27.11.2013, Brno Připravil: Tomáš Vítěz Petr Trávníček
Mechanika tekutin Úvod do předmětu
strana 2
Mechanika tekutin
Zabývá ý se p podmínkami rovnováhy y kapalin a plynu v klidu, zákonitostmi pohybu kapalin a plynu, plynu pohybu těles ponořených do kapalin a plynu. Dělení Hydrostatika a aerostatika Hydrodynamika a aerodynamika
strana 3
Vlastnosti kapalin a plynů Souhrnný název – tekutiny Společné vlastnosti - tekutost (viskozita) - nemají stálý tvar Rozdílné vlastnosti Kapaliny mají j stálý ý objem j v klidu vytvářejí vodorovnou volnou hladinu jsou málo stlačitelné Plyny nemají stálý objem nevytvářejí volný vodorovný povrch jsou dobře stlačitelné
strana 4
Vlastnosti kapalin a plynů Odlišují se různou tekutostí Ideální kapalina - kapalina bez vnitřního tření, dokonale nestlačitelná Ideální plyn tření dokonale stlačitelný - plyn bez vnitřního tření,
strana 5
Základní pojmy 1. Hustota kapalin: ρ je hmotnost objemové jednotky kapaliny
[
m ρ = kg.m -3 V
]
Pro běžnou praxi se uvažuje ρ = 1000 kg/m3 (dosaženo při 3,8 °C, 101 325 Pa) 2. Stlačitelnost: κ udává o kolik se zmenší objemová jednotka kapaliny v 2 závislosti na zvětšení tlaku o dp = 1 Pa
[
1 dV 2 -1 κ= . m .N V0 dp
]
strana 6
Základní pojmy Převrácená hodnota stlačitelnosti – Modul objemové pružnosti K
1
dp [Pa ] K = = −V0 κ dV Modul závisí na teplotě, p , obsahu rozpuštěných p ý solí a plynů, p y , pro p vodu: 0°C
K = 1,87 – 2,01 GPa
20°C
K = 2 – 2,24 GPa
3. Tepelná roztažnost: udává změnu objemu kapaliny vlivem teploty
[ ]
V = V0 (1 + β ⋅ t ) m 3
β .. součinitel teplotní objemové roztažnosti (voda .. 0 0,18 18 . 10-3 K-1) t .. teplota ve °C
strana 7
Základní pojmy Zcela elementární příklad: Cisternový vagón je až po otvor naplněný naftou. (ρ = 940 kg·m-3, β = 1 ·10 10-3·K K -1) Při teplotě 0°C se do vagónu vejde 50 000 kg nafty nafty. Jak se změní množství nafty, které vyteče otvorem z vagónu, když se cestou teplota nafty zvýší na 20 °C?
m0 m0 50000 3 ρ= ⇒ V0 = = = 53,19 m ρ V0 940
V = V0 ⋅ (1 + β ⋅ Δt )
(
)
V = 53,19 ⋅ 1 + 1 ⋅10 ⋅ 20 = 1,0638 m 3
3
strana 8
Základní pojmy 4. Viskozita: Ve skutečné kapalině vznikají tangenciální síly mezi sousedními částicemi které se pohybují různými rychlostmi. částicemi, rychlostmi Tangenciální třecí síly vztažené na jednotku plochy dávají tangenciální napětí τ.
[
][
dv dy τ = η ⋅ ⇒ η = ⋅τ Pa ⋅ s -1 N ⋅ s ⋅ m − 2 dy dv gradient rychlosti τ .. tečné napětí η .. součinitel dynamické y viskozityy v .. rychlost y .. délka normály (kolmo na směr proudu)
]
strana 9
Základní pojmy V praxi se používá kinematická viskozita υ.
