ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh Sylva Potuˇ ˚ cková, Dana Stesková, Lubomír Sedláˇcek Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín
Zlín, 23. ˇríjna 2011
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh
ˇ Postup pˇri vyšetˇrování prub ˚ ehu funkce 1. 2.
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Definiˇcní obor funkce, funkce sudá, lichá, periodická Výpoˇcet limit v krajních bodech definiˇcního oboru, tzn. v nevlastních bodech a v bodech, kde není funkce definována (jednostranné limity) Pruseˇ ˚ cíky grafu funkce s osami x, y, znaménka funkˇcních hodnot Výpoˇcet 1. derivace, nulové body 1. derivace a body, ve kterých neexistuje 1.derivace Lokální extrémy, intervaly monotónnosti Výpoˇcet 2. derivace, nulové body 2. derivace a body, ve kterých neexistuje 2.derivace Inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti Asymptoty Graf funkce
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 ˇ funkcí: Vyšetˇrete prub ˚ ehy a) f : y = x3 − 6x2 + 9x, x2 b) f : y = . x−1
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x ˇ tedy funkce spojitá. Funkce f (x) je polynom 3. stupne,
1. Df = R
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x Funkce x3 a x jsou liché funkce, x2 je sudá funkce, tedy funkce f (x) nemuže ˚ mít ani jednu ˇ z techto vlastností. Tzn.: ∃x ∈ Df \{0} : f (−x) 6= f (x), f (−x) 6= −f (x).
1. Df = R f (−x) = −x3 − 6x2 − 9x ⇒ ani lichá ani sudá funkce
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x Funkce f je definována pro všechna x ∈ R, poˇcítáme pouze limity funkce v −∞ a +∞.
1. Df = R f (−x) = −x3 − 6x2 − 9x ⇒ ani lichá ani sudá funkce 2. lim x3 − 6x2 + 9x = x→±∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x ˇ Pˇri výpoˇctu vytýkáme cˇ len s nejvetší mocninou.
1. Df = R f (−x) = −x3 − 6x2 − 9x ⇒ ani lichá ani sudá funkce 2. lim x3 − 6x2 + 9x = lim x3 · 1 − x6 + x92 = x→±∞
x→±∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x ˇ Výsledná limita závisí pouze na limiteˇ cˇ lenu s nejvetší mocninou.
1. Df = R f (−x) = −x3 − 6x2 − 9x ⇒ ani lichá ani sudá funkce 2. lim x3 − 6x2 + 9x = lim x3 · 1 − x6 + x92 = ±∞ x→±∞
x→±∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x ˇ Rešením rovnice f (x) = 0 hledáme pruseˇ ˚ cíky grafu funkce f s osou x.
1. Df = R f (−x) = −x3 − 6x2 − 9x ⇒ ani lichá ani sudá funkce 2. lim x3 − 6x2 + 9x = lim x3 · 1 − x6 + x92 = ±∞ x→±∞
3. x3 − 6x2 + 9x = 0
x→±∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x ˇ Rešením rovnice f (x) = 0 hledáme pruseˇ ˚ cíky grafu funkce f s osou x.
1. Df = R f (−x) = −x3 − 6x2 − 9x ⇒ ani lichá ani sudá funkce 2. lim x3 − 6x2 + 9x = lim x3 · 1 − x6 + x92 = ±∞ x→±∞
x→±∞
3. x3 − 6x2 + 9x = 0 ⇔ x(x − 3)2 = 0
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x ˇ Rešením rovnice f (x) = 0 hledáme pruseˇ ˚ cíky grafu funkce f s osou x.
1. Df = R f (−x) = −x3 − 6x2 − 9x ⇒ ani lichá ani sudá funkce 2. lim x3 − 6x2 + 9x = lim x3 · 1 − x6 + x92 = ±∞ x→±∞
x→±∞
3. x3 − 6x2 + 9x = 0 ⇔ x(x − 3)2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x Dosazením x = 0 do pˇredpisu funkce f získáme její pruseˇ ˚ cík s osou y.
