Pˇ r´ıklady ke cviˇ cen´ı z pˇ redmˇ etu Z´ aklady matematick´ e anal´ yzy (BI-ZMA) Matˇej Tuˇsek Katedra matematiky ˇ Cesk´e vysok´e uˇcen´ı technick´e v Praze BI-ZMA ZS 2009/2010
Evropsk´ y soci´ aln´ı fond. Praha & EU: Investujeme do vaˇ s´ı budoucnosti
1
´ Uvod Tento dokument slouˇz´ı k pˇr´ıpravˇe student˚ u na cviˇcen´ı z pˇremˇetu Z´aklady matematick´e anal´ yzy (BI-ZMA) na FIT. Kaˇzd´ a sekce, kter´a odpov´ıd´a jedn´e hodinˇe cviˇcen´ı, je uvedena ´ struˇcnou anotac´ı n´ asledovanou seznamem u ´loh. Ulohy oznaˇcen´e jako Pˇ r´ıklad budou ˇreˇseny na cviˇcen´ıch, studenti maj´ı moˇznost si je dopˇredu prostudovat a pˇripravit jejich ´ ˇreˇsen´ı na nadch´ azej´ıc´ı cviˇcen´ı, za coˇz mohou z´ıskat tzv. bonusov´e body. Ulohy znaˇcen´e jako Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı slouˇz´ı v´ yhradnˇe k samostudiu. Zejm´ena v u ´vodu semestru m˚ uˇze nastat situace, ˇze cviˇcen´ı t´ematicky pˇredch´az´ı pˇredn´aˇsku. V takov´em pˇr´ıpadˇe jsou potˇrebn´e pojmy uvedeny pˇred samotn´ ymi u ´lohami v odstavc´ıch znaˇcen´ ych symbolem ♣. V prvn´ı sekci jsou dokonce nˇekter´e pˇr´ıklady v´ yjimeˇcnˇe doplnˇeny i ˇreˇsen´ım.
Cviˇ cen´ı ˇ c. 1 Sumaˇcn´ı z´ apis, manipulace se sumami a produkty, d˚ ukaz matematickou indukc´ı, aritmetick´ a a geometrick´ a posloupnost, Pascal˚ uv troj´ uheln´ık, kombinaˇcn´ı ˇc´ısla. Znaˇ cen´ı N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pˇrirozen´a ˇc´ısla Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cel´a ˇc´ısla R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . re´aln´a ˇc´ısla dxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . horn´ı cel´ a ˇc´ast re´aln´eho ˇc´ısla x, tj. dxe ∈ Z : dxe − 1 < x ≤ dxe bxc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .doln´ı cel´ a ˇca´st re´aln´eho ˇc´ısla x, tj. bxc ∈ Z : bxc ≤ x < bxc + 1 ♣ Mˇejme n, n ∈ N, ˇc´ısel, oznaˇcme je a1 , a2 , a3 , . . . , an . Souˇcet (neboli sumu) a1 + a2 + a3 + . . . + an zkr´ acenˇe zapisujeme jako a1 + a2 + a3 + . . . + an =:
n X
ai ,
i=1
kde i je tzv. sˇ c´ıtac´ı index, kter´ y nen´ı pevn´ y, ale nar˚ ust´a po jedniˇcce od doln´ı meze (v naˇsem pˇr´ıpadˇe 1) aˇz po horn´ı mez (v naˇsem pˇr´ıpadˇe n). Podobnˇe lze zkr´acenˇe zapsat souˇcin n Y a1 a2 a3 . . . an =: ai . i=1
Meze lze posouvat o konstantu, odpov´ıdaj´ıc´ım zp˚ usobem se potom mus´ı posunout i sˇc´ıtac´ı index, napˇr. n n+2 X X ai = ai−2 . i=1
i=3
2
Pˇ r´ıklad 1.1 Zapiˇste zkr´ acenˇe souˇcet a) − 8 − 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 − 0 + 1 + 2 + 3 b) 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + . . . + 72 c) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 d) 1 − 4 + 9 − 16 + 25 − 36 + 49 − 64 1 e) + 1 + 2 + 4 + 8 + 16. 2 ˇ sen´ı. Reˇ a)
3 X
i,
b)
i=−8
24 X
3i = 3
i=2
24 X
i,
c)
i=2
8 X
2
i ,
d)
i=1
8 X
P12
i=1 ?