η 2 -1 υ = [m s ] ρ Kinematická viskozita pro vodu v m2.s-1: 0°C 0 C
1 78 . 10-66 1,78
10°C
1,31 . 10-6
20°C
1 01 . 10-66 1,01
30°C
0,81 . 10-6
strana 10
Základní pojmy Newtonovská kapalina: platí lineární závislost mezi tangenciálním napětím a gradientem rychlosti g y Nenewtonovská kapalina: vztah mezi tangenciálním napětím a gradientem rychlosti není lineární (dán tzv. reologickými modely)
a)) Ideální kapalina p c) Newtonovská kapalina d-g) Nenewtonovská kapalina
strana 11
Základní pojmy Nenewtonovské kapaliny se rozdělují na několik skupin, pro čištění odpadních vod jsou významné Nebinghamské kapaliny (takto se chovají čistírenské kaly), kaly) platí zde Bulkley – Herschelův model:
d ⎞ ⎛ du τ =τ y + K⎜ ⎟ ⎝ dy ⎠
n
K … koeficient konzistence n … tokový index τy … počáteční napětí
strana 12
Hydrostatika nauka o rovnováze kapalin v klidu (nepůsobí žádné tangenciální napětí) 1 Tlak: 1. Tlak p je definován poměrem normálové síly F a elementární plošky S
2. Hydrostatický tlak:
dF [Pa ] p= dS
ph = ρ .g .h [Pa ] 3. Celkový tlak: pc je součtem vnějšího a hydrostatického:
pc = pb + ph
strana 13
Hydrostatika Pascalův zákon: Působí-li na kapalinu vnější tlak pouze v jednom směru, šíří se tlak uvnitř kapaliny do každého místa a v každém směru
Blaise Pascal (1623 – 1662)
strana 14
Hydrostatika
Zcela elementární příklad: Jaký je celkový tlak v hloubce 12 m pod hladinou moře, je-li průměrná hustota mořské vody y 1028 kg.m g -3 a vnější j tlak odpovídá p 740 mm rtuťového sloupce (hustota rtuti je 13 550 kg.m-3) ????? a) pb = hHG . ρHG . gHG = 0,740 . 13 550 . 9,81 = 98,4 kPa b) ph = h . ρ . g = 12 . 1028 . 9,81 = 121 kPa c) pc = pb + ph = 98,4 + 121 = 219,4 kPa
strana 15
Hydrostatika 2. Tlaková síla kapalin: a)
Tlak působící na rovinnou plochu
F = ρ .g.h.S [N ]
Hydrostatická tlaková síla působená pouze tíhou kapaliny se rovná tíze sloupce kapaliny se základnou rovnající se tlakové ploše a s výškou rovnající se hloubce tlačené plochy pod hladinou. Další zcela elementární příklad: Vypočtěte hydrostatickou tlakovou sílu působící na obdélníkový otvor (1,2x2,4 m) na vodorovném dně nádrže, je-li hloubka vody 12 metrů. F = 1000 . 9,81 . (1,2 . 2,4) = 339 kN
Princip Archimédovy vztlakové síly síla íl jje výslednicí ý l d i íh hydrostatických d i ký h tlaků l ků ((sil) il) působících ů bí í h na plochu l h povrchu ponořeného tělesa.
(
)
Horní podstava válce: Fhorní = p0 + h1 ⋅ ρ f ⋅ g ⋅ dA H d t ti ká síla Hydrostatická íl působí ů bí d dolů lů
(
)
Dolní podstava válce: Fdo ln í = − p0 + h2 ⋅ ρ f ⋅ g ⋅ dA Hydrostatická síla působí nahoru Výsledná vztlaková síla: Fdo ln í + Fdo ln í = ρ f ⋅ g ⋅ (h1 − h2 ) ⋅ dA = ρ f ⋅ g ⋅ Vválce
Plování těles 1. - těleso klesá ke dnu, výslednice míří dolů 2. - těleso se v kapalině vznáší, výslednice je nulová 3. - těleso plove na volné hladině kapaliny, výslednice míří nahoru
strana 18
Hydrostatika b) Tlak působící na šikmou rovinnou plochu Hydrostatická tlaková síla působící na šikmou rovinnou plochu se rovná součinu této plochy a hydrostatického tlaku v jejím těžišti:
F = ρ .g.h h t .S [N ]
Působiště této síly je dáno vztahem: yc = xc =
J Jx J = x = y t + t [m] Ux S . yt S . yt D xy Ux
=
D xy S . yt
[m]
Jx .. moment setrvačnosti plochy S k ose x Jt .. moment setrvačnosti plochy S k těžištní ose x´ rovnoběžnou s osou x Dxy .. deviační moment plochy S k osám x,y Ux .. statický moment plochy S k ose y
strana 19
Hydrostatika Výpočet pomocí horizontální a vertikální složky tlakové síly Fh .. Horizontální složka
FV
F Fh
Sh
Fh = ρ . g . h t . S . sin α [N ]
Sv
Fv .. Vertikální složka
α
Fv = ρ . g . h t . S . cos α [N ]
Vý l d á tlaková Výsledná l k á síla íl F: F F = Fh2 + Fv2
[N]
Př.3 - jen velmi mírně obtížnější: Vypočtěte yp velikost tlakové síly, y, která ppůsobí na šikmou obdélníkovou stěnu šířkyy 1 m, která je odkloněna od vodorovné o úhel 60°, je-li hloubka 7m.