1. Df = R f (−x) = −x3 − 6x2 − 9x ⇒ ani lichá ani sudá funkce 2. lim x3 − 6x2 + 9x = lim x3 · 1 − x6 + x92 = ±∞ x→±∞
x→±∞
3. x3 − 6x2 + 9x = 0 ⇔ x(x − 3)2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3 x = 0 ⇒ f (0) = 0
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x Zakreslíme pruseˇ ˚ cíky x = 0 a x = 3 na osu x, body nespojitosti funkce f nemá.
1. Df = R f (−x) = −x3 − 6x2 − 9x ⇒ ani lichá ani sudá funkce 2. lim x3 − 6x2 + 9x = lim x3 · 1 − x6 + x92 = ±∞ x→±∞
x→±∞
3. x3 − 6x2 + 9x = 0 ⇔ x(x − 3)2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3 x = 0 ⇒ f (0) = 0
0
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x Vyznaˇcíme intervaly, na kterých funkce f nabývá kladných hodnot a intervaly, na kterých funkce f nabývá záporných hodnot.
1. Df = R f (−x) = −x3 − 6x2 − 9x ⇒ ani lichá ani sudá funkce 2. lim x3 − 6x2 + 9x = lim x3 · 1 − x6 + x92 = ±∞ x→±∞
x→±∞
3. x3 − 6x2 + 9x = 0 ⇔ x(x − 3)2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3 x = 0 ⇒ f (0) = 0
0
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x ˇ z kladných na Znaménka funkce spolu s nulovými body urˇcují, jak se funkˇcní hodnoty mení záporné nebo naopak.
1. Df = R f (−x) = −x3 − 6x2 − 9x ⇒ ani lichá ani sudá funkce 2. lim x3 − 6x2 + 9x = lim x3 · 1 − x6 + x92 = ±∞ x→±∞
x→±∞
3. x3 − 6x2 + 9x = 0 ⇔ x(x − 3)2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3 x = 0 ⇒ f (0) = 0
0
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x Vypoˇcteme derivaci.
4. f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9
0
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
Hledáme ˇrešení rovnice f 0 (x) = 0.
4. f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9 f 0 (x)
=
0
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
Dosazením za derivaci ˇrešíme kvadratickou rovnici.
4. f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9 f 0 (x) 3x − 12x + 9 2
= =
0 0
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
Upravíme.
4. f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9 f 0 (x) 3x − 12x + 9 3(x − 1)(x − 3) 2
= = =
0 0 0
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
Rovnice f 0 (x) = 0 má dveˇ ˇrešení, funkce f má dva stacionární body x = 1, x = 3. Body, kde derivace neexistuje, nejsou.
4. f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9 f 0 (x) = 3x − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) = x=1∨x=3 2
0 0 0
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
Nakreslíme osu x a stacionární body.
4. f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9 f 0 (x) = 3x − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) = x=1∨x=3
0 0 0
2
5. 1
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
Dosazením x = 0 zjistíme, že f 0 (0) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu (−∞, 1i.
4. f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9 f 0 (x) = 3x − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) = x=1∨x=3
0 0 0
2
5. 1
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
Dosazením x = 2 zjistíme, že f 0 (2) < 0, a tedy funkce f je klesající na intervalu h1, 3i.
4. f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9 f 0 (x) = 3x − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) = x=1∨x=3
0 0 0
2
5. 1
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
Zadaná funkce má v bodeˇ x = 1 lokální maximum. Funkˇcní hodnota je f (1) = 4.
4. f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9 f 0 (x) = 3x − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) = x=1∨x=3
0 0 0
2
5. MAX 1
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
Dosazením x = 4 zjistíme, že f 0 (4) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu h3, ∞).
4. f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9 f 0 (x) = 3x − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) = x=1∨x=3
0 0 0
2
5. MAX 1
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
Zadaná funkce má v bodeˇ x = 3 lokální minimum. Funkˇcní hodnota je f (3) = 0.
4. f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9 f 0 (x) = 3x − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) = x=1∨x=3
0 0 0
2
5. MAX
min
1
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x Vypoˇcteme druhou derivaci.
6. f 00 (x) = 6x − 12
0
3
MAX
min
1
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x Hledáme ˇrešení rovnice f 00 (x) = 0.
