Základy teorie navrhování konstrukcí 1. Základní pojmy, vztahy, definice Navrhování – nalezení rozměrů prvků konstrukční soustavy s cílem dosáhnout požadované provozní spolehlivosti navrhovaného inženýrského díla. Návrh obsahuje do jisté míry i optimalizaci konstrukce, která se však zatím obvykle opírá o inženýrskou intuici. Součástí návrhu je také stanovení spojovacích prostředků konstrukčních prvků a též nalezení způsobů vyztužení prvků (např. beton – ocelové pruty či přepínací kabely). Vymezení pojmu spolehlivosti je založeno na vnímání konstrukční soustavy a jejího zatížení jako systém, který je definován množinou veličin, vystihujících zejména: 1. materiálové vlastnosti konstrukce 2. rozměry konstrukce 3. způsob zatížení. Obvykle za systém považujeme místo konstrukční soustavy její teoretický model vytvořený k její analýze a který je zjednodušením skutečnosti. Systém a rovněž veličiny jsou v reálném světě zatíženy nejistotami. S nejistotami se snažíme vypořádat při tvorbě teoretického modelu, který je idealizací skutečnosti (např. délka teoretického rozpětí závislá na nejisté poloze reakcí v uložení trámu, desky). Proto při tvorbě modelů je vhodné čerpat zkušenosti z podobných konstrukcí, které byly ověřovány experimentálně (např. na staveništi – in situ). Tím můžeme množství nejistot zmenšit, ale nemůžeme je zcela odstranit. Zejména se to týká konstrukcí dopravních staveb, neboť tyto konstrukce nejsou opakovatelné, dále se obvykle každá jednotlivá realizace liší od návrhu. Nejistoty veličin pramení z toho, že přejímáme informace (např. modul pružnosti, mez kluzu, vlastní hmotnost atp.) získané ověřováním podobných, ale ne zcela identických konstrukcí. Nejistoty: a) náhodné veličiny (náhodnosti): mohou být objektivně odhadnuty metodami statistiky. b) mlhavé (vágní) veličiny: subjektivní hodnocení (na základě zkušenosti) umožňuje stanovit jejich možné meze )např. stupeň nasycení pórů zeminy vodou). Spadá sem většina nejistot systému Matematický aparát umožňuje hodnotit nejistoty mlhavé povahy je vybudován na fuzzy logice. Oba druhy nejistot ovlivňují spolehlivost systému. Def.: Spolehlivostí rozumíme schopnost systému zachovávat požadované vlastnosti po předem stanovenou dobu technického života – životnost. Ztrátu požadované vlastnosti nazýváme poruchou. Vznik poruchy se popisuje podmínkami překročení mezního stavu. Různé kritické stavy, kterých by konstrukce mohla dosáhnout během své životnosti dělíme do dvou hlavních skupin: 1. Mezní stavy únosnosti: zahrnuje všechny typy chování konstrukce při selhání (kolapsu) – porušení konstrukce lomem, ztrátou stability atp. 2. Mezní stavy použitelnosti: převážně svázány s vlivy deformací (včetně dlouhodobých). Zahrnují i lokalizované deformace (trhlina), nadměrné vibrace. Dosažení mezního stavu
R=S
odolnost
účinek zatížení
1
Příklady: 1) Mezní stav únosnosti nosníku namáhaného na ohyb: S - výsledný momentový účinek vnějších sil působících po jedné straně průřezu. R – hodnota ohybového momentu, který je průřez schopen přenést. 2) Mezní stav použitelnosti: S – specifická hodnota přetvoření (průhyb, pootočení) nosníku způsobená zatížením. R – příslušná mezní hodnota přetvoření. Rezerva spolehlivosti Z = R−S > 0 Když R,S jsou nezávislé náhodné veličiny, podmínka nezápornosti R vede obecně k nesymetrickému rozdělení pravděpodobnosti této veličiny (doporučuje se tříparametrické lognormální rozdělení). Pro častý nedostatek potřebných statistických dat se dává přednost normálnímu rozdělení N ( µ R , σ R ) a N ( µ S , σ S ) , kde µ jsou příslušné průměry a σ jsou směrodatné odchylky. Normální rozdělení náhodné veličiny Z = R − S ⎡ (Z − µ Z )2 ⎤ 1 exp ⎢− f Z (Z ) = ⎥ σ Z2 ⎦ 2π σ Z ⎣ µZ = µR − µS a σ Z2 = σ P2 + σ P2 . kde
Pravděpodobnost poruchy Pf pro Z < 0
Pf = P(Z < 0) =
0
∫ f (Z )dZ Z
−∞
Výpočet se provede transformací na normovanou náhodnou veličinu Z − µZ u= µu = 0 σu =1
σZ
Po úpravě pravděpodobnost poruchy β
u2
− 1 P f = P (Z < 0 ) = e 2 du = Φ(− β ) ∫ 2π − ∞ kde integrand je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení.
