10. Licenční studium
Statistické zpracování dat
3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat
Vladimír Bajzík
Liberec, únor, 2007
Zadání Vypracujte písemně s využitím paketu ADSTAT a vyřešte 3 příklady. Příklady postavte z dat vašeho pracoviště nebo nalezněte v literatuře. Každý příklad bude mít strukturu dle příkladů v učebnici M.Meloun, J.Militký: Kompendium statistického zpracování experimentálních dat, Academia Praha 2002, t.zn. Nadpis příkladu, Zadání, Data, Program, Řešení, Output, Obrázky, Závěr. Příklad 1. Změna tepelného odporu koberců vlivem opotřebení. Základní užitnou vlastností koberců je její tepelná izolace, která může být např. charakterizována tepelným odporem R [Km2W-1] tj, odporem vůči vedení tepla. Během používání dochází k opotřebení koberců a tím i ke změně tepelných vlastností. Cílem tohoto příkladu je modelovat změny tepelného odporu pomocí simulovaného opotřebení. Pro simulaci opotřebení bylo použito zařízení tetrapod. Tepelný odpor byl měřen po 10, 20, 30, 40, 50, 100 a 200 tisících otáčkách (cyklech). Použitý software Adstat 2.0 – modul nelineární regrese Data Počet cyklů 0 10000 20000 30000 40000 50000 100000 200000
Tepelný odpor 124,2 101,2 95,6 90,1 89,9 88,8 88,1 86,6
Řešení Navržené testované modely jsou Model A: y = β 1 + β 2 e − β3 x Model B: y = β 1 − β 2 x β3 Model C: y = β1 −
β2 1 + β3 x
Koeficienty βi jsou odhadovány pomocí koeficientů pi. Počáteční odhady jsou pro všechny modely shodné p1=100 p2=30 p3=0,0001
Model A 1) Odhady parametrů parametr Bodový Směrodatná Absolutní Odhad odchylka vychýlení
Relativní vychýlení
p1 p2 p3
-0,0222 0,0732 0,509
88,04 35,85 8,99E-5
0,667 1,346 8,282E-6
-0,0196 0,0262 4,575E-7
Poloviční délka konfidenčního intervalu spočtená z: délky poloos ±2,304 ±5,465 ±2,449E-5
Poloviční délka konfidenčního intervalu spočtená z: maxim ±2,687 ±5,496 ±3,340E-5
Relativní vychýlení u všech koeficientů je menší než 1%, koeficienty lze považovat za nevychýlené. Směrodatné odchylky jsou výrazně nižší než průměry, proto lze všechny koeficienty považovat za významné. 2) Mapa citlivosti funkce Souhrnná citlivost Relativní změna Parametr Relativní změna CjR (+5%)[%] CjR (-5%) [%] p1 -1,699E-9 1 1,537E-9 p2 1,902 0,1498 -1,6775 p3 5,727 5,327 -5,295 Změna citlivosti u parametru p1 je malá, u zbývajících dvou je výrazně vyšších. Parametry modelu nejsou příliš dobře podmíněny.
Model B 1) Odhady parametrů parametr Bodový Směrodatná Absolutní Odhad odchylka vychýlení
Poloviční Poloviční délka délka konfidenčního konfidenčního intervalu intervalu spočtená z: spočtená z: délky poloos maxim p1 124,32 2,797 0,001015 0,000816 ±8,434 ±0,0008164 p2 8,136 3,471 0,621 7,633 ±13,134 ±13,98 p3 0,1304 0,03609 0,000932 0,7145 ±0,1245 ±0,1454 Relativní vychýlení u koeficientu p2 je větší než 1%, rovněž směrodatná odchylka je velká a konfidenční intervaly překrývají 0. Tudíž koeficient p2 je nevýznamný. 2) Mapa citlivosti funkce Parametr Relativní změna CjR (-5%) [%] p1 7,37E-9 p2 -13,22 p3 -21,84
Relativní vychýlení
Souhrnná citlivost 1 14,487 1,14E+10
Relativní změna CjR (+5%)[%] -2,572E-8 15,244 27,317
Změna citlivosti u parametru p1 je malá, u zbývajících dvou je výrazně vyšších. Parametry modelu nejsou příliš dobře podmíněny.
Model C 1) Odhady parametrů parametr Bodový Směrodatná Absolutní Odhad odchylka vychýlení
Relativní vychýlení
Poloviční Poloviční délka délka konfidenčního konfidenčního intervalu intervalu spočtená z: spočtená z: délky poloos maxim p1 91,46 2,127 1,62E-11 1,77E-11 ±7,867 ±8,567 p2 -32,72 6,015 2,6E-10 -7,95E-10 ±24,20 ±24,23 p3 -741,49 5,626 -7,36E-19 9,92-20 ±22,67 ±22,67 Relativní vychýlení u všech koeficientů je menší než 1%, koeficienty lze považovat za nevychýlené. Směrodatné odchylky jsou výrazně nižší než průměry, proto lze všechny koeficienty považovat za významné. 2) Mapa citlivosti funkce Souhrnná citlivost Relativní změna Parametr Relativní změna CjR (+5%)[%] CjR (-5%) [%] p1 -3,27E-09 1 2,96E-09 p2 3.20E-08 0,125 1,36E-07 p3 10,80 6,54E-18 -9,26 Změna citlivosti u parametru p1 a p2 je malá, u zbývajícího je výrazně vyšší. Parametry modelu nejsou příliš dobře podmíněny.
