Tržní riziko • Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. – – – – –
Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika ... riz. volatility, riz. korelace
• Pozice (saldo hodnoty očekávaných příjmů a výdajů s danou citlivostí) – Otevřená pozice... neseme tržní riziko • Dlouhá (příjmy > výdaje) • Krátká (výdaje > příjmy)
– Uzavřená pozice (příjmy = výdaje)... riziko zajištěné
• Zajišťování = uzavírání pozic/ spekulace = otevírání p. • Přirozené × umělé zajišťování Ekonomické modelování
Příklad - měnové riziko BÚ
5 CZK
30 CZK
Prov. úvěr
60 CZK 1 EUR 50 CZK
40 CZK
Závazky
Fix. aktiva
125 CZK
140 CZK
FX EUR 3M
0,5 EUR
15 CZK
FX EUR 3M
285 CZK
240 CZK 1,5 EUR
225 CZK 2 EUR
285 CZK
Pohledávky Zásoby
2 EUR
x = 30,00 Krátká pozice 0,5 mil. € = 15 mil. Kč. Ekonomické modelování
Invest. úvěr Kapitál
Příklad - měnové riziko (2) BÚ Pohledávky Zásoby
5 CZK
30 CZK
Prov. úvěr
60 CZK 1 EUR 50 CZK
40 CZK
Závazky Invest. úvěr
Fix. aktiva
125 CZK
2 EUR 138,5 CZK 140 CZK
FX EUR 3M
0,5 EUR
15 CZK
FX EUR 3M
289,5 CZK
240 CZK 1,5 EUR
225 CZK 2 EUR
291 CZK
Kapitál
x = 33,00 Krátká pozice způsobila při růstu kursu pokles hodnoty podniku. Ekonomické modelování
Citlivostní analýza nelineárních rizik • Zkoumáme faktorovou citlivost = V / x (V je velikost pozice, x hodnota rizikového faktoru) • Riziko je zajištěno, pokud = 0 (pozice je uzavřená). • U lineárních rizik (měnové, akciové, komoditní) je tato citlivost konstantní a odpovídá velikosti pozice. • U nelineárních rizik (úrokové riziko, opční rizika) je analýza složitější, protože se mění s x. • Citlivostní analýza slouží ke kvalitativnímu posuzování tržních rizik a jeho zajišťování. • Úlohu lze řešit analyticky (většinou) nebo numericky (vždy). Ekonomické modelování
Cvičení (úroková citlivost) • Dlouhá pozice v SD 4,20%/2036 při tržní úrokové sazbě i = 4%. • Simulujte procentní změnu hodnoty této pozice V / V při růstu/poklesu tržní úrokové sazby o různé násobky 0,5 p.b. (tzn. na 2%, 2,5%, 3,5%, 10% atd.) • Znázorněte graficky funkci V / V = ƒ( i). • Funkce je nelineární a konvexní.
Ekonomické modelování
Durace (srov. Vlachý s. 62-63) • K odhadu úrokového rizika se jako míra citlivosti používá durace. – Durace vyjadřuje změnu hodnoty pozice jako závislost na velmi malé změně úrokové sazby. – Názorně ji lze chápat jako směrnici tečny k funkci citlivosti v počátečním bodě. 20%
ΔV/V
Δi
0% -5%
0%
5%
10%
15%
-20%
-40%
-60%
Ekonomické modelování
20%
Cvičení (modifikovaná durace) • Duraci úrokové pozice lze zjistit analyticky (Macaulayho durace) nebo numericky (modifikovaná durace). • Odhadněte modifikovanou duraci Dmod dlouhé pozice v SD 4,20%/2036 při tržní úrokové sazbě i•= 4%, pokud víte, že je definována vztahem V / i = - Dmod V.
Ekonomické modelování
Dynamické zajišťování • Durace se používá při tzv. dynamickém zajišťování (imunizaci) úrokového rizika (viz Vlachý s. 99). • Imunizované portfolio se tvoří tak, aby byla shodná durace aktiv a pasiv. • Analogicky se postupuje při zajišťování opčních pozic (tzv. delta hedging).