Byl zaveden alternativní ukazatel spolehlivosti, tzv. index spolehlivosti β =
µZ . σZ
Pf
2
Současná filozofie navrhování vyjádřená grafem.
návrhový bod – přísluší mu největší pravděpodobnost poruchy pro všechny směry jdoucím bodem [µ R, µ S ]
Pravděpodobnostní pojetí míry spolehlivosti. Míra spolehlivosti (SPOLEHLIVOST) je pravděpodobnost náhodného jevu P T * , že
( )
po předem stanovenou dobu T * nedojde k poruše systému, tj. P T * = 1 − Pf
( )
Míra spolehlivosti se v důsledku některých veličin systému a zatížení s časem mění. Jednoduše lze tvrdit, že pokud se neprovádí údržba a opravy systému, pravděpodobnost vzniku poruch s časem roste a míra spolehlivosti klesá. Kromě indexu spolehlivosti se někdy užívá stupeň spolehlivosti 1 r = log = − log Pf Pf Směrná hodnota β pro návrhovou životnost pro životnost 1 rok*) únosnosti 3,8 4,7 použitelnosti 1,5 3 *) pro ověřování dočasných situací Hodnoty β a pravděpodobnosti poruchy jsou pouze formálními prostředky, které se zavádějí s cílem vybudovat jednotná pravidla pro navrhování konstrukcí. Mezní stav
Praktické navrhování Metody spolehlivostní analýzy jsou roztříděny do 3 úrovní: I. úroveň – zahrnuje metody navrhování a požadovanou míru spolehlivosti na bázi konstrukčního prvku stanovením dílčích součinitelů spolehlivosti a charakteristických hodnot základních veličin.
3
II. úroveň – zahrnuje metody, které zjišťují pravděpodobnost poruchy v určitých bodech hranice mezního stavu. Mezi základní metody patří metoda prvního řádu FORM (First Order Reliability Method). Vede ke stanovení indexu spolehlivosti β. III. úroveň – zahrnuje metody pravděpodobnostní analýzy konstrukčního systému jako celku. Základem Eurokódů (Structural Eurocodes) jsou metody navrhování I. úrovně.
2. Současné metody navrhování V současnosti tvoří I.úroveň spolehlivostní analýzy metoda dílčích součinitelů (často metoda mezních stavů) – partial safety factors. Této metodě předcházely: a) metoda dovolených namáhání – permissible (allowable, working) stresses method b) metoda stupně bezpečnosti – load factor method Každá z těchto metod uvažuje vhodným způsobem nejistoty systému a veličin.