6. f 00 (x) = 6x − 12 f 00 (x)
=
0
0
3
MAX
min
1
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x Dosadíme a zderivujeme.
6. f 00 (x) = 6x − 12 f 00 (x) 6x − 12
= =
0 0
0
3
MAX
min
1
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
1
3
Bod x = 2 je nulový bod 2. derivace, body, kde neexistuje 2. derivace nejsou.
6. f 00 (x) = 6x − 12 f 00 (x) 6x − 12 x
= = =
0 0 2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x Na osu x vyneseme bod x = 2.
6. f 00 (x) = 6x − 12 f 00 (x) 6x − 12 x
= = =
0 0 2
7. 2
0
3
MAX
min
1
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
1
3
Dosazením napˇr. x = 0 zjistíme, že f 00 (x) < 0 na intervalu (−∞, 2). Tzn., že funkce f je zde konkávní.
6. f 00 (x) = 6x − 12 f 00 (x) 6x − 12 x
= = =
0 0 2
7. 2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
1
3
Dosazením x = 3 zjistíme, že f 00 (x) > 0 na intervalu (2, ∞). Navíc v bodeˇ x = 3 je lok. minimum, tzn., že funkce f musí být konvexní na intervalu (2, ∞).
6. f 00 (x) = 6x − 12 f 00 (x) 6x − 12 x
= = =
0 0 2
7. 2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
Bod x = 2 je inflexním bodem funkce f , f (2) = 2.
6. f 00 (x) = 6x − 12 f 00 (x) 6x − 12 x
= = =
0 0 2
7. infl. 2
MAX
min
1
3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
ˇ Urˇcíme asymptotu se smernicí ke grafu funkce f pro x → +∞.
8. k1 = lim
x→+∞
f (x) x
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
MAX
min
infl.
1
3
2
3
ˇ Urˇcíme asymptotu se smernicí ke grafu funkce f pro x → +∞.
f (x) x→+∞ x
8. k1 = lim
= lim
x→+∞
x2 − 6x + 9
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
Asymptota pro x → +∞ neexistuje.
f (x) x→+∞ x
8. k1 = lim
= lim
x→+∞
x2 − 6x + 9 = +∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
ˇ Urˇcíme asymptotu se smernicí ke grafu funkce f pro x → −∞.
f (x) x→+∞ x
8. k1 = lim k2 =
lim f (x) x→−∞ x
= lim
x→+∞
x2 − 6x + 9 = +∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
ˇ Urˇcíme asymptotu se smernicí ke grafu funkce f pro x → −∞.
f (x) x→+∞ x
= lim
lim f (x) x→−∞ x
= lim
8. k1 = lim k2 =
x→+∞ x→−∞
x2 − 6x + 9 = +∞ x2 − 6x + 9
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
Asymptota pro x → −∞ neexistuje.
f (x) x→+∞ x
= lim
lim f (x) x→−∞ x
= lim
8. k1 = lim k2 =
x→+∞ x→−∞
x2 − 6x + 9 = +∞ x2 − 6x + 9 = +∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
ˇ ˇ Asymptoty se smernicí graf nemá. Asymptoty bez smernice taky neexistují, protože Df = R a funkce f je všude spojitá. f (x) x→+∞ x
= lim
lim f (x) x→−∞ x
= lim
8. k1 = lim k2 =
x→+∞ x→−∞
x2 − 6x + 9 = +∞ x2 − 6x + 9 = +∞
ˇ ˇ asymptoty se smernicí ani bez smernice neexistují
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
Naˇcrtneme graf funkce f . Zakreslíme souˇradný systém.
y 4 3 2 1
−2
−1
0 −1 −2 −3 −4
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
ˇ Vyneseme pruseˇ ˚ cíky s osami, znaménka funkce rozhodují o tom, jak se funkˇcní hodnoty mení z kladných na záporné nebo naopak. y 4 3 2 1
−2
−1
0 −1 −2 −3 −4
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x Vypoˇcítali jsme limity
lim
x→±∞
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
ˇ f (x) = ±∞. Cásteˇ cneˇ si je mužeme ˚ naznaˇcit do grafu.
