0 < α < n d ), we define here the

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL DAN KETAKSAMAAN OLSEN DI RUANG MORREY TAK HOMOGEN YANG DIPERUMUM Idha Sihwaningrum, Hendra Gunawan, dan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung,, Bandung 40132, Indonesia [email protected], hgunawan,[email protected]

Abstract For an n-dimensional measure μ (where 0 < α < n ≤ d ), we define here the generalized Morrey spaces M

p ,φ

(R d , μ ) of non-homogeneous type. We also prove that

the fractional integral operator Iαn is a bounded operator from M

p ,φ

(R d , μ ) to

M q ,ψ (R d , μ ) . As a consequence, the Olsen inequality holds in non-homogeneous setting.

Key words: Fractional integral operator, Olsen inequality, generalized Morrey spaces, non-homogeneous

Abstrak Pada makalah ini, didefinisikan ruang Morrey tak homogen yang diperumum

M

p ,φ

(R d , μ ) untuk ukuran μ yang berdimensi-n (dengan 0 < α < n ≤ d ). Kemudian,

dibuktikan bahwa operator integral fraksional Iαn merupakan operator yang terbatas. dari

M

p ,φ

(R d , μ ) to M q ,ψ (R d , μ ) . Sebagai akibatnya, ketaksamaan Olsen juga berlaku

untuk kasus tak homogen.

Kata kunci: Operator integral fraksional, ketaksamaan Olsen, ruang Morrey yang diperumum, tak homogen..

1. Pendahuluan Operator integral fraksional, yang disebut juga potensial Riesz, merupakan

salah satu objek penelitian sejak diperkenalkan oleh Hardy, Littlewood dan

Sobolev sekitar tahun 1930-an. Di ruang tak homogen, operator integral fraksional Iαn (untuk 0 < α < n ≤ d ) didefinisikan dengan

Iαn f ( x ) :=

∫ R

d

f ( y) x− y

n −α

dμ ( y ) .

(García-Cuerva dan Martell, 2001). Apabila penyebut dari integran berpangkat d − α dan d μ adalah ukuran Lebesgue biasa, maka diperoleh operator integral fraksional klasik dari (Hardy and Littlewood, 1927; Hardy and Littlewood, 1932; dan Sobolev, 1938). Ruang metrik R d yang dilengkapi dengan ukuran Borel positif μ disebut ruang tak homogen apabila μ

berdimensi-n (0 < n ≤ d), yakni terdapat konstanta

C > 0 sedemikian sehingga

μ ( B (a, r )) ≤ Cr n

(1.1)

untuk setiap bola buka B ( a , r ) yang berpusat di a ∈ R d dan berjari-jari r > 0 (GarcíaCuerva dan Martell, 2000; García-Cuerva dan Gatto, 2004). Kondisi (1.1) ini disebut juga growth condition (Sawano, 2005). Ruang tak homogen pertama kali diperkenalkan oleh (Nazarov, et. al., 1998); dan pada ruang ini tidak berlaku doubling condition seperti halnya di ruang homogen. Ukuran Borel μ dikatakan memenuhi doubling condition jika terdapat konstanta C > 0 sedemikian sehingga untuk setiap bola B ( a , r ) berlaku

μ ( B ( a,2r )) ≤ Cμ ( B ( a, r )) (Coifman and Gusmán, 1970/1971). Disini, B ( a ,2 r ) menyatakan bola yang berpusat di

a ∈ R d dan berjari-jari 2r. Dalam konteks ruang tak homogen, (García-Cuerva dan Martell, 2001) telah membuktikan bahwa Iαn terbatas dari ruang Lebesgue Lp ( μ ) ke Lq ( μ ) untuk

1< p <

n

α

dan

1 1 α = − . Pada paper ini, keterbatasan tersebut akan diperluas ke q p n

ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Kemudian, hasilnya akan digunakan untuk menunjukkan bahwa ketaksamaan Olsen juga berlaku.

2. Ruang Morrey tak homogen yang diperumum Untuk ukuran μ yang memenuhi growth condition, misalkan f adalah sembarang fungsi terukur- μ pada R d . Yang dimaksud dengan ruang Lebesgue tak homogen

L p ( μ ) = L p (R d , μ ) , untuk 1 ≤ p < ∞ , adalah ruang kelas ekuivalen f sedemikian sehingga f : L p ( μ ) < ∞ . Dalam hal ini,

⎛ ⎞ p f : L ( μ ) := ⎜ ∫ f ( y ) d μ ( y ) ⎟ ⎜ d ⎟ ⎝R ⎠ p

{

1

p

, 1≤ p < ∞

}

f : L∞ ( μ ) = ess sup f ( x ) : x ∈ R d .

