Cviˇ cen´ı 3 - teorie T´ ema: Teorie pravdˇepodobnosti
Teorie pravdˇepodobnosti vych´az´ı ze studia n´ahodn´ ych pokus˚ u. N´ ahodn´ y pokus Proces, kter´ y pˇri opakov´an´ı d´av´a ze stejn´ ych podm´ınek rozd´ıln´e v´ ysledky. V´ ysledek pokusu nen´ı pˇredem zn´am (v´ ysledek nen´ı jednoznaˇcnˇe urˇcen jeho podm´ınkami), je to vˇsak pr´avˇe jeden z prvk˚ u zn´am´e mnoˇziny v´ ysledk˚ u, kterou naz´ yv´ame z´akladn´ı prostor (v´ ybˇ erov´ y prostor) Ω. Element´ arn´ı n´ ahodn´ e jevy Prvky z´akladn´ıho prostoru naz´ yv´ame element´arn´ı n´ahodn´e jevy (ω1 , ω2 , ..., ωn ). Tedy: kaˇzd´a podmnoˇzina z´akladn´ıho prostoru Ω se naz´ yv´a n´ahodn´ y jev (znaˇc´ıme A, B, ...), pˇriˇcemˇz pr´azdn´a podmnoˇzina se naz´ yv´a jev nemoˇzn´ y, oznaˇcujeme ∅ a cel´ y z´akladn´ı prostor jev jist´ y, oznaˇcujeme I. Pˇr´ıklad 1 Pˇr´ıkladem n´ahodn´eho pokusu je hod hrac´ı kostkou. • N´ahodn´ y pokus: hod hrac´ı kostkou. • Element´arn´ı jevy: ”padne 1”(ω1 ), ”padne 2”(ω2 ), ..., ”padne 6”(ω6 ) • Neboli jevy ω1 , ..., ω6 vymezuj´ı z´akladn´ı prostor Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • V tomto z´akladn´ım prostoru mohou nastat napˇr. n´asleduj´ıc´ı jevy: a) ”Padne lich´e ˇc´ıslo”, A = {ω1 , ω3 , ω5 } = {1, 3, 5} b) ”Padne ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 4”, B = {ω5 , ω6 } = {5, 6} c) ”Padne ˇc´ıslo 8”, C = ∅ d) ”Padne ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz 7”, D = I = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Pravdˇ epodobnost Pravdˇepodobnost je ˇc´ıseln´e vyj´adˇren´ı ”nadˇeje”, ˇze dan´ y jev A nastane. Pˇriˇrazuje n´ahodn´emu jevu A re´aln´e ˇc´ıslo z intervalu h0, 1i. • Pravdˇepodobnost jevu A znaˇc´ıme P (A). • Pravdˇepodobnost splˇ nuje n´asleduj´ıc´ı: a) 0 ≤ P (A) ≤ 1 b) P (I) = 1 (nˇeco se mus´ı st´at), P (∅) = 0 c) P (A) = 1 − P (nonA)
1
Definice klasick´ e pravdˇ epodobnosti V pˇr´ıpadˇe, ˇze jsou vˇsechny jevy stejnˇe pravˇepodobn´e, pak pravdˇepodobnost jevu A je definov´ana jako: |A| |A| = P (A) = |Ω| N kde |A| znaˇc´ı poˇcet prvk˚ u mnoˇziny A (neboli poˇcet pˇr´ızniv´ ych element´arn´ıch jev˚ u pro A) a N (ˇci |Ω|) je celkov´ y poˇcet jev˚ u. Pravidla pro poˇ c´ıt´ an´ı pravdˇ epodobnost´ı • Pravidlo sˇc´ıt´an´ı: pravdˇepodobnost jevu A nebo B. a) P (A ∪ B) = P (A) + P (B), kdyˇz A a B se vz´ajemnˇe vyluˇcuj´ı b) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) obecnˇe • Pravidlo n´asoben´ı: pravdˇepodobnost jevu A a B. a) P (A ∩ B) = P (A) · P (B), kdyˇz A a B jsou nez´avisl´e b) P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A) obecnˇe Pˇr´ıklad 2 H´az´ıme symetrickou ˇsestistˇennou kostkou. S jakou pravdˇepodobnost´ı padne sud´e ˇc´ıslo? M´ame: • Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tedy N = 6. • A = [padne sud´e ˇc´ıslo] = {2, 4, 6}, tedy |A| = 3. • P (A) =