y 4 3 2 1
−2
−1
0 −1 −2 −3 −4
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
Zjistili jsme lokální extrémy. V bodeˇ x = 1 je lokální maximum, jeho hodnota je f (1) = 4. V bodeˇ x = 3 má funkce lokální minimum, f (3) = 0. y LMAX
4 3 2 1
−2
−1
0 −1 −2 −3 −4
x 1
2
3
4 LMIN
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
V bodeˇ x = 2 má funkce f inflexi, f (2) = 2.
y LMAX
4 3
IB
2 1
−2
−1
0 −1 −2 −3 −4
x 1
2
3
4 LMIN
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
Na intervalu (−∞, 1) je funkce f rostoucí a konkávní.
y LMAX
4 3
IB
2 1
−2
−1
0 −1 −2 −3 −4
x 1
2
3
4 LMIN
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
Na intervalu (1, 2) je funkce f klesající a konkávní.
y LMAX
4 3
IB
2 1
−2
−1
0 −1 −2 −3 −4
x 1
2
3
4 LMIN
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
Na intervalu (2, 3) je funkce f klesající a konvexní.
y LMAX
4 3
IB
2 1
−2
−1
0 −1 −2 −3 −4
x 1
2
3
4 LMIN
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) = x3 − 6x2 + 9x
0
3
MAX
min
infl.
1
3
2
Na intervalu (3, ∞) je funkce f rostoucí a konvexní.
y
f LMAX
4 3
IB
2 1
−2
−1
0 −1 −2 −3 −4
x 1
2
3
4 LMIN
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Urˇcujeme definiˇcní obor. Jmenovatel zlomku musí být ruzný ˚ od nuly.
1. Df = R\{1}
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Funkce nemá symetrický definiˇcní obor, proto není ani sudá ani lichá.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Poˇcítáme limity funkce v −∞ a +∞.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce 2.
x2 = x→±∞ x − 1 lim
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
ˇ Pˇri výpoˇctu vytýkáme cˇ len s nejvetší mocninou z cˇ itatele i jmenovatele.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce 2.
x2 x2 = = lim x→±∞ x − 1 x→±∞ x · 1 − 1 x lim
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Po vykrácení cˇ itatele se jmenovatelem získáme výsledek. Limita cˇ itatele je +∞ nebo −∞ a jmenovatele 1.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce 2.
x2 x2 x = lim = lim 1 x→±∞ x − 1 x→±∞ x · 1 − x→±∞ 1 − x lim
1 x
= ±∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Vypoˇcítáme limity zleva i zprava v bodeˇ nespojitosti x = 1.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce 2.
x2 x2 x = lim = lim 1 x→±∞ x − 1 x→±∞ x · 1 − x→±∞ 1 − x x2 lim = x→1± x − 1 lim
1 x
= ±∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Pˇri výpoˇctu využijeme pravidlo pro výpoˇcet limity souˇcinu.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce 2.
x2 x2 x = lim = lim 1 x→±∞ x − 1 x→±∞ x · 1 − x→±∞ 1 − x x2 1 lim = lim x2 · = x→1± x − 1 x→1± x−1 lim
1 x
= ±∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Limita funkce x2 je 1. O hodnoteˇ limity funkce
1 x−1
rozhodneme napˇr. z jejího grafu.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce 2.
x2 x2 x = lim = lim = ±∞ 1 x→±∞ x − 1 x→±∞ x · 1 − x→±∞ 1 − 1 x x x2 1 1 lim = lim x2 · = lim = ±∞ x→1± x − 1 x→1± x→1± x−1 x−1 lim
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
ˇ Rešením rovnice f (x) = 0 hledáme pruseˇ ˚ cíky grafu funkce f s osou x.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce x2 x2 x = lim = lim = ±∞ 1 x→±∞ x − 1 x→±∞ x · 1 − x→±∞ 1 − 1 x x x2 1 1 lim = lim x2 · = lim = ±∞ x→1± x − 1 x→1± x→1± x−1 x−1 x2 3. =0 x−1 2.