(−1)
i ,
e)
i=1
Pˇ r´ıklad 1.2 Zapiˇste souˇcet c) pˇr´ıkladu 1.1 ve tvaru Pˇ r´ıklad 1.3 Pomoc´ı sumy tvaru
i+1 2
4 X
i
2 =
6 X
i=−1
2i−2 .
i=1
P?
i=5 ?.
zapiˇste souˇcet
1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6 . Pˇ r´ıklad 1.4 Seˇctˇete sumu
n X k=1
k . (−1) 2 k
♣ Pravidla pro sumy se stejn´ ymi mezemi: n X i=1 n X i=1 n X i=1
(ai + bi ) =
n X i=1
ai +
n X
bi
i=1
α ai = α a1 + α a2 + . . . + α an = α(a1 + a2 + . . . + an ) = α
n X
ai
i=1
a=a {z. . . + a} = n a. | +a+ n-kr´ at
♣ Posloupnost ˇc´ısel a1 , a2 , a3 , . . . , an , kde druh´ y a kaˇzd´ y dalˇs´ı ˇclen se z´ısk´a pˇriˇcten´ım konstanty (oznaˇcme ji d) ke ˇclenu pˇredchoz´ımu, se naz´ yv´a aritmetick´ a posloupnost. Plat´ı tedy ai+1 = ai + d, i = 1, . . . , n. M´ame-li napˇr. a1 = −3, d = 2, potom a1 = −3, a2 = −1, a3 = 1, a4 = 3, a5 = 5 a an = −3 + (n − 1)2. Obecnˇe plat´ı an = a1 + (n − 1)d.
3
Pˇ r´ıklad 1.5 Seˇctˇete prvn´ıch n ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti 1, 2, 3, . . . (tj. a1 = 1, d = 1). ˇ sen´ı. Reˇ Sn := 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n X
i
i=1
Stejnˇe tak zjevnˇe plat´ı Sn = n + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 1 =
n X
(n + 1 − i)
i=1
a tedy 2Sn =
n X i=1
i+
n X
(n + 1 − i) =
i=1
n X (n + 1) = n(n + 1), i=1
z ˇcehoˇz plyne Sn =
n(n + 1) . 2
(1)
Pˇ r´ıklad 1.6 S pomoc´ı v´ysledku pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu seˇctˇete prvn´ıch n ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti s koeficienty a1 a d. ˇ sen´ı. Reˇ sn := a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . . + (a1 + (n − 1)d) =
n X
(a1 + (i − 1)d) =
i=1
=
n X i=1
a1 + d
n X i=1
(i − 1) = n a1 + d
a1 + (a1 + (n − 1)d) a1 + an n(n − 1) =n =n . 2 2 2
Souˇcet aritmetick´e posloupnosti je tedy d´an n´asobkem poˇctu ˇclen˚ u s pr˚ umˇernou hodnotou prvn´ıho a posledn´ıho ˇclenu. Vzoreˇcek najde uplatnˇen´ı v karbanu, chceme-li rychle seˇc´ıst hodnotu postupky! P Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Seˇctˇete ni=1 2i . N´ apovˇeda: rozliˇste n lich´e a sud´e. ♣ Posloupnost ˇc´ısel a1 , a2 , a3 , . . . , an , kde druh´ y a kaˇzd´ y dalˇs´ı ˇclen se z´ısk´a n´asoben´ım pˇredchoz´ıho ˇclenu konstantou (tzv. kvocientem, oznaˇcme jej q), se naz´ yv´a geometrick´ a posloupnost. Plat´ı tedy ai+1 = ai q, i = 1, . . . , n. M´ame-li napˇr. a1 = −2, q = 21 , potom a1 = −2, a2 = −1, a3 = − 21 , a4 = − 41 , a5 = n−1 − 81 a an = −2 12 . Obecnˇe plat´ı an = a1 q n−1 . Pˇ r´ıklad 1.7 Seˇctˇete prvn´ıch n ˇclen˚ u geometrick´e posloupnosti.
4
ˇ sen´ı. V r´ Reˇ amci ˇreˇsen´ı procviˇc´ıme i manipulaci se sumami. 2
Sn := a1 + a1 q + a1 q + . . . + a1 q 2
= a1 + a1 q + a1 q + . . . + a1 q
n−1
n−1
n X
=
a1 q
i=1 n
i−1
= a1
n X
q
i−1
= a1
i=1
n−1 X
qi =
i=0
n
+ a1 q − a1 q =
2
= a1 + q(a1 + a1 q + a1 q + . . . + a1 q n−1 ) − a1 q n = a1 + q Sn − a1 q n a tedy a1 q n − a1 = q Sn − Sn ˇcili pro q 6= 1 Sn = a1
qn − 1 . q−1
Pro pˇr´ıklad z u ´vodu, tj. a1 = −2, q = 12 , m´ame 1 n 2 1 2
Sn = −2
Pˇ r´ıklad 1.8 Seˇctˇete
Pn
1 i=0 − 2
−1 . −1
3i+2 .