atau

p p Sementara itu, ruang Lebesgue lokal (tak homogen) Lloc ( μ ) = Lloc (R d , μ ) , 1 ≤ p ≤ ∞ ,

adalah ruang kelas ekuivalen f sedemikian sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K di R d berlaku

∫

f ( y ) d μ ( y ) < ∞, 1 ≤ p < ∞ p

K

f : L∞loc ( μ ) < ∞ .

atau

Sekarang, misalkan φ : (0, ∞ ) → (0, ∞ ) , B := B ( a , r ) , dan φ ( B ) := φ ( r ) . Untuk

M

p ,φ

1≤ p ≤ ∞ ,

( μ ) := M

p ,φ

ruang

Morrey

tak

homogen

yang

diperumum

p (R d , μ ) didefinisikan sebagai ruang dari semua fungsi f ∈ Lloc (μ )

sedemikian sehingga f : Μ p ,φ ( μ ) < ∞ . Norm di ruang ini diberikan oleh

f : Μ p ,φ ( μ ) := sup r >0

1 ⎛⎜ 1 φ (r ) ⎜⎝ r n

1 p

⎞ p f ( y ) dμ ⎟ , ⎟ Q ( x,r ) ⎠

∫

1≤ p < ∞

atau

f : Μ ∞ ,φ ( μ ) := sup r >0

1 f : L∞ ( B, μ ) . φ (r )

Versi lain ruang Morrey tak homogen yang diperumum dapat dilihat pada (Sawano, 2007) dan (Gunawan, et.al., 2007). Catat bahwa untuk φ (r ) = r

M

p ,φ

−n

p

diperoleh

( μ ) = L p ( μ ) , dan untuk φ (r ) konstanta posititif. diperoleh M ∞ ,φ ( μ ) = L∞ ( μ ) . Disamping itu, di ruang Morrey tak homogen yang diperumum juga berlaku sifat

berikut. Fakta 2.1 M ∞ ,φ ( μ ) ⊆ M q ,φ ( μ ) ⊆ M

p ,φ

( μ ) ⊆ M 1,φ ( μ ) apabila 1 < p < q < ∞ .

Bukti: Dengan menggunakan growth condition, untuk f ∈ M ∞ ,φ ( μ ) berlaku

⎛ 1 ⎜ n ⎜r ⎝

1

⎞ f ( y ) dμ ( y ) ⎟⎟ ⎠

∫

q

B

⎛ 1 ⎞ ≤ C ⎜ n μ ( B) ⎟ ⎝r ⎠

q

1

q

≤C.

Akibatnya,

1 ⎛ 1 ⎜ n sup ⎜ r >0 φ ( r ) ⎝ r Ini membuktikan bahwa M

∞ ,φ

⎞ f ( y ) dμ ( y ) ⎟⎟ ⎠

∫

1

q

q

B

(μ ) ⊆ M q ,φ (μ ) . p < ∞ , maka q

Selanjutnya, misalkan f ∈ M q ,φ ( μ ) . Karena 1 <

1 rn

< ∞.

⎛ 1 ∫B f ( y ) dμ ( y ) ≤ ⎜⎜⎝ r n

∫ f (y )

q p

B

⎞ d μ ( y )⎟⎟ ⎠

p q

.

Dengan mendefinisikan g ( y ) := f ( y ) untuk setiap y ∈ R d , diperoleh p

1 ⎛ 1 ⎜ n sup ⎜ r >0 φ (r ) ⎝ r

∫ B

Ini berarti M q ,φ ( μ ) ⊆ M

⎞ g ( y ) dμ ( y ) ⎟⎟ ⎠

1

1 ⎛ 1 ⎜ n ≤ sup ⎜ r >0 φ (r ) ⎝ r

p

p

p ,φ

∫ B

⎞ g ( y ) dμ ( y ) ⎟⎟ ⎠

1

q

q

.

(μ ) .

Sekarang, ambil sembarang f ∈ M

p ,φ

( μ ) . Dengan menggunakan ketaksamaan

Hölder dan growth condition, diperoleh

1 rn

∫ B

1 f ( y ) dμ ( y ) ≤ n r

p ⎛ ⎞ ⎜ ∫ f ( y ) dμ ( y ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝B ⎠

1

p

⎛ ⎞ ⎜ ∫ dμ ( y ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝B ⎠

1− 1

p

⎛ 1 ≤ C ⎜⎜ n ⎝r

⎞ f ( y ) dμ ( y ) ⎟⎟ ⎠

1

p

∫ B

Kemudian, dari ketaksamaan

1 ⎛ 1 ⎜ n sup ⎜ r >0 φ (r ) ⎝ r

∫ B

⎞ 1 ⎛ 1 ⎜ n f ( y ) dμ ( y ) ⎟⎟ ≤ C sup ⎜ r φ (r ) ⎝ r ⎠

didapatkan hasil yang diinginkan, yaitu M

p ,φ

⎞ f ( y ) dμ ( y ) ⎟⎟ ⎠

1

p

∫ B

p

( μ ) ⊆ M 1,φ ( μ ) .