1 3 = 6 2
Pˇr´ıklad 3 H´az´ıme dvˇema kostkami (b´ılou a ˇcernou). Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze padne souˇcet alespoˇ n 10? M´ame: • Ω je mnoˇzina vˇsech uspoˇr´adan´ ych dvojic z ˇc´ısel 1, 2, 3, 4, 5, 6 (na kaˇzd´e kostce m˚ uˇze padnout ˇc´ıslo 1 aˇz 6). Vˇsech moˇznost´ı je: |Ω| = 6 · 6 = 36. • Pˇr´ızniv´e dvojice kombinac´ı jsou: A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Neboli |A| = 6. • P (A) =
6 1 = 36 6
Pˇr´ıklad 4 V kav´arnˇe je 20 lid´ı. 10 z nich m´a r´ado ˇcaj, 10 k´avu a 2 lid´e maj´ı r´adi ˇcaj i k´avu. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze n´ahodnˇe vybran´a osoba bude m´ıt r´ada ˇcaj nebo k´avu?
2
• C... z´akazn´ık m´a r´ad ˇcaj, K... z´akazn´ık m´a r´ad k´avu. • P (C) =
1 10 1 1 10 = , P (K) = = , P (C ∩ K) = 20 2 20 2 10
• P (C ∪ K) = P (C) + P (K) − P (C ∩ K) =
1 1 1 9 + − = 2 2 10 10
Pˇr´ıklad 5 V koˇs´ıku je 10 zelen´ ych a 10 modr´ ych kuliˇcek. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze Jana vyt´ahne postupnˇe dvˇe modr´e kuliˇcky? • M... vytaˇzena modr´a kuliˇcka • Chceme vypoˇc´ıtat P (M ∩ M ) = P (M ) · P (M |M ) 1 9 10 = , P (M |M ) = (jednu modrou kuliˇcku Jana jiˇz vyt´ahla, tedy 20 2 19 celkov´ y poˇcet kuliˇcek klesl na 19 a p˚ uvodn´ı poˇcet 10 modr´ ych na 9)
• P (M ) =
• P (M ∩ M ) = P (M ) · P (M |M ) =
9 1 9 · = 2 19 38
Nepodm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost P (A) Vypov´ıd´a o pravdˇepodobnosti v´ yskytu jevu A v situaci, kdy nem´ame ˇz´adn´e dodateˇcn´e informace o pr˚ ubˇehu nebo v´ ysledku experimentu. Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost P (A|B) Vypov´ıd´a o pravdˇepodobnosti v´ yskytu jevu A v situaci, kdy v´ıme, ˇze nˇejak´ y jin´ y jev B urˇcitˇe nastal (tj. m´ame dodateˇcnou informaci). Vypoˇc´ıt´ame ji jako P (A|B) =
P (A ∩ B) P (B)
Pozor, jevy A a B nelze prohazovat, jelikoˇz obecnˇe plat´ı P (A|B) 6= P (B|A) Nez´ avislost jev˚ u Jevy A a B naz´ yv´ame nez´avisl´e, pokud P (A ∩ B) = P (A)P (B) Necht’ jsou jevy A a B nez´avisl´e. Pak P (A|B) =
P (A ∩ B) P (A)P (B) = = P (A) P (B) P (B)
