Z´ akladn´ı pojmy o sign´ alech ˇ Jan Cernock´ y ´ UPGM FIT VUT Brno,
[email protected]
• • • • • •
klasifikace sign´al˚ u transformace ˇcasov´e osy energie a v´ykon periodick´e sign´aly harmonick´y sign´al jednotkov´y skok a impuls
1
Sign´ aly • libovoln´e fyzik´aln´ı veliˇciny.
• jedna nebo nˇekolik nez´avisl´ych promˇenn´ych (vˇetˇsinou ˇcas), jedna z´avisl´a. ˇ sn´ımku, s´ıla asfaltu na • Pˇr´ıklady: akustick´y tlak vyvolan´y hl´askou ’e’, stupnˇe ˇsedi na CB d´alnici D1, kurs Kˇc v˚ uˇci EUR.
2
CZK/EUR − leden 2002
32.4
32
31.6 0
3
5
10 prac. dny
15
20
Matematick´ y pohled na sign´ aly (1 nez´ avisl´ a promˇ enn´ a) funkce, kter´e pˇrev´adˇej´ı nez´avislou promˇennou z mnoˇziny T (sign´alov´a osa) na hodnoty z mnoˇziny A. Podle charakteru mnoˇziny T dˇel´ıme sign´aly na: • sign´aly se spojit´ ym ˇ casem: t ∈ <, definov´an vˇsude. Pˇr´ıklad: rychlost autobusu na cestˇe z Prahy do Brna v z´avislosti na ˇcase. Budeme znaˇcit s(t). • sign´aly s diskr´ etn´ım ˇ casem: n ∈ Z, pouze celoˇc´ıseln´e hodnoty, jinde nedefinov´ano. Budeme znaˇcit s[n], n nem´a rozmˇer. Pˇr´ıklad: m˚ uj plat v 12-ti mˇes´ıc´ıch tohoto roku. Jelikoˇz diskr´etn´ı sign´aly nejsou nic jin´eho neˇz ˇrady ˇc´ısel, budeme je nˇekdy naz´yvat posloupnosti. Za mnoˇzinu A budeme v pr˚ ubˇehu tohoto kursu vˇetˇsinou pokl´adat mnoˇzinu re´aln´ych ˇc´ısel <, avˇsak mohou to b´yt i komplexn´ı ˇc´ısla. Praktick´e aplikace v IT: vˇ zdy koneˇ cn´ y poˇ cet hodnot (kvantov´ an´ı).
4
Deterministick´ e a n´ ahodn´ e sign´ aly Deterministick´ e sign´aly m˚ uˇzeme zapsat vztahem, rovnic´ı, nerovnost´ı. Pro kaˇzd´y ˇcas t ˇci n v´ıme, jak´e hodnoty sign´al nabude. Pˇr´ıklad 1: obd´eln´ıkov´y impuls se spojit´ym ˇcasem:
2 x(t) = 0
pro − 2 ≤ t ≤ 2 jinde
Pˇr´ıklad 2: diskr´etn´ı jednotkov´y impuls: 1 δ[n] = 0
pro n = 0 jinde
5
N´ ahodn´ e sign´aly popsat rovnic´ı nem˚ uˇzeme a pro ˇcas t ˇci n nikdy pˇresnˇe nev´ıme, jak´a bude jejich hodnota. M˚ uˇzeme je charakterizovat pouze pomoc´ı parametr˚ u (napˇr. stˇredn´ı hodnota, rozptyl). V´ıce v pˇredn´aˇsk´ach ke konci semestru.
6
Transformace nez´ avisl´ e promˇ enn´ e – zmˇ eny ˇ casov´ e osy Jak se zmˇen´ı p˚ uvodn´ı sign´al s(t) ˇci s[n], zmˇen´ıme-li ˇcasovou osu? Pˇr´ıklady na sign´alu se spojit´ym ˇcasem:
Otoˇcen´ı ˇcasov´e osy: s(−t) – vˇsechno je naopak.
7
Zpoˇzdˇen´ı sign´alu: s(t − τ ) pro kladn´e τ – sign´al se objev´ı pozdˇ eji. Pˇredbˇehnut´ı sign´alu: s(t + τ ) pro kladn´e τ – sign´al se objev´ı dˇr´ıve.
8
Obr´ acen´ı ˇ casov´ e osy s posunut´ım
Otoˇcen´ı se zpoˇzdˇen´ım(!): s(−t + τ ) pro kladn´e τ . Otoˇcen´ı s pˇredbˇehnut´ım(!): s(−t − τ ) pro kladn´e τ . V pˇr´ıpadech s otoˇcenou ˇcasovou osou maj´ı znam´enka opaˇcn´y v´yznam.