3) Porovnání kvality jednotlivých modelů. a) U žádného z modelů nebyly indikovány vlivné body. b) Analýza výsledků Parametr RSC Regresní s(e) rabat D2 Model A 7,874 99,28 1,255 Model B 39,14 96,43 2,798 Model C 158,28 85,55 5,626
AIC
MEP
5,873 18,7 29,88
28,43 1,06E+4 1,69E+23
Porovnání výsledků analýzy ukazuje, že nejlepším modelem je model A. Závěr Pokles tepelného odporu koberců vlivem sešlapání, lze modelovat pomocí exponenciální funkce (model A). Průběh funkce a graf reziduí vs. predikce jsou na náledujících grafech
Obr.1.: Funkce: model A
Obr. 2.: Graf reziduí
Příklad 2 Měření průběhu pronikání iontu Ca++ přes plasmovou membránu. Data byla adaptována z knihy: Rawlings, John 0.; Pantula, Sastry G.; Dickey, David A.: Applied Regression Analysis: A Research Tool, Second Edition. Springer. Data čas (min)
vápník (nmol/mt) 0,45 1,3 2,4 4 6,1 8,05 11,15 13,15 15
0,3875 1,1248 1,3999 2,7689 2,9524 3,4800 3,6488 4,6993 3,7264
Programy Adstat 1.25 a 2.0 – moduly nelineární regrese Řešení Jako modely byly porovnávány 2 a 3 parametrické Weibullovy růstové modely. Model A: −(
y = β 1 (1 − e
x
β2
)β3
Model B −(
y = β 1 (1 − e
x
β2
)
Koeficienty βi jsou odhadovány pomocí koeficientů pi. Počáteční odhady jsou p1=3 p2=3 p3=1,5 Model A 2) Odhady parametrů parametr Bodový Směrodatná Absolutní odhad odchylka vychýlení
Relativní vychýlení
Poloviční Poloviční délka délka konfidenčního konfidenčního intervalu intervalu spočtená z: spočtená z: délky poloos maxim p1 -5,01E+2 1,41E+5 -3,60E+7 7,19E+6 ±5,32E+5 ±5,32E+5 p2 4,71E+4 2,23E+7 7,89E+9 1.68E+7 ±8,43E+7 ±8,43E+7 p3 5,85E-1 4,58E-01 -6,93 -1,2E+03 ±1,68 ±1,73 Parametry jsou statisticky nevýznamné, směrodatné odchylky jsou výrazně větší než bodové odhady.
2) Mapa citlivosti funkce parametr Relativní změna CjR (-5%) [%] p1 7,4096E+01 p2 5,7474E+01 p3 5,6285E+01 Citlivost je velmi nízká.
Souhrnná citlivost 3,5442E-05 1,3759E-09 6,4705E+02
Relativní změna CjR (+5%)[%] -4,2639E+01 -3,6868E+01 -3,6409E+01
Model B 2) Odhady parametrů parametr Bodový Směrodatná Absolutní odhad odchylka vychýlení
Poloviční Poloviční délka délka konfidenčního konfidenčního intervalu intervalu spočtená z: spočtená z: délky poloos maxim P1 4,309 0,3422 0,0519 1,204 ±0,935 ±1,204 P2 4,8 1,022 0,144 3,003 ±3,143 ±3,146 Směrodatná odchylka u obou parametrů je minimálně 3x menší než bodové odhady, což ukazuje že oba parametry jsou statisticky významné. Relativní odhad je větší než 1%, takže odhady jsou méně přesné. 2) Mapa citlivosti funkce Parametr Relativní změna CjR (-5%) [%] p1 3,287 p2 -2,703 Citlivost u obou parametrů je nízká.
Relativní vychýlení
Souhrnná citlivost 0,480 0,5383
Relativní změna CjR (+5%)[%] -3,165 2,573
3) Porovnání kvality jednotlivých výběrů a) U žádného z modelů nebyly indikovány vlivné body. b) Analýza výsledků Parametr RSC Regresní s(e) AIC MEP rabat D2 Model A 81,15 -402,63 3,678 25,79 9,018 Model B 0,889 94,49 0,356 -16,83 0,209 Porovnání výsledků analýzy ukazuje, že nejlepším modelem je model B. Analýza výsledků modelu A a především regresní rabat naznačuje, že došlo k selhání během výpočtu. Závěr Vhodnější je 2 parametrické Weibullovo rozdělení.