Pˇ r´ıklad 1.9 Tenisov´eho turnaje hran´eho obvykl´ym zp˚ usobem se z´ uˇcastnilo 2n , n ∈ N, hr´ aˇc˚ u. Kolik utk´ an´ı se odehr´ alo? ♣ D˚ ukaz matematickou indukc´ı. Chceme uk´azat platnost v´ yroku A(n) pro vˇsechna n ∈ N. To lze prov´est ve dvou kroc´ıch. V prvn´ım dok´aˇzeme platnost A(1) a v druh´em uk´aˇzeme, ˇze pravdivost A(n) implikuje pravdivost A(n + 1). Pˇ r´ıklad 1.10 Dokaˇzte (1) matematickou indukc´ı. ˇ sen´ı. Chceme dok´ Reˇ azat, ˇze
n X k=1
k=
n(n + 1) 2
. 1. krok Pro n = 1 zjevnˇe plat´ı 1 X
k = 1.
k=1
2. krok Pˇredpokl´ adejme platnost formule pro n. Potom ! n+1 n X X n(n + 1) (n + 1)(n + 2) k= k +n+1= +n+1= . 2 2 k=1
k=1
5
♣ Pˇripomeˇ nte si ’vzorce’: a2 − b2 = (a − b)(a + b) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) a4 − b4 = (a2 − b2 )(a2 + b2 ) = (a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 )
Pˇ r´ıklad 1.11 Dokaˇzte n
n
a − b = (a − b)
n−1 X
ai bn−1−i .
i=0
♣ N´asleduj´ıc´ı sch´ema se naz´ yv´ a Pascal˚ uv troj´ uheln´ık. n = 0:
1
n = 1:
1
n = 2:
1
n = 3: n = 4:
1 1
1 2
3 4
1 3
6
1 4
1
atd. Kaˇzd´ y nehraniˇcn´ı prvek je souˇctem dvou nad n´ım stoj´ıc´ıch prvk˚ u, hraniˇcn´ı prvky jsou jedniˇcky. Oznaˇ y prvek (poˇc´ıt´ano od 0) v n-t´em ˇr´adku (poˇc´ıt´ano rovnˇeˇz od 0) cme k-t´ symbolem nk , k ∈ {0, 1, 2, . . . , n}. Z definice Pascalova troj´ uheln´ıku potom plat´ı n−1 n n−1 + = k−1 k k pro k ∈ {1, 2, . . . , n − 1}. Pˇ r´ıklad 1.12 Dokaˇzte, ˇze n n! , = k!(n − k)! k tj. prvky Pascalova troj´ uheln´ıku jsou kombinaˇcn´ı ˇc´ısla.
6
Cviˇ cen´ı ˇ c. 2 Pojem zobrazen´ı, definiˇcn´ı obor, obor hodnot, vzor a obraz mnoˇziny, prost´e zobrazen´ı, sloˇzen´e zobrazen´ı, inverzn´ı zobrazen´ı, element´ arn´ı funkce. Znaˇ cen´ı −1 f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zobrazen´ı inverzn´ı k f f (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . obraz mnoˇziny A pˇri zobrazen´ı f f −1 (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vzor mnoˇziny A pˇri zobrazen´ı f f ◦ g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sloˇzen´e zobrazen´ı, (f ◦ g)(x) := f (g(x)) Df . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . definiˇcn´ı obor funkce f Hf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . obor hodnot funkce f f |M . . . . . . . . . . . z´ uˇzen´ı funkce f na mnoˇzinu M , tj. funkce h : M ∩ Df =: Dh → Hf takov´ a, ˇze h(x) = f (x), ∀x ∈ Dh Pˇ r´ıklad 2.1 Necht’ zobrazen´ı f : N → N je definov´ ano pˇredpisem n+1 f (n) := . 2 Je zobrazen´ı f prost´e? Je f zobrazen´ı na cel´e N? Je to bijekce? Co je vzorem mnoˇziny M := {2, 3, 4}? Jak´y je obraz mnoˇziny M ? Pˇ r´ıklad 2.2 Mˇejme zobrazen´ı f : R → R dan´e pˇredpisem f (x) := 2x + |x|. Je f prost´e? Je na? Naleznˇete vzor mnoˇziny h−1, 1) a obraz mnoˇziny (−1, 2). Naˇcrtnˇete graf funkce f . Naleznˇete inverzn´ı funkci f −1 . Pˇ r´ıklad 2.3 Mˇejme zobrazen´ı f : R → R dan´e pˇredpisem f (x) := x + |x|. Je f prost´e? Jak´y je obor hodnot Hf ? Co je vzorem mnoˇziny h0, 1i? Pˇ r´ıklad 2.4 Necht’ zobrazen´ı f : R → R je dano pˇredpisem √ f (x) := 2 − 3x. Urˇcete definiˇcn´ı obor Df a obor hodnot Hf . Ovˇeˇrte prostost. ˇ ste u Pˇ r´ıklad 2.5 Reˇ ´lohu 2.4 pro funkci f (x) =
√ 3
7
2 − 3x.
