Obsah 1 Jednotky a pˇ revody - nerelativistick´ a kinematika 1.1 Teoretick´ yu ´vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Jednotky, veliˇciny, konstanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Typy sr´ aˇzek, LS,TS, pˇrevody mezi soustavami, sr´ aˇzkov´ y diagram 1.2 Pˇrevody mezi soustavami - opakov´an´ı z TEF(necviˇc´ı se) . . . . . . . . .
. . . .
2 2 2 3 6
2 Subatomov´ a struktura, z´ akladn´ı s´ıly a ˇ c´ astice 2.1 Teoretick´ yu ´vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Vlastnosti vybran´ ych ˇca´stic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vlastnosti ˇca´stic a interakc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7 8
3 Zkoum´ an´ı subatomov´ e struktury 3.1 Teoretick´ yu ´vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ cinn´ 3.1.1 Uˇ y pr˚ uˇrez geometrick´a interpretace . . . . . . . . 3.1.2 F´azov´ y prostor a poln´ı interpretace u ´ˇcinn´eho pr˚ uˇrezu ´ cinn´ 3.2 Uˇ y pr˚ uˇrez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9 9 9 9 12
4 Z´ aklady kvantov´ eho popisu - Klein-Gordonovo pole a Diracovo pole
13
5 Antiˇ c´ astice
14
6 Leptony, kvarky, hadrony
15
7 Yukawova teorie jadern´ ych sil
16
8 Symetrie a z´ akony zachov´ an´ı 8.1 Symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Z´ akony zachov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 17 17
9 Tˇ eˇ zk´ e kvarky a experiment´ aln´ı cesta k jejich objevu
19
10 Slab´ a interakce
20
11 Sjednocen´ı elektromagnetick´ e a slab´ e interakce
21
12 Struktura nukleonu a partony 12.1 Rozptyl na bodov´em centru-Rutherford˚ uv rozptyl 12.2 Rozptyl na ˇca´stici koneˇcn´ ych rozmˇer˚ u . . . . . . 12.3 Pruˇzn´ y a nepruˇzn´ y rozptyl, Compton˚ uv rozptyl . 12.4 Hluboce nepruˇzn´ y rozptyl . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
22 22 22 22 23
13 Siln´ a interakce
24
14 Statick´ y kvarkov´ y model
25
15 Relativistick´ a kinematika 15.1 Teoretick´ yu ´vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.1 Relativistick´e pˇrevody . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.2 Kinematika vysokoenergetick´ ych sr´ aˇzek . . . . . 15.2 Pˇrevody mezi soustavami . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Kinematick´e promˇenn´e ve vysokoenergetick´ ych sr´ aˇzk´ ach
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
26 26 26 27 30 30
16 Zdroje ˇ c´ astic
31
17 Synchrotronn´ı z´ aˇ ren´ı
32
18 Objevy ˇ c´ astic - t´ emata pro presentace
33
19 Podm´ınky na z´ apoˇ cet
33
1
1
Jednotky a pˇ revody - nerelativistick´ a kinematika
1.1 1.1.1
Teoretick´ yu ´ vod Jednotky, veliˇ ciny, konstanty
V subatomov´e(jadern´e a sub-jadern´e) fyzice se setk´ av´ ame s • velmi mal´ ymi rozmˇery - nm, pm, fm
1nm=10−9 m, 1pm=10−12m, 1fm=1F(ermi)=10−15 m
• velmi kr´ atk´ ymi ˇcasy - ns,ps, fs
1ns=10−9s, 1ps=10−12s, 1fs=10−15s
• velmi mal´ ymi energiemi - eV
1eV=1.602.10−19J
• velmi mal´ ymi hybnostmi - eV/c
1eV/c=5,349.10−28kg.m.s−1
• velmi mal´ ymi hmotnostmi - eV/c2
1eV/c2 =1,783.10−36kg
• velmi mal´ ymi plochami - b,mb
1b(arn)=10−28 m2 ,1mb(arn)=10−31m2
Jednotky Velmi ˇcasto se v teori´ıch popisuj´ıc´ıch strukturu ˇca´stic pouˇz´ıvaj´ı tzv. pˇrirozen´e jednotky. Tato soustava vznikne, pokud poloˇz´ıme velikost ~=c=1, a m˚ uˇzeme tedy absorbovat celou redukovanou Planckovu konstantu a rychlost svˇetla do jednotek, napˇr. p p E = ~ν[J.s.s−1 ] = 1.ν[~.s−1 ] E = m2 c4 + p2 c2 [kg.m.s−1 ] = m2 + p2 [kg.c2 ]. D´ıky tomu m˚ uˇzeme konvertovat zbyl´e jednotky na
ˇcas d´elka u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez hmota intenzita elektrick´eho pole magnetick´a indukce
1GeV−1 =6,58.10−25s 1GeV−1 =0.197326968fm 1GeV−2 =0.3894mb 1MeV/c2 =1,78266.10−30kg 1V/m=1,97325.10−25 GeV2 /(e~c) 1T=5,916.10−17 GeV2 /(e~c2 )
a d´ ale plat´ı 1s=3.1023fm 1m =5,07.106eV−1
1s−1 = 6, 5.10−16eV 1m−1 =1,97.10−7eV
Pouˇzit´ım t´eto soustavy jednotek m´a hmota, energie i hybnost stejn´ y rozmˇer a z toho d˚ uvodu se pro nˇe ˇcasto pouˇz´ıv´ a pouze jednotka [GeV]. Pro v´ ypoˇcty je pak tˇreba nejprve urˇcit spr´ avn´e jednotky rozmˇerovou anal´ yzou pˇr´ısluˇsn´ ych vztah˚ ua pak do ˇc´ıseln´ ych hodnot dosadit i hodnoty rychlosti svˇetla a Planckovy konstanty tak, abychom dostali spr´ avn´ y v´ ysledek. Konstanty Z´ akladn´ı konstanty pouˇz´ıvan´e v subatomov´e fyzice: rychlost svˇetla ve vakuu Planckova konstanta redukovan´a Planckova konstanta n´ aboj elektronu magnetick´ y moment elektronu magnetick´ y moment mionu magnetick´ y moment protonu magnetick´ y moment neutronu permitivita vakua permeabilita vakua konstanta jemn´e struktury Fermiho vazbov´a konstanta slab´e interakce vazbov´a konstanta siln´e interakce weak mixing angle Newtonova gravitaˇcn´ı konstanta 2
c h ~ e µe µµ µp µn ε0 µ0 2 α = 4πεe 0 ~c GF /(~c)3 αs (Mz ) sin2 θW (MZ ) GN /~c
2,99792458.108 m.s−1 4,136.10−24 GeV.s 6,58211915.10−25 GeV.s 1,60217653.10−19 C 9,28477.10−24 J/T 4,49045.10−26 J/T 1,41061.10−26 J/T -0,96624.10−26 J/T 8,854.10−12 F/m 4π10−7 Hm−1 1 137,035999
1, 16637.10−5GeV−2 0, 1176 0,23122 6, 709.10−39GeV−2 c4
hmota elektronu hmota protonu hmota neutronu
me mp mn
Planckova hmota
mP =
q
0,511MeV/c2 0,9383GeV/c2 0,9396GeV/c2 ~c GN
2,17671.10−8kg
Vztahy a pˇrevody Uˇziteˇcn´e pˇrevody: ~c=197,327 MeV.fm fm2 =10mb 1eV=1,602.10−19J 1eV/c=5,349.10−28kg.m.s−1 1eV/c2 =1,783.10−36kg α~c 1 9 −1 m=14,4.1028 eVm e2 = 4πε0 =8,99.10 Farad C2 Uˇziteˇcn´e vztahy:
1.1.2
2
klasick´ y polomˇer elektronu Comptonova vlnov´a d´elka pro elektron Comptonova vlnov´a d´elka pro proton
µ0 e re = 4πm = 2,81794.10−15 m e λeC = mhe c = 2,4263.10−12 m λpC = mhp c = 1,3214.10−15 m
Bohr˚ uv polomˇer Bohr˚ uv magneton Jadern´ y magneton
h ε0 −11 a0 = πm m 2 = 5,29177.10 ec eh −24 µB = 4πme = 9,274.10 J/T eh = 5,05079.10−27J/T µN = 4πm N
Thompson˚ uv u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez Anihilaˇcn´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez
σT = 3 e =0,0052 b 4πα2 = E 2 86,8b R = 3E 2 [GeV 2 ]
2
8πr 2
cms
cms
Typy sr´ aˇ zek, LS,TS, pˇ revody mezi soustavami, sr´ aˇ zkov´ y diagram
Vˇetˇsina experiment˚ u v ˇca´sticov´e fyzice prob´ıh´a jako sr´aˇzkov´ y proces. Daj´ı se rozdˇelit na dva typy m′1
T1′ , ~p ′1
m′1
θ m1
θ˜ m1
m2
T1, ~p1
m′2
m2
T1, ~p1
ϕ
T 2 = p2 = 0
T1′ , ~p ′1
ϕ˜ T2′ , ~p ′2
m′2
T2, −~p1
T2′ , −~p ′1
experiment se vstˇr´ıcn´ymi svazky
experiment s pevn´ym terˇcem
Soustavu ˇca´stic pˇred interakc´ı i po interakci je moˇzno povaˇzovat za izolovanou. Oblast, v kter´e p˚ usob´ı mezi ˇca´sticemi interakˇcn´ı s´ıly, naz´ yv´ame interakˇcn´ı oblast. Mimo tuto oblast se ˇca´stice pohybuj´ı volnˇe (re´ alnˇe je s´ıla interakce zanedbateln´a v˚ uˇci interakˇcn´ı oblasti). Pokud je interakˇcn´ı oblast nekoneˇcn´a, povaˇzujeme pˇr´ıchoz´ı i odchoz´ı ˇca´stice za voln´e pouze asymptoticky. Interakci zapisujeme a+b ←− | sr´ aˇzej´ıc´ı se ˇca´stice
→ c+d
| −→ produkty interakce
Znaˇcen´ı: Pˇred interakc´ı klidov´e hmoty m1 , m2 hybnosti p~1 , p~2 celkov´a hybnost soustavy P~ = p~1 + p~2 celkov´a energie soustavy E = m1 c2 + m2 c2 + T1 + T2 = M c2 + T
3
Po interakci klidov´e hmoty m′1 , m′2 hybnosti p~ ′1 , p~ ′2 celkov´a hybnost soustavy P~ ′ = ~ p ′1 + p~ ′2 ′ celkov´a energie soustavy E = m′1 c2 + m′2 c2 + T1′ + T2′ = M ′ c2 + T ′ Z´ akony zachov´an´ı celkov´e energie a celkov´e hybnosti izolovan´e soustavy m˚ uˇzeme napsat ve tvaru E = E′ P~ = P~ ′ Typy interakc´ı podle produkt˚ u Pruˇzn´ y rozptyl
-
pˇri tomto typu interakce se nemˇen´ı typy z´ uˇcastnˇen´ ych ˇca´stic (c=a,d=b) ani jejich klidov´e hmotnosti (M = M ′ ). Ze z´ akona zachov´an´ı energie plyne T = T ′ a tedy celkov´a kinetick´a energie soustavy se zachov´av´ a.
Nepruˇzn´ y rozptyl
-
pˇ z´ uˇcastnˇen´ ych ˇca´stic (M 6= M ′ ). Veliˇcinu Q = ri interakci2 se mˇe′ n´ı hmotnosti ′ 2 ′ 2 (m1 + m2 )c − (m1 + m2 )c = (M − M )c naz´ yv´ame energi´ı interakce. Ze z´ akona zachov´an´ı energie plyne T ′ = T + Q. Pokud Q 6= 0, pak je interakce nepruˇzn´a. Pokud Q = 0, pak je interakce pruˇzn´a.
Pro v´ ypoˇcty je moˇzno pouˇz´ıt relativistick´ y popis pˇr´ıpadnˇe nerelativistick´e pˇribl´ıˇzen´ı. Odhadem pro to, kter´ y z nich pouˇz´ıt je podm´ınka T > 0, 01 (v > 0, 2c) m0 c2 T < 0, 01 (v < 0, 2c) m0 c2
⇒
relativisticky
⇒
nerelativisticky
Souˇradn´e soustavy Laboratorn´ı soustava(LAB,LS)
-
Soustava pevnˇe spojen´a s detektorem. Nen´ı vˇzdy vhodn´e, jelikoˇz vzorce jsou sloˇzit´e. V t´eto soustavˇe se mˇeˇr´ı hlavnˇe experimenty s pevn´ ymi terˇci. Viz obr. 1.1.2 prvn´ı ˇca´st.
Tˇeˇziˇst’ov´a soustava(CMS,TS)
-
tˇeˇziˇstˇe soustavy je v klidu, zaj´ım´ a n´ as jen relativn´ı pohyb ˇca´stic. Celkov´a hybnost soustavy ˇca´stic je rovna nule, coˇz zjednoduˇs´ı vzorce. Viz obr. 1.1.2 druh´ a ˇca´st.
Terˇc´ıkov´a soustava
-
soustava, ve kter´e je hybnost terˇce nulov´a.
Soustava svazku
-
soustava, ve kter´e je hybnost svazku nulov´a.