lim
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Zlomek je roven 0, práveˇ když je cˇ itatel roven 0.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce x2 x2 x = lim = lim = ±∞ 1 x→±∞ x − 1 x→±∞ x · 1 − x→±∞ 1 − 1 x x x2 1 1 lim = lim x2 · = lim = ±∞ x→1± x − 1 x→1± x→1± x−1 x−1 x2 3. = 0 ⇔ x = 0; x−1 2.
lim
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Dosazením x = 0 do pˇredpisu funkce f získáme její pruseˇ ˚ cík s osou y.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce x2 x2 x = lim = lim = ±∞ 1 x→±∞ x − 1 x→±∞ x · 1 − x→±∞ 1 − 1 x x x2 1 1 lim = lim x2 · = lim = ±∞ x→1± x − 1 x→1± x→1± x−1 x−1 x2 3. = 0 ⇔ x = 0; x = 0 ⇒ f (0) = 0 x−1 2.
lim
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Zakreslíme pruseˇ ˚ cík x = 0 s osou x a bod nespojitosti x = 1.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce x2 x2 x = lim = lim = ±∞ 1 x→±∞ x − 1 x→±∞ x · 1 − x→±∞ 1 − 1 x x x2 1 1 lim = lim x2 · = lim = ±∞ x→1± x − 1 x→1± x→1± x−1 x−1 x2 3. = 0 ⇔ x = 0; x = 0 ⇒ f (0) = 0 x−1 2.
lim
0
1
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Vyznaˇcíme intervaly, na kterých funkce f nabývá kladných hodnot a intervaly, na kterých funkce f nabývá záporných hodnot.
1. Df = R\{1} ani lichá ani sudá funkce x2 x2 x = lim = lim = ±∞ 1 x→±∞ x − 1 x→±∞ x · 1 − x→±∞ 1 − 1 x x x2 1 1 lim = lim x2 · = lim = ±∞ x→1± x − 1 x→1± x→1± x−1 x−1 x2 3. = 0 ⇔ x = 0; x = 0 ⇒ f (0) = 0 x−1 2.
lim
0
1
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
0
1
Vypoˇcteme derivaci funkce f s využitím pravidla pro derivování podílu funkcí a upravíme.
4. f 0 (x) =
2x·(x−1)−x2 ·1 (x−1)2
=
x2 −2x (x−1)2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
0
1
Hledáme ˇrešení rovnice f 0 (x) = 0.
4. f 0 (x) =
2x·(x−1)−x2 ·1 (x−1)2
f 0 (x)
=
0
=
x2 −2x (x−1)2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
0
1
Dosadíme a vytkneme x v cˇ itateli.
4. f 0 (x) =
2x·(x−1)−x2 ·1 (x−1)2
f 0 (x) x · (x − 2) (x − 1)2
=
0
=
0
=
x2 −2x (x−1)2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
0
1
Rovnice f 0 (x) = 0 má dveˇ ˇrešení, funkce f má dva stacionární body x = 0, x = 2. Derivace funkce f není definována pro x = 1.
4. f 0 (x) =
2x·(x−1)−x2 ·1 (x−1)2
f 0 (x) = 0 x · (x − 2) = 0 (x − 1)2 x=0∨x=2
=
x2 −2x (x−1)2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
0
1
Nakreslíme osu x a stacionární body. Vyznaˇcíme i bod nespojitosti 1. derivace.
4. f 0 (x) =
2x·(x−1)−x2 ·1 (x−1)2
f 0 (x) = 0 x · (x − 2) = 0 (x − 1)2 x=0∨x=2 5. 0
1
2
=
x2 −2x (x−1)2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
0
1
Dosazením x = −1 zjistíme, že f 0 (−1) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu (−∞, 0i.
4. f 0 (x) =
2x·(x−1)−x2 ·1 (x−1)2
f 0 (x) = 0 x · (x − 2) = 0 (x − 1)2 x=0∨x=2 5. 0
1
2
=
x2 −2x (x−1)2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
0
Dosazením x =
4. f 0 (x) =
1 2
1
zjistíme, že f 0
1 2
2x·(x−1)−x2 ·1 (x−1)2
f 0 (x) = 0 x · (x − 2) = 0 (x − 1)2 x=0∨x=2 5. 0
1
2
< 0, a tedy funkce f je klesající na intervalu h0, 1).