Pˇ r´ıklad 2.6 Necht’ zobrazen´ı f : R → R je dano pˇredpisem f (x) = x2 + 4x + 5. Urˇcete f −1 ({0, 1}) a f ({0, 1}). Rozhodnˇete zda jde o zobrazen´ı prost´e. Pˇ r´ıklad 2.7 Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f (x) := ln (x2 + 4x + 5). Pˇ r´ıklad 2.8 Naleznˇete nˇejak´e dvˇe funkce f a g, f 6= g, tak, aby i. f ◦ g = g ◦ f ii. f ◦ g 6= g ◦ f.
8
Cviˇ cen´ı ˇ c. 3 Podmnoˇziny re´ aln´ych ˇc´ısel-omezenost, horn´ı a doln´ı z´ avora, minimum a maximum, infimum a supremum. Limita re´ aln´e ˇc´ıseln´e posloupnosti-definice a v´ypoˇcet. Znaˇ cen´ı A∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mnoˇzina vˇsech doln´ıch z´avor mnoˇziny A A∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mnoˇzina vˇsech horn´ıch z´avor mnoˇziny A Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (v souvislosti s ˇc´ıseln´ ymi posloupnostmi) okol´ı bodu a ˇcili interval tvaru (a − , a + ), kde > 0 Pˇ r´ıklad 3.1 Rozhodnˇete o omezenosti zdola a shora n´ asleduj´ıc´ıch mnoˇzin. Najdˇete jejich infimum a supremum (v rozˇs´ıˇren´e mnoˇzinˇe re´ aln´ych ˇc´ısel vˇzdy jednoznaˇcnˇe existuj´ı). Urˇcete jejich minimum a maximum, existuj´ı-li. Urˇcete mnoˇzinu horn´ıch a doln´ıch z´ avor. i. A = h0, 2) ii. A = (−∞, 3) ∪ {4, 7} iii. A = {2(1 − x) + 5| x ∈ (0, 1i} Pˇ r´ıklad 3.2 Necht’ A =
1
n,
n ∈ N . Urˇcete inf A a sup A. Sv´e tvrzen´ı dokaˇzte z definice.
Pˇ r´ıklad 3.3 Rozhodnˇete o omezenosti mnoˇziny √ √ A= n + 1 − n| n ∈ N . Pˇ r´ıklad 3.4 Necht’ A, B ⊂ R jsou omezen´e. Jak´e vztahy (rovnost, nerovnosti) plat´ı mezi ˇc´ısly sup(A ∪ B), sup(A ∩ B), sup A, a sup B? Sv´ a tvrzen´ı dokaˇzte. Pˇ r´ıklad 3.5 Rozhodnˇete o platnosti implikace sup A = sup B ∧ inf A = inf B ⇒ A = B. Pˇ r´ıklad 3.6 Bud’ A = x ∈ R| sin(5x) ≥ 16 sin5 x . Urˇcete sup A a inf A. Pˇ r´ıklad 3.7 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limity: i. lim (5n3 − 7n + 1)
n→∞
ii.
5n3 − 7n + 1 n→∞ n2 − 3 lim
9
iii.
5n3 − 7n + 1 n→∞ n3 − 3 lim
iv.