Colliding beam frame
-
soustava, ve kter´e se svazky sr´ aˇzej´ı pod u ´hlem ϑ
Kinetickou energii v LS lze rozdˇelit na ˇca´st odpov´ıdaj´ıc´ı translaˇcn´ımu pohybu soustavy ˇca´stic jako celku, tj. kinetickou energii tˇeˇziˇstˇe a na ˇca´st odpov´ıdaj´ıc´ı relativn´ımu pohybu ˇca´stic, tj. kinetickou energii v TS. Kinematick´e vztahy v TS se vyznaˇcuj´ı maxim´ aln´ı symetri´ı, proto je obvykle jednoduˇsˇs´ı pro v´ ypoˇcty. Jenˇze, vˇetˇsina experiment´ aln´ıch v´ ysledk˚ u je mˇeˇren´ a v LS, proto je tˇreba pˇrev´adˇet mezi soustavami. Kinematika pruˇzn´e sr´ aˇzky - pˇrevod mezi soustavami v LS =
p~′1 + ~p′2
T1 + T2
=
T1′
~vT
=
p~1 + p~2
T2′
ZZH
+ ZZE m1~v1 + m2~v2 m1 + m2
v TS 4
p~˜1 + p~˜2 T˜1 + T˜2 ~v˜T
p~˜′1 + p~˜′2 = 0 ZZH ′ ′ ˜ ˜ T1 + T2 ZZE 0!
= = =
z toho plyne |p~˜1 | = |p~˜2 | = |p~˜′1 | = |p~˜′2 |
v˜1 = v˜1′
T˜1 = T˜1′
v˜2 = v˜2′
T˜2 = T˜2′
Za pˇredpokladu, ˇze je v LS terˇcov´a ˇca´stice v klidu(p2 = 0; T2 = 0), potom ~v˜1 = ~v1 − ~vT = ~v1 −
~v˜2 = ~v2 − ~vT = ~v2 −
v2 |=0 m1 ~ v1 +m2 ~ v2 |~ 2 = m1m+m ~v1 m1 +m2 2 m1 ~ v1 +m2 ~ v2 1 = − m1m+m ~v1 m1 +m2 2
T˜ = T˜1 + T˜2 = 12 m1 v˜12 + 12 m2 v˜22 =
p˜21 2m1
+
p ˜22 2m2
= 21 µv12 =
p~˜1 = µ~v1
⇒
~˜2 = −µ~v1 p
⇒
m2 m1 +m2 T1
µ=
+m2 ~ v2 p~ ′1 = m1~v1′ = m1~v˜1′ + m1~vT = p~˜′1 + m1 m1m~v11 +m 2
|~ v2 |=0
~˜′1 + p
v2 2~ p~ ′2 = m2~v2′ = m2~v˜2′ − m2~vT = −p~˜′1 + m2 m1m~v11 +m +m2 ⇓
|~ v2 |=0
−p~˜′1 +
p~ ′1 + ~ p ′2 = p~1
= =
m1 p1 m1 +m2 ~
∧ p~2 = 0 dle pˇredpokladu
Na z´ akladˇe tˇechto vztah˚ u lze zkonstruovat sr´ aˇzkov´ y diagram(viz [3]) Z nˇeho se d´ a usoudit na moˇzn´e velikosti a u ´hly vektor˚ u hybnosti rozpt´ ylen´ ych ˇca´stic. Pokud m1 < m2 π i 2
θ ∈ h0, πi
ϕ ∈ h0,
π θ ∈ h0, i 2
π ϕ ∈ h0, i 2
Pokud m1 = m2
Pokud m1 > m2 θ ∈ h0, θmax i ϕ ∈ h0,
π i 2
sin θmax =
Nav´ıc lze uk´azat, ˇze ϕ=
π − θ˜ 2
tgθ =
5
sin θ˜ m1 m2
+ cos θ˜
m2 m1
m1 m2 m1 +m2
m2 ~1 m1 +m2 p
1.2
Pˇ revody mezi soustavami - opakov´ an´ı z TEF(necviˇ c´ı se)
ˇ astice o hmotnosti m1 a kinetick´e energii T1 se pruˇznˇe rozpt´ 1. C´ ylila na atomov´em j´adˇre o hmotnosti m2 , kter´e bylo p˚ uvodnˇe v klidu. Najdˇete v TS rychlosti a hybnosti ˇca´stice i j´adra a jejich celkovou kinetickou energii. [3] ˇ astice o hmotnosti m1 a kinetick´e energii T1 vykonala ˇceln´ı pruˇznou sr´ 2. C´ aˇzku s ˇca´stic´ı o hmotnosti m2 , kter´ a byla p˚ uvodnˇe v klidu. Najdˇete kinetick´e energie ˇca´stic po sr´ aˇzce. [3] ˜ a ϕ = ϕ(θ), ˜ kde θ a θ˜ je u 3. Odvod’te z´ avislosti θ = θ(θ) ´hel rozptylu dopadaj´ıc´ı ˇca´stice v LS a TS, ϕ je u ´ hel odrazu terˇc´ıkov´e ˇca´stice v LS. [3, 2] 4. Nerelativistick´ y proton se pruˇznˇe rozpt´ ylil na j´adˇre 6 Li. Urˇcete u ´hel rozptylu protonu a) v LS, je-li v TS θ˜ = 45◦ b) v ◦ TS, je-li v LS θ = 90 . [3]
6
2 2.1 2.1.1
Subatomov´ a struktura, z´ akladn´ı s´ıly a ˇ c´ astice Teoretick´ yu ´ vod Vlastnosti vybran´ ych ˇ c´ astic
ˇca´stice e µ τ νe νµ ντ
Leptony m[MeV] t[s] 0,510998 stabiln´ı 105,658369 2,197.10−6 1776,99 2,906.10−13 −6 < 3.10 stabiln´ı < 0, 19 stabiln´ı < 18 stabiln´ı
Q[e] -1 -1 -1 0 0 0
J
ˇca´stice Horn´ı (u) Doln´ı (d) Podivn´ y (s) P˚ uvabn´ y (c) Kr´asn´ y (b) Vrchn´ı (t)
P
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Kvarky m[MeV] 1,5-3 3-7 70-120 1160-1340 4130-4270 173000±3000
t[s] -
Nosiˇ ce interakc´ı(intermedi´ aln´ı bosony) ˇca´stice m[MeV] t[s] JP 1+ Foton (γ) 0 stabiln´ı 2 1+ Gluon (g) 0 2 + Z0 80403 2,636.10−10 12 + W± 911876 3,097.10−10 12 ˇca´stice π± π0 η0 η ′0 ρ± ρ0 ω0 φ0 K± K0 K ∗± K ∗0 D± D0 B± B0 J/ψ 0 Υ0
m[MeV] 139,57 134,98 547,51 957,78 775,50 775,50 782,65 1019,46 493,68 497,65 891,66 896,00 1869,30 1864,50 5279,00 5279,40 3096,92 9460,30 ˇca´stice p+ n0 ∆++ ∆0 ∆± Λ0 Σ+ Σ0 Σ− Ξ− Ξ0 Ω−
Mezony t[s] 2,6.10−8 8,4.10−17 5,01.10−19 3,25.10−21 1,32.10−23 1,32.10−23 7,75.10−23 1,54.10−22 1,24.10−8 −10 0,8.10 resp. 5,18.10−8 1,29.10−23 1,29.10−23 1,04.10−12 0,41.10−12 1,67.10−12 1,54.10−12 7,23.10−21 1,24.10−20
m[MeV] 938,272 939,565 1232 1232 1232 1115,68 1189,37 1192,64 1197,45 1321,31 1314,83 1672,45
Baryony t[s] JP 1+ stabiln´ı 2 1+ 885,7 2 + 5,48.10−21 32 + 5,48.10−21 32 + 5,48.10−21 32 + 2,63.10−10 12 1+ 0,8.10−10 2 1+ 7,4.10−20 2 + 1,48.10−10 12 + 1,64.10−10 12 1+ 2,9.10−10 2 + 0,82.10−10 32
7
JP 0− 0− 0− 0− 1− 1− 1− 1− 0− 0− 1− 1− 0− 0− 0− 0− 1− 1−
kvarkov´e sloˇzen´ı π + = ud¯ π − = d¯ u u¯ u + dd¯ + s¯ s u¯ u + dd¯ + s¯ s u¯ u + dd¯ + s¯ s ρ+ = ud¯ ρ− = d¯ u u¯ u + dd¯ + s¯ s u¯ u + dd¯ + s¯ s u¯ u + dd¯ + s¯ s K + = u¯ s K − = s¯ u d¯ s K ∗+ = u¯ s K ∗− = s¯ u d¯ s D+ = cd¯ D− = d¯ c c¯ u B + = u¯b B − = b¯ u d¯b c¯ c b¯b
kvarkov´e sloˇzen´ı uud udd uuu udd + ∆ = uud ∆− = ddd uds uus uds dds dss uss sss
Q[e] +2/3 -1/3 -1/3 +2/3 -1/3 +2/3
JP 1+ 2 1+ 2 1+ 2 1+ 2 1+ 2 1+ 2
2.2
Vlastnosti ˇ c´ astic a interakc´ı
1. Jak´ y je klasick´ y polomˇer elektronu? Porovnejte tento polomˇer s Bohrov´ ym polomˇerem a Comptonovou vlnovou d´elkou elektronu. Objasnˇete, co tyto tˇri charakteristiky znamenaj´ı. [ N´ avod: Klasick´ y polomˇer je vzd´ alenost od bodov´eho element´ arn´ıho n´ aboje o hmotnosti elektronu, kde se rovn´a Coulombova energie jeho klidov´e energii. ] [2] 2. Proton je sloˇzen´a ˇca´stice a jeho velikost lze odhadnout redukovanou de Broglieho vlnovou d´elkou kvarku ˇci gluonu o nejmenˇs´ı energii. Podobn´ au ´vaha plat´ı i pro atomov´e j´adro, jehoˇz rozmˇer lze odhadnout redukovanou de Broglieho vlnovou d´elkou nejm´enˇe energetick´eho nukleonu, a i pro atom, jehoˇz velikost je pˇribliˇznˇe d´ ana redukovanou de Broglieho vlnovou d´elkou nejm´enˇe energetick´eho elektronu. Porovnejte typick´ y rozmˇer protonu, atomov´eho j´adra a atomu. Energie kvarku v protonu je Eq ∼ pq c ∼ 300MeV a kinetick´a energie nukleonu v atomov´em j´adˇre je TN ∼ 10MeV. Velikost rychlosti elektronu v atomu odhadnˇete pomoc´ı rychlosti elektronu na prvn´ı Bohrovˇe orbitˇe v atomu vod´ıku. [2] 3. Urˇcete vlastn´ı stˇredn´ı dobu ˇzivota a) mion˚ u, jestliˇze pˇri kinetick´e energii T = 7mµ c2 je jejich stˇredn´ı doba ˇzivota tlab = 17, 6µs. b) pion˚ u, kter´e maj´ı hybnost pc=182,5 MeV a do rozpadu uraz´ı pr˚ umˇernˇe vzd´ alenost l=10m, mπ c2 =140MeV. c) pion˚ u pohybuj´ıc´ıch se rychlost´ı, kter´e odpov´ıd´a relativistick´ y faktor γ ∼ 100, kde γ −2 = 1 − β 2 a v = βc je velikost rychlosti produkovan´eho pionu. Tento pion ulet´ı dr´ahu l=300m neˇz se rozpadne. [2, 3] 4. Jak´a je neurˇcitost v namˇeˇren´e celkov´e energii ∆E relativistick´e ˇca´stice, je-li jej´ı energie mˇeˇrena v ˇcasov´em intervalu ∆t? D´ale pˇredpokl´adejte, ˇze pohyb ˇca´stice s hmotou m je omezen do mal´eho prostoru. Urˇcete minim´aln´ı velikost tohoto prostoru, aby tato ˇca´stice mohla b´ yt relativistick´a(v/c = 0.5). Porovnejte v´ ysledky pro elektron(me c2 =0.511MeV), 2 2 mion(mµ c =105MeV) a c kvark(mc c =1600MeV). [2, 11] [ N´ avod: Pˇredpokl´adejte platnost Heisenbergovy relace neurˇcitosti ve tvaru ∆x∆p ≥ ~2 . ] 5. Odhadnˇete dosah elektromagnetick´e, slab´e a siln´e interakce. Pˇredpokl´adejte, ˇze elektromagnetick´a interakce je zp˚ usobena v´ ymˇenou nehmotn´eho γ kvanta. Slab´ a interakce je zprostˇredkov´ana v´ ymˇenou tˇr´ı intermedi´ aln´ıch boson˚ u W ± a Z0 o . . klidov´ ych energi´ıch mW c2 = 80GeV a mZ c2 = 91GeV. O siln´e interakci pˇredpokl´adejte, ˇze jde o efektivn´ı interakci . mezi nukleony zp˚ usobenou v´ ymˇennou pion˚ u o klidov´e energii mπ c2 = 140MeV (Efektivn´ı teorie je na mezinukleonov´ ych vzd´ alenostech velmi dobrou aproximac´ı interakce mediovan´e barevn´ ym oktetem gluon˚ u). Urˇcete pomˇer s´ıly gravitaˇcn´ıho pˇritahov´an´ı k elektrick´emu odpuzov´an´ı mezi dvˇema stacion´arn´ımi elektrony. Je tˇreba zn´at jejich vzd´ alenost? [2, 10] 6. Urˇcete velikost elektrick´eho pole potˇrebn´eho k vytrˇzen´ı elektronu z atomov´eho obalu za ˇcas srovnateln´ y s dobou obˇehu elektronu kolem j´ adra. [4] 7. Napiˇste kvarkov´e sloˇzen´ı ˇca´stic v n´ asleduj´ıc´ıch procesech
π− + p K− + p K− + p p+p Ξ− + p π− + p K− + p
→ K0 + Λ
→ π 0 + Σ0 → K 0 + Ξ0
→ K + + Σ+ + n → Λ+Λ ¯0 + n → K0 + K
→ K + + K 0 + Ω− [1]
ˇ astice α pouˇzit´e v p˚ 8. C´ uvodn´ım Rutherfordovˇe experimentu mˇely kinetickou energii Tα = 5, 5MeV. Urˇcete de Broglieho vlnovou d´elku α ˇca´stice o t´eto kinetick´e energii. Klidov´a energie α ˇca´stice je mα c2 = 3727, 4MeV. Rozhodnˇete, zda je potˇreba pouˇz´ıt relativistick´ y nebo nerelativistick´ y pˇr´ıstup. [2]
8
3
Zkoum´ an´ı subatomov´ e struktury
3.1 3.1.1
Teoretick´ yu ´ vod ´ cinn´ Uˇ y pr˚ uˇ rez geometrick´ a interpretace