2.1. Metoda dovolených namáhání Rozšířila se již v 19. století. Zatížení se definuje přesně, odezva konstrukce na toto zatížení se vyšetřuje pomocí teorie pružnosti. Konstrukce je považována za bezpečnou, jestliže vypočtená napětí jsou menší než dovolená napětí (dovolená namáhání). Nedostatek metody – metoda nerespektuje nejistoty systému a jeho veličin zjevnou formou, jsou zváženy implicitně. Jsou zváženy: a) V konzervativních předpokladech o rozložení napětí podle teorie pružnosti. b) Ve způsobu určení zatížení (používají se odhady středních hodnot vlastní tíhy, odhady maxim pro zatížení užitná a statistické odhady pro zatížení větrem). c) Ve způsobu určení dovolených namáhání. Dovolené namáhání se odvozuje z mezního napětí (pro teorii pružnosti je to pro ocel průměrná hodnota meze kluzu, u betonu průměrná hodnota pevnosti v tlaku a pod.). Dovolené namáhání je definováno jako podíl příslušné mezní hodnoty a součinitele bezpečnosti. Např. pro ocelové konstrukce se za vhodný součinitel bezpečnosti považuje 1,5. Ocel s mezí 240 = 160 MPa kluzu 240 MPa má dovolené namáhání 1,5 Příklad Navrhněte rozměry obdélníkového průřezu nosníku metodou dovolených namáhání. Materiál je ocel s mezí kluzu R y . Úloha je 3x staticky neurčitá, symetricky uspořádaná i zatížená. Z toho vyplývá, že svislá reakce na obou stranách je rovna F, stejně jako moment ve vetknutí je stejný M 2 , normálová síla je nulová. Uvolníme vazbu v levé podpoře. Potom M (x ) = M 2 + F ⋅ x v úseku 1,2 v úseku 2,2′
4
l⎞ ⎛ M (x ) = M 2 + F ⋅ x − F ⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝
Užitím Clebschovy metody w′′ = −
M (x ) EJ
w′ = − ∫
a pro okrajové podmínky: x = 0, w′ = 0 ⇒ l x = , w′ = 0 2 2
Dostaneme
l F l2 F ⎛ l l ⎞ − ⎜ − ⎟ =0 M2 − 2 2 4 2 ⎝ 2 3⎠ l 2 Fl Fl M1 = F − = 3 9 9
⇒
M2 = −
M (x ) dx + C1 EJ C1 = 0
2 Fl 9
2 Pro určení rozměrů průřezu máme 2 neznámé b,h. Zvolíme b : h = 2 : 3 , resp. b = h . 3 Napětí v krajních vláknech průřezu za ohybu M h M h 2 Fl 6 4 Fl 3 2 Fl σ max = ⋅ = 23 ⋅ = = ⋅ = I 2 bh 2 9bh 2 3h 2 2h h 3 12 Z podmínky
σ max =
2 Fl h
3
≤ σ dov
⇒
hdov ≥ 3
2 Fl
σ dov
resp.
hdov ≥ 3
3Fl Ry
2.2. Metoda stupně bezpečnosti Základy položeny již v r.1849. Metoda odvozuje únosnost průřezu z rozložení napětí v plastickém stavu, což zahrnuje odezvu konstrukce na účinky zatížení i dle teorie pružnosti. Metodu lze představit na nosníku namáhaném na ohyb. Nosník je bezpečný, když ve všech průřezech je M pl ≥ s ⋅ M kde
M pl M s
je plastická únosnost průřezu při ohybu je ohybový moment způsobený zatížením je předepsaný stupeň bezpečnosti
5
V plastickém stavu se připouští redistribuce ohybových momentů, tj. přiblížení momentového obrazce k průběhu dle teorie plasticity. Vyjdeme-li z teorie plasticity s cílem nalézt velikost zatížení f pl , které za předpokladu tuhoplastického modelu vede k plastickému mechanizmu (kolaps), lze si stupeň bezpečnosti představit jako součinitel zatížení v rovnici f pl = s ⋅ f kde f je reálné zatížení přenášené konstrukcí. Ten nás potom informuje o „plastické rezervě“ konstrukce. Ta závisí na: a) tvaru průřezu b) stupni statické neurčitosti Příklady modelů chování materiálu tuhoplastický