=
x2 −2x (x−1)2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
0
1
Zadaná funkce má v bodeˇ x = 0 lokální maximum. Funkˇcní hodnota je f (0) = 0.
4. f 0 (x) =
2x·(x−1)−x2 ·1 (x−1)2
f 0 (x) = 0 x · (x − 2) = 0 (x − 1)2 x=0∨x=2 5. MAX 0
1
2
=
x2 −2x (x−1)2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
0
Dosazením x =
4. f 0 (x) =
3 2
1
zjistíme, že f 0
3 2
2x·(x−1)−x2 ·1 (x−1)2
f 0 (x) = 0 x · (x − 2) = 0 (x − 1)2 x=0∨x=2 5. MAX 0
1
2
< 0, a tedy funkce f je klesající na intervalu (1, 2i.
=
x2 −2x (x−1)2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
0
1
Dosazením x = 3 zjistíme, že f 0 (3) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu h2, ∞).
4. f 0 (x) =
2x·(x−1)−x2 ·1 (x−1)2
f 0 (x) = 0 x · (x − 2) = 0 (x − 1)2 x=0∨x=2 5. MAX 0
1
2
=
x2 −2x (x−1)2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
0
1
Zadaná funkce má v bodeˇ x = 2 lokální minimum. Funkˇcní hodnota je f (2) = 4.
4. f 0 (x) =
2x·(x−1)−x2 ·1 (x−1)2
f 0 (x) = 0 x · (x − 2) = 0 (x − 1)2 x=0∨x=2 5. MAX 0
min 1
2
=
x2 −2x (x−1)2
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
min 1
2
Vypoˇcteme druhou derivaci s využitím pravidla pro derivování podílu funkcí a upravíme.
6. f 00 (x) =
x2 −2x (x−1)2
0
=
(2x−2)(x−1)2 −(x2 −2x)·2(x−1) (x−1)4
=
2 (x−1)3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
min 1
2
Hledáme ˇrešení rovnice f 00 (x) = 0.
6. f 00 (x) =
f 00 (x)
x2 −2x (x−1)2
=
0 0
=
(2x−2)(x−1)2 −(x2 −2x)·2(x−1) (x−1)4
=
2 (x−1)3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
min 1
2
Dosadíme.
6. f 00 (x) =
x2 −2x (x−1)2
0
f 00 (x)
=
0
2 (x − 1)3
=
0
=
(2x−2)(x−1)2 −(x2 −2x)·2(x−1) (x−1)4
=
2 (x−1)3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
min 1
2
Pro každé x ∈ Df je f 00 (x) 6= 0. Nulové body 2. derivace nemá, bod x = 1 je bod, kde funkce není definována.
6. f 00 (x) =
f 00 (x)
x2 −2x (x−1)2
=
0
=
(2x−2)(x−1)2 −(x2 −2x)·2(x−1) (x−1)4
0
2 = 0 (x − 1)3 f 00 (x) 6= 0 ∀x ∈ R\{1}
=
2 (x−1)3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
min 1
2
Na osu x vyneseme bod x = 1. Tento bod urˇcuje intervaly (−∞, 1), (1, +∞).
6. f 00 (x) =
f 00 (x)
x2 −2x (x−1)2
=
0
=
(2x−2)(x−1)2 −(x2 −2x)·2(x−1) (x−1)4
0
2 = 0 (x − 1)3 f 00 (x) 6= 0 ∀x ∈ R\{1} 7. 1
=
2 (x−1)3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
min 1
2
Dosazením napˇr. x = 0 zjistíme, že f 00 (x) < 0 na intervalu (−∞, 1). Tzn., že funkce f je zde konkávní.
6. f 00 (x) =
f 00 (x)
x2 −2x (x−1)2
=
0
=
(2x−2)(x−1)2 −(x2 −2x)·2(x−1) (x−1)4
0
2 = 0 (x − 1)3 f 00 (x) 6= 0 ∀x ∈ R\{1} 7. 1
=
2 (x−1)3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
min 1
2
Dosazením x = 2 zjistíme, že f 00 (x) > 0 na intervalu (1, ∞). Navíc v bodeˇ x = 2 je lok. minimum, tzn., že funkce f musí být konvexní na intervalu (1, ∞).