a svazek ˇca´stic a. Doch´ az´ı k reakci a+b→c+d. Experiment´ alnˇe se mˇeˇr´ı poˇcet Pˇredpokl´adejme, ˇze na ˇca´stici b v klidu dopad´ ˇca´stic jednoho typu, kter´e projdou za dobu t plochou dS. Pˇredpokl´adejme, ˇze za 1s projde elementem dS poˇcet dN ˇca´stic S alenost od terˇc´ıku. Poˇcet produkovan´ ych ˇca´stic y element dS vymezuje prostorov´ yu ´hel dΩ d typu c. Ploˇsn´ R2 , kde R je vzd´ mus´ı b´ yt d´ ale u ´mˇern´ y hustotˇe toku ˇca´stic N v dopadaj´ıc´ım svazku [N ]=s−1 m−2 a potom celkov´emu poˇctu ostˇrelovan´ ych ˇca´stic v dan´em objemu V , coˇz lze vyj´adˇrit pomoc´ı hustoty ˇca´stic v terˇci n a plochy terˇce S jako nV = nsS, kde tlouˇst’ka s se pˇredpokl´ad´a dost mal´a tak, ˇze vˇsechny ˇca´stice terˇc´ıku maj´ı v˚ uˇci svazku stejn´e podm´ınky(pˇribl´ıˇzen´ı tenk´eho terˇc´ıku). D´ale je dN u ´mˇern´ y velikosti prostorov´eho u ´hlu dΩ a pravdˇepodobnosti, ˇze pˇri sr´ aˇzce dojde pr´avˇe k produkci ˇca´stice c a ta pˇritom vylet´ı do dan´eho u ´hlu - znaˇc´ıme σ(θ, ψ), kde θ je pol´arn´ı u ´hel rozptylu a ψ je azimut´aln´ı u ´ hel. Zvol´ıme-li osu z ve smˇeru svazku, m˚ uˇzeme ps´at
dN (θ, ψ) 1 N Ssn dΩ
dN (θ, ψ) = N Ssnσ(θ, ψ)dΩ ⇓ d σ . . . diferenci´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez = σ(θ, ψ) =: dΩ
Souˇcin N Ssn ud´ av´ a kolik ˇca´stic ze svazku dopadlo na plochu S za dobu t a kolik ˇca´stic z terˇce to mˇelo ˇsanci trefit. Pokud oznaˇc´ıme N1 /S = N a N2 = Ssn, dostaneme symetrickou formuli pro poˇcet interakc´ı za vteˇrinu Rint (interaction rate), kter´ a se d´ a pouˇz´ıt i pro pˇr´ıpad vstˇr´ıcn´ ych svazk˚ u Rint =
dN (θ, ψ) dN ′ (θ, ψ) N1 N2 = =f σ(θ, ψ) = Lσ(θ, ψ) dΩ tdΩ A
Veliˇcina L([L] = m−2 s−1 ) se naz´ yv´a luminozita svazku a nez´avis´ı na typu interakce ale jen na vlastnosti svazk˚ u v urychlovaˇci. Nˇekdy se zav´ad´ı tzv. integrovan´a luminozita, coˇz je celkov´a luminozita za urˇcit´ y ˇcasov´ yu ´ sek. jednotkou integrovan´e luminozity je m−2 a vezmeme-li nˇejak´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez, m˚ uˇzeme d´ıky n´ı urˇcit kolik ˇca´stic za rok jsme schopni pozorovat v experimentu. Vztah mezi diferenci´ aln´ımi u ´ˇcinn´ ymi pr˚ uˇrezy v LS a TS je dσ˜ dΩ ˜ dΩ˜ dσ˜ (θ, ˜ ψ) ˜ sin θd ˜ θd ˜ ψ˜ dΩ˜
dσ dΩ = dΩ dσ (θ, ψ) sin θdθdψ = dΩ dσ = dΩ
1+
m1 m2
2
3 2 m +2 m1 cos θ˜
m 1+ m1 2
2
cos θ˜
dσ˜ dΩ˜
R R ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez([σ] = m2 ) Veliˇcinu σ = dσ dΩ = σ(θ, ψ)dΩ nazveme integr´aln´ı u dΩ P Veliˇcinu σtot = σc nazveme tot´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro danou sr´ aˇzku. c,zp˚ usoby produkce c R Velmi ˇcasto se t´eˇz zav´ad´ı pojem distribuce w, coˇz je normalizovan´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez tak, aby wdx = 1. Z toho plyne, ˇze Z dσ 1 dσ ⇒ c dx = 1 ⇒ c = w=c dx dx σ 1 dσ , σ dx kde x m˚ uˇze b´ yt prostorov´ yu ´hel, energie, rapidita, pˇr´ıˇcn´a hybnost atd. Podle toho pak mluv´ıme o rozloˇzen´ı(distribuci) energie, rapidity, pˇr´ıˇcn´e hybnosti atd. w=
3.1.2
F´ azov´ y prostor a poln´ı interpretace u ´ˇ cinn´ eho pr˚ uˇ rezu
F´azov´ y prostor Pˇri procesu a+b→ 1+. . . n jsou koncov´e stavy sv´ az´any s poˇca´teˇcn´ımi pˇres zachov´an´ı ˇctyˇrhybnosti 9
pµa + pµb =
n X
pµi
...
4 rovnice
i=1
!to plat´ı pro asymptotick´e stavy, mezit´ım m˚ uˇzou b´ yt naruˇseny! Prostor ˇctyˇrhybnost´ı koncov´ ych stav˚ u pµi m´a rozmˇer 4n. Jelikoˇz pro pozorovateln´e ˇca´stice plat´ı vazba Ei2 = p2i + m2i ∀i ∈ n ˆ , m˚ uˇzeme se omezit jen na prostor vektor˚ u hybnosti koncov´ ych stav˚ u ~pi a ten m´a rozmˇer 3n. T´ım definujeme tzv. momentum space. Protoˇze plat´ı v´ yˇse zm´ınˇen´e 4 rovnice, dostaneme omezen´ı na momentum space, kter´e vede na hyperplochu dimenze 3n-4 v momentum space. Tu nazveme f´ azov´ y prostor(phase space). Obecnˇe m´a takov´ y proces tedy 3n-4 stupˇ n˚ u volnosti a potˇrebujeme tedy 3n-4 promˇenn´ ych, abychom popsali dan´ y syst´em(neuvaˇzujeme spin). ⇒
pro n=2 potˇrebujeme 3.2-4=2 promˇenn´e, typicky tˇreba invariantn´ı hmotu M , rapiditu y
Z toho plyne, ˇze napˇr´ıklad pro proces 2→2 plat´ı d2 σ d3 σ = dM dydp2 dM dy Procesy m˚ uˇzeme obecnˇe rozliˇsit na exkluzivn´ı a inkluzivn´ı a
a 1
1 . m
2 . . n b
b X exkluzivn´ı
inkluzivn´ı
Exkluzivn´ı procesy jsou ty, pˇri kter´ ych identifikujeme vˇsechny produkty. Inkluzivn´ı jsou ty, pˇri kter´ ych n´ as zaj´ım´ a produkce jedn´e nebo nˇekolika konkr´etn´ıch ˇca´stic a ostatn´ı neidentifikujeme, resp. ve v´ ypoˇctu vysˇc´ıt´ame pˇres vˇsechny moˇznosti toho, co se m˚ uˇze produkovat pˇri sr´ aˇzce kromˇe naˇsich hledan´ ych ˇca´stic. Obraznˇe m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze inkluzivn´ı proces, pˇri kter´em n´ as zaj´ım´ a m ˇca´stic je sumou exkluzivn´ıch pˇri kter´ ych se produkuje n ˇca´stic z nichˇz je m stejn´ ych jako v inkluzivn´ım pˇr´ıpadˇe I(1 . . . m) = lim
n→+∞
n X X
E(1 . . . i)
i=m typ i
Typick´ y exkluzivn´ı proces je dvouˇca´sticov´ y rozpad, sr´ aˇzkov´e procesy se vˇetˇsinou analyzuj´ı jako inkluzivn´ı. Vezmˇeme exkluzivn´ı procesy - rozpad pa → 1 . . . m a sr´ aˇzku pa + pb → 1 . . . n. Celkov´e poˇcty promˇenn´ ych pro r˚ uzn´e procesy jsou vˇsechny promˇenn´e z´ akladn´ı promˇenn´e promˇenn´e koncov´eho stavu z´ akladn´ı promˇenn´e koncov´eho stavu
1→m 3m-4 3m-7
2→n 3n-3 3n-4 3n-4 3n-5
2→2 s, t, φ ↔ M, Q2 , η s, t t, φ t
Pˇri v´ ypoˇctu z´ akladn´ıch promˇenn´ ych je spin zanedb´an, jelikoˇz je v klidov´e soustavˇe rozpadu konfigurace hybnosti ned˚ uleˇzit´ a(3 promˇenn´e jsou trivi´aln´ı). Pro rozptyl definuje osa svazku smˇer v prostoru a je tam jen jedna trivi´aln´ı promˇenn´a - φ rotace kolem svazku. Poln´ı interpretace u ´ˇcinn´eho pr˚ uˇrezu Pˇresn´e odvozen´ı a popis je z´ aleˇzitost´ı teorie pole a nen´ı tˇreba ho prob´ırat zde, proto se omez´ıme jen na pojmy a z´ akladn´ı vlastnosti. Dynamika ˇca´sticov´eho procesu se omezuje na pravdˇepodobnost pˇrechodu od poˇca´teˇcn´ıch stav˚ u pa a pb k fin´ aln´ım stav˚ um pi . Ta je d´ ana maticov´ ym elementem(za pˇredpokladu, ˇze pa a pb bereme pevn´e) ˆ a pb i =: A(pi ) hp1 p2 . . . pn |A|p Mˇeˇriteln´e veliˇciny jsou pak u ´mˇern´e 10
invariantn´ı amplituda
|A(pi )|2 =: T (pi )
matice pˇrechodu
Pokud chceme mˇeˇritelnou veliˇcinu, charakterizuj´ıc´ı celou sr´ aˇzku, mus´ıme integrovat T (pi ) pˇres cel´ y f´azov´ y prostor. T´ım dostaneme celkov´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez. Pokud chceme mˇeˇritelnou veliˇcinu, kter´ a charakterizuje konkr´etn´ı kan´al, resp. distribuci nˇejak´e veliˇciny, mus´ıme integrovat T (pi ) pˇres nˇejak´ y podprostor f´azov´eho prostoru. T´ım dostaneme diferenci´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez. Obecnˇe: σ σ(2 → n) = In =
In F
F je flux faktor ∼ s,ma ,mb
Z Y n n 3 X d pi 4 δ pj − pa − pb T (pi ) d4 pi δ(p2i − m2i )δ 4 pj − pa − pb θ(p0i )T (pi ) = 2Ei i=1 j=1 i=1 j=1
Z Y n
n X
ˇ Clen δ(p2i − m2i ) odpov´ıd´a zachov´an´ı ˇctyˇrimpulsu pro itou ˇca´stici a skokov´a funkce θ(p0i ) zajiˇst’uje, ˇze vˇsechny energie budou nab´ yvat pouze kladn´ ych hodnot. Pokud m˚ uˇzeme povaˇzovat ˇca´stici za volnou, mus´ı jej´ı hybnost splˇ novat E 2 − p2 = 2 m . O takov´e ˇca´stici ˇrekneme, ˇze je on-mass shell(na hmotov´e slupce). T´ım p´ adem ˇctyˇrhybnost takov´e ˇca´stice m´a jen 3 stupnˇe volnosti a m˚ uˇze b´ yt charakterizov´ana tˇreba vektorem (xF , p~T ). Pokud je ˇca´stice jen konstituentem nˇejak´eho celku nebo existuje jen jako virtu´aln´ı, pak nemus´ı splˇ novat ˇza´dnou rovnici, je off-mass shell(mimo hmotovou slupku) a ˇ rhybnost pak m˚ jej´ı pˇr´ıpadn´a ”re´ aln´ a”existence(fyzik´ aln´ı projev) je omezena relacemi neurˇcitosti. Ctyˇ uˇzeme charakterizovat tˇreba ˇctyˇrvektorem (xF , ~ pT , p2 ). D´ale, diferenci´ al d4 p = dEi d3 pi nen´ı vhodn´ y, jelikoˇz nen´ı Lorentz invariantn´ı. Proto al ve tvaru d3 pi /Ei , kter´ y Lorentz invariantn´ı je. To je tak´e d˚ uvod, prov´ad´ıme integraci pˇres p0i a t´ım dostaneme diferenci´ proˇc se jako invariantn´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pouˇz´ıv´ a veliˇcina Ed3 σ/d3 p a ne d3 σ/d3 p. dσ/dx Z Y n n 3 X dσn d pi 4 1 pj − pa − pb T (pi )δ(x − x(pi )) δ = dx F 2Ei j=1 i=1 kde δ(x − x(pi )) ud´ av´ a pˇr´ısluˇsn´e omezen´ı f´ azov´eho prostoru. Pro kontrolu m˚ uˇzeme ovˇeˇrit, ˇze Z
Z Y n n d3 pi 4 X pj − pa − pb T (pi )δ(x − x(pi ))dx = δ 2E i j=1 i=1 Z Y n n d3 pi 4 X 1 = σn x=x(pi ) pj − pa − pb T (pi ) δ = F 2E i x=x(pi ) j=1 i=1
dσn 1 dx = dx F
tedy integr´al z diferenci´ aln´ıho u ´ˇcinn´eho pr˚ uˇrezu je roven integr´aln´ımu u ´ˇcinn´emu pr˚ uˇrezu za podm´ınky, ˇze nezn´ am´ a x nab´ yv´a hodnoty fixovan´e namˇeˇren´ ymi hybnostmi koncov´eho stavu.