5n3 − 7n + 1 n→∞ n4 − 3 lim
Pˇ r´ıklad 3.8 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: 1 1 n − n+4 . n→∞ 1 − 1 n+1 n+2
lim
Pˇ r´ıklad 3.9 Spoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: 1 2 3 n−1 lim . + 2 + 2 ... + n→∞ n2 n n n2 Pˇ r´ıklad 3.10 Urˇcete ˇcemu se rovn´ a: 1 2 3 nn − 1 lim . − + − . . . (−1) n→∞ n n n n Pˇ r´ıklad 3.11 Pomoc´ı kvantifik´ ator˚ u zapiˇste, ˇze limn→∞ an 6= a. Pˇ r´ıklad 3.12 Kter´e z n´ asleduj´ıc´ıch v´yrok˚ u jsou ekvivalentn´ı s t´ım, ˇze limn→∞ an 6= a? i. Existuje takov´e okol´ı Ha bodu a, ˇze nekoneˇcnˇe mnoho ˇclen˚ u posloupnosti (an ) v nˇem neleˇz´ı. ii. Existuje takov´e okol´ı Ha bodu a, ˇze v nˇem leˇz´ı nejv´yˇse koneˇcnˇe mnoho ˇclen˚ u posloupnosti (an ). iii. V ˇza ´dn´em okol´ı Ha bodu a neleˇz´ı nekoneˇcnˇe mnoho ˇclen˚ u posloupnosti (an ).
10
Cviˇ cen´ı ˇ c. 4 Limita re´ aln´e ˇc´ıseln´e posloupnosti-definice a v´ypoˇcet, vybran´ a posloupnost. Pˇ r´ıklad 4.1 Urˇcete ˇcemu se rovn´ a: lim (−1)
n(n+1) 2
n→∞
n . n+1
Pˇ r´ıklad 4.2 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: √ √ lim 2n + 1 − n. n→∞
Pˇ r´ıklad 4.3 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: p n2 + 1 − n . lim n n→∞
ˇ Pˇ r´ıklad 4.4 Cemu se rovn´ a:
2n − 2−n ? n→∞ 2n + 2−n lim
Pˇ r´ıklad 4.5 Spoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: lim
n→∞
2 1 n 2 2 1 n +1 2
− −
2 1 n 3 2 . 1 n +1 3
Pˇ r´ıklad 4.6 Bud’ a > 0. Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limity: √ i. limn→∞ 2n+1 a. √ ii. limn→∞ 2n+1 −a. Pˇ r´ıklad 4.7 Spoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: lim
n→∞
p n 4n3 + 5.
N´ apovˇeda: Odhadnˇete kaˇzd´y ˇclen posloupnosti shora i zdola a pouˇzijte na pˇredn´ aˇsce √ n odvozen´y vztah: limn→∞ n = 1. Pˇ r´ıklad 4.8 Spoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: √ b nc lim √ . n→∞ n Pˇ r´ıklad 4.9 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: 1 3n+2 lim 1 + . n→∞ n 11
Pˇ r´ıklad 4.10 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: 3 n lim 1 + . n→∞ n ˇ Pˇ r´ıklad 4.11 Cemu se rovn´ a ln (n2 + 4n + 2) ? n→∞ ln (3n4 + 5) lim
Pˇ r´ıklad 4.12 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: ln (3n + 5) . n→∞ ln (4n − 2) lim
Pˇ r´ıklad 4.13 Naleznˇete p´ ar posloupnost´ı (an ) a (bn ) tak, aby lim an = lim bn = ∞
n→∞
n→∞
a pˇritom i. limn→∞ (an − bn ) = −3 ii. limn→∞ (an − bn ) = −∞ iii. limn→∞ (an − bn ) = ∞. Pˇ r´ıklad 4.14 Naleznˇete p´ ar posloupnost´ı (an ) a (bn ) tak, aby lim an = 0, lim bn = ∞
n→∞
n→∞
a pˇritom i. limn→∞ an bn = 1 ii. limn→∞ an bn = −1 iii. limn→∞ an bn = 0 iv. limn→∞ an bn = −∞
12
Cviˇ cen´ı ˇ c. 5 Limita re´ aln´e funkce. Znaˇ cen´ı ¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rozˇs´ıˇren´a mnoˇzina re´aln´ R ych ˇc´ısel Pˇ r´ıklad 5.1 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1 . x→0 x lim
Pˇ r´ıklad 5.2 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: x3 − 2x − 1 . x→−1 x5 − 2x − 1 lim
Pˇ r´ıklad 5.3 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: lim
x→0
sin (5x) . x
Pˇ r´ıklad 5.4 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: lim
x→0
sin (2x) . sin (3x)
Pˇ r´ıklad 5.5 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: sin x . x→∞ x lim
Pˇ r´ıklad 5.6 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: lim
x→0
1 − cos x . x2
Pˇ r´ıklad 5.7 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limity: lim ex .