pružnoplastický
Ale ani metoda stupně bezpečnosti není schopna zjevnou formou specifikovat nejistoty systému. Jsou skryty při tvorbě výpočetního modelu a v odhadech pro zatížení a ve volbě vysokých hodnot požadovaných stupňů bezpečnosti. Příklad Stejný návrh obdélníkového průřezu stejného nosníku dle metody stupně bezpečnosti s plastickou Ry rezervou konstrukce σ dov = 1,5 Mezní plastický stav nosníku (viz obrázek) 1 1 ⎛ 2h ⎞ 1 − M 2 = M 1 = M pl = W pl ⋅ R y = bh 2 ⋅ R y = ⎜ ⎟h 2 ⋅ R y = h 3 ⋅ R y 4 4⎝ 3 ⎠ 6 l Neznámou hodnotu s stanovíme z momentové podmínky k průřezu x = 3 6M pl l l − M pl + s ⋅ F ⋅ = M pl ⇒ s ⋅ F = 2 M pl ⇒ s = 3 3 Fl Ry bylo odvozeno, že výška průřezu Připomeňme si, že pro dovolené namáhání σ dov = 1,5 hdov ≥ 3
3Fl . Z toho a výše uvedeného vztahu Ry
1 1 3Fl Fl M pl = h 3 ⋅ R y = = 6 6 Ry 2
a potom
6
s=
6M pl Fl
=
6 Fl =3 Fl 2
Z toho plyne, že pro konstrukci navrženou dle metody dovolených namáhání vychází stupeň bezpečnosti s = 3 . Znamená to, že spokojíme-li se s nižší hodnotou stupně bezpečnosti, můžeme ušetřit na rozměrech průřezu. 6M pl
Např. pro s = 2
2=
tedy
h pl
Z toho
h pl = hdov 3
Fl 2 Fl =3 Ry
⇒
M pl =
Fl 1 3 = h ⋅ Ry 3 6
ale dle dovol. namáhání
hdov ≥ 3
3Fl . Ry
2 = 0,873 ⋅ hdov 3
Tato metoda má však 2 problémy: 1) Kdybychom uvažovali staticky určitý nosník navržený metodou dovolených namáhání, vyšel by stupeň bezpečnosti podstatně nižší než u staticky neurčitého. Pružný stav 4 ⋅ We R y 4We 1 σ dov ⋅We = Fl ⇒ F = σ dov = ⋅ l 4 1,5 l W pl 1 potom s ⋅ Fl = R y ⋅W pl = 1,15 Plastický stav a protože We 4 4W 1 s ⋅ Fl = R y ⋅1,15 ⋅We ⇒ s ⋅ F = R y ⋅1,15 e l 4 Z toho po dosazení do posledního výrazu za F R y 4We 4W s⋅ ⋅ = R y ⋅1,15 e ⇒ s = 1,725 < 3 1,5 l l 2) Podélné deformace ε x v nejvíce namáhaných oblastech (v nichž se tvoří plastické klouby) prudce rostou a mohou nabýt nepřípustně velkých hodnot ještě před dosažením plastického stavu. Proto je nutné při aplikaci teorie plasticity prokázat dostatečnou tažnost této oblasti.
2.3 Metoda dílčích součinitelů -
společným nedostatkem uvedených tradičních metod navrhování je skutečnost, že v porovnání s výpočtem odezvy konstrukce na dané zatížení S, je hodnocení bezpečnosti konstrukce, do něhož vstupuje odolnost R, v podstatě triviální tato metoda vznikla v šedesátých letech v tehdejším SSSR ve snaze obě složky navrhování lépe určit a vyvážit rychle se rozšířila po celém světě pod názvem metoda mezních stavů (limit state design) tento název je zavádějící, neboť každý mezní stav (kritický stav), který se může vyskytnout během navrhované životnosti, musí být zvážen kteroukoli metodou navrhování v současnosti se za vyhovující návrh považuje ten, pro jehož návrhové hodnoty není dosaženo mezních stavů: S d (Fd , a d , Θ d ) < Rd ( f d , a d , Θ d ) 7
kde
Sd Rd Fd fd ad. Θd
účinek zatížení odolnost konstrukce zatížení vlastnosti materiálů geometrické vlastnosti (rozměry) nejistoty modelu
Jak stanovit návrhové hodnoty?