strana 20
Řešení a) těžiště:
ht =
b)) plocha p stěny: y
h 7 = = 3,5 m 2 2 h 7 = = 8,083 , m a= sin i α sin i 60°
S = a.b = 8,083 , . 1 = 8,083 ,
c) hydrostatická tlaková síla: Fv = ρ.g . ht . S . cos α = 1000 . 9,81 9 81 . 3,5 3 5 . 8,083 8 083 . cos 60° = 240,348 240 348 kN Fh = ρ.g . ht . S . sin α = 1000 . 9,81 . 3,5 . 8,083 . sin 60° = 138,765 kN F = Fv2 + Fh2 = 240,348 2 + 138,765 2 = 277,530 kN
d) působiště (ve svislé zatěžované ose – y) 1 b.a 3 J 1 1 1 2 = a + a = a = 5,389 m y c = y t + t = a + 12 1 S.y S yt 2 6 3 a.bb a 2 2
strana 21
Hydrostatika c) Tlak působící na zakřivenou stěnu Výsledná síla se určí z jednotlivých složek Fx, Fy, Fz Fx = ρ.g.ht,x.Syz [N] Fy = ρ.g.ht,y.Sxz [N] Fz = Ftl - Fvz [N] Ftl .. vertikální tlaková složka, Ftl = ρ.g.V [N] V .. objem sloupce kapaliny nad plochou S pod hladinou Fvvz .. vertikální vztlaková síla, Fvvz = ρ.g.W [N] W .. vztlakový objem
F = Fx2 + Fy2 + Fz2 [N ]
strana 22
Hydrodynamika P dě í tekutiny Proudění t k ti je j pohyb h b tekutiny t k ti v jednom j d směru. ě Proudění z hlediska časového průběhu může být: 1.
stacionární (ustálené) - proudění, při němž se v daném místě tekutiny nemění její rychlost v závislosti na čase
2 2.
nestacionární - prouděním, prouděním u něhož se v daném místě tekutiny rychlost v závislosti na čase mění
Pohyb částic tekutiny se popisuje pomocí proudnic: Proudnice je taková myšlená čára, že tečna sestrojená v jejím libovolném bodě určuje směr rychlosti pohybující se částice tekutiny. Každým ý bodem kapaliny p y pprochází pprávě jedna j proudnice, p ,p proudnice se neprotínají.
strana 23
Hydrodynamika zabývá bý á se pohybem h b kapaliny k li a jejím j jí působením ů b í na tuhá t há tělesa těl při ři jejich j ji h vzájemném relativním pohybu Průtočný P ů č ý profil: fil rovinný i ý řřez vedením d í proudu, d kolmý k l ý k jeho j h podélné dél é ose a charakterizující jeho tvar, který kapalina zaujímá.
strana 24
Hydrodynamika Průtočný průřez S: plošný obsah řezu proudu plochou v každém bodě k vektoru střední bodové rychlosti
- otevřený – proudění o volné hladině (řeka) - uzavřený – tlakové proudění (potrubí)
Bodová rychlost u(x,y,z): dráha ℓ, kterou částice urazí za jednotku času t.
[
dl dl u= m.s -1 dt
]
strana 25
Hydrodynamika Střední bodová rychlost: y v dlouhém časovém intervalu vyrovnaná y hodnota bodové rychlosti. Průřezová (střední profilová) rychlost:
jjejí j vynásobení y průtočným p ý profilem p dává skutečnýý průtok: p Q = v · S [m3.s-1] Proudění: - ustálené: rychlost není funkcí času – Q = konst.