x→±∞
Pˇ r´ıklad 5.8 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limity: ln (1 + ex ) . x→±∞ x lim
Pˇ r´ıklad 5.9 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: ln (1 + ex ) . x→−∞ ex lim
13
Pˇ r´ıklad 5.10 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: e3x − 1 . x→0 x lim
Pˇ r´ıklad 5.11 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: e3x − e4x . x→0 x lim
Pˇ r´ıklad 5.12 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı jednostrann´e limity: lim arctg
x→1±
1 . 1−x
Pˇ r´ıklad 5.13 Vypoˇctˇete n´ asleduj´ıc´ı limitu: x lim arcsin √ . x→∞ 1 + x2
14
Cviˇ cen´ı ˇ c. 6 Spojitost a derivace re´ aln´e funkce, teˇcna ke grafu funkce. 1 Znaˇ cen´ı sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funkce signum, sgn x = 0 −1
pro x > 0 pro x = 0 pro x < 0
Pˇ r´ıklad 6.1 Naˇcrtnˇete graf funkce f (x) = bxc. Rozhodnˇete, kde je f spojit´ a, pˇr´ıpadnˇe spojit´ a zleva nebo zprava. Pˇ r´ıklad 6.2 Naˇcrtnˇete graf funkce f (x) = sgn (sin x). Rozhodnˇete, kde je f spojit´ a, pˇr´ıpadnˇe spojit´ a zleva nebo zprava. Pˇ r´ıklad 6.3 Zderivujte n´ asleduj´ıc´ı funkce a urˇcete jejich definiˇcn´ı obory, stejnˇe tak urˇcete definiˇcn´ı obory zderivovan´ych funkc´ı. a) f (x) = x +
√
x+
√ 3
x,
b) f (x) =
2 1 + 2, x x
c) (5 + 2x)10 (3 − 4x)20 .
Pˇ r´ıklad 6.4 Zderivujte n´ asleduj´ıc´ı funkce. 2
a) f (x) = e−x ,
b) f (x) = xx ,
c) f (x) = x2 + 2x .
Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Zderivujte n´ asleduj´ıc´ı funkce. x
2
a) f (x) = ee ,
b) f (x) = 3x .
Pˇ r´ıklad 6.5 Zderivujte n´ asleduj´ıc´ı funkce a urˇcete jejich definiˇcn´ı obory, stejnˇe tak urˇcete definiˇcn´ı obory zderivovan´ych funkc´ı. a) f (x) = ln (sin x),
b) f (x) = ln (ln (sin x)),
c) arctg x3 ,
Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Zderivujte funkci f (x) = sin (ln x). Pˇ r´ıklad 6.6 Dokaˇzte, ˇze plat´ı: ( sgn x |x|0 = neexistuje
pro x 6= 0 pro x = 0.
Pˇ r´ıklad 6.7 Naleznˇete body, ve kter´ych je teˇcna funkce √ f (x) = x2 − x + 3 x rovnobˇeˇzn´ a s osou x nebo y. 15
1 d) arcsin . x
Pˇ r´ıklad 6.8 Urˇcete plochu troj´ uheln´ıku, kter´y je ohraniˇcen teˇcnou ke grafu funkce f (x) = x−1 v bodˇe a, a > 0, osou x a osou y. Pro jakou hodnotu parametru a je tato plocha nejvˇetˇs´ı? Pˇ r´ıklad 6.9 Spoˇctˇete 1., 2., a 3. derivaci funkce f (x) a urˇcete f (n) (x) pro a) f (x) = ex , b) x3 , c) xα , α ∈ N0 , d) xα , α ∈ / N0 , f ) f (x) = sin x, g) f (x) = cos x.
16
Cviˇ cen´ı ˇ c. 7 Extr´emy re´ aln´ych funkc´ı, vyˇsetˇrov´ an´ı pr˚ ubˇeh˚ u re´ aln´ych funkc´ı. Pˇ r´ıklad 7.1 Urˇcete extr´emy n´ asleduj´ıc´ıch funkc´ı na zadan´ych intervalech. √ i. f (x) = x − 2 x na h0, 4i ii. f (x) =
x−1 x+1
na h0, 4i
iii. f (x) = xe−x na h0, ∞) √ Pˇ r´ıklad 7.2 Urˇcete nejvˇetˇs´ı ˇclen posloupnosti ( n n)∞ n=1 . Pˇ r´ıklad 7.3 Urˇcete, kolik koˇren˚ u m´ a rovnice x2 − x − ln x − 1 = 0 a n´ aslednˇe je separujte. Potom diskutujte, kolik koˇren˚ u m´ a rovnice x2 − x − ln x − a = 0 v z´ avislosti na parametru a. Pˇ r´ıklad 7.4 Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh (tj. naleznˇete extr´emy, urˇcete limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru a bodech nespojitosti, vyˇsetˇrete konvexnost) funkce f (x) = 3x2 − x3 a naˇcrtnˇete jej´ı graf. Pˇ r´ıklad 7.5 Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce (vˇcetnˇe asymptot) f (x) = x + a naˇcrtnˇete jej´ı graf.