6. f 00 (x) =
f 00 (x)
x2 −2x (x−1)2
=
0
=
(2x−2)(x−1)2 −(x2 −2x)·2(x−1) (x−1)4
0
2 = 0 (x − 1)3 f 00 (x) 6= 0 ∀x ∈ R\{1} 7. 1
=
2 (x−1)3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
min 1
2
Bod x = 1 není inflexním bodem funkce f , −1 6∈ Df .
6. f 00 (x) =
f 00 (x)
x2 −2x (x−1)2
=
0
=
(2x−2)(x−1)2 −(x2 −2x)·2(x−1) (x−1)4
0
2 = 0 (x − 1)3 f 00 (x) 6= 0 ∀x ∈ R\{1} 7. není infl. 1
=
2 (x−1)3
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
ˇ ˇ Urˇcíme asymptoty se smernicí ke grafu funkce f pro x → +∞ i x → −∞. Poˇcítáme smernici asymptoty y = k1 x + q1 ke grafu funkce f pro x → +∞.
8. k1 = lim
x→+∞
f (x) x
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
ˇ Poˇcítáme smernici k1 asymptoty y = k1 x + q1 ke grafu funkce f pro x → +∞.
8. k1 = lim
x→+∞
f (x) x
= lim
x→+∞
x x−1
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
ˇ Smernice asymptoty pro x → +∞ je k1 = 1.
8. k1 = lim
x→+∞
f (x) x
= lim
x→+∞
x =1 x−1
min
není infl.
2
1
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
ˇ Poˇcítáme smernici k2 asymptoty y = k2 x + q2 ke grafu funkce f pro x → −∞.
8. k1 = lim
f (x) x
k2 = lim
f (x) x
x→+∞
x→−∞
= lim
x→+∞
x =1 x−1
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
ˇ Poˇcítáme smernici k2 asymptoty y = k2 x + q2 ke grafu funkce f pro x → −∞.
8. k1 = lim
f (x) x
k2 = lim
f (x) x
x→+∞
x→−∞
x =1 x−1 x = lim x→−∞ x − 1
= lim
x→+∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
ˇ Smernice asymptoty pro x → −∞ je k2 = 1.
8. k1 = lim
f (x) x
k2 = lim
f (x) x
x→+∞
x→−∞
x =1 x−1 x = lim =1 x→−∞ x − 1
= lim
x→+∞
min
není infl.
2
1
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
Poˇcítáme q1 pro asymptotu y = k1 x + q1 .
8. k1 = lim
f (x) x
k2 = lim
f (x) x
x→+∞
x→−∞
x =1 x−1 x = lim =1 x→−∞ x − 1
= lim
x→+∞
q1 = lim (f (x) − k1 x) x→+∞
min
není infl.
2
1
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
Poˇcítáme q1 pro asymptotu y = k1 x + q1 .
x =1 x−1 x k2 = lim f (x) = lim =1 x→−∞ x x→−∞ x − 1 2 x q1 = lim (f (x) − k1 x) = lim −x x→+∞ x→+∞ x − 1
8. k1 = lim
x→+∞
f (x) x
= lim
x→+∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
Poˇcítáme q1 pro asymptotu y = k1 x + q1 .
x =1 x−1 x k2 = lim f (x) = lim =1 x→−∞ x x→−∞ x − 1 2 x x q1 = lim (f (x) − k1 x) = lim − x = lim =1 x→+∞ x→+∞ x − 1 x→+∞ x − 1
8. k1 = lim
x→+∞
f (x) x
= lim
x→+∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
Podobneˇ se vypoˇcítá q2 pro asymptotu y = k2 x + q2 .
x =1 x−1 x k2 = lim f (x) = lim =1 x→−∞ x x→−∞ x − 1 2 x x q1 = lim (f (x) − k1 x) = lim − x = lim =1 x→+∞ x→+∞ x − 1 x→+∞ x − 1 q2 = lim (f (x) − k2 x) = 1
8. k1 = lim
x→+∞
x→−∞
f (x) x
= lim
x→+∞
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
ˇ Existuje jediná asymptota se smernicí, pˇrímka y = x + 1.