Platí rovnice kontinuity (spojitosti) Q = v1S1 + v2S2 + …+vnSn = konst. - neustálené: rychlost v daném bodě je funkcí času
strana 26
Hydrodynamika Rovnice kontinuity Při ustáleném proudění ideální kapaliny je součin obsahu průřezu S a rychlosti proudu v v každém místě trubice stejný.
Q m1 = Q m2
[kgg ⋅ s ] -1
S1 ⋅ v1 ⋅ ρ = S2 ⋅ v 2 ⋅ ρ Q V1 = Q V2
[m
3
⋅ kg -1
S1 ⋅ v1 = S2 ⋅ v 2 zákon zachování hmoty
]
strana 27
Hydrodynamika Rovnice kontinuity: y
strana 28
Hydrodynamika Bernoulliho rovnice Za ustáleného pohybu ideální kapaliny je součet polohové, tlakové i pohybové energie stálý pro všechny průřezy.
Ep1 = Δm ⋅ g ⋅ h1 Etl1 = ΔV ⋅ p1 = Ek1 =
Δm ⋅ p1 ρ
1 ⋅ Δm ⋅ v12 2
Ep1 + Etl1 + Ek1 = Ep2 + Etl2 + Ek2 = konst. zákon zachování energie
Daniel Bernoulli (1700 – 1782)
strana 29
Hydrodynamika Po úpravě
g ⋅ h1 +
2 1
2 2
p1 v p v + = g ⋅ h2 + 2 + ρ 2 ρ 2
Pro vodorovné potrubí
1 1 p1 v12 p 2 v 22 + = + ⇒ p1 + ⋅ ρ ⋅ v12 = p 2 + ⋅ ρ ⋅ v 22 2 2 ρ 2 ρ 2
Daniel Bernoulli (1700 – 1782)
strana 30
Hydrodynamika B Bernoulliho llih rovnice i pro skutečnou k t č k kapalinu li
p1 α . v12 p 2 α . v 22 + = h2 + + +Z E = h1 + ρ .gg 2g ρ .gg 2g Z … Dochází k vnitřnímu tření a tření o stěny – část mechanické energie se mění převážně na energii tepelnou – z hydraulického hlediska ztráta. v … Pro skutečný profil se bodová rychlost nahradí rychlostí průřezovou
α … Nerovnoměrné rozdělení rychlosti v profilu se zohlední Coriolisovým číslem. Hodnota α - pro koryta a kanály = 1,02 až 1,45 - pro potrubí = 1,04 až 1,1
3
∫ u dS
α=S
v3 . S
strana 31
Užití Bernoulliho rovnice Pitt t Pittotova ttrubice bi
Pomocí Pitotovy trubice se určuje rychlost proudící tekutiny pomocí rozdílu tlaků. Tekutina v ohnutém vývodu (2) ztratí veškerou svou rychlost, zatímco u rovného vývodu (1) má tekutina stále svou rychlost. Svou energii si uchová, proto bude platit:
1 2 ⋅ (p1 − p 2 ) 2 p1 = p 2 + ⋅ ρ ⋅ v 2 ⇒ v2 = 2 ρ 2 1
strana 32
Užití Bernoulliho rovnice Pitt t Pittotova ttrubice bi
A330/A340 pitot it t tubes t b
strana 33
Užití Bernoulliho rovnice 1 1 2 ⋅ ρ ⋅ v1 + p1 = ⋅ ρ ⋅ v 22 + p 2 2 2 1 1 2 ⋅ ρ ⋅ 0 + h ⋅ ρ ⋅ g + p a = ⋅ ρ ⋅ v 22 + p a 2 2 v2 = 2 ⋅ g ⋅ h
strana 34
Užití Bernoulliho rovnice Ve vodorovné V d é ttrubici bi i proudí dí voda d rychlostí hl tí 3 m/s, / v daném d é místě í tě je j tlak tl k p11 = 0,1 01 MPa. Určete rychlost proudění v místě o tlaku 0,09 MPa
1 1 ⋅ ρ ⋅ v12 + p1 = ⋅ ρ ⋅ v 22 + p 2 2 2 v2 =
2 ⎛1 ⎞ ⋅ ⎜ ⋅ ρ ⋅ v12 + p1 − p 2 ⎟ ρ ⎝2 ⎠
Bernoulliho princip p p
strana 35
Děkuji za pozornost