-
-
pokud by bylo k dispozici dostatečné množství údajů, z nichž by bylo možno stanovit rozdělení pravděpodobnosti veličin S a R, bylo by možné určit návrhové hodnoty tak, aby nerovnost Sd
S d ) = φ (− α S β ) 0 ≤ αS ≤1 αR, αS jsou modifikovány jako váhové součinitele, jimiž se váží význam veličin S, R z hlediska bezpečnosti konstrukce
Metoda dílčích součinitelů dle EUROKÓDŮ
-
-
v eurokódech se veličiny Fd, fd, ad nezavádějí přímo, ale prostřednictvím svých charakteristických hodnot Fk, fk, ak, které se definují jako hodnoty: o s předepsanou pravděpodobností překročení (Fk, fk) o maximální hodnoty (nejsou vztaženy k určitému rozdělení pravděpodobnosti), zejména ak k charakteristickým hodnotám je přiřazen soubor součinitelů spolehlivosti γ a kombinačních součinitelů ψ návrhové hodnoty základních veličin se stanoví takto: o zatížení: Fd = γ f Fk Fd = γ f ψFk o materiálové vlastnosti:
-
-
fd =
fk
γm o geometrické vlastnosti: a d = a nom ± ∆a dílčí součinitele mají být stanoveny se zřetelem: o k nepříznivým odchylkám od charakteristických hodnot o k nepřesnosti modelu zatížení a modelu konstrukce o k nepřesnostem převodních součinitelů, jimiž se převádějí výsledky experimentů do předpisů (faktor velikosti, prostředků apod.) číselné hodnoty dílčích součinitelů se stanovují: o kalibrací vzhledem k dlouhodobě ověřené stavební tradici o statistickým vyhodnocením experimentálních dat a porovnáním v rámci teorie spolehlivosti
8
Tabulka 2.1: Přehled dílčích součinitelů označení γf ψ zatížení
ψ0 ψ1 ψ2
materiálové vlastnosti
γm
geometrické vlastnosti
∆a
γSd modelové nejistoty γRd
popis přihlíží k možným nepříznivým odchylkám zatížení od charakteristických hodnot přihlíží k možnému snížení návrhových hodnot, jeho uplatněním v podobě ψ0, ψ1, ψ2 získáme vedle charakteristických hodnot zatížení další reprezentativní hodnoty, a to: kombinační hodnota ψ0: Fk má přibližně stejnou pravděpodobnost přestoupení hodnot kombinovaného zatížení jako jediné zatížení častá hodnota ψ1: Fk může být přestoupena nejvýše v 5% času nebo 300krát za rok kvazistálá hodnota ψ2: Fk odpovídá průměrné hodnotě vzhledem k času, popř. hodnotě s pravděpodobností přestoupení 50% přihlíží: - k možnosti nepříznivých odchylek materiálových vlastností od charakteristických hodnot - k systematickému vlivu převodních součinitelů přihlíží: - k možnosti nepříznivých odchylek geometrických dat od charakteristických hodnot vymezených stanovenými tolerancemi - k významu odchylek - ke kumulativnímu vlivu současného výskytu odchylek několika geometrických veličin přihlíží: - k nejistotám modelu zatížení - k nejistotám modelu účinku zatížení přihlíží: - k nejistotám modelu odolnosti, jestliže nejsou zahrnuty v samotném modelu
9
3 Příklady návrhu a posouzení konstrukcí 3.1 Metoda dovolených namáhání (klasická teorie) Příklad 1 Stanovte dovolené zatížení (únosnost) železobetonového obdélníkového průřezu namáhaného prostým ohybem s rozměry dle obrázku provedeného z betonu 170 (e). Dovolené namáhání oceli je ka=1200kp/cm.