11
3.2
´ cinn´ Uˇ y pr˚ uˇ rez
1. Ze svazku ˇca´stic o hustotˇe toku N je clonkou vymezen u ´zk´ y svazek o pr˚ uˇrezu Q. Tento svazek dopad´ a na tenkou folii ˇ astice rozpt´ tlouˇst’ky S. C´ ylen´e pod u ´hlem θ jsou registrov´any detektorem, kter´ y m´a u ´ˇcinnou plochu ∆S a nach´ az´ı se ve vzd´ alenosti R od m´ısta dopadu ˇca´stic na folii. Urˇcete poˇcet ˇca´stic ∆N zaregistrovan´ ych detektorem za dobu t, je-li dσ u ´ˇcinnost detektoru η% a diferenci´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro u ´hel θ je dΩ . [3] 2. Bodov´e klasick´e ˇca´stice se pruˇznˇe rozptyluj´ı na nepohybliv´e kuliˇcce polomˇeru R s absolutnˇe tvrd´ ym povrchem. Vypoˇc´ıtejte diferenci´ aln´ı a integr´aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro tento rozptyl. [2, 3] ´ cinn´ 3. Uˇ y pr˚ uˇrez pro interakci 5GeV K + meson˚ u s protony je pˇribliˇznˇe 17mb. Spoˇc´ıtejte stˇredn´ı volnou dr´ahu K + meson˚ u −3 v kapaln´em vod´ıku o hustotˇe 71kgm . [1] 4. Homogenn´ı svazek ˇca´stic o hustotˇe toku j0 dopad´ a kolmo na tenk´ y terˇc´ık o tlouˇst’ce d. Aktivn´ı plocha terˇce je S. Hustota rozptylov´ ych center v terˇc´ıku je n. Jak´a je ˇcetnost rozpt´ ylen´ ych ˇca´stic na jednotkov´ yu ´ hel v mezikruˇz´ı vymezen´em u ´ hly z intervalu (θ, θ + dθ)? [2] 5. Luminozita zaˇr´ızen´ı L, kde ve vstˇr´ıcn´ ych svazc´ıch jsou produkov´any k´ yˇzen´e ˇca´stice v interakci s u ´ˇcinn´ ym pr˚ uˇrezem σ, je definov´ana tak, ˇze pro ˇcetnost produkovan´ ych ˇca´stic plat´ı R = Lσ. Pˇredpokl´adejme, ˇze vstˇr´ıcn´e svazky jsou tvoˇreny mal´ ymi v´alcov´ ymi shluky ˇca´stic o pˇr´ıˇcn´em pr˚ uˇrezu S, kter´e jsou stejnomˇernˇe rozprostˇreny v obou smˇerech pod´el kruhov´e urychlovac´ı trubice. Shluky se v oblasti experimentu sr´ aˇzej´ı s frekvenc´ı fB . Poˇcty ˇca´stic ve shluc´ıch krouˇz´ıc´ıch v pravotoˇciv´em a levotoˇciv´em smyslu jsou NR a NL . Najdˇete vztah pro luminozitu kruhov´eho urychlovaˇce. Jak´a je luminozita zaˇr´ızen´ı s pevn´ ym terˇcem, je-li hustota toku nal´et´avaj´ıc´ıch ˇca´stic na terˇc j a poˇcet terˇc´ıkov´ ych jader je N? [2] 6. V elektron-pozitronov´em collideru cirkuluj´ı ˇca´stice v kr´ atk´ ych cylindrick´ ych shluc´ıch o polomˇeru 1mm(pˇr´ıˇcnˇe ke smˇeru ´ cinn´ letu). Poˇcet ˇca´stic ve shluku je 5.1011 a shluky se sr´ aˇzej´ı s frekvenc´ı 1MHz. Uˇ y pr˚ uˇrez pro produkci µ+ µ− p´ ar˚ u pˇri −33 2 + − energii 8GeV je 1, 4.10 cm . Kolik µ µ p´ ar˚ u vznik´a za 1s? [2] 7. V experimentu se vstˇr´ıcn´ ymi elektron-pozitronov´ ymi svazky je polomˇer urychlovac´ı trubice 10m. Kaˇzd´ y svazek m´a intenzitu 10mA a pr˚ uˇrez 0, 1cm2 . Za pˇredpokladu, ˇze e+ a e− jsou koncentrov´any v bal´ıc´ıch a sr´ aˇzej´ı se dvakr´at pˇri jedn´e ot´aˇcce, spoˇc´ıtejte luminozitu urychlovaˇce. Kolik pˇr´ıpad˚ u za hodinu se z´ısk´a pˇri t´eto luminozitˇe pˇri detekci reakce e+ + e− → π + + π − + π 0 , jej´ıˇz u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez je 1, 5µb? [2] 8. V CERNu byly svazky proton˚ u a antiproton˚ u vstˇr´ıknuty proti sobˇe do urychlovaˇce SPS. V kaˇzd´em svazku bylo M=6 shluk˚ u ˇca´stic a shluky byly stejnomˇernˇe rozprostˇreny pod´el urychlovac´ı trubice o polomˇeru 1km. Poˇcet ˇca´stic v jednom ˇ astice byly urychleny na shluku byl Np = Np¯ = 3.1010 . Polomˇer pˇr´ıˇcn´eho pr˚ uˇrezu svazku ˇca´stic byl rB = 100µm. C´ ˜p¯ = 270GeV a jejich shluky se ˇcelnˇe srazily. Urˇcete luminozitu zaˇr´ızen´ı a ˇcetnost sr´ energii E˜p = E aˇzek p + p¯, je-li u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez interakce p + p¯ pˇri zadan´e energii σ(p¯ p) = 10nb. [2]
12
4
Z´ aklady kvantov´ eho popisu - Klein-Gordonovo pole a Diracovo pole 1. Ukaˇzte Lorentzovskou invarianci Klein-Gordonovy rovnice.
[12]
2. Separujte u ´hlovou a radi´aln´ı ˇca´st vlnov´e funkce pro stacion´arn´ı Klein-Gordonovu rovnici pro sf´ericky symetrick´ y Coulomb˚ uv potenci´ al. [12] 3. Odvod’te rovnici kontinuity pro Klein-Gordonovu a Diracovu rovnici, identifikujte hustotu toku pravdˇepodobnosti ~j a hustotu pravdˇepodobnosti ρ. [?] 4. Pro kovariantn´ı tvar Diracovy rovnice jsou d˚ uleˇzit´e n´ asleduj´ıc´ı vztahy a //b = −b/a / + 2a.b
(k/ − m0 )(k/ + m0 )
= (k/ + m0 )(k/ − m0 ) = 0
Dokaˇzte tyto vztahy pomoc´ı antikomutaˇcn´ı relace {γ µ , γ ν } = 2g µν I
13
k 2 = m20 [6]
5
Antiˇ c´ astice 1. M˚ uˇze elektron-pozitronov´ y p´ ar anihilovat pˇri vysl´an´ı 1 γ kvanta? M˚ uˇze voln´e γ kvantum vytvoˇrit elektron-pozitronov´ y p´ ar? Jak´a je prahov´a energie γ kvanta pˇri produkci p´ aru e+ e− v poli atomov´eho j´adra X o klidov´e energii mX c2 v klidu (me c2 = 511keV )? Srovnejte prahov´e energie pro produkci p´ aru e+ e− v poli protonu a deuteronu (mp c2 = 2 938, 3MeV; md c = 1875, 6MeV ) [2] 2. Pozitron o energii Ee anihiluje na voln´em elektronu v klidu. Pˇri anihilaci vzniknou 2 γ kvanta vyletuj´ıc´ı v pˇr´ımce dan´e smˇerem letu pozitronu. Jak´e jsou energie anihilaˇcn´ıch γ kvant? [2] 3. Pozitron a elektron, oba o energii Ee anihiluj´ı na 2 γ kvanta. Jak z´ avis´ı energie vyletuj´ıc´ıch γ kvant na u ´ hlu jejich rozletu a na u ´hlu sr´ aˇzky elektronu a pozitronu? Jak´e jsou maxim´ aln´ı a minim´aln´ı energie vyletuj´ıc´ıch γ kvant? [2] 4. Elektron-pozitronov´ y p´ ar anihiluje v klidu. Pˇri anihilaci vzniknou tˇri γ kvanta. Jak´a je maxim´ aln´ı energie kaˇzd´eho z produkovan´ ych γ kvant? [2]
14
6
Leptony, kvarky, hadrony ˇ astice a o klidov´e energii ma c2 interaguje s ˇca´stic´ı b o klidov´e energii mb c2 , kter´ 1. C´ a je v klidu. Jsou produkov´any ˇca´stice o celkov´e klidov´e energii M c2 > (ma + mb )c2 . Urˇcete prahovou energii procesu. Diskutujte nerelativistickou limitu. [2] 2. Relativistick´e ˇca´stice a a b o klidov´ ych energi´ıch ma c2 a mb c2 interaguj´ı a produkuj´ı ˇca´stice o celkov´e klidov´e energii 2 2 M c > (ma + mb )c . Jak´a ja prahov´a kinetick´a energie tohoto procesu v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe sr´ aˇzej´ıc´ıch se ˇca´stic? Jak´e jsou kinetick´e energie obou ˇca´stic a a b v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe, prob´ıh´a-li interakce pˇri prahov´e energii? Diskutujte pˇr´ıpad, kdy ˇca´stice a a b jsou stejn´e. [2] 3. Zapiˇste na kvarkov´e u ´rovni jak jsou v elektromagnetick´e interakci produkov´any piony pˇri sr´ aˇzce pozitronu a elektronu v procesu e+ + e− → 2π + + 2π − + π 0 a baryony v e+ + e− → n ¯ + Λ + K + + π − + π 0 . Vyhledejte dominantn´ı kan´aly rozpadu π + a π 0 a jejich doby ˇzivota a vysvˇetlete proˇc se liˇs´ı. Nakreslete flow diagramy a napiˇste postupn´e kroky produkce ˇca´stic. [2] 4. Vysvˇetlete rozd´ıly v dob´ach ˇzivota pˇri rozpadech mezonu ρ → π + + π − (τ ∼ 1, 4.10−24 s) a K 0 → π + + π − (τ ∼ 8, 95.10−11s). Nakreslete flow diagramy na kvarkov´e u ´rovni. [2]
15
7
Yukawova teorie jadern´ ych sil 1. V roce 1935 Hideki Yukawa navrhl teorii siln´e interakce, kde silnˇe interaguj´ıc´ı nukleony si vymˇen ˇ uj´ı hmotn´e ˇca´stice. Tato v´ ymˇena m´a koneˇcn´ y dosah. Odhadnˇete klidovou energii tˇechto ˇca´stic, je-li stˇredn´ı vzd´ alenost nukleon˚ u v atomov´em j´ adˇre R ≤ 1fm. [2] 2. Odhadnˇete stˇredn´ı dobu ˇzivota ∆+ baryonu jako dobu, kterou potˇrebuje relativistick´ y pion, aby urazil vzd´ alenost rovnou velikosti ˇca´stice, je-li jej´ı polomˇer r∆+ ∼ 1fm. Vypoˇc´ıtejte stˇredn´ı dobu ˇzivota ∆+ baryonu z relace neurˇcitosti a jej´ı zmˇeˇren´e pˇrirozen´e ˇs´ıˇrky rozpadu Γ∆+ ∼ 120MeV [2] 3. Ukaˇzte, ˇze Yukaw˚ uv potenci´ al V (r) = −
g 2 e−r/R 4π r
R=
~ Mx c
je jedin´e sf´ericky symetrick´e ˇreˇsen´ı statick´e Klein-Gordonovy rovnice ∇2 V (r) =
Mx2 c2 V (r), ~2
kter´e vymiz´ı pˇri r → ∞. ˇ ste Klein-Gordonovu rovnici pro potenci´ [Pozn.:Reˇ al typu V (r) =
u(r) r .]
[7]
4. Meson π 0 se nem˚ uˇze u ´ˇcastnit elektromagnetick´ ych interakc´ı, jelikoˇz nem´ a ani elektrick´ y n´ aboj ani magnetick´ y moment. Pˇresto se pozoruje jeho rozpad na dva fotony. Pˇredstavit si to lze tak, ˇze doch´ az´ı k virtu´aln´ımu pˇrechodu π 0 na p´ ar nukleon-antinukleon po dobu danou relacemi neurˇcitosti. Sloˇzky tohoto p´ aru mohou elektromagneticky interagovat za vzniku dvou foton˚ u a n´ aslednˇe anihiluj´ı podle π0 → N + + N − → N + + N − + γ + γ → γ + γ Jak dlouho m˚ uˇze takov´ y p´ ar existovat?