x =1 x−1 x k2 = lim f (x) = lim =1 x→−∞ x x→−∞ x − 1 2 x x q1 = lim (f (x) − k1 x) = lim − x = lim =1 x→+∞ x→+∞ x − 1 x→+∞ x − 1 q2 = lim (f (x) − k2 x) = 1
8. k1 = lim
x→+∞
f (x) x
= lim
x→+∞
x→−∞
ˇ asymptota se smernicí: y = k1 x + q1 = k2 x + q2 = x + 1
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Protože lim
x→1±
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
x2 ˇ = ±∞, má graf funkce f také asymptotu bez smernice, pˇrímku x = 1. x−1
x =1 x−1 x k2 = lim f (x) = lim =1 x→−∞ x x→−∞ x − 1 2 x x q1 = lim (f (x) − k1 x) = lim − x = lim =1 x→+∞ x→+∞ x − 1 x→+∞ x − 1 q2 = lim (f (x) − k2 x) = 1
8. k1 = lim
x→+∞
f (x) x
= lim
x→+∞
x→−∞
ˇ asymptota se smernicí: y = k1 x + q1 = k2 x + q2 = x + 1 ˇ asymptota bez smernice: x=1
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
Naˇcrtneme graf funkce f . Zakreslíme souˇradný systém.
y 5 4 3 2 1
−2
−1 −1 −2 −3
0
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
ˇ Vyneseme pruseˇ ˚ cík s osou x, znaménka funkce rozhodují o tom, jak se funkˇcní hodnoty mení z kladných na záporné nebo naopak. y 5 4 3 2 1
−2
−1 −1 −2 −3
0
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
Vypoˇcítali jsme limity
MAX 1
není infl.
2
1
1
lim
ˇ f (x) = ±∞. Cásteˇ cneˇ si je mužeme ˚ naznaˇcit do grafu spoleˇcneˇ
x→±∞
0
min
0
ˇ s asymptotou se smernicí y = x + 1. y 5 4 3 2 1
−2
−1 −1 −2 −3
0
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
ˇ Vypoˇcítali jsme limity lim f (x) = ±∞. Cásteˇ cneˇ si je mužeme ˚ naznaˇcit do grafu spoleˇcneˇ x→1±
ˇ s asymptotou bez smernice x = 1. y 5 4 3 2 1
−2
−1 −1 −2 −3
0
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
Zjistili jsme lokální extrémy. V bodeˇ x = 0 je lokální maximum, jeho hodnota je f (0) = 0. V bodeˇ x = 2 má funkce lokální minimum, f (2) = 4. Inflexní body funkce f nemá. y 5 4
LMIN
3 2
LMAX
−2
1
−1 −1 −2 −3
0
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
Na intervalu (−∞, 0) je funkce f rostoucí a konkávní.
y 5 4
LMIN
3 2
LMAX
−2
1
−1 −1 −2 −3
0
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
Na intervalu (0, 1) je funkce f klesající a konkávní.
y 5 4
LMIN
3 2
LMAX
−2
1
−1 −1 −2 −3
0
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
Na intervalu (1, 2) je funkce f klesající a konvexní.
y 5 4
LMIN
3 2
LMAX
−2
1
−1 −1 −2 −3
0
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Pˇríklad 1
f (x) =
x2 x−1
MAX 0
1
0
1
min
není infl.
2
1
Na intervalu (2, ∞) je funkce f rostoucí a konvexní.
y f 5 4
LMIN
3 2
LMAX
−2
1
−1 −1 −2 −3
0
x 1
2
3
4
ˇ funkce (1. - 2. lekce) Prub ˚ eh ˇ funkce Prub ˚ eh Úlohy na procviˇcení
Pˇríklad 2 ˇ funkcí: Vyšetˇrete prub ˚ ehy a) f : y = x3 − 2x, b) f : y = x4 − 6x2 + 5, 1 − x3 c) f : y = , x2 x3 . d) f : y = (x − 1)3