σ
φ
σ
N
Ea k a = Eb k b
n=
-
veličinu e určíme z rovností statických momentů průřezové plochy tlačeného betonu a n-násobné plochy tažené výztuže k neutrální ose statický moment průřezu k neutrální ose je roven nule statický moment tlačeného betonu k neutrální ose: Sb=1/2be2 statický moment náhradní plochy tažené ocelové výztuže: Sa=n.Fa(h-e)
1 2 be k b = k a Fa (h − e ) 2 1 2 ka be = Fa (h − e ) kb 2 1 2 be = nFa (h − e ) 2 1 2 be + nFa e − nFa h = 0 2 e=
N
− nFa ±
(nFa )2 + 4 b nFa h 2
b
=
nFa b
⎞ ⎛ ⎜ − 1 ± 1 + 2bh ⎟ ⎜ nFa ⎟⎠ ⎝ 10
-
dosadíme hodnoty:
n=15, Fa=9,45cm2 (pro pruty 3∅20), b=30cm, h=47cm
15 * 9,45 ⎛ 2 * 30 * 47 ⎞ ⎜−1± 1+ ⎟ 30 ⎜⎝ 15 * 9,45 ⎟⎠ e = 16,8cm - odtud určíme hodnotu r: e 16,8 r = h − = 47 − 3 3 r = 41,4cm e=
napětí v betonu: 1 e⎞ ⎛ M = σ b be⎜ h − ⎟ 2 3⎠ ⎝ 2M 2M σb = = e ⎞ ber ⎛ be⎜ h − ⎟ 3⎠ ⎝ - napětí ocelové výztuže: e⎞ ⎛ M = σ a Fa ⎜ h − ⎟ 3⎠ ⎝ M σa = e⎞ ⎛ Fa ⎜ h − ⎟ 3⎠ ⎝ -
-
-
pro železobeton 170 (v klasické teorii značený e) je dovolené namáhání v tlaku za ohybu: kb=48kp/cm2 maximální ohybový moment v betonu: k ber 48 * 30 * 16,8 * 41,4 Mb = b = = 5 * 10 5 kpcm 2 2 maximální ohybový moment v oceli: M a = k a Fa r = 1200 * 9,43 * 41,4 = 4,68 *10 5 kpcm statickou platnost má menší z obou vypočtených ohybových momentů, neboť napětí oceli ani betonu nesmi překročit dovolené namáhání rozhodující je tedy: M a = 4680kpm - únosnost !!!
-
napětí v oceli je pak: σ a = k a = 1200kpcm 2
-
2M 2 * 4,68 * 10 5 napětí v betonu: σ b = = = 45kp / cm 2 < 48kp / cm 2 ber 30 * 16,8 * 41,4
-
-
3.2 Stupeň bezpečnosti Příklad 1 Obdélníkový průřez rozměrů 30/70 provedený z betonu 250 je namáhán ohybovým momentem M=17Mpm při hlavním zatížení. Navrhněte jeho výztuž z oceli s převodním součinitelem C=1,15.
11
¾ pro ocel platí: o σ = 2300kp/cm2 o E = 2,1*106 kp/cm2 o Fa=C*Fv Fa – náhradní plocha výztuže Fv - skutečná plocha výztuže
Fa
zatížení hlavní celkové
-
-
Stupeň bezpečnosti pro železobetonové konstrukce S0 sloupy, klenby, podpěry ostatní části konstrukce, výztuž v tahu i tlaku 2,2 1,9 1,9 1,65
zde použijeme: S0=1,9 h 67 určíme α: α = = = 0,204 Mm 1,7 *10 6 *1,9 b 30 při návrhu používáme obvykle tabulky a pro toto α najdeme β = 0,234 při stupni vyztužení µ=1,15 určíme Fa: β Mm Fa = b 100 b 0,234 1,7 *10 6 *1,9 * 30 100 30 Fa = 23,10cm 2 použijeme výztuž 6∅22, Fa = 26,23 cm2, Na = 60,33 Mp Fa =
-
Posouzení: - pozn.: κb –mezní napětí betonu v tlaku za ohybu, κb (beton 250)=207 kp/cm2 2,2 ⎞ φ⎞ ⎛ ⎛ h = d − ⎜ 2 + ⎟ = 70 − ⎜ 2 + ⎟ = 66,9cm 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ Nb 60,33 *10 6 rb = h − = 66,9 − = 62,05cm 2bκ b 2 * 30 * 207 M N r 60330 * 0,6205 S= m = b b = = 2,9 < 1,9 M M 17
12