9
Kontrola: • naj´ıt si na ˇcasov´e ose zmˇenˇen´eho sign´alu nˇekolik v´yznamn´ych bod˚ u.
• pro kaˇzd´y z nich si vyhodnotit ˇcasovou modifikaci.
• pod´ıvat se do p˚ uvodn´ıho sign´alu, zda to “sed´ı”.
Pˇr´ıklad: Nejsme si jisti, zda jsme s(−t + 1) namalovali spr´avnˇe. s(−t + 1) pro t = 0 m´a hodnotu 1. −0 + 1 = 1, p˚ uvodn´ı sign´al s(t) v ˇcase 1 m´a tak´e hodnotu 1 ⇒ OK. s(−t + 1) pro t = 2 m´a hodnotu 0. −2 + 1 = −1, p˚ uvodn´ı sign´al s(t) v ˇcase -1 m´a tak´e hodnotu 0 ⇒ OK.
10
Pˇr´ıklady na sign´alu s diskr´ etn´ım ˇ casem – diskr´etn´ı jednotkov´y skok:
11
. . . Vyzkouˇsejte si kontrolu!
12
Zmˇ ena ˇ casov´ eho mˇ eˇr´ıtka
Kontrakce ˇ casu: s(mt) pro kladn´e m > 1 – ˇcas bˇeˇz´ı rychleji a vˇsechno je kratˇs´ı. t ) pro kladn´e m > 1 – ˇcas bˇeˇz´ı pomaleji a vˇsechno je delˇs´ı. Dilatace ˇ casu: s( m . . . vyzkouˇsejte si pom˚ ucku i pro kontrakci/dilataci ˇcasu!
13
Energie a v´ ykon okamˇzit´y v´ykon na rezistoru m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat jako: p(t) = u(t)i(t) = u2 (t)/R = i2 (t)R. Napˇet´ı i proud zde vystupuj´ı ve druh´e mocninˇe. Pˇri zpracov´an´ı sign´al˚ u vˇetˇsinou ˇz´adn´e rezistory nem´ame (pokud by n´am opravdu chybˇel, m˚ uˇzeme si jej pˇredstavit, s odporem 1Ω), okamˇzit´y v´ykon bude d´an: p(t) = |s(t)|2 Absolutn´ı hodnota nen´ı potˇreba pro re´aln´e sign´aly, je ve vzorci pouze pro ˇs´ılence pracuj´ıc´ı s komplexn´ımi sign´aly. Pro diskr´etn´ı sign´aly: p[n] = |s[n]|2 Zaj´ım´a-li n´as energie a pr˚ umˇern´y v´ykon sign´alu v intervalu [t1 , t2 ]: Z t2 Z t2 Z t2 Z t2 1 1 p(t)dt = |s(t)|2 dt p(t)dt = |s(t)|2 dt t2 − t 1 t 1 t2 − t 1 t 1 t1 t1 14
podobnˇe pro diskr´etn´ı sign´aly: n2 X
p[n] =
n1
n2 X n1
n2 n2 X X 1 1 p[n] = |s[n]|2 n2 − n 1 n n2 − n 1 n
|s[n]|2
1
1
V mnoha pˇr´ıpadech n´as bude zaj´ımat celkov´ a energie v cel´em rozmez´ı ˇcas˚ u od −∞ do ∞: E∞ = lim
T →∞
Z
T −T
|s(t)|2 dt =
Z
+∞ −∞
|s(t)|2 dt
E∞ = lim
N →∞
N X −N
|s[n]|2 =
∞ X −∞
Podle hodnoty E∞ dˇel´ıme sign´aly na sign´ aly s koneˇ cnou energi´ı a sign´ aly s nekoneˇ cnou energi´ı. Podobnˇe celkov´ y stˇredn´ı v´ ykon: P∞
1 = lim T →∞ 2T
Z
N
T −T
|s(t)|2 dt
P∞
X 1 = lim |s[n]|2 N →∞ 2N + 1 −N
Pokud je P∞ nenulov´y, je E∞ = ∞. 15
|s[n]|2
Neperiodick´ e a periodick´ e sign´ aly Pro neperiodick´ e sign´aly nem˚ uˇzeme naj´ıt T nebo N takov´e, ˇze: s(t + T ) = s(t) s[n + N ] = s(n)
spojit´y ˇcas
(1)
diskr´etn´ı ˇcas,
(2)
sign´aly se v ˇcase neopakuj´ı. Pokud je T ˇci N moˇzn´e nal´ezt, hovoˇr´ıme o periodick´ ych sign´ alech. Napˇr.