Ekonomické modelování
Kvantifikace rizika • Mírou tržního rizika je volatilita. • Volatilita je směrodatná odchylka výnosů (tzn. oboustranná míra variability). • Volatilitu lze odhadnout – Z historických dat (u jednotlivých tříd aktiv se volatilita dlouhodobě zpravidla příliš nemění) – Implicitně (výpočtem z tržních hodnot opcí) – Kvalifikovaným odhadem
• Volatilita se využívá – K analytickému oceňování opcí (např. pomocí BlackovaScholesova modelu) – K analytickému odhadu Value at Risk Ekonomické modelování
Historický odhad volatility 1. Pořídit vhodnou časovou řadu tržních cen. 2. Spočítat výnosy za jednotlivá období (nejlépe logaritmické výnosy podle vztahu r = ln(p1/p0). 3. Volatilita (vztažená k výnosovému období) je rovna směrodatné odchylce těchto výnosů. 4. Volatilita se zpravidla uvádí jako roční (případně denní); převod na jiné období se provádí podle tzv. pravidla druhé odmocniny času Y / M = tY/tM. Ekonomické modelování
Riziko investičního portfolia • Volatilita (riziko) investičního portfolia je (někdy výrazně) nižší než průměrná volatilita jeho složek, přičemž očekávaný výnos je roven váženému průměru výnosů. • Tento jev matematicky popisuje Moderní (Markowitzova) portfoliová teorie (MPT) a jde o příklad efektu diverzifikace. • Míra diverzifikace závisí na korelaci mezi jednotlivými složkami (nízký korelační koeficient 1 znamená velký efekt diverzifikace a naopak). Ekonomické modelování
Cvičení (optimalizace portfolia) • Na základě historické simulace výnosů tří aktiv znázorněte množinu možných portfolií. • Stanovte množinu efektivních portfolií (maximalizací výnosnosti při stejném riziku, respektive minimalizací rizika při stejné výnosnosti). • Odhadněte lineární efektivní množinu (se zavedením možnoésti bezrizikové alokace).
Ekonomické modelování
Value at Risk (VAR) • O jakou hodnotu mohu maximálně přijít za určitou dobu v důsledku daného rizika? • Vzhledem k tomu, že jde o statistický odhad, mohu to určit pouze s určitou mírou spolehlivosti, za použití příslušného kvantilu. • VAR lze odhadnout – Analyticky – Historickou simulací – Statistickou simulací
• Úlohy, které lze řešit pomocí VAR: – Kolik (ekonomického) kapitálu kryje dané riziko? – Jaká je tržní hodnota daného rizika? – Jaký limit je třeba stanovit pro obchodování? Ekonomické modelování
Kvantily normálního rozdělení Vycházejí z distribuční funkce normovaného norm. rozdělení (tabelováno, nebo funkce Excelu =normsdist()) u50% = 0 (medián) u90% = 1,28 (9. decil) P(x) u95% = 1,65 (95. percentil) u99% = 2,33 (99. percentil) 99% x > xmin = — u x < xmax = + u Ekonomické modelování
x
Cvičení (historická simulace VAR) • Jaká je maximální ztráta, kterou realizuje investor do portfolia, složeného napůl z akciového indexu S&P 500 a zlata, při max. době držení 10 dní a statistické spolehlivosti odhadu 95%? • Úlohu řešte historickou simulací a statistickou simulací (zde předpokládejte výnosy indexu a zlata jako nekorelované náhodné veličiny).
Ekonomické modelování
Cvičení (statistická simulace VAR) • Jaká je maximální ztráta, kterou realizuje v desetidenním horizontu kupec 1000 ks SD4,20%/2036, je-li aktuální tržní úroková sazba 4%? • Předpokládáme chování úrokových sazeb podle stochastického procesu it = i0 + t (tzv. geometrický Brownův pohyb, je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením). Odhadujeme denní volatilitu úrokových sazeb = 0,08%. • Požadujeme statistickou spolehlivost odhadu 95%. • Simulaci lze provést jako semiparametrickou (při každém pokusu se přepočítává hodnota dluhopisu v závislosti na vygenerované úrokové sazbě) nebo jako plně parametrickou (s využitím známé modifikované durace dluhopisu). Ekonomické modelování
Dodatek - korelovaná náhodná čísla • • • •
Předpokl. normální rozdělení veličin x, y Korelační koeficient xy <-1; 1> Očekávané hodnoty x, y, směrodatné odchylky x, Generujeme dvojice nezávislých normovaných normálních náhodných čísel z1, z2 = normsinv(rand()) • Z nich vždy vytvoříme třetí proměnnou z3 =
xy z1 + (1-
xy
2)
z2
• Spočítáme dvojice korelovaných náhodných čísel x= y=
+ z1 y + z3 x
x 3
• Tento postup vychází z tzv. Choleského faktorizace Ekonomické modelování
y