17
1 x2
Cviˇ cen´ı ˇ c. 8 L’Hospitalovo pravidlo, Taylorova vˇeta a jej´ı vyuˇzit´ı k pˇribliˇzn´ym v´ypoˇct˚ um. Pˇ r´ıklad 8.1 Pomoc´ı l’Hospitalova pravidla spoˇc´ıtejte n´ asleduj´ıc´ı limity. ex − e−x − 2x 1 πx 1 a) lim , b) lim sin (x − 1) tg , c) lim − x→0 x→1 x→1 ln x x − sin x 2 x−1 Pˇ r´ıklad 8.2 Pro funkci f (x) =
x+2 x+1
naleznˇete 5-t´y Taylor˚ uv polynom v bodˇe 0.
Pˇ r´ıklad 8.3 Pro funkci f (x) = tg x naleznˇete 3-t´ı Taylor˚ uv polynom v bodˇe 0. Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Pro funkci f (x) = arcsin x naleznˇete 3-t´ı Taylor˚ uv polynom v bodˇe 0. Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Pro funkci f (x) =
1 1−x
naleznˇete 5-t´y Taylor˚ uv polynom v bodˇe 0. 3
Pˇ r´ıklad 8.4 Odhadnˇete chybu ve v´ypoˇctu sin x = x − x6 pro − 12 ≤ x ≤ 12 . 3 N´ apovˇeda: Ukaˇzte, ˇze x − x6 jsou prvn´ı dva nenulov´e ˇcleny Taylorova polynomu pro funkci sin x, a rozd´ıl odhadnˇete pomoc´ı Lagrangeova tvaru zbytku. 2
Pˇ r´ıklad 8.5 Pro jak´ a x je absolutn´ı hodnota chyby pˇribliˇzn´eho vyj´ adˇren´ı cos x ' 1 − x2 menˇs´ı neˇz 10−4 ? N´ apovˇeda: Viz n´ apovˇeda pro u ´lohu 8.4.
18
Cviˇ cen´ı ˇ c. 9 Primitivn´ı funkce, vˇeta o substituci. N´apovˇeda: V u ´loh´ ach 9.4 aˇz 9.10 pouˇzijte vhodnou substituci. Pˇ r´ıklad 9.1 Naleznˇete primitivn´ı funkci (tj. zintegrujte) Z (2 + x3 )2 dx. Pˇ r´ıklad 9.2 Naleznˇete primitivn´ı funkci q Z √ 1 1− 2 x x dx. x Pˇ r´ıklad 9.3 Naleznˇete primitivn´ı funkci Z
x2 dx. 1 + x2
Pˇ r´ıklad 9.4 Naleznˇete primitivn´ı funkci Z
1 dx. x+3
Pˇ r´ıklad 9.5 Naleznˇete primitivn´ı funkci Z (2x − 3)10 dx. Pˇ r´ıklad 9.6 Naleznˇete primitivn´ı funkci Z √ 15
1 + 4x dx.
Pˇ r´ıklad 9.7 Naleznˇete primitivn´ı funkci Z cotg x dx. Pˇ r´ıklad 9.8 Naleznˇete primitivn´ı funkci Z ex
1 dx. + e−x
Pˇ r´ıklad 9.9 Naleznˇete primitivn´ı funkci Z x4
x dx. +1
Pˇ r´ıklad 9.10 Naleznˇete primitivn´ı funkci Z 1 √ dx. x ln x
19
Cviˇ cen´ı ˇ c. 10 Metoda per partes, primitivn´ı funkce k racion´ aln´ım lomen´ym funkc´ım. Pˇ r´ıklad 10.1 Zintegrujte Z arctg x dx. N´ apovˇeda: Integrujte per partes. Pˇ r´ıklad 10.2 Zintegrujte Z
cos2 x dx.
N´ apovˇeda: Integrujte per partes. Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Zintegrujte Z ln x dx.
Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Zintegrujte Z
ln x dx. x2
Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Zintegrujte Z
ex cos x dx.