16
se opakuje po T = 20 s, ale tak´e po T = 40 s, T = 60 s, atd. Nejmenˇs´ı hodnota T , pro kterou rovnice 1 plat´ı, se naz´yv´a z´ akladn´ı perioda T1 . Podobnˇe pro diskr´etn´ı sign´aly:
Sign´al se opakuje po N = 3, ale tak´e po N = 6, N = 9, atd. Nejmenˇs´ı hodnota N , pro kterou rovnice 2 plat´ı, se naz´yv´a z´ akladn´ı perioda N1 .
17
Harmonick´ e sign´ aly jsou nejjednoduˇseji definovan´ymi periodick´ymi sign´aly a jsou chlebem a sol´ı zpracov´an´ı sign´al˚ u, proto jim mus´ıme vˇenovat n´aleˇzitou pozornost. s(t) = C1 cos(ω1 t + φ1 )
18
(3)
• C1 je kladn´a konstanta – amplituda (maxim´aln´ı hodnota). ´hlov´y nebo kruhov´y kmitoˇcet [rad/s]. Ke skuteˇcn´emu • ω1 je kladn´a konstanta – u kmitoˇctu f1 je vztaˇzen: ω1 = 2πf1 . Z´akladn´ı perioda harmonick´eho sign´alu 2π . T1 = f11 = ω 1 • φ1 je poˇc´ateˇcn´ı f´aze [rad]. Hodnota sign´alu pro t = 0 je s(0) = C1 cos φ1 . Ve zpracov´ an´ı sign´ al˚ u pracujeme vˇ zdy s radi´ any! Nezapomeˇ nte si pˇrepnout kalkulaˇ cky! Hodnoty znaˇc´ıme indexem 1, protoˇze pozdˇeji budeme rozkl´adat obecn´e periodick´e sign´aly do harmonick´ych a koeficienty budeme indexovat.
19
V´ ykon periodick´ ych sign´ al˚ u U obecn´ych sign´al˚ u jsme stˇredn´ı v´ykon poˇc´ıtali: Z T 1 P∞ = lim |s(t)|2 dt T →∞ 2T −T V pˇr´ıpadˇe periodick´ ych lze integrovat pouze pˇres jednu z´akladn´ı periodu a to jakkoliv: Z T1 /2 Z T1 1 1 |s(t)|2 dt = |s(t)|2 dt = . . . Ps = T1 −T1 /2 T1 0 Velmi pouˇz´ıvan´ym u ´dajem, kter´y se odvozuje ze stˇredn´ıho v´ykonu periodick´eho sign´alu, je efektivn´ı hodnota — velikost stejnosmˇern´eho sign´alu, kter´y by dal na stejn´e z´atˇeˇzi (kdybychom nˇejakou mˇeli :-) stejn´y stˇredn´ı v´ykon: p Cef = Ps . 20
Jak je tomu u harmonick´eho sign´alu (f´azi neuvaˇzujeme): s(t) = C1 cos(ω1 t) ? Pouˇz´ıv´ame 2α : vzoreˇcek cos2 α = 1+cos 2 1 Ps = T1
Z
T1 0
1 2 [C1 cos(ω1 t)] dt = T1
Z
T1
C1 0
21
2
(1 + cos 2ω1 t)dt
Integr´al cosinu je 0 (uvˇedomte si, ˇze v libovoln´em mnoˇzstv´ı period funkce cos jsou z´aporn´e plochy vyv´aˇzeny kladn´ymi), takˇze zb´yv´a: Z T1 2 2 1 1 C 1 C 1 1 T1 = C1 2 dt = Ps = T1 0 2 T1 2 2 Z toho vypl´yv´a zn´am´a pouˇcka o efektivn´ı hodnotˇe harmonick´ eho sign´alu: Cef =
p
C1 Ps = √ , 2
kterou uˇz jste asi vidˇeli. . . Pozor! Plat´ı opravdu pouze pro harmonick´y sign´al!
21
Harmonick´ e sign´ aly s diskr´ etn´ım ˇ casem s[n] = C1 cos(ω1 n + φ1 )
(4)
• C1 je kladn´a konstanta – amplituda. ´hlov´y nebo kruhov´y kmitoˇcet. Jelikoˇz je n bezrozmˇern´e, je • ω1 je kladn´a konstanta – u zde jednotka ω1 pouze [rad]. • φ1 je poˇc´ateˇcn´ı f´aze [rad]. Hodnota sign´alu pro n = 0 je s[0] = C1 cos φ1 . Pˇr´ıklad: s[n] = 5 cos(2πn/12), ω1 = π/6.