Sifat lain yang berkenaan dengan ruang Morrey tak homogen adalah: Fakta

M

p ,ψ

2.2

(μ ) ⊆ M

p ,φ

( μ ) dan f : M

Fakta ini berakibat M φ∼ψ.

1 ≤ p < ∞ dan

Jika

p ,ψ

(μ ) = M

φ ( r ) ≤ Cψ ( r )

p ,ψ

(μ ) ≤ C f : M

p ,φ

p ,φ

( μ ) dan f : M

(untuk

r > 0 ),

maka

(μ ) .

p ,ψ

(μ ) ∼ f : M

p ,φ

( μ ) apabila

p

3. Keterbatasan operator integral fraksional Asumsikan fungsi φ memenuhi doubling condition untuk fungsi, yaitu untuk

1 t 1 φ (t ) ≤ ≤2⇒ ≤ ≤ C . Asumsikan juga, fungsi φ 2 s C φ ( s)

konstanta positif C berlaku ∞

∫t

memenuhi ketaksamaan

α −1

φ (t )dt ≤ Cr α φ (r ) . Dengan menggunakan hasil (García-

r

Cuerva dan Martell, 2001), yakni Iαn terbatas dari ruang Lebesgue Lp ( μ ) ke Lq ( μ ) , akan ditunjukkan bahwa Iαn terbatas dari M Teorema

3.1

p ,φ

1< p < q < ∞

Misalkan

( μ ) ke M q ,ψ ( μ ) . 1 1 α = − . q p n

dan

Jika

fungsi

ψ : (0, ∞ ) → (0, ∞ ) memenuhi r α φ (r ) ≤ Cψ (r ) , dengan C > 1 tidak bergantung pada r > 0 , maka

I αn f : M q ,ψ ( μ ) ≤ C f : M untuk setiap f ∈ M

p ,φ

p ,φ

(μ )

(μ ) .

Bukti: Untuk a ∈ R d , misalkan B := B ( a, r ) dan Bˆ := B ( a,2r ) . Selanjutnya, fungsi

f ∈M

p ,φ

( μ ) didekomposisi menjadi f = f 1 + f 2 dengan f 1 := f χ Bˆ dan f 2 := f χ ˆ C . B

Dengan mengingat bahwa Iαn terbatas dari ruang Lebesgue Lp ( μ ) ke Lq ( μ ) , diperoleh

⎛ 1 ⎜ n ⎜r ⎝

∫ B

⎞ I α f 1 ( x) dμ ( x) ⎟⎟ ⎠ q

n

1

q

≤ Cψ ( r ) f : M

p ,φ

(μ ) .

(3.1)

Kemudian, dengan memanfaatkan doubling condition dari fungsi φ (t ) dan t α didapatkan estimasi untuk I αn f 2 ( x) , x ∈ B , yaitu

I αn f 2 ( x) ≤ C f : M

p ,φ

∞

( μ ) ∫ t α −1φ (t )dt ≤ Cr α φ (r ) f : M

p ,φ

( μ ) ≤ Cψ ( r ) f : M

p ,φ

(μ ) .

r

Akibatnya,

⎛ 1 ⎜ n ⎜r ⎝

∫ B

⎞ I αn f 2 ( x ) dμ ( x) ⎟⎟ ⎠ q

1

q

≤ Cψ ( r ) f : M

p ,φ

(μ ) .

Dari ketaksamaan (3.1) dan (3.2), diperoleh hasil yang diinginkan.

(3.2)

4. Ketaksamaan Olsen Sebagai konsekuensi dari keterbatasan operator I αn yang dibahas pada bab sebelumnya, akan ditunjukkan bahwa ketaksamaan Olsen berlaku di ruang Morrey tak homogen yang diperumum (Hasil serupa untuk versi homogen dapat dilihat pada (Gunawan dan Eridani, 2008) serta (Kurata et al., 2002)). Ketaksamaan ini pertama kali diperkenalkan oleh (Olsen, 1995) untuk mempelajari solusi persamaan Schrödinger dengan potential perturbasi yang kecil W. Teorema 4.1 Untuk 1 < p <

WI αn f : M

n

α p ,ψ

, berlaku n

≤ C W : L α ( μ ) f : M q ,ψ ( μ ) ,

(μ )

n

asalkan W ∈ L α ( μ ) . Bukti:

r α φ ( r ) = Cψ ( r )