[14]
16
8
Symetrie a z´ akony zachov´ an´ı
8.1
Symetrie
ˆ (R) = e−iRJˆ unit´ 1. Ukaˇzte, ˇze je-li oper´ ator rotace U arn´ı, mus´ı b´ yt jej´ı gener´ator Jˆ hermitovsk´ y. 2. Oper´ator f popisuj´ıc´ı interakci dvou ˇca´stic se spinem
1 2
[13]
m˚ uˇze b´ yt naps´ an ve tvaru
f = a + bσ1 · σ2 , kde a a b jsou konstanty a σ1 a σ2 jsou Pauliho matice. Celkov´ y moment hybnosti je J = j1 + j2 = ~2 (σ1 + σ2 ). Ukaˇzte, 2 ˇze f, J a Jz spolu komutuj´ı a mohou tak b´ yt z´ aroveˇ n zmˇeˇreny. [17] ˆ † A(~ ˆ r )U ˆ = A(~ ˆ r+ρ ˆ = e− ~i ρ~.~p pouˇzit´ım relac´ı 3. Ukaˇzte, ˇze U ~), kde U ˆ b(~r) := b(~r − ρ U ~)
ˆ † b(~r) := b(~r + ρ~) U [13]
4. Ukaˇzte, ˇze reprezentace momentu hybnosti ve tvaru
ˆx L ˆy L
=
ˆz L
=
=
yˆpˆz − zˆpˆy
zˆpˆx − xˆpˆz
x ˆpˆy − yˆpˆx
ˆ x, L ˆ y ] = i~L ˆ z . Ukaˇzte, ˇze oper´ator kvadr´ ˆ2 = L ˆ 2x + L ˆ 2y + L ˆ 2z splˇ nuj´ı komutaˇcn´ı relace ve tvaru [L atu momentu hybnosti L ˆ komutuje s libovolnou sloˇzkou oper´ atoru L. [?]
8.2
Z´ akony zachov´ an´ı
1. Dvˇe z n´ asleduj´ıc´ıch reakc´ı nemohou probˇehnout za ˇza´dn´ ych okolnost´ı a jedna z reakc´ı nem˚ uˇze probˇehnout pomoc´ı siln´ ych interakc´ı. Najdˇete je a vysvˇetlete proˇc.
K− + p →
¯0 + n K
π− + p → ¯0 + p → K
K − + Σ+ K − + p + π+
+
π +p → π− + p →
K + + Σ+ K + + Σ0 + π −
p¯ + p → + π +p →
π+ + π+ + π− + π− + π+ ¯0 K 0 + Σ0 + π + + K + + K
K− + p → π− + p → π− + p →
Σ+ + n + π − ¯+ + n Σ+ + Σ− + K 0 + p¯ + Σ ¯ − + Σ0 + p Σ
¯ + znamen´ Notace je takov´a, ˇze Σ a antiˇca´stici k Σ− .
[1]
2. Doplˇ nte doln´ı indexy, kter´e rozliˇs´ı leptonov´e generace a rozliˇste neutrina od antineutrin u n´ asleduj´ıc´ıch reakc´ı. Svoji volbu zd˚ uvodˇ nete. Pouˇzijte n´ asleduj´ıc´ı symboly - νe , ν¯e , νµ , ν¯µ , ντ , ν¯τ π+ µ+ µ− K+ ¯0 K Σ− Σ+
→ π 0 + e+ + ν
→ e+ + ν + ν → e− + ν + ν
→ π 0 + e+ + ν → π 0 + e− + ν
→ n + µ− + ν → Λ0 + e+ + ν 17
D0 ν +p
→ K − + π 0 + e+ + ν → n + e+
ν +37 17 Cl ν +p
− → 37 18 Ar + e → µ− + p + π +
→ e− + p → 32 He + e− + ν
ν +n 3 1H π+ π−
→ µ+ + ν → e− + ν
τ−
→ π− + π0 + ν [1]
3. Nakreslete flow diagramy pro n´ asleduj´ıc´ı rozpady;hadrony rozkreslete na kvarkovou u ´ roveˇ n. (Pˇr. n → p + e− + ν¯e ⇒ u
u
d
u d
d W− −
e
ν¯e
τ− K0 D+
→ e− + ν¯e + ντ → π − + e + + νe ¯ 0 + µ+ + ν µ → K
τ + → π + + ν¯τ Λ → p + e− + ν¯e
Ξ− K+
→ Λ + π− → π+ + π− + π+
νe + e − → νe + e − e − + p → n + νe
νµ + p → µ− + ∆++
Kvarkov´e sloˇzen´ı a intermedi´ aln´ı ˇca´stice dohledejte v literatuˇre.
[1]
ˇ astice X 0 (1193MeV) a Y − (1321MeV) mohou b´ 4. C´ yt produkov´any v siln´ ych interakc´ıch pomoc´ı proces˚ u K− + p K− + p
→ π0 + X 0
→ K+ + Y −
Urˇcete baryonov´e ˇc´ıslo, podivnost, p˚ uvab a kr´ asu v obou pˇr´ıpadech a pomoc´ı nich i kvarkov´ y obsah.
18
[7]
9
Tˇ eˇ zk´ e kvarky a experiment´ aln´ı cesta k jejich objevu ˇ astice J/Ψ m´a rozpadovou ˇs´ıˇrku ΓJ/Ψ ∼ 91keV a klidovou energii mJ/Ψ c2 = 3096, 9MeV. Urˇcete stˇredn´ı dobu ˇzivota 1. C´ ˇca´stice J/Ψ, porovnejte ji s typickou dobou ˇzivota ˇca´stice rozpadaj´ıc´ı se d´ıky siln´e interakci. Urˇcete, proˇc se nem˚ uˇze J/Ψ rozpadnout na 2 mesony D. [2] ˇ astice J/Ψ byla interpretov´ana jako v´azan´ 2. C´ y stav p˚ uvabn´eho kvarku a antikvarku. Na kvarkov´e u ´ rovni byla byla velmi velk´a stˇredn´ı doba ˇzivota J/Ψ ˇca´stice vysvˇetlena t´ım, ˇze se nem˚ uˇze rozpadnout na hadron obsahuj´ıc´ı p˚ uvabn´ y kvark. Odhadnˇete rychlost p˚ uvabn´eho kvarku v J/Ψ, obecnˇeji v charmoniu c¯ c. Pˇredpokl´adejte, ˇze relativistick´e efekty spojen´e s p˚ uvabn´ ymi kvarky v J/Ψ jsou m´enˇe v´ yznamn´e neˇz napˇr´ıklad v pionu, kter´ y je tak´e sloˇzen z kvark-antikvarkov´eho p´ aru. Polomˇer J/Ψ ˇca´stice je rJ/Ψ ∼ 0, 35f m. [2] 3. Charmoniov´ y potenci´ al drˇz´ıc´ı p˚ uvabn´ y kvark a antikvark pohromadˇe je Vc¯c (r) = −
κ1 + κ2 r r
κ1 ∼ 0.05GeV.f m
κ2 ∼ 1GeV.f m−1 .
Prvn´ı ˇclen odpov´ıd´a Coulombovu ˇclenu pˇri elektrick´em p˚ usoben´ı n´ aboj˚ u a dominuje na mal´ ych vzd´ alenostech. Druh´ y ˇclen pˇrevaˇzuje na velk´ ych vzd´ alenostech a popisuje uvˇeznˇen´ı kvark˚ u. Pouˇzijte charmoniov´ y potenci´ al pro odhad siln´e vazbov´e konstanty αs na vzd´ alenosti 0.1f m. [2] 4. Pˇredpokl´adejte, ˇze bottomium b¯b lze v prvn´ım pˇribl´ıˇzen´ı popsat jako v´azan´ y stav kr´ asn´eho kvarku a antikvarku pomoc´ı klasick´eho modelu, kter´ y je analogick´ y Bohrovu modelu atomu s potenci´ alem V¯bb (r) = −
κ1 + κ2 r r
κ1 ∼ 0GeV.f m
κ2 ∼ 1GeV.f m−1 .
Urˇcete velikost bottomia a rychlost p˚ uvabn´eho kvarku v bottomiu. Srovnejte tyto hodnoty s odpov´ıdaj´ıc´ımi hodnotami pro charmonium. Jak´ y je vliv druh´eho line´arn´ıho ˇclenu v potenci´ alu? [2]
19
10
Slab´ a interakce
√ 1. Intermedi´ aln´ı boson Z 0 je produkov´an ve Fermilabu ve vstˇr´ıcn´ ych svazc´ıch p + p¯ pˇri celkov´e energii s = 540GeV. Jak´a frakce hybnosti je nesena kvarkem v protonu, je-li boson Z 0 produkov´an v klidu v kvark-antikvarkov´e sr´ aˇzce v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe p + p¯? Klidov´a energie Z 0 bosonu je mZ c2 = 91, 17GeV [2] 2. Ukaˇzte pomoc´ı flow diagram˚ u, ˇze slab´ y rozpad D0 → K + + π − + π 0 + π 0 a podobnˇe i slab´ y rozpad D+ → K 0 + π + jsou silnˇe potlaˇceny v prvn´ım ˇr´adu poruchov´e teorie slab´e interakce(bez uzavˇren´ ych smyˇcek). Kvarkov´ y obsah p˚ uvabn´ ych ¯ meson˚ u je D0 = (¯ uc) a D+ = (dc). [2] 3. Ukaˇzte pomoc´ı flow diagram˚ u, ˇze slab´e rozpady D0 → K + + µ− + ν¯µ a K 0 → π + + e− + ν¯e jsou zak´azan´e v prvn´ım ˇr´adu poruchov´e teorie slab´e interakce(bez uzavˇren´ ych smyˇcek) s v´ ymˇenou intermedi´ aln´ıch boson˚ u. Kvarkov´ y obsah p˚ uvabn´eho mesonu je D0 = (¯ uc). [2] 4. Podle Fermiho zlat´eho pravidla je rozpadov´a konstanta (ˇcetnost interakc´ı na jednom terˇc´ıkov´em centru) d´ ana vztahem 2 dN λ = 2π |hHi| , kde N je poˇ c et dostupn´ y ch koncov´ y ch stav˚ u a E je celkov´ a dostupn´ a energie pˇ r i interakci. Odhadnˇete 0 ~ dE0 jak z´ avis´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez interakce ν¯e + p → e+ + n na energii a hybnosti produkovan´ ych pozitron˚ u pˇri n´ızk´ ych energi´ıch nal´et´avaj´ıc´ıho elektronov´eho antineutrina, Eν ≪ mp c2 , kter´e interaguje s protonem v klidu. Interakˇcn´ı maticov´ y element −7 3 F je hHi = 2G , kde G ∼ 10 GeV.f m je Fermiho konstanta a V je objem interakˇ c n´ ı oblasti. Faktor 2 v interakˇ cn´ım F V maticov´em elementu zkouman´eho procesu je zd˚ uvodnˇen t´ım, ˇze pˇri relativistick´em popisu je slab´a interakce ch´ ap´ana jako interakce vektorov´ ych a axi´alnˇe vektorov´ ych proud˚ u, tak zvan´a V-A teorie. Jak´ y je u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez t´eto interakce pro Eν = 2, 3M eV ? Klidov´e energie jsou mp c2 = 938, 27M eV , mn c2 = 939, 57M eV , me c2 = 0, 511M eV a neutrino je nehmotn´e. [2]
20
11
Sjednocen´ı elektromagnetick´ e a slab´ e interakce
1. Urˇcete celkov´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez produkce p´ aru nabit´ ych mion˚ u ve vstˇr´ıcn´ ych svazc´ıch anihiluj´ıc´ıch ˇca´stic e− a e+ o celkov´e √ energii s = 10GeV. Nejniˇzˇs´ı ˇr´ad poruchov´e teorie QED pˇredpov´ıd´a dσµ+ µ− (~c)2 = πα2 (1 + cos2 ϑ) d(cos ϑ) 2s [2] 2. Odhadnˇete αW pˇri energetick´e ˇsk´ ale 1GeV z pomˇer˚ u dob ˇzivota .
[11]
3. Z namˇeˇren´ ych dat pro celkovou a parci´ aln´ı rozpadovou ˇs´ıˇrku Z bosonu ukaˇzte, ˇze nen´ı moˇzn´e aby existovalo pouze 1 neutrino(pˇri tˇrech zn´am´ ych leptonech) a ˇze jedinou moˇznost´ı je existence tˇr´ı generac´ı neutrin. ΓZ (total) = 2.534GeV Γ(Z 0 → l+ l− ) = 0.084GeV
Γ(Z 0 → hadrons) = 1.797GeV
Γ(Z 0 → νl ν¯l ) = 0.166GeV(teoretick´a hodnota) [16]
4. Jak´ ym zp˚ usobem prob´ıh´a v´ ymˇena nabit´ ych intermedi´ aln´ıch boson˚ u W ± v prvn´ım ˇr´adu poruchov´e teorie ve slab´ ych − − 0 − + − rozpadech τ → e + ν¯e + ντ , K → π + e + νe , Λ → p + e + ν¯e a K + → π + + π − + π + ? [2]
21
12 12.1
Struktura nukleonu a partony Rozptyl na bodov´ em centru-Rutherford˚ uv rozptyl
2 1 Zze2 dσ = 16πǫ 1. Odvod’te Rutherfordovu formuli pro diferenci´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez ve tvaru dΩ a pro integr´aln´ı u ´ˇcinn´ y sin4 θ2 0T 2 dσ Zze2 cotg2 Θ avis´ı diferenci´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez dΩ (θ) pro pruˇzn´ y rozptyl pr˚ uˇrez ve tvaru σ(θ ≥ Θ) = π4 4πǫ 2 . Jak z´ 0T ˇca´stic na jednom rozptylov´em centru na u ´hlu rozptylu θ rozptylovan´e ˇca´stice v soustavˇe pevnˇe spojen´e s rozptyluj´ıc´ım centrem, je-li zn´am vztah mezi impakt parametrem a u ´hlem rozptylu b = b(θ)? [1, 2] dσ 2. Spoˇc´ıtejte diferenci´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez dΩ [fm2 sr−1 ] pro Rutherford˚ uv rozptyl α ˇca´stice(z=2) pod u ´ hlem 10◦ jako funkci (Z/T ) a vyˇc´ıslete ho pro Z=79 a T =10MeV. Spoˇc´ıtejte integr´aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro rozptyl T =10MeV α ˇca´stice na j´ adˇre zlata (Z = 79, A = 197) do u ´hlu vˇetˇs´ıho neˇz 10◦ , 20◦ a 30◦ . Zanedbejte pˇri v´ ypoˇctu zpˇetn´ y rozptyl. [1]
3. Ukaˇzte, ˇze Rutherfordova formule m˚ uˇze b´ yt naps´ ana pomoc´ı kvadr´ atu pˇrenesen´eho impulsu q 2 = (~ p − p~′ )2 jako dσ 4πZ 2 z 2 α2 (~c)2 = , 2 dq q4 v2 kde α je konstanta jemn´e struktury a v je rychlost odraˇzen´e ˇca´stice.