Pˇr´ıklad 6 Jestliˇze h´az´ım dvˇema mincemi, pravdˇepodobnost orla v druh´em hodu nez´avis´ı na tom, co
3
padne v prvn´ım hodu. Pˇr´ıklad 7 M´ame krabici se tˇremi b´ıl´ ymi a dvˇema ˇcern´ ymi koulemi. Vyt´ahneme postupnˇe dvˇe koule (prvn´ı nevrac´ıme zpˇet). Urˇcete pravdˇepodobnost toho, ˇze v druh´em tahu vyt´ahneme b´ılou kouli za pˇredpokladu, ˇze v prvn´ım tahu byla vytaˇzena ˇcern´a koule. • A: ve druh´em tahu vytaˇzena b´ıl´a koule. • B: v prvn´ım tahu vytaˇzena ˇcern´a koule. • Poˇc´ıt´ame P (A|B) = •
P (A ∩ B) P (B)
P (A ∩ B) 3 = (pravdˇepodobnost, ˇze v prvn´ım tahu vyt´ahnu ˇcernou kouli je P (B) = P (B) 4 2 3 ; pravdˇepodobnost, ˇze v druh´em tahu vyt´ahnu b´ılou kouli je P (A) = , pak 5 4 6 pravdˇepodobnost jevu P (A ∩ B) = ) 20
Statistick´ a definice pravdˇ epodobnosti Necht’ A je hromadn´ y jev. Nastane-li v n pokusech jev A pr´avˇe f (A) kr´at, definujeme: P (A) =
f (A) n
f (A) ˇ ıslo f (A) se naz´ je relativn´ı ˇcetnost jevu pˇri n C´ yv´a absolutn´ı ˇcetnost jevu A, ˇc´ıslo n pokusech. Pˇr´ıklad 8 Pˇri h´azen´ı minc´ı byly zjiˇstˇeny tyto v´ ysledky: Poˇ cet hod˚ u (n) 4 000 12 000 24 000 30 000
Poˇ cet padnut´ı l´ıce (f (A)) Relativn´ı ˇ cetnost 2 032 6 019 12 012 15 010
f (A) n
0,5080 0,5016 0,5005 0,5003
1 Z tabulky je zˇrejm´e, ˇze plat´ı: P (A) = pro n −→ ∞. Vysvˇetlen´ım je tzv. z´akon velk´ ych 2 ˇc´ısel. Z´ akon velk´ ych ˇ c´ısel Tento z´akon ˇr´ık´a, ˇze kdyˇz Xi jsou n´ahodn´e veliˇciny, tak pro jejich pr˚ umˇer X + X + ... + X 2 n ¯= 1 ¯ → µ pro n −→ ∞. Neboli kdyˇz zvol´ım dostateˇcnˇe velk´ X plat´ı X y n 4
vzorek populace, dostanu oˇcek´avanou hodnotu populace jako celku. Bayesova vˇ eta Bayesova vˇeta ud´av´a, jak podm´ınˇen´a pravdˇepodobnost P (A|B) souvis´ı s pravdˇepodobnost´ı opaˇcnˇe podm´ınˇen´eho jevu. P (A|B) =
P (B|A) · P (A) P (B|A) · P (A) = P (B) P (B|A) · P (A) + P (nonA) · P (B|nonA)
Pˇr´ıklad 9 ˇ Pˇribliˇznˇe 1% ˇzen ve vˇeku 40-50 let m´a rakovinu prsu. Zena maj´ıc´ı tuto nemoc m´a 90% ˇsanci, ˇze test, kter´ y podstoup´ı, je pozitivn´ı. Naopak ˇzena, kter´a rakovinou prsu netrp´ı, m´a 10% ˇsanci tzv. chybnˇe pozitivn´ıho v´ ysledku testu. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze m´a ˇzena rakovinu prsu, pr´avˇe kdyˇz je jej´ı test pozitivn´ı. • B... ˇzena m´a rakovinu prsu, A... pozitivn´ı test • P (B) = 0, 01; P (A|B) = 0, 9; P (nonB) = 1 − P (B) = 1 − 0, 01 = 0, 99; P (A|nonB) = 0, 1 • Dosad´ıme do Bayesova vzorce P (B|A) =
9 0, 01 · 0, 9 = 0, 01 · 0, 9 + 0, 99 · 0, 1 108
5