Misalkan

1 1 α = − . q p n

dan

Dengan

menggunakan

ketaksamaan Hölder, didapatkan

⎛ 1 ⎜ n ⎜r ⎝

⎞ ∫B WI α f ( x) dμ ( x) ⎟⎟⎠ n

1

p

p

⎛ 1 ≤ ⎜⎜ n ⎝r

∫ W ( x) B

n

α

⎞ dμ ( x ) ⎟⎟ ⎠

α

n

⎛ 1 ⎜ n ⎜r ⎝

1

∫ B

⎞ q I α f ( x ) dμ ( x ) ⎟⎟ . ⎠ n

q

Kemudian, dengan menggunakan fakta bahwa Iαn adalah operator yang terbatas dari

M

p ,φ

( μ ) ke M q ,ψ ( μ ) , diperoleh

⎞ p 1 ⎛ 1 ⎜ n ∫ WI αn f ( x) dμ ( x) ⎟ ⎜ ⎟ φ (r ) ⎝ r B ⎠

1

p

n

≤ W : L α ( μ ) I αn f : M q ,ψ ( μ ) n

≤ C W : L α ( μ ) f : M q ,ψ ( μ ) . Hasil ini memberikan ketaksamaan yang diinginkan. Remark. Apabila φ (r ) = r

−n

p

, 1< p <

n

α

, dan

1 1 α = − , maka Teorema 3.1 dapat q p n

direduksi ke hasil (García-Cuerva dan Martell, 2001), yaitu operator Iαn terbatas dari ruang Lebesgue Lp ( μ ) ke Lq ( μ ) . Sebagai akibatnya, ketaksamaan Olsen juga berlaku di ruang Lp ( μ ) .

Ucapan Terima kasih. Makalah ini merupakan bagian dari penelitian disertasi dan penelitian yang dibiayai dana Penelitian Fundamental Tahun 2008, DIKTI (Surat Kontrak dengan LPPM-ITB No. 0367/K01.03/Kontr-WRRIM/PL2.1.5/IV/2008).

Daftar Pustaka Coifman, R.R. and M. de Gusmán, 1970/1971, Singular Integrals and Multiplier on Homogeneous Spaces, Rev. Un. Mat. Argentina, 25, 137–143. García-Cuerva, J. and A.E. Gatto, 2004, Boundedness Properties of Fractional Integral Operators Associated to Non-Doubling Measures, Studia Math., 162, no. 3, 245–261. García-Cuerva, J. and J.M. Martell, 2000, Weighted Inequalities and Vector-Valued Calderón-Zygmund Operators on Non-homogeneous Spaces, Public. Math. , 44, no. 2, 613–640. García-Cuerva, J. and J.M. Martell, 2001, Two-weight Norm Inequalities for Maximal Operators and Fractional Integrals on Non-homogeneous Spaces, Indiana Univ. Math. J., 50, no. 3, 1241–1280. Gunawan, H. and Eridani, 2008, Fractional Integrals and Generalized Olsen Inequalities, to appear in Kyungpook Math. J. Gunawan, H., I. Sihwaningrum and Y. Sawano, 2007, Fractional Integral Operators in Non-homogeneous Spaces, preprint. Hardy, G.H. and J.E. Littlewood, 1927, Some Properties of Fractional Integral I, Math. Zeit., 27, 565–606. Hardy, G.H. and J.E. Littlewood, 1932, Some Properties of Fractional Integral II, Math. Zeit., 34, 403–439.

Kurata, K., S. Nishigaki and S. Sugano, 2002, Boundedness of Integral Operators on Generalized Morrey Spaces and Its Application to Schrödinger Operatos, Proc. Amer. Math. Soc., 129, 1125–1134. Nazarov, F., S. Treil and A. Volberg, 1998, Weak Type Estimates and Cotlar Inequalities for Calderón-Zygmund Operators on Nonhomogeneous Space, Internat. Math. Res. Notices, 9, 463–487.

Olsen, P.A., 1995, Fractional Integration, Morrey Spaces and a Schrödinger Equation, Comm. Partial Differential Equations, 20, 2005–2055. Sawano, Y., 2005, Sharp Estimates of the Modified Hardy Littlewood Maximal Operator on the Non-homogeneous Space via Covering Lemmas, Hokkaido Math. J., 34, 435–458. Sawano, Y., 2007, Generalized Morrey Spaces for Non-doubling Measures, preprint. Sobolev, S.L., 1938, On a Theorem in Fuctional Analysis (Russian), Mat. Sob., 46, 471– 497. [English tanslation in Amer. Math. Soc. Transl. ser. 2, 34 (1963), 39–68].