[1]
4. Svazek α ˇca´stic o rychlosti v = 2.107 ms−1 dopad´ a kolmo na folii o tlouˇst’ce 10−5 m ze zlata (Z = 79, A = 197,ρ = −3 4 1, 9.10 kgm ). Odhadnˇete jak´ a ˇca´st α ˇca´stic se rozpt´ yl´ı dvakr´at za sebou o u ´hel alespoˇ n 10◦ pˇri pr˚ uchodu foli´ı. [N´avod: Pouˇzijte Poissonovo rozdˇelen´ı] [1, 2]
12.2
Rozptyl na ˇ c´ astici koneˇ cn´ ych rozmˇ er˚ u
1. Svazek nerelativistick´ ych ˇca´stic se rozptyluje pruˇznˇe na pevn´em nabit´em objektu. Rozloˇzen´ı hustoty n´ aboje v objektu je ρ(~r). Ukaˇzte, ˇze v takov´em pˇr´ıpadˇe lze diferenci´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez zapsat ve tvaru dσ dσ z α~c 1 (θ) = (θ) |F (θ)|2 = Z 2 e2 |f (θ)|2 |F (θ)|2 f (θ) = , dΩ dΩ e 4T0 sin2 θ2 R dσ (θ) R je nerelativistick´ y diferenci´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez kde z a Z jsou protonov´a ˇc´ısla rozptylovan´e a terˇcov´e ˇca´stice, dΩ Rutherfordova rozptylu na pevn´e bodov´e ˇca´stici, T0 je kinetick´a energie nal´et´avaj´ıc´ı ˇca´stice a F (θ) je tzv. formfaktor. Odvod’te obecn´ y v´ yraz pro formfaktor [N´avod: viz. [2] pˇr´ıklad C40] [2] 2. Urˇcete formfaktor pro pruˇzn´ y rozptyl ˇca´stic na j´adˇre o celkov´em n´ aboji Ze, kter´e je pops´ ano sf´ericky symetrickou hustotou n´ aboje ρ(~r) = ρ(r) [2] 3. Urˇcete formfaktor pro pruˇzn´ y rozptyl ˇca´stic na j´adˇre o celkov´em n´ aboji Ze, kter´e je pops´ ano sf´ericky symetrickou hustotou n´ aboje ve tvaru ρ(r) = ρN pro r < R a ρ(r) = 0 pro r > R, kde R je polomˇer j´adra. [2] ´ cinn´ 4. Uˇ y pr˚ uˇrez pruˇzn´eho rozptylu elektron˚ u na atomov´em j´adˇre je pops´ an formul´ı dσ dσ (θ) = (θ) |F (θ)|2 . dΩ dΩ R Rozdˇelen´ı n´ aboje v atomov´em j´ adˇre vystihuje formfaktor F (θ) = F (q 2 ), kde θ je u ´ hel rozptylu elektronu, q = 2p0 sin θ2 je velikost pˇredan´e hybnosti a p0 je velikost poˇca´teˇcn´ı hybnosti nal´et´avaj´ıc´ıho elektronu. Uvaˇzujte sf´ericky symetrick´e rozdˇelen´ı n´ aboje v atomov´em j´ adˇre ρ(~r) = ρ(r). Urˇcete formfaktor pro pˇribl´ıˇzen´ı mal´ ych u ´ hl˚ u rozptylu(mal´ ych pˇrenesen´ ych impuls˚ u). [N´avod: Vezmˇete obecn´e vyj´adˇren´ı formfaktoru a rozviˇ nte argument do Taylorovy ˇrady. Omezte se na prvn´ı dva ˇr´ady rozvoje.] [2]
12.3
Pruˇ zn´ y a nepruˇ zn´ y rozptyl, Compton˚ uv rozptyl
ˇ astice a o klidov´e energii ma c2 se pruˇznˇe a ˇcelnˇe sraz´ı s ˇca´stic´ı b o klidov´e energii mb c2 , kter´ a je v klidu. Pˇri jak´em 1. C´ pomˇeru klidov´ ych hmotnost´ı se projektilov´a ˇca´stice pohybuje dozadu? Za jak´e podm´ınky se u ´ plnˇe zastav´ı? [2] 2. V urychlovaˇci HERA se ˇcelnˇe sr´ aˇzej´ı elektrony a protony o energi´ıch Te− = 30GeV a Tp = 820GeV . Jak´a je maxim´ aln´ı energie elektronu, kter´ y se pruˇznˇe rozpt´ yl´ı na protonu? [2]
22
3. Kvantum γ o hybnosti p~γ se rozptyluje na elektronu o hybnosti ~pe (Compton˚ uv rozptyl). Urˇcete z´ avislost zmˇeny vlnov´e d´elky a energie γ kvanta na jeho u ´hlu rozptylu. Kvantum γ o energii Eγ se rozptyluje na elektronu v klidu pod u ´ hlem θ. Urˇcete z´ avislost kinetick´e energie a velikosti hybnosti vyletuj´ıc´ıho kvanta γ a odraˇzen´eho elektronu na u ´ hlu rozptylu γ kvanta. [2] 4. M˚ uˇze voln´ y elektron absorbovat nebo vyz´ aˇrit γ kvantum?
12.4
[2]
Hluboce nepruˇ zn´ y rozptyl
1. Jakou energii mus´ı m´ıt elektrony, kter´e jsou pouˇzity pro zkoum´ an´ı struktury protonu v klidu? Jakou energii mus´ı m´ıt elektrony, aby bylo moˇzn´e rozliˇsit oblast protonu o rozmˇeru r < 0, 1rp , kde rp je rozmˇer protonu? [2] 2. Pˇri hluboce nepruˇzn´em rozptylu elektronu na protonu e− + p → X + e− , kde X je bl´ıˇze neurˇcen´ y stav, doch´ az´ı pˇri dostateˇcnˇe vysok´ ych energi´ıch elektronu k pˇr´ım´e interakci elektronu s uvˇeznˇen´ ym kvarkem v terˇc´ıkov´em protonu. Tento proces je moˇzn´e v 1. pˇribl´ıˇzen´ı ch´ apat jako elastick´ y Rutherford˚ uv rozptyl elektronu na protonov´em kvarku. Zkoumejme popsan´ y proces v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe e− − q a pˇredpokl´adejme, ˇze protonov´ y kvark nese v t´eto soustavˇe ˇca´st hybnosti protonu tak, ˇze plat´ı p˜q c = x˜ pp c, kde x ∈ (0, 1) je frakce hybnosti protonu nesen´a kvarkem, Ukaˇzte, jak z´ avis´ı frakce hybnosti x na poˇca´teˇcn´ı a koncov´e energii elektronu v soustavˇe pevnˇe spojen´e s protonem a na u ´ hlu rozptylu v t´eto soustavˇe. [2] 3. Velmi relativistick´a ˇca´stice o energii E a hybnosti pc ∼ E se sr´ aˇz´ı s protonem v klidu. Pˇritom energie ˇca´stice je tak velk´a, ˇze doch´ az´ı k pˇr´ım´e interakci s protonov´ ym kvarkem. Porovnejte celkovou energii v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe v pˇr´ıpadˇe, ˇze kvark v protonu je v klidu a m´a klidovou energii mq c2 = xmp c2 , kde x ∈ (0, 1) s pˇr´ıpadem, kdy protonov´ y kvark je nehmotn´ y, nese energii a hybnost Eq = pq c = xmp c2 a smˇer jeho pohybu vzhledem ke smˇeru pohybu nal´et´avaj´ıc´ı ˇca´stice je n´ ahodn´ y s rovnomˇern´ ym rozdˇelen´ım. [2] 4. Pˇri hluboce nepruˇzn´em rozptylu elektronu na protonu lze napsat u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez jako 2 θ d2 σ θ 2 2 2 2 ′α W1 (Q , ν) + cos W2 (Q , ν) = 4E 2 2. sin dE ′ dΩ Q 2 2 2
d σ Ukaˇzte, ˇze plat´ı dE ′ dΩ =
=
2EE ′ sin2 θ2 (E−E ′ )MN
E′ d2 σ 2πMN E ′ y dxdy
a vyj´adˇrete explicitn´ı tvar
. Pˇr´ıpadn´e dalˇs´ı vztahy a notaci dohledejte v [6, 5]
23
d2 σ dxdy
za pˇredpokladu, ˇze y =
E−E ′ E
ax=
Q2 (P +q)2 −P 2 +Q2
[6]
13
Siln´ a interakce
1. Jak z´ avis´ı prahov´a energie protonu pˇri produkci antiprotonu na klidov´e energii protonu mp c2 , jestliˇze je antiproton produkov´an v interakci p + p → p + p + p + p¯ a antiproton m´a stejnou klidovou energii jako proton? [2] 2. Vezmˇemˇe proces p+p → π + +d, kde urychlen´e protony dopadaj´ı na protonov´ y terˇc´ık v klidu a jsou produkov´any nabit´e piony a deuterony. Spoˇc´ıtejte prahovou kinetickou energii tohoto procesu T v laboratorn´ı soustavˇe. D´ale pˇredpokl´adejte, ˇze proces je izotropn´ı v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe a tud´ıˇz, ˇze pravdˇepodobnost produkce pionu do pevn´eho prostorov´eho u ´ hlu dΩ∗ = dφ∗ d(cos θ∗ ) je konstantn´ı, nez´ avisl´ a na tomto u ´hlu. Vyj´ adˇrete pravdˇepodobnost produkce v laboratorn´ı soustavˇe ¯ a rychlosti normalizovanou na jednotkov´ yu ´hel pomoc´ı u ´hlu v´ yletu v laboratorn´ı soustavˇe cos θlab , rychlosti tˇeˇziˇstˇe βc vyl´et´avaj´ıc´ıch pion˚ u v laboratorn´ı soustavˇe βc a jejich hybnosti v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe. [4] 3. V experimentech s√anihilac´ı e+ e− byla pozorov´ana u ´zk´ a rezonance s ˇs´ıˇrkou menˇs´ı neˇz energetick´a neurˇcitost obou svazk˚ u pˇri energii s = 9.5GeV pro oba kan´aly e + e − → µ+ µ−
e+ e− → hadrony.
Integrovan´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro obˇe reakce je Z
σµµ (E)dE = 8, 5.10−33cm2 M eV
Z
σh (E)dE = 3, 3.10−31cm2 M eV.
Pouˇzijte Breit-Wigner˚ uv vztah pro ˇs´ıˇrku rezonance a urˇcete rozpadov´e ˇs´ıˇrky Γµµ a Γh pro rozpad rezonance na miony a hadrony. [4] 4. Odhadnˇete jakou mus´ı m´ıt rezonance rozpadovou ˇs´ıˇrku aby se mohla rozpadat pomoc´ı siln´e interakce.