Pˇ r´ıklad 10.3 Zintegrujte x4 dx. x2 + x − 2
Z
Pˇ r´ıklad 10.4 Naleznˇete primitivn´ı funkci Z x5 dx. x4 + 1 Pˇ r´ıklad 10.5 Naleznˇete primitivn´ı funkci Z x4
1 dx. −1
Pˇ r´ıklad 10.6 Zintegrujte Z
1 dx. +2
3x2
20
Pˇ r´ıklad 10.7 Zintegrujte Z x2
1 dx. +x+1
Pˇ r´ıklad 10.8 Naleznˇete primitivn´ı funkci Z
x dx. x2 + x + 1
Pˇ r´ıklad 10.9 Zintegrujte Z
1 √ dx. 1+ x
N´ apovˇeda: Vhodnou substituc´ı pˇreved’te na integr´ al z racion´ aln´ı lomen´e funkce. Pˇ r´ıklad 10.10 Zintegrujte Z
1 dx. 1 + tg x
N´ apovˇeda: Vhodnou substituc´ı pˇreved’te na integr´ al z racion´ aln´ı lomen´e funkce. Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Zintegrujte Z
x2 dx. +1
2x2
Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Naleznˇete primitivn´ı funkci Z 2 dx. 2 5x + 3 Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Naleznˇete primitivn´ı funkci Z 1 dx. 2 2x + 2x + 1 Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Naleznˇete primitivn´ı funkci Z x−1 dx. 2 x −x−2 Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Naleznˇete primitivn´ı funkci Z x3 − x dx. x2 − x − 2
21
Cviˇ cen´ı ˇ c. 11 Urˇcit´y integr´ al, v´ypoˇcet ploch. Pˇ r´ıklad 11.1 Vypoˇctˇete integr´ al π 2
Z
sin x dx.
0
Pˇ r´ıklad 11.2 Vypoˇctˇete integr´ al 1
Z
arccos x dx. 0
Pˇ r´ıklad 11.3 Vypoˇctˇete integr´ al Z
ln 5
ex dx.
0
Pˇ r´ıklad 11.4 Vypoˇctˇete limitu n
πk 1X sin . n→∞ n n lim
k=1
N´ apovˇeda: Na v´yraz nahl´ıˇzejte jako na limitu integr´ aln´ıho souˇctu. Pˇ r´ıklad 11.5 Vypoˇctˇete limitu 1p + 2p + 3p + . . . + np , n→∞ np+1 lim
p > −1.
N´ apovˇeda: Na v´yraz nahl´ıˇzejte jako na limitu integr´ aln´ıho souˇctu. Pˇ r´ıklad 11.6 Vypoˇctˇete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = x2 , y 2 = x. Pˇ r´ıklad 11.7 Urˇcete plochu kruhov´e v´yseˇce pˇr´ısluˇsnou stˇredov´emu u ´hlu α.
22
Cviˇ cen´ı ˇ c. 12 V´ypoˇcet ploch. V´ypoˇcet povrch˚ u a objem˚ u rotaˇcn´ıch tˇeles. Pˇ r´ıklad 12.1 V jak´em pomˇeru dˇel´ı parabola y 2 = 2x plochu kruhu x2 + y 2 ≤ 8? Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Vypoˇctˇete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = −2x2 + 3, y = 1.
Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Vypoˇctˇete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = ln x, y = − ln x, x = 5.
Pˇ r´ıklad 12.2 Spotˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = x, y = 2x − x3 kolem osy x. Pˇ r´ıklad 12.3 Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı kruhu x2 + (y − 3)2 ≤ 1 kolem osy x. Pozn.: Jedn´ a se o objem pneumatiky. Pˇ r´ıklad 12.4 Spoˇctˇete povrch tˇelesa z u ´lohy 12.3. Dom´ ac´ı cviˇ cen´ı Odvod’te vzorec pro v´ypoˇcet povrchu a objemu rotaˇcn´ıho kuˇzele o polomˇeru R a v´yˇsce h.
23
Cviˇ cen´ı ˇ c. 13 V´ypoˇcet d´elky grafu funkce. Zobecnˇen´y Riemann˚ uv integr´ al. √ Pˇ r´ıklad 13.1 Spoˇctˇete d´elku ˇc´ asti grafu funkce y = x x pro 0 ≤ x ≤ 4. Pˇ r´ıklad 13.2 Vypoˇctˇete integr´ al Z
1
ln x dx. 0
Pˇ r´ıklad 13.3 Vypoˇctˇete integr´ al ∞
Z 0
x2
1 dx. +3
Pˇ r´ıklad 13.4 Vypoˇctˇete integr´ al Z
∞
1
1 dx, xα
α ∈ R.
Diskutujte v´ysledek v z´ avislosti na volbˇe parametru α. Pˇ r´ıklad 13.5 Vypoˇctˇete integr´ al Z 0
∞
1 dx, xα
α ∈ R.
Diskutujte v´ysledek v z´ avislosti na volbˇe parametru α.
24