s[n]
5
0
−5 −20
−10
0 n
10
20
Se z´ akladn´ı periodou harmonick´e posloupnosti m´ame drobn´y probl´em. Nen´ı moˇzn´e ji 2π , protoˇze by mohlo vypoˇc´ıtat podobnˇe jako u sign´alu se spojit´ym ˇcasem pomoc´ı: N1 = ω 1 22
vyj´ıt necel´e ˇc´ıslo. N1 jako poˇcet vzork˚ u mus´ı b´yt vˇzdy cel´y. Mus´ıme naj´ıt takov´e N1 , aby platila podm´ınka periodicity: cos [ω1 (n + N1 )] = cos ω1 n. V´ıme, ˇze z´akladn´ı perioda funkce cos je 2π a ˇze podm´ınka bude splnˇena pouze pro rozd´ıl argument˚ u rovn´y celoˇc´ıseln´emu n´asobku 2π: ω1 (n + N1 ) − ω1 n = ω1 N1 = k2π, kde k je cel´e ˇc´ıslo takov´e, aby N1 bylo nejmenˇs´ı moˇzn´e. Pˇr´ıklad 1: s[n] = 5 cos(2πn/12), ω1 = π/6. π reˇsen´ı je jednoduch´e: k = 1, N1 = 12 (viz obr´azek). 6 N1 = k2π, ˇ Srovn´an´ı – kdyby byl sign´al se spojit´ym ˇcasem, z´akladn´ı perioda by byla: T1 = V´ysledek je stejn´y.
2π π/6
= 12.
Pˇr´ıklad 2: s[n] = cos(8πn/31), ω1 = 8π/31. 8π 4 ˇ sen´ım je: k = 4, N1 = 31. N = k2π, k = N , 31k = 4N . Reˇ 1 1 1 31 31 2π = 31 Srovn´an´ı – kdyby byl sign´al se spojit´ym ˇcasem, z´akladn´ı perioda by byla: T1 = 8π/31 4 . V´ysledek je jin´y — perioda je podstatnˇe kratˇs´ı, protoˇze nemus´ıme “ˇcekat na cel´e ˇc´ıslo”. 23
1
s[n]
0.5
0
−0.5
−1 −20
−10
0 n
10
20
Pˇr´ıklad 3: s[n] = cos(n/6), ω1 = 1/6. 1 ˇ sen´ı neexistuje, sign´al nen´ı periodick´y (ale vypad´a tak :-) 6 N1 = k2π, N1 = k12π. Reˇ 2π Srovn´an´ı – kdyby byl sign´al se spojit´ym ˇcasem, z´akladn´ı perioda by byla: T1 = 1/6 = 12π. Sign´al je samozˇrejmˇe periodick´y. 1
s[n]
0.5
0
−0.5
−1 −20
−10
0 n
24
10
20
Nˇ ekter´ e velmi zaj´ımav´ e a uˇ ziteˇ cn´ e sign´ aly – diskr´ etn´ı Jednotkov´y skok a jednotkov´y impuls: 1 pro n ≥ 0 σ[n] = 0 jinde
1 δ[n] = 0
25
pro n = 0 jinde
Vˇsimnˇeme si, ˇze jednotkov´y impuls vznikl diferencov´ an´ım jednotkov´eho skoku: δ[n] = σ[n] − σ[n − 1]
Posunut´y jednotkov´y impuls δ[n − k]:
26
Nˇ ekter´ e velmi zaj´ımav´ e a uˇ ziteˇ cn´ e sign´ aly – spojit´ yˇ cas
1 Jednotkov´y skok: σ(t) = 0
pro t ≥ 0 jinde
Jednotkov´y impuls se spojit´ym ˇcasem (Dirac˚ uv impuls) nadefinujeme jako derivaci jednotkov´eho skoku podle ˇcasu: dσ(t) . δ(t) = dt Probl´emem je, ˇze nev´ıme, jak derivovat funkci σ(t) pro t = 0 (nespojitost). Pom˚ uˇzeme si mal´ym trikem: dσ∆ (t) . δ∆ (t) = dt 27
1 σ∆ (t) m´a mezi 0 a ∆ smˇernici (a tedy i derivaci) ∆ . Vˇsimnˇeme si, ˇze plocha obd´eln´ıˇcku ohraniˇcen´eho funkc´ı δ∆ (t) (tedy jej´ı integr´al) je rovna 1. Pak budeme ∆ zmenˇsovat limitnˇe aˇz k nule: δ(t) = lim δ∆ (t). ∆→0
Plocha jednotkov´eho impulsu je tedy st´ale jedna, i kdyˇz jeho hodnota pro t = 0 vzroste na ∞: Z +∞ δ(t)dt = 1. −∞
28
Tuto plochu naz´yv´ame mocnost a jednotkov´y impuls ji zmˇen´ı, pokud jej nˇeˇc´ım vyn´asob´ıme:
Jednotkov´e impulsy maj´ı tzv. vzorkovac´ı schopnost, ale o t´e aˇz pˇr´ıˇstˇe :-)
29