24
[16]
14
Statick´ y kvarkov´ y model
1. V jednoduch´em kvarkov´em modelu jsou nejlehˇc´ı hadrony povaˇzov´any za v´azan´e stavy kvark˚ u u,d,s a pˇr´ısluˇsn´ ych antikvark˚ u. Napiˇste kvarkovou kompozici mezon˚ u π + , π − , π 0 , K + , K − a K 0 a baryon˚ u n, p, Λ dle tohoto modelu. D´ale urˇcete, kter´e z n´ asleduj´ıc´ıch interakc´ı mohou prob´ıhat prostˇrednictv´ım siln´ ych interakc´ı
K− + p →
K0 + n → K− + p → K0 + p →
¯0 + n K Λ + π0 Λ + π0 K+ + n
V aditivn´ım kvarkov´em modelu je celkov´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez mezi vysokoenergetick´ ymi hadrony d´ an souˇctem interakˇcn´ıch u ´ˇcinn´ ych pr˚ uˇrez˚ u konstituentn´ıch kvark˚ u. Vezmˇete v u ´vahu rozd´ıln´e u ´ˇcinn´e pr˚ uˇrezy pro r˚ uzn´e kvarkov´e p´ ary(izotopick´a nez´avislost siln´ ych interakc´ı) a fakt, ˇze σ(qq) = σ(q q¯)(Pomeranˇcuk˚ uv teor´em) a dokaˇzte vztah ¯ 0 p) − σ(π + p) σ(Λp) = σ(pp) + σ(K [1] 2. Pˇri hybnosti svazku okolo 100GeV/c je celkov´ y interakˇcn´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pomalu se mˇen´ıc´ı funkc´ı hybnosti. Za pˇredpokladu ¯ 0 p) = 20mb, σ(π + p) = 24mb a σ(pp) = 39mb odhadnˇete u σ(K ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez interakce p + Ξ− . Pouˇzijte izotopickou nez´avislost interakc´ı mezi kvarky a Pomeranˇcuk˚ uv teor´em. [1, 2] 3. Pˇri zadan´e hybnosti nal´et´avaj´ıc´ıch ˇca´stic plat´ı σπ+ n ∼ σπ− p ale σK + n ∼ 22mb a σK − p ∼ 55mb. Vysvˇetlete chov´an´ı ¯ π − = (¯ tˇechto interakˇcn´ıch u ´ˇcinn´ ych pr˚ uˇrez˚ u. Kvarkov´e sloˇzen´ı ˇca´stic je p=(uud), n=(udd), π + = (ud), ud), K + = (u¯ s), K − = (¯ us). [2] 4. Obecnˇe m˚ uˇze m´ıt meson s celkov´ ym momentem hybnosti J tyto hodnoty kvantov´ ych ˇc´ısel - C = (−1)J nebo C = (−1)J+1 a P = (−1)J nebo P = (−1)J+1 , coˇz jsou celkem 4 moˇzn´e kombinace oper´ator˚ u n´ abojov´eho sdruˇzen´ı a parity. Kter´e z tˇechto kombinac´ı jsou moˇzn´e ve statick´em kvarkov´em modelu? Uved’te zak´azan´e hodnoty J P C explicitnˇe pro J=0,1,2,3. [7]
25
15 15.1 15.1.1
Relativistick´ a kinematika Teoretick´ yu ´ vod Relativistick´ e pˇ revody
Lorentzova transformace x′ = Lx m
x′0 x′1 ′2 = x x′3
xµ = x0 , x1 , x2 , x3 kontravariantn´ı vektor
x′µ = Lµν xν m γ −γβ −γβ γ 0 0 0 0
1 γ= p 1 − β2
0 x 0 1 0 x2 0 x x3 1
0 0 1 0
β=
v pc = c E
xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) kovariantn´ı vektor spojen´ı pˇres metrick´ y tenzor xµ = gµν xν
gµν = diag(1, −1, −1, −1)
Rozd´ıl mezi kovariantn´ım a kontravariantn´ım vektorem je tˇreba rozliˇsovat v Minkowsk´eho prostoru. V euklidovsk´em to nen´ı tˇreba, jelikoˇz tam je gµν = δij . z = ct
ct
E = −pz c
E timelike
lig
li ht
ke
E = pz c
spacelike
⇒ pz c
z
Uˇziteˇcn´e vztahy: p~ = mγ~v
tlab = γτ
Invarianty Pˇri pˇrevodech mezi soustavami pomoc´ı Lorentzovy transformace m˚ uˇzeme s v´ yhodou pouˇz´ıt faktu, ˇze jsme schopni snadno identifikovat veliˇciny, kter´e jsou v˚ uˇci t´eto transformaci invariantn´ı a tud´ıˇz maj´ı stejnou hodnotu ve vˇsech soustav´ach. Speci´ alnˇe pak kaˇzd´ y skal´arn´ı souˇcin dvou ˇctyˇrvektor˚ u je invariantn´ı a tud´ıˇz kaˇzd´ y objekt tohoto typu x2 = xµ xµ = gµν xν xµ je stejn´ y v tˇeˇziˇst’ov´e i laboratorn´ı soustavˇe. Pro x = (E, ~pc) plat´ı E 2 − p2 c2 = konst. = m20 c4 - definuje tzv. invariantn´ı hmotu, souhrn ZZE,ZZH Pro x = (ct, ~x) plat´ı (ct)2 − x2 = konst. = s - tzv. ˇcasoprostorov´ y interval(nem´a analogickou zachov´avaj´ıc´ı se veliˇcinu v galileiho transformaci) Dalˇs´ı v´ yhodou konstrukce ˇctyˇrvektor˚ u je fakt, ˇze invariant plat´ı i pro kombinaci ˇctyˇrvektor˚ u X X X M0i ⇒ E 2 − P 2 c2 = M02 c4 pi M 0 = ~ Ei P~ = E= i
i
i
26
15.1.2
Kinematika vysokoenergetick´ ych sr´ aˇ zek
Lightcone promˇenn´e V cel´e t´eto kapitole pˇredpokl´ad´ame pˇrirozenou soustavu jednotek!!! Vezmˇeme proces a + b → c + X, kde X jsou neˇ astici c m˚ specifikovan´e ˇca´stice. C´ uˇzeme povaˇzovat za dceˇrinou ˇca´stici bud’ od ˇca´stice a nebo od ˇca´stice b. Sr´aˇzku budeme a ve smˇeru osy z na terˇc tvoˇren´ y ˇca´sticemi b. Oznaˇcme analyzovat v soustavˇe, kde svazek ˇca´stic a nal´et´av´ pa = (Ea , ~ pT a , pza ) pb = (Eb , ~ pT b , pzb )
ˇctyˇrimpuls nal´et´avaj´ıc´ı ˇca´stice ˇctyˇrimpuls terˇc´ıkov´e ˇca´stice
Hled´ame promˇenn´e, kter´e jsou sloˇzeny ze sloˇzek ˇctyˇrimpulsu ˇca´stice(ten mˇeˇr´ıme) a maj´ı nˇejakou speci´ aln´ı vlastnost pˇri Lorentzovˇe transformaci(to zjednoduˇs´ı popis). Pro detekovanou dceˇrinou ˇca´stici c definujeme c+ = Ec + pzc c− = Ec − pzc
forward lightcone momentum backward lightcone momentum
Pro sr´ aˇzku tedy plat´ı a+ ≫ a− , c+ ≫ c− , b+ = b− = Eb . Pro vstˇr´ıcnou sr´ aˇzku ˇca´stic x a y by podle stejn´e definice platilo x+ ≫ x− , y− ≫ y+ . D˚ uleˇzit´e je, ˇze lightcone promˇenn´e se v r˚ uzn´ ych soustav´ach od sebe liˇs´ı jen konstantou Ec′ + p′zc = γ(1 − β)(Ec + pzc ) | {z }
konstanta nez´avisl´a na ˇca´stici c ale ∼ boostu mezi soustavami
⇒ pomˇer 2 lightcone promˇenn´ ych je Lorentzovsk´ y invariant x± :=
Ec ± pzc Eb ± pzb
...
forward(backward) lightcone promˇenn´a ˇca´stice c vzhledem k b 0 < x± < 1
a ˇca´stice je mateˇrskou ˇca´stic´ı. PoStejnˇe m˚ uˇzeme zav´est i x± vzhledem k ˇca´stici a, jelikoˇz ne vˇzdy je moˇzn´e ˇr´ıci, kter´ kud zkoum´ ame experiment, kter´ y produkuje ˇca´stice v jednom preferovan´em smˇeru, bereme obvykle jen jednu z lightcone promˇenn´ ych a druh´ a se nepouˇz´ıv´ a. Feynmanova promˇenn´a
xF :=
p˜z max p˜z
Feynmanova promˇenn´a byla historicky zavedena pˇri studiu vysokoenergetick´e sr´ aˇzky hadron˚ u pro popis element´ arn´ı interakce na kvarkov´e u ´rovni. Feynmanova promˇenn´a je obvykle definovan´a v soustavˇe, ve kter´e se ˇca´stice pohybuj´ı s nekoneˇcnou hybnost´ı (infinite momentum frame). Je to proto, protoˇze v kvantov´e mechanice nen´ı oper´ator poˇctu ˇca´stic invariantn´ı v˚ uˇci pˇrechodu z jedn´e soustavy do druh´e a tak poˇcet ˇc´astic, kter´e pozorujeme pˇri letu vysokoenergetick´e ˇca´stice z´ avis´ı na soustavˇe, v kter´e proces studujeme. Limitn´ı soustavou je pak soustava, v kter´e se vˇsechny ˇca´stice pohybuj´ı s nekoneˇcnou hybnost´ı a tud´ıˇz doba ˇzivota kvantovˇe vytvoˇren´ ych ˇca´stic je nekoneˇcnˇe mal´a a tud´ıˇz je moˇzno dobˇre definovat ˇca´sticov´e obsazen´ı soustavy. V t´eto soustavˇe m˚ uˇzeme uk´ azat(pokud zanedb´ame pˇr´ıˇcn´e stupnˇe volnosti), ˇze √ √ M2 2˜ pz 2˜ pz M2 s s max ≈1− √ = ⇒ xF = √ ⇒ p˜z = lim 1− s s 2 2 s M 2 →0 s D´ale plat´ı 0 < xF < 1
resp.
− 1 < xF < 1
E → +∞ ⇒ . ych se dost liˇs´ı. Pˇri velk´ ych energi´ıch je xF = x+ ale pˇri mal´ Bjorkenova promˇenn´a - DIS,DY
27
pokud vezmeme i z´ aporn´ a pz xF → 1
xBj = x :=
Q2 = 2p.q
2
p.q √ 2 s 2
Q2 = −q 2
;
je pˇrenos hybnosti(momentum transfer)
kde p je ˇctyˇrhybnost nal´et´avaj´ıc´ı ˇca´stice a q je ˇctyˇrhybnost intermedi´ aln´ı ˇca´stice, kter´ a zprostˇredkov´av´ a pˇrenos hybnosti. Bjorkenova promˇenn´a byla historicky zavedena pˇri studiu vysokoenergetick´ ych rozptyl˚ u leptonu na hadronech. Nejˇcastˇeji se pouˇz´ıv´ a pˇri hluboce nepruˇzn´em rozptyl(DIS) u a pˇri popisu vysokoenergetick´ ych hadronov´ ych rozptylech. V teˇziˇst’ov´e soustavˇe ud´ av´ a Bjorkenova promˇenn´a pod´ıl hybnosti hadronu, kter´ y je nesen´ y kvarkem. Velice ˇcasto se proto pouˇz´ıv´ a jako promˇenn´a pro strukturn´ı funkci hadron˚ u, kter´ a ud´ av´a pravdˇepodobnost, ˇze pˇri sr´ aˇzce o dan´e virtualitˇe Q2 najdeme v hadronu ˇ ım vˇetˇs´ı je Q2 pˇri sr´ kvark s hybnost´ı xph . C´ aˇzce, t´ım v´ıce se pˇri sr´ aˇzce projevuj´ı samotn´e kvarky nam´ısto hadronu jako ˇca´stice. 2 Tud´ıˇz veliˇcina Q ud´ av´ a nˇeco jako ”rozliˇsen´ı”pro danou sr´ aˇzku. D´ale plat´ı 0 < xBj < 1 Speci´ alnˇe pro interakce typu tzv. Drell-Yanova procesu se pouˇz´ıvaj´ı analogie Bjorkenov´ ych promˇenn´ ych. Tento typ proces˚ u spoˇc´ıv´ a v anihilaci kvarku a antikvarku z dvou hadron˚ u za vyz´aˇren´ı intermedi´ aln´ı ˇca´stice, kter´ a se n´ aslednˇe rozpadne na leptonov´ y nebo kvarkov´ y p´ ar. Definuj´ı se zde dvˇe analogie Bjorkenovy promˇenn´e x1 a x2 , kter´e v infinite momentum frame ud´ avaj´ı pomˇer hybnost´ı kvarku resp. antikvarku vzhledem k hybnosti pˇr´ısluˇsn´ ych hadron˚ u. Pro tyto promˇenn´e lze pak uk´azat n´ asleduj´ıc´ı vztahy q 2 x2F + 4 Ms + xF M2 x1 x2 = x1 − x2 = xF x1 = 2 s Rapidita
1 y = ln 2
E + pz E − pz
=
1 x+ ln 2 x−
y∈R
v nerelativistick´e limitˇe y → β (=longitudin´ aln´ı rychlost v jednotk´ ach c) Rapidita nen´ı Lorentz invariantn´ı, ale transformuje se jako
1+β 1 2 ln( 1−β ).
kde yβ = D´ale plat´ı
y˜ = y − f (β) = y − yβ , Rapidita je tedy relativistick´a verze longitudin´aln´ı rychlosti ˇc´astice.
