aan het eind van zijn filmpje uit naar de basisschool, in de veronderstelling dat nogal wat kinderen zouden verzanden in een lange aanpak bij het delen. Ze zouden daarbij fouten maken en veel tijd verliezen. Uit dit beperkte onderzoekje blijkt het tegendeel.
4 Ten slotte Het is treurig dat sommige docenten in het voortgezet onderwijs denken het werk van de basisschool nog eens over te moeten doen. Het is - als je al het werk van deze kinderen overziet - toch een grote miskenning van de verworvenheden van de basisschool: te denken dat je in het voortgezet onderwijs nog eens opnieuw moet beginnen.
Ik vraag me af waarom dat zo gebeurt. Ik vermoed dat veel leraren in het voortgezet onderwijs domweg niet weten wat er op de basisschool gebeurt en daarom terugvallen op de didactische aanpak die zij zich herinneren van hun eigen basisschooltijd. Ze merken dat die aanpak niet aansluit bij de leerlingen en concluderen dat er op de basisschool niet geleerd wordt. Dat is niet het geval. Ik heb dan ook een advies voor deze leraren. Ga eens kijken op een basisschool, praat met de leerkrachten, leer van elkaar. Net als in het basisonderwijs, moeten leraren in het voortgezet onderwijs aansluiten bij wat kinderen al kunnen en weten. Eerlijk zullen we alles delen ... Noten 1 Met dank aan Jorn van den Eijkhof en Paul Bras, leerkrachten aan de Julianaschool in Overveen en de Springplank in Amsterdam. En natuurlijk met dank aan hun leerlingen die zulk mooi werk hebben geleverd. Voor wie dat wil, is al het leerlingenwerk ter inzage bij de auteur,
[email protected] 2 Zie: http://www.youtube.com/watch?v=oDte8RbJDps 3 Zie: http://www.youtube.com > watch > v=3ULXhiJqlPs 4 Zie: http://www.youtube.com/watch?v=Ec3l2nDubVE
Literatuur Heuvel-Panhuizen, M. van den, K. Buijs & A.Treffers (2001). Kinderen leren rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele Getallen. Groningen: Wolters Noordhoff. \ Moor, E. de (2011). Een voorbeeldige staartdeling. Volgens Bartjens, 30(4), 16. Uittenbogaard, W. (2008). Geen catechismus maar nadenken. Nieuw Archief voor Wiskunde, 9(1), 60-65.
Long division is still a hot issue in the Netherlands, and quite a few people want to see old-fashioned long division brought back. Some people think that we do not teach division with bigger numbers in elementary school. In this article we show the work of two grade eight classes, one from a school in Overveen (high social economic) and one class in Amsterdam (Bos en Lommer: a low social economic neighbourhood). It shows what students learn and how they solve division problems.
jaargang 30
3
herfst 2011
19