E = mT cosh y pz = mT sinh y 1 1 s E + pz (E + pz )2 (E + pz )2 s→+∞ 1 1 = ln = ln −→ ln 2 y = ln 2 2 2 2 E − pz 2 E − pz 2 M 2 M s ⇒ y1 − y2 −→ ln resp. s −→ m1 m2 ey1 −y2 m1 m2
Veliˇcina mT je tzv. pˇr´ıˇcn´a hmota a je definovan´a n´ asleduj´ıc´ım postupem m2 = E 2 − p2 = E 2 − p2z − p2T ⇒ E 2 − p2z = m2 + p2T =: m2T Urˇc´ıme-li rapiditu nal´et´avaj´ıc´ıch ˇca´stic, tak oblast kolem jejich pr˚ umˇeru se naz´ yv´a central rapidity region a v tomto regionu vznik´a vˇetˇsina ˇca´stic. Pseudorapidita Oproti rapiditˇe m´a v´ yhodu v tom, ˇze staˇc´ı 1 promˇenn´a pro jej´ı definici - u ´hel v´ yletu θ θ-u ´hel mezi hybnost´ı ˇca´stice p~ a osou svazku η = −ln tg 2 |~ p| + pz 1 ⇒ pro velk´e hybnosti η a y spl´ yvaj´ı η = ln 2 |~ p| − pz pro pˇrevod mezi (η, p~T ) a (y, p~T ) se hod´ı vztah
28
dη = q 1−
dy m2 m2T cosh2 y
Mandelstamovy promˇenn´e ´ cinn´ Uˇ y pr˚ uˇrez se vˇetˇsinou vyjadˇruje pomoc´ı standardn´ı sady tzv. Mandelstamov´ ych promˇenn´ ych. V´ yhodou je to, ˇze jsou Lorentz invariantn´ı a v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe se d´ a uk´ azat jejich pˇr´ım´ y v´ yznam. s = (˜ pa + p˜b )2 = (˜ p1 + p˜2 )2 = m2a + m2b + 2mb EaLS t = (˜ pa − p˜1 )2 = (˜ pb − p˜2 )2 = m2b + m22 + 2mb E2LS
...
kvadr´ at energie sr´ aˇzky v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe
...
kvadr´ at pˇrenesen´eho impulsu pˇri sr´ aˇzce
u = (˜ pa − p˜2 )2 = (˜ pb − p˜1 )2 = m2b + m21 + 2mb E1LS Kaˇzd´e z tˇechto promˇenn´ ych odpov´ıd´a urˇcit´ a topologie sr´ aˇzky, kter´e dan´a promˇenn´a odpov´ıd´a. Proto se o nˇekter´ ych procesech ˇr´ık´ a, ˇze prob´ıhaj´ı v s,t resp. u kan´ale. a
1
a
b
a
b
b
2
1
2
2
1
s kan´al
t kan´al
u kan´al
Ale proces 2 → 2 m´a f´ azov´ y prostor dvourozmˇern´ y, takˇze s, t, u nemohou b´ yt nez´avisl´e. D´a se uk´azat, ˇze plat´ı s + t + u = m2a + m2b + m21 + m22
29
15.2
Pˇ revody mezi soustavami
1. Elektron o klidov´e energii me c2 se sr´ aˇz´ı s kvantem γ. Energie γ kvanta v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe γ − e− je E˜γ . Jak´a je rychlost tˇeˇziˇst’ov´e soustavy v soustavˇe, kde terˇc´ıkov´ y elektron pˇred sr´ aˇzkou stoj´ı? [2] ych energi´ıch ma c2 a mb c2 maj´ı v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe celkovou kinetickou energii 2. Relativistick´e ˇca´stice a a b o klidov´ ˜ T . Jak´e jsou jejich kinetick´e energie v t´eˇze soustavˇe? Jak´ y je vztah mezi kinetickou energi´ı Ta nal´et´avaj´ıc´ı ˇca´stice a v soustavˇe, kde terˇc´ıkov´a ˇca´stice b je v klidu a celkovou kinetickou energi´ı ˇca´stic a a b v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe? [2] ˇ astice a o kinetick´e energii Ta a klidov´e energii ma c2 nal´et´a na ˇca´stici b v klidu o klidov´e energii mb c2 . Jak´e jsou 3. C´ energie ˇca´stic v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe? Jak´a by musela b´ yt kinetick´a energie ˇca´stice b nal´et´avaj´ıc´ı na ˇca´stici a v klidu tak, aby celkov´e kinetick´e energie ˇca´stic a a b v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe byly v obou uspoˇr´ad´an´ı stejnˇe? [2] 4. Sr´aˇzej´ı se dvˇe relativistick´e ˇca´stice a a b o stejn´e klidov´e energii mc2 . Celkov´a energie ˇca´stice a v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe je ˜a . Jakou celkovou a kinetickou energii m´a ˇca´stice a v soustavˇe, kde je ˇca´stice b v klidu? Vyˇc´ıslete tuto energii pro E sr´ aˇzky 2 proton˚ u na urychlovaˇci SPS(E˜a,b = 62GeV). Klidov´a energie protonu je mp c2 = 938, 3MeV. [2]
15.3
Kinematick´ e promˇ enn´ e ve vysokoenergetick´ ych sr´ aˇ zk´ ach
1. Ukaˇzte, ˇze veliˇcina x+ je Lorentzovsky invariantn´ı.
[8]
2. Promˇenn´e (Ea , p~T a , pza ) z´ avis´ı na souˇradn´e soustavˇe. Velmi ˇcasto radˇeji pouˇz´ıv´ ame promˇenn´e (x+ , ~pT a , p2a ), kter´e jsou Lorentzovsky invariantn´ı. Vyj´ adˇrete Ea a pza pomoc´ı dopˇredn´e light-cone promˇenn´e x+ a kvadr´ atu hybnosti p2a a az´ı z ˇca´stice b. [8] najdˇete vztah mezi diferenci´ aly dEa dpza d2 pT a a dx+ dp2a d2 pT a . Pˇredpokl´adejte, ˇze ˇca´stice a poch´ 3. Jak´a je rapidita ˇca´stice let´ıc´ı ve smˇeru kladn´e osy z s rychlost´ı β? Urˇcete obor hodnot rapidity a nakreslete v´ yznam rapidity do schematu detektoru pro sr´ aˇzku vstˇr´ıcn´ ych svazk˚ u. Odvod’te vztah mezi rapiditou a Feynmanovou promˇennou xF . [8] 4. Odvod’te vztah mezi rapiditou v soustavˇe F a rapiditou v soustavˇe F’, kter´ a se v˚ uˇci F pohybuje rychlost´ı β ve smˇeru osy z. [8] 5. Ukaˇzte, ˇze pseudorapidita η konverguje k rapiditˇe y, pokud je hybnost ˇca´stice dostateˇcnˇe velk´a resp. hmotnost ˇca´stice dostateˇcnˇe mal´a. [8] 6. Odvod’te vztah mezi dEd3 p a dEd2 pT dxF resp. dEd2 mT dxF . 3
7. Vyj´ adˇrete invariantn´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez E dd3σp pomoc´ı promˇenn´ ych xF , pT , s, M .
[8] [8]
8. Pro interakci dvou ˇca´stic pˇri vysok´ ych energi´ıch je v´ yhodn´e zav´est Mandelstamovu promˇennou s = (p1 + p2 )2 . Ukaˇzte, ˇze pro veliˇcinu s plat´ı v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe vztah 4 (p1 p2 )2 − m21 m22 = s − (m1 + m2 )2 s − (m1 − m2 )2 ,
kde p1 a p2 jsou ˇctyˇrhybnosti ˇca´stic.
30
[6]
16
Zdroje ˇ c´ astic
1. Urychlovaˇc vstˇr´ıcn´ ych svazk˚ u e+ a e− LEP v CERNu byl konstruov´an tak, aby bylo moˇz√n´e pozorovat produkci bosonu ± − + W v interakci e + e → W + + W − pˇri celkov´e energii elektron-pozitronov´eho p´ aru s = 200GeV a pˇri luminozitˇe 35 −2 −1 L = 10 m s . Odhadnˇ e te ˇ c etnost, s jakou byly produkov´ a ny intermedi´ a ln´ ı bosony W ± v tomto uspoˇr´ad´an´ı. i h 2 G s 1 F [2] N´ avod: Pouˇzijte σe+ e− ∼ 4π (~c)4 2. Elektron-pozitronov´ y p´ ar z rozpadu γ → e+ + e− vytvoˇril v mlˇzn´e komoˇre p˚ ulkruhovou dr´ahu s polomˇerem 3cm leˇz´ıc´ı v rovinˇe kolmo na magnetick´e pole o indukci 0,11T. Jak´a je energie γ kvanta, kter´e vyprodukovalo tento p´ ar? [4] 3. Proton je v urychlovaˇci urychlen na kinetickou energii 1000GeV a dopad´ a na proton v klidu. Jak´a energie je pˇri t´eto sr´ aˇzce k dispozici pro produkci nov´ ych ˇca´stic v cms za pˇredpokladu, ˇze ve fin´ aln´ım stavu oba protony z˚ ustanou? [4] 4. Hypotetick´ y urychlovaˇc ovinut´ y kolem Zemˇe pouˇz´ıv´ a supravodiv´e magnety s velikost´ı magnetick´e indukce B=1T a udrˇzuje na kruhov´e dr´aze protony dopadaj´ıc´ı na vod´ıkov´ y terˇc v klidu. Jakou energii by musely m´ıt protony vstˇr´ıcn´ ych svazk˚ u, aby jejich celkov´a energie v tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe byla stejn´a jako celkov´a energie urychlen´eho protonu a protonu ve vod´ıkov´em terˇci v jejich tˇeˇziˇst’ov´e soustavˇe. Polomˇer Zemˇe je RZ = 6378.103m. [2]
31
17
Synchrotronn´ı z´ aˇ ren´ı
1. Elektron s hmotou m a n´ abojem e se pohybuje v rovinˇe kolm´e na homogenn´ı magnetick´e pole o indukci B. Pokud pˇredpokl´ad´ame, ˇze energetick´e ztr´ aty na jeden obˇeh vznikl´e urychlov´an´ım n´ aboje magnetick´ ym polem jsou mal´e oproti celkov´e energii(∆E ≪ E), bude trajektori´ı ˇca´stice kruˇznice o polomˇeru R. Odvod’te vztah pro ∆E/E v relativistick´e limitˇe(E ≫ me c2 ) za pˇredpokladu, ˇze v´ ykon vyz´aˇren´ y elektronem je pops´an Larmorovou formul´ı P = 2 ~ v ×~ a 2 e2 6 ) , kde ~ a je zrychlen´ ı udˇ e len´ e ˇ c a ´ stici. [4] γ ~ a − ( 6πε0 c3 c 2. Urˇcete, kter´ a z ˇca´stic p+ , µ− , e− emituje nejv´ıce synchrotronov´eho z´ aˇren´ı pˇri pohybu v kolm´em magnetick´em poli. [4]
3. Urˇcete polomˇer zakˇriven´ı ˇca´stice s kinetickou energi´ı 400GeV a hmotnost´ı 1GeV resp. 0.5MeV v kolm´em poli o indukci 1.5T. [4] 4. V modern´ım protonov´em synchrotronu je stabilita proton˚ u kolem rovnov´aˇzn´e trajektorie zajiˇstˇena faktem, ˇze magnetick´e pole B nen´ı uniformn´ı, je nez´ avisl´e na u ´hlu θ a lze ho parametrizovat jako n R Bz = B0 , r kde z je vertik´aln´ı souˇradnice(rovnov´aˇzn´a trajektorie je v z=0), B0 je konstantn´ı pole, potˇrebn´e k udrˇzen´ı ˇca´stic na rovnov´aˇzn´e trajektorii o polomˇeru R, r je aktu´aln´ı radi´aln´ı poloha ˇca´stice(tzn. ρ = r − R je horizont´ aln´ı vzd´ alenost od rovnov´aˇzn´e polohy) a n je konstanta. Odvod’te frekvence vertik´aln´ıch a horizont´ aln´ıch betatronov´ ych oscilac´ı pro konkr´etn´ı hodnotu n. [4]
32
18
Objevy ˇ c´ astic - t´ emata pro presentace
1. Antiproton - BNL 2. Hyperon Lambda - CERN 3. Hyperon Omega - CERN 4. J/Ψ - BNL,SLAC 5. Upsilon(¯bb) - FNAL 6. W a Z boson - CERN 7. Poˇcet typ˚ u neutrin - LEP 8. Higgs˚ uv boson - LHC 9. Kvark-gluonov´e plasma - RHIC 10. Gluon 11. Positron 12. Neutrino 13. Pion 14. Mion 15. K short a K long 16. Tau lepton 17. b kvark 18. t kvark 19. Mionov´e a tauonov´e neutrino 20. Proton a neutron
19
Podm´ınky na z´ apoˇ cet
• aktivn´ı u ´ˇcast na hodinˇe - vyˇreˇsen´ı a pˇredveden´ı zadan´ ych u ´kol˚ u(a to i vzd´ alenˇe pˇri absenci dle zad´an´ı na webu - vˇcas poslat ˇreˇsen´ı pˇr´ıklad˚ u koleg˚ um nebo cviˇc´ıc´ımu) • vypracov´an´ı presentace na dan´e t´ema a pˇrednesen´ı na posledn´ı hodinˇe • alespoˇ n 50% u ´spˇeˇsnost na z´ apoˇctov´e p´ısemce, term´ıny p´ısemek budou 2 a m˚ uˇzete j´ıt na oba, podm´ınka u ´ˇcasti na p´ısemce je odevzd´ an´ı nebo pˇredveden´ı vˇsech zadan´ ych pˇr´ıklad˚ u
33
Reference [1] W.S.C. Williams, Nuclear and Particle Physics, Oxford University Press, 2008 [2] David Nosek, J´adra a ˇca´stice, Matfyzpress, Praha 2005 ´ ˇ [3] Z. Janout, S. Posp´ıˇsil, Ulohy z jadern´e fyziky, Skripta FJFI CVUT, Praha 1984 [4] Yung-kuo Lim, Problems and solutions on atomic, nuclear and particle physics, World Scientific Publishing, 2007 ˇ aˇcek, Uvod ´ [5] Josef Z´ do fyziky element´ arn´ıch ˇca´stic, Karolinum, Praha 2005 [6] W. Greiner, S. Schramm, E. Stein, Quantum Chromodynamics,Springer, 2007 [7] B. R. Martin, Graham Shaw, Particle Physics, Wiley, 1997 [8] Cheuk-Yin Wong, Introduction to High-Energy Heavy-Ion Collisions, World Scientific Publishing, 1994 [9] Brian Martin - Nuclear and particle physics [10] Griffiths - Introduction to elementary particles [11] Modern physics from α to Z [12] W. Greiner - Relativistic quantum mechanics [13] W. Greiner - Quantum mechanics - Symmetries ´ [14] Arthur Beiser - Uvod do modern´ı fyziky [15] Halzen, Martin - Quarks and leptons [16] A.A.Kamal - 1000 solved problems in physics [17] Yung-kuo Lim, Problems and solutions on quantum mechanics, World Scientific Publishing, 2007
34